（基础数学专业论文）一类半线性椭圆形方程的解及其性质.pdf

上海师范大学硕士学位论文 摘要 对于一类带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程，许多数学家进行过深入的研究。 本文主要是更进一步的讨论一种特殊的带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程的解及 其性质。通过直接的和n e h a r i t y p e 的交分方法，我们证明了一般的方程的解的情况；对于 一种给定函数的特殊的方程，我们利用分歧理论和谱分析，得到了方程的解的精确个 数、解的一些性质、解的大致图像；更进一步地，利用无限分歧理论再次讨论了这种方 程的解的情况。 本论文的内容安排如下： 第一章是对一类带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程的一般形式得出一些好的结 论，主要运用直接的和n e h a r i t y p e f f j 交分方法； 第二章则介绍了一种给定函数的特殊的方程的解的情况和解的性质，我们利用分歧理 论和谱分析； 第三章主要用无限分歧的理论研究了在单位球上解的情况 关键词：半线性椭圆形方程；解的个数；直接的乘i n e h a r i - t y p e 的变分方法；分歧理论和谱 分析；解的大致图像；无限分歧。 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a e t a b o u ts e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ns u b j e c tt oh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ， m a t h e m a t i c i a n sh a ds t u d i e do u tm a n yg o o dr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w es t u d yas e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o ns u b j e c tt oh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n sw i t ht h r e ef a c t o r sf i r s t l y a b o u t t h i se q u a t i o n ，o nt h eb a s eo ft h ep r i o rr e s u l t s ，b ym a k eu s i n go ft h ev a r i a t i o n a lm e t h o do fn e h a r i t y p ea n dd i r e c t , w eg e ts o m em u l t i p l i c i t yr e s u l to fp o s i t i v es o l u t i o n s b u ts o m ee x a c ts o l u t i o n s r e s u l t sa r eo p e n t h e nw eu s et h eb i f u r c a t i o nt h e o r e m sa n ds p e c t r a la n a l y s i st os t u d yas p e c i a l e q u a t i o no fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ns u b j e c tt oh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ， w ec a ng e tt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h i se q u a t i o n ，m o r e o v e r ，t h es o l u t i o n ss t r u c t u r ei ss t u d i e do u t a tl a s t ，w eh a ds t u d i e dt h es o l u t i o n so ft h ep r i o re q u a t i o nb ym a k eu s i n go ft h ei n f i n i t yv a r i a t i o n a l t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，b ym a k eu s i n go ft h ev a r i a t i o n a lm e t h o do fn e h a r i t y p ea n dd i r e c t ，w eg e tt h e r e s u l t sa b o u ts e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ns u b j e c tt oh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s c h a p t e r2a r es o m er e s u l t sa b o u tas p e c i a le q u a t i o no fs e m i l i n e a re l l i p t i ee q u a t i o ns u b j e c tt o h o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w eh a du s e dt h eb i f u r c a t i o nt h e o r e m sa n ds p e c t r a l a n a l y s i s a tt h el a s tc h a p t e r , b yu s eo ft h et h e o r e mo fi n f i n i t yb i f u r c a t i o n ，w eh a dg o tt h ee x a c ts o l u t i o n s a n ds t r u c t u r eo ft h e s es o l u t i o n so ft h ep r i o re q u a t i o n k e yw o r d s ： s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；t h em u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n ；t h ev a r i a t i o n a lm e t h o d o fn e h a r i - t y p ea n dd i r e c t ；t h eb i f u r c a t i o nt h e o r e m sa n ds p e c t r a la n a l y s i s ；s t r u c t u r eo fs o l u t i o n s ； i n f i n i t yb i f u r c a t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：日期：冉z 址豇止。 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名： 上海师范大学硕士学位论文 第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程 第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程 本章的主要内容是讨论一类带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程的解及其性质 通过直接的和n e h a r i t y p e 的变分方法，我们证明了一般的方程的解的情况。 1 1引言 ；三：a，(u，e)=。三三三兰 c t t - ， 第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程上海师范大学硕士学位论文 19 9 4 年，罗马尼亚数学家p e t r um i r o n e s c u i g l v i c e n t i ud r a d u l e s c u 解决了 这些问题。他们分两种情况进行讨论：( 1 ) 单调情况( z 0 ) ；( 2 ) 非单调情况 ( z 0 ， ( f 3 ) ，是渐近线性的，i e 舰华= n ( o ，+ o 。) 下面我们给出关于( 1 1 1 ) 的主要结论： 定理1 1 1 假如e 为一个厨定值，且，( 钍，e ) = ( u ) 满足条件f 川j r 乃) ，则存在一似 【等，鲁】f 其中m = i 鲒华j ，使得方程( 1 1 1 ) 有以下结论： 2 上海师范大学硕士学位论文 第章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程 f f ) 当入( o ，人) 时，( 1 1 1 ) 至少有一个解，且当a ( o ，导) 肘，( 1 1 1 ) 有且只有一个解； 傅) 当a ( a ，+ 。o ) 时，( 1 1 1 ) 无解； ( i i i ) 还有更进一步的结论若a = 每，燃1 1 1 ) 在a = a 处无解；若a 导， 燃l 。1 1 ) 勐= a 秘= 每处只有一个解，而当a ( 导，a ) 时，( 1 1 1 ) 至少有两 个解。 1 2 几个引理 二三：_ 。：二三三 引理1 2 1 对任意的入( 0 ，等) ，方程( 1 1 1 ) 都有解。 以( “) = 厂f 隧2 一a f ( 心) ) 出 f ( 札) = o 缸m ) 班 第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程上海师范大学硕士学位论文 由注1 得 所以 ，他) a f ( u ) 鲁，方程( 1 1 1 ) 无解。 证明：我们用反证法来证明。否则，若u 是当入 鲁时，方程( 1 1 1 ) 的一个解，其 中m ：i n f 华。将方程 t 0 4 一a u = a ，( u ) 上海师范大学硕士学位论文第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程 左右两边同时乘以妒l 0 ，其中妒l 是特征值a l 所对应的正规化的特征函数，而它们所对 应的方程是带有狄利克雷边界条件的l a p l a c e 算子一。然后由分部积分，可以得到 a 1 厶u q a l d z = 厶- - m u 妒l d x = 入厶( u ) 妒l d z 入1 厶u 妒x d x 这样显然产生了矛盾，所以假设不成立。所以对任意的a 鲁，方程( 1 1 1 ) 无解。口 引理1 2 3 存在一个正数a 满足条件等a 碧，使得当a a 肘，方程( 1 1 1 ) 无解。 证明：假设( r ) 表示方程( 1 1 1 ) ，又令 a = s u p a i ( r ) 有一个解) 由引理1 2 1 和引理1 2 2 得，等a 鲁。 下面我们只需要证明如果( b ) 有一个解，则对所有的o 0 而这与引理1 3 1 产生矛盾，所以假设不成立。也就是当入( o ，等) 时，方程( 1 1 1 ) 的解是 唯一的，方程( 1 1 1 ) 只有一个最小解u 。 6 上海师范大学硕士学位论文第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程 现在我们开始证明( i i i ) ： 如果a = 等，我们需要证明方程( 1 1 1 ) 在a = a 处没有任何解。否则，我们假设乱是 此时的一个解，则有 - a u = a ，( u ) = 等弛) ( 1 3 1 ) 丑0 钍 一口 = a 1 “ 现在我们细述以上方程( 1 3 1 ) 中的不等号成立的缘由： 事实上，由a = 等，我们可以看出 m _ i n f 华弘 0t 所以有 f ( t ) a t 让方程( 1 3 1 ) 左右两边同时乘以妒1 ，然后对此方程进行分部积分，可以得到 a ，( 让) = a 1 乱 而这一论断与条件( f 2 ) 产生矛盾。所以当a = 人时，( 1 1 1 ) 无解。 如果a 等，与( i ) 的证明相似，我们可以得到当入= 等时，方程( 1 1 1 ) 仅有一个解。 下面我们证明当a = a 时，方程( 1 1 1 ) 的解的存在唯一性。 存在性：如果读者仔细参看【4 】，就可以由紧性理论来证明当a = 人时，方程( 1 1 1 ) 的 解的存在性。 唯一性：假设就是当a = 人时方程( 1 1 1 ) 的解，也就是说有以下方程成立： - a u = a f ( u ) 所以u 是当a a 时，方程( 1 1 1 ) 的一个上解，则对所有的入 a 1 n 是矛盾的。总之有结论训= 0 ，也就 最后我们证明当入( 夸，人) 时，方程( 1 1 1 ) 至少有两个解。我们将用n e h 碰- t y p e 的变 所以当入( 等，人) 时，方程( 1 1 1 ) 存在一个最小解u a 接下来我们必须寻找另外一个 二三：ia 【，( 口+ u a ) 一，( u a ) 】三二 为了叙述的方便，令 和 则有 夕( t 7 ) = f ( v + 钍入) 一，( u ) ) = 肋妣 9 第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程上海师范大学硕士学位论文 定义泛函 且定义解的流形 一 = a 夕( u ) i nq ， 口= 0o n0 q 厶( ) = 厂f 瞠2 一a g ( 钞) ) 如， 驰) = 上( i 吼1 2 - ) 、v g ( 蝴如， 螈= v 磁( q ) ：厶( u ) = o ) 因为，是凸函数，所p a g ( v ) 是关于 1 3 0 的凸函数，且使得 g ( v ) = g ( v ) 一g ( o ) 矿( u ) 口 对方程( 1 3 2 ) 关于v 从0 到 进行积分，可得 2 g ( v ) 夕( 口) 影 ( 1 3 2 ) 因此，在流形上有 帅) = 害z 阶) t ，一2 g ( 训如 0 这就意味着以( r ) 是下有界的。 如果我们可以证明对任意的a ( 等，a ) ，都有慨咖，则i 扫n e h a r i t y p e 的变分方 法( 【9 】) ，我们可以得到此时方程( 1 1 1 ) 的非最小解。 上海师范大学硕士学位论文第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程 令妒l 是带有狄利克雷边界条件的算子a 在q 上的特征函数，且- ：2 妒；如= 1 ，则有以 下的两个连等式成立： 和 厶( 圳= 舻_ 入矗咖( 圳如( 1 3 - 3 ) = t 2 ( a ，一a 厶掣掣如) ， 恕上塑雩迪出= 。l i r a 妒；萼譬如= 口 c t a 4 ， 而p a ( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) 可得，若入( 等，a ) ，对充分大的t 有 厶( t 妒1 ) 0 ( 参考文献【3 】) ，则有 a ( s w t ) = s 2 上l v u 1 2 如一入s 上u ，夕( s u ) 如，n，n = s 2 y u t l 2 如一a s 上 厂( 让a ) s u + o ( s 2 ) 如 = s 2 上( i v o a i 2 一a 厂( 钍a ) 2 ) d x + 。( s ) 因此当s 充分小 = 8 2 ( p l + d ( s ) ) 厶( s 叫1 ) 0 ( 1 3 5 ) 现在很容易的出地是非空的：事实上，对某些大的t 取w 。= t 妒l ；而对某些小 的8 0 取叫+ = 8 0 d ，使得分别有以下的不等式成立： 第一章带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程上海师范大学硕士学位论文 厶( w 。) 0 定义一个在【o ，1 】上的连续函数g 为： g ( f ) = 厶( 叫，+ ( 1 一) t u + ) 则有 a ( o ) 0 ，g ( 1 ) 等，例如， 在文献【4 】中，有着类似的讨论，这些证明表示当。l 。i m o o ( 厂( 亡) 一耐) o 时，a = 等；而 当舰( ，( t ) 一o t ) 等。 结束语：本章主要是对一类半线性椭圆形方程进行研究，主要利用直接的和n e h a r i t y p e 的交分方法，并得到了相关结论。 1 2 上海师范大学硕士学位论文 第二章一类特殊方程的解 第二章一类特殊方程的解 上一章已经讨论了一类半线性椭圆形方程的解的个数的概况，而本章介绍一种特殊的 方程。 2 1 相关定义及结论 三三三：入肝再= 0 ：f o r 二z 茎e 三q , c 2 - t ， 第二章一类特殊方程的解上海师范大学硕士学位论文 对于方程( 2 1 1 ) ，我们有以下的重要结论： 定理2 1 1 如果( 入，矿) 为方程( 2 1 1 ) 的一个退化解， f f j 贴7 ( 仳+ ) 0 ，且鼽+ 等，其中，u + ) = ( 钍) 。 r 彬如果 仳入) 是方程( 2 1 1 ) 的一个解，且有| iu a 怯0 0 ，则可得a 等。 定理2 1 2 当入( o ，等) 肘，7 y 程( 2 1 1 ) 的解集是一充分光滑的曲线，把它记 为 ( a ，u ( a ) ) ：0 等： 其中 ( z ) c 。( 豆) 。 a v + p k ( ) ( z ) = 0i nq ， t ，= 0o i la q ( 2 2 2 ) 由c o u r a n b f i s c h e r 极大值极小值极大值原理得：对任意的七n ，鲰( 忍) 是 的一个严格 递减函数( 可参看文献【1 2 】) 。 由于，( u + ) 以拖) = 紫= 撬a a _ k 恚 所以有 r 量 现在我们开始定理2 1 1 ( i i ) 的证明： 1 5 第二章一类特殊方程的解 上海师范大学硕士学位论文 由于o 0 ，则有移0 ( 对任意序缸q ) ； 者p l = 0 ，则有l 1 秒= 0 ( 对任惹厅缸孬) 。 现在我们开始定理2 1 2 的证明。 证明：定理2 1 2 ( i ) 的证明步骤为： 首先证明对任意的6 0 ，当o 0 ，当o 0 所以由引理2 3 3 得a u ( a ) 锨 0 ，所以u ( a ) 是关于入的严格递增函数。这样我们就完 成了定理2 1 2 ( i ) 的证明。 接下来我们来证明定理2 1 2 ( i i ) 。 由假设( a ，也+ ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个退化解，且这一退化解所对应的线性化方 程( 2 2 1 ) 的解空间是一维的，s p a n w + ) = ( 兄( a + ，u + ) ) 。r ( a + ，u 。) = a 十a + u ) j 是指 数为零的f 虻d h o l m 算予，且有 d i m n ( f , , ( u + ) ) = c o d i m r ( f , , ( r ，u ) ) = 1 而已知当且仅当厶夕( z ) u + ( z ) 如时葡冗( 凡( ，u ) ) 。又有， o 和u + 0 ，所 以只( ”，缸+ ) = f ( u + ) 不属于冗( 凡( a ，矿) ) 。利用引理2 3 2 ，我们可以得到的结论是： 在( ”，矿) 附近，方程2 1 1 的解关于8 在s = o 附近形成一条曲线( a + + 入( s ) ，矿+ s w + + z ( s ) ) ， 且满足a ( 0 ) = a 7 ( o ) = 0 ，z ( o ) = z ( o ) = 0 。 又因为，是c 0 0 的，则由隐函数定理2 3 1 ，在( ”，u + ) 附近的解曲线也是c o o 的。 很显然有 ) 2 而嵩露刈， 删= 名筹斋 为了判断a ”( o ) 0 再令七。是一一 u ( z ，u ) 的基本特征值。 则有：着七1 0 ，对任意疗知q ，我们彳乳u ， 着七1 = 0 ，对任意厅缸孬，莸们有b = u 。 现在我们开始定理2 4 1 的证明。 上海师范大学硕士学位论文第二章一类特殊方程的解 证明：存在性：在此我们的证明思路为：首先证明天 忌 o 显然有七a ，因此 入上u ( z ) ( z ) 如= a z ，( u ) 砂，( z ) 出 地上乱( 枷t ( z ) 如 由上式可得 生 ，满足a ( n ) _ 天( n _ ) ，且 a ( n ) ) 所对应 的最小解( u ( 入( n ) ) ) 满足以下方程 篡：i 兰：a ( n ) ，( u ( 入加) ) ) = 。三三 由定理( 2 1 1 ) 可知，存在正实数m 0 ，使得| iu ( a ( 佗) ) 怯m 。由标准的椭圆型正则 性估计可以得到：u ( 入( n ) ) 在拓扑空间c 2 ，q ( 孬) 中是有界的。由有界性及完备性定理可证得 存在 让( a ( n ) ) ) 的一个子列收敛于方程( 2 1 1 ) 的一个经典解，而此经典解所对应的a = a 。 由定理2 1 2 - - i 得：函数ah 乱( a ) 是一个严格递增的函数，且札( a ) 显然是非平凡的。 由天的定义中的极大性和隐函数定理可以得到：( 天，司是方程( 2 1 1 ) 的一个退化解。这就证 明了方程( 2 1 1 ) 的解( 人，在) 的存在性。 唯一性：我们将用反证法来证明这一论断。 2 l 第二章一类特殊方程的解上海师范大学硕士学位论文 首先假设：当a = 天时，方程( 2 1 1 ) 存在另外一个解瓦，面矗，则面满足以下方程 三圣：天，( 瓦) = 。三二 下面我们考虑特征值问题 - & w a 厶( 商) u = p ui nq ， u = 0 。o na q 令以上方程的基本特征值为p 1 ( 石) ，而前面已证( a ，矗) 是方程( 2 1 1 ) 的一个退化解。 则p 1 ( 动= 0 。更进一步对于任意的7 【0 ，1 】，以及任意的z q ， 刖n 7 - ( 訇卜而厅意杀葡霄知 所以由引理2 4 1 可知瓦三讥 所以当入= 天时，5 1 y 程( 2 1 1 ) 存在唯一的解为石= l i m a 。五钍( 入) 。这样我们就完成了定 理2 4 1 的证明。口 定理2 4 1 在我们之后的讨论中非常有用的，我们可以利用a 来确定方程( 2 1 1 ) 的正解 的精确的个数。下面我们给出一个非常好的结论。 定理2 4 2 对于方程( 2 1 1 ) ，假壹队鲁，其中仇的定义如定理2 j j 所述。则有 f f ) 当o 入等鳓= j 【肘，方程( 2 1 1 ) 有且只有一个正解； r 棚当等 0 ，使得当入( 天一6 ，天) 时，方程( 2 1 1 ) 只有两个正解，然后把 ：三二2j 【九( 司口三三 c 2 4 - ， 由于( 天，动是一个退化解，所以方程( 2 4 1 ) 有非平凡解u x 。而我们已经知道方 1 = 胀( j 【 ( 司) 肌( j 【o ) = 掣= 扛a a 所以天 等，又有假设天鲁，而显然o m ，所以天 导，即七= 1 。 取特征值p 。( 天厶( 石) ) 所对应的特征函数石为正的，且有( r ( 天，动) = s p a n v 砩。由 定理2 1 2 可知，方程( 2 1 1 ) 的在退化解( 天，石) 附近的解形成一条曲线为( 天+ 入( s ) ，石+ s 石+ z ( s ) ) ，其中sh ( a ( s ) ，名( s ) ) r + z 是一个在s = o 附近的连续可微函数，且满 足a ( o ) = a 7 ( o ) = 0 ，z ( o ) = _ z ( o ) = 0 ，7 ( o ) 0 。 当o 0 ， 使得当a ( 天一6 ，天) 时，方程( 2 1 1 ) 存在一个唯一的非最小解u 2 ，满足让1 天时，此时易知t = 咖是当入( o ，a o ) 时的个上解，而显然饥= o 是 对任何的入 0 而言的一个严格意义上的下解，所以由上下解原理可得对任意 的a ( 天，a o ) ，方程( 2 1 1 ) 都有一个正解，令其为( 入，) 。而且0 人时，方程( 2 1 1 ) 无解，这样就证得了定理2 4 2 ( i i i ) 。 厶：当o 0 ，使得当i o 所以有结论 ( 刁：一天( 正( 面，刁 d z ) ( ， ，刁 d z ) ，q ，n 由上两式可得 至此证明了定理的第一部分。 上 0 ，石 0 0 入7 e a u - f , 入v 一 a ( u - b ) 2 一) _ 0 竺f o r xe q：, 第二章类特殊方程的解 由于 所以有 和 秒( u ) k t 正+ a f ( u ，e ) x u + 入厂( 乱，o ) + 入e ； 上海师范大学硕士学位论文 ；三：a，(u。)+ae=。兰兰三兰 c 2 5 2 ， i三：a，(u。)=。兰三三兰 的最小解的存在性。 事实上，仳= 0 与u = 6 分别为以上方程的下解和上解，由单调迭代法就可以得到以上 方程的一个最小解。现在假设 ( u ) = a e ，则存在一个充分小的e ，使得当e ( o ，e ) 时 危( t 正) = 入e 0 ，使得厂( u ，e ) k u ；就有后r a i n u ( o ，o 。) 掣。 当仳= 6 + 孟时，掣取得最小值，h p k 鲁时，有以下的结论： l ：a ( 0 ，等】时，有唯一解； 2 ：入( 等，鲁) 时，有两个解； 3 ：入( 鲁，天( e ) ) 时，有两个以上的解。 结束语：本章利用分歧的方法得出一类特殊方程解的精确个数、解的一些性质、解 的大致图像。并且讨论了其中的一个参数变化时的情况。 第三章用无限分歧方法讨论方程( 2 1 1 ) 的解的情况上海师范大学硕士学位论文 第三章用无限分歧方法讨论方程( 2 1 1 ) 的解的情况 本章的主要内容是用无限分歧方法讨论方程方程( 2 1 1 ) 解的情况。首先介绍几个有用 的引理。 3 1 相关引理 引理3 1 1 ( 2 2 1 ，1 2 3 1 ) ( 2 无限分歧定理) 假掰c 1 ( 冗) ，令，( 。o ) = l i r a , , 。掣 ( o ，) 秕o 。= 7 樯。煳2 1 1 ) 渐有在( a ，。) 尉近的正解有形式( a ( s ) ，s 妒1 + z ( s ) ) ， 其中s ( 6 ，) ，6 0 ，l i r a , 9 - + 0 0 入( s ) = a ，且忪( s ) | i 俨，。矽) = d ( s ) ( s _ o 。) 。 引理3 1 2例对任意的d o ，最多有一似d 0 ，使得方程( 2 1 1 ) 有一个正解，此 胁= 知，u ( o ) = d t i i ) 令 t = d 0 ：方襁2 1 1 ) 有- - q 正m _ r u ( o ) = 田， 贝归是一个开集；入( d ) = k 是一个从鳓+ 的连续函数。 现在给出这一节的重要定理 定理3 2 1 对任意曹吼 0 ， 3 0 3 2 结论 存在一个，此x 满足 尘“生【_b+eaa ) 上海师范大学硕士学位论文第三章用无限分歧方法讨论方程( 2 1 1 ) 的解的情况 使得方程( 2 1 1 ) f f j 当a ( 0 ，等】u 【入7 ) 时，有且只有一个解； f f 力当入( a 7 ，+ 。) 肘，无解； ( i i i ) 当a ( 等，入7 ) 肘，有两个解。 证明：首先证明存在页 0 ，使得对任意的入 天，方程( 2 1 1 ) 无解。 易知，( u ) f ( b ) = e ；，且有 八o 。) 朝掣一 所以存在一个尼 0 ，使得对所有的u 0 ，有厂( “) k u 。显然o ( 赤) 即为七可以取 的最大值。所以取七= n ( 彘) ，而显然有七口。 a 1 厶乱妒l 如= 厶- a u 妒x d x 所以得入1 a 七，取万= 等，所以有入天。即a 一a ，也就是存在万 0 ，使得对任意 由厂7 ( 。o ) = 口，可得入= 等。由引理3 1 1 可得，在入= 等附近产生无限分歧。 下证当入属于等的一个非常小的邻域内时，分歧曲线( a ( t ) ，u ( t ) ) 在( 等，o o ) 的右边产生 协a u ( t 扎) - t - a ( t ) f ( u ) = o , f o r x e 弧v 2 , 2 m 第三章用无限分歧方法讨论方程( 2 1 1 ) 的解的情况上海师范大学硕士学位论文 而又有 妒1 + 入l 妒1 = 0 ，f o rz q ， 妒1 = 0 ， f o rz a q 将( 3 2 1 ) 的第一式乘以妒l 后在q 上积分得 进一步有 则通过( 3 2 2 ) 可得 一a u ( t ) 妒如= 上a ( t ) ，( 乱( 啪妒如 一上妒- u ( t ) 如= a ( t ) 上，( 札( 啪妒t 出 入上妒仳( t ) 如= a ( 亡) 上，( 让( 枷妒如 ( 3 2 2 ) 再由引理3 1 1 可知，在q 中几乎处处有u ( t ) = t 妒l + z ( t ) 一 一o o ) 。则当t 充分大时有 。上妒- 仳c d 如一z ，c u c 啪妒，如= z 瓦青车考涤妒- 如 。 所以 又有 ( a - 高) 上m ) 妒，如 。， 上弛( t ) ) 妒，如 。 所以 e 一翕 。 i i 即当亡充分大时a ( t ) 等。这就证得分歧曲线( 入( t ) ，仳( 亡) ) 在( 等，) 的右边产生无穷分歧。 由于足( o ，0 ) = f ( o ) = 孺芦泛 o ，由隐函数定理可知解曲线( 入，u ( a ) ) 从( o ，o ) 出 发，只要( 入，“( a ) ) 为非退化的，则可以继续扩展。由引理3 1 2 知函数a _ 乱( a ) 为递增的。 但是由之前的证明可