（基础数学专业论文）有关覆盖性质的一些拓展.pdf

广西大学硕士学位论文仁d 0 6 午， 有关覆盖性质的一些拓展 i 有关覆盖性质的一些拓展 摘要 本文主要是对覆盖性质进行了一些拓展一方面我们用半开集推广开覆 盖来进一步讨论一类s 闭空间的一些概念和性质，得到了局部s 闭空间的 遗传性和一些刻划及其与s 闭空间和f e e b l y 紧空间之间的联系证明了在 疋空间中，每一最小的局部s 闭空间就是s 闭空间，也是f e e b l y 紧空间 这些内容推广了李厚源和m j z a h i d 的一些结果另一方面，我们将有关空 间的一些覆盖性质推广到连续映射上利用开覆盖的局部有限，点有限拟 开加细及内核保持定向开覆盖的闭包保持闭加细，内核保持开星加细等进 一步刻划仿紧映射和亚紧映射此外，我们还给出了可数次仿紧映射，可数 亚紧映射和可数次亚紧映射的定义，得到了它们的一些特征定理及联系 关键词：局部s 闭空间半开集半正则集半开覆盖内核保持闭 包保持星加细 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年， 有关覆盖性质的一些拓展 i i s o m ee x t e n s i o n so nc o v e r i n gp r o p e r t i e s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l ya b o u ts o m ee x t e n s i o n so nc o v e r i n gp r o p e r t i e s o no n eh a n d ， w ec o n t i n u et od i s c u s sm o r ea b o u tc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e se x t e n d i n gak i n do fs - c l o s e d s p a c e si nt e r m so fs e m i o p e ns e t s w h i c ha r eu s e dt og e n e r a l i z eo p e nc o v e r s s o m ec h a r - a c t e r i z a t i o n sa n dt h eh e r e d i t yo fl o c a l l ys - c l o s e ds p a c ea n di t sr e l a t i o nw i t hs - c l o s e d s p a c e sa n df e e b l yc o m p a c ts p a c e sa r eo b t a i n e d i np a r t i c u l a rw es h o wt h a tf o rt 2s p a c e ， e v e r ym i n i m a ll o c a l l ys - c l o s e ds p a c ei ss - c l o s e d ，a n di sa l s of e e b l yc o m p a c t t h e s e r e s u l t sg e n e r a l i z et h er e s u l t s 舀v e nb yh o u y u a nl ia n dm j z a h i d o nt h eo t h e rh a n d ， w ea r ed e v o t e dt oe x t e n dt h em a i nn o t i o n sa n dc o v e r i n gp r o p e r t i e sc o n c e r n i n gs p a c e s t oc o n t i n u o u sm a p s i nt h i sp a r t ，w ec h a r a c t e r i z ep a r a c o m p a c tm a p sa n dm e t a c o m - p a c tm a p si nt e r m so fl o c a l l yf i n i t e ，p o i n t - f i n i t eq u a s i o p e nr e f i n e m e n to fo p e nc o v e r s ， c l o s u r e - p r e s e r v i n gc l o s e dr e f i n e m e n t so ri n t e r i o r - p r e s e r v i n go p e ns t a r - r e f i n e m e n t so f i n t e r i o r - p r e s e r v i n gd i r e c t e do p e nc o v e r so fa f i b r eo fat o p o l o g i c a ls p a c e m o r e o v e r ， w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fc o u n t a b l ys u b p a r a c o m p a c tm a p s ，c o u n t a b l ym e t a c o m p a c t m a p sa n dc o u n t a b l ys u b m e t a c o m p a c tm a p s ，a n dp r e s e n tv a r i o u sc h a r a c t e r i z a t i o n sa n d p r o p e r t i e so ft h e s em a p sa n dt h e i rr e l a t i o n s k e yw o r d s ：l o c a l l ys - d o s e ds p a c e s ；s e m i - o p e ns e t ；s e m i - r e g u l a rs e t ；s e m i - o p e nc o v e r ；i n t e r i o r - p r e s e r v i n g ；c l o s u r e - p r e s e r v i n g ；s t a r - r e f i n e m e n t 广西夫学硕士学位论文( 2 0 0 6 牟- ) 有关覆盖性质的一些拓展 1 l 论文提要 设x ，y 为拓扑空间，为空间x 到，的连续映射本文中除特别声明外，拓 扑空间不要求具有任何分离性我们得到下列主要结果： 结果1 ( 定理2 8 ) 设x 是局部s 闭空间，y 为x 的半正则子空间，则y 是局 部s 闭的 结果2 ( 定理2 1 1 ) 设以是x 的半正则子集，则a 是x 的局部s 闭子空间当且 仅当a 相对x 是局部s 闭子空问 结果3 ( 定理2 1 4 ) 每一死的最小局部s 闭空间是s 闭空间 结果4 ( 定理2 1 5 ) 每一乃的最小局部s 闭空间是, f e e b l y 紧的 结果5 ( 定理3 , 2 ) 设，：x y 是连续映射，则下列论述等价； ( i ) 映射，是仿紧的，i ( i i ) 对每一y y 及x 中每一覆盖，- 1 矿的单调开族甜，存在g ，的一个邻域q 使得i - 1 0 ，被甜所覆盖且“af - - 1 0 y 在，o p 中有一个局部有限拟开加细， l ( i i i ) 对每一y y 及x 中每一覆盖f - l y 的严格单调开族“，存在y 的一个邻域 q 使得- 1 吼被“所覆盖且“af - - 1 0 f 在f - l o p 中有一个局部有限开加细 结果6 ( 定理3 4 ) 设，：x + y 是正则映射，则下列论述等价； ( i ) ，是仿紧映射， ( i i ) 对每一y y 及x 中任一覆盖f - l y 的内核保持定向开族“，存在y 的一个 邻域o ”使得- 1 0 v 被“所覆盖且“a ，_ 1 吼在，_ 1 0 ；中有一个开的内核保持局部 星加细， t ( i i i ) 对每一y y 及x 中任一覆盖f - l y 的内核保持定向开族“，存在y 的一个 邻域q 使得f - - 1 d 被“所覆盖且“ - 1 q 在，q o ，中有一个伊闭包保持闭加 细且这覆盖的元的内核覆盖f - l o v ， ( i v ) 对每一y y 及x 中任一覆盖，- 1 的定向开族“，存在可的一个邻域q 使得f - 1 吼被“所覆盖且u - 1 q 在1 - 1 q 中有一个闭包保持闭加细且这覆盖的 元的内核覆盖f - 1 0 y 结果7 ( 定理3 7 ) 设：x + ，是正则映射，则下列论述等价： 4 ( i ) f 是亚紧映射，i ( i i ) 对每一y y 及x 中任一覆盖f - l y 的内核保持定向开族“，存在y 的一个 邻域吼使得f - - 1 0 y 被“所覆盖且“a - 1 0 i 在f - 1 0 p 中有个内核保持点星开加 一 孽 妄皇叁兰丝圭兰竺竺圭! 竺! 耋2童叁壅兰兰竺竺三兰垒墨：2 细 ( i i i ) 对每一y y 及x 中任一覆盖，_ 1 3 ，的内核保持定向开族“，存在y 的一个 邻域0 ，使得- i 吼被“所覆盖且“a - i q 在- i o v 中有一个闭包保持闭加细 结果8 ( 定理4 1 ) 设，：x - 】，是连续映射，则，是可数次仿紧的当且仅当 对每一鲈y 及x 中任一覆盖一1 y 的可数开族蹦= 碥) 。e n ，存在y 的一个邻 域o 口及f - 1 0 的一个可数闭覆盖 最。) n , 3 n 使得广1 0 v 被甜所覆盖且对每一 n ，j i v ，f n jc n - i 0 f 结果9 ( 定理4 3 ) 设，：x y 是连续映射，则下列论述等价： ( i ) ，是可数亚紧的， 。 ( i i ) 对每一yey 及x 中任一覆盖l - l y 的可数开族“= ) 。n ，存在掣的一 个邻域d ，使得，- 1 0 y 被“所覆盖且“a - i q 在f - 1 d ，中有一个点有限的精确开 加细 碥) 。 r ， ( i i i ) 对每一y y 及x 中任一覆盖，1 s ，的递增开族w = h e n ，存在y 的一个邻域0 ；使得f - 1 q u - 玩且w a i - i o y 在f - t o y 中有一个精确闭加细 甚l r ) 。n ， ( i v ) 对每一y y 及x 的任一递减闭集序列 昂) 。n 满足n ( r n ，_ 1 y ) = d ， 存在y 的一个邻域吼及i - i o v 的开集序列矾，w ；，使得n ( 晶n ，_ 1 0 v ) = d ， 。 r n i - i o y i v ，n 且n ( w _ n f - - 1 0 f ) = 仍 结果1 0 ( 定理4 4 ) 设，：x y 是连续映射，则下列论述等价： ( i ) ，是可数亚紧的， ( i i ) 是可数次亚紧的，。 ( i i i ) 对每一! y 及x 的任一递减闭集序列 f n ) 。n 满足n ( 晶n f - 1 y ) = d ， 存在y 的一个邻域q 及，q 0 i 的岛集序列 g ) 。e n 使得n ( rn ，- 1 0 y ) = 0 ， r n - , q c 魏，付n 且n ( g 。n ，q q ) = d h e n 。 、 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年j 有关覆盖性质的一些拓展 - 3 1 引言 覆盖性质与广义度量空间是一般拓扑学中的两大课题，吸引了不少国内外学者 从莱种角度上来说，一般拓扑学是研究开集结构的一门学科，而开集也是拓扑性质研 究中必不可少的工具之一覆盖性质与广义度量空间都是利用开集来刻划它们各自所 具有的各种性质经过一百多年的发展，一般拓扑学这门学科已经发展地相当完善 为了使这门学科继续有较大的发展，不少学者尝试从新的角度去研究，拓展对拓扑结 构的研究 1 9 6 3 年，n o r m a nl e v i n e t 】引进半开集作为开集的一种推广，它的引进为一般拓 扑学的研究和发展提供了一条途径1 9 7 6 年，t h o m p s o n n 首先利用半开集定义了s 闭空间以推广紧空间，并指出在乃紧空间中，s 闭空闻与极不连通空间是等价的 1 9 7 9 年m a t h u r n 利用正则闭集再次对s 闭空间进行刻划，证明了空间x 是s 闭的 当且仅当x 的每一正则闭覆盖有有限子覆盖，从而得到正则的s 闭空间是紧的，将 s 闭空间的特性表露无疑然而t h o m p s o n 关于s 闭空间的几个基本定义是累赘的， 关于s 闭空间的特征定理也不便于应用，他的一些定理的推证也不够简洁，因而结论 的深度与广度都受到了限制于是王国俊1 6 】在1 9 8 1 年给出了s 闭空间的另一等价定 义，建立了刻划s 闭空间的特征定理，加强并推广了t h o m p s o n 的许多结果，指出为 使h a u s d o 掇空间是s 闭空间必须且只须x 是极不连通的紧空间1 9 8 0 年，n o i r i g l 引进局部s 闭空间作为s 闭空间的一种推广，得出局部s 闭的h a u s d o r f f 空间是极 不连通的，最大的局部s 闭空间是极不连通的 到目前为止局部s 闭空间仅仅是作为s 闭空间的推广来推广一些已有的结果， 而关于这空间本身所具有的性质的研究却不多显然局部s 闭空间在推广过程中丧 失了s 闭空间所具有的许多良好的性质，那么它能保持s 闭空间的哪些性质呢? 在 什么情况下局部s 闭空间就是s 闭空间? 这些问题都是我们在此文2 将要去研究和 解决的 。 用映射研究空间是1 9 6 1 年前苏联伟大数学家a l e x a n d r o f f 在布拉格“一般拓扑学 以及它与现代分析和代数的关系”的国际学术会议上提出的，其基本思路是将各式各 样的拓扑空间类通过映射类作为纽带将它们联结于一体，通过映射与空间的关系反映 拓扑空间论的研究框架与整体结构，使映射成为揭示空间类之间的内部规律的强有力 工具，因而对映射本身性质的探讨自然就受到广大拓扑学家的高度关注，也为一般拓 扑学的研究及发展提供了另一条途径 。 广西大学硕士学位论文偿0 0 6 年)有关覆盖性质的一些拓展 4 我们知道映射本身所具有的特性往往由它的每一纤维的性质来描述的，例如附加 纤维可分性或紧性就分别得到了s 一映射和紧映射因而给每一纤维赋予其他的一些覆 盖性质就引起了学者们的极大兴趣j 棚 1 0 1 和p a s y n k o 、r 【1 1 1 分别在1 9 8 9 年和1 9 9 4 年将连续映射的每一纤维赋予分离公理，定义了正映射，i = 0 ，l ，2 ，3 ，3 妄1 9 9 7 年， b u h a 西a r 1 1 】将仿紧性推广到连续映射上，给出了仿紧映射的定义并得到仿紧映射的一 些性质及其在开覆盖下的各种等价刻划接着在1 9 9 8 年，他与m i w a 12 】继续对仿紧映 射的各种性质进行了探讨，并利用闭包保持开( 闭) 加细进一步对已仿紧映射进行刻 划，同时再次将次仿紧，亚紧，次亚紧等这三种覆盖性质拓展到连续函数上，定义了 次仿紧映射，亚紧映射，次亚紧映射，建立了刻划它们的特征定理在这些基础上， k h a l i dy a 1 - z o u b i 和h a s a nz h d e i b 1 3 】在2 0 0 3 年给出了可数仿紧映射的定义，并对 其性质及其与其他映射之间的关系进行了一系列的研究，得到正规的亚紧映射是可数 仿紧的到此为止，映射的其他一些覆盖性质及它们之间的联系如何至今无人知晓 本文则填补了这一空白，并且从另外的角度对仿紧映射，亚紧映射作了更进一步的刻 划，深化并推广了上述的一些结果 广西大学硕士学位论文口0 0 6 午)有关覆盖性质的一些拓展- 5 2 一类s 闭空间 作为紧空间推广的s 闭空间的性质及其特征定理已获得1 2 - 9 ，但作为s 闭空间推 广的局部s 闭空间本身的性质及其与s 闭空间的关系又是怎样的呢? 本节主要是对 这些问题作出回答先介绍本文中常用的几个记号，概念及一些已有的结果 设甜= ( 以：口r ) 是空间x 的子集族，我们记可= ( 玩：q r ) ；设4 ，b 是空 间x 的子集，则c l ( a ) ，i n t ( a ) ，i n t b ( a ) 分别指a 的闭包，a 的内部及a 在b 中的 内部 定义2 1 空间x 的子集a 称为半开的，如果存在x 中的开集u 使u c a c _ 称为正则开( 闭) 集，如果a = i n t ( c 1 a ) ( a = c z ( z n t a ) ) ；a 称为半正则集，如果 存在正则开( f f j ) q ( p ) 使q ( p 。) cac 硪p ) 由定义我们不难知道半开集与开集的交及半开集与半正则集的交都是半开的，半 正则集是半开的，正则开集和正则闭集都是半正则集及半正则子集的补集仍是半正则 的 引理2 1 1 4 1 设，力为拓扑空间，若g 为y 中半开集，则一定存在x 中半开集 a 使g = a n y 引理2 2 1 4 1 设a 为空间x 的半开集，若p 为x 的开集，则a n p 为p 中的半 开集 引理2 3 设a 是空间x 的半开子集，g 是a 的半开子集，则g 是x 的半开 集 证明由假设分别存在x 中的开集o 和a 中的开集矿，使ocac 艺严，vc g c 矿显然i n t x ( ncv c c l x ( i n t x ( y ) ) ，i n t x ( v ) n 0 为x 中的开集，且 i n t x ( 矿) n o c v n o c g c 矿n a ；矿n a cc t x ( z n t x ( v ) ) naci n t x ( v ) na “ci n t x ( v ) nd “ = n n x ( y ) n o “ v 一 ” 所以g 是x 的半开集 口 引理2 4 设c ，是空间x 的开集，a 是半正则集，则矿一a 是x 的半开集 证明：由a 的半正则性知，存在x 中的正则闭集p 使得pcacp ，则 u 一尸为x 中的开集，且u pcu ac 矿一p 。cu p o = u 1 3 ( x p 。) = u n 西啊一矿万蕊硒= 矿= - ，所以u a 为x 中的半开集 口 定义2 2 1 5 空间x 称为s 闭的，如果x 的每一半开覆盖“有有限子族y 使x = u 此定义也等价于空间x 称为s 闭的，如果x 的每一正则闭覆盖都有有限子覆盖 引理2 5 【7 】设x 是s 闭空间，a 为x 的半正则子集，则a 是x 的s 闭子空 间 定义2 3 m 拓扑空间x 的子集a 相对x 是s 闭的，如果对于x 中半开集构成 的a 的覆盖 以) 。r 都有有限子集r 。cr 使得acu c t x ( 以) ：a r 。) 定义2 4 n 空间x 称为局部s 闭的，如果x 的每一点都有s 闭的开邻域 显然s 闭空间是局部s 闭空间，但反之不然 引理2 6 【9 】对拓扑空间( x ，力，下列论述等价： ( 1 ) x 是局部s 闭的， ( 2 ) 对每一z x ，存在u 丁使z u 且u 相对x 是s 闭的， ( 3 ) 对每一z x ，存在u 丁使z 矿且i n t x ( c l x ( ) 相对x 是s 闭的 引理2 7 nt 2 的局部s 闭空间是极不连通的( 即对每一u 丁，秒7 3 定理2 8 设x 是局部s 闭空间，y 是x 的半正则子空间，则y 是局部s 闭 的。 证明对每一y y ，ycx 由x 的局部s 闭性及引理2 6 知y 有一个相对x 是s 闭的开邻域k 显然k n y 为y 在y 中的开邻域往证k n y 相对y 是s 闭 的 设“= 以) 。e a 为y 中覆盖k n y 的任一半开集族根据引理2 1 ，存在x 中的 半开集族 k 。a 使以= n k 口a 因为y 是半正则集，所以x y 是半开 的于是y = k ) 。a u ( x 一】，) 是k 在x 中的半开覆盖，从而存在y 的有限子族 矿= ：lu x l ，) 使得 k c 0 u 面j 矿 = 1 cu 磋u ( x l ，。) ，k n y 。= k 一( x y 。) cu 圪 i=l=l 由于l ，是半开的，故存在x 中的开集p ，p c y c 只则 k n y c ( k n y 。) “c u 呓= u 一y nn i = 1i = l 从而 “ k n yc - k - - n - - - - p - x n yc 而n y ：0 可矿n y ：0 瓦 所以k m y 相对y 是s 闭的由引理2 6 知y 是局部s 闭的 口 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年)有关覆盖性质的一些拓展 7 推论2 9 设x 是局部s 闭空间，y 是x 的正则开( 闭) 子空间，则y 是局部s 闭的 下面我们给出子集相对x 是局部s 闭的定义作为s 闭子集的推广 定义2 5 空间x 的子集a 称为相对是局部s 闭的，如果a 中的每一点在x 中都有开邻域相对x 是s 闭的 根据定义易证 引理2 1 0 对每一acx ，若a 相对x 是局部s 闭的，则对任意bca ，b 相 对x 也是局部s 闭的 定理2 1 1 设a 是x 的半正则子集，则a 是x 的局部s 闭子空间当且仅当a 相对x 是局部s 闭子空间 证明充分性z 对每一z a ，设u 是王在x 中的开邻域且u 相对x 是s 闭 则u n 4 是在a 中的开邻域 设“= 观) 。r 是a 中覆盖矿n a 的半开集族根据引理2 4 ，u a 为x 中 的半开集又a 是半开的，由引理2 3 知“= 玩) 。r 也是x 中的半开集族于是 ) 。r u u a ) 是x 中覆盖u 的半开集族从而存在有限子集f ocr ，使得 u c ( u 。r o 谨u 泵耐) cu 。，。磋u ( 铲一a o ) 故 u n acun - c 而矛a = 而矽c u 磺耐cu 磙n a ) ；u - a a e f o n r 。a e d o 所以u n a 相对a 是s 闭的根据引理2 7 ，a 是x 的局部s 闭子空间 必要性：对每一岳a ，由于a 是x 的局部s 闭子空间，故存在霉的关于a 的 s 闭开邻域k 则i n t x ( g l x ( k ) ) 为$ 在x 中的开邻域 设甜= 玩) 。r 为i n t x ( c l x ( k ) ) 在x 中的半开覆盖由于a 是半正则的，所以 a 为x 中的半开集族，也是a 中的半开集族根据引理2 2 ， 玩n k 畦r 为k 的半开覆盖由k 的s 闭性知存在有限子族 玩。n k ) 冬。使 k ：0 瓦了下 ：0 耐n k cu “莨n k ，k = 玩。n k 一= u 以。n k “n k c莨n k ， 每1i-=-i=l 所以 kc u 磋，cu 瓦，i n t x ( g l x ( k ) ) c 嘭cu 瓦 从而i n t x ( c l x ( v ) ) 相对x 是s 闭的 推论2 1 2 设a 为正则开( 闭) 集， x 是局部s 闭的 结合定理2 1 1 及引理2 1 0 ，我们有 因此a 相对x 是局部s 闭的 r l a 是x 的局部s 闭子空间当且仅当a 相对 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年) 有关覆盖性质的一些拓展 8 定理2 1 3 对每一acx ，若刁相对x 是局部s 闭的，贝0 ：r 是x 的局部s 闭 子空间 定理2 1 4 每一正的最小局部s 闭空间是s 闭空间 证明设噩空间僻，刀是最小局部s 闭空间由引理2 7 ，( x ，力是极不连通 的，即对每一u 丁，可丁设口= 驴：u f x 一可是s 闭的) 首先证明8 可 以生成x 上的一个拓扑丁c 丁 对每一x ，y x ，$ y ，存在。的开邻域以，y 的开邻域使巩n = o 由x 的极不连通性，更有玩n 玩= 玩n u v = n 玩= 玩丽耳= d 又由x 的局部s 闭性，茹，轳分别有s 闭的开邻域k ，w ，易证瓦，瓦也是s 闭的则瓦彳弋瓦，巧彳彳可 分别为瓦，瓦的正则闭子集，从而是$ ，秒的s 闭开邻域且瓦1 可瓦n 巧了可可= 彩 所以x 一巧百巧因为x x 一巧百巧c 瓦百瓦为巧芥匹的半正则子集， 由引理2 5 ，x x 一巧百可是s 闭的，x 一巧百巧b 从而u b = x 若可i n _ 2 o ，其中矽l ，玩8 ，其中矾丁x 一玩是s 闭的，f = 1 ，2 则对 任何$ 一u l n u 2 ，令移= 玩n - 2 ，则可，x 一( _ l n 玩) = ( x 一移1 ) u 伍一_ 2 ) 对 x 一( 玩n 玩) 的任一半开覆盖w ，由于x 一玩，x 一_ 2 是开的故wi ( x 一可z ) ，wi ( x 一玩) 分别是x 一驴l ，x 一玩的半开覆盖，由x 一可l ，x 一玩的s 闭性知 w 有有限子族w l ，使 w n ( x 一玩) ：w 1 怯 覆盖x 一阢，i = l ，2 所以 移= x 一玩n 玩cu l w n ( x 一玩n 玩) ：w w lu m 因此x 一( _ ln 一2 ) 是 s 闭的从而z u b 设丁为以8 为基生成的拓扑，显然r c 丁 下面我们证明( x ，丁，) 是s 闭的 设9 是x 关于r 的任一半开覆盖取一非空g 玩存在7 i 开集o o 使 o acgc 况。，0 疗仍由7 - 的定义存在可口，驴c0 gcg ，x 一玩 是s 闭的因为 g n 僻一v - 3 ：g 夕 为x 一驴的半开覆盖，所以存在有限子族 g 。n ( x 一_ ) ) 翟l 使x 一可= ug n ( x 一_ ) cu 硬n ( x 一可) 则 g l 名l u g i = li = l n 即为g 的有限子族且x = u o ( x 一功c ( x 一劢u 弓- g cu _ i u 砩所以，丁，) 是s 闭空间由丁的最小性知丁= r ，所以伍，力是s 闭空间 口 我们知道空间僻，力称为f e e b l y 紧的，如果x 的每一局部有限开集族是有限 的；x 不是 e e b t y 紧的当且仅当x 有一个可数的局部有限的两两不交的开集族 定理2 1 5 每一乃的最小局部s 闭空间是f e e b l y 紧的 证明设疋空间僻，力是最小局部s 闭空间由上述定理知( x ，力是s 闭 的假设x 不是f e e b l y 紧的则x 有一个可数的局部有限的两两不交的开集族， 广西大学硕士学位论文偿0 0 6 年)有关覆盖性质的一些拓展 9 记为毋= g i ，。根据引理2 2 ，x 是极不连通的则对每一i ，j l 互有 砚n 弓= o ，且( 瓦) u x 一丽) 是x 的个正则闭覆盖，但没有有限子覆盖 讵 这与x 是s 闭的矛盾因而x 是f e e b l y 紧的 口 苎查兰竺主兰竺竺墨f ! ! 丝2查苎壅兰竺堕竺= 竺塑墨 1 0 3 关于仿紧映射及亚紧映射的一个注记 把纤维覆盏的特征用于研究和刻划拓扑空间上的连续映射，产生了一般拓扑学的 一个新的研究方向一一映射拓扑学例如，完备映射在映射拓扑中刻划为紧映射映 射拓扑学的研究引起了许多拓扑学者的兴趣，取得了一些重要结果 b u h a g i a l 和m i w a 定义了仿紧映射，次仿紧映射，亚紧映射和集态正规映射，并 在一定分离公理条件下给出了这些映射的一些等价刻划本节主要是进一步拓展他们 的结果，利用拟开覆盖及内核保持开覆盖给出了仿紧映射和亚紧映射的新的刻划 对任意拓扑空间】，记n ( u ) 为空间y 中的点y 的邻域，这里的邻域指的都是开 邻域对空间的子集族“，w 及子集a ，集族 ( ，n a ：u m 记为“a a 集族 u n w ：u “，w w ) 记为“aw 记似) = ( u “：u n a 0 ) ；如果 a = z ，则用( 狮；代替似) a 。集族甜中元的所有有限并构成的集族记为“f 定义3 1 设且，b ，u 为空间x 中的子集，若j 4 nc b n u 在u 中有互不相交 的邻域，则称a ，b 在u 中邻域可分的 ， 定义3 2 连续映射，：x y 被称为是正则映射，如果对每一互x 及x 中的 任一闭集f 使得x g f ，存在，( 茹) 的一个邻域0 使得 。) ，f 在- 1 0 中邻域可分 定义3 3 1 1 t 】设，：x y 是拓扑空间x 到l ，的连续映射对y y ，x 中的 子集族称为是扩局部有限的，如果对任一$ 广1 f ，存在z 在x 中的邻域o k 使得 仉只与这集族中有限个元相交 如果集族“= 阮：o 一4 ) 是x 的扩局部有限开集族，则“在u 0 0 中局 ，一1 y 部有限特别地，如果，是闭的且“覆盖- x y ，则存在的一个邻域q 使- 1 0 y 被“所覆盖且“在f - 1 q 中局部有限 定义3 4 【1 l l 连续映射，：x y 是仿紧的，如果对每一可y 及x 中每个覆 盖- l y 的开族甜，存在! ，的个邻域吼使得- 1 q 被甜所覆盖且甜a 1 - 1 0 v 有一 个开加细在f - 1 0 v 中是扩局部有限开的 定义3 5 t 2 1 连续映射，：x y 是亚紧的，如果对每一! ，y 及x 中每个覆 盖，一1 的开族“，存在掣的一个邻域q 使得- 1 q 被“所覆盖且, a ，4 q 在 - 1 0 ，中有一个点有限开加细 定义3 6 t 3 1 连续映射，：x y 是可数仿紧的，如果对每一! ，y 及x 中每个 覆盖，一1 口的可数开族玑存在y 的一个邻域q 使得，- 1 0 v 被“所覆盖且u 4 0 y 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年) 有关覆盖性质的一些拓展1 l 有一个开加细在，_ 1 q 中是扩局部有限开的 从定义知，如果映射，是仿紧的，亚紧的或可数仿紧的，那么它是闭的因此上 述定义中铲局部有限可换为局部有限 以下定义详细请参阅【17 】 定义3 7 空间x 的覆盖“被称为是内核保持的，如果对每一“c “，n 甜是开 的集族称为单调的，如果c 上的包含于关系c 是c 上的线性序；如果这个线性 序是良序，则称c 为严格单调的c 称为定向的，如果对工，l c ，k c 使得 l u c 如果c 是严格单调的，cc 则n c ，c 所以x 的每一严格单调开覆盖是内 核保持显然每一单调集族是定向的；c f 及c 是定向的当且仅当c f 加细c ；如果 是空间x 的内核保持开( 闭包保持闭) 覆盖，则c f 是x 的内核保持开的( 闭包保 持闭的) 定义3 8 设“是x 的一个覆盖，“被称为是x 的拟开覆盖，如果对z x ，s t ( x ，“) 是z 的一个邻域咒是x 的一个覆盖，咒称为是的r 个f - 加细， 如果对每一ne 咒，存在c 的有限子族使ncu ，；庀称为是c 的一个点态( 局 部) w - 加细，如果对茹x ，存在有限子族，c 使得对每一n ( k ) 。( 存在正的 某一邻域u 使得对每一n ( 咒) ，) ，存在l c ，ncl 为了利用局部有限拟开加细得到仿紧映射刻划，我们先给出下面这个引理 引理3 1 设y e y ，y 是 - l y 的一个y - 局部有限拟开覆盖，则y 有一个闭凡加 细是扩局部有限 证明设y y ，y 是，- 1 y 的一个扩局部有限拟开覆盖对y 的任一子族y 7 ，令 k ( v ) = c t ( n v ) 一x n t ( u ( v y ，) ) 若矿是无限的，则k ( v 7 ) = d 对每一v cv ， 若z k c v ) ，则x g s n t ( u ( v 一矿) ) 由于善i n t ( u ( v ) 。) ，故( 1 ，knv 仍，即 茁o 矿所以k ( 沙) co 矿 ， 对任意ze ，y ，z ( ( 功。) ，由前面知= k ( y 7 ) ：矿c1 ，) 是x 中的闭集 族并且是1 ，的b 加细往证尼是扩局部有限的对z 广1 y ，由于1 ，是y 一局部有 限的。故集族矿= y y ：z 乃是有限的且o = x c t ( u c v 一驴) ) 为茁在 义中的开邻域如果对任一矿c v 满足k ( v ) n o 0 ，则( c t ( n v ) ) n o d ， ( n y 7 ) n d 织从而矿c 驴所以d 只与咒中的有限个元相交 口 特别地，若又有，是闭映射，则存在矿的一个邻域d 。使得f - 1 0 u 被y 所覆盖且 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 半)有关覆盖性质的一些拓展 1 2 - va i - 1 0 。有一个闭f _ 加细在f - 1 0 y 中是局部有限的 定理3 2 设，：x y 是连续映射，则下列论述等价： ( i ) 映射，是仿紧的， ( i i ) 对每一耖y 及x 中每一覆盖，_ 1 的单调开集族“，存在g ，的一个邻域q 使得，0 ，被“所覆盖且“ai - 1 吼在i - 1 0 f 中有一个局部有限拟开加细， ( i i i ) 对每一y 及x 中每一覆盖f - 1 j 严格单调开集族“，存在可的一个邻域 q 使得，一吼被所覆盖且“ay - 1 仉在f - 1 0 中有一个局部有限开加细 证明( i ) = = 争( i i ) ，( i ) 辛( i i i ) 显然 ( i i ) = = 争( i ) 对任意基数，c ，p ( k ) 表示命题：对每一! ，y ，如果“是覆盖广1 l 的势 为k 的x 中的一个开族，存在! 的个邻域0 ，使得i - 1 0 p 被“所覆盖且u f 一0 v 有一个闭的f 加细在r - 1 仉中是局部有限的当厅为有限基数时，尸( 蓐) 显然为真 下面我们利用归纳假设证明尸( 蓐) 对任一无限基数都为真设仡是无限基数使得对每 个基数o 厅，尸 ) 真往证尸( 片) 真 设“是x 中任一覆盖i - l u 势为，c 的开族，不妨设b t = 以：口 7 ，y 是对应于 基数k 的最小序数。对每一a 1 ，令= uu 一，则v = k ：q 帕是，_ 1 1 f 的单 卢兰。 调开覆盖于是存在的一个邻域q 使得f - 1 0 y 被y 所覆盖且1 ， f - 1 吼在，一q 中有一个局部有限拟开加细由引理3 1 ，yai - 1 q 有一个闭的f - 加细在，- 1 q 中 是局部有限的，记为咒，即对每一k 咒，存在y a - 1 g 的有限子族矿a ，- 1 0 u 使 得k c u ( 沙a ，“q ) 由于y 是单调的，所以存在v y 使得k c v n - i 0 ，取 a ( k ) 7 使得kc 圪( ) n f - 1 0 则w ( k ) = ，0 f 一) u 玩：口sn ( k ) 为x 中覆盖，_ 1 的开族且1w ( k ) i 托由假设存在可的一个邻域qco y 使 得i - 1 q 被w ( k ) 所覆盖且w ( k ) ay - 1 q 有一个闭的且加细在i - 1 q 中是局 部有限的，记作，( 耳) 对每一k 尼，尸( k ) = f nk ：f ，( ) 是x 中 的闭集族且在kn ，_ 1 0 y 是局部有限的由于i c 是i - 1 0 y 的局部有限闭覆盖，故 ，= u 尸( k ) ：k 是x 中覆盖f - 1 0 ；的闭集族且在f - 1 0 ；中局部有限。 对每一f ，芦，存在硒咒及f ，( t o ) 使得f ，= fnj 如因为，( k j ) 是 w ( 凰) n 厂1 d ；的f - 加细，所以存在有限子族w ，( 凰) af - 1 四cw ( 凰) a f - 1 。； 使得fcu ( w ，( 硒) ai - 1 ) ，f n 硒cu ( w ，( 甄) a i - 1 q ) 由w ( ) 的定义， ，中的每个元f 都包含在“a f - 1 0 ：的某有限并内，所以，是“ - 1 0 v 的丹加 细，从而p ( k ) 成立 ， 这就证明了对每一y 及x 中任一覆盖，- 1 鲈的开族“= ) 。e r ，存在! ，的 广西大学硕士学位论文p o d 6 年，有关覆盖性质的一些拓展 1 3 一个邻域q 使得f - l o p 被“所覆盖且酣 - 1 0 y 有一个闭的f - 加细咒= 玩) 。s 在i - 1 0 i 中是局部有限的对每一z i - 1 0 0 ，选取1 - 1 q 中的开邻域圪仅与7 f 中 有限个元相交。则存在口的一个邻域o ；，不防设d ；= 吼， k ) 。e ，一- o u 有一个闭f - 加细一4 在，。d i 中是局部有限的对每一5 只置 只= 1 - 1 0 ；一 a ：a a ，a n 皿= 0 ) 显然，只是$ - 1 0 v 中包含风的开集此外，对每一8 s ，每一a a ， 只n a d 当且仅当皿n a 0 令b = 扩：r ，cr 且r ，是有限的) ，“( r ，) = ) 根”对每一s s ，取r ，( s ) b 使日lcu ( r ) ) 广1 吼) 且设吼= t 只n 巩n ，- 1 q ：口r ，( s ) ) ，则9 = u 玩h f i s 是“a ，o ，在，q q 中的开加细由于每一z 广1 0 9 具有，_ 1 q 中的开邻域k 仅与4 中的有限个元相交，而a 中的每一元仅与咒中的有限个元相交由( 1 ) k 仅 与有限个只相交由于咒是甜 厂1 q 的b 加细，故k 仅与夕中有限个元相交 从而分在，- 1 q 中是局部有限的这就证明了，是仿紧的 ( i i i ) ( i ) 对任意基数k ，p ( 而表示命题：对每一f y ，如果“是势为k 的x 中覆盖，以g 的一个开族，存在的个邻域q 使得，o p 被“所覆盖且u f - 1 0 ； 在，一0 ，中有一个局部有限开加细类似于上述证明方法，集族y 是，- 1 掣的严格 单调开覆盖，w 是y a 广1 吼在，- 1 q 中的局部有限开加细对每一a a ) ，死= 忍) u ：卢n ) 由假设存在| ，的 一个邻域qcq 使得，- 1 d ；被r 所覆盖且ra ，- 1 。；在广1 0 ；中有一个局 部有限开加细厶对每一w w ，令冗( ) = aq ：q 厶( 且存在某一 a sa ( ) ，q c 玩) 易见冗= u 冗( w ) ：w w ) 是“a 广1 0 ；在，q 优中的局 部有限开加细从而p ( k ) 成立，是仿紧的 口 引理3 3 设，：x y 是连续闭映射对每一v y 及x 中任一覆盖，_ 1 f 的 内核保持开集族“，下列论述等价： ( i ) 存在的个邻域q 使得i - 1 q 被“所覆盖且o f ，a ，_ 1 q 在，- 1 仉中有 一个闭包保持闭加细。 ( i i ) 存在f 的个邻域q 使得，以吼被“所覆盖且“f a 广1 吼在，- 1 q 中有 一个开的内核保持点态星加细， 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 6 年】 有关覆盖性质的一些拓展 一1 4 ( i i i ) 存在! ，的一个邻域d f 使得- 1 0 i 被“所覆盖且“a ，0 p 在，- 1 d 口中有 一个开的内核保持点态w 一加细 证明( i ) = 辛( i i i ) 设v k “是x 中任一覆盖f - l y 的内核保持开族，d 为v 的一个邻域使得，- 1 q 被l , t 所覆盖，为“fa1 - 1 0 y 在1 - 1 0 f 中的闭包保持闭加 细对每一z - 1 吼，设w ( $ ) = 【n ( u ) 爿n 【1 - 1 吼一u 伊一( 一。) 】由于“是内核 保持的，是闭包保持的，故w = w ( 。) ：茹y - ：d 0 是x 中覆盖y - i o v 的内 核保持开集族对每一正1 - 1 0 。及w ( z ) n 0 ，由w ( o ) 的定义知存在f o ( ，) ； 使得z y o 根据假设，存在“有限子族“( 岛) 使得岛cu ( u ( v 0 ) a - 1 0 ) 所以 存在u 甜( 丹) 使得$ ，z u n ，o ，从而w ( z ) cu n - 1 0 y 这就证明了w 是 “a ，0 ，在，- 1 q 中开的点态w - 加细 ( i i i ) = 号( i i ) 显然因为“af - 1 0 y 在f - l o f 中的任何一个点态w - 加细都是 矿a ，- 1 0 u 在1 -