（基础数学专业论文）非负符号模式矩阵的蕴涵幂等性.pdf

摘要 元素取自集合 + ，一，o ) 的一个矩阵称为符号模式矩阵，对于n 阶符号模 式矩阵a = ( a l j ) ，确定一个定性矩阵类q ( a ) = b = ( b 玎) m , 。( r ) l s i g n ( b l j ) = 吼j ，对于所有的i 和j ) 给定一个n 阶符号模式矩阵a ，如果对于任何 b q ( a ) 有b 。q ( a ) ，则称a 强迫幂等( 或符号幂等) 如果存在一个实矩 阵b 0 ( a ) ，使得b 2 q ( 4 ) ，则称a 是蕴含幂等，在本文中，我们刻划了 非负符号模式矩阵的强迫( 蕴含) 幂等性 关键词：符号模式；非负符号模式；幂等性 中图分类号：0 1 5 7 5 a b s t r a c t a n 竹礼s i g np a t t e r na = ( a l j ) h a so 订 + ，一，o ) a n dt h eq u a l i t a t i v ec l a s so f ai sq ( a ) = 口= ( 6 “) 鸠( j r ) ：s i g n ( ) = 吼f o ra l lia n dj ) f o ra l ln n s i g np a t t e r na ，i f 铲q ( a ) w h e n e v e rb q ( a ) ，t h e nai ss a i dt or e q u i r et h e i n d e m p o t e n c e ( o r ，t ob es i g ni n d e m p o t e n c e ) ；i ft h e r ee x i s t sar e a lm a t r i xb q ( a ) s u c ht h a tb 2 q ( a ) ，t h e nai ss a i d t oa l l o wt h ei n d e m p o t e n c e i nt h i sp a p e r ，w e c h a r a c t e r i z et h en o n n e g a t i v ep a t t e r n st h a tr e q u i r e a u o wt h ei d e m p o t e n c e k e y w o r d s ：s i g np a t t e r n ；n o n n e g a t i v ep a t t e r n ；i d e m p o t e n e e c l cn u m b e r ：0 1 5 75 引言 引言 符号模式矩阵的定性理论主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类 的组合结构，其内容涉及线性动力系统的符号可解性、符号稳定性，以及具有特定性 质的符号模式矩阵类的组合性质它起源于经济学问题，是诺贝尔经济学奖获得者 s a m u e l s o n 在他的著作 中提出的由于它 与经济学、生物学、计算机科学等学科有密切的联系，很快就成为组合数学中甚为活 跃的研究领域之一b r u a l d i 和s h a d e r 的专著 系统总结了到1 9 9 5 年为止所取得的重要研究成果，将符号模式矩阵的研 究推向了一个新的层面 定性矩阵理论是研究矩阵的仅与其符号模式有关，而与诸元素的数量大小无关的 性质，即研究定性矩阵类中那些矩阵所共有的性质，这些 生质称为实矩阵的符号组合 性质实矩阵符号组合性质( 或符号矩阵) 的研究在经济学、生态学、化学等领域的一 些定性理论问题的研究中有重要的应用背景，所以吸引了众多经济学家、数学家及计 算机科学家的关注 关于符号模式矩阵，当今国际上普遍关注的几个热点问题是；l 符号模式矩阵 的蕴含稳定性和嵌套蕴含稳定性；2 符号模式矩阵的惯量；3 线性方程组的符号可 解性；4 ，特殊符号模式矩阵类的组合刻划；5 符号模式矩阵的乘幂问题 目前，研究符号模式矩阵的乘幂问题是符号模式矩阵研究中的一个重要课题，而 且也取得了一些成果本文解决了非负符号模式矩阵的幂等性的刻划但对于可约非 负符号模式矩阵的幂等性还有待于进一步研究 非角符号模式矩阵的蕴合幂等性 预备知识 方便起见，本节给出本文所需要的有关概念与结果 定义1 。1 元素取自集合 + ，一，0 ) 的一个m n 矩阵称为符号模式矩阵 定义1 2 全体凡阶符号模式的集合记为，对于每一个符号模式矩阵a = ( ) ，确定一个实矩阵类q ( a ) = b = ( ) 一日是一个n n 的实矩阵，且 s i g n ( ) = a l j ，对于所有的i 和j ( i ，j = 1 ，2 ，n ) ) 称为a 的定性矩阵类 定义1 3 设a 瓴，k 是任一正整数如果a 中不包含任何未定元( 所谓未定 元，指( + ) + ( 一) 或( 一) + ( 十) 等，通常记为铲) ，则称小有定义，记为a q 。 定义1 4 若符号模式矩阵a 的所有元素全正( 或全负，或全零) ，则记a 0 ( 或 a o 证明充分性是显然的，下面仅证明其必要性： 设a ，若a 中有零元素，由定理2 2 ，不妨设。1 2 = 。1 3 = = 0 1 ，= 0 ，而 当r + 1 时，a l k 0 因a 2 = a ，故( a 2 ) 1 2 = ( a 2 ) 1 3 = = ( a 2 ) h = 0 ，从而对 任意r 十1 isn ，且2 j r ，都有= 0 取n 阶置换矩阵 则 p = o 1 o 1 p a p t = ( 三三) 主要结果及其证明 5 其中b ，d 分别是r l 阶，n r + 1 阶非负符号模式因此，a 是可约的，与 冠设矛盾故a 0 ，必要性得证 设ae 骗是一个可约的符号模式矩阵，它的f r o b e n i u s 形式为 a na 1 2 0 1 2 2 o a l a 2 k 其中k 2 ，a f ! j ( i ，j = 1 ，2 ，i j ) 为不可约方阵( 规定一阶矩阵为不可约的) 显然，如果a n i ，则a l l n 1 ，i = 1 ，2 ， 以下我们可以假设每一个非零不可约对角块a “ 0 ，零对角阵的阶数为1 定理2 4 设a ，是一个n 阶可约非负符号模式矩阵有形如( 1 ) 式，则对任 意i 0 或 玎= 0 证明用反证法设存在r 0 ，a 。 0 ，且a 为非负符号模式，此时显然可知a ，的第j 行元素全 为零，第j 列元素也全为零进而由此可推出| 4 ，。的元素全为零，即a ，。= 0 ，矛盾 定理2 5 设a = ( o 玎) 是一个n 阶可约非负符号模式矩阵，有下列形式： a l la 1 2 0 a 2 2 a l 口2 n 00n m 则a j 的充分必要条件足对任意i 0 或a i j = 0 ，且满足下列 6 1 11 堑兰篓皇丝些竺堡垒堡量兰 ( 1 ) 若存在i s t n ，使得对任意s i t ，有a “= 0 ，则对任意 s i j t 有a l j = 0 ； ( 2 ) 若存在1 s t n ，使o “= o ，则对任意8 p t ，有o 。a p t = 0 证明充分性是显然的，下面证明必要性由定理2 4 ，此时只需证明条件( 1 ) ， ( 2 ) 成立 ( 1 ) 因对任意l n ，有( a 2 ) k ，r + 1 = a k k n k ，k + 1 + a k , k + l a b + l - k + l ，故由已知 条件知对任意s i ，有( - 4 2 ) i 时1 = 0 ，又a 2 = a ，所以对任意s i ，有 吼计1 = 0 类似地可证明对任意s i j t ，有啦，= 0 ( 2 ) 因a 2 = a ，故由a s t = o 知( a 2 ) “= 0 ，由矩阵乘法定义不难看出对任意 s p t ，必有( z s p a m = 0 综合上述两定理，并类似于定理2 5 ，我们不难证明以下定理成立，证明过程从 略 定理2 6 设a 固k 是形如( 1 ) 式的可约非负符号模式矩阵，则a ，的 充分必要条件是对任意的i 0 或a “= 0 ，且满足下列条件： ( 1 ) 若存在l 曼s t n ，使得对任意8 墨i t ，有a “= 0 ，则对任意的 s i j t ，有a i 2 = 0 ( 2 ) 若存在1 s t t l ，使a 。= 0 ，则对任意s p t ，有凡，a m = 0 至此，我们给出了一个非负符号模式矩阵强迫( 蕴含) 幂等性的完全刻划 结论 三结论 本文主要研究了非负符号模式矩阵的幂等性，给出了非负符号模式矩阵4 强迫 幂等以及蕴含幂等的刻划 7 8 一一 ! ! ! 堑兰堡查丝堕竺垫垒量量堡 四参考文献 1 1 】r a b r u a l d ia n db 1 s h a d e r ，m a t r i c e so fs i g n s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s m ，c a n h b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 5 2 】c a e s c h e n b a c h ，i d e m p o t e n e ef o rs i g n - p a t t e r nm a t r i c e s 【j ll i n e a ra l g e b r aa p p l ， 1 8 0 ( 1 9 9 3 ) ，1 5 3 1 6 5 3 j i o n g s h e n gl ia n dy u b i ng a o jt h es t r u c t u r eo ft r i p o t e n ts i g np a r t e r nm a t r i c e s j 1 ， a p p l i e dm a t h j c h i n e s eu n i v s e rb ，1 ( 2 0 0 1 ) ，1 - 7 阿z l i f ，h a i la n dcae s c h e n b a c h ，o nt h ep e r i o da n db a s eo fas i g np a t t e r n m a t r i xi j 】，l i n e a ra l g e b r aa p p l 2 1 2 2 1 3 ( 1 9 9 4 ) ，1 1 0 1 1 2 0 5 c a e s c h e n b a c ha n dc r j o h n s o n ，ac o m b i n a t o r i a lc o n v e r s et 。t h ep e r r o n f r o b e n i u st h e o r e mi j l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 3 6 ( 1 9 9 0 ) 1 7 3 1 8 0 1 6 ) r a h o r na n dcrj o h n s o n ，m a t r i x a n a l y s i sf m j ，c a m b r i d g eu n i v e r c j t yp r e s s ， c a m b r i d g e ，1 9 8 5 发表文章目录 五发表文章目录 研究生期间，本人曾在中北大学学报发表一篇学术论文： 赵修坤非负符号模式矩阵的蕴含幂等性中北大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 ( 3 ) 3 5 3 9 9 1 0 非负符号模式矩阵的蕴含幂等性 六致谢 论文是在郝成功副教授和靳平副教授的精心指导下完成的，三年来，他们不仅在 学习上给予我悉心指导，而且在生活中也给了我很大帮助，从他们身上我不仅学到了 踏实工作，严谨治学，诚恳待人的优秀品质，而且也懂得了许多做人的道理借此向 郝老师，靳老师表示衷心的感谢 感谢山西大学数学科学院的所有领导和老师在山西大学学习、生活期间，我结 识了众多学友他们那种刻苦钻研精神，令我深感敬佩因为人数众多，兹不一一列 举他们的姓名，在此祝他们学业有成谨以此文献给所有关心我的人们 最后谨借此机会，诚挚地感谢培育我三年的山西大学数学科学学院，是她给予我 学习知识，获得深造的机会，祝愿她桃李满天下 个人简况 姓名 性别 籍贯 个人简历 个人简介及联系方式 赵修坤 男 山东高蜜市 1 9 8 3 年9 月一1 9 8 7 年7 月山西大学数学系( 本科) 1 9 8 7 年7 月一2 0 0 6 年7 月中北大学工作 2 0