（基础数学专业论文）关于某些重要的finsler度量.pdf

摘要 本文分为四部分，分别对应于四章在第一章中，介绍一大类f i n s l e r 度 量一( n ，p ) 度量，也称为( o ，卢) 型度量，其中d 是一个黎曼度量，卢是一个1 形式 我们讨论了射影平坦并且具有常数旗曲率的( q ，p ) 度量的分类问题，最终 得到这样的度量只能归结为三种类型这个完全分类也可看作是黎曼几 何中b e l t r a m i 定理的一个推广在第二章中，讨论比射影平坦度量更一般 的d o u g l a s 度量，给出了一般( 口，p ) 型d o u g l a s 度量的特征，得到了此类度量应 满足的微分方程在第三章中，讨论了一类重要的f i n s l e r 度量一弱l a n d s b e r g 度 量给出了一般的( o ，型弱l a n d s b e r g 度量的特征，得出了此类度量应满足的 微分方程，并证明了存在非l a n d s b e r g 度量的弱l a n d s b e r g 度量特别是当维数 为2 时，( n ，们型l a n d s b e r g 度量即是b e 阿a l d 度量在最后一章中，讨论两类特殊 的度量：m a t s u m o t o 度量以及形如f = e p + 口+ ；b a r c t a n ( o ) + 甄曼笔玎的度 量，得到了它们为射影平坦的等价条件，并构造了具体的非平凡例子 o 1 射影平坦且具有常数旗曲率的( q ，) 度量 首先，介绍一些定义和记号，以及相关背景资料f i n s l e r 几何作为比黎曼 几何更广泛的度量几何，虽然后来由f i n s l e r 对此领域的贡献而称为f i n s l e r 几 何，其实早在1 8 5 4 年黎曼在他的就职演说中已经引进了这种几何著名几何 学大师陈省身称之为不受二次型限制的黎曼几何f 1 1 f i n s l e r 几何就是研究具 有f i n s l e r 度量的空间几何性质的学科 2 1 假设m “是n 维的微分流形，t m 是它 的切丛若t m 上的函数f = f ( z ，y ) ：t m 一尉蔺足以下条件，则称它为m 上 的一个f i n s l e r 度量： ( i ) f ( x ，y ) 在t m o ) 上是c ”函数； ( i i ) f ( z ，y ) 0 ，y o ； ( i i i ) f ( z ，a ) = a f ( x ，可) ，a r + ； ( i v ) 基本张量( ) = ( p ) ，v 正定，其中下标f 壤示关于矿的偏导数 摘要 由定义可见当( z ，y ) 只与z 有关时，它就是一个黎曼度量；而当( 盘，可) 只与y 有 关时，贝l j 称之为m i n k o w s k i 度量，近年来，f i n s l e r 几何被应用到诸多领域中， 如物理、生物、心理等等 1 s p g l 2 0 2 1 i 2 2 i 2 5 3 2 z 3 ，重新得到了重视和发 展 3 4 1 1 5 1 在这些研究中，人们发现有一类f i n s l e r 度量非常重要，它由流形上的 一个黎曼度量n = 、石石厮和一个1 形式p = 机( z ) 构成由于计算的繁复， 对一般f i n s l e r 度量各种性质的讨论很困难，而对此类度量，虽然计算仍然繁复， 但至少还可具体计算称之为( q ，p ) - 度量或( 口，卢) 型度量 2 9 】 一个( o ，声) - 度量可表示成 f - - a 庐( s = 笔， 其中o = 瓦五万驴是一个黎曼度量，卢= 执( z ) 矿是一个1 形式，= ( s ) 是区 间( 一b o ，6 0 ) 上的e m 正函数，并且满足 庐( o ) = 1 ，( s ) 一s ( s ) + ( b 2 一s 2 ) 矿( s ) 0 ，i s l sb b o ， 其中b = i i 良忆这样的f 是f i n s l e r 度量，当且仅当对任意z m 有| | 风l i 。 o j 并且d 舻是常向量 另外，作为定理4 3 的推论，可得 推论0 8 设f = a 驴( s ) = a ( e s + 1 + a r c t a n ( s ) + 币) ，其中s = 卢m 如 果f 是射影平坦且具有常旗曲率的度量，则。是平坦度量，并且p 关于q 平行， 即f 是局部m i n k o w s k 渡量 关键词：f i n s l e r 度量，( a ，卢) 一度量，d o u g l a s 度量，弱l a n d s b e r g 度量，射影平坦， 旗曲率 a b s t r a c t t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t sc o r r e s p o n d i n gt of o u r c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eav e r yi m p o r t a n tc l a s si nf i n s l e r g e o m e t r y ：( n ，卢) m e t r i c sa l s oc a l l e dt h em e t r i c si n ( o l ，) - t y p e ，w h e r en i sar i e - m a n n i a nm e t r i ca n d 口i sa1 - f o r m w es t u d yt h ec l a s s i f l c a t i o np r o b l e mo np r o - j e c t i v l e yf l a t ( a ，) - m e t r i c sw i t hc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r ea n de v e n t u a l l yc o n c l u d e t h a tt h e r ea r eo n l yt h r e et y p e si nt h i sc l a s s t h i sc l a s s i t i c a t i o nc a nb es e e na s a g e n e r a l i z a t i o no ft h eb e l t r a m it h e o r e mi nr i e m a n n i a ng e o m e t r y i nt h es e e - o n dc h a p t e r w es t u d yd o u g l a sm e t r i c sw h i c hi sw e a k e rt h a np r o j e c t i v e l yf l a t m e t r i c s w eo b t a i nt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so ft h e ( q ，p ) 一m e t r i c st ob ed o u g l a s m e t r i c s i nt h et h i r dc h a p t e r w es t u d ya na n o t h e ri m p o r t a n tc l a s si nf i n s l e r g e o m e t r y , t h ew e a kl a n d s b e r gm e t r i c s w eg i v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sa n d f i n dt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hs h o u l dh o l dw h e na g e n e r a l ( n ，p ) - m e t r i ci s aw e a kl a n d s b e r gm e t r i c w ea t s op r o v et h a tt h e r ea r ew e a kl a n d s b e r gm e t - t i c sw h i c ha r en o tl a n d s b e r gm e t r i c s a n di nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yt w o s p e c i a lc l a s s e si n ( a ，卢) 一m e t r i c s ：m a t s u m o t om e t r i c sa n dt h em e t r i c si nt h ef o r m f = e 卢+ n + ；p a r c t 蛆( p q ) + 南w e o b t a i nt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f t h e s em e t r i ct ob ep r o j e c t i v e l yf l a ta n dc o n s t r u c ts o m en o n t r i v i a le x a m p l e s o 1 p r o j e c t i v e l yf i a t ( o l ，f 1 ) - m e t r i c sw i t hc o n s t a n tf l a g c u r v a t u r e l e tu sr e c a l ls t a n d a r dg e o m e t r i cd e f i n i t i o n s ，n o t a t i o n sa n dt h eb a c k g r o u n d a sam o r eg e n e r a lm e t r i cg e o m e t r yt h a nr i e m a n n i a ng e o m e t r y , f i n s l e rg e o m e t r y i sf i r s t l yi n t r o d u c e db yr i e m a n n i a n s1 8 5 4 ”h a b l l i t a t i o n ”t h o u g hp f i n s l e rm a d e i m p o r t a n tc o n t r i b u t i o n si ni t t h eg r e a tm a t h e m a t i c i a l ls s c h e ms a i dt h a t f i n s l e rm e t r i c sa r ej u s tr i e m a n u i a nm e t r i c sw i t h o u tq u a d r a t i cr e s t r i c t i o n 【1 】 f i n s l e rg e o m e t r yj st os t u d yt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so ff i n s l e rm e t r i co r la m a n i f o l df 2 1 l e tm “i san d i md i f i e r e n t i a lm a n i f o l d ，r mi st h et a n g e n tb u n d l e a b s t r a c t i ft h ef u n c t i o no nt m ，f = f ( x ，y ) ：t m _ rs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ， t h e ni ti sc a l l e d8f i n s l e rm e t r i co na f ： ( i ) f ( x ，y ) i sa c 。f u n c t i o no n t m o ) ( i i ) f ( x ，) 0 ，o ； ( i i i ) f ( z ，a y ) = a f ( x ，g ) ，a o ； ( i 、，) t h ef i l n d 锄喊a 1t e n s o rg o ( 哪) = ；( 产) 一= ：i o , i f 2 i s p o s i t i v e l y d e f i n e d f r o mt h ea b o v ed e f i n i t i o nw ec a ns e et h a ti f ( z ，y ) d e p e n d so nz o n l y , t h e n fi sar i e m a n n i a nm e t r i c i fg o ( x ，y ) d e p e n d so n o n l y , t h e nfi sc a l l e da m i n k o w s k i a nm e t r i c r e c e n ts t u d i e so nf i n s l e rg e o m e t r yh a v et a k e no i lan e w l o o k 【3 】 4 1 i s la n df i n s t e rg e o m e t r yc a nb ea l s oa p p l i e dt ob i o l o g y , p h y s i c sa n d p s y c h o l o g y 18 】【1 9 】【2 0 1 2 1 】【2 2 】 2 5 】1 3 2 1 1 3 3 】，i nt h e s er e s e a r c h e s ，p e o p l e sf i n dt h a t t h e r ei saq u i t ei m p o r t a n tm e t r i cc l a s si nw h i c ham e t r i cc o n s i s to far i e m a n n i a n m e t r i ca = o 巧( z ) 矿a n da1 - f o r m 卢= m ( z ) 可w ec a l lt h e s em e t r i c sa s ( o t ，f 1 ) - m e t r i c so rt h em e t r i c si n ( o ，p ) 一t y p e i t sd i f f i c u l tt od i s c u s sg e n e r a lf i n s l e r m e t r i cb e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o nh o w e v e rf o rt h em e t r i c si nt h i s c l a s st h ec o m p u t a t i o nc a nb eh a n d l e dt h o u g hi ti sn o te a s y a n ( o ，口) - m e t r i c sc a nb ee x p r e s s e da s 疗 f = n ( s ) ，8 = 兰， u w h e r ea = 口巧y 矿i sar i e m a n n i a nm e t r i c ，卢= b i y i sa1 - f o r m 毋= 西( s ) i sa c 。p o s i t i v ef u n c t i o no n8 no p e ni n t e r v a l ( 一6 0 ，鑫o ) s a t i s f y i n g 庐( s ) 一s ( s ) + ( b 2 一s 2 ) ( s ) 0 ，v l s f b b o i ti sk n o w nt h a tfi saf i n s l e rm e t r i ci fa n do n l yi fi 慨忆 b of o ra n yz m ( 【2 】) i t se a s y t os e e t h a t i f = 1 ，t h e n f i sa r i e m a n n l a n m e t r i c i f = 1 + 8 ， f = d + 口，w h i c hi sc a l l e dr a n d e r sm e t r i cw h i c hi sf i r s t l ys t u d i e di n1 9 4 1b yg r a n d e r sw h oi sap h y s i c i a na n db ea p p f i e di ns t u d y i n gt h ee l e c t r o n i cm i c r o s c o p e a n dn a v i g a t i o np r o b l e m s ，e t c a n di ff = 为( = 1 1 ( 1 一s ) ) ，w h i c hi sc a l l e d a b s t r a c t m a t s u m o t om e t r i c m a t s u m o t of o u n dt h a tt h i sm e t r i ci st h es l o p e - o f - a - m o u n t a i n m e t r i c 3 0 1 。w ea l s oo b t a i ns o m er e s u l t so rm a t u s m o t om e t r i cb e l o w o n eo fi m p o r t a n tp r o b l e m si nf i n s l e rg e o m e t r yi st os t u d ya n dc h a r a c t e r i z e f i n s l e rm e t r i c so fc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e ，a n o t h e rp r o b l e mi st os t u d ya n dc h a r - a c t e r i z ep r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i c so na no p e nd o m a i ni n 彤i nr i e m a n n i a n g e o m e t r y , t h e s et w op r o b l e m sa r ee s s e n t i a l l y8 a a n e t h eb e l t r a m it h e o r e mt e l l s u st h a tar i e m a n n i a nm e t r i ci sl o c a l l yp r o j e c t i v e l yf l a ti fa n do n l yi fi ti so f c o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r e h o w e v e r ，t h e r ea r el o c a l l yp r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e r m e t r i c sw h i c ha r en o to fc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e ；a n dt h e r ea r ef i n s l e rm e t r i c s o fc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r ew h i c ha r en o tl o c a l l yp r o j e c t i v e l yf l a t i n 【7 】，z s h e n h a v eg i v e nt h et a y l o re x t e n s i o n sa tt h eo r i g i n0 彤f o rx - a n a l y t i cp r o j e c t i v e l y f l a tm e t r i c sf = f ( z ，掣) o f c o n s t a n tf l a gc u r v a t u r ek i np a r t i c u l a r ，f o rk = - i ， 砂= a n d 妒= ；ly i ，w ec a ng e tt h ef u n km e t r i co o nt h eu n i tb a l lb “cj p ： 9 = v ( 11 _ i x l 矿2 ) l y l z + ( = , y ) 2 + 端， w h e r ey 瓦b “俨f o rk = 0 ，妒= f y ia n d 妒= 阿l ，w ec a r lg e tb e r w a l d s m e t r i c 日：堂! 二幽些兰堕坠鱼些 ( 1 一渖1 2 ) 2 ( 1 一 z 2 ) b 1 2 + ( z ，p 2 7 w h e r ey 瓦b ”p t h en n km e t r i ca n db e r w a l d sm e t r i ca r er e l a t e da n d t h e yc a nb ee x p r e s s e di nt h ef o r m e ：a + 厅，日：掣， w h e r e 珏j ( 1 1 - i x l 习2 ) l y l 2 广+ ( x 一, u ) 2 ，肚品， a ：= a 丘，p ：= a 卢，a ：2t = = = i 砰- i n 【8 】，【9 】a n d 【1 5 ，z s h e na n d x m oa n de t c h a v ec l a s s i f i e dp r o j e c t i v e l yf l a t m e t r i c s i n t h e f o r m f