（基础数学专业论文）几类微分方程的周期解.pdf

摘要 本硕士论文由三章组成，研究了几类微分方程的周期解，得到了一些 新的结果其中一部分改进和推广了已有文献中相关结论。 第一章讨论了一类带年龄结构和自相残杀的非自治捕食系统的周期解 和概周期解通过采用新的方法，减弱了文f 3 t 】的相应定理的条件，同时 考虑了新的因素，推广了文【3 1 】的结论，得到了所讨论方程的周期解存在 的充分条件及其概周期解存在的充分性和一致渐近性 第二章研究了一类中立型l o t k a - v o l t e r r a 系统的正周期解的存在性，放 宽了文 3 9 】中所有时滞为非负常数这一条件，推广和改进了文【3 7 4 0 】的主 要结论另外由于改变所研究模型中常数k 的有关条件，得到了一些新的 结论 第三章考虑了一类高阶非线性脉冲泛函方程的周期解的存在性，推广 了文【4 1 ，4 3 的主要结论，放宽了文【4 2 】的模型中常数c 的限制 关键词：脉 申；中立型；正周期解；概周期解；渐近性 a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i tm a i n l ys t u d i e st h ep e r i o d i c s o l u t i o n so fs o m e t y p e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s as e r i e so fn e wf i n d i n g sa r ea c q u i r e d i ni t a n ds o r t i eo ft h e mi m p r o v eo re x t e n dt h er e l a t e dr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e s c h a p t e r1m a i n l yf o c u s e so nt h ep e r i o d i c a n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so fa n o n a u t o n o m o u sp e r d a t o r - p r e ys y s t e mw i t h s t a g e s t r u c t u r e a n dc a n n i b a l i s m b y u s i n gt h en e wm e t h o d ，i tr e l a x e st h er e s t r i c t i o no ft h er e l a t e dr e s u l t s i nt h ep a - p e r 3 1 ，e x t e n d st h em a i n l yr e s u l t so ft h ep a p e r 3 1 ，o b t a i n st h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fap o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ，p r o v e st h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i f o r ma s y m p t o t i c s t a b i l i t yo ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h es t u d y i n gm o d e l c h a p t e r2c o n c e r n st h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s so fn e u t r a l l o t k a v o l t e r r as y s t e m s i nt h i sp a p e r ，i tn o to n l yr e l a x e st h es t r i c tr e s t r i c t i o n so ft h e c o n e f f i c i e n t si np a p e r 3 9 ，b u ta l s oe x t e n d st h em a i nr e s u l t so fp a p e r 3 7 - 4 0 w h a t s m o r e ，b yc h a n g i n gt h ec o n d i t i o no ft h ec o e f f i c i e n t sk ，o b t a i n st h en e wr e s u l t s c h a p t e r3s t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rh i g h e ro r d e rn o n l i n e a r n e u t r a li m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i td e v e l o p st h er e l a t e dr e s u l t si n t h er e c e n tp a p e r 4 1 ，4 3 ，r e l a x e st h er e s t r i c t i o no ft h ec o e f f i c i e n tci np a p e r 4 2 k e yw o r d s ：i m p u l s i v e ；n e u t r a l ；p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i n s ；a l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n s ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r i i 绪论 1 问题产生的历史背景 在许多科学领域的研究中，随着现代科学技术的发展，越来越多的变 化规律都可以用微分方程来描述或刻画，例如生态学、光学控制、物理学 、通讯理论、经济分析、流行病等等许多方面的变化规律，因此关于微分 方程的研究有着非常重要的意义，越来越吸引众多的学者进行研究在微 分方程的稳定性、有界性、振动性、周期性等方面取得了许多较好结果， 如 1 1 2 ，2 2 ，2 s - 3 0 1 而周期解问题一直是微分方程理论的一个重要分支，在理 论上和实际应用中都有着非常重要的意义 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简要概述 一带年龄结构和自相残杀的非自治捕食系统的周期解和概周期解 在一些生态模型研究中，由于实际生态意义的需要，往往要求探讨周 期正解的存在性及概周期解的存在性由于生物在不同的年龄阶段各种行 为能力大小不同，于是人们在研究生态模型时又充分考虑到这一因素，得 到了一些关于周期解存在性结果，如文 1 5 2 1 ，2 5 ，2 6 但大部分考虑这一因 素时均是把它简单的分为不成熟和成熟两个阶段，并且把每一个阶段的这 个因素均当作是一个固定的常数这与实际中生物的各种能力随年龄不断 变化不相吻合，于是文【3 1 开始充分考虑到这个不断变化的因素，研究了 以下模型： 圣1 ( ) = 6 l ( t n ) e x p ( 一丘。d l ( s ) d s ) x l ( t n ) 一d 1 0 ) 茁 ) + k 0 ) 口( t ) 茹1 ( t ) 1 0 ) ， 童2 0 ) = 6 1 ( t ) z 1 0 ) 一d 1 ( f ) z 2 ) 一b l ( t n ) e x p ( 一j ：qd l ( s ) d s ) x , ( t n ) ， 口1 ( t ) = b 2 ( t n ) e x p ( 一正。d 2 ( s ) d s ) y l ( t 一亿) 一d 2 ( t ) 掣 ( t ) 一e ( t ) x 1 ( t ) 可1 t ) ， 玩( ) = 6 2 ( # ) f 1 ( ) 一d 2 ( t ) y 2 ( t ) 一b 2 ( t 一砭) e x p ( 一盛。d 2 ( s ) d s ) 分l ( 一恐) ( 1 1 ) 得到了系统( 1 1 ) 的正周期解存在的充分条件但为了更进一步描述生态系 统，我们还应考虑到生物物种本身内部为了生存发生的自相残杀这一因素 对生态系统的影响这时我们自然会有下面的问题 问题1方程( 1 1 ) 在考虑自相残杀这一因素时其正周期解和概周期解 存在的条件又是什么? 二中立型l o t k a - v o l t e r r a 系统的正周期解的存在性 作为一个热点，关于中立型方程的研究，得到了人们的广泛关注，也 取得了一些关于它的稳定性、振动性、有界性、周期解存在性等许多结果， 如文【3 3 3 9 其中文 3 9 】研究了以下一般模型： “：( t ) = ( ) 【玩( t ) 一ea i k ( t ) u t 。( t 一无k ) 一屈t ( t ) u 2 0 6 他) r = 1r = 1 善1 酬吼。- 酬，2 ， n m ( 1 2 ) =f1 2 l 吗( t ) = j 0 ) 一q o ) + d j k ( t ) u k ( t 一曲) + e j k ( t ) v k ( t 一岛) 】， r = 1b = 1 ，e ， ? = 1 ，2 ，m 但作者只考虑其中所有时滞均为非负常数，且模型中的下标j ，于是人 们自然会想到以下问题在于 问题2 若方程( 1 2 ) 中所有时滞均不是非负常数，而是非负连续函 数，那么方程( 1 2 ) 是否存在周期解? 问题3 若在方程( 1 2 ) 中的下标常数k i ，情形会怎么样呢? 若在 方程( 1 2 ) 中的下标常数k i 且k j ，情形又会怎么样呢? 三高阶非线性脉冲中立型泛函微分方程周期解的存在性 由于脉冲微分方程和脉冲泛函微分方程有着广泛的应用背景，所以自 b a n o vd d ，s i m e n o vp s 等出版了关于脉冲微分方程的专著【9 ，1 0 】以来，对 它的理论研究受到了更加广泛的关注，但对于高阶脉冲微分方程和高阶脉 冲泛函微分方程的定性研究，除二阶外( 如文【6 - 8 ) 还很少见到文【4 3 】研 究了如下模型： b ( t ) + c ”0 一t ) i ”- - i - g ( t ，y ( t 一盯) ) = p o ) ( 1 3 ) 因此我们自然会有下面两个问题 问题4 在方程( 1 3 ) 中，当c 不是常数而是一个关于t 的函数时，方 程存在周期解的条件是什么? 文【3 7 】的结论对于高阶( 大于2 ) 是否也适用 呢? 问题5 方程( 1 3 ) 在有脉冲效应的情形下，存在周期解的条件又是什 么? 2 本文的主要工作 本硕士论文基于上述思想，其主要目的是研究和回答上述这些问题 在第一章，我们考虑了物种本身自相残杀这一因素，讨论了方程( 1 1 ，2 ) 周期正解的存在性，通过运用v 泛函方法( 文 4 ，5 】) 和比较定理，建立了存 在周期正解的存在性定理，得到了其概周期解的存在性和一致渐近稳定的 条件，减弱了文 3 l 】的相应定理的条件，也推广了文( 3 1 l 的结论 在第二章，通过利用拓扑度理论中的连续性引理( 文f 3 ，1 3 ，1 4 ) ，讨论了 方程( 2 2 1 ) 的周期正解的存在性，把模型( 2 ，1 2 ) 中所有时滞为非负常数这 一条件，放宽为有界非负连续函数，推广和改进了文 3 7 - 4 0 1 的主要结论 另外，通过改变模型( 2 2 1 ) 中常数k 的有关条件，得到了一些新的结论 在第三章，我们讨论了一类高阶非线性脉冲泛函方程的周期解的存在 性，运用重合度理论，建立了存在周期解的一些定理，放宽了文【4 2 的模 型中常数c 的限制，推广了文 4 1 ，4 3 】的主要结论 3 第一章带年龄结构和自相残杀的非自治捕食系统的 周期解和概周期解 1 1 引言 近年来，由于生态系统的研究越来越具有非常重要的实际意义，所阻 越来越受到人们的关注，并已取得了许多优秀成果，如文【1 2 ，1 5 - 2 1 ，2 5 ，2 6 l - 但 生物在其不同年龄阶段各种行为能力大小不同，并且对生态系统有着不可 忽略的影响，于是，人们在研究时又充分考虑这一影响，如文【3 1 】，文【3 1 】 是在文【2 5 ，2 6 的基础上，研究了以下非自治生态系统模型 i 1 ( t ) = b l ( t n ) e x p ( 一j 暑，。d t ( s ) d s ) x l ( t 一丁1 ) 一d l ( ) 。i 0 ) + k ( t ) 日0 ) z ( ) 1 0 ) ， 圣2 ( t ) = b l ( t ) x l ( t ) 一d l ( t ) x 2 ( t ) 6 1 p n ) e x p ( 一j i 。d l ( s ) d s ) x l ( t n ) ， 虮( t ) = b 2 ( t 一亿) e x p ( 一证。d 2 ( s ) d s ) y 1 0 一亿) 一d 2 ( t ) ! ， 0 ) 一o ( t ) x t ( t ) y l t ) ， 如( t ) = 如f ) y 1 ( t ) 一d 2 ( t ) y 2 ( t ) 一幻p 一亿) e x p ( 一丘，：如( 8 ) d s ) 肌( t 一) ， ( 1 ，l1 ) 得到了系统( 1 11 ) 的正周期解和概周期解的存在条件及其解的一些性态。 本文则在系统( 1 1 1 ) 基础上充分考虑到成熟的捕食者内部由于竞争而 引起的自相残杀这一因素，研究了以下系统 2 t ( t ) = b l ( t t 1 ) e x p ( - 位nd l ( s ) d s ) x l ( t n ) 一d l ( t ) z ( t ) + 托( t ) 日o ) z 1 ( t ) y 1 0 ) 一p ( t ) z 1 ( t ) ， e 2 ( t ) = 6 l ( t ) x t ( t ) 一d l ( t ) x 2 ( t ) 6 l ( t n ) e x p ( 一伍，d t ( s ) d s ) x , ( t t l ) ， 扔( t ) = b 2 ( t 一7 j ) e x p ( 一j 0 。d 2 ( s ) d s ) y l ( t 7 1 ) 一d 2 0 ) 口 ( t ) 一口( t ) 。l “) 9 l ) ， 吼( = 6 2 ( # ) 虮( 曲一d 2 ( t ) ；2 ( t ) b 2 ( t n ) e x p ( 一见。d 2 ( s ) d s ) 可1 0 一亿) ，t 0 茁1 ( t ) = 毋l ( t ) 0 ，z 2 ( t ) = 锄( t ) 0 ，”1 0 ) = l p l u ) 0 ，5 2 ( t ) = c 1 0 2 ( t ) 0 ， 瓦t 0 ，i = 1 ，2 ( 1 1 2 ) 得到了系统( 1 1 2 ) 的正周期解的概周期解的存在条件及其解的一些性态其 中忍( t ) ，玑( t ) ( _ 1 ，2 ) 分别表示各自种群的成熟和不成熟的密度，丁 0 = 1 ，2 ) 表示各自种群从出生到成熟的平均时间，魄( t ) ( 江l ，2 ) 分别表示出生率， d 。( t ) 0 = 1 ，2 ) 表示各自种群中不成熟个体死亡率，d ；( ) 0 = 1 ，2 ) 分别表示种 群中成熟个体的死亡率这些种群个体分别看作在t 一兀0 = 1 ，2 ) 时出生和 从不成熟阶段到成熟阶段总共生存时间为t 并且假设成熟的捕食者只捕 4 食成年食饵口( t ) 为捕食率，k ( t ) 口( t ) 称为有效捕食效率，p ( t ) 为成熟的捕 食者内部之间的自相残杀率 从系统( 1 1 1 ) 和系统( 1 1 2 ) 可以看出，若令系统( 1 1 2 ) 中p ( ) = 0 ，则 系统( 1 12 ) 就退化成了系统( 1 1 1 ) 于是，本文的每一结论均是对文1 3 1 的 相应结论的推广，并且本文在讨论系统的正周期解的全局吸引性时，采用 了与文【3 1 j 不同的方法，得到的定理的条件也比文【3 l 】的相应定理的条件 更简单 另外，记( 只限于本章) 州o ) = b i 州加x p ( j ( 3d l ( s ) d s ) d s ) y 2 ( o ) = 伫6 2 ( t ) y l ( f ) e x p ( z 8 d 2 ( s ) 幽) d s 系统( 1 1 2 ) 中b ；，如，d ，尤，口，p 均为关于t 的有界连续正函数对任意 0 ，o 。) 上有界连续正函数，记严= s u p 邢) ，l ，i m 、 ，( t ) l ，且设 0 m i n b ：，砖d | ，以) 0 ，y i o ( i = 1 ，2 ) ) 是系统( 1 1 2 ) 的 一个正的不变集合 证明类似于文【3 1 】的引理1 下面的引理1 2 2 见文【2 6 中的引理3 1 引理1 22考虑方程；主( t ) = b z 一r ) 一a l z ( t ) 一a 2 x 2 ( t ) ， 其中b ，a 2 ，r 0 ，x ( t ) 0 ，( 一7 _ 曼t o ) ，贝0 有： ( 1 ) 若o 0 ，贝0 。+ l i + m 。x ( 0 = 訾； ( 2 ) 若6 ( t 1 0 ，则t z ( t ) = 鲁； ( 3 ) 若n l2 b ，则。l i m 。x ( t ) = 0 定理1 2 1假设 f d 1 3 。1h 5e x p ( 一d i r 2 ) + 口“d 5 d 5 b ? o “e x p ( 一d i n ) + 片“口2 “鹾e x p ( - d 2 r 2 ) ， ib ie x p ( 一硝丁1 ) p “ ( h i2 1 ) 成立，则系统( 1 1 2 ) 是一致持久的 证明：由系统( 1 1 2 ) 的第一个方程得： 士l ( t ) b 1 0 一n ) e x p ( 一d l ( s ) d s ) z l ( 一n ) 一d 1 ( t ) 。i ( t ) 一p ( t ) 茁l ( t ) b ie x p ( 一7 1 ) z l o n ) 一d g i ( t ) 一p x l ( t ) 设u ( t ) 是o ( ) = 6 i e x p ( 一钟n ) 口0 一n ) 一_ d 扣2 ( ) 一p “v ( t ) 的解，且当 一t 1 冬t 0 时v ( t ) = z 1 ( t ) ，则由引理1 2 2 及( h 1 2 。) 可得： ：旦”。) = 堕竺出d 邋i ：= m i t + 、 令0 矸时，z i ( t ) m l 由系统( 1 1 2 ) 的第三个方程得： 机o ) b 2 ( t 一屯) e x p ( 一f d 2 ( s ) d s ) 9 l o 一龟) 一i ) 2 ( ) 分 o ) 0 时孔( t ) = 可( f ) ，则由引理1 2 2 可得： m l i r a 。u = 堡竺絮塑：= ? 五，使得当t 噩时， 封1 ( t ) l ， 。 由系统( 1 1 2 ) 的第一个方程得： 圣1 ( ) 乃时， 。1 0 ) 崦e x p ( - d ；n ) 1 ( 一记) 一驴m l t ( z ) 一d ；f ；0 ) 设脚( t ) 是西( t ) = 醍e x p ( 一噬n ) 纠( 一t 2 ) 一伊m 叫( t ) 一d ；叫2 ( ) 的解，同理 可得： “t ) o 吓喀= 墼止掣 下面我们证明x 2 ( t ) ，耽( ) 的上下界 由系统( 1 1 2 ) 的第二个方程得 士2 ( t ) = b t ( t ) x l ( t ) 一d l ( t ) x 2 ( t ) 一6 l 0 一n ) e x p ( 一正。d l ( s ) d s ) x 1 ( 一q ) 2 2 ( t ) + d 1 ( f ) z 2 ( ) = 6 l ( t ) 茁l ( ) 一6 l o t 1 ) e x p ( - 正，。d 1 ( s ) d s ) x l ( t n ) e x p ( jd l ( s ) d s ) ( 宕2 ( ) + d l ( t ) x 2 ( t ) ) = 6 l ( t ) 算l ( t ) e x p ( f j d l ( s ) d s ) 一b 1 0 一t 1 ) e x p ( 一詹一1d l ( s ) d s ) z l o n ) ( z 。( # ) e x p ( z 。d - ( s ) 出) ) = 6 - ( t ) 尘t ) e x p ( z o d ，( s ) d 8 ) 一6 l o n ) e x p ( 一上d l ( s ) c f 8 ) 。l o n ) 7 勋( t ) e x p ( f o d l ( s ) d s ) = 。z ( 。) + ：tb l ( s ) 茹- ( s ) e x p ( z 5 d ( u ) d 让) d s 一仁“b ( s ) 酬e x p ( 0 5 d ( u ) d 札) d s = z ：( o ) + z 一”6 - ( s ) 茁( s ) e x p ( z 5 d ( u ) d “) d s + o 小) 啪) e x p ( 小删如 一，6 1 ( 洲加x p ( 肛( u ) 如 一广b t ( s ) 酬e x p ( 小( u d s = ，6 1 ( 咖1 ( s ) 唧( z 8 d l ( 州u ) d s 因此 吲归e x p ( 一o d 1 ( s ) 。6 - ( s ) 州s ) e x p ( j ( 8 d l ( u ) d s b ? m t e x p ( 一上d l ( s ) d s ) l8 x p ( j c d 1 ( u ) 如) d 8 ，tr r 5 鹾m t ，e x p ( 一，d l 乩) d s 钾尬壶( 1 一e x p ( 一d i n ) ) 警 这里， ，e x p ( 一，硪d u ) d s = 。e x p ( 一4 ( t 一鳓d s = e x p ( 一啦印，e x p ( d l 妒s = e x p ( 一啦t ) 壶【e x p ( d i t ) - e x p ( 4 ( t n ) ) = 西1 ( 1 一e x p ( 一d i n ) ) 令= 警，当t 足够大时，z 2 ( t ) 尬 同理可证， 驰( t ) m 2 ， o m 2 o 佗2 豢( 1 一e x p ( 一n ) ) ：= n 因此d = x l ，茁2 ，y 1 ，y 2 ) i r a 。s 托舰册y i m ，i = 1 ，2 ) 是一有界区域，并 且系统( 1 1 2 ) 的所有解在其初始条件下均进入并保留在此区域内证毕 定理1 2 2假设 馕唧e x p ( 二捌：筹翟麓之篆t t 1 主淼：| 刊 c 。， 【2 皑一d 5 见) + 蟛+ k “伊 五 0 取v ( ) = ( 幻+ ( 硗其中 k ( t ) = i x l ( t ) 一u l ( t ) i + l 茁2 ( t ) 一乱2 ( ) f + 2 b 1 0 ) e x p ( 一d - ( ( ) d e ) i x l ( s ) 一u t ( s ) i d s 一 ，s 十丁1 j t 一丁1 js k ( t ) = i y l ( t ) - v l ( t ) + y 2 ( t ) 一v 2 ( t ) l + 2 620)exp(一d2(e)d)i可l(s)一ul(s)ld8ft ， ，s 十n j 一n j s 则有 d + h ( t ) = s i g n x l ( t ) 一u l ( t ) b l ( t 一7 1 ) e x p ( 一d l ( s ) d s ) x l ( t n ) 一“1 ( 一n ) 】 - d l ( t ) x j ( t ) 一u ( t ) 】+ k ( t ) p ( t ) k 1 ( t ) l ( t ) 一钍l ( t ) 1 ( t ) 】 - p ( t ) x l ( t ) 一札1 ( t ) 】) + s i g n x 2 ( t ) 一趾2 ( t ) 6 l ( t ) x l ( t ) 一性1 ( t ) 一d l ( t ) 陋2 ( t ) 一仳2 ( t ) 】 一b l ( t t 1 ) e x p ( 一f d l ( s ) d s ) x l ( t n ) 一h 1 0 7 1 ) ) + 2 b 1 ( t ) e x p ( 一z d l ( s ) 如) m ) 一钍1 ( t ) j 一2 b l ( t t 1 ) e x p ( 一f d l ( s ) d s ) l x l ( t n ) 一钍l 一1 ) 9 b l o n ) e x p ( 一 。d l ( s ) d s ) i x 。 一n ) 一u l 一n ) 1 一p ( t ) l x l ( t ) 一- ( t ) 一d 。( t ) ( z 1 ( t ) + 札l ( t ) ) 1 。1 ( ) 一札l ( t ) i + 圪( t ) o ( t ) y l ( t ) i x l ( t ) 一“l ( ) l + 托0 ) 目( ) ”。 ) i 可。 ) 一v l o ) i + b l ( ) l z ( ) 一u l ( f ) i d t ) i z 2 ( ) 一“。o ) i + 6 1 0 一n ) e x p ( 一d l ( s ) d s ) l 。1 ( t 一7 - 1 ) 一u l ( 一7 - 1 ) i 1 ( ) e x p ( 一 抖7 1dl+2b t e x p ( d l ( s ) d s ) l x l ( t ) 一“1 ( t ) l( )一) 一“( t ) l j t e t 一2 b l ( t t i ) e x p ( 一d l ( s ) d s ) l x l ( t n ) u 1 ( t t 1 ) i s2 6 ：e x p ( 一哦n ) l 。 ) 一u - 0 ) i + 日“n l i z ，o ) 一u 1 ) i + k “0 u m l i y l ( t ) 一 l ( t ) l 一2 d i mx i z l ( t ) 一u l ( t ) l4 - b ：l x , ( t ) 一仳l ( t ) i d j l x 2 ( t ) 一? 2 2 0 ) l d l x , ( t ) 一u 0 ) i r t d + ( t ) = s i g n y t ( t ) 一v , ( t ) l b 2 ( t 一7 j ) e x p ( 一f d 2 ( s ) d s ) y l ( t 一乃) 一啦( t n ) 一d 2 ( t ) 旧 o ) 一u ；( t ) 】一o ( t ) xx ( t ) y t ( t ) 一乱1 ( ) u - ) + s i g n y 2 ( t ) 一 2 0 ) 】 6 2 ( t ) b 1 ( ) 一 - 0 ) 】一d 2 ( t ) 【2 ) 一t 垃( t ) 】 一6 2 ( t 亿) e x p ( 一d 2 ( s ) d s ) y l ( t n ) 一v l ( t 一心) ) )，件”y l + 2 b 2 ( te x p ( - - d 2 ( s ) d s ) y , ( t ) 一 l ( t ) i) 一 - ( t ) i jc r t 一2 b 2 ( t 一您) e x p ( 一d 2 ( s ) d s ) i y l ( t 一亿) 一v l ( t 亿) i j 一r 2 ，t b 2 ( t n ) e x p ( - d 2 ( s ) d s ) y 1 ( t 一乃) 一v l ( t 一亿) i d 2 0 ) ( 9 1 ( t ) + m ( t ) ) f ( ) 一口1 0 ) f + p 0 ) 掣i ( ) 睁1 0 ) 一让1 0 ) f o ( t ) u 1 ( t ) l y l 0 ) 一 3 1 ( t ) i + b 2 ( t ) l u , ( t ) 一 l ( t ) i d 2 ( t ) i y 2 ( t ) 一v 2 ( t ) l + 6 2 ( t n ) e x p ( 一d 2 ( s ) d s ) l y l ( t t 2 ) v l ( t 亿) i j t - - a 2 ，t + 舟 + 2 b 2 ( t ) e x p ( 一d 2 ( s ) d s ) l y , ( t ) 一 l ( t ) i je e t - 2 b 2 ( t 一亿) e x p ( 一d 2 ( s ) d s ) l y , ( t n ) 一 1 ( 一色) i 2 6 ；e x p ( - 4 v u ) y 1 ( t ) 一v i ( t ) l 一2 d 5 n l l y l ( t ) 一 l ( f ) i + 口“n l l x l ( t ) 一u 1 ( t ) - 0 m l l 可( t ) 一 1 0 ) i4 - 砖i y l ( t ) 一v l ( t ) i d ：l y 2c t ) 一v z ( t ) 1 因此， d + v ( t ) ( 2 硝e x p ( 一d 丁1 ) + 咒”口”1 + 6 7 + 口“1 2 d i m a 一一) l z l 0 ) 一u i ( t ) 1 0 + ( 2 鹾e x p ( 一d ! 丁2 ) + k “8 “m 1 + 鹾一2 d ：n l 一m 1 ) 1 9 1 ) 一 1 ( f ) + ( 一d i ) i z 。( t ) 一钆。 ) i + ( 一d ；) i 可。0 ) 一 2 ( t ) i 由假设( h t 2 z ) 可得： i2 6 e x p ( 一d i 1 ) + k ”目“n 1 + 堵+ 口“n 1 + e l = 2 d i m l + p 1 i2 蟛e x p ( 一d 5 n ) + 蟛+ k “俨m 1 + e 2 = 2 d 5 n l + 哦m 1 其中，e 1 e 。均是正数 取e = m i n ( e - ，d i ，畦) ，则有： d + v ( t ) 一e ( 1 卫( t ) 一u 1 0 ) i + l x 2 ( t ) 一让2 0 ) i + i y l ( t ) 一 1 ( t ) i + i y 2 ( t ) 一w 2 ( t ) i ) 对上式两边从0 到t 积分得： y ( t ) + e 0 ( i x l ( 8 ) 一( s ) 1 + j 。2 ( s ) 一钉2 ( s ) l + 1 玑( s ) 一 l ( s ) 1 + j 2 ( 8 ) 一口。( s ) 1 ) d s 曼v ( o ) 一 = 这与式( 1 2 1 ) 矛盾 这里，y ( s ) = i z ，( s ) 1 ( s ) j + i z 2 ( s ) 。1 + i m 。( i x l ( t ) 一0 ) l + i z 2 ) 一仳2 0 ) i + 1 9 1 ( t ) 一 ，( t ) i + 1 9 2 ( t ) 一u 2 ( ) i ) = 0 即： l + i m 。i x ( t ) 一v ( t ) l = o 由定义1 1 2 可知，系统( 1 1 2 ) 是全局吸引的 2 正周期解的存在性和唯一性 定义1 2 1 ：称系统( 1 1 。2 ) 是周期的。若系统( 1 ，1 。2 ) 的所有系数函数均是 周期的，即对于所有t r ，均存在一个t 0 ，使得b i 0 + t ) ：峨( t ) ，d ( t + 丁) ： d 。( t ) ，玩 + t ) = d d t ) ，尤( t + t ) = ，c ( f ) ，o ( t + t ) = 自 ) ，p ( t + t ) = ，p ( t ) 由于系统( 1 1 2 ) 是一致持久的，所以由文 3 2 的定理2 - j - 知，在假设 ( h l 立t ) 的条件下，系统( 1 1 2 ) 有正周期解。 定理1 2 3 若假设( h 1 1 1 ) ，( h l 。) ，( h l 2 2 ) 均成立，则系统( 1 1 2 ) 有唯一 的正周期解 证明类似于文 3 1 】定理3 1 2 1 3 概周期解的存在性和一致渐近性 假设系统( 1 1 2 ) 的所有系数函数均是严格正定的概周期函数 引理1 3 1 1 2 5 若z ，满足以下条件：0 0 时，p ( s ) 0 因此，当p ( v ( t ，妒( o ) ，( o ) ) ) v ( t ，妒( o ) ，妒( o ) ) ，p 【- 7 - ，0 】时，我们可以得到 咏) ( 厶妒( o ) ，毋( o ) ) 一c y ( t ，妒( o ) ，咖( o ) ) ，其中c 0 且为常数 且若方程( 1 3 1 ) 有一有界解f ( t ) ，并且满足俐lsh 科啦 蟹m 蟹m + + n i | 雄必 一 一 “ 旺 钗 醍畦 期解p ( ) ，且p ( t ) 是一致渐近稳定的，而且若，( t ，妒) 关于t 是以u 为周期 的，则系统( 1 1 2 ) 有一以u 为周期的渐近稳定的周期解这里是大于1 的常数 证明：考虑如下系统 圣l ( ) = b 1 ( t 一7 - 1 ) e x p ( 一j 0 ，d l ( s ) d s ) z 1 0 t 1 ) 一d l ( t ) 。i ( t ) + ，c ( t ) 仔( f ) 。l ( t ) 们( t ) 一p ( t ) x 1 ( t ) ， 2 2 ( t ) = 6 1 0 ) z l ( t ) 一d t ( t ) x 2 ( t ) 一b l ( t t 1 ) e x p ( - 0 ，d i ( s ) d s ) 2 1 0 7 1 ) ， 9 l o ) = b 2 ( t 一匏) e x p ( 一正。d 2 ( s ) d s ) y l ( t 一乃) 一d 2 ( t ) y ( t ) 一目 ) z 1 ( t ) y l t ) ， y 2 ( t ) = b 2 ( t ) 1 ( t ) 一d 2 ( t ) y 2 ( t ) 一b 2 ( t r 2 ) e x p ( 一任r 2d 2 ( s ) d s ) y a ( t 一死) ，( t 芝o ) 也1 ( t ) = b l ( t 一7 - 1 ) e x p ( - 庄。d f f s ) d s ) u 1 0 一n ) 一d ，( t m ( t ) + 尤( t ) 日( t ) 1 0 ) - ( t ) 一p ( t ) u 1 ( t ) ， 也2 ( t ) = b l ( t ) u 1 ( t ) 一d 1 0 ) u 2 ( t ) 一b l ( t t 1 ) e x p ( 一正。d l ( s ) d s ) u 1 ( t 一下1 ) ， o l ( t ) = b 2 ( t t i ) e x p ( - j 0 。d 2 ( s ) d s ) u 1 ( t 亿) 一d 2 ( t ) v ( t ) 一8 0 ) u l ( t ) v l ， 0 2 ( ) = 6 2 ( t ) l ( t ) 一d z ( t ) v 2 ( t ) 一b 2 ( t n ) e x p ( 一皿。如( s ) d s ) v l ( t t 2 ) ，( t o ) f 1 ，1 2 + ) 对于任意的x = ( 。) ，我们定义它的范数悄| | ：4x i 并且对于任 f = 1 何 x ( t ) = ( x l ( ) ，z 2 ( ) ，1 ( t ) ，啦0 ) ) d ，u ( t ) = ( 乱l ( 0 ，2 ( ) ， ，( ) ，啦( 0 ) d 取l i a p u n o v 函数( 文【1 】) ( ，x ( t ) ，u ( t ) ) ：r + dxd + r + ，其中 w ( t ，x 0 ) ，u ( t ) ) = c 1 li n x l ( t ) 一i n u ( t ) 1 + 岛l 现( 0 一u 2 ( 砷 + 岛i n y l ( t ) 一l n 仉( ) i + o l y d t ) 一v d t ) 1 这里 c 1 ：丝，q ；善，g ：堕，a ：簿 m1晴札1n 由引理1 3 1 可知，引理1 3 2 的条件( i ) 显然满足 下面我们证明引理1 3 2 的条件( i i ) 也满足 对任何( t ，盖u ( 锨( ，x + u ( ) ) 寅+ d d ，有 邢) 川啪一x w ) 杪) f = 筹n 州t ) - i n u h 硪旷乱摊) + 等。一“：l i l n 州旷l n 州t ) 1 1 + 等怕可t ( t ) 一i n v a ( t ) 卜l y e ( t ) 一 删 + 箬( ) 一 2 ( ) | - i l n y ：( t ) 一l n | 鲁l n 州牡l n u 小) 矧旷“孙圳m 1 。 一 一 。 + 瓢础) 咱l n 剥+ i n u t ( 驯】 + 孙+ l n v l ( 驯堋叫。) 1 1 + 会；【l 。