（基础数学专业论文）三维minkowski空间中非类光曲线的从切可展曲面的奇点分类.pdf

摘要 本文给出了三维m i n k o w s k i 空间中非类光曲线的从切可展曲面的奇点分类所用的 工具为曲线的法向距离函数我们还建立了此函数诱导的奇点和曲线的几何不变量之 间的联系，其中曲线几何不变量与曲线同螺线切触的阶数密切相关 关键词：法方向距离函数；非类光曲线；从切可展曲面；奇点；达布向量； 修正达布向量 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i 她t h es i n g u l a r i t i e so fr e e t i f y i n gd e v e l o p a b l ei nm i n k o w s “3 一 s p a c e t h e nm a i nt 0 0 1w eu s ei s n o r m a ld i s t a n c ef u n c t i o n so fac u r v ew ea l s oe s t a b l i s h t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h es i n g u l a r i t i e st h a ti n d u c ef t o mt h en o r m a ld i s t a n c ef h n c t i o n a n dg e o m e t r i ci n v a r i a n t so ft h ec u r v e ，w h i c hr e l a t e dw i t ht h eo r d e ro fc o n t a c tb e t w e e n t h ec u r y ea n dt h eh e l i x k e y 、o r d s ：n o r m a ld i s t a n c ef u n c t i o n ；n o n l i 曲t l i k es p a c ec u r v e ； r e c t i f y i n gd e v e l o p a b l e ；s i n g u l a r i t i e s ；d o u b o u xv e c t o r ；m o d i 丘e dd o u b o u x v e c t o r i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：鸶篮 f l 期刎f 。r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：址 指导教师签名： 丝垄二翌 日 期：塑：芏：沙日期：型：丝 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：亟丝! 垄送型： 通讯地址： 电话 邮编 引言 奇点理论是处在分析、微分拓扑、交换代数与李群及微分方程等数学学科交汇处的 新兴的数学分支，又在诸多领域中有广泛的应用自从2 0 世纪5 0 年代奇点理论诞生以 来，经过几代数学家几十年的不懈努力，已经使得奇点理论得到了蓬勃发展文献【8 】f 9 1 是系统介绍奇点理论主要理论的经典著作最近几年，又有许多学者在不同的领域作出 了杰出的工作，例如，裴东河，孙伟志等关于奇点理论在物理光学及液晶显示方面的应 用研究，见 2 2 2 3 ；i z u m i y a ，裴东河，s a n o ，1 址e u c h i 等利用奇点理论的方法对微分几 何中特殊的曲线和曲面进行的一系列研究，见f l o 】 1 1 】【1 2 ，【1 4 】- 2 1 文章【10 1 1 1 2 】是 针对欧氏空间中的瞳线以及曲面进行的有关奇点分类及其几何不变量的研究文献 1 3 是介绍李球几何的著作，该书介绍了由不定纯景积作为度薰的非欧氏空间中的理论， m i n k o w s k i 空间中所应用的度量就是负指标为1 的不定纯量积在欧氏空间中不存在模 长等于零的非零向量，但在m i n k o w s k i 空间中却存在这种向量，这类向量的集合构成一 个光锥，因为这个集合比较特殊，所以对它的研究会得到一些好的结果，i z u m i y a ，裴东 河在文章【1 4 1 15 1 6 研究了三维m i n k o w s k i 空间中光锥高斯映射，光锥可展曲面的奇点 分类，四维m i n k o w s k i 空间中类光超曲面的奇点分类以及半五维欧氏空间中三维洛仑兹 流形的光锥高斯映射；文章【l 讣 2 1 中主要研究的是双曲空间中的曲线，曲面以及双曲 高斯映射 w b r u c e ，s i z u m i y a 等在文 1 - 4 中利用高度函数和距离平方函数等作为工 具研究了欧氏空间中曲线的切可展曲面、从切可展曲面和焦可展瞌面的奇点分类在文 章 5 7 】中，又对三维m i n k o w s k i 空间中非类光曲线的焦可展曲面和副法线标型的奇点 分类进行了研究但就我所查阅的文献，还没有关于m i n k o w s k i 空间中从切可展曲面的 奇点分类，而对这类曲面的研究是很有必要的，因为一曲线恰是其从切可展曲面的测地 线本文所用到的主要工具是法向距离函数，并且建立了此函数诱导的奇点和曲线的几 何不变量r 一之间的联系，其中曲线几何不变量与曲线同螺线切触的阶数密切相关 1 三维m i n k o w s k i 空间中基本概念和主要结果 w b r u c e ，s i z u m i y a 等在文【1 4 】中利用高度函数和距离平方函数等作为工具研究了 欧氏空间中曲线的切可展曲面，从切可展曲面和焦可展曲面的奇点分类在文章【5 7 】 中，又对三维m i n k o w s k i 空间中非类光曲线的焦可展曲面和副法线标型的奇点分类进行 了研究本文将讨论三维m i n k 。w s k i 空间中非类光曲线的从切可展曲面的奇点分类，并 且研究曲面的奇点和曲线的几何不变量r 一之间的联系，其中一和r 分别是曲线的曲 率和挠率 下面我们简单介绍本文所需的基本概念，并给出本文的主要结果 设r 3 = ( z l ，。2 ，。3 ) i z l ，z 2 ，黜r 是三维向量空间，x = ( z l ，。2 ，z 3 ) ，y = ( l ，驰，们) 是r 3 中的两个向量，x 和y 的伪内积定义为x ，y ) = 一z l l + z 2 9 2 + z 3 3 ( r 3 ，( ，) ) 叫 做兰维伪欧式空间或三维m i n k o w 8 k i 空间我们将( r 3 ，( ，) ) 简记为r r 中任意两个 向量x 和y 的伪向量积定义为：x y = ( z 3 9 2 一z 2 9 3 ，茹3 ”l 一。l 蜘，z l 一0 2 1 ) ，并且对 非零向量x r 3 ，若( x ，x ) o ，( 毪x ) = o 或( k x ) o ，( ( t ) ，( t ) ) = o ，( ( f ) ，( t ) ) o ，曲线7 分别叫做类空 曲线，类光曲线或类时曲线若，y 是类空曲线或类时曲线，则称1 为非类光曲线非类光 曲线以7 ( 幻) ，如，为起点的弧长s ( t ) = 正l l ( f ) l i 出，且i i ，y 如) 1 1 = 1 ，其中r ( s ) = 鲁( s ) 所以当f fr ( s ) f f = l 时，我f f l j 说非类光蓝线的参数s 为弧长参数我们记t ( s ) = 7 怡) ，称 之为7 在点s 处的切向量我们将曲线7 在点s 处的醢率记为 ( s ) = v 1 百可瓦7 币丽 若r ( s ) o ，则曲线1 在点s 处的主法向量n ( s ) 由7 “( s ) = ( s ) - n ( s ) 给出我们记 e = s i 9 n ( t ( s ) ) ，6 ( 1 ) = s i g n ( n ( s ) ) 6 ( 5 ) = t ( s ) ，t ( s ) 叫做瞌线7 在s 处的副法向量， 且s f 9 竹( 6 ( s ) ) = 一e ( 7 ) 6 ( 7 ) 则有以下的f r e n e 一s e r r e 型公式成立； f 如) = ( s ) ，l ( s ) ( 8 ) = 一e ( 7 ) d ( 7 ) 女( s ) - t ( 3 ) + ( 7 ) r ( s ) b ( s ) l ( s ) = r ( s ) 礼( s ) 其中r ( s ) 是曲线7 在点s 处的挠率这是研究r 中非类光曲线的基本公式 下面我们给出三维m i n k o w e k i 空间中一些常用的计算公式 。舳h 卟，b ，。，：旧乏： ic 1c 2c 3 c a b ，t c a d ，= l ：l ( a b ) ( c d ) = ( a ，b ，d ) d 一( a ，b ，c ) c t b = e ( 7 ) n ，n b = 一占( 一r ) t 通过直接计算我们可知在一般参数下曲率和挠率的计算公式分别是 坤，= 帮，小卜晰，喘舞铲 对任意的单位速度曲线7 ：，r ，我们把 d ( s ) = r ( 旬( s ) 一托( s ) 6 ( s ) 和 d = 二( s ) t ( s ) 一6 ( s ) k 分别称为曲线7 ( s ) 的达布向量和修正达布向量并且将曲面 如下 r _ d ，( s ，u ) = ，y ( s ) + u d ( s ) = 7 ( s ) 十“( ( r k ) t 一6 ) ( s ) 称为盐线，y ( s ) 的从切可展曲面 本文的目的是要给出从切可展曲面r d ，( s “) 在通有条件下的奇点分类，主要结果 定理l1 设伽( s 1 ，r 2 ) 为r o ，一o 的非类光曲线7 ：s 1 r 的集合，在 ，m ( s 1 ，r 3 ) 中考虑w h l n e ye 。拓扑则满足性质( 1 ) 和( 2 ) 的全体曲线构成的集合是 ，m ( s 1 ，r ) 中的剩余集合 ( 1 ) 满足( 下一) ”( s ) = o 的点s s 1 的个数是有限的 ( 2 ) 不存在满足( r k ) ”( s ) = ( r 一) ”协) = o 的点s s 1 3 定理1 2 设7 ：，r 2 为非类光单位速度曲线，则我们有以下结论成立 ( a ) 曲线，y 的从切可展曲面r 在点，y ( s o ) + t o ( ( r 一) ( s o ) t ( s o ) 一6 ( 知) ) 处局部上微 分同胚于尖点型曲面g r 当且仅当p 一) ( 8 0 ) o ，( r 一) ”( 印) o 且u 。= 一赢 ( b ) 曲线7 的从切可展曲面r 巩在点7 ( 8 0 ) + u o ( ( r 一) ( s o ) t ( s o ) 一b ( s o ) ) 处局部上微 分同胚于s w 当且仅当( f k ) ( 即) o ，( r 一) ”( 5 0 ) = o ，( r k ) ”( s o ) o 且t l o = 一研勘而 这里s w = ( 观，z 2 ，z 3 ) z 1 = 3 u 4 + 舻u ，。2 = 4 u 3 + 2 u u ，z 3 = ) 是燕尾 e = ( 钆z 2 ) 旧= z i ) 是通常的尖点 4 2 非类光曲线的法方向的距离函数族 在这节中我们要引入法方向的距离函数族，它对于研究r d ( ，】的奇点分类是非常 有效的，设7 ：j + r 是单位速度曲线且满足一o ，r o ，现在我们在开区间j 上 定义一族具有三个参数的光滑函数： g ：，xr 呻兄， g 0 ，f ) = 扣一7 ( s ) ，n 0 ) ) ， 并称g 为曲线7 的法方向距离函数对任意给定的。聊，记跏( s ) = g ( s ，”) 关于线法方向的距离函数族，通过直接计算可获得下面结论 命题2 1 设7 ：j r i 为单位速度曲线，一o 且r o ，则 ( 1 ) 如( s ) = o 当且仅当。一1 ( s ) = ( s ) + 加( s ) ，其中 ，弘为任意实数 ( 2 ) 乳( 8 ) = 9 ：( s ) = o 当且仅当”一7 ( s ) = u ( i ( s ) t ( s ) 一6 ( s ) ) ，其中“为任意实数 ( 3 ) 9 ”( s ) = g ：( s ) = 9 ：( s ) = o 当且仅当u 一7 ( s ) = 赢( 吾( s ) ( s ) 一b ( s ) ) 且 ( 4 ) 舶( s ) = “( s ) = 鲥( s ) = 目：如) = o 当且仅当 ”一，y ( s ) = 研吾b ( ( s ) t ( s ) 一b ( s ) ) ，且( r 一) 吣) o ，( r 一) ”【s ) = o ( 5 ) 舶( s ) = g ：( s ) = g ? ( s ) = 9 烈s ) = 9 扩( s ) ：o 当且仅当 ”一了( s ) = 研i 南 i ( s ) ( s 卜6 ( s ) ) 且( r s ) ，( s ) o ，( r s ) ( s ) - o ，( r s ) ，( s ) = o 证明： ( a ) 结论显然成立因为计算过于繁琐，以下我们就直接给出计算结果 ( b ) 当9 。( s ) = o ，9 。( s ) = 一a d ( 7 ) 一( s ) 一d ( 7 ) r ( s ) 贝0g ：( s ) = o 当且仅当 a = 一；( s ) 肛，所以 一7 ( s ) = u ( ( s ) ( s ) 一b ( s ) ) ，其中“为任意实数 ( c ) 当9 。( s ) = 9 ：( s ) = o ，9 7 ( s ) = 6 ( 1 ) k ( s ) 一u d ( 7 ) ( r k 一) ( s ) 十u 6 ( ，y ) r ( s ) ，贝09 ：( s ) = o 当且仅当u = ( 一2 ( r 一一r 一) ) ( s ) = 一l ( r 一) ( s ) ，( r 一) ( s ) o ( d ) 当乳( s ) = 玑( s ) = 鳄( s ) = o ， 鲥( s ) = 2 d ( 7 ) k ( s ) + 再7 ! 再( s ) ( 一d ( ，y ) 7 ( s ) k ”( s ) + d ( 7 ) r ”( 8 ) k ( s ) ) ， 则9 ”7 ( s ) = o 当且仅当( r 一) “( s ) = i 卉五( 2 一( r 一一r 一) 一一一”r + 一2 r ”) ( s ) = o 5 ( e ) 当蜘( s ) = 乩( s ) = 簖( s ) = 9 ( s ) = 0 时， ( s ) = d ( 丁) i ：f 1 7 i ( 3 k ”( r k k r ) 一k ( k r 一f k ”) ) 0 ) ，若 如( s ) _ 蜘= 鲥( s ) = 9 ：，( s ) = 9 ( s ) = o ，则”一，y ( s ) _ 萄匆( s ) ( ；( s ) t ( s ) 一6 ( 5 ) ) ( r k ) ( s ) 0 ，( r k ) ”( s ) = o ，且p ( 2 忾( 丁k r k ) 一k k ”r + k 2 r ”) ( 8 ) = o 且 3 ( s ) ( 一一一一) ( s ) 一一( s ) ( 一r ”一r 一”s ) = o 由这些条件，我们可以得出 ( 丁k ) ”( s ) = 一( 3 厅k 4 ) ( 一2 托7 ( 7 - k 一下k ) 一一仡”t 十片2 r ”) ( s ) = o 6 3 单变量函数的开折 本节我们将应用函数芽奇点理论的某些结果设f ：( r r 7 ，( s o ，。o ) ) r 是一 函数芽，我们称f 为，的r 参数开折，其中，( s ) = b 。( s ，z o ) 若对所有1 p k ， ，( p ) ( s 。) = o ，且，( 蚪1 ) ( s o ) o ，我们称，( s ) 在点s o 处有a 类奇点若对所有1s ps ， 都有，佃) ( s o ) = o ，则称，具有如 类奇点设f 为，的r 参数开折且，( s ) 在点s o 处 有a ( 1 ) 类奇点我们记点s o 处的偏导数器的( 1 ) 截断为 j ( 1 ( 差( s ，z o ) ) ( s o ) = 。y 哟：，i = 1 r 若b r 阶系数矩阵( a 0 。：) 的秩为( r ) ， j = 1 其中n o 。= 籍( z o ) ，则f 叫做，的通有开折现在我们介绍一些与开折有关的重要集 合 f 的奇点集合为： s f = ( s ，z ) r r 7 l 警( s ，z ) = o ) f 的分歧集为： b f = z r l 蔷( s ，z ) = 甓( 8 ，z ) = o ) f 的判别式集集为： d f = 。r 7 i f ( s ，。) = 筹( s ，z ) = o ) 则我们有以下著名的定理( 参考文1 1 】r 5 0 ) 定理3 1 设f ：( r r 7 ，( s o ，z o ) ) j r 是，( s ) 的r 参数开折，且，( s ) 在s 。有山 类奇点 ( 1 ) 假设f 是，的( ? ，) 通有开折 ( a ) 若= 2 ，则( 加，z o ) 是” s f - 的折叠点，且b f 局部微分同胚于 0 r 1 ( b ) 若k = 3 ，则b f 局部微分同胚于c r 一2 ( c ) 若= 4 ，则b f 局部微分同胚于s r r 一3 ( 2 ) 假设f 是，的通有开折 ( a ) 若= 1 ，则d f 局部微分同胚于 o ) ( b ) 若= 2 ，则d f 局部微分同胚于g r 一2 ( c ) 若k = 3 ，则d f 局部微分同胚于s r r - 3 对于法方向的距离函数g ，我们有以下命题 7 命题3 2 乳。( s ) 在点即处有a k = l ，2 ，3 ) 类奇点，则g 是( 5 ) 的通有开折 证明g ( s ， ) = 扣一1 ( s ) ，礼( s ) ) = 一( l 一2 1 ( 8 ) ) n l ( s ) + ( 2 一。2 ( 8 ) ) n 2 ( s ) + ( 3 一。3 ( 8 ) ) n 3 ( s ) 6 l g a l = 一n 1 ( s ) ，a g a 2 = n 2 ( s ) ，d g a u 3 = n 3 ( s ) ，j 2 【鬻( s ，。o ) ) ( s o ) = 一n i ( s o ) s 一；n y ( s o ) s 2 j 2 ( 筹( s m ) ) ( s o ) = n ：( 即) s + n ? ( 印) s 2 ( i - 2 ，3 ) ( i ) 当g ( s ) 在s o 有a l 类奇点，我们要证明l 3 矩阵 的秩为1 因为n ( s 。) 0 ，所以结论是显然的 ( i i ) g ( 3 ) 在s 0 有a 2 类奇点当且仅当 一7 ( s o ) = 哥知( s o ) ( ：( 即) ( s o ) 一6 ( s o ) ) ，( r k ) ( s 0 ) = ( 1 k 2 ) ( r 7 k k r ) ( s o ) o ，即( r 一k ) ( 8 0 ) o 当9 ( s ) 有a 2 类奇点，我们需证2 2 矩 阵 ，、 一竹1 ( s o ) n 2 ( s o ) 竹3 ( s o ) 一n i ( s o )礼；( s o ) 3 ( s o ) 7 的秩为2 ，该结论可由下边的结论得出 ( i i i ) g ( s ) 在s o 有4 3 类奇点当且仅当”一7 ( s 。) = 两知( s o ) ( ；( s o ) ( s o ) 一6 ( s o ) ) ，( r k ) ( s o ) ( 1 k 2 ) ( t k 一一t ) ( s o ) o ，( f k ) “( s o ) = o ，( t k ) ”，( s o ) o ，当g ( s ) 在s o 有a 3 类奇点，我们 需证3 3 矩阵 一n l ( s o )n 2 ( s o )礼3 ( s o ) n j ( s o )n ! ( s o )礼3 ( s 。) 一 n z ( s o )；n ：( s 0 ) n g ( s o ) 是非奇异的以上矩阵的行列式值为 一 ( n ( s o ) ，n ( s o ) ，n ”( s o ) ) = 一 ( n ( s d ) t 。( s o ) ，( s o ) ) = 一掣( t 一一r ) ( s o ) o 即3 3 矩阵的秩为3 因此我们证明了命题 有了以上的准备工作，我们很容易给出定理2 2 的证明： 由命题2 1 ，可知法向距离函数g ( s ，”) = 扣一1 ( s ) ，n ( s ) ) 的判别式集合为 d g = ”= 7 ( s ) 十u ( ；( s ) ( s ) 一6 ( s ) ) ，它恰是曲线7 ( s ) 的从切可展曲面r d 7 ( s ，u ) ，由命 题3 2 ，可知g ( s ， ) 为g 。( s ) = 9 。( s ) 的通有开折，对g ( s ， ) 应用命题2 1 与定理3 1 即可完成对定理1 ，2 的证明 8 4 螺线和从切可展曲面 这节里，我们主要研究从切可展曲面的几何性质由上节的命题，我们知道函数 ( r 一) ( s ) 和修正达布向量西( s ) = ( r 一) ( s ) t ( s ) “( s ) 是重要的研究对象在( t 一) 7 ( s ) = o 这个条件下，曲线7 ( s ) 是r 3 中的螺线对于单位速度曲线1 ：j r 3 ，单位切曲线 t ：，- + 铲叫做7 的球面象我们可以很容易计算出7 的球面切象的测地曲率为函数 一6 ( ，y ) ( 丁k ) ( s ) 我们称其为1 的圆锥曲率 设饿：j + r 0 = 1 ，2 ) 为正则曲线如果7 ( s o ) = 谬( t o ) ， ( o p 曼) ，7 + 1 ( 如) 啦”u ( t o ) 我们说7 l ( s o ) 和他( t o ) 有+ 1 ) 点切触由曲率和挠 率的定义，我们有以下简单命题： 命题4 1 若7 l ( s o ) 和7 2 ( t o ) 有+ l 点切触，则( r 一) ( p 1 ( s o ) = ( r 一) 驴( t o ) ( o p 女一3 ) 且( r s ) i 一2 ( s o ) ( r 一) 垆一2 ( 。) 我们还可以得出以下命题 命题4 ，2 设，y ：，_ r 为非类光正则曲线，且r ( s o ) o ，k ( s o ) o ，则存在开区间 s o ，c ，上唯一的螺线口：，- r 使得9 ( s o ) = 7 ( s o ) ，9 的陆率为k ( s ) ，9 在s o 的挠率 为r ( 5 0 ) 且7 和9 在s o 有至少4 点切触 只要在初使条件9 ( s o ) = ，y ( s o ) ，9 如o ) = 7 如o ) ，矿( 8 0 ) = ，( s o ) ，9 ( s o ) = 1 ”( s o ) 下，解 出方程一9 ( s ) = 一( 8 ) ，勺( s ) = ( r 一) ( s o ) 一( s ) 就可以证明命题这里我们就不给出具体的证 明了命题中的螺线g 叫做7 在s o 的密切螺线所以从切可展曲面的奇点描述了曲线 和螺线的差别程度 关于非类光曲线的从切可展曲面有如下重要的性质 命题4 3 设s 为直纹面，y ( s ) 是s 上曲率处处不为零的非类光正则曲线，则以下 条件是相互等价的 ( 1 ) s 是1 ( s ) 的从切可展曲面 ( 2 ) 7 ( s ) 是可展曲面s 的测地线并且与母线横截 证明：因为s 是可展曲面，则沿通过p 的直母线的占的切平面是同一个因为，y ( s ) 是s 的测地线且与母线横截，所以，y ( s ) 在p = 7 ( s o ) 处的主法线与s 在p s 的法线重 合，即s 在p = ，y ( s 。) 处的切平面与7 ( s ) 在p = ，y ( s o ) 处的从切平面重合由于沿着通 过p 的直母线的s 的切平面是固定的，所以s 是1 ( s ) 的从切平面的包络证明完毕 9 5 非类光曲线的通有性质 本节中，我们考虑了三维m i n k 鲫s k i 空间中非类光曲线的m o n 驴哪1 0 r 映射设 1 ：f _ r 为正则曲线，j 是三维m i k o w 8 k i 空间中单位圆s 1 的连通开子集现在 我们选择一族光滑单位向量。 ，n ( t ) ，它是1 在t 处的法线，0n ( t ) | l = l ，且对任意 t ，( n ( t ) ，t ( t ) ) = o 我们也可以获得另一族光滑单位向量6 ( t ) = t ( t ) n ( t ) 我们用由 t ( t ) ，n ( t ) ，6 ( t ) 张成的正交直线作为曲线在点7 ( t ) 处的坐标轴，依赖于曲线的移动坐标轴 上的单位点分别对应以上三个单位向量注意此处不要求，y 一定是单位速度曲线，其 中，y ( t o ) = o 7 ( j ) 局部上可以记为 ( f ，t ( f ) ，仇( ) ) ) ，且j 1 ( o ) = j 1 吼( o ) = o 设k 代表 关于f 的次数大于等于2 小于等于女的多项式集合对非类光曲线7 ，我们有m o n g e 7 i 幻l o r 映射 p 7 ：f 斗k k ，p ，( t ) = ( 广，f ( o ) ，j 。吼( o ) ) ( k 可以等同于r f _ 1 r f = r 鲈，坐标记为( n 2 ，毗，6 2 ，“) ) 当然p ，与 礼( t ) 的选取密切相关这里，q = i 产，阮= 丑 掣( 2si ) ，即 k = ( ( 0 2 p + 0 3 f 3 + + n 女 o ) ，( 6 2 2 + 6 3 3 + + k 2 ) 设最代表形式为 妒( z ，z ) = ( ( 1 】f ，1 ( z ，f ，z ) ，妒2 ( z ，g ，z ) ，咖( 。，g ，z ) ) 的映射妒：r i r i 的集合，其中哦( 。，z ) 是关于。，可，z 的次数的多项式元素妒r 由妒- ，咖，与咖中单项式的系 数决定，共有童三= 唑荨世土鱼个次数s 月的单项式一# ，所以r 可以看成m i n k o w s k i 空 阔r 尸。这个空间可以提供我们所需要的曲线的形变 为了使问题简化，我们假设曲线，y 是常态的，并且7 ( ，) 是有界的恒同映射 1 础：r 2 r 自然是r ( 1 ) 中的元素设7 满足以上假设，易知存在1r 3 的开邻 域ucr ，它有以下性质：若妒u ，则线性映射t 妒( 7 ( t ) ) ：r 3 r 3 ；u d 母7 ( ) ) 满足把类时型向量映成类时型向量，类空型向量映成类空型向量其中d 妒( 7 ( f ) ) 代表 妒在7 ( ) 处求导( 事实上这两个条件可以写成，y ( t ) 的开邻域上的两个代数不等式 所以由7 ( s 1 ) 的紧性，满足以上两个条件的集合是有限个开集的交，自然是开集，) 如果 我们通过妒e ，对原曲线进行形变，我们会得到一族新的法向量n 耐。、如下：因为映射 妒：r r 在包含7 ( ，) 的开集上是微分同胚，向量n ( ) 被映成新向量d 砂( ，y ( t ) ) n ( t ) ， 它既不是零向量也不与妒o7 在t 处相切把这个向量正交投射到妒。7 在t 处的法平 面并将其正规化就得到( ) ，且( ”口( ) ，“口( t ) ) = d ( 币0 7 ) 其中 州牡瑙础蒜辩篙踹筹糕铲 其中，如表示眭b 线妒。7 在t 处的切向量所以按照以上假设。我们选择l ，最的一 个开邻域c ，它是由把包含7 ( j ) 的开集同胚的映到其象集的多项式映射构成的集合现 在我们证明了存在光滑映射： _ u ：s 1 矿叫k k p ( 一，妒) 是妒o ，y 应用向量族“( t ) 的m d n 俨一t o f o r 映射因此我们有以下定理 定理5 ，1 设7 是非类光曲线，q 是k k = 印一2 的一个子流形对包含恒同 映射的某个开集仉cu ，由肛( ，廿) = p 口。，( t ) 定义的映射p ：s 1 u k k 与q 横 截( 事实上，我们可以证明_ u 是淹没映射，不需要考虑q 的情形) 1 0 通过直接计算，我们可以得到以下引理由于计算过程过于繁琐，在此我们省略证 明 弓l 理5 2 设，y ：s 1 斗r i ，7 ( t ) = ， 幢) ，m ( ) ) = ( ，n 2 f 2 十0 3 p + ，幻f 2 + b 3 + ) ， ，y ( ) 是满足f ( 。) = o 的非类光曲线，则 ( 1 ) 在t o 处一= o 当且仅当o l + 磅= o ( 2 ) p k ) ( t o ) = o 当且仅当，l ( 2 ，0 4 ，b 2 ，6 3 ，6 4 ) = o ，其中 ，l = 4 ( 啦6 4 一n 4 6 2 ) ( a ；+ 碹) 一( 9 n 2 a 3 十9 6 2 b ) ( n 2 6 3 一0 3 6 2 ) ( 3 ) ( r k ) o ) = o 当且仅当，2 ( 0 2 ，n 3 ，乱n 5 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ) = o ，其中 ，2 = 1 2 ( 。2 b n 3 6 2 ) ( o l + b 1 ) 3 + 4 ( 3 0 3 k 一3 。4 b 3 + 5 0 2 6 5 5 0 5 6 2 ) ( 。l + b ；) 2 7 2 ( 0 2 口3 + 6 2 6 3 ) ( 0 2 虬十0 4 6 2 ) ( n ；+ 碹) 一9 ( 0 2 6 3 0 3 6 2 ) ( 3 0 i + 3 嚏+ 4 0 2 凸4 + 的虬) ( n l + 缱) + 1 6 ( 3 0 2 。3 + 3 k 6 3 ) 2 ( n 2 6 3 一0 3 b 2 ) ( 4 ) ( r k ) ( o ) = 0 当且仅当 ( 8 2 ，幻，。j ，0 6 ，如，如如，b ，6 6 ) = o ，其中 ，3 = 1 9 2 ( 口2 b 4 一n 4 6 2 ) ( n ；+ b ；) 4 + 1 6 0 ( 0 3 6 5 一曲3 ) ( n l + 崦) 3 + 2 8 8 ( 0 2 0 3 + b 2 6 3 ) ( 2 6 3 一0 3 ) ( n ；+ 6 j ) 3 1 4 4 ( 0 2 0 3 + 6 2 6 3 ) ( 3 n 3 6 4 3 n 4 6 3 + 5 0 2 6 5 5 0 5 6 2 ) ( o ；+ 缱) 2 4 8 ( 9 0 3 n 4 + 9 b 3 6 4 + 5 n 2 n 5 十5 b 2 6 5 ) ( 0 2 b 3 一n 3 6 2 ) ( n ；+ b 1 ) 2 1 4 4 ( 3 。；+ 3 6 ；+ 4 0 2 。4 + 4 6 2 k ) ( n l + b ；) 2 + 6 6 2 4 ( 3 8 ；+ 3 培+ 4 n 2 0 + 4 厶2 6 ) 。2 十6 2 6 3 ) ( n 2 6 3 一0 3 6 2 ) f 8 ；+ 缝) + 2 3 0 4 ( n 2 0 3 + 6 2 b 3 ) 2 ( 0 2 k n 扣2 ) ( l + 胡) + ( 0 2 b 3 一0 3 6 2 ) ( 0 2 0 3 + b 2 b 3 ) ( n l + 6 i ) 一 9 6 ( 0 2 口3 + 6 2 b 3 ) 2 ( 0 2 b 3 n 如2 ) 一2 0 1 6 ( n 2 6 3 一o 1 凸2 ) ( 。2 “3 + 6 2 b ) 3 这里f 是沿t 方向的坐标，州f ) 是沿，一方向的坐标，玑( ) 是沿b 方向的坐标 引理5 3 与引理5 2 所用符号一致，我们有以下结论 ( 1 ) j a c o b i 矩阵币鲁鳓的秩为2 ( 2 ) j a c o b i 矩阵砾毋的秩为2 由引理5 2 和引理5 3 满足定理1 1 条件( 1 ) 和( 2 ) 的曲线的奇点集是非退化的，再 由定理5 l ，对m o n g e - t a y l 。r 映射应用r t h 。m 的横截性定理即可完成定理1 1 中通有 性的证明 1 2 后记 本文主要结论是给出了三维m i n k 0 w s k i 空间中从切可展曲面的奇点分类证明过所 采取的主要研究手段是构造关于非类光曲线的一个距离函数使得其判别式集合恰好是 该曲线的从切可展曲面然后证明该距离函数为将其参数固定后所得函数的通有开折 ，从而应用关于通有开折的奇点分类定理对该曲面的奇点进行分类文章还利用m o n g e - 7 r 匆l o r 映射和t h o m 的横截性定理对曲线在以上结论中所诱导的几何不变量的通有性 质进行了证明 本文所定义的法向距离函数作为研究非类光曲线的从切可展曲面的奇点分类的工 具应用起来简单明了，十分有效这种方法对其它类型的曲面的奇点分类问题具有一定 的启发和参考价值 本文已被东北师范大学学报接收 1 3 参考文献 | 1 】j w b f u c ea dpj 罐b l i i l lc u r 懈丑df 2 jwb r c e ，加s i n g u 妇，拍v e 】叩郫de 】锄柏唧d i f _ 缸e n t i 越g e d m e t r * m a t hp r o c c 蛐b r i d g e 【3 】jw b r u c e 啦dp j g i b l i n g e n e r i cc i l r v e sa n ds u r f a c e ，j l o n d 傩m 址h s o c2 4 ( 1 9 8 1 ) ，5 5 5 5 6 1 【4 】i z u m i y a ，hk a t s u m ia i l dty a i r l 舳a 札t h er e c t i f y i i l gd e v e l o p a b l ea i l dt h es p h e r i c a ld a r b o u x 蛐a g e das p a c ec u r v e ，b a n a c hc e n t e rp u b l l c a t i 。n c a u 乱i c 8 9 s v o l5 01 3 7 1 4 9 ( 1 9 9 9 ) 5 d o n g h e p e ia n dt a k a 吕h ls a n o t h ef 。c a ld e v e l o p a b l ea n db i n o r m a l i n d i c a t r i xo f an o n l 培h t l i k ec u r i nm j n k a w s k i3 一s p a c e ，t 0 k y ojm a t hv “2 3n o2 0 0 0 【6 裴东河，孙伟志，金应龙三维m i n k o w s k i 空间内的时间曲线 j 】东北师大学报( 自然科学版) ， 2 0 。3 2 4 ) ：2 5 - 3 3 7 】裴东河，孙伟志，帕提古丽三维m i n k o w s k i 空闻内的空间型曲线 j 】东北师大学报( 自然科学 版) ，2 0 0 4 ，3 6 ( 3 ) ：l 一9 8 】jm a r t i n e t ，s j “g u l a i j t i e so fs m o o t hf u n c t l o n sa n dm a p 8 ，l o n d o nm a f h s o c l e c t u r en o t es e r i 朗， c a 吼b r h g eu n l vp r e s s5 8 ( 1 9 8 2 ) 【9 】李养成光滑映射的奇点理论，北京。科学出版社，2 0 0 2 【i o ls k u m i y a ，m 1 从e u d l i ，n e ws p e c i a lc u r v e 5a n dd e v e i o p a b i es u r f a c e ，h o k k a i d ou n i v e r s i t yp r 印r s e n e si nm a t h e m a t i c s 【儿1 si z u m i y a ，m t 北叭c h i ，g e n e r i cp r o p e r t i e so f l e l i c e s 跏db e r a n dc u r v e s ，jg e o m7 4 ( 2 0 0 2 ) 9 7 - 1 0 9 ( 1 2 i si z u m i y a ，s i “g u l a n t l e so fn 1 1 e ds u f f a c ei i l ，m a t h p r o cc m b p h i ls o c ( 2 0 0 1 ) ，1 3 0l f 1 3 】t l o m a sec e c i ll i e 印h e r eg e o m e r vw i t ha p p l l c a t i o n st os u b m 柚i f o l d s【14 】s i z u i n i y a ，d hp e i a l l dts a n o 。t h e1 i g h t c d n eg u s sn 1 印a n dt h e1 i 曲t c o n ed e v 西0 p a b l e 时as p a c e l l k ec u r v el nm i n k o w s k i 3 8 p a c e ，g l a s g o w m 驰h ，j ，4 2