（基础数学专业论文）有关hamilton系统的两类generic.pdf

有关h a m i l t o n 系统的两类g e n e r i c 摘要 确定a b e i 积分的孤立零点个数的最小上界，是当今分岔理论研究的热门课题之一，这 一问题与确定h a m i i t o n 系统或町积系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关这是h i l b e r t 第1 6 问题的一种特殊情况，称为弱化的h i l b e n 第1 6 问题有一类具有特殊性质的h a m i l t o n 系统，我们称为g e n e r i c ，由于其具有一些比较好的性质，研究起来较为方便 本文分为三部分第一部分介绍了研究现状以及本文的主要结论，并且引入本文所研究 、 的g e n e r i c 情形的有关定义第二部分首先提出结沦，具有周期闭轨族的二次h a i l l i l t o n 系统一 l1 定存在中心奇点，然后研究了一类具有周期闭轨族的三次h a l i l t o n 函数日( j ，力= 去p + 去严+ 二二 a ，+ & 2 y + 2 + 矽、b 、c 、d 为实参数) ，给出了它所对应的h a l i l i l t o n 系统是2 g e n e r i c 的充要条件这个充要条件异于i l y a s h e n k o 和e h o r o z 曲、i d i l i e v 的判定方法，并且给出了 两个例子第三部分考虑另一类g e n e r i c 情形，即非退化的半权齐次多项式，由于其与p e n - o v 模有关，故称之为m g e n e c 在文献【2 l 】中，g a v m o v 直接指出了一类形如日伉y ) = ) 1 2 + 尸( 曲 的多项式是非退化的半权齐次多项式，而末对其进行严格的论证在这一部分中，我们首先 对这一模糊结论给予分析讨沦，并对几类多项式进行分析，得出它们形成的p e t r o v 模的生成 元个数的上界 关键词h a r n j l t o n 系统；m e l n i k o v 函数；n g e n e r i c ：p e i r o v 模；m g e n e r i c t w ok i n d so fg e n e r i ca b o u th a m i l t o n i a ns y s t e m s a b s t r a c t f i n d i n gt h el o w e s tu p p e rb o u n df o rt h en u m b e ro ft h ei s o l a t e dz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l s ， w h i c hi sc a l l e dw e a k e n e dh i l b e n16 t hp r o b l e m ，i s 锄i m p o n a mp r o b l e mi nb i f u r c a t i o nt h e o f yo f o r d i n a 巧d i h e r e n t i a le q u a t i o n i ti sc l o s e l yr e i a t e dt od e t e m i n i n gt h en u m b e ro fl i m i tc y c l e so fa p o l y n o m i a ip e n u r b a t e dh a m i l t o n i a ns y s t e mo ri n t e g r a b l es y s t e mo nt h ep l a n e ac l a s so fh a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t hs p e c i a lp r o p e n i e s ，w h i c hi sc a l l e dg e n e r i c ，i se a s i e rt 0b es t u d i e d ，b e c a u s ei t h a ss o m eg o o dn a t u r e n i sp a p e rc o n s i s t so ft h 赋c h a p t e r s c h 印t e rli sai n t 删u c t i o na b o u tt h es i t u a t i o no fs t u d y d e f i n i t i o n so fn g e n e r i ca n dm g e n e r i ca n dt h em a i nc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，ar e - s u l ti s 舀v e nt h a tq u a d r i ch a n l i l t o n i a ns y s t e m sw i t haf 抽订yo fp e r i o d i cc l o s e do r b i t sm u s th a v ea c e n t e rs i n g u l a r i t y ac l a s so f c u b i ch a m i l t 。n i a n s y s t e m s ，日( 丘y ) = 墨户+ 三，+ a p + 上& 2 ) ，+ c 妒+ z ) ) ，3 ，w h e r ea 、b 、c 、da r er e a lp a r a m e t e r s ，i ss t u d i e d i ti sg i v e nt h a tt h es u 伍c i e n ta n dn e c e s s 哪 c o n d i t i o no fw h i c ht 1 1 ec o 盯e s p o n d i n gs y s t e m sa r e2 g e n e r i c n ec o n d i t i o ni sd i 能r e n tf f o mt h e r e s u l t so fi l y a s h e n k oa n de h o r o z o v i d i l i e v a n dt w oe x a m p l e sa r es t a t e dt oe x p r e s s e di t i nc h a p t e r3 ，a n o t h e rg e n e r i c ，n o n d e g e n e r a t es e 咖一w e i g h t e dh o m o g e n e o u sp o l y n o m i a l ，i sc a l l e d m g e n e r i c ，b e c a u s ei tr e f e r st op e t r o vm o d u i e s i nb i b l i o g r a p h y 【16 】，g a v n l o rp o i n t st h a tac l a s s o fp o l y n o m i a l s ，s u c ha sh ( 工，y ) = ) ，2 + p ( 曲，i sn o n d e g e n e r a t es e m i w e i g h t e dh o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l sw i t h o u ts t r i c tp r o o f i nt h ec h a p t e r ，t h ea m b i g u o u sc o n c l u s i o ni sa n a l y z e da n dd i s c u s s e d f i r s t t h e nc l a s s e so fs p e c i a lp o l y n o m i a l sa r ea n a l y z e d ，a n dt h eu p p e rb o u n do ft h en u m b e ro f g e n e r a t o r so fp e t r o vm o d u l e s ，w h i c ha r eg e n e m t e db yt h e m ，i sr e c e i v e d 1 【e yw o r d sh a h l i l t o n i a ns y s t e m ；m e l n i k o vf u n c t i o n ；n g e n e 订c ；p e t r o vm o d u l e ；m g e n e r i c i i 独创性声明 本人声明所交的论文是我个人在导师指导卜进行的研究，i ：作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得丕鲞! 重基盘鲎或其它教育机构的学位或证1 5 而使川过的 材料。与我一同i ：作的同忐对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天滓师范人学有关保留、使刚学位论文的规定，即：学校有权将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采川影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编以供壳阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印什和磁虢。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：日期：垄 ! ：笸：二7 第一节引言 1 9 0 0 年，著名数学家d h i l b e “1 】在第二届国际数学家人会上提出了2 3 个数学问题，其 中第1 6 个问题的后半部分是：给定一个右端为以次多项式的平面系统 f j = r ( 工，y ) ， ( 1 1 ) 【夕= g ( 石，y ) 极限环个数的最小上界日) 是多少? 可能出现的极限环相对位置如何? 其中r ky ) 、幺( 石，) ，) 是关于实变量x 、y 次数不高于，l 的实系数多项式一个多世纪以来，尤其是在近几十年，中 外数学家在这方面做了大量的工作经过i l y a s h e n k 0 【2 】和e c a l l e f 3 1 完善证明后的d u l a c 【4 】有 限性定理指出：一个给定的，1 次多项式系统的极限环个数是有限的但是，对全体n 次多项 式系统而言，其极限环个数的一致上界如何估计( 哪怕是否有限) ，即使对_ r z = 2 这种最简单 的线性情形，仍是一个没有解决的问题 1 9 5 5 年【5 】和1 9 5 7 年【6 】，p e t i i d v s k i i 和l a d i s 一起发表文章声称解决了系统( 1 1 ) 的极限 环个数的最小上界的存在性问题，特别地，他们在文章中给出了结论：日( 2 ) = 3 但是，在 1 9 6 0 年前后，n o v i k o v 与i l y a s h e n k o 发现p e n d v s 】【i i 和l a d i s 的证明中有错误1 9 7 9 年，史 松龄教授【刀、陈兰荪教授和王明淑教授【8 】分别独立地举出日( 2 ) 4 的例子，从而破除了二 次系统极限环个数上界是3 的传统猜测在叶彦谦教授的专著【9 】以及d u m o r t i e r 等人的系 列文章中，可以发现大量有关的结果s s m a i e 【1o 】认为，对月( 甩) 的研究可能是h i l b e n 问题中 最困难的一个，可见这个问题是对数学工作者的一个重大挑战 考虑平面系统( 1 1 ) 的一种特殊情形，即小扰动下的平面多项式系统： ( 1 2 ) e 其巾，( 工，y ) 、g ( 工，y ) 、p ( j ，y ) 、q ( 工，y ) 均是关于小y 的实系数多项式，m a x d e g 厂( 工，) ，) ，d e g g ( x ，) ，) ) = ，z ，m a x d e gp ( j ，y ) ，d e gq ( 五y ) = 九，f 是一个参数，且o e 1 假设系统( 1 2 ) o 存在一 个首次积分片( 五y ) ，使得满足 ，( 五y ) = 厶b ( 五) ，) ，g ( z ，y ) = 一j 以( 五力， 力力 五 五以咄 + 力力 量 k八酊 j j i i 石 y，-ll，、il 这时系统( 1 2 ) o 被称为h a m i l t o n 系统，系统( 1 2 ) 。被称为h a m i l t o n 系统的扰动系统由于 h i l b e r t 第1 6 问题过于网难，数学家转向研究一类特殊的系统，即h a m i l t o n 系统，并考虑它 加上小扰动后可能出现的极限环的分翁现象，vi a n l o id 【1 1 】称之为弱化的h j l b e r t 第1 6 问 题 假设( 1 2 ) o 存在周期闭轨族，n 是该系统的周期闭轨，且为顺时针走向( 为了方便，以 下出现的n 均为顺时针走向) ，即 nc ( x ，y ) 碾f 1 日( 石，y ) = l ， cr 是n 的最大存在区间，那么通过n 的无切线段上所定义的后继函数具有形式 以( | z ) = r ( 庇) 一 = e j f ( j 1 1 ) + f 2 如( ) + ， 其中 ， ，( j 1 ) = m l ( j 1 1 ) = q ( y ) 出一以五_ ) ，) 咖，】 l j h 称为a b e i 积分或一阶m e l n i k o v 函数 戤( j 1 1 ) ( 足2 ) 称为k 阶m e l n i k o v 函数后继函数4 ( 7 z ) 的零点对应扰动系统( 1 2 ) fp o i n c a r e 分岔所产生的周期闭轨，而j f ( j 1 1 ) 是4 ( ) 对的一阶近 似，因此，( | z ) 的零点个数对破( 矗) 的零点个数估计至关重要如果，( ) 不恒为零，则当e _ o 时，( j z ) 的孤立零点个数( 考虑重数) 是系统( 1 2 ) o 的周期闭轨分支出的极限环个数的上界 对于一股的h a m i l t o n 扰动系统 f j = 毋( 工，) ，) + p i ( 工，) ，) ，( 1 3 ) f 【夕= 一也( 工，y ) + e q l ( 五y ) 其中( 五y ) 、尸l ( j ，y ) 、q i ( 五) ) 均是关于x 、y 的实系数多项式，d e g 片( 工，y ) = m + l ，m a x d e g p l ( x ，) ，) ，d e gq l ( j ，y ) l = ，l ，是一个参数，且0 d e g 吼 假设风= f + j s d e g 肌口西，z = 刀一d e g 风令b ) = 少一魄仇，尸( j ，y ) = 0 ，q ( j ，) ，) = f 郴咄风簪，则有 蠡。q t x ，协d x p b ，们由= l t n r h q ，d x 由 = l 啊，i + j 啦帆a i j 坶仆、d x 由 = f 、尹h x d x 曲 q ：h yd h = ，9h x d x + y h ，d = 瓯啊妙1 h x 七岁h 碍一y h o d x 曲 = l l l 丽h 广1h x d x 曲 4 f o ，所以氟q ( 工，) ，) 出一尸( 工，y ) 咖= 儿“广风出咖兰o 而q ，+ = ，一1 也o ，与 一( x ，y ) 是n g e n e 市矛盾证毕 张芷芬教授和李宝毅教授在文献【1 5 】中研究了此类情况，指出了对于n g e n e r i c 的 h a m i l t o n 扰动系统，在研究其扰动后极限环个数的问题时，具有很大的优越性 由上而七阶m e j n i k o v 函数肘女( j 1 ) 的计算方法，可以得到 肘i ( 矗) = 氟 m i ( ) 兰。时，( ，1 ) = 彝hr l 甜l + 忱， m l ( j 1 1 ) 三尬( 矗) 兰。时，肘3 ( ) = 允r i 纰+ 厂2 u l + 忱， 肘i ( 矗) 兰尬( | 1 1 ) 兰三尥一i - o 时，尥( 矗) = 氟r l 姚一l + 厂2 蛾一2 + + 似l l + 咄 不难看出，当| i 2 时，尥( j z ) 的表达式比较复杂，因此计算难度较大但是如果系统对应 的日( j c ，y ) 是n - g e n e r i c 时，肘t ( j 1 ) 的表达式将极大的简化此时，当肘i ( _ 1 ) 兰 如( _ 1 ) 兰兰 尥一l 兰o 时， 耽( 愚) ：缶他：级阮y ) 一r ( 石，力方 i ii j 引理1 1 【1 5 1 对于系统( 1 3 ) 。，如果日y ) 是n g e n e r i c ，并且一阶m e l n i k o v 函数 肘舶) = 虫q l y ) 出一p j ( 工，y ) 咖兰0 那么扰动系统( 1 3 ) 。是h a m i l t o n 系统 引理1 2 1 15 】考虑系统( 1 4 ) 。，假设日( x ，y ) 是n g e n e r i c ，如果 那么它的m e j n i k o v 函数 叠l ( 1 ) 兰m 2 ( ) 兰三 九一i ( ) 三0 ， m ( 矗) = 帆( 元) + d ( ) = ，$ g ( 工，) ，) 如一r y ) 方+ d ( ，) ， n 事实上，对于系统( 1 3 ) 。和( 1 4 ) 。，在研究它们的分岔现象的时候，只须考虑+ 阶m e l n i k o v 函数肘i ( j 2 ) 来替代m ( ，z ) ，其巾( 1 3 ) 。和( 1 4 ) f 的m i ( ) 是具有相同形式的 引理1 3 【1 5 】给定一个多项式函数日( 五y ) ，月( y ) 是n g e n e r i c ，要研究系统( 1 4 ) f 中 肘( ) 的孤立零点个数的最小上界和奇点或同宿环的环性，只须考虑它的一阶m e l n i k o v 函数 肘l ( j z ) 5 如果系统( 1 4 ) 。中的片( 五y ) 非n g e n e r i c ，要研究m e l n i k o v 函数肘( j l z ) 的零点个数 当m l ( ) 不恒为0 时，肘( j 1 1 ) 的零点个数由m l ( ) 确定而当m l ( j l z ) 三o 时，此时称为退 化，则需进一步讨论尬( | 1 ) ，若尬( j 1 1 ) 不恒为o ，则肘( ) 的零点个数由( ) 确定；若 肘2 ( 矗) 三o ，则需进步讨论鸭( 矗) 依次类推，在估计极限环个数的时候，可能出现更多 的变化情况，研究也变得更复杂在文献【1 6 】和【1 7 】中，关于系统( 1 4 ) 。，当肘l ( ) 三0 时，尬( j 1 1 ) 的准确表达式已经给出了在文献【1 8 】中，关于系统( 1 3 ) 。，当以= 2 时，若 朋l ( i z ) 三肘2 ( j 1 ) 三兰慨一i ( j 1 1 ) 三o ，足阶m e l n i k o v 函数慨( j i z ) 的准确表达式也已经给出了 然而，对于系统( 1 3 ) 。中的，l 2 时，以及系统( 1 4 ) 。，地( ) 的数学表达式虽然有，但是具 体计算较困难对于系统( 1 4 ) 。的退化情形，由于研究起来具有很大的困难，仍然没有太多 的结果 由于n g e n 丽c 系统在研究中具有很大的优越性，可以避免考虑一些复杂的( 例如退化) 情况，许多数学家研究过这类系统i l y a s h e n k o 在文献【1 9 】中，给出了一个h a m i l t o n 多项 式函数日( x ，y ) 是e x a c t ( m g e n e r i c ) 的充分条件 引理1 4 【1 9 】假设日伉力是一个关于工、) ，的多项式函数，d e g 日( x ，力= 聊+ l ，如果 何( 五y ) 具有舻个非退化的临界点，且它们所对应的临界值各不相同，则h ( x ，) ，) 是e x a c t ( m g e n e r i c l e h o r o z o v 和i d i l i e v 在文献【2 0 】中研究了一类具有鞍点的三次h a m i l t o n 函数日( 工，力， 并且给出了一个结论：如果日k y ) 经过初等变化后，可以转化为 h ( j ，) ，) = j 吵+ ( 石+ 七1 ) ，) ( 工+ ：2 y ) ( 工+ 足3 y ) ， 其中七i 、七2 、足3 不能形成几何级数，并且七l 、乜、如或者均为正实数，或者其中一个是正实 数，另外两个是一对共轭复数，那么日y ) 是2 一g e n 商c 假设( 1 3 ) o 存在周期闭轨族，其中的h a m i l t o n 酌数日y ) 的次数为3 ，则日( 石，y ) 经坐 标变换后具有以下形式 挑= 三，+ 三y 2 + a ，+ 群y + c 妒+ 砂， 其中的a 、b 、c 、d r 对于此类的h a m i l t o n 函数日( x ，y ) ，它在什么情况下能够是2 g e n e r i c ， 这是本义第二节的研究内容 6 函数，( 工，力：c 2 _ c ，如果厂( 石，) ，) 满足条件： 八一工z 咚y ) 三一厂( 工，) ，) ，v 石，y ，z c 那么八石，_ ) ，) 称为权次数为d 的权齐次( w e i g h t e dh o m o g e n e o u s ) 多项式，并且权型为w = ( ，嘶) ，其中氓、嘶均为正整数，且( c l j ，q ) = 1 ，蛾= w p 堙 f ( 曲，嘶= 鹏动f ( y ) 多项式厂c 【工，y 】，如果厂可以分解为以下形式：，= 岛五，这里z 是权次数为i 的权齐 次多项式，并且权型均为w ，那么厂称为权次数为d 的半权齐次( s e m i w e i g h t e dh o m o g e n e o u s ) 多项式，并且权型为w 此时，若原点是厂的分解式中最高阶权齐次部分店的孤立临界点， 则厂称为非退化的 定义1 2 称系统( 1 3 ) f 中的日阮y ) 是m g e n e r i c ，如果它满足条件： ( 1 ) 系统( 1 3 ) o 存在周期闭轨族h ，nc ( j r ，力r 2 1 日( j ，力= ，矗 ( 2 ) 日( z ，y ) c h ，) ，】，h 力是一个非退化的半权齐次多项式 为了和前面的g e n e r i c 区别开来，鉴于它与模有联系，故这类g e n e r i c 称为m g e n e c ( m o d u l a rg e n 鲥c ) 在系统( 1 3 ) f 中，对应的a b e l 积分，( j 1 1 ) 形成一个向量空间，记为，并且是一个关 于矗的实系数多项式环r 【 】上的模，称为p e t r o v 模l u b o m i rg a v r i l o r 在文献【2 1 】中给出一 个结论：对于一个给定的m g e n e r i c 多项式函数日y ) ，其对应的扰动系统形如( 1 3 ) 。，a b e l 积分，( i 1 ) 所形成的r 嘲上的模乒是自由的，并且具有p 个生成元，p = ( d 一蛾) ( d c c j ，) 氓u ， 在研究弱化的h i l b e n 第1 6 问题时，讨论系统( 1 3 ) 。可能存在的极限环个数，主要是转化为 研究a b e i 积分j ，( 矗) 的孤立零点个数在a b e l 积分，( z ) 的孤立零点个数的估计过程中，主 要的力法是要先确定模尹h 的生成元的个数由此可见，此类m g e n e r j c 对极限环个数上界 的研究也具有简化的作用有关m g e n e r i c 的性质，这是本文第三节所研究的内容 在义献【2 1 】中，g a v r i l o r 直接指出了一一类形如曰( 石，_ ) ，) = ) ，2 + j p ( 工) 的多项式是非退化的 半权齐次多项式，而未对其进行严格的论证在第三节中，首先对形如y ) = ) 7 2 + 尸( j ) 的 多项式足否满足非退化的半权齐次多项式的条件进行验证，得冉文献【2 1 】中的结果并不足 一定成立的，即日( x ，y ) = y 2 + p ( z ) 不一定是非退化的半权齐次多项式而后，对几类特殊 的多项式类型进行分析，得出它们对应的靠的生成元个数的上限 7 下面介绍本文的主要结论： 定理1 1 对于h 锄i l t o n 系统的扰动系统 fj = 厶0 ( 工，y ) + e p ( 石，y ) l 夕= 一爿i ( z ，y ) + q ( 工，力 其中疗( z ，力、尸( x ，_ ) ，) 、q ( 工，y ) 均是关于j r 、) ，的实系数多项式，d e g 日“y ) = 3 ，m a x d e g 以j ，y ) ， d e gq ( 五_ ) ，) ) = 2 ，是一个参数，且o 0 时，七为正整数，等 号成立 8 第二节具有周期闭轨族的二次h a m i l t o n 系统的 2 一g e n e r i c 充要条件 本节考虑以下h a m i l t o n 系统的扰动系统 f 完= 皿( j ，) ，) + f p ( 五y ) 【夕= 一日，( z ，y ) + e q ( ) ，) 其中h ( 工，y ) 、以x ，力、q 瓴y ) 均是关于工、y 的实系数多项式，d e g 日y ) = 3 ，m a x d e g p ( 工，) ，) ， d e gq ( j ，y ) = 2 ，e 是一个参数，且0 。时，c 。，。，是h a m i - t 。n 系统c 2 2 ，对应的线性系统的中心，所以c 。，。，是 系统( 2 2 ) 的中心奇点 2 当j ：引= 。时，c 。，。，是系统c 2 国对应的线性系统的退化奇点，此时c 。，。，处的j a c 。k 矩阵只能是以f 两种情形：( 兰兰 或( 兰廿从而经变换后有舯力= a p + 群y + c 妒+ 砂 9 或h ( x ，y ) = ( 1 2 ) 严+ a + b ，) ，+ c 叼，2 + d 尹 考虑月+ ( 工，y ) = a p + b _ 2 ) ，+ c 妒+ 旷情形若a = o ，则日( 茗，o ) = o ，y 轴是条直 线解，而周期闭轨族包幽原点，故必与) 7 轴相交，与轨线的不自交性矛盾；若a 0 ，则可 通过尺度变换将其转化为1 ，此时h ( j ，y ) = 尹+ 矽p y + c + 【) ，2 + d + y 3 y o 时，令，= x 胁， 则h ( x ，y ) = o 转化为f 3 + f 2 + c 4 f + d + = 0 一元i 次方程至少存在一个实数解，所以存 在，i r ，使得上述方程成立，即存在直线解j = f i ) ，必与包含原点的周期闭轨族相交，与 轨线的不白交性矛盾 考虑日y ) = ( 1 2 炉+ a ，+ 职) ，+ c 妒+ 矽情形若a = o ，则日4 ( 石，o ) = o ，y 轴是一条直线解，而周期闭轨族包围原点，故必与y 轴相交，与轨线的不自交性矛盾；若 a o ，h ( o ，0 ) = 0 ，一元三次方程至少存在一个实数解，则必存在一条经过原点的曲线解 z = x ( ) ，) ，使得日+ ( 砌) ，y ) = o ，且必与原点外部的周期闭轨族相交，与轨线的不自交性矛盾 3 当i 以扫l o ， ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ，i 伍，e ) = e 2 ( 蝣2 e + “e 2 一硝+ p e ) ( a 2 2 a e + 铲+ 1 ) ， 凡陋，向= f l ，白( 一l + 瓠e e 2 ) 1 4 a e o ，则一l + 3 a e 一萨 o ，所以 f l 一4 a c o 1e ( 9 a 2 e + “e 2 一硝+ e 3 一e ) ：o 。 e = o 时，有a = o ，则有 9 a 2 e 十6 a e 2 一撕+ e 3 一e = o 而孵2 e + “c 2 一丝+ e 3 一e = o 时，有 。一6 e 2 + 2 士、1 2 e 2 + 4 a = 一 1 8 c 则1 一私e = ( 1 2 e 2 + 5 2 1 2 e 2 + 4 ) 9 o 综上，( 2 5 ) 成立 再证明充分性假设( 2 5 ) 成立，由上面的分析知道，刀( j ，歹) 经过l 和2 巾的坐标变化 可以转化为 疗( 工，) ，) = 去，+ 去y 2 + a ，+ 台j r 2 夕+ e 妒 二二 若台= o ，则h ( 工，力关于x 轴对称；若房o ，则蛳2 e + 砸e 2 2 a + e 3 一e = o ，南3 中的 旋转变换( 2 8 ) ，可以将疗( 工，y ) 进一步转化为 厅( 训) = 三，+ 圭) ，2 + 融+ 耐， 则何( 石，) ，) 关于j 轴对称所以月( x ，y ) 关于一条过原点的直线对称 综上，引理2 3 证毕 定理1 1 的证明 先证明充分性由前面的讨论，可知月瓴力具有( 2 3 ) 的形式，只经坐标变换后可转换 为( 2 4 ) 由丁旋转变换和尺度变换不改变日( x ，y ) 的轴对称性，( 2 3 ) 与( 2 4 ) 具有相i 司的轴 对称性，因此可利用( 2 4 ) 水研究( x ，y ) 是否是2 一g e n e d c ( ) ，) 不存在过原点的对称轴，则有含( 9 a 2 e + “e 2 一西+ e 3 一e ) o ，所以台= 1 ( 2 4 ) 对应的h a m i l t o n 系统为 二二乏砂 令 f z = r c o s p iy2 r s i n 口 则有 搴：碧：一1 3 删d ， ( 2 1 2 )一一- 一r ，i h - j，-jl 出妒+ 1 7 2 ” 卜7 其中m ( 回= a c o s 3 口+ c o s 2 口s i n p + e c o s p s i n 2 p 疗( x ，y ) = ，2 2 + 肘( 日) ，3 ，令疗( y ) = 矗，何= r ，则有 一足= 尺( 1 + 口i ( p 冰+ 口2 ( 口) 启+ n 3 ( 9 ) 萨+ ) ，( 2 1 3 ) 其中口，( 口) ( i 为正整数) 均足连续函数 + q ) t = n z + 妙+ f ，则有 h q b ，如d x p u ，协曲= l 。r i p x + q d x 如 = 强n 叮x + 切七d d x 西 = 彝。( a 秽+ 2 _ ) ，2 + 哕) 出 = f 2 丌( 口掣+ 2 ) ，2 + 哕) ( ) ，+ ，+ 2 e 矽) ( d r 枷) 枷 = 户( c r 2s i n 2 口+ 口( 嘞加 = 胡2 户s i n 2 护加+ d ( 月2 ) = 2 c 7 r + d f | l z ) 1 4 若氟q o ，_ ) ，) 出一p ( x ，) ，) 咖三o ，则有c 毫o 所以 亚q y 胁删却= 皿例蛐 令q ( 五力出一尸( 五y ) 咖= 以+ 尉力，其中一、8 均为关于工、y 的多项式，则有 蚕hq 惦，蝴d x p b ，如d y 兰o ，此髓p i + q ，= 一b x af + b t a x 取b = y ，则 i i l 帆! x d x d 2 3 a3 3 l n n j d x d 一2 s l n 氏j ，嗲d x d 了一e l 帆于d x d y q 1 吣 取b = 工，则 l 。n | ：3 d x d ，= 一i l 帆j j d x 由一2 e l 。n ? d x d 了 q 1 1 3 l 蛹h d x d ) = h # yd x = p 乎y b 七聋七2 e 嘞q t | d d 8 = 户( ，4c o s 2 日s i n 2 日+ 。( r 4 ) ) 柏 = r c 。s 2 口s i n 2 扫硼+ 。( ) = 砌2 + d ( 五2 ) j l l l 俯h 于d x 由= 罨。乓d x = ；炙国矿b + p + 2 e 瑚哺t d d 8 = ；r ( r 4 s j n 4 口+ 。( r 4 ) ) 枷 = r s i n 4 p 抬+ 。( ) = 砌2 + d ( ，1 2 ) bx ) d x 曲：鑫h 萼d x = f h 妒( ) ，+ ，+ 2 e 砂) ( 出d p ) d p = r ( r 4 c o s ps i n 3 口+ 口( ，4 ) ) 瑚 = f c 。s p s i n 3 臼枷+ 。( ) = d ( 矗2 ) 1 5 将其分别代入( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) ，则有 难n _ x + 岫曲= 【一口( 3 a + e ) 一扫】7 呐2 + d ( 2 ) 着蛙q ( j ，) ，) 出一p ( 石，) ，) 咖兰o ，则有易= 一以( 3 a + e ) 所以 虫蝴肛啪妒o 劬出7 氟q ) ，) 出一尸( 工，y ) 方= 玩，n ( n 工+ 缈) 出匆 = 吐玩，r 工出咖一( 3 a + e ) 儿“y 出纠 = 口【ej l n ( ，一) 1 2 ) 出咖+ ( “e + 2 c 2 2 ) 玩n 矽出咖】 取b = 掣，则 l 。n 心一1 d x 曲= 3 a ，m 节d x d 一l m 亏了a x d + e l m j 对d x d q 、q 取b = j r 2 2 ，则 取b = p ，则 取b = 广，则 3 i m j ? d x d = 一l m 节d x 西一砬| m 亏，d x d ， | m 亏了d x d 了= 一，。n h ，亡d x d 一2 e l m 节y d x d ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) l n n h x 矿d x d = 3 a l m h f j 矿d x d 一2 | 。n j 对d x d 一e l m i d x d ，q 取b = j r 2 y ，则 3 丸眦：二：饕嚣：嚣己譬坼一q 鳓 一4l l l 丽，对d x 由一砬l l i 西h 歹d x 姆 ?j 1 6 由( 2 1 6 ) 一( 2 2 0 ) ，可得 眠扣h 蝴蚴葛恐麓二：锻篙均玩如咖亿2 ，+ q 4 r 。p ) d x 曲+ q s l i 帆矿d x 曲 一一j 具【p 口l = 2 a c 。+ 1 8 a c 。+ 4 c 一一6 i a 一3 c ，口2 = 5 4 a c 1 8 a c ”一6 c 3 一1 2 a + 6 c ， a 3 = 3 荫e + 6 萨一8 ，叽= 2 私e 3 + 8 c 4 6 铲，= 1 8 a e 2 + 3 e 3 4 e 通过计算，可以得到 i m 节d x d = 死话+ o 心、， | 帆? d x 曲= 兀话+ o 心、， l l 帆亏灿曲= 州、， 虬枷由= 蛾 虬对蛐埘、) 蛙q y ) 出一尸力咖= 儿，n ( 口x + 勿) 出咖 = 5 口7 r ( 9 a 2 e + 6 五e 2 一硝+ e 3 一e ) j l l 3 + o ( 厅3 ) 若氟q o ，y ) 出一p ( x ，y ) 由兰o ，则有n ( 9 a 2 e + 6 a e 2 2 a + e 3 一e ) 三o 假设( 2 3 ) 中的月( j ，力不存在过原点的对称轴，由引理2 3 可知，( 2 3 ) 可经过旋转和尺 度变换变为( 2 4 ) ，则( 2 4 ) 中的疗( 工，力也不存在过原点的对称轴，所以 姒2 e + 丽e 2 一丝+ e 3 一e o 若鼻。q ( 石，y ) 出一尸( x ，) ，) 咖= 儿，n o z + 缈+ c ) 出咖三o ，由上面的讨论，必有 c = o 6 = 一口( 3 a + e ) n ( 蝣2 e + “e 2 一确+ e 3 一e ) 三o 1 7 由孵2 e + “c 2 一丝+ e 3 一e o 可得，订= 6 = c 兰o 所以月( 力为2 g e n e r i c 再证明必要性假设( 2 3 ) 中的h ( x ，力为2 g e n e r i c ，则日( x ，) ，) 必不存在过原点的对称 轴，否则与引理2 2 矛盾综上，定理1 1 证毕 定理1 1 是判断三次h a m i l t o n 函数是2 g e n e r i c 的一个充要条件，此条件比y a s h e n k o 给 出的充分条件要求更弱取何蝴= ，2 + ，2 2 p + 匆一2 妒，此时a = 一2 ，台= l ，e = 一2 ，( 2 5 ) 成立，即日( x ，) ，) 没有过原点的对称轴，故何( x ，) ，) 是2 g e n e r i c 但足月( 工，y ) 不满 足引理1 4 中的2 g e n e r i c 充分条件，不存在四个非退化的临界点 h ( j ，) ，) 的临界点个数等于以下方程组根的个数 f 马= ) ，+ 一一4 刁= o 【蛾= j 一6 产+ 2 砂一勾i ，2 = o 当工= l 4 时，方程组无根；当j 1 4 时，方程组等价于方程 缸一9 0 + 6 2 ，一1 4 工+ 1 ) = o 工= o 是方程的一个根，下面主要是确定一元三次方程一9 0 ，+ 6 2 j r 2 1 缸+ l = o 是否存 在三个实根此时口= 一9 0 ，易= 6 2 ，c = 一1 4 ，d = l ，a = 炉一3 口c = 6 4 ，b = 比一9 耐= 一5 8 ，c = c 2 3 鲥= l o ，= 萨一4 a c = 8 0 4 0 ，由盛金判别法】可知，上述一元三次方 程只有