（基础数学专业论文）qn的moebius几何.pdf

中文摘要 摘要 近年来，越来越多的学者开始研究共形微分几何，比如王长平在文献【2 0 】中 给出了伊中子流形的m o e b i u s 微分几何的新框架，定义了不变m o e b i u s 度量g ， m o e b i u s 形式西，第二基本形式b 年1 b l a s c h k e 张量a 等m o e b i u s 不变量，建立了子流 形的结构方程，并且证明了s 3 中m o e b i u s 形式为零的曲面的分类定理提出了一系 列有意义的问题许多学者都曾在自己的著作中对共形微分几何进行了系统的讨 论和研究 本文分两部分研究l o r e n t z 空间研，研，研的紧致化空间q n 的m o e b i u s 几何， 一方面研究q n 的拟迷向超曲面，从而用q n 上的拟迷向超曲面将r ? ，毋，研中的 极小常曲率曲面统一起来；另一方面研究q n 的类空超曲面，计算其体积泛函的第 一变分 本文证明了q n 的拟迷向超曲面的一个分类定理，推广了文献【7 】的结论 关键词：l o r e n t z 空间；紧致化空间；拟迷向超曲面；类空超曲面 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e na ni n c r e a s i n gi n t e r e s t i nm o e b i u sg e o m e t r y , a s w a n gc h a n g p i n gs t u d i e st h es u b m a n i f o l d si ns nu n t e rt h em o e b i u sg r o u pi no n ep a - p e r ( s e e 2 0 ) h ed e f i n e sam o e b i u si n v a r i a n tm e t r i cg ，a n d 圣c a l l e dm o e b i u sf o r m ，a n d am o e b i u si n v a r i a n t2 一f o r mbc a l l e dt h em o e b i u ss e c o n df u n d a m e n t a lf o r m a n dt e n s o r ac a l l e db l a s c h k et a n s o r a n dh eg i v e st h es t r u c t u r ee q u a t i o n so ft h es u b m a n i f o l d si n s n m o r e o v e r , h eg i v e sac l a s s i f i c a t i o no ft h es u r f a c e sw i t hv a n i s h i n gm o e b i u sf o r mi n s 3 h ea l s og i v e ss o m ev e r yi m p o r t a n tq u e s t i o n s m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dm o e b i u s g e o m e t r yi ns o m ep a p e r s t h i sp a p e rs t u d i e st h es u r f a c ei nq n ，w h i c hi st h es p a c eo fc o m p a c t i f i c a t i o no ft h e l o r e n t zs p a c er ，研，h r o no n eh a n d ，i ts t u d i e st h eq u a s i - i s o t r o p i ch y p e r s u r f a c e s i nq nt ou n i f yt h et h r e ed i f f e r e n tc l a s s e so fm i n i m a ls u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r - v a t u r ei n 研，卵，上口o nt h eo t h e rh a n d ，i ts t u d i e st h es p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e si nq 几， a n di tc a l c u l a t e st h ef i r s tv a r i a t i o no ft h em o e b i u sv o l u m ef u n c t i o n a l t h em a i nr e s u l ti st h ec l a s s i f i c a t i o no fq u a s i - i s o t r o p i ch y p e r s u r f a c e si nq 竹，a n d t h er e s u l t so b t a i n e db yp a p e r 7 】i sg e n e r a l i z e d k e yw o r d s ：l o r e n t zs p a c e ；s p a c eo fc o m p a c t i f i c a t i o n ；q u a s i i s o t r o p i ch y p e r s u r - f a c e s ；s p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e s i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名： 笱彳c - 憾 签名日期： 叼年月，9 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名：答孔恢 精捌磁轹知 日期：瞄年月9 日 日期：口艿年石局9 日 1 序言 1序言 共形微分几何是经典微分几何中的一个重要分支，它研究黎曼流形在共形 群下的不变量共形微分几何的曲面论在二十世纪初得到很好的发展，德国几 何学家b l a s c h k ew 在他的微分几何专著第三卷详细总结了当时的研究进展那 时几何学家关心的是三维空间中曲面在保球变换下的几何，包括共形几何和 李球几何第一个应用现代数学工具和成果来研究三维空问中曲面的共形不变 量理论是由美国几何学家b r y a n tr 于1 9 8 4 年在文献【2 】给出的他在d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y 发表的这篇文章中利用黎曼面的知识给出关于w i l l m o r e 曲面的几个整 体结果微分几何学家e j i r in 和r i g o l im 于1 9 8 7 年前后将b r y a n t 的方法进一步研 究了高维空间中w i l l m o r e 曲面 1 9 9 2 年和1 9 9 5 年王长平应用l i e 球微分几何的方法来研究s 3 和s 4 中的超曲 面。给出了超曲面在共形群下的完全不变量系统，并应用这个不变量系统取得了 一些很有意义的结果只是向高维推广时遇到了困难，公式变得非常复杂经过若 干年的探索终于在1 9 9 8 年在文献【1 6 】中给出了伊中子流形的m o e b i u s 微分几何的 新框架，定义了不变m o e b i u s 度量夕，m o e b i u s 形式，第二基本形式b 和b l a s c h k e 张 量a 等m o e b i u s 不变量，建立了子流形的结构方程，并且证明了s 3 中m o e b i u s 形式 为零的曲面的分类定理，提出了一系列有意义的问题还利用子流形的共形不变 量第一次给出了w i l l m o r e 子流形( 共形极小子流形) 的第二变分公式，相信这些研 究对w i l l m o r e 猜想的解决会提供必要的理论基础 2 0 0 1 年l i uh l 等在文献 1 0 】中讨论了伊中m o e b i u s 迷向子流形的分类，该 文指出可以用m o e b i u s 迷向子流形将留，伊，日n 中的极小常曲率子流形统一起 来2 0 0 3 年l ih z 等在文献【l l 】中研究了具有常平均曲率和数量曲率的超曲 面的m o e b i u s 几何该文指出可用m o e b i u s 微分几何将形+ 1 ，伊+ l ，日1 中具有 常平均曲率和数量曲率的超曲面统一起来2 0 0 5 年龚曲华等在文献【1 8 】中研究 t l o r e n t z 空间硝，研，日 的紧致华空间q 3 上的曲面，并对q 3 上的迷向曲面进行 分类，这个分类定理表明可以用q 3 上的迷向曲面将肼，研，日 中的极小常曲率 曲面统一起来 在本文中，将研究l o r e n t z 空间研，卵，研的紧致化窄问q n 的m o e b i u s 几何， 从而用q n 上的拟迷向超曲面将冗? ，研，日p 中的极小常曲率曲面统一起来并研 究q n 的类空超曲面，计算其体积泛函的第一变分 湖北大学硕士学位论文 2 r ，研，研在q n 中的嵌入 2 1 预备知识 设研+ 1 是具有如下内积的l o r e n t z 空l ；- i ( z ，y ) = 一x l y l + + x n + l y n + 1 ，( 2 1 ) 其中x = ( x l ，x n + 1 ) ，y = ( y l ，y n + 1 ) 月，+ 1 设磁+ 2 是具有如下内积的l o r e n t z 空间 ( z ，y ) = - - x l y l + + x n b l y n + 1 一x n + 2 y n + 2 ， 其中z = ( x l ，x n + 2 ) ，y = ( y l ，y n + 2 ) r n + 2 冗；+ 2 中的光锥c n + 1 ，二次曲面q n 定义为 c m 1 ：= z 月詈+ 2 i ( z ，z ) = 0 ，x o ) ，q ”：= z i 【z 】p 月呈+ 2 ( o ) ，( x ，z ) = o ) 其中尸璎+ 2 是r 矿2 的射影化空间 设o ( n + 2 ，2 ) 是嬲+ 2 中保持内积不变的l o r e n t z 群，则o ( n + 2 ，2 ) 在q ”上 的变积定义为 t ( 【z 】) ：= 【z t 】，t o ( n + 2 ，2 ) 2 2 r 警，s ，日 的紧致化空间q 几 ( 1 ) 设研是具有如下内积的l o r e n t z 空间 ( z ，y ) = - x l y l + + z n ，vx = ( x l ，z 。) ，y = ( y l ，y 。) r 竹 直接计算可得研是曲率为0 的常曲率空问 一2 一 2 研，研，日 在q n 中的嵌入 令= “( z 1 ，z n + 2 ) 】q 竹i z n + l = x n + 2 ，定义6 r r ：研_ q n 如下 盯r ( u ) = 一互1 ( 1 一( 邺) ) ，主( 1 + ( 让，让) ) ) 】，v u6 砰 易证咖是研到驴的一个等距嵌入，且是保共形映射所以q n 是研的紧致 化空间 ( 2 ) 设伪球面研= 扛研+ 1 l ( z ，z ) = 1 ) ，其中( ，) 是研+ 1 中的标准度 量直接计算可得研是截面曲率为l 的常曲率空间 令c s = “( z 1 ，z n + 2 ) 】q n i z 时2 = o ) ，定义：s r _ q k c s 为 a s ( x ) = 【( z ，1 ) 】，vz s 易证0 s 是研到q n c s 的一个等距嵌入，且是保共形映射所以q 竹是s r 的紧致 化空间 ( 3 ) 设伪双曲空间研= z 嬲“i o 此时存在t d ( n + 2 ，2 ) ，使得c t = ( 0 ，0 ，r ，o ) 不妨设c = ( 0 ，0 ，r ，o ) ，则( o ，0 ，7 ，0 ) = c = c t = n t + a y t p t = n + a y 一肛f ， ( o ，o ，r ，o ) = c = + a y 肛，= 一磊1 y + a y ( 4 1 9 ) 因为( c ，y ) = 1 ，可设y = ( k ，碥，；，k + 1 ) ，令u = 盯吾1ox ：m 一 日 ，则z = 【( u 1 ，u 。，1 ，u 。+ 1 ) 】因此y = ；m 1 ，u n ，1 ，u n + 1 ) 因为( c ，) = 一肛， ( ) = o ，因此f = 一等( 乱1 ，u n ，1 ，u 。+ 1 ) 因为g = ( d y , d y ) = 刍( d 扎，d u ) ，因 此，若a m 是( d u ，d u ) 的l a p l a c e 算子，则m = 去由( 4 1 9 ) 式得m 2 z m u = o 因 此u ：m 一日 是极小曲面此时“：m 一研的截面曲率元= 击圪为常数 这样即得到本文的结论： 定理4 1q n 中的拟迷向超曲面必共形等价于下列3 类曲面之一： ( 1 ) 研中的极小常曲率曲面在a s 下的像； ( 2 ) r 中的极小常曲率曲面在a r 下的像； ( 3 ) 研中的极小常曲率曲面在a h 下的像 在定义4 1 中，若p = 0 ，则称z 是q 扎中的迷向超曲面当“= 0 ，n = 3 时，则有 如下推论： 推论4 1q 3 中的迷向曲面必共形等价于下y 0 3 类曲面之一： ( 1 ) 研中的极小常曲率曲面在a s 下的像； ( 2 ) 硝中的极小常曲率曲面在a r 下的像； ( 3 ) 日 中的极小常曲率曲面在a l l - k 的像 一1 2 5 q n 中的类空超曲面 5 q 佗中的类空超曲面 5 1q n 中的类空超曲面的m o e b i u s 度量 以下均设m 是一个m 维光滑流形，其中m = 扎一1 z ：m _ q n 是q n 中的 一个类空超曲面，y 是x 的一个局部提升y ：m _ 伊+ 1 ，称( 曲，d y ) 是m 上的拉回度 量，设v ，a ，畅分别为拉回度量( 曲，d y ) 的梯度，l a p l a c e 算子和截面曲率，那么有 定理5 12 一形式 g ：= 一( ( ，a y ) 一m 2 a ) ( d y ，d y ) ，( 5 1 ) 是整体定义在m 上的，称为m o e b i u s 度量 定理5 1 的证明类似定理3 1 的证明过程 如果存在y ：m _ 伊+ 1 ，使得g = ( d y , d r ) ，称y 是z 的一个标准提 升在( 5 1 ) 中取y ：= y ，得到 ( y ) = 一1 + m 2 仡 设 局，) 是耳m ( v p m ) 的一组局部正交基，对偶基为 u 1 ，) 对任 意函数f ：m r ，记只：= 最( f ) 则( m ，巧) = 如，1 i ，j m 令 容易计算 n = - l m a y 一互丽1 ( y ) y = 一鬲1 y 一三去筹兰y ( y ) = 0 ，( vk ) = 0 ，( a y , y ) = 一m ，( k ) = 0 ，1 k m 则计算可得 ( ，y ) = 1 ，( ，n ) = ( n ，k ) = 0 由此可知s p a n n ，y ) 上s p a n y 1 ，y m ) 若令v = s p a n n ，y ) o s p a n r 1 ，y m ) ) 上则知v 是嬲+ 2 的正定子空间，且蟛+ 2 = s p a n n ，y ) o 一1 3 湖北大学硕士学位论文 s p a n y 1 ，) ov 称v 是m 上的法丛设是m 的法丛v 上的单位向量， 则( ，f ) = 一1 贝l j n ，一m ，) 是磁+ 2 的一个活动标架，以下均约定指 标的取值范围为：1 i ，j ，k m 计算可得z ：m _ q “的结构方程为 d y = 咄m ； i d = 蛾k + 西； i d k = - 妒w 一蛾+ u 巧b + 蚍n ； j 蜓= c y + 毗n m 其中r 易是夕= ( d d y l 钓l e v i c i v i t a i 联络，且 砂= g 毗，纸= a i j w j ，蛾。= 屿， i jj 其中a 巧= 4 f ，嘞= 岛i 由结构方程可得到z ：m _ q n 的基本方程 a 巧，南一a i k ，歹= 一( b i k q 一嘞g ) ； b i j k b i k 。j = 6 t j c k 一6 t k c 蚤 g j q ，产( a 幻玩 一a k t b k j ) ； k ( 5 2 ) ( 5 3 ) r j 七a = 一( 鼠七岛a 一最a 岛七) + ( 如a 一a t x g j k ) + ( g j a a i 七一文a a j 七) ； ( 5 4 ) 既= 。，蜀= 1 m - f 1 ，州a ) = 笔字，z b i j ，= ( m 一1 ) g ( 5 5 ) 其中a 巧，k ，b o ，k ，g ，知分别是a 巧，b o ，a 的协变微分，r i j k a 是= 曲率张量冗的分量 5 2q 佗中体积泛函的第一变分 设z o ：m _ q ”是一个类空超曲面，边界为a m ，x o 无脐点月主曲率非 零设z ：m r q n 是x o 的一个光滑变分，在o m _ i y _ vt ( 一，) ，z ( ，t ) = x o ，且d x t ( t m ) = d x o ( t m ) 设 e 0 是d x t d x t 的一组局部j 下交基，对偶基为 晚) e 。是z 的法从的单位j 下交基( e 。，) = - 1 令y = p ( i ，z ) ：mxr c n + i , 是z 的 一1 4 一 5 q 竹中的类空超曲面 标准提升，g t = ( d y , d y ) 是兢的m o e b i u s 度量， 最= p - 1 e t 】- 是g t 的局部正交基，对偶 基为 咄= 以) 设是9 的l a p l a c e 算子，日是z 的平均曲率 设= 一杀y 一南( a y ) y ：m r _ 嬲+ 2 ，令= ( h ，日z + ) ，则f 是甄的法从上的单位正交基，( ，) = - 1 设d 是m r 的外微 分算子则 ，kk ，) 是m r 上的一组活动标架，故知m r 上存在1 形 式 k k ，吼，圣n ，f h ，q 玎，q 伽) 使得 外微分上面各式得 d y = v y + q i k + k ； i d n = - v n + 皿t k + 垂n ； t d m = 皿t y q t + f h j y 歹+ q 伽； j d e = 圣n y + k n + q 伽m d e = 皿 aq 一a k ； i d q i = q 订a + y 八q + k aq 讥； j d k = q i aq 伽+ y 八k ； i d 皿i = q 巧a 皿j + 西na q 讥+ 皿 ay ； j d 吼= 晚a y + 皿t a q n ； i d q 饥= q 嵇aq 饥一皿lak q t a 哦； j d q 巧= q 伽a + q 伽a 一q ta 一皿 a 踢 k 1 5 ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) 湖北大学硕士学位论文 n y = p ( 1 ，z ) ，设赘= p - 1 ( v i e i + ) ，则知存在函数u ：m r _ r ，使得 t 差= y 十饥k + 蜮 n ( 5 6 ) 和d = 蚍置+ d ta 袅，有 t v = v d t ，k = v n d t ，f h = 蚍+ v i d t ，皿 = 呲+ a i d t ， 圣竹= 咖n + b n d t ，q i j = o j i j + 易d t ，q 伽= 0 2 i n + 厶d 亡 ( 5 1 0 ) ( 5 1 1 ) 其中= 一b t 设d m 是t + m 卜的外微分算子，则d = d m + d t a 番由( 5 8 ) ，( 5 1 0 ) ， ( 5 11 ) 得 ，、 警= ( 仇j + r + 秒瓯j + v n b i j ) w j ( 5 - 1 2 ) 由( 5 7 ) ，( 5 1 0 ) ，( 5 11 ) 得 厶n = + v j b t j ( 5 1 3 ) j 由( 5 9 ) ，( 5 1 0 ) ，( 5 11 ) 得 百0 0 2 i n 。莩( k j + 莩只奄+ a i j v = + b n 一忱g ) - ( 5 1 4 ) 由( 5 2 ) ，( 5 1 4 ) 得 鲁+ 嘞2 巧+ 莩( 只七一鼠七+ 吼鼠幻一v n b k j b i 七) + a 巧+ k 5 i j v i q 由( 5 3 ) 得鼠惫，j 鼠j = 优g b i j ，又由( 5 2 ) ，( 5 5 ) ，( 5 1 2 ) ，( 5 1 3 ) ，( 5 1 4 ) 得 i , j ，ki j 、m - _ 1 u = 巧b 巧一鼠向+ u n 如嘞， z , 3 l ，j ，向 l ，j 1 6 5 q ”中的类空超曲面 v ( t ) = 厶u 1a ，所以 删= 厶( ； = 篙厶c= 一j l m 1 ， ， + 叫d m = m 厶砌m u n b 旷”n b t k b k j b t j + i j i , j ，k 在a m 上，v i = = o ，故，巧勘= v n ，巧，所以 v 亿) =苎m 1 。1 ( i t 4 一 l v n a i jb t o d m ，巧一嘞鼠七+ a i j b i j v n d m , s 。, 3 幻f ，七l j u 7 ( o ) = o 时，由u n 的任意性可得以下结论： 定理5 2 子流形z ：m q n 是m o e b i u s 极小子流形当且仅当 ，订一b i j b k j b 确+ 如= 0 i j i , j ，k 由( 5 3 ) ，( 5 4 ) ，( 5 5 ) 知( 5 1 5 ) 等价于 a ，t + ( 1 口 m 1 z , 3 一a 巧) = 0 一1 7 一 ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】a l i a sl j a n dp a l m e rb ，c o n f o r m a lg e o m e t r yo fs u r f a c ei nl o r e n t z i a ns p a c ef o r m s m g e o m e t r i a ed e d i c a t a ，19 9 6 ，6 0 ：3 0 1 - 315 【2 】b a b i c hm a n db o b c n k oa ，w i l l m o r et o i lw i t hu m b i l i cl i n e sa n dm i n i m a ls u r f a c e si nh y p e r - b o l i cs p a c e j d u k em a t h ，1 9 9 3 ，7 2 ：1 5 1 - 1 8 5 【3 】b l a s c h k ew ：，v o r l e s u n g e nu b e rd i f f e r e n t i a l g e o m e t r i e m b e r l i nh e i d e l b e r gn e wy o r k ： s p r i n g e r 19 2 9 ，3 【4 】b r y a n tr ，ad u a l i t yt h e o r e mf o rw i l l m o r es u r f a c e s j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 8 4 ，2 0 ： 2 3 5 3 【5 】c e c i lt ，t a u ti m m e r s i o n so fn o n c o m p a c ts u r f a c e si n t oae u c l i d e a n3 - s p a c e j j d i f f e r e n t i a l g e o m ，1 9 7 6 ，1 1 ：4 5 1 - 4 5 9 【6 】陈维桓，李兴校，黎曼几何引论 m i 北京：北京大学出版社，2 0 0 2 【7 】龚曲华，龚家骧，q 3 中的迷向曲面【j 】福建师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 5 ，2 l ( 2 ) ： 2 9 3 3 【8 】纪永强，许志才，微分流形与黎曼几何【m 】西安：陕两师范大学出版社，1 9 9 4 【9 】9 l ih z ，l i uh l a n dw a n gc e ，m o b i u si s o p a r a m e t f i ch y p e r s u r f a c e si ns 1w i t ht w o d i s t i n c tp r i n c i p a lc u r v a t u r e s j a c t am a t h s i n i c a , e n g l i s hs e r i e s ，2 0 0 2 ，1 8 ：4 3 7 4 4 6 【1 0 l i uh l ，w a n gc ea n dz h a og s ，m o b i u si s o t r o p i cs u b m a n i f o l d si ns ”【j 】t o h o k um a t h ， 2 0 0 l - 5 3 ：5 5 3 - 5 6 9 【11 】l ih z a n dw a n gc p ，m o b i u sg e o m e t r yo fh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u e v a t u r e a n ds c a l a rc u e v a t u r e j m a n u s c r i p t am a t h ，2 0 0 3 ，11 2 ：1 1 3 【1 2 】l ih z ，w a n gc ea n dw ue ，am o b i u sc h a r a c t e r i z a t i o no fv e r o n e s es u r f a c e si ns ”f j 】 m a t h a n n ，2 0 0 1 。3 1 9 ：7 0 7 7 1 4 【1 3 】刘会立，伪黎曼球面和伪双曲空间的了流形【j 】辽宁大学学报