（基础数学专业论文）李中心亚阿贝尔群环.pdf

中文摘要 摘要 设r 是单位元1 o 的结合环，我们可以通过定义李积陋，y 】= x y y x ( x ，y r ) 得到一李环，称为同拘相拌环，记为l ( 冗) 如果对任意的x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x 5 r 有【陋1 ，z 2 】，【x 3 ，x 4 ，z 5 】= 0 ，那么称l ( 冗) 为 李中心亚阿贝尔的 f 为一特征为p 的域，g 为一个群，我们主要考查群环f g 的李中心亚阿贝尔 性质首先考虑f 的特征p 为0 的情况，我们得到了群环f g 是李中心亚阿贝尔的当 且仅当g 为阿贝尔群再考虑f 的特征p 0 的情况，我们分三种情况讨论，首先 当f 的特征p 3 时，我们得到了和p 为o 一样的结果，群环f g 是李中心亚阿贝尔 的当且仅当g 为阿贝尔群，其次当f 的特征p = 3 时，我们有群环f g 是李中心亚阿 贝尔的当且仅当g 的阶小于等于3 最后我们考虑f 的特征p = 2 f j e j 情况，我们给 出了一充分条件，一类特殊的群环f g 是李中心亚阿贝尔的f 为一特征为2 的域， g = ( a ，6 ) ，其中a 为阿贝尔的，且b 2 a ，那么群代数f g 是李中心亚阿贝尔的 关键词：群环；李亚阿贝尔；李中心亚阿贝尔；李可解； 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e trb ea l la s s o c i a t i v er i n gw i t hi d e n t i t y1 0 w ec a no b t a i nal i er i n gu n d e rt h e l i em u l t i p l i c a t i o ni x ，y 】= x y y x t h el i e r i n g ，w i l lb ed e n o t e db y 己( 冗) a n dw i l lb e c a l l e dt h ea s s o c i a t i v el i er i n go fr l ( r ) i sc a l l e dl i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ni f 【x l ，x 2 1 ，k 3 ，z 4 】，z 5 】= 0f o ra r b i t r a r y z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 r l e tfb eaf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cpa n dgb ea g r o u p w em a i n l yc o n s i d e rp r o p - e r t i e so fl i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ng r o u pr i n g s w h e np = 0 ，t h eg r o u pr i n g sf gi sl i e c e n t r a l l ym e t a b e l i a ni fa n do n l yi fg i sa b e l i a n w h e np 0 ，t h e r ea r et h r e ek i n d so f s i t u a t i o n s f i r s t l y , w h e np 3 ，w eg e tt h er e s u l tw h i c hi ss a n l ea sp = 0 ，t h eg r o u p r i n g sf g i sl i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ni fa n do n l yi fgi sa b e l i a n s e c o n d l y , w h e np = 3 ， w eg e tt h er e s u l tt h a tf gi sl i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ni fa n do n l yi ft h eo r d e ro fg 7i sn o t m o r et h a nt h r e e l a s t l y ，w ec o n s i d e rt h es i t u a t i o nw h e np = 2 as p e c i a lg r o u pr i n gi s l i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a n g = ( a ，6 ) ，ai sa b e l i a n ，b 2 a ，t h e nf gi sl i ec e n t r a l l y m e t a b e l i a n k e yw o r d s ：g r o u pr i n g s ；l i em e t a b e l i a n ；l i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a n ：l i e s o l v a b l e i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明i 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名： 签名日期：了皑年s 月弓1 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，i ；l j - 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守 此规定) 篱二纨 指导教师签名：4 、! n 日期：埘多1 日期：沙g ，g 扒 l 序言 1 1 背景介绍 1序言 r 为含单位元1 0 的结合环，对任意的x ，y r ，我们可以通过定义李 积p ，y 】= x y 一弦来诱导出同拘李结构得到一李环，把它称为同拘相伴环，记 为l ( r ) 我们可以归纳的定义， 【x l ，x 2 ，x n 】= 【 x l ，x 2 ，x n 一1 】，z n 】 r 的一个李理想也是李环l ( r ) 的理想，如果y 是r 的加法子群，那么y 是同拘 李理想设 v7 r ，有hr 】v 而 r = p ，r 】+ 7 i 口，所以我们有y r = r v g 为一群，f 为一域，f g 为域f 上群g 的群代数l ( f g ) 为在李积k6 】= a b 一施的 定义下f g 的结合李代数，其中任意的a ，b f g 如果a 和b 都为l ( f g ) 的理想， 我们定义阻，引为集合 【o ，6 1 i o a ，b b ) 所生成的李理想，我们可以通过归纳的 形式定义群代数f g 的李导列， 6 ( o ( l ( f g ) ) = f g ， 5 n ( l ( f g ) ) = 【占( “一1 ( 三( f g ) ) ，扩一1 ( l ( f g ) ) 】， 6 ( n ( f g ) = 6 ( n ( l ( f g ) ) 定义l 群代数f g 的李导长为竹，即存在扎使得5 n ( k g ) = o 且6 n - - 1 ( f g ) 0 ， 则f g 称为李可解的 定义2 如果对任意的x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 f g 有【k 1 ，z 2 】，k 3 ，z 4 】= 0 ，那么称f g 为 李亚阿贝尔的 定y 4 3 如果对任意的x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x 5 f g 有【z 1 ，z 2 】，【x 3 ，z 4 】，z 5 】= 0 ，那么 称f g 为李中心亚阿贝尔的 在【l 】中，p a s s i ，p a s s m a n 和s e h g a l 证明了群代数f g 是李可解的只要下列条 件之一成立即可 1 湖北大学硕士学位论文 ( 1 ) 群g 为阿贝尔的 ( 2 ) f 的特征为p ，p 0 ，g 为有限p ，群 ( 3 ) f 的特征为2 ，h 3 ，所以有( 夕，h ，h ) = 1 由此可 知g 为2 一e n g e l 的由于 ( g ，g ) 3 = 1 以及k 的特征大于3 和g 7 为p 一群，我们有 铂( g ) = ( g 7 ，g ) = l ， 因此g 的幂零类最多为2 定理2 2f 为特征大于3 的域，g 为一个群，那么群环f g 李中心亚阿贝尔的当 且仅当g 为阿贝尔群 证明：如果g 为阿贝尔群，那么f g 是李中心亚阿贝尔的 由于f 为特征大于3 ，f g 是李中心亚阿贝尔的，由引理2 6 可知g 的幂零类最 多为2 ，因此g 7 为中心的，所以g 7 为有限p 一群又由引理2 2 以及( z ，可) 是中心的，我 们有 0 = 【z ，秒】2 【z ，y ，y 1 = 陋，引3 y 一【x ，引2 y x ，y 】 = 可z ( ( z ，y ) 一1 ) ) 3 y 一 y z ( ( z ，y ) 一1 ) ) 2 可可z ( ( z ，y ) 一1 ) = ( 可z ) 3 y 一( 寥z ) 2 y 2 z ) ( ( 茁，y ) 一1 ) 3 = ( y x ) 2 y 2 z ( ( z ，y ) 一1 ) 4 其中x ，y g 凶此 ( ( z ，y ) 一1 ) 4 = 0 8 2 特征为o 和特征大于3 的李中心亚阿贝尔群环 但g 7 为p 一群且p 3 ，因此 我们就可以断言g 为阿贝尔群 ( z ，y ) = 1 ， 9 一 湖北大学硕士学位论文 3特征为3 的李中心亚阿贝尔群环 引理3 1 若f 是一个特征为3 的域，g 是一个群且g 7 的阶3 ，则群代数f g 是 李中心亚阿贝尔的，群代数f g 的单位群u ( f g ) 是中心亚阿贝尔的且它的导子群 的指数最多为3 证明：h 为一个群，a ( f h ) 为群代数f 日的增广理想，那么a ( f h ) 是形式h 一 1 的所有元素的f 扩张，其中h h 标准满同态 有核a ( f g 7 ) f g 特别地， 妒：f g _ f i g g f g a ( f g 7 ) f g 垒f g g 并且 l ( f g ) 7 d e l t a ( f g ) f g ， l ( f g ) a ( f g 7 ) f g a ( f g 7 ) f g = a ( f g ，) 2 f g 我们假定g 7 的阶为3 ，否则的话，结果将是平凡的如果夕是g 7 的一个生成元， 那么 a ( f g 7 ) = ( g 一1 ) f g ， a ( f g ) f g = ( 夕一1 ) f g ， a ( f g ，) 2 f g = ( g 一1 ) 2 f g ， 而 ( 夕一1 ) 2 = 9 2 + 夕+ 1 是包含在f g 的中心z ( f g ) 里因此 【( 9 1 ) 2 0 ，6 】= ( g 1 ) 2a ，6 】( g 一1 ) 2 l ( f g ) 7 ( 夕一1 ) 3 f g = 0 ， 1 0 3 特征为3 的李中心亚阿贝尔群环 其中a ，b f g ，因此f g 是李中心亚阿贝尔的又因为 u ( f g ) 1 + l ( f g ) f g 1 + ( g 一1 ) 2 f g = 1 + ( 9 2 + g + 1 ) f g ， z ，y g ，那么 因此 那么 ( y ，z ) g ，= 1 ，g ，9 2 ) ， ( ( 夕2 + g + 1 ) y ，z ) = 9 2 + g + 1 ( 9 2 + g + 1 ) x y = ( ( 扩+ g + 1 ) y ，z ) x y = ( 9 2 + g + 1 ) y x = y ( 9 2 + g + 1 ) x 这样就可以推出 特别地， 由 ( 9 2 + g + 1 ) f g z ( f g ) ( u ( f g ) ，u ( f g ) ) = 1 u ( f g 7 ) 1 + l ( f g 7 ) f g 1 + a ( f g 7 ) f g = 1 + ( g 一1 ) f g 就可以推出 ( u ( f g ) 7 ) 3 ( 1 + ( g 一1 ) f g ) 3 = 1 + ( g 一1 ) 3 f g = 1 为了记号的简单，我们将用a 7 ，a 代替l ( a ，) l ( a ) ， 引理3 2a ，b 为域f 上两个结合的含幺代数，那么 ( 1 ) ( a b ) 7 = a 7 圆b + aob 7 ； ( 2 ) 【a 7ob ，a 7 b 】= a b + a b ； ( 3 ) ( 4ob ) = a 圆b + ( a 7 ) 2 圆b 7 + 【a 7ob ，a 7 b 】+ a b + a 7o ( b 7 ) 2 ，o 湖北大学硕士学位论文 证明：( 1 ) 因为( aob ) 7 是下列形式的元素生成的， 【a l b l ，a 2ob 2 】= a l a 2ob i b 2 一a 2 a lo b 2 b l = a l a 2ob 1 5 2 一a 2 a lob l b 2 + a 2 a l 圆b 1 5 2 一a 2 a lpb 2 b l = 【a l ，a 2 】ob i b 2 + a 2 a lo 【b l ，6 2 】 其中a 1 ，a 2 a ，b 1 ，b 2 b ，那么 ( aob ) 7 b + ao b 7 反之，ob 是下列形式的元素生成的， a l ，a 2 】ob = ( a l a 2 一a 2 a 1 ) 固b = a l a 2ob a 2 a lo b = ( a l 1 ) ( a 2 b ) 一( n 2ob ) ( a lp1 ) = 【a lo 1 ，a 2o 6 】 其中a l ，a 2 a ，b b ，那么 同理可得 ( 2 ) 由( 1 ) 的证明可知， a 7 圆b ( aob ) 7 ap b 7 ( aob ) 7 是由下列形式的元素扩张而成， 其中 【ob ，ob 】 【a l b l ，a 2ob 2 】= 【a l ，a 2 】ob i b 2 + a 2 a lq 【b l ，6 2 】， a 1 ，a 2 a 7 ，b 1 ，b 2 b ， 1 2 3 特征为3 的李中心亚阿贝尔群环 因此 【a 7pb ，a 7qb 】ob + ( a ，) 2 b 7 反之，ob 是由下列形式的元素扩张而成， 【a l ，a 2 】圆b = a lp1 ，a 2 6 】 其中o l ，a 2 a 7 ，b b 因此 a qb 【a 7 圆b ，ob 】 同时( a ，) 2ob 是下列形式的元素扩张而成， a 2 a l 圆 b l ，b 2 】= 【a lob l ，a 2ob 2 】一【a l ，a 2 】ob i b 2 ， 其中a 1 ，0 2 ，b 1 ，b 2 b ，a lob l ，a 2o6 2 b ，于是有 因此 【a l ，a 2 】ob i b 2 a b 【a 7ob ，a 圆b ，】 ( a ，) 2 圆b 【a 7 圆b ，固引 ( 3 ) 和( 2 ) 中的证明相似，容易得到 【aob ，aob 7 】= ao b + a 7o ( b ，) 2 ， 再由上面以及( 1 ) ，( 2 ) 就可以得到结论 为礼次对称群，我们用引理3 2 可以得到一类群环不是李中心亚阿贝尔的 引理3 3 若f 为一特征为3 的域，x 为一群，g = 8 3 x ，如果群环f g 是李中 心亚阿贝尔的，那么x 是阿贝尔的 证明：由引理3 2 可知， ( f s 3of x ) 2 ( ( f s 3 ) ，) 2o ( f x ) 7 1 3 湖北大学硕士学位论文 我们记& = ，其中9 3 = h 3 = 1 ，且h g h 一1 = 9 2 因此 g 9 2 = g h g h _ 1 ( f 岛) 7 ， 名= ( g 一夕2 ) 2 = l + g + 9 2 z ( f s 3 ) o ) 如果f g 是李中，5 , 亚nr a 尔的，那么z o ( f x ) 是包含在z ( f s 3 q f x ) = z ( f s a ) 圆 z ( f x ) 里面因此 ( f x ) z ( f x ) ， 所以x 是阿贝尔的 定理3 1 若f 为一特征为3 的域，g 为一群，如果群代数f g 是李中心亚阿贝尔 的那么g 7 的阶3 证明：见【2 】 定理3 2 若f 为一特征为3 的域，g 为一群，如果群代数f g 是李中心亚阿贝尔 的当且仅当g ，3 并_ r f g 的单位群u ( f g ) 是李中心亚阿贝尔的且它的导子群 的指数3 证明由引理3 1 可知，f 是一特征为3 的域，g 是一群且g 7 的阶3 ，因此f g 的 单位群u ( f g ) 是中心亚阿贝尔的，再由定理3 1 就可以得到证明 1 4 4 特征为2 的李中心亚阿贝尔群环 4特征为2 的李中心亚阿贝尔群环 f 为一特征为2 的域，g = ( a ，6 ) ，其中a 为阿贝尔群，b 2 a ，如果f g 是 特征为2 的域上的李可解非交换的群代数，那么g 7 的阶为2 “或g 包含一子群日， 且日7 的阶为2 n ，因此f g 是模很清楚，群代数f g 的每个元素x 能够唯一的写成 这种形式x = x 1 + x 2 b ，其中戤( i = 1 ，2 ) 属于交换群代数f a 显然f g 的两个元 素x l + z 2 b 和y 1 + y 2 b 是相等的当且仅当 瓤= y i ，i = 1 ，2 对任意的a f a ，我们定义瓦为元素b a b 因为a 的指数为2 ，a 在g 中正 规，d f a ，又因为 因此 b 2 a - 2 ：b - l b 2 b ：b 2 因此我们可以得到群代数f a 的阶为2 的自同构我们将映射 称之为共轭注意到 f ghf g z 卜_ z x = x l + z 2 b ，b - 1 x b = b - i x l b + b - i x 2 b = 石+ 万- 6 = 虿 x b = 6 嘭 元素z f g ，如果z = - 5 ，我们称之为对称 引理4 1 如果z ，b f g ，z ，6 可交换当且仅当z = - 2 1 5 湖北大学硕士学位论文 证明：设 而 名= 2 ；1 + z 2 b ， z b = ( z l + z 2 b ) b = z l b + z 2 b 2 ， b z =b ( z l + z 2 b ) b z l + b z 2 b - 瓦2 b 2 + g b 如果z b = b z ，那么勿6 2 = j 移，a z l b = _ 6 如果b 是单位，所以有z 1 = _ ；5 2 = 瓦于是有z = - 2 反过来是显然的 弓l t l 4 2 如果x ，y f g ，z = x 1 + x 2 b ，y = y l + y 2 b ，勇b 么有 证明：因为 ( z 1 + x 2 b ) ( y 1 + 垅6 ) = ( x l y l + x 2 西b 2 ) + ( x 2 y - f + x l y 2 ) b x y = ( x l y l + x 2 甄b 2 ) + ( z 2 贾+ x l y 2 ) 6 ， y x = ( y l x l + 沈瓦6 2 ) + ( 耽可+ y l x 2 ) 6 ， 又因为z 和y 是对称的，f a 是交换的，这和等式的右边一致 弓1 t 1 4 3 如果z f a ，且z = - 2 ，那么有z z ( f c ) 证明：设x = z 1 + z 2 b ，z 为f g 的一元素，z f a ， 那么 z ( x l + x 2 b ) = z x l + z x 2 b = x l z + x 2 b - 5 = ( x l + z 2 b ) z 定理4 1f 为一特征为2 的域，g = ( a ，b ) 其中a 为阿贝尔的，且6 2 a ，那么群 代数f g 是李中心亚阿贝尔的 证明：f g 是李可解的，6 3 ( f g ) z ( f c ) ，即 z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 k g ， 一1 6 4 特征为2 的李中心亚阿贝尔群环 【p l ，z 2 】，p 3 ，z 4 1 1 在z ( f g ) 里设 z = x l + x 2 b ，y = y l + y 2 b 由于f 的特征为2 ，我们可以将【z ，y 】= x y + y x 替代i x ，y 】= x y y x ，于是我们有 p l + x 2 b ，y l + 耽6 】= ( z l + x a b ) ( y l + y 2 b ) + ( y x + y 2 b ) ( x l + x 2 b ) = ( x l y l + z 2 甄6 2 + x l y l ) + 瓦耽铲+ ( z 2 两+ x l y = + z 2 可l + z r , y 2 ) b m ( z 2 甄+ 孤) 6 2 + ( x l + 酉) 可2 + x 2 ( y 1 + 甄) 6 其中 x l ，x 2 】= 入= 入1 + a 2 b ，i x 3 ，x 4 】= p = p 1 + # 2 b 在6 ( 2 ( f g ) 里，因此a 1 ，p 1 为对称的因此( k 1 ，z 2 】，i x 3 ，z 4 】是群代数f a 的对称元 素，由引理4 3 可知【k l ，。2 】，p 3 ，z 4 j j 在f g 的中心里 1 7 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】k i i l s h a m m e rb a n ds h a r m ar k l i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ng r o u pt i n g si nc h a r a c t e r i s t i c3 【j 】 j a l g e b r a ，1 9 9 6 ，18 0 ：1 1l 一1 2 0 【2 】s a h a im a n ds r i v a s t a v aj b an o t eo nl i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ng r o u pa l g e b r a s j j a l g e b r a 1 9 9 7 ，1 8 7 ：7 1 5 【3 】s h a r m ar k a n ds r i v a s t a v aj b l i ec e n t r a l l ym e t a b e l i a ng r o u pr i n g s j j a l g e b r a ，1 9 9 2 ， 1 5 l ：4 7 昏4 8 6 【4 】s h a r m ar k a n ds r i v a s t a v aj b l i es o l v a b l et i n g s j p r o c a r t i e r m a t h s o c 1 9 8 5 ，9 4 ：1 - 8 【5 】b a u m s l a g g l e c t u r en o t e so nn i l p o t e n tg r o u p s i m p r o v i d e n c em a ：a m e r m a t h s o c 1 9 7 1 【6 】b o n d y j a a n dm u r t y u s r g r a p ht h e o r yw i t hi t sa p p l i c a t i o n s m n e wy o r k ：m a c m i l l a n ， 1 9 7 6 【7 】b o r e l a l i n e a ra l g e b r m cg r o u p s m g r a d u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s1 2 6 ，s p r i n g e r - v e r l a g ， 1 9 9 1 【8 】d i x o n d j p r o b l e m si ng r o u p st h e o r y m b l a i s d e l l ：w a l t h a m ，m a ，1 9 6 7 【9 】d o k u c h a e v m ，k i r i c h e n k o vm i l i e s c pe n g e is u b g r o u p so ft r i a n g u l a rm a t r i c e so v e rl o c a l r i n g s j j a l g e b r a ，2 0 0 5 ，2 9 0 ：4 3 3 - 4 4 6 【1 0 】h a l l ps o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rag r o u pt ob en i l p o t e n t j i l l i n o i sj m a t h 1 9 5 8 ，2 ： 7 8 7 8 0 1 【11 】h i g m a n g l i et i n g sm e t h o d si nt h et h e r o yo ff i n i t en i l p o t e n tg r o u p s j p r o e i t e m c o n g r m a t h e d i n b u r g h ：c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，1 9 6 0 ：3 0 7 31 2 【1 2 】h i g m a n g g r o u p sa n dl i er i n g sh a v i n ga u t o m o r p h i s m sw i t h o u tn o n t r i v i a lf i x e dp o i n t s j j l o n d o n m a t h s o c 1 9 5 7 ，3 2 ：3 2 1 3 3 4 【1 3 】h u p p e r t b ，b l a c k b u r n n f i n i t eg r o u p m l o n d o n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 2 【1 4 】k h u k h r o e i p - a u t o m o r p h i s m so ff i n i t ep - g r o u p s m n e wy o r k ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 9 8 【15 】k h u k h r o e i g r o u p sa n dl i er i n g sa d m i t t i n ga l m o s tr e g u l a ra u t o m o r p h i s m so fp r i m eo r - d e r j m a t s b o r n i k 1 9 9 0 ，1 8 1 ：1 2 0 7 1 2 1 9 【16 】l e e d h a m g r e e n c r t h es t r u c t u r eo ff i n i t ep - g r o u p s j j 。l o n d o n m a t h s o c ( 2 ) 19 9 4 ， 5 0 ( 1 ) ：4 9 6 7 1 8 参考文献 【1 7 】l e v c h u k v m c o n n e c t i o n sb e t w e e nt h eu n i t r i a n g u l a rg r o u pa n dc e r t a i nd n g s h 【j 】g r o u p s o fa u t o m o r p h i s m s ，s i b e r i a nm a t h j 19 8 3 ，2 4 ( 4 ) ：5 4 3 5 5 7 【1 8 】l e v c h u k v m s o m el o c a l l yn i l p o t e n tm a t r i xr i n g s j m a t z a m e t l o 1 9 8 7 ，4 2 ( 5 ) ：6 3 1 - 6 4 1 【1 9 】m e d v e d e v y g r o u p sa n dl i en n g sw i t ha l m o s tr e g u l a ra u t o m o r p h i s m s j j a l g e b r a 1 9 9 4 ， 1 6 4 ：8 7 7 8 5 5 【2 0 】r o b i n s o n d j s ac o u r s ei nt h et h e o r yo fg r o u p s m s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 5 【2 1 】r o b i n s o n g r c o u n t i n gc o n j u g a e yc l a s s e so fu n i t r i a n g u l a rg r o u p sa s s o c i a t e dt of i n i t e - d i m e n s i o n a la l g e b r a s j j g r o u pt h e o r y1 1 9 9 8 3 ：2 7 1 2 7 4 2 2 】r o s e j s ac o u r s eo ng r o u pt h e o r y m c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，19 7 8 【2 3 】r o t m a n j j a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo f g r o u p s m 4 t he d n n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ， 1 9 9 5 【2 4 】s c h u l t z pa u t o m o r p h i s mg r o u p so fa b e l i a ng r o u p s j ，i na b e l i a ng r o u p s ，r i n g sa n dm o d u l e s ，a m e r m a t h s o c s e r i e sc o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s 2 0 0 1 ，2 7 3 ：5l - 6 2 【2 5 】s h i r s h o v a i o nf r e el i er i n g s j m a t s b o r n i k 1 9 5 8 ，4 5 ：1 1 3 - 1 2 2 【2 6 】s t u a r t a g r o nt h ec l a s so fc e r t a i nn i l p o t e n tg r o u p s j ，p r o c r o y s o e ，s e r a 19 6 6 ，2 9 2 ： 3 7 4 - 3 7 9 【2 7 】s u p r u n e n k o d a m a t r i xg r o u p s m t r a n s l m a t h m o n