（基础数学专业论文）几类非线性算子的不动点问题.pdf

中文摘要 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部 分，它与近代数学的许多分枝有着紧密的联系特别是在建立各类方程( 其中包 括各类线性或非线性的，确定或非确定性的微分方程，积分方程以及各类算子 方程) 解的存在唯一性问题中起着重要作用 本文研究了几类非线性算子不动点的存在性问题，建立了若干新的不动点 定理，推广了前人的一些结果论文的主要内容如下： 利用实b a n a c h 空间中的锥理论研究了一类单调算子的不动点的存在性问 题，特别是讨论了多值单调算子存在不动点的条件，得到了几个有关单调算子 的不动点定理 继续利用实b a n a c h 空间中的锥理论，运用迭代的方法对减算子存在公共不 动点的条件进行了讨论，获得了相应的减算子的公共不动点定理 运用迭代法对两种扩张型映象对的公共不动点及其结构问题进行了讨论， 得到了两个新的扩张型映象对的公共不动点定理 关键词 不动点，公共不动点，正规锥，半闭1 一集压缩算子，扩张型映象 a b s t r a c t f i x e dp o i n tt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp a r to fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s w h i c hh a sr a p i da n di n t e n s ec o n n e c t i o nw i t hm a n yb r a n c h e so fm o d e r nm a t h - e m a t i c s i te s p e c i a l l yp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h ep r o b l e mo fe x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fe s t a b l i s h i n gt h es o l u t i o nf o rv a r i o u st y p e so fe q u a t i o n ( i n c l u d i n g a l lt y p e so fl i n e a ro rn o n - l i n e a r ，d e t e r m i n i s t i co rn o n - d e t e r m i n i s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n sa n dav a r i e t yo fo p e r a t o re q u a t i o n s ) i nt h i sp a p e rt h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n tp r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o ri s s t u d i e d ；s e v e r a ln e wf i x e d - p o i n tt h e o r e ma r ee s t a b l i s h e da n ds o m er e l a t e dk n o w n w o r ki se x t e n d e da n di m p r o v e d t h em a i nt h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ac l a s so ft h ee x i s t e n c ef o rf i x e dp o i n tp r o b l e m so fm o n o t o n eo p e r a t o r si s s t u d i e db yu s i n gt h er e a lc o n et h e o r yi nb a n a c hs p a c e ，e s p e c i a n yt h ee x i s t e n c e o fc o n d i t i o n so ff i x e dp o i n tp r o b l e m sf o rm u l t i - v a l u e dm o n o t o n eo p e r a t o ra r e d i s c u s s e da n ds o m ec o r r e s p o n d i n gf i x e dp o i n tt h e o r yo fm o n o t o n eo p e r a t o r sa r e o b t a i n e d b yu s i n gt h er e a lc o n et h e o r yi nb a n a c hs p a c ea n dt h ei t e r a t i v et e c h n i q u e ， t h ee x i s t e n c eq u e s t i o no fc o m m o nf e dp o i n tf o rd e c r e a s i n go p e r a t o r si si n v e s - t i g a t e d ，a n ds o m ec o m m o nf i x e dp o i n tt h e o r e m sa r ed e d u c e d t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no fc o m m o nf i x e dp o i n ta n di t ss t r u c t u r ef o rt w o e x p a n s i v em a p p i n g sa r ed i s c u s s e db yu s i n gt h ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，a n dt w oc o r n - m o r tf i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rap a i ro fe x p a n s i v em a p p i n g sa r eg o t t e n u k e y w o r d s f i x e dp o i n t ，c o m m o nf i x e dp o i n t ，n o r m a lc o n e ，s e m i - c l o s e d1 - s e tc l o s e dc o n - t r a c t i v eo p e r a t o r ，e x p a n s i v et y p em a p p i n g 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：呈垂墨指导教师签名： 加7 年多月7 日必叮年6 月f 7 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：7 誓函 沙年；只j b 两北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 泛函分析是现代数学中一个新的重要分支泛函分析是源于经典数学，物 理中的一些变分问题和边值问题，概括了经典数学分析，函数论中的某些重要 概念，问题和成果，综合运用了分析的，代数的和几何的观点和方法泛函分析 的概念和方法对现代纯数学与应用数学，理论物理与现代工程技术理论的许多 分支都已经产生或正在产生重大的影响 泛函分析分为线性泛函分析与非线性泛函分析两大部分非线性泛函分析 是现代数学中一个既有着深刻理论理论意义又有着广泛应用价值的研究方向 它以数学及自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景，建立了处理许多非 线性问题的的若干一般性理论，它的研究成果可以广泛应用于求解各种非线性 微分方程，积分方程和其他各种类型的方程以及计算数学，控制理论，最优化理 论，动力系统，经济数学等许多领域 2 0 世纪3 0 年代，著名数学家w o l f 奖获得者l e r a yj 与s c h a u d e rj 合作，建 立了无穷维空间上的拓扑度理论，奠定了非线性泛函分析的基础随后，经过许 多数学工作者几十年的努力，非线性泛函分析的几个基本理论和方法逐步建立 起来并广泛应用于数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题目前，非线 性泛函分析已经成为研究许多非线性问题的基本工具之一由于非线性问题已 经引起了国内外数学界和自然科学界的高度重视，对非线性泛函分析及其应用 的研究无疑具有重要的理论意义和应用价值 不动点理论正是目前迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它 与近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立各类方程解的存在唯一 性问题中起着重要的作用因为无论是线性还是非线性方程，显函数方程还是 隐函数方程，常微分方程还是偏微分函数方程在泛函分析中都被抽象为算子方 第一章绪论 程，而算子方程最终又被统一为方程 z = t x 从而使方程的求解问题转化为求算子t 的不动点问题它在抽象过程中丧失了 直观，而又在更高层次上恢复了直观，很好的体现了泛函分析的奇妙之处 自2 0 世纪初b r o u w e r 和b a n a c h 分别提出以他俩的姓氏命名的b r o u w e r 定 理【1 】和b a n a c h 压, 缩映象原理【2 】之后，一个多世纪以来，特别是近半个世纪以来， 由于实际需要的推动和数学工作者的努力，这门科学已经出现了诸子百家、门 派林立、群峰竞绣、百舸争流的局面我国数学工作者在这方面也做了大量的 工作，取得了许多一流的结果 设 是度量空间，t 是从x 到x 中的映射，如果存在常数0 q 0 ，存在正整数n = ( ) ，使得当n ，m n 时必有 d ( x n ，z m ) 0 ， 都有正整数，使 d ( x 佗，z m ) 0 ，使得当p z y 时，恒 有忙i l 0 ，则称p 为正规锥 定义1 8 ：设e 是一个实b a n a c h 空间，p 是e 中的一个锥，e 中由锥p 诱导的一个 半序是指：z 可当且仅当! ，一z p ，vz ，y e ，此时称e 为半序b a n a c h 空 间如果z y ，记【z ，引= 名e i x 名! ) 定义1 9 ：设a ：尸_ p ，p 是实b a n a c h 空间e 中的某锥 ( 1 ) 若z ，y p ，p z y 号a z a y ，则称a 是p 上的增算子 ( 2 ) 若z ，y p ，p z y 兮a x a y ，则称a 是p 上的减算子 定义1 1 0 ：设 是度量空间，t 是从x 到x 中的映射，如果存在常数0 q l ，使得对所有的z ，y x ， d ( t x ，t y ) q d ( x ，可) ， 5 第一章绪论 则称t 为压缩映象 定义1 1 1 ：设a 是度量空间x 中的点集，如果x 中的每个覆盖a 的开集族中必有 有限个开集覆盖4 ，则称a 是紧集 定义1 1 2 ：设目，易是实b a n a c h 空间，dce ，设a ：d 一岛连续，有界 ( 1 ) 如果存在常数托0 ，使得对任何有界集scd ，都满足 q ( a ( s ) ) 咒口( s ) ， 则称a 是d 上的肛集压缩映象，特别k 1 时肛集压缩映象称为严格压缩映象 ( 2 ) 如果对任何非相对紧的有界集scd ，都满足 q ( s ) ) o ( s ) ， 则称a 是d 上的凝聚映象 定义1 1 3 ：设x ，y 都是赋范线性空间，由x 的元素z 和y 的元素y 所组成的元素 偶( z ，可) 全体，按运算 ( x l ，y 2 ) + ( x 2 ，y 2 ) = ( x l + x 2 ，y l + 抛) ， a ( x ，y ) = ( a t ，a y ) 组成了一个线性空间，记为xxy 在xxy 上，还可取范数为 i i ( z ，可) 0 = i i z l | x + i l y l l y ，v ( z ，y ) e x 称赋范空间x y 为赋范空间x 与赋范空间y 的积空间 定义1 1 4 ：设t 是从定义在d ( t ) cx 并在y d p 取值的线性空间所谓t 的图像， 用卵表示，是指xxy 中的元素集合 9 7 = ( z ，t ( z ) ) ：x d ( t ) ) 显然，卵是xxy 中的一个线性子空间 6 西北大学硕士学位论文 定义1 1 5 ：算子t 称为是闭算子，当且仅当卵在x y 中是闭集 定理1 1 ：( 闭算子特征定理) 【5 】设x ，y 都是赋范空间，t 是从定义在d ( t ) cx ， 并在y 取值的线性算子，则t 为闭算子的充要条件是：v z n d ( t ) ，若z n z ，_ y ，则必有z d ( t ) ，且秒= t x 7 第二章一类单调算子的不动点定理 2 1引言 第二章一类单调算子的不动点定理 在非线性泛函分析中，关于单调算子的不动点理论的研究，因其结果广泛 应用于非线性微分方程和积分方程之中，故多年来备受国内外学者的关注，由 于数学工作者的努力，目前已有了很多有意义的结果如文献 5 - 1 0 ，本章在已知 结论的基础上进行了更深一层的研究，得到了一些新的结论 定义2 1 ：若t 是1 集压缩映象，且l t 是闭映象，则称t 是半闭的1 一集压缩映象 定义2 2 ：若t 是1 集压缩映象，且j t 是紧映象，则称t 是半紧的1 集压缩映象 注：半闭的1 一集压缩映象是一类较凝聚映象，半紧的1 集压缩映象为更广 泛的映象 定义2 3 ：设e 是由锥p 诱导的半序b a n a c h 空间，对于e 中的两个子集m ，d ，我 们说m o ( 即u o p ，u o p ) 如果 ( i ) 对任意的z p ，都存在o l = o l ( x ) 0 ，p = p ) o ，使得 a u o a x p 咖 ( 2 1 ) ( i i ) 对任何满足q 1 咖z z x u o 的x 尸( 这里q 1 = a l ( x ) o ，历= p 1 ( z ) 0 ) p a t a o p ( 即咖p iu o 跣若 ( i ) 对任意的茁 p ，都存在q = q ( z ) 0 ，p = p ( z ) 0 ，使得( 2 1 ) 式成立 ( i i ) 对任何满足a l u o z 历u o 的z p ( 这里q 1 = a l ( x ) 0 ，角= z l ( z ) 0 ) 以及0 口， 作迭代z n + 1 = a ( 他= 1 ，2 ，) 都必有l i z n 一矿l i 伽_ o ，若设p 是正规的，则 必有i | z n z + i i _ 0 ( n _ ) 引理2 3 ：【1 2 】设a 是u o 凸算子，而且是增算子，则a 至多只有一个正( 即 p ) 的 不动点 引理2 4 ： 1 a 】设d 是e 中的有界凸闭集( d 不一定有内点) ，a ：d _ d 是凝聚映 象，则a 在d 中必有不动点 2 2 主要结果 定理2 1 ：设pce 是正规锥，a ：p 一2 p 咖) 是半闭的1 集压缩多值增算子， s u pa x a x ，v x p p a 8 ，且对vz a o ，有p z 若存在口 z 7 p ，使 得a x 7 ，则a 在p ，z ，】之间至少存在一个正的不动点 证明：定义算子s ：p p ，使得s z = s u p a x ，比尸，则s 为单值增算子 事实上，若z 秒，贝l j a x a y ，即v u a x ，3 v a y ，s t 缸钞，故s u pa x v s u p a y 如果我们能够证明s 在 p ，z ，】之间存在一个正的不动点则由已 知s u pa x a x 知4 在 口，t , t 】之间至少存在一个正的不动点 9 第二章一类单调算子的不动点定理 因p 正规，从而限z ，】有界，且显然归，z 7 】是凸集 一a a z 7 知s x 7 = s u pa x 7 z 7 ，故任取z p ，z ，】有p s o s x s x 一，从 而s 映限z ，】到矽，z ，】，则由引理2 1s 在 p ，】之间存在一个不动点记为z + ，由 题对v z a o 有0 p 注：对于半序b a n a c h 空间e 中的子集m ，d ，文【6 】中使用了以下的集序关 系：m d 当且仅当v y d ，弘m ，使得z y 相应地可定义相对于集序关 系：_ 的多值增算子的概念，即，一个多值算子a ：e2d _ 2 d 甜如果满足： 当z ，y d ，z 3 ，时有a x - 4a y ，那么称a 为多值增算子 在定理2 1 中若将算子a 改为相对于集序关系： 的多值增算子，同时将条 件s u p a x a x ，比尸改为i n f a x a x ，v x 尸，则定理2 1 的结论仍然成立， 只是在证明的过程中需定义s x = i n f a x 推论2 1 ：设pce 是正规锥，a ：p _ p 是半闭的1 一集压缩映象，a 是单 值增算子，口 伊，使得可+ 和z + 都是p 中正的不动点，则由( 2 1 ) 式知 秒= a y + _ o l y u o - 善良坨+ 蕃触= 券矿p 霉ip 茁p z 令t o = s u p 矧秒+ t x 。) ，下证托1 ，若t o 0 ，使得a ( t o x ) ( 1 + 呀o ) t o a x 。= ( 1 + 叼o ) t o x ，从而y 。= a y + a ( t o x ) ( 1 + r l o ) t o x 而( 1 + 叩o ) t o t o - 与t o 的定义矛盾于是t o 1 即圹z + 同理可证z y 宰因此z = y + ( 2 ) 若a 还是u o 凸算子，则a 在p 中有唯一正的不动点 1 0 两北大学硕士学位论文 证明：假设还存在y p ，使得y 和z + 都是p 中的正的不动点，则由( 2 3 ) 式知 可搴= 村岛咖等知+ = 等z 奉 令t o = i n f t l y 4 t x + ) ，由上式及y + p 知0 t 0 此与t o 的定义矛盾故t o 1 ，从而y + z 宰同理可证矿旷，于 是z = y 4 定理2 2 ：设pce 是正规锥，a ：p 一2 p 咖) 是半闭1 一集压缩的多值减算 子，s u pa x a x ，v x p ，口 a o ，且对vz a o ，有0 z 如果8 a y ，即讹a y ，3 u a x ，使得秒冬牡，因而s u pa y 冬 s u pa x 已知口 s u pa ( s u pa o ) 虽i j o 口，又 由z + = s x = s u pa x 。a x ，知z 是a 在p ，s u pa 绷中的一个正的不动点 若同定理2 1 的注那样引进集序关系： ，并相应的定义相对子集序关 系：_ 的多值减算子的概念，即，一个多值算子a ：e dd _ 2 d 【) 如果满足： 当z ，y d ，z 可时有a 可 缸，那么称a 为多值减算子 在定理2 2 中若将算子a 改为相对于集序关系： 的多值减算子，同时将条 件s u p a x a x ，v x p 改：为i n f a x a x ，协p 将条件0 s u p a ( s u p a 0 ) 改 为p i n f a ( i n f a o ) 则定理2 2 的结论仍然成立，只是在证明的过程中需定 义s x = i n f a z 且p 可 推论2 2 ：设pce 是正规锥，a ：p _ p 是半闭的1 集压缩映象，a 是单 值减算子，0 p 使得x o 与a z o 可比较，r o 0 ， 做迭代x n + l = a x n = 0 ，1 ，2 ，) 都必有0 一矿l i - - 40 ( 2 ) 若a 2 还是钆。一凸算子，则a 亦在尸中有唯一正的不动点 定理2 4 ：设pce 是正规锥，a ：p _ 尸是凝聚映象，a 是减算子，若存 在兢 目使得x i 与a z i ( i = 1 ，2 ，n ) 可比较，且 0 i n f ( a x i ，x i ) a 2 x i s u p ( a z t ，x i ) s u p ( a x i ，黝) o ( i = 1 ，2 ，礼) 又由已知明显有z ：z ；( i t 7 ，t = 1 ，2 ，礼) 1 2 西北大学硕士学位论文 注：若佗= 1 ，此即定理2 3 ，可知定理2 4 是定理2 3 的推广 定理2 5 ：设pce 是正规锥，a ：p _ p 是凝聚映象，a 是减算子，若存在x 0 使 得z o 与a z o 可比较，且目i n f ( a x o ，x o ) a 2 x o s u p ( a x o ，x o ) ，则a 至少存在一 个正的不动点 证明：由z o 与a x o 可比较，贝1 a x o x o 或a x o x o 又由已知a x o x o 不妨 设x o a x o 的证明与2 ；0 a x o 的证明类似) 由a 是减算子知对任意的z p o ，a z 0 1 有：g o a 2 x o a x a x o ，从 而a ： a x o ，x o 】一【a x o ，x o 而p 正规，故 a x o ，x o 有界且显然是凸集从而 由引理2 4 知a 在 a x o ，x o 】中有不动点z 又由题口i n f ( a x o ，x 0 ) 口若x o = 9 贝0 a p 注：若n = 1 ，此即文 8 】中的引理1 可知定理2 5 是文 8 】中的引理1 的推广 定理2 6 ：设pce 是正规锥，a ：p 一尸是凝聚映象，a 是减算子，若存在婉使 得x i 与a x i ( i = 1 ，2 ，礼) 可比较，且 p i n f ( a x i ，z i ) o ，使当忙1 l l = 忙2 | l = l ，x l p x 2 p 时，恒有忙1 + z 2 i i 6 ，则称锥p 是正规的 引理3 1 ：【1 2 】锥p 是正规的的充分必要条件是：存在常数n 0 ，使得5 0 冬 z ! ，时，恒有忙i i n l l y 1 ( 此性质称为范数关于p 是半单调的，满足此式的最小 的称为p 的正常数) 引理3 2 ： 1 2 1 锥尸是正规的的充分必要条件是：任何区间陋1 ，x 2 】= z l z l z x 2 都是有界的 引理3 3 ： 1 2 】锥p 是正规的的充分必要条件是：z n z n y n ，x n _ z ，y n y 兮z n _ z 引理3 4 ： 1 2 】设锥p 是正规的，a ： 咖，v o 】he 是凝聚映象并且是增算子此外 设 t d a u o ，a v o ， 那么a 在 u o ，】中必有最大不动点移+ 与最小不动点牡。( 即若z 为a 在阻o ，】中的 1 4 西北大学硕十学位论文 任一不动点，必有心。虿移+ ) ，并且 其中 满足 u 。= l i mu n ，钐。= l i mv n ， n + n + v n = a 一1 ，u n = a u n l ( n = 1 ，2 ，) ， 让o u l t n 口1 伽 3 2 主要结果 定理3 1 ：e 是一实b a n a c h 空l 司设 ( a ) 锥p 是正规的。a ：p _ p ，b ：p _ p ，a ，b 是凝聚算子，并且是减算 子；a z b x ，比e a b = b a ； ( b ) a o 口，a b o e o a o ，其中g o 0 ， ( i ) 如果对任意的p z a p 及0 0 ( i i ) 如果对任意的p z b o 及0 0 证明：因4 ，b 是凝聚算子，并且是减算子；从而易证a b 是凝聚算子，并且是减算 子又0 p ，故v + t l 。 9 由( 3 2 ) 式知钆n = b 一1 ，且= a ， 从而令n 一+ o o 取极限得，u 。= b v + ，v = a u 。，则有u 。u 1 e v o e o v 4 令t o = 8 u p t o l 乱。 t v + ) ，则o 亡osl ，u 。 _ t o y 宰若t o o 使得 a ( t o v ) t o ( 1 + 伽) 】一1 a v + 【t o ( 1 + 珈) 】一1 b v + = 【t o ( t + 伽) 】1 u 。， 故 + = a u 。 护，z = a x z 事= b x 。即z 掌是a 和j e 7 在矽，a 刎中的不动点 若还存在虿口，使得虿= 筋= b 虿，则- 亦是a b 在矽，a 卅中的不动点 据 + 的最大性和u 。的最小性，得u 。虿矿，故虿= z + 从而( i ) 成立( i i ) 的证明 与( i ) 的证明类似 推论3 1 ：若p 是体锥，且对任意的p x a 0 及0 t p ；若对任意的p z b 8 及0 t 口 证明：从等式( 3 3 ) x 难得出等式( 3 1 ) 事实上，因为t a x a ( t z ) e p o ，则 存在0 0 ，a b o e o a o ， ( i ) 如果对任意的0 1 ，都存在7 7 = 7 7 ( z ，t ) o 使得a ( t x ) t ( 1 一叩) - 1 a x ，则a 和b 在咿，a o le o 具有唯一的一个正不动点z 。 0 ( i i ) 如果对任意的口 1 ，都存在r l = ，7 ( z ，t ) 0 使得a ( t x ) p ( 1 一刀) 】_ 1 a x ，则a 和b 在渺，a o e o 具有唯一的一个正不动点矿 0 注：从上面的定理很容易得到下面的结论 ( 1 ) 若p 是体锥，且对任意的口 1 都有a ( t x ) 亡_ 1 a z 则a 和b 在p ，a o e o 具有唯一的正不动点矿 0 ；若对任意的p 1 都有a ( t x ) 亡一1 a z ，则a 和b 在矽，b 刎中具有唯一的正不动点z + 0 ( 2 ) 从定理3 1 的证明中可知，如果把定理3 1 和定理3 2 的条件( b ) 都改为 b o 0 ，a b o e o b o ，这里o 0 则定理3 1 和定理3 2 仍然成立 定理3 3 ：e 是一实b a n a c h 空间设 ( a ) 锥p 是正规的a ：p 一尸，b ：p _ p ，a ，b 是凝聚算子，并且是减算 子；b x a x ，比e a b = b a ； ( b ) a o 0 ，a b o e o a o ，其中 0 ， ( i ) 如果对任意的p z a o 及0 p ( i i ) 如果对任意的p z b o 及0 0 定理3 3 的证明与定理3 1 的证明类似 如果取a = b ，则有 推论3 2 ：e 是一实的b a n a c h 空间设 ( a ) p 是正规的a ：p _ p a 是凝聚算子，并且是减算子 ( b ) a o 0 ，a 2 0 e o a o ，这里 0 ； ( c ) 若对任意的口 z a o 及0 0 1 7 第三章类减算子的公共不动点定理 注： 若p 是体锥，如果把推论3 2 的条件( e ) 改为 ( e 1 ) 若对任意的0 z a o ) 及o o ； ( c ) 若对任意的p 1 ，存在7 7 = r l ( x ，t ) o 使得a ( t x ) 【( 1 一叩) 】- 1 a z ，则a 在p ，a 刎中具有唯一的正不动点矿 a o 注： 若p 是体锥，如果把推论3 3 的条件( c ) 改为 ( e 1 ) 若对任意的p l ，有a ( t x ) t 一1 a z ，则推论3 3 仍然成 寺 1 8 两北大学硕十学位论文 第四章关于扩张型映象对的公共不动点定理 4 1引言u 一一一 扩张映象的不动点理论是不动点理论的一个重要方面关于扩张映象的不 动点问题的研究最先开始于1 9 6 7 年m a c h u c a 2 1 以后j u n g c k 2 2 1 ，屁s e r 【2 3 】以及 王尚志【2 4 】等人先后讨论了一些其他形式的扩张映象的不动点定理，目前已有不 少结果见文献 2 a - 2 7 受文献 2 5 】和文献 2 8 1 的发，本章对两种扩张型映象对 的公共不动点及其结构问题进行了讨论，给出了两个新的公共不动点定理，所 得结果是文f 2 5 】中某些主要结果的推广 4 2 主要结果 设( z ，d ) 为完备度量空间，g 为映x 到自身的映射 定理4 1 ：设 夕为x 上的两个映射且厂】= g x = x ，存在函数g ( z ，! ，) ， r ( x ，秒) ，s ( x ，y ) ，t ( x ，) ( z ，y x ) 满足