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拟共形映照理论中的若干问题 摘要 本文主要目的在于研究拟共形映照及与之相关的拟共形形变与单叶调和映照的 某些性质 拟共形映照是复变函数中共形映照( 或称保角变换) 的拓广从1 9 2 8 年g r s t z s c h 提出至今已有七十多年的历史，在这几十年中，伴随着对它的研究的进一步深入， 拟共形映照理论已经渗透到数学、物理、科技和工程等各个领域，对其它学科的研 究提供了有力的研究工具 作为拟共形映照的一类推广，单叶调和映照和微分几何、h p 空间及准解析函 数等学科有着密切的联系，尤其是它在微分几何的极小曲面理论中有重要应用本 文的第三章及第四章对单叶调和映照进行了深入的研究，得到了一系列的结果 拟共形形变的重要性在于由它通过微分方程可以诱导出一族拟共形映照的解， 因此，对拟共形形变的研究将对拟共形映照理论的发展起着积极的作用在第五章 中，对拟共形形变作了进一步的研究 f 第一章，绪论在这一章中，我们简单介绍了拟共形映照、拟共形形变及单叶 调和映照的发展历史及研究现状，对论文的主要结果给以简单说明 第二章，四边形的模与本质边界点在极值拟共形映照理论中，极值映照的最 大伸缩商往往是难以计算的，如何解决这个问题也是拟共形映照理论中所要讨论的 一个热点根据拟共形映照下四边形模的拟不变形，利用四边形模之比来逼近它是 人们比较容易想到的方法，但关键的问题是四边形模之比的上确界是否等于极值映 照的最大伸缩商? 在第二章中，我们首先利用了文【1 6 1 的结果，研究了单位圆周上 一类具有本质边界点的拟对称同胚，证明了它的极值拟共形延拓的最大伸缩商等于 四边形模之比的上确界，改进了文【1 2 8 】的有关结果然后，对于双曲区域上仿射拉 伸的边界对应，通过计算，证明上述结论也成立最后利用退化的四边形序列，给 出了拟对称同胚的极值拟共形延拓的最大伸缩商、四边形模之比的上确界及拟对称 同胚的边界伸缩商三者相等的一个充要条件 第三章，近于凸单叶调和映照在这一章中，我们主要研究了单叶调和映照的 近于凸子族，首先给出了近于凸单叶调和映照与正实部解析函数之间的一个关系 然后，利用这个关系，我们给出了近于凸单叶调和映照的表示定理，并得出了近于 凸子族的系数估计，证明了对于单叶调和映照的近于凸子族，类似于单叶函数的 b i e b e r b a c h 猜想是成立的，解决了j g c l u n i e 和t s h e i l s m a l l 文中的一个开问题 在本章的最后，我们给出了近于凸单叶调和映照的一个判定定理，并给出了它的偏 差估计 第四章，调和典型实照映射在这一章中，我们证明了如下事实：对于单位圆 u 上的单叶调和映照，= h + 口，如果它满足条件f ( o ) = 0 , h ( o ) + g l ( o ) 0 ，且在其 映照下单位圆的像域是一个方向凸的，则它必定是典型实照映射这个结果是对j g c l u n i e 和t s h e i l ，s m a l l 文中的一个开问题的肯定回答 第五章，具有无界石一导数的函数及其边界函数对于拟共形形变，我们作了 进一步的推广，即研究了石一导数无界时的情况，给出了石一导数的增长阶与边界 值的z y g m u n d 函数的增长阶之间的关系，改进了文【1 9 】中的结果 l 、 关键词：拟共形映照，拟共形形变，单叶调和映照，b e u r l i n g a h l f o r s 扩张 边界对应，典型实照，近于凸 ：， s o m ep r o b l e m si nt h et h e o r y o fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s a b s t r a c t t t l ep r e s e n tp h d d i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t hs o m ep r o b l e m si nt h et h e o r yo fq u a - s i c o n f o r m a lm a p p i n g sa n dt h er e l a t e dt o p i c s ：q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n sa n du n i v a l e n t h a r m o n i cm a p p i n g s q u a s i e o n f o r m a lm a p p i n g ，w h i c hw a sp o s e db yg r 6 t z s c hi n1 9 2 8 ，i st h eg e n e r a l i z a t i o n o fc o n f o r m a lm a p p i n gi nt h et h e o r yo fc o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o n s d u r i n gt h es e v e r a l d e c a d e s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi t st h e o r y ，i t h a sb e e nw i d e l ys p r e a di n t om a n yr e s e a r c hf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，e n g i n e e r i n g ，a n do t h e rb r a n c h e si n m a t h e m a t i c s ，a n dp r o v i d eap o w e r f u lt o o lf o rt h es t u d ya n dr e s e a r c hi nt h e s ef i e l d s b e i n gr e g a r d e da sag e n e r a l i z a t i o no fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s u n i v a l e n th a r m o n i c m a p p i n g s a r ei n t i m a t e l yc o n n e c t e dw i t ho t h e r8 u b j e c t s ，s u c ha sd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y ， h ps p a c e sa n ds oo n e s p e c i a l l y , t h et h e o r yo fu n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n g sp l a y sa n i m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fm i n i m a l s u r f a c e t h e i m p o r t a n c e o fq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n sl i e si nt h ef a c tt h a tb yu s eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h e yc a ni n d u c eac l a s so fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s i nt h ed e v e l o p m e n to f t i l et h e o r yo fq u a s i c o n f o r n l a lm a p p i n g s ，t h et h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n sp l a y s a na c t i v er o l e c h a p e t ri p r e f a c e t h i sc h a p t e ri s d e v o t e dt ot h ee x p o s i t i o no fq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n g s ，q u a s i c o n f o r m a l d e f o r m a t i o n sa n du n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n g s ，a n ds o m eb a s i c r e s u l t sw h i c ha r en e e d e dl a t e ra r ec o l l e c t e d t h em a i nr e s u l t so ft h i sp h d d i s s e r t a t i o n a r eb r i e f l yi n t r o d u c e di l lt h el a s ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r c h a p t e ri i ，m o d u l io fq u a d r i l a t e r a l sa n d s u b s t a n t i a lp o i n t s t h i sc h a p t e rd e a l sw i t h t h ec o n n e c t i o n so ft h em o d u l io fq u a d r i l a t e r a l sa n dt h ee x t r e m a im a x i m a ld i l a t a t i o n i n t h et h e o r yo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，i ti sd i f f i c u l tt oe v a l u a t et h ee x t r e m a lm a x i m a l d i l a t a t i o n ，a n dh o wt oo v e r c o m et h eo b s t a c l ei sa l s oah o tp o i n t a c c o r d i n gt ot h eq u a s i i n v a r i a n c eo ft i l em o d u l io fq u a d r i l a t e r a l su n d e rq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，i ti sn a t u r a l t ot h i n ko fa p p r o x i m a t i n gt h ee x t r e m a lm a x i m a ld i l a t a t i o nb yt h er a t i o so ft h em o d u l io f q u a d r i l a t e r a l s a k e yp r o b l e mi s ：i si t t r u et h a tt h es u p r e m u mo ft h er a t i o so ft h em o d u l i o fq u a d r i l a t e r a l se q u a l st ot h ee x t r e m a lm a x i m a ld i l a t a t i o n ? i nt h i sc h a p t e r ，f i r s t l y ，f o ra c l a s so fq u a s i s y m m e t r i ch o m e o m o r p h i s m sw i t hs u b s t a n t i a lb o u n d a r yp o i n t s ，w ea p p l ya r e s u l to fc h e nj i x i ne t c t op r o v et h a tt h em a x i m u m d i l a t a t i o no ft h ee x t r e m a le x t e n s i o n s e q u a l st ot i l es u p r e n m m o ft i l er a t i o so ft h em o d u l io fq u a d r i l a t e r a l s ，w h i c hi m p r o v et h e r e s u l to fl iz h o n ge t c s e c o n d l y , f o rt h eb o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c eo fa f f i n es t r e t c ho n h y p e r b o l i cr e g i o n s ，w ep r o v et h a tt h ea b o v ec o n c l u s i o ni s a l s ot r u e f i n a l l y ，w ep o s ea s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es a m ec o n c l u s i o n c h a p t e ri i i ，c l o s e t o c o n v e xu n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n g s t h i sc h a p t e ri sd e d i c a t e d t ot h es t u d yo ft h ep r o p e r t i e so fc l o s e t o - c o n v e xu n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n g s w ef i r s t f i n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec l o s e t o - c o n v e xu n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n g sa n dt h e a n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hp o s i t i v er e a lp a r t s n e x t ，b ym a k i n gu s eo ft h er e l a t i o n s h i p ，w e p lo v et h a tt h eh a r m o n i ca n a l o g u eo ft h eb i e b e r b a c hc o n j e c t u r ew h i c hw a sp o s e db yj gc l u n i ea n dt s h e i l s m a l li st r u ef o rc l o s e t o - c o n v e xu n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n g s f u r t h e r m o r e w eg i v ear e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mf o rc l o s e t o c o l l v e xu n i v a l e n th a r m o n i c m a p p i n g s l a s t w ep r o v i d eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rau n i v a l e n th a r m o n i cm a p p i n gt ob e c l o s e t o c o u v e x ，a n dg i v et i l ed i s t o r t i o nt h e o r e mf o ri t c h a p t e ri v ，o nh a r m o n i ct y p i c a l l yr e a lm a p p i n g s i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i nt h ef o l - l o w i n gc o n c l u s i o n ：l e t ，= h + 口b e au n i v a l e n to r i e n t a t i o n p r e s e r v i n gh a r m o n i cm a p p i n g d e f i n e d0 1 1t h eu n i td i s kus u c l lt h a tfi sc o n v e xi nad i r e c t i o na n dr e a lo nt h er e a la x i s a n ds a t i s f i e st h en o r m a l i z a t i o nf ( 0 ) = 0a n dh t ( o ) + g ( o ) 0 ，t h e n ，i st y p i c a l l yr e a l t h i sg i v e sap o s i t i v ea n s w e rt oa no p e np r o b l e mw h i c hw a sp o s e db yj gc h m i ea n dt s h e i l s m a l l c h a p t e r v f u n c t i o n sw i t hu n b o u n d e da d e r i v a t i v ea n dt h e i rb o u n d a r yf u n c t i o n s i n t h i sc h a p t e r ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n c r e a s i n go r d e ro ft h e0 - d e r i v a t i v e a n dt h a to ft i l ez y g m u n d f u n c t i o n ，a n di m p r o v et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l ti np a p e r 【1 9 1 k e y w o r d s 2 q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ，q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n ，u n i v a l e n th a r m o n i c m a p p i n g ，b e u r l i n 分a h l f o r se x t e n s i o n ，b o u n d a r yc o r r e s p o n d e n c e ，t y p i c a l l yr e a lm a p 。 p i n g ，c l o s e t o c o n v e x 第一章绪论 1 1拟共形映照理论的发展及其应用 关于拟共形映照的研究可以追溯到上个世纪三十年代在1 9 2 8 年，g r s t z s c h 3 6 】 提出并解决了一类非共形映照的极值问题：在把矩形r 映成矩形尺l 而且保持顶点 对应的连续可微映照，中，寻找什么样的变换“最接近”共形映照? 他用量l o g k f 】 来度量非共形映照对共形映照的偏差，这里k f 1 即是后来拟共形映照理论中的最 大伸缩商： 础】_ 8 z u e g 渊兄i c k j i i u 暑j i 用现代的说法，g r s t z s c h 问题是要寻求矩形到矩形的保持顶点顺序对应的拟共形映 照，使其最大伸缩商达到最小g r s t z s c h 的重要贡献在于他给出了度量非共形映照 对共形映照的偏差的正确方法 拟共形映照具有广泛的实际背景，从诞生之日起就应用于各个领域。在二十世 纪三十年代末和四十年代初，t e i c h m f i l l e r 就应用拟共形映照研究了经典的r i e m a n n 曲面模问题，不过当时他的思想并没有为人们所接受现代拟共形映照理论的创始 人a h l f o r s 和l a v r e n t y e v 分别根据不同的背景来研究拟共形映照a h l f o r s 在研究 n e v a n l i n n a 理论( 涉及到整函数及亚纯函数的值分布) 的过程中，发现n e v a n l i n n a 理 论所研究的对象从几何观点来看，并不一定要求它所涉及的函数是共形的，仅仅要 求它们是拟共形的即可1 9 3 6 年，在他的覆盖曲面理论中写入了关于拟共形映照 的索引，开始对拟共形映照进行深入的研究l a v r e n t y e v 是在研究空气动力学的过 程中，为了寻求将传统的线性c a u c h y r i e m a n n 方程推广到非线性偏微分方程的几 何意义，开始研究拟共形映照的此后，在a h l f o r s 与b e r s 等人的影响下，该理论取 得了飞速的发展，成为单复变函数论中一个十分活跃的分支这种研究不仅影响到 函数论的许多分支，而且广泛应用于微分几何、偏微分方程、拓扑学和复动力系统 等其它学科二十世纪六十年代，g e h r i n g 等人把拟共形映照理论推广到了高维空 间，九十年代中期，h e i n o n e n 和k o s k e l a ( 3 9 ， 4 0 1 ) 把拟共形映照理论推广到b s w n e r 空间 国内关于拟共形映照的研究开始于二十世纪五十年代当时，在北京大学和复 旦大学举办过多次学术讨论会，讨论a h l f o r s 、l a v r e n t y e v 、b e r s 、v e k u a 等人的 学术论文，在这些工作的影响下，一大批学术论文开始陆续出现在国内的学术杂志 上国内数学家杨乐1 1 0 9 】、李忠( 5 4 1 ，f 1 2 4 一 1 2 8 ) 、夏道行1 1 3 3 】、何成奇1 1 2 3 】、 任福尧【1 3 1 1 、方爱农【1 2 1 1 、陈纪修( 1 4 1 一【1 9 1 ，( 1 1 6 ，【1 1 7 ) 、伍胜健( 1 0 5 - 1 0 6 ) 、 沈玉良( 8 6 1 【9 1 】) 等人在这方面都做过大量的工作 他们的工作主要集中在以下几点： 1 拟共形映照的参数表示及某些估计； 2 紧性及存在性定理； 3 非线性椭圆系统及拟共形映照； 4 给定边界值的拟共形映照的极值问题； 5 高维空间上的拟共形映照及拟正则映射； 6 t e i c h m i i l l e r 空间理论，等等 近几年来，随着拟共形映照的进一步发展，国内一些数学家已将拟共形映照拓 广应用到其它领域 1 2 研究现状与主要问题 区域d 上的一个复值函数，( z ) ，如果它是b e l t r a m i 方程 = 卢( z ) 丘，| f ，1 0 。 1 的一个铲广义同胚解，则称( z ) 是一个拟共形映照( 射) ( q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ) 其中，肛( z ) 是一个可测函数，称为，( 。) 的b e l t r a m i 系数或复特征称 洲= 豁瑚， 为，( z ) 的局部伸缩商， 聊】= 畿 为，( z ) 的最大伸缩商 1 2 1 拟共形映照极值理论 前面所述的g r s t z s c h 问题的解是唯一的，而且就是仿射变换由g r s t z s c h 的结 果可以得到一个较一般的结果设d 与d l 是两个曲边四边形( 即j o r d a n 区域，其 边界上指定四点作为顶点) 不难看出，把d 映照成d l 且保持顶点顺序对应的极 值映照是t i , - 1o ，0o 垂，其中圣与皿分别是把d 与d l 变成矩形r 与r 1 的共形映 照，而，0 即为前文所述的仿射变换换句话说，极值映照就是一个共形映照复合一 仿射变换再复合一个共形映照 1 9 4 1 年，t e i c h m f i l l e r 推广了g r s t z s c h 问题，研究了把单位圆变成单位圆并保持 五个指定点顺序对应的拟共形映照的极值问题，他证明了极值映照的存在唯一性， 并且证明了极值映照是关于某个二次微分p 出2 的轨线的拉伸变换，也即其复特征 是 一 p ( z ) = k o 尚，( o b 1 ) - 通常我们把具有这种复特征的拟共形映照称作t e i c h m f i l l e r 映照。而c p d z 2 称之为它 的伴随二次微分1 9 6 6 年，s t r e b e l 把t e i c h m f i l l e r 的结果推广到n ( n 4 ) 个点的 2 情形后来，人们讨论了给定边界值的拟共形映照的极值问题，在这方面r e i c h 和 s t r e b e l 7 1 1 做了大量的工作，得到了许多富有价值的成果 本文第二章将主要讨论给定边界值的拟共形映照的极值问题 设h 是单位圆周a = z ：= 1 到自身上的保向拟对称同胚，则h 可以拟共 形延拓到单位圆中( 见【1 0 】) 令q ( h ) 表示单位圆a = z ：h 1 为q ( h ) 中极值拟共形映照，o 的最大伸缩商，即 k o ( ) 。，e i n f 】) 其中k 【，】表示，的最大伸缩商如果存在f o q ( h ) 满足耳【f o 】= k o ( ) ，则称它 是极值拟共形映照 对于极值拟共形映照如何进行刻划，极值拟共形映照是否为t e i c h m i i l l e r 映照， 以及是否存在唯一的极值拟共形映照，这些都是极值拟共形映照理论中要解决的焦 点问题，这些问题的解决需要涉及到h a m i l t o n 4 1 】的研究成果1 9 6 9 年，h a m i l t o n 研究了关于模边界的同伦类的极值问题，给出了极值拟共形映照的一个很本质的判 定定理 设s 是任意一个带边的r i e m a n n 曲面，其万有覆盖是双曲型的s 总可以看 成是一个带边曲面的内部又设r 是另一个r i e m a n n 曲面，s 到r 有一个拟共形 映照f ：s _ r ，那么这个拟共形映照自然可以连续开拓为- 彤的映照，这里 和彤分别表示s 与r 对应的带边曲面s 到r 的两个拟共形映照，与g 称作 模边界同伦的，如果，与g 在a 上相等，且在，与g 之间存在一个同伦，而这个 同伦在a 矿上取常数 h a m i l t o n 的主要结果是： 定理( h a m i l t o n )设，0 ：s _ r 是模边界同伦类中的极值映照，k ( z ) d u d z 是 ，0 所对应的b e l t r a m i 微分则有 。，s u l ：p 。 i 上一c z ，妒c z ，a z 出1 ) = “一”o o 其中妒如2 是s 上的全纯二次微分，它的范数是 = 加z 舭z 胁 这个定理刻划了极值拟共形映照的复特征所满足的必要条件r e i c h 与s t r e b e l 7 0 l 证明了对于单位圆的情况，h a m i l t o n 条件也是极值映照的充分条件后来，s t r e b e l 9 3 j 又证明了对一般开r i e m a n n 曲面而言，h a m i l t o n 条件也是充分的 之后，r e i c h ，s t r e b e l 等人做了大量的工作，给出了相关的一些极值映照与唯一 极值映照的判定条件1 9 9 8 年，b o z i nv ，l a k i cn ，m a r k o v i cv 和m a t e l j e v i cm 1 1 】 3 关于唯一极值的论文“u n i q u ee x t r e m a l i t y ”是拟共形映照理论的一个重大突破，在 文中，他们对于唯一极值进行了深刻的研究，得到了一些极富创新意义的结果 设 妒。d z 2 ) 是s 上的一个全纯二次微分序列，0 妒。1 1 = l ，且满足 。l 叫i r a ，f f ( 咖。( 州z 出l = 。， 则称 ￥, n d z 2 ，为b e l t r a m i 微分, c ( z ) a e l a z 的h a m i l t o n 序列如果进一步有 ( p n d z 2 ) 在 s 内闭一致收敛于零，则称 妒。d z 2 ) 为b e l t r a m i 微分, c ( z ) d e d z 的一个退化h a m i l t o n 序列 1 9 7 4 年，s t r e b e l 9 2 】就单位圆的情况，证明了下述事实；若一( z ) 是极值映照的 复特征，并且关于一( z ) 没有退化的h a m i l t o n 序列存在，则它所相应的极值映照是 t e i c h m f i l l e r 映照，并且其伴随二次微分具有有限范数由r e i c h 和s t r e b e l 7 0 1 的结 果，可知映照也是唯一极值的 1 9 7 6 年，s t r e b e l 9 2 j 提出了一个所谓的标架映照准则，给出了唯一极值拟共形 映照的一个较为明显的判定条件考虑单位圆的情况定义h 的边界伸缩商h ( h ) 为 h ( ) = i n f k g ；g 是a e 到h 中的拟共形映射，g b = ) ( 1 2 ) 其中下确界i n f 是对的一切紧子集e 和一切上述的拟共形映射g 而取的s t r e b e l 的标架映照准则说，若h ( h ) k o ( h ) ，则极值映照是t e i c h m i i l l e r 映照，并且是唯一 极值的 1 9 8 1 年。李忠 1 2 4 】对s t r e b e l 的结果作了进一步的改进，用一个更为明显的条 件来代替标架映照准则，在这个条件里不再依赖标架映照，而是用h ( z ) 的某些解析 特征直接计算得出这项工作主要建立在对h 的局部伸缩商风的准确估计上设 ( a ，则h 在点( 的局部伸缩商段( ) 定义为 h e ( h ) = i n f ( k f g ；g 是c 厂( ( ) n 到中的拟共形映射，酬u ( e ) n a = 1 3 j 其中下确界i n f 是对e 的一切邻域c ，( e ) 和一切上述的拟共形映射g 而取的显然 我们有峨( h ) sk o ( h ) 如果心( ) = ( ) ，则我们称e 是h 的一个本质边界点 f e h l m a n n 在【3 0 】中证明了 日( ) = m 。a xh l c ( ) ( 1 4 ) 显然我们有h ( h ) k o ( ) ，且当h ( h ) = k o ( ) 时，在0 a 上h 至少有一个本质边 界点e 现在设z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 是按逆时针方向排列在a 上的四个点考虑以为区域，以 z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 为顶点的四边形q = a ( z l ，钇内，z 4 ) 和以为区域，以h ( z 1 ) ，h ( z 2 ) ，h ( z 3 ) ， 4 h ( z 4 ) 为顶点的四边形h ( q ) = a ( h ( z 1 ) ，h ( z 2 ) ，h ( z 3 ) ， ( 柚) ) 记q 和h ( q ) 的共形模分 别为m ( q ) 和m ( ( q ) ) 于是根据拟共形映射下共形模的拟不变性，我们有 丽1 巡铲 e r o g a r d i n e r 和s u l l i v a n 3 3 ，r e i c h 和陈纪修【8 1 】分别独立证明了；一个冗上的连续实值 函数f ( z ) 可以延拓为上半平面h 上拟共形形变的充分必要条件是f ( z ) k ( 冗) g a r d i n e r 和s u l l i v a n 还证明了：f ( x ) 的b e u r l i n g - a h l f o r s 延拓f ( z ) = t ( 毛”) + i v ( x ，) 的广义导数5 f 有界，其中 1f x + y u ( 刚) 2 南上。f ( 慨 ( 1 8 ) ”扛，们= ；( z 2 + ”f o ，出一z ：，f c t ，d t ) 5 并且在仿射变换下，对应的百f 具有不变性：若f ( z ) q 。( h ) 是f ( z ) a + ( 佗) 的 b e u r l i n g a h l f o r s 延拓，则 f + 扛) = 三f ( n 茹+ b ) + c x + d a + ( 冗) ， 其中，o ，b ，c ，d 冗，而且f + ( z ) 的b e u r l i n g - a h l f o r s 延拓f + ( z ) 满足f + ( z ) = ：f ( n z + b ) + c z + d ，从而 o f + ( 2 ) = o f ( a z + 6 ) r e i c h 指出，如果f ( z ) q 。( h ) ，则满足初始条件 ( o ) = 2 的微分方程 面d w = f ( ) ， 日 ( 1 9 ) 的解w = d z ) ，t 0 是上半平面到自身的保持0 ，1 ，o o 不变的拟共形映照，而且l t ( z ) 的最大伸缩商满足k t ( z ) e 2 归f 。有许多文章讨论研究了i | f 忆和0 百f 0 0 。之间的 关系以及它们的估计若o f ( z ) 无界时，方程( 1 9 ) 将不一定有拟共形映照解，但却 可能有上半平面到自身且保持定向的同胚解。而且几乎处处是拟共形的( l e h t o 【5 l 】 意义下) 关于这种情形，陈志国、陈纪修及何成奇【1 9 1 等人首先加以讨论，给出 了i o f ( z ) i 的增长阶与a _ f ( z ，t ) 的增长阶之间的关系，并得到了下述定理： 定理设f ( x ) 为实轴上的连续实值函数，且l i r a 。_ + 。笔乒= 0 如果存在j 0 ， 使得当z t z 和0 t 6 时，a f ( z ，t ) sa ( t ) ，并且满足t a ( t ) l 1 ( 0 ，6 ) 那么对于 f ( z ) 的b e u r l i n g a h l f o r s 延拓f ( z ) 的5 一导数，下述不等式 l o f ( x o + i y o ) l 言a ( o ) + a ( y o ) 对于所有的。o 冗及0 y o 6 成立这里 a ( y o ) _ 2 小坤州础= 去z 蜘州洳t 在本文第五章，我们将对上述这个问题加以研究 1 2 3 单叶调和映照 作为拟共形映照的特殊情形，在本文第三、四章中，我们将对单叶调和映照加 以讨论 若“， 是区域d c c ( 有限复平面) 上的实调和映照，则称，= t i + 妇是d 上的 复调和映照( 注意tu ，”不一定共轭，即，不一定解析) 若d 是单连通区域，则 ，可表示为= h + 口，这里 ，g 日( d ) ，( h ( d ) 指d 上全体解析映照构成的集合) 又 若，是双方一对一的，则称，是单叶调和映照a ( z ) = _ ( 1 a ( z ) l 1 ) 称为，( z ) 的第二复特征对于b e l t r a m i 方程 万= o ( z ) 丘 来说，它在区域内的非常数解为保向调和的，任意单叶解是局部拟共形的因此， 如果b e l t r a m i 方程在区域内存在非常数的单叶解，则解本身既是单叶调和的，又是 一类特殊的拟共形同胚 由于在极小曲面理论中的应用，调和映照一直是几何学家研究的焦点之一为 了估计参数化极小曲面的曲率，e h e i n z 3 8 1 等人曾研究过单叶调和映照的某些极 值问题极小曲面和单叶调和映照的联系由以下命题给出( 见【6 5 1 ) ： 命题s 是单连通区域d c 上的一个非参数化的极小曲面的充要条件是存在 一个u = 1 ) 到d 上的单叶、调和、保向映照f = h + 口，h ，g 日( d ) ，使得 a = g ，h 在u 内有一个单值平方根，而且 r s = ( r e f ( z ) ，i m f ( z ) ，2 1 m 缸d z ) ：z u j s 上与2 对应的g a u s s 曲率为 ，、一l a tc z ) f f h 纠2 丽珂矿南丽丽研邢 特别有估计 i “( o 】l i h ( 0 ) 1 2 近来，关于单叶调和映照和极小曲面之间的关系，e h e i n z 、e h a p f 、r h a l l 3 8 】、a b u m u h a n a 、g s c h o b e r 2 】以及a w e i t s m a n 1 0 1 】等都在这一方面做了 大量的工作由于极小曲面和单叶调和映照之间的密切联系，深入研究单叶调和映 照必然对解决极小曲面的一些问题起重要的作用 1 9 8 4 年，英国数学家j g c l u n i e 和t s h e l l - s m a l l 2 1 】将解析单叶函数的经典 理论和思想应用于对单叶调和映照的研究他们的工作引起了复分析学家的浓厚兴 趣，一大批复分析学家相继转入这方面的研究，如p d u r e n ( 2 8 ，【2 7 】) 、g s c h o b e r 、 h e n g a r t n e r 4 5 】及a b u m u h a n n a 2 】等人的一大批工作相继出现，取得了重要的研究 成果 对于单叶调和映照，传统的r i e m a n n 共形映照定理不成立类似于共形映照