（基础数学专业论文）关于相对hopf模的讨论.pdf

关于相对h o p f 模的讨论 专业：基础数学 姓名：陈琳琳 指导老师：姜小龙 摘要 本文主要讲述了相对h o p f 模的有关内容第一部分简要概括了h o p f 模的 基本内容如它的定义，基本定理等第二部分回顾了c t e j i _ 余模代数和左 ( 曰，h ) - h o p f 模的有关内容，当m 。m ”时，在m 【日】上定义左研h 卜模结构 映射和右胃一余模结构映射，则有m 【圩】仨川。】m ”；第三部分是本文的中心， 在前面内容的基础上，本文进一步讨论了三个方面：第一，设m 彰，在肘 刎 上适当定义右研】一模结构映射和右日一余模结构映射，贝r j m h 嘲。】， 证明了m 和m i h 】是( h ，口) 一模同态的；第二，采用研究c 够余模代数的方法， 考虑右a 一模余代数具有哪些性质：第三，设m 材：，在m i h 】上适当的定义 右c h 】一余模结构映射和右一模结构映射，则m h i e 1 ，讨论了m 和 m h 】，m h 和m o h 之问的关系 关键词：相对h o r f 模，右h 一余模代数，右日一模余代数 t h ed i s c u s s i o no fr e l a t i v eh o p fm o d u l e m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s n a m e ：c h e nl i n l i n s u p e r v i s o r ：a d j u n c tp r o f j i a n gx i a o l o n g a b s t r a c t t h e r ea r em a i n l yt h r e es e c t i o n si n t h i st h e s i s i nt h ef i r s ts e c t i o n , w et a l k a b o u tt h ef u n d a m e n t a lc o n t e n t ss u c ha st h ed e f i n i t i o na n dt h ef u n d a m e n t a l t h e o r e mo f h o p f m o d u l ea n ds oo n i nt h es e c o n ds e c t i o n , w et a l ka b o u tt h ec l e f t c o m o d u l ea l g e b r aa n dl e f t ( b ，h ) 一h o p fm o d u l e w i t hl e f tb f h i m o d u l es t r u c t u r e a n dr i g h th c o m o d u l es t r u c t u r ed e f m c do nm 瞰】w h e nmi sa no b j e c ti nt h e c a t e g o r yo fl e f t ( b ，h ) 一m o d u l e , m r l 】w i l lb ea no b j e c ti nt h ec a t e g o r yo fl e f t ( b h 】，h ) - m o d u l e t h et h i r ds e c t i o ni sk e y w ed r a wt h r e ec o n c l u s i o n s ：f i r s t ，w e d e f i n ear i g h tb h 】- m o d u l es t r u c t u r ea n da 啦h th - c o m o d u l es t r u c t u r eo nm h 】 w h e nmi sa no b j e c ti nt h ec a t e g o r yo f r 螗h t ( h ，b ) - r n o d u l e ，m h 】w i l lb ea no b j e c t i nt h ec a t e g o r yo fr i g h t ( h ，b 【h i ) - m o d u l e w ep r o v ema n dm h 】t oh et h e h o m o m o r p h i s mo f ( h ，b ) - m o d u l e s e c o n d , w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fr i g h t a - m o d u l ec o a l g e b r aw i t ht h em e t h o do fc l e f tc o m o d u l ea t g e b r a t h i r d , w ep r o v e t h a tm i n ii sa no b j e c ti nt h ec a t e g o r yo fr i g h t ( c h i ，h ) m o d u l ew h e nm i sa n o b j e c ti nt h ec a t e g o r yo fr i g h t ( c ，h ) - m o d u l e ，a n df i n a n yw et a l ka b o u tt h e r e l a t i o n s a m o n g m ，m 【h i a n dm o h k e y w o r d s ：r e l a t i v eh o p fm o d u l e ，r i g h th c o m o d u l ea l g e b r a , r i g h th - m o d u l e c o a l g e b r a i i 刖吾 本文主要讲述了相对h o p f 模的有关内容设a 是有单位元1 的交换环月上的 双代数，b 是右4 一余模代数，相对右( 8 ，椰一h o p f 模m 是右丑一模及右一一余模， 设m 是余模结构映射，满足几( m 6 ) = 6 0 0 m t b 。，记c = 6 b i 岛( 6 ) = 6 0 1 ，【2 】 讨论了相对右( 口，爿) 一h o p f 模范畴卅及右c 一模范畴m 之间的关系设日是 h o p f 代数，r = k ，k 是一固定的域，则当b = a = h 时，相对右( 毋) 一h o p f 模是 右日一h o p f 模的推广，h o p f 模的基本定理指出h o p f 模范畴m 嚣与芷一模范畴 m 。是等价的本文分三部分，第一部分简述了h o p f 模的基本定理；第二部分讲述 了当曰是c t e y t 时，范畴础和心是等价的；第三部分讲述了已给相对h o p f 模 m 竹参，构造些新的相对拙衫模肼【明时如】及讨论范畴埘与蟛h 之间的 关系，另外还考虑了右h 一模余代数c 的情况以及范畴m ；和m c l 州之问的关系 设足是一固定的域，代数和余代数等基本概念都是定义在k 上的 定义l 设a 是k 一空间，在a 上定义x 一线性映射 m ：4 0 a 斗a ，m 0 0 6 ) = a b ；拼：k 斗a ，u ( k ) = k 1 4 ， 满足 m 。( 圆m ) = m 。( m 固，) ，m 。 o i ) = i = mo ( o “) ， 则a 称为k 一代数 定义2 设c 是足一空间，且有k 一线性映射a ：c 哼c o c ，s ：c 斗k ，且 ( j 圆) 。a = ( 固1 ) o a ，忙固i ) o a = j = ( j o 占) 。 成立，则称c 为足一余代数 定义3 设a 是k 一代数，称石一空间为右a 一模，若存在足一线性映射， y ：n p a 斗，且y 。( 0 “) = j 和。( o ，) ；y 。( ，o m ) l 成立即 任取n n ，口，b 爿，有h l = n ，i q ( 口6 ) = ( 竹d ) b 设c 是k 一余代数，对足一空间m 来讲，若存在k 一线性映射 脚：m 斗m o c ，满足( ，o s ) 。c o = ，( c o ) 。c o = ( ，o ) 。0 3 ， 则称肘是右c 一余模 设( m ) = z m o ? 7 1 1 ，上面等式即为 啪= m o e ( m , ) ，( c o o i ) 。c o ( m ) = o 嬲o m 2 = ( ，圆) 。c o ( m ) 定义4 设日既是k 一代数又是足一余代数，且a ，占瓠是代数映射，即对 g ，h e 日，有 ( g ) = a ( g ) 6 0 ) ，a o ) = l o l ；s ( g h ) = 占( g ) s ( ) ，占( 1 ) = l ， 则称日是k 一双代数 设c 是足一余代数，a 是k 一代数，h o m ( c ，a ) 表示c 到a 的所有k 一线性映 射在h o m ( c ，a ) 上定义两种运算，任取f ，g h o m ( c ，a ) ， f * g = m 。( f o g ) 。a ，f 。g = m 。( ，o g ) 。t 。a ， 其中t ：c 固c 寸c o c 是t w i s t 映射，即对任意的c c ，有 f * g ( c ) = 厂( c 1 ) g 如) ，f x g ( c ) = x f ( c 2 ) g ( g ) ， 易证h o m ( c ，彳) 在这两种运算下都能做成k 一代数，其单位均为“s ，称为 c o n v o l u t i o n , 为t w i s t c o n v o l u t i o n 在【2 】中作者叙述了 和的基本运算规律，即下 面的性质1 和性质2 性质l 设x ，x 7 是余代数，y ，r 是代数，令q h o m ( x ，x ) ，l h o m ( y , y ) ， - 厂，g h o m ( x ，y ) ( 1 ) 若q 是余代数同态，工是代数同态，则 三。( 厂g ) 。q = ( l o f 。q ) + ( l 。g 。o ) ， l 。( _ 厂g ) 。o = ( l o 厂。q ) ( 三o go q ) 2 l o ( 蜥。勺) 。q = u y 。气， 三。f 。q = 仁。f 。q ) ， 上。，一。q = ( l 。，。q ) 一 ( 2 ) 若印是余代数反同态，则 ( ，+ g ) 。q = ( ，。q ) x ( g 。q ) ， ( f g ) 。o = m o a ，满足 p m ( r o b ) = p 0 ( 埘) p b ( 6 ) = z m o b o 固研i b l ，v m 肼，b b ， 9 则称m 是相对右( b ，a ) 一h o p f 模，简称相对右( b ，一) 一模，记叫为右 ( b ，爿) 一h 硎。模的范畴，即其对象是相对右( b ，x ) - h o p f ，其同态是指右b 一 模映射和右a 一余模映射 类似的定义相对左( 曰，一) 一h o p f 漠，相对右b ，左4 一h o p f 模，相应的模范 畴记为：m ，。m 。等 设c = 6 曰l 岛( 6 ) = 6 0 l ，易知c 是口的子代数记坂为右c 一模范畴， 即其对象是右c 一模，其同态是右c 一模映射设日是h o p f 暾，则其余代数映射 ：h 一日圆日和代数乘法m 。：h o h 斗h 自然的使h 成为右h 一余模代数， 这时相对( 日，h ) 一喇模即为h o p f，此时c = h ：( 厅) = 圆1 ) = k ，以下 我们考虑m ；和峨之间的关系，此关系是月耐模基本定理的推广当m e 川， 记m “= m o = m e m l p u ( m ) = m o l 性质2 1 1 m o ，c 的定义如上，则m o m c 证明：任取m 眠，c c ，定义o c 斗m o ：m o c 斗m c 由于几( 珊c ) = y m o c o o m a c l = m c o l ，p x m c 坛，从而m o m ， 如此，我们可定义映射f ：m ：一心，( m ) = m o ，另外，定义 g ：m c 斗叫，g ( y ) = 矿圆。口在矿o 。b 上定义右b 一模和右a - - 余模结构映射， 任取b ，b b ，v v ， ( v 圆c 6 ) b = v oc b b ，v oc 6 一v oc 几( 6 ) 易知，矿o 。b 蛾，从而m o o c b m ； 定义办：矿斗( y 吼b ) o ，v - v o c l ，：oc b 斗m ，m 0 6 斗m b ，以下讨 论聊和收之间的关系 定理2 1 1 设a 是双代数，b 是右a 一余模代数，下面的两条是等价的： ( 1 ) b 是d e f t ， 。 l n ( 2 ) 钆是( 丑，一) 一模同构映射。并且存在左c 一模和右a 一余模同构 c o a 兰b 证明参见【2 】中定理9 ( p 8 1 0 ) 当bc l e f t 时，范畴m ；和帆：是等价的由此定理2 。1 1 ：是h o p f 模基本定理 的推广 2 2 范畴。m ” 设日是h o p f 代数，b 是右舟一余模代数，余模结构映射p ：b 斗b o h ， p ( d ) = z a o a t ，v a b ， 4 1 作者指出了在b h i 皇b 圆h 上适当的定义乘 法，使其成为右日一余模代数，且当m 。m “时，可构造m 【日】使 m 【h 】。】m ”首先我们将【4 】中的部分内容回顾一下 性质2 2 1 设b h 】b o h ，任取口，b b ，g ，h h ，定义 0 0 | 1 1 ) ( 6 0 9 ) = y a b o 固s ) h b 2 9 ， 则b h 】也做成代数，单位元为1 0 1 性质2 2 2 在研日】上定义余模结构映射岛：b 日】_ 研h 】圆日， n 9 矗) = z ( a o o ) o 口。吃，则b h 】是右日一余模代数 。 性质2 2 3 定义妒：b 斗研】，烈d ) = z a o 圆s ( q ) ，则妒是单的代数映射， 且i m f p = 斟h 】“ 性质2 2 4 设m b m ”，考虑m 【h 】皇m o h ，在肘【日】s u s b h - f r 奠 结构映射和右日一余模结构映射如下： 研刎固m 刎一m h 】 ) 固g ) 斗z a m o o s ( 啊) h m 2 9 ， m h 】一肘 日】圆日：m o g 斗z ( m o 0 9 1 ) 0 聊1 9 2 ， 则州刎叫h l m ” 1 1 性质2 2 5 定义妒：m m 【日】，q t ( m ) = y m o0 s ( ) ，则 ( 1 ) o r ( a m ) = 烈口) ( 肌) ，v a a ，m m ( 2 ) y 是单射，且i m = m 【日严 第3 章关于右a 一模余代数和右( c ，日) 一模的情况 3 1 4 匕1 - - i 时”埘h h l 在 4 】中我们了解到研明通过定义的乘法和右h 一余模映射可做成右何一 余模代数，具体的证明过程可参考1 4 】( p 2 1 4 ) 我们考虑下面的情况，设m m ；， 即m 有右日一余模结构，又有右口一模结构，在m i l l 】上适当的定义右b h 】一 模结构映射和右h 一余模结构映射，则有m 【日】m 薪。l ，其中h 是h 珂代数， b 是右日一余模代数 性质3 。1 1设m m ：，余模结构映射为如：m - - - m o h ，记 m 【卅皇m h ，在肘旧】上定义右研日】一模结构映射和右h 一余模结构映射 如下： i h l ：m t h b h i - - , m h ，小( m o 矗) o 和og ) ) = m a o o s ( a i ) h a 2 9 ， 几l h 】：m h - - m h 9 h ，几“肌p ) = z ( m o o 啊) o 鸭也， 则州日】蚓 证明：首先证明m h 】是右b h 】一模： ( 拼。协“d 圆g ) ( b 8 f ) ) = ( m ) ( 哦o s ( b ，) g b d ) = m ( 口b o ) 。圆s ( n b o ) 。h ( a b o ) 2 s ( b 1 ) g b 2 1 = m f l o b o 固s ) s ( a 1 ) h a ：b ：s ( b j ) g b 4 l = m a o b oos ( 趣) s 0 1 ) & 吒9 6 2 f ， ( ( m 固h ) - o g ) ) ( b o ，) = ( e m a oo s ( a i ) h a 2 9 ) ( 6 0 ，) = m o b o o s ( b i ) s ( a 1 ) h a z g b f l ， 另外，( m 圆? ) ( 1 0 1 ) = m 0 1 困i i t m h 是右研】一模 再i f f _ m h 】是右日一余模由于 又 ( ，o ) 。砌【h l ( 肌圆厅) = ( i o a ) ( z ( m o o h l ) o m l 吃) = e ( m o o 啊) 圆啊琏o m 2 鸭， ( 砌【川o ，) o p m w l ( m o h ) = ( 】固d ( e ( m oo 啊) o m l 坞) = ( ( 卅0 ) 。o ( ) 。) o ( ) ，( ) ：o m ，如 = ( ，o 啊) om i 吃。鸭岛， ( ，o s ) 。砌【l ( 埘圆厅) = ( 占) ( ( o 啊) o 啊吃) e ( m o o h i ) 6 ( m l h z ) = m o h ， n i i 七m h 】是右日一余模 最后 肌【h l ( 伽 ) o g ) ) = 办i h 】( e m a oo s ( q ) h a 2 9 ) 又 = z ( ( m a o ) o 固( s ( a , ) h a 2 9 ) i ) o ( 所口o ) l ( s ( n 1 ) h a 2 9 ) 2 = e ( m o a o ( s ( a 3 ) h l a 4 9 1 ) 圆m l a , s ( a 2 ) h 2 a s 9 2 = z ( m o a o o s ( a 1 ) h t a 2 9 1 ) h 2 a 3 9 2 ， 1 4 成f 【h l ( m o 厅) p l ( a o g ) = ( e ( m o 圆| i 2 1 ) 圆如) ( z ( a o 囟9 1 ) 圆拉1 9 2 ) = z ( m o o ) ( a o o 蜀) 固m i h 2 a , 9 2 y ( m o a o s ( 嘞) 1 ( 口0 ) 2 9 1 ) 固m , h 2 a 1 9 2 = , ( m o a o o s ( a i ) h t a 2 9 1 ) o m t h 2 a 3 9 2 ， 因此m 【明m 并” 淳：n 的定义同性质2 2 2 下面的这两条性质在【4 】中均有类似的叙述，这里我们给出详细的证明 性质3 1 2 设m m 爹，妒：b 斗b 【h i ，妒( 口) = o s ) ， 定义 妒：m _ m 【日】，p ( m ) = z m o s ( m o ，则 ( 1 ) 妒( 聊玎) = ( 肌) 妒( 日) ，其中m m ，a b ； ( 2 ) 5 f ，是单射，hl m i u = m h 】“ 证明：( 1 ) y ( m 由= z ( m a ) d o s ( 所口) l = , m o a o o s ( q ) s ( 码) ， 而 缈( 川) 烈a ) = ( z m o s ( m o ) ( z a o 固s ( 口1 ) ) = e m o a o 固s ( a o ) l s ( m 1 ) ( 口o ) 2 s ( 口1 ) = , n o a oo s ( a , ) s ( m 1 ) a 2 s ( a 3 ) = m o a oo s “) s ( 玛) ， 因此妒( m 口) = f ，( 州) 伊0 ) ( 2 ) 设p ( 研) = 0 ，即o s ( 粥) ：0 ，用i d 圆e 作用上式得：坍= z m o e ( m o = 0 因此是单射 再证i m y = m 日1 “首先 m y m 日1 “： 几 h i ( ( 埘) ) = 几 h i ( y m oo s ( m 1 ) ) = ( ( ) 。o s ( ) 。) o “) 。s ( 码) ：) 1 s = z ( m oo s ( 鸭) ) o m i s ( ) = e ( m o 圆s ( 确) ) 圆l = ( 册) 0 1 ， 其次m 【】i m ： 任取x = z m , o 曩m 日】“，于是 p m i 川( z m i o 曩) = ( ( m i ) 。o ( i ) ) 固( 坍，) ( 嚏) ：= ( 鼻) 圆1 用( ，o m ) ( o ，o s ) 作用上式，得 ( 卅f ) o o ( 吩) l s ( 吩) 2 s ( m ) ，= ，珥0 = x ， 即( 碍) o 固( 噍) s ( 珥) ，= x ， 从而( s ( 曩) ) = x ，故i m p , = m 【h 】一 性质3 1 3 设m 【h m b u h l ，则代数映射f ：b 斗研h 】，f ( 口) = d 0 1 诱导出 m 【h 】的右b 一模结构，使肘旧】肘詈，且映射，：m 呻m 【h 】，_ ( 肌) = m o l 是 埘中的同态 该证明简单，故省略 3 2 右a 模余代数 设4 是双代数，基于【2 】中d e f t 余模代数的内容，下面我们采用同样的方法 来研究右爿一模余代数c 具有的性质，这部分的结论是在有单位元l 的交换环r 上成立的 定义3 2 1 设e 是余代数，具有右a 一模结构，则c p a 有自然的余代数 结构，若c 是右爿一模且模作用映射是余代数映射，即： a c ( ) = c l a lo c 2 乜2 和6 c ( c a ) = 岛( c ) 颤( n ) ， 成立，则称g 是右a 一模余代数 定义3 2 2 若存在r 一模映射缈：c 斗a 是右4 一模映射，称是 c o i n t e g r a l 显然， c ，是c o i n t e g r a l 的充分必要条件是妒( c - a ) = y ( c ) a 性质3 2 1设矿：c - - - a 是兄一模映射，则下面几条是等价的： ( 1 ) l f ，是c o i n t e g r a l ， ( 2 ) 缈。= ( 。异) + 只， ( 3 ) 】l f ，。 = ( 妒。置) 最 其中置：c 0 4 哼c ，# ( c o d ) = c 0 0 ) ，：c o a 叶一，罡( c o 口) = d & ( c ) ，而 0 3 ：g a - - c ，( c 0a ) = c a 证明：( 1 ) j ( 2 ) ：设：g j a 是c o i n t e g r a l ，则 y 。 ( c o f l , ) = y ( c o ) = i c ，( c ) d ， 而( 妒。只) 只( c oa ) = ( 妒。只) ( c o o ) ，- 只( c o n ) 。 = ( q 颤( n 1 ) ) ( 。毛( c 2 ) ) = 颤h ) y ( q ) ( ( c 2 ) ) = | l c ，( c ) a ， 因此， f ，。删= ( 。置) 只 ( 2 ) ( 1 ) ：若。叫= 渺。置) + b 成立，则对任意的c g ，a a 有： o ( c o a ) = y ( c 8 ) ， 眵。置) + 冀( c 圆n ) = ( y 。置) ( c o 。) ，e ( c oo ) 。 从而沙是c o i n t e g r a l = c ，( c 1 颤( n 1 ) ) ( 0 2 毛( 岛) ) = 巳( q ) i f ，( q ) ( 吗( c 2 ) ) 妒( c ) a ， 1 7 ( 1 ) 和( 3 ) 的等价性可类似地证明 性质3 2 _ 2 设a 是双代数，c 是右a 一模余代数若存在 c o i n t e g r a l ：c 斗a 是 可逆的( 或可逆的) ，则有 ( 1 ) 只：c o a 专a 是 - 可逆的( 或一可逆的) ， ( 2 ) 少。国= 巧1 + ( y 。e ) ( 或一。珊= 巧( 妒一。只) ) ， 另外，若存在口：r 寸c 是余代数映射，则有 ( 3 ) 是+ 一可逆的( 或- 可逆的) ( 4 ) 只- 1 = s 。只( 或巧= 否。只) ， ( 5 ) 妒。= m a 。t 。( 妒一1 0 s ) ( 或一。甜= m a 。t 。( 妒一固否) ) 其中国：c o 爿寸a ，d ( c o n ) = c a 证明：( 1 ) 由于国和只是余代数映射，从而妒。口和妒。只是+ 可逆的( 或 可逆的) ，又 。甜= 渺。e ) 只( 或。国= ( y 。e ) 只) ， 所以只：c o a 斗哇是可逆的( 或一可逆的) ( 2 ) 由于( 妒。国) = ( ( 少。置) 最) 一1 ( 或( 妒。棚) 一= “妒。只) 昱) 一) ， 因此妒。= 巧1 + ( y 。最) ( 或| l c ，一。国= 只- x ( 5 c ，一。只) ) ( 3 ) 设口：r - - g 是余代数映射，则最似圆，) = ， ，根据( 1 ) 知l 是t 可逆 的( 或x ，可逆的) ( 4 ) 由于巴是余代数映射，所：v a s 。最= ( 1 。罡= ( l 。最) = e 一 ( 5 ) y 。= - 1 + ( _ ；c ，一。鼻) = ( ( 。最) + ( 沙。暑) = m 。to ( 妒_ o 1 ) = 。珊m a 。t 。( y 一1 圆s ) 性质3 2 3 设a 是双代数，c 是右a 一模余代数，沙：c a ：足z c o i n t e g r a l ， 则有 ( 1 ) a 是a n i t 一麒彬代数，妒是+ 一可逆的，则i 。5 f ，一1 是- 可逆的i m 呵口， 1 r ( 2 ) 若a 是h o p f 代数，p 是x 可逆的，则s 。矿一是 可逆c o i n t e g r a l ， 证明：( 1 ) 设妒：c 专a 是一可逆的，从而b ：g o a a 也有一逆首 先断言j 。巧= 最： 可。巧1 = ( i 。罡) 一( 由于覃是代数反同态) = ( ( 。) 一 = “，。) 一) 一( 由于最是余代数同态) = lo b = 最， 又 ( 季。妒一1 ) 。国= i 。( 巧1 + ( 。墨) ) = ( i 。缈。以) ( i 。巧) = ( ( i 。妒一1 ) 。眉) e ， 从而知i 。y c o i n t e g r a l ，其x 逆为( i 。妒一1 ) 一= i 。妒 ( 2 ) 设妒是x 一可逆的，则b ：c o a a 也有一逆，首先断言s 。b 一= 最： s 。巧= ( s 。b ) 。1 ( 由于s 是代数反同态) = ( ( 。罡) 。 = ( ( l 。昱) 。) 。( 由于最是余代数同态) = i ao e = 昱， 又 ( s 。一) 。= s 。( 巧( 妒。# ) ) = ( s 。( 吵一。量) ) + ( s 。巧) = o 缈一。弓) ) + 最 = ( ( s 。y 一) o 五) + 最， 从而知s 。一是c o i n t e g r a l ，其逆为( s 。一) = s 。 1 9 3 3 范畴蟛c 定义3 & 1 设c 是右日一。鬟鞑数，m 是右c 一余模且是右h 一模，结构映 射分别为p ：m 寸m o c ，p ( 神= z m 0 9 m ，和y ：m o h 寸m ，以胧9 = m h ， m o c 有右日一模结构 ( 研0 c ) h = m o c 吃， 若p 是右日一模映射，则称m 是右( c ，h ) 一模 右( c ，h ) 一模范畴记为j 】l 霸，即其对象是右( c ，) 一模，其同态是右c 一余 模映射和右h 一模映射 以下当c ，h 同上，我们构造另外一个右日一模余代数c h 】，且对任意的 m 蟛，我们构造m 【刎域，如此可定义范畴映射如下： f ：孵斗m n c # l ， 厂( m ) = m 【明， 当m m ：| zj 时，通过：c 【】斗c ，矿( c o ) = c s ( a ) 可诱导出m 的右c 一余模结 构，另外易知m h + 是右c 一余模，从而m m h + 是右c 一余模，其中日+ = 缸r ， 再由m 的右日一模结构可诱导出m i m h + 的右h 一模结构且易知 m m h + 巧，故我们可定义另一个范畴映射如下 g ： ”1 斗m ：，g ( m ) = m m h + 在下文中可证m 兰m h m h i h + 以下均假定日是h o p f 代数，在 4 】中作者提出了当c 是右日一模余代数时， c 【刎也可成为右h 一模余代数，下面给出详细的证明 设c 是右日一模余代数，模结构映射为：c 圆h c ，p 圆 ) = c h 性质3 3 1 若定义 ：c o 日斗( c o h ) 圆( c o 日) ，a ( c o ) = c l 固如o c 2 ( s ( 啊) 鸭) o ， 2 0 占：c o h k ，e ( c o h ) = 占( c ) 占( j d ， 则c o h 做成余代数，记为c n 】 证明：由于所有的映射均是线性的，故只需在生成元上验证即可 ( i o a ) o a ( c o h ) = ( j o ) ( c o 如o q ( s ( 啊) 玛) o ) = e c 坞 ( c ：( s ( 红) 坞) ) 固( 红) ：固( c ：( s ( 啊) ) ) ：( s ( 氏) 。( 乜) ，) 0 t ) t = qo ，boc 2 s ( 岛) 巩圆坞 c 3 s ( ) 魄s ( 吃) 魄o h , = q 园岛o q ( s ( 也) 吃) 0 魄。巳( s ( ) 吃) o ， ( o i ) 。和。的 = ( 圆i ) ( c l0 也固c ：( s ( 啊) 坞) 圆啊) = x ( g ) 。o ( 红) 2o ( q ) ：( s ( 也) 。( 岛) ，) 固( 吃) o 乞( s ( ) 呜) 9 九