（基础数学专业论文）与smarandache函数相关的函数的性质研究.pdf

中文摘要 美籍罗马尼亚数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a e h e 提出了很多数学问题其中 一些问题1 1 】已经被国内外的一些数论专家解决了而另外一些问题【2 一，其中包 括特殊序列、算术函数的问题与猜想等等，这些问题未被解决却很有趣，许多 学者对此进行了深入的研究与探索，得到了很多具有重要意义的结论这无疑 对数论领域的发展起到了举足轻重的作用。 本论文基于对s m a r a n d a c h e 问题的学习与研究，运用了初等数论与解 析数论中的一些研究方法，对与s m a r a n d a e h e 函数相关的问题进行了简单 的思考，给出了一个猜想，一个渐近公式，解决了一个特殊的方程，推广 了s m a r a n d a e h e - r i e m a n n 序列具体地说，我们可以从以下三个方面来阐述： 1 对于任意的正整数扎，著名的f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 定义 为最小的正整数k ，使得礼l 【1 ，2 ，翻，其中【1 ，2 ，k 】表示1 ，2 ，k 的最 小公倍数，通过对s m a r a a d a c h e 函数s l ( n ) 的研究与探索，给出了一个新的 与s m a r a n d a c h e i 甬数s l ( n ) 相关的数论函数s l + ( 佗) 的定义，研究了它的性质，给 出了一个特别的猜想，并且证明了这个猜想是正确的其次，运用初等方法及解 析方法研究了( p ( n ) 一p ( n ) ) s l ( n ) 的均值分布，与此同时得出关于它的一个有 趣的渐近公式 2 对于任意的正整数n ，设( 佗) 和s ( n ) 分别表示欧拉函数- 与s m a r a n d a c h e 函数利用解析数论中的初等方法及m a t h i m a t i c a 软件和计算机c 语言编程研究 方程 即m ( 2 ) + 稍( 垆( 掣) 的可解性，并证明了这个方程仅有两个正整数解仃= 1 ，1 0 3 运用初等数论的方法，对s m a r a n d a c h e - r i e m a n n 序列作了一个更为一般 的推广，得到了一个更为广泛的的结果，并对此给出了具体的证明 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，猜想，渐近公式，可解性，s m a r a n d a c h e - r i e m a n n 序列 a b s t r a c t ( 英文摘要) f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e ，a na m e r i c a nm a t h e m a t i c i a no fr o m a n i a nd e - s c e n t ，h a sg e n e r a t e dav a s tv a r i e t yo fm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s s o m ep r o b - l e m sh a v eb e e ns o l v e db ys o m en u m b e rt h e o r i s t sf r o mh o m ea n da b r o a d t i c v h i l eo t h e ru n s o l v e db u ti n t e r e s t i n ga r i t h m e t i c a lp r o b l e m s ，i n c l u d i n gs p e c i a l s e q u e n c e s 、a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n d s oo n ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e da n d e x p l o r e dt h e md e e p l y , a n do b t a i n e dal o to fv e r ym e a n i n g h dr e s u l t s i tp l a y sa n i r r e p l a c e a b l ea n di m p o r t a n tr o l ei nt h ef i e l do fn u m b e rt h e o r y t h i sd i s s e r t a t i o ni sb a s e do nt h es t u d ya n dr e s e a r c ho ft h es m a r a n d a c h e f u n c t i o n s s o m em e t h o d sm e n t i o n e di nt h ee l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r ya n da n 舢 l y t i cn u m b e rt h e o r ya r eu s e dt oc o n s i d e rt h ep r o b l e m sw h i c ha r er e l a t e dw i t ht h e s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ，t h e na c o n j e c t u r ea n da na s y m p t o t i cf o r m u l aa r eg i v e n ， as p e c i a le q u a t i o ni ss o l v e da n ds m a r a n d a c h e - r i e m a n ns e q u e n c e sa r eg e n e r a t e d s p e c i f i c a l l y , w ec a ne l a b o r a t ei tf r o mt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： 1 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r 亿t h ef a m o u sf s m a r a n d a c h el c mf u n c t i o n s l ( n ) i sd e f i n e da st h es m a l l e s tp o s i t i v ei n t e g e rks u c ht h a tni 1 ，2 ，纠， w h e r e 1 ，2 ，k 】d e n o t e st h el e a s tc o m m o nm u l t i p l eo fa l lp o s i t i v ei n t e g e r s f r o mlt ok t h r o u g ht h es t u d ya n dr e s e a r c ho ft h ef s m a r a n d a c h es l ( n ) f u n c - t i o n ，an e wa r i t h m e t i c a lf u n c t i o ns l + ( n ) ，w h i c hi sr e l a t e dw i t ht h es m a r a n d a c h e f u n c t i o ns l ( n ) ，i sg i v e nt os t u d yt h ep r o p e r t i e so fs l + ( n ) ，as p e c i a lc o n j e c t u r e i n v o l v i n gf u n c t i o ns l + ( n ) i so b t a i n e d ，a n dt h et r u ec o n j e c t u r ei sp r o v e d o n d l y , t h ee l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d sa r eu s e dt os t u d yt h em e a nv a l u e d i s t r i b u t i o np r o p e r t yo f ( 尸( n ) 一p ( n ) ) s l ( n ) a n da ni n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r - m u l ai sg i v e nf o ri t 2 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r 礼，l e t 妒( 亿) a n ds ( n ) b et h ee u l e rf u n c t i o na n d 1 1 1 t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o nr e s p e c t i v e l y t h ee l e m e n t a r ym e t h o d so fa n a l y t i c n u m b e rt h e o r y 、m a t h i m a t i c as o f t w a r ea n dc l a n g u a g ep r o g r a m m i n ga r eu s e d t os t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o n s ( 1 m ( 2 ) + 删( 啦( 掣) ， m e a n w h i l e ，w ep r o v et h a tt h i se q u a t i o nh a so n l yt w op o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s 佗= 1 1 0 3 t h em e t h o d so ft h ee l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r ya r eu s e dt os t u d yt h e p r o p e r t yo ft h es m a r a n d a c h e - r i e m a r m s e q u e n c e ，w h i c hi sg e n e r a t e df u r t h e r ， ag e n e r a lr e s u l ti so b t a i n e da n dac o n c r e t ep r o o fi sg i v e n s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，c o n j e c t u r e ，a s y m p t o t i c f o r m u l a ，s o l v a b i l i t y , s m a r a n d a c h e - r i e m a n ns e q u e n c e 1 v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：触 指导教师签名： 兹童麈刍 刎年多月8 日川年和占日 f f 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：薛索匕粜 卅年月g 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论是数学的一个分支，它研究整数的性质【4 ，5 l ，其中1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，叫做计 数数，或者正整数它是一门最古老的数学学科，古老到他可以追溯到远古时 代! 但是数论又很年轻，年轻到我们至今仍然无法确定整数的许多简单性质 虽然一些古老的数论问题被解决了，但是更多的新问题又出现了 研究数论从最早的素数分布开始，欧几里得就曾证明过素数有无穷多个， 之后又有很多的数学家都进行过这方面的研究到后来，数论与数学的其它许 多分支一样，经常涉及到实数或复数序列，在数论中，这样的序列称为数论函数 具体地说，就是在正整数上定义的实值的或复值的函数称为数论函数或算术函 数它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用尽管很多重要的数论 函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值y ( n ) 却体现出很好的规律 n s z 性，因而数论中对数论函数性质的研究经常是在均值意义下进行的【6 ，7 一算术 函数的均值估计作为解析数论的重要研究课题之一，是研究各种数论问题不可 缺少的工具许多著名的数论难题都与这些均值密切相关，因而在这一领域取 得任何实质性进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用 随后，美籍罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e 提出了许多关于特殊数列、 算术函数等未解决的问题猜想尤其在1 9 9 1 年，他在美国研究出版社出版了 1 及其固定的正整数七，我们可以得到 渐近公式 薹s l ( 扎) = 笙1 2 。兰i n x + 壹i = 2 壁1 1 1 ix + 。( 翥) ， 其中q ( i = 2 ，3 ，k ) 是可计算的常数 贺艳蚓17 j 对d ( n ) 作了估计，当佗 1 2 6 0 0 时，d ( 佗) 礼丽9 ，其中d ( 几) 为d i r i c h l e t 函数她分析了如果n = 衍1 理2 p a r 是礼的标准分解式， 且满足s l ( d ) = 扎，那么礼= 2 8 或佗= 死1 矿，其中pt n ，且礼1 = 4 ，8 ，9 ，1 2 ，1 6 ，2 0 ，2 4 ，2 5 或者2 7 由上面两个结论，她证明了方程s l ( d ) = 佗 d i n 有且仅有两个正整数解凡= 1 ，2 8 通过对上面的一些函数的研究，现在，我们定义另外一个数论函 数s l + ) 如下：s l + ( 1 ) = 1 ，而且如果死= 硝1 砖2 妒是仃的标准分解式， 则 s l + ( 礼) = 曲肼1 ，赡2 ，霹) ， 其中p 1 i 0 2 1 使得( 3 2 ) 是一个整数 8 西北大学硕士学位论文 3 1 2 定理的证明 返一币甲，我1 i j 且袋元厩疋埋即让明对于仕葸阴止整毅仃 1 ，令钆= 西1 p 呈2 p 7 r 是钍的标准分解式，从s 扩m ) 的定义我们可以知道 s l + ( 佗) = i 血 p 拿1 ，p 呈2 ，霹7 ( 3 3 ) 现在如果s 己) = p ( 其中l k r ) 且亿满足 萎南s l = ，惫 + ( d ) 一 是一个正整数则令礼= m 蘸及其( m ，p k ) = 1 ，注意对于任意的d i m 及d l ， s l + ( 硪d ) lm 蘸。，其中i = 0 ，1 ，2 ，q 七我们有 嘉丽1 2 萎蒹研s l 南台惫 + ( d 。玩) 2 丢瓦南+ 三嘉南 七1“七1 = 1 + 去+ + 毒+ 萎a k 蒜瓦丽1 丽， 或者 州一一薹蒹褊 + 南k - - 1 ( 1 + 五1 + + 嘉) + 五m 4 ， 很显然对于任意的d l m 及其d 1 ， 薹蒹焉和州一( 1 + 1 - + 去) 是整数，但p 里k 不是整数这与( 3 4 ) 矛盾所以定理得证 9 第三章涉j ! u s m a r a n d a c h el c m i 函数s l m ) 的猜想及其混合均值 3 1 3 一个开放的问题 如果n = p ? 1 p 呈2 霹r 是礼的素数幂的分解，是否存在一个正整数n 2 使得嘉南是一个整黼 3 2 - 与s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 相关的函数的混合均值 3 2 1 引言及预备知识 正如上一节中所定义的s 三( 佗) ，本节我们再考虑s l ( n ) 的一些相关性质杜 晓英【1 8 】证明了对于任意的实数z 1 ，有渐近公式 羡删= 止2 + c 1 ，面x 2 + c 2 蕊x 2 + + c 奄旦i n kx 删熹) ， 其中a = 三莩去服髓给定的正馘c 1 ，咿c 七舸计算的徽 葛健【1 9 1 研究- f s l ( n ) 一s ( 礼) 】2 的均值分布，并证明了 一e s l ( 讫) 一s ( n ) 】2 = i 2 。z 2 + d ( 惫i n ) ， 竹 1 ，我们有 l n s l ( n ) = x l n x + d ( z ) n 1 时，我们可以得到渐近公式 e ( s l ( n ) 一p ( 讥) ) 2 曼(曼)盖5-4i-。i(熹)15 2i nn， = 一f l 一- 一l ，一 z 。zz 而p ( n ) 表示n 的最大素因子 1 0 西北大学硕士学位论文 李晓燕【2 2 j 研究了p ( 扎) s l ( n ) 和p ( n ) s l ( n ) 的均值性质，并且分别给出了它 们较强的两个渐近公式，其c p p ( n ) 表示凡的最小素因子 上一节我们定义了另外一个新的函数s + ) 【2 3 】如下：s l ( 1 ) = 1 ，而且如 果扎= 硝1 p 呈2 霹r 是他的素数幂的分解，则 s l + ( 佗) = m m p 宇1 ，理2 ，霹，( 3 5 ) 其中p 1 p 2 l 及其任意的正整数是，我们有渐近公式 ( 尸( 死) - p ( n ) ) s l ( n ) 刘3 h 3 著k 蕊b i + 。( 熹) ， 其中( ( s ) 是m e m a n n 函数，6 l = 三，玩( i = 2 ，3 ，后) 是可计算的常数 5 3 2 2 定理的证明 这- 4 , 节，我们直接完成定理的证明对于任意的正整数凡 1 ，我们考虑 下面三种情况： a ：n = n l p ，n l p ，_ f i s l ( n ) = p ； b ：n = n 2 p ，r t 2 p ，且s l ( n ) = p ； 1 1 第三章蝴1 s m a r a n d a e h el c m 函数s l m ) 的猜想及其混合均值 c ：n = m 矿，口2 ，且s l ( n ) = p c , 那么，对于任意的正整数n 1 ，我们考虑和式： ( p ( n ) - p ( n ) ) s l ( n ) n z 很显然如果n a ，则从s l ( n ) 定义我们知道s l ( n ) = p 所以，运用a b e l 的求和 公式( 参考文献 6 】中雕j t h e o r e m4 2 ) 及其素数定理( 参考文献 2 4 】中的t h e o r e m 3 2 ) ： 巾，= 喜篝+ 。( 1 n k + 1 z 其中m ( i = l ，2 ，) 是可计算的常数且口1 = 1 而 运用文献 2 5 】中的方法，我们有 ( 尸( 扎) - p ) s l ( n ) n z n e a n z l l , = n l p ，1 19 s l ( n ) = p ( p ( 扎) 一v ( n ) ) s l ( n ) ( p ( n l p ) - p ( n l p ) ) p n 1 、i n l s p 音 加一p ( 佗- ) ) p n 1 、车n l 如s 音 p 2 一p ( n ，) p ， n 1 西n 1 p s 责n l s 、至n 1 9 ；专 护 n l 扣m 9 孟 陬丢) 一 ( ( 3 ) z 3 b i i n 。着 + 1 2 2 州枘+ 0 ( 刮1 3 ) n i n 抖1 着 l n k + lz ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 三q ， 厂m p d 七汹 护一嵋 -。l 一 一z 断嘶 n n z一小 七：l 西北大学硕士学位论文 其中 p p 2 p 以p n 2 ； 1 3 三q 。 ，吼 一z z 耐酬 = 善疃 一已 几n = 舞 第三章涉 及g u s m a r a n d a c h el c m 函数s l m ) 的猜想及其混合均值 考矿= 叫 p 止。p 2 。 嘉产= 叫 口 p - z r 口o z o 2口2 = z p 口= z 矿z 1 ( 3 1 1 ) 管 爱 那么，结合( 3 9 ) ，( 3 i 0 ) 和( 3 1 1 ) 我们立即得到如下的渐近公式： ( p ( n ) - p ( n ) ) s l ( n ) n s 7 2 州3 h 3 萎k 再b i + 。( 熹) ， 其中p ( n ) 和p ( n ) 分别表示礼的最大素因子和最小素因子，( ( s ) 是r i e m a n n ( 函 数，6 1 = 丢，b io = 2 ，3 ，) 是可计算的常数 这样我们就完成了定理3 2 的证明 1 4 西北大学硕士学位论文 第四章关于s m a r a n d a c h e 函数与欧拉函数的一个方程的 可解性 4 1引言 著名的f s m a r a a d a c h e 函数s ( 铭) 被定义为最小的正整数m 使得铭整除m ! ， 耳p s ( n ) = m i n m ：m n ，凡i m ! ) ，其中表示所有正整数的集合由s ( 凡) 的 定义，容易看出，若n = 硝1 p 呈2 砖是n 的素数幂分解式，则我们有 s ( 佗) = m a x s ) ) 、l 3 及m2l ， 则方程： m s ( m 14 - m 24 - + m k ) = s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m k ) 有无穷多个正整数解( m l ，m 2 ，m 奄) 马金萍教授【3 1 j 研究了方程( 礼) = s ( n ) 有且仅有4 个解，i p n = 1 ，8 ，9 ，1 2 易媛教授【3 2 1 获得了下面的三个结论： 1 方程( 扎) = s ( n 2 ) 有三个解，即亿= l ，2 4 ，5 0 2 方程( n ) = s ( n 3 ) 有三个解，e p n = 1 ，4 8 ，9 8 3 方程移( 凡) = s ( n 4 ) 有一个解，即n = 1 类似地，可知方程( 佗) = s ( 矿) 有有限个解，k 是任意给定的正整数 乐茂华教授俐解决了方程 s ( 喜n 七) = 咖c n ，k f = ! i l s c 后， 仅有一个正整数解 而对于正整数n ，欧拉函数( n ) 【3 4 】定义为不超过扎的所有与佗互素的正整 数的个数很显然( 凡) 是一个可乘函数算术函数，定义为可乘函数，如果，不 西北大学硕士学位论文 恒为零且满足 i ( m n ) = 厂( m ) ，( 礼) ，当( m ，礼) = 1 这一小节，我们运用基本的初等方法及其c 语言编程来研究方程 、即) 删2 ) + 删咖( 掣) ( 4 1 ) 的可解性并且给出它的所有正整数解即，我们证明如下： 定理4 1 ：方程 即( 2 ) + 州= ( 掣) 有且仅有两个正整数解n = 1 ，1 0 4 2 主要的引理 这部分，我们将给出在证明过程中必要的两个简单的引理首先我们有： 引理4 1 ：对于任意正整数n i 0 0 ，我们有不等式 塞即) 丽7 r 2 而n 2 1 = 1 。 让明：y l s ( n ) 的均值公式( 参考文献 3 5 】) 三跏，= 西7 1 2 赢x 2 + 。( 鑫) n z 、7 我们知道存在一个常数 0 使得 耋即，芝篙+ 志蔷篙丽7 r 2 熹 对于所有佗 n 都成立通过计算我们可以取= 1 0 0 这就完成了引理4 1 的 证明 引理4 2 ：对于欧拉函数砂( 仡) ，我们有估计 3 6 】 ( 掣) 掣。i ! 4o 礴1 第四章关于s m a r a n d a c h e 函数与欧拉函数的一个方程的可解性 证明：设佗= 硝1 谚2 p 是n 的标准分解式，那么总存在一些素 物1 ，i 0 2 ，p 。使 得p l p 2 p 。 n 从文献 6 】中我们有 础l n p = x + o ( 毒) ， p o 、 u 7 8 i n n i n p i 1 n 鼽p 。 2 l n n i = 1 p i 1 0 0 7 5 4 ，( x ) 0 从图1 5 ， 5 虹o s - 2 毒， 一地。 一，5x 蛐 一 7 ! 弋二：二二：岁一 图1 而如果n 1 0 0 7 5 4 ，则 娄哪志而n 2 掣。研1 1 0 0 7 5 4 时，( 4 2 ) 是成立的 现在我们考虑对于所有的n 【1 ，1 0 0 7 5 4 】( 4 1 ) 的解通过运用计算机编 程语言，我们可以得到方程( 4 1 ) 除了礼= 1 ，礼= 1 0 外没有别的正整数解定 理4 1 得证 1 9 第五章关于s m a r a n d a c h e - r i e m a n n 序列的性质 第五章关于s m a r a n d a c h e - r i e m a n n 序列的性质 5 1引言 对于任意的复数s ，设 是r i e m a n ne 函数【3 7 1 对于任意正整数礼，设乃是一个正实数使得 e ( 2 n ) = 百7 1 2 n ， ( 5 1 ) 其中7 r 是一个圆的周长与直径的比则序列t = 死) - 怒1 称为s m a r a n d a c h e - r i e m a r m ( 序列关于s m a r a n d a c h e - r i e m a n ne 序列的基本性质，一些学者已 经研究过了它，并且得到了一些有用的结果例如，在文献 3 8 】，m 叭h y 认为死 是一个整数序列同时，他提出了如下的猜想： 猜想：死中没有两项是互素的 在文献 3 9 1 ，乐茂华教授证明了一些有趣的结果。即，如果 o r d ( 2 ，( 2 礼) ! ) 2 n 一2 ， 其d ? o r d ( 2 ，( 2 扎) ! ) 表示2 在( 2 礼) ! 的阶，则死不是一个整数，最后他还证实 - j m u r t h y 的猜想 在文献【4 0 】中，李洁证明了对于任意的正整数t , 1 ，我们有等式 啡m ) f ) 瑚啦霎网= 2 n - a m ，2 ) ， 其中表示不超过z 的最大整数 所以如果2 扎一a ( 2 n ，2 ) 2 n 一2 ，或者a ( 2 n ，2 ) 3 ，则死不是一个整数 事实上，存在无穷多个正整数n 使得a ( 2 n ，2 ) 3 及死不是整数由此我们 知道m u r t h y 的猜想是不正确的，因为有无穷多个正整数n 使得瓦不是整数 这一节，我们运用初等的方法研究s m a r a n d a c h e - p d e m a n n ( 序列的另外一 个性质，并且给出一个结果即，我们将证明下面的结论： 一 七 脚 = 8 广、 西北大学硕士学位论文 定理5 1 ：如果r 是正整数列，则3 整除死，更一般地，如果t t = 2 k ，则5 整除晶； 如果t t = 3 k ，则7 整除死，其中七0 是一个整数 从这个定理我们可以很快地得到下面的结论： 推论5 1 ：对于任意的正整数m 及其礼( m 佗) ，如果和死是整数，则 ( 焉，死) 3 ，( t 2 m ，t 2 n ) 1 5 ，( 死m ，t 3 n ) 2 1 5 2 几个引理 这部分，我们将完成定理5 1 的证明首先我1 门需要f = 面两个简单的引理： 引理5 1 ：如果n 是一个正整数，则我们有 渤) = ( 一1 ) n + 1 酉( 2 7 r ) 2 n b 2 , , ， ( 5 2 ) 其中b 2 n 是b e r n o u l l i 数 证明：参考文献 6 】 引理5 2 ：对于任意的正整数佗，我们有 = 厶一刍， ( 5 3 ) p - - 1 1 2 n 其中厶是一个整数且和式是取遍所有素粉使得p 一1 整除2 n 证明；参考文献 3 9 】 引理5 3 ：对于任意的正整数凡，我们有 。 死= 丽( 2 n ) ! b n ：， ( 5 4 ) 其中和6 n 是互素的正整数且满足2 1 1 6 n ，3 1 5 n ，佗1 证明：事实上 e ( 2 n ) _ ( 一1 ) n 酉2 2 n - l ? r 2 n ，扎l ， ( 5 5 ) e ( 2 n ) _ ( 一1 ) 酉，扎l ， ( 5 5 ) 其中 j e 7 2 n = ( 一1 ) 州瓦a r t ，n 1 ( 5 6 ) 运用( 5 1 ) ，( 5 5 ) 及其( 5 6 ) ，我们得到( 5 4 ) 第五章关于s m a r a n d a c h e - r i e m a n n 序列的性质 5 3 定理的证明 现在我们运用引理来完成定理的证明 对于任意的正整数r ，从( 5 4 ) 我们可以直接得到如果r 是一个整数，则3 整 除死，因为( 口n ，b n ) = 1 从( 5 1 ) ，( 5 2 ) 及其( 5 3 ) 我j f w p a 得到下面的等式 令 e ( 2 佗) 7 1 2 n 死 = ( - i ) n + 1 ( 2 7 r ) h b 2 竹 2 ( 2 礼) ! 斗妒+ 1 黯( , - - e 陬 p = p i p 2 风， p - 1 1 2 n 其中鼽( 1 i 8 ) 是素数，i e i p l i 0 2 p 。 从上面的结果可以得知 死= ( 一1 ) 叶1 7 r 2 n 篇- 东n ；1 ( 一1 ) 时1 ( 2 n ) 1 2 2 卜p 磊n 石1 ) ( 一1 ) 1 ( 2 凡) ! np 2 2 卜p - n l l 2 n p p - n l l 2 n p - 暮札；1 ) ( - 1 ) n + 1 ( 2 扎) ! p i p 2 p s 2 2 舻1 。( 厶二阮 p s - p l 纯孙( 去+ 瓦1 + 去) ) ：； 生1 2 ：! ：! 塾2 l 丝丝：堕一邛彳) 一2 加( 厶p 1 耽p s p 2 p 3 p sp i p 3 阢- 一p i p 2 弛写) v 西北大学硕士学位论文 我们发现如果p d p a p 2 p s ，1 i s ，但是 p it ( 厶p i p 2 如一p 2 p 3 p s p i p 3 乳一一p i p 2 p s - 1 ) 所以我们很容易地得到如果死是整数，当扎= 2 k 时，5 可以整除死； 而n = 3 k 时，n 7 能整除死 这样我们就完成了定理5 1 的证明 2 3 附录 附录 下面给出在第四章第三小节中用到的程序，当死【l ，1 0 0 7 5 4 1 时： 榉i n c l u d e “s t d i o h ” 券i n c l u d e “m a t h 。h ” 舞d e f i n en1 0 0 7 5 4 i n ts ( i n tn ) i n tr e t = l ，n u m = n ； u n s i g n e dl o n gi n tn n = l ； f o r ( r e t = 1 ；r e t n ) r e t = n ； r e t u r nr e t ；) i n ts u m s ( i n tn ) i n tr e t = o ，i ； f o r ( i = 1 ；i b ) a = a b ； e l s e b = b a ；】- r e t u r na ；， i n te u l e r ( i n tn ) i n tr e t = l ，i ； 附录 f o r ( i = 2 ；i n ；i + + ) i f ( c o p r i m e ( i ，n ) = = 1 ) r e t + + ； r e t u r nr e t ； m 血( ) i n tk k ； f o r ( k k = l ；k k = n ；k k + + ) i f ( s u m s ( k k ) = = e u l e r ( ( k k , ( k k + 1 ) 2 ) ) ) p r i n t f ( “r u s u l ti s d n ”，1 d ( ) ； g e t c h ( ) ；) 参考文献 参考文献 s m a r a n d a c h ef 。c o l l e c t e dp a p e r s m b u c h a r e s t ：t e m p u sp u b l h s e ，1 9 9 8 2 】s m a r a n d a c h ef s e q u e n c e so fn u m b e r si n v o l v i n gi nu n s o l v e dp r o b l e m m u s a ：h e x i s ，2 0 0 6 3 】3 盖伊r k 数论中未解决的问题 m 】北京：科学技术出版社，2 0 0 3 【4 】o r e0 n u m b e rt h e o r ya n di t sh i s t o r y m i n c ，n e wy o r k ：d o v e rp u b l i - c a t i o n s ，1 9 8 8 【5 】d i c k s o nl 。e h i s t o r yo ft h e o r yo fn u m b e r s m 】n e wy o r k ：d o v e rp u b l i - c a t i o n s ，i ，i i ，i i i ，2 0 0 5 6 】a p o s t o lt m i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 f 7 】潘承洞，潘承彪解析数论基础【m 】北京：科学出版社，1 9 9 9 【8 】潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想【m 】北京：科学出版社，1 9 8 1 9 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l h o u s e ，1 9 9 3 【l o 】华罗庚数论导引 m 】北京：科学出版社，1 9 7 9 1 1 】冯克勤代数数论m 】北京：科学出版社，2 0 0 0 1 2 】朱尧辰，徐广善超越数引论 m 】北京：科学出版社，2 0 0 3 【1 3 】b a l a c e n o i ui ，s e l e a c uv h i s t o r yo ft h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s m a r a n - d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，1 9 9 9 ，v 1 0 ：1 9 2 2 0 1 1 4 】m u r t h ya s o m en o t i o n so i ll e a s tc o m m o nm u l t i p l e s j s m a r a n d a c h e n o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 1 ，v 1 2 ：3 0 3 0 9 西北大学硕士学位论文 1 5 】l em a o h u a a ne q u a t i o nc o n c e r n i n gt h es m a r a n d a c h el c mf u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，v 1 4 ：1 8 6 - 1 8 8 1 6 】l vz h o n g t i a n o nt h ef s m a r a n d a c h el c mf u n c t i o na n di t sm e