（基础数学专业论文）自守l函数的均值估计.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：塑：渔! 曼 e t 期：至! ! ：呈生“ 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：哗导师签名 期：堑生9 h 比 。 目录 中文摘要 英文摘要 符号说明 第一章h e c k el - 函数的分数阶积分均值 1 1 引言及主要结果 1 2 基本引理 1 3 定理1 1 的证明 第二章 2 1 2 2 2 3 h e c k el - 函数积分均值的上界 引言及主要结果 基本引理 定理2 1 的证明 第三章l ( 互1 ，fox ) 的离散均值估计 3 1 引言及主要结果 3 2 基本引理 3 3 定理3 1 的证明 3 4 定理3 2 的证明 参考文献 致谢 ， 攻读博士学位期间完成论文情况 2 5 2 5 2 6 3 6 3 7 4 1 4 4 4 5 i v 1 1 3 惦 m 璩 船 t 1 i 山东大学博士学位论文 自守厶函数的均值估计 孙海伟 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 在解析数论中，关于黎曼( 函数和l 函数的均值估计是非常重要的问题，相关结 论在数论中有非常重要的应用本文，我们将研究自守l 函数的均值估计 设k 是一个正偶数，( 名) 是定义在全模群r = s l 2 ( z ) 上权为，c 的全纯尖形式，假 设，( 名) 是标准化了的全体h e c k e 算子的特征函数，则，( 名) 在其尖点0 0 处的傅立叶展 式为 化) = ) v ( n ) n - 一r 1 - e 撕们，入( 1 ) = 1 这样的，( 名) 被称为全纯的h e c k e 特征形对于h e c k e 特征形，存在l - 函数 肌，= 薹学= u ( 1 一学) 以( 1 一等) ， 其中r e s 1 我们称其为h e c k el - 函数 在本文的前两章，我们主要考虑l ( f ，8 ) 的积分均值问题，即估计 础= f 扣) 卜 其中k 是大于0 的实数对黎曼( 一函数而言，很多作者( 见【1 】，【3 】，【1 5 】等) 考虑了积 分均值 螂，= 0 t 棚) 卜 并猜想慨( 丁) 满足渐近公式 靠( t ) 一c k t ( 1 0 9t ) ，其中q 是正常数但至今只有 在k = 1 ( h a r d y 和l i t t l e w o o d ，见【3 0 】) 和k = 2 ( i n g h a m ，见【3 0 】) 时被证明成立不 过当k 为其他值时，很多人考虑了慨( t ) 的上界和下界，尤其是下界在很多情况下被 证明满足猜想下界，即 乱( t ) t ( 1 0 9 t ) 酽例如h e a t h - b r o w n 在 8 】中证明了当k 为 正有理数时，m k ( t ) t ( 1 0 9 t ) 七2 ；当k = 击 0 ，亿为正整数时，尥( t ) t ( 1 0 9 t ) 舻 山东大学博士学位论文 利用h e a t h - b r o w n 的方法，a l a u r i n s i k a s 和j s t e u d i n g 【1 7 研究了尥( t ) 的 上界和下界，证明了当k = 石1 时， m k ( y ，t ) t ( 1 0 9t ) ， 在广义黎曼猜想下，当n 为偶数时 尥( 六t ) t ( 1 0 9 t ) 驴 在第一章中，我们将进一步利用h e a t h b r o w n 的方法，并结合l ( f ，s ) 七的f o u r i e r 系数的均值估计来改进【17 】的结果结论如下； 定理1 1 设q ，k 0 ，则当t 一时， 尥( 工丁) 七t ( 1 0 9 t ) 肛 假设关于l ( s ，) 的广义黎曼猜想成立，则上式对任意的实数k 0 成立，且对任意的 实数0 2 e 一挚，我们有 尥( ，e 日) h o 。gt ) k 2 + o ( 1 由) ， 其中 删，t 罔= f 日l lf ，扣) 卜 h = t 0 ，0 1 我们将分别用h e a t h b r o w n 9 】及r u d n i c k 和s o u n d a r a r a j a n 【2 5 】的方法来估计慨( g ，) 的上界和下界在【9 】和【2 5 中作者分别考虑了如下d i r i c h l e tl - 函数离散均值的下界 和上界， 其中q 是自然数，x 是模q 的d i r i c h l e t 特征 利用【9 】的方法，我们将得到 磊( g ，) 的上界，定理如下t 定理3 1 假设l ( s ，ox ) 的广义黎曼猜想成立，则对任意的实数0 0i sr a t i o n a l ，m k ( t ) t ( 1 0 9 t ) f o r 后= 吾 0 ，w h e r e 佗i sa n i n t e g e r ， 慨( t ) t ( 1 0 9r ) 酽 u s i n g t h em e t h o do fh e a t h - b r o w n 8 】，a l a u r i n 芒i k a sa n d j s t e u d i n g 17 1s t u d i e d l o w e ra n du p p e rb o u n d sf o r 慨( ，t ) t h e yp r o v e dt h a t ，f o rk = 击，n n m k ( f , t ) t ( 1 0 9r ) 酽 a s s u m et h a tt h eg r a n dr i e m a n nh y p o t h e s i s ( g r hi nb r i e f ) f o rl ( f ，8 ) i st r u ea n d t h a tni sap o s i t i v ee v e ni n t e g e r ， m k ( f ，t ) t ( 1 0 9t ) 舻 i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ew i l la p p l yt h em e t h o do fh e a t h - b r o w na n du s es o m e 盼 t i m a t e sf o rt h ea v e r a g eo ft h ef o u r i e rc o e f f i c i e n t so fl ( f ，s ) 七t oi m p r o v et h er e s u l to f 【1 7 o u rr e s u l ti s t h e o r e m1 1 l e tk q ，k 0 t h e n ，0 , 8t o 。， m k ( f ，r ) 七t ( 1 0 9t ) a s s u m eg r h f o rl ( f ，8 ) i st r u e ，t h e nl a s ti n e q u a l i t yi st u r ef o ra n yr e a ln u m b e rk 0 ， a n d o ra n yr e a ln u m b e r0 2 e 每。t l ，e 口口e 。 m k ( f ，日) h ( 1 。gt ) k 2 + 。( 南) ， w h e r e 聊舢，= f 日扣) 卜 h = t ow i t h0 1 i 山东大学博士学位论文 w ew i l lu s et h em e t h o do f 【9 】a n d 【2 5 t oe s t i m a t et h el o w e rb o u n da n du p p e rb o u n do f m k ( q ，) r e s p e c t i v e l y h e a t h - b r o w n 9 】a n dr u d n i c ka n ds o u n d a r a r a j a n 【2 5 】s t u d i e d t h es u mo fp o w e ro fd i r i e c h l e tl - f u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y , w h i c hi s 毗，- - e 睢1 x ( m o d q ) x ，r - w h e r eqi sn a t u r a ln u m b e ra n dxi st h ed i r i c h l e tc h a r a c t e rm o d u l oq u s i n gt h em e t h o do f 【9 】，w ew i l lc o n s i d e rt h eu p p e rb o u n do fm k ( q ，) o u rr e s u l t i s t h e o r e m3 1 u n d e rg r h f o rl ( s ，ox ) ，如ra n yr e a ln u m b e r0 k 1w eh a v e 尥( g ，) 咖( 口) ( 1 0 9g ) 胪 m e t h o do f 2 5 o u rr e s u l ti s r a ln u m b e rka n da n yn a t u r a l m o m e m t s ，g r h 山东大学博士学位论文 b l 2 ( z ) ： ： r ： c ： d ( n ) ： r ( n ) ： a ( 几) ： n n ： 符号说明 完全模群 上半平面 实数集 复数集 除数函数 r a m a n u j a n 函数 m a n g o l d t 函数 0 ，则当t _ 0 0 时， m k ( f ，t ) 七t ( 1 0 9t ) 假设关于l ( 六s ) 的广义黎曼猜想成立，则上式对任意的实数k 0 成立，且对任意的 实数0 ” = 9 ( 1 一等) 以( 1 一学) 一 我们定义 枷= 帮= 坐鼍 业， ( 1 2 1 ) 其中j 是正整数由文章 8 】的引理1 知，对任意的彪0 和任意e 0 ， 0 d k ( n ) ， 3 山东大学博士学位论文 对任意的自然数r 和m ， d h c r a ) = d k ( 仇1 ) d k ( m r ) ( 1 2 2 ) m 2 m 1 m r r n , e z 假设1 2 1 1 时， 其中g k ( m ) 是可乘函数，定义如下； ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) - l 鲰) = d k ( f f ) a f ( p ) d k ( p t 一) 办o ) 卜j ( 1 2 5 ) j = o 下面我给出一些基本引理 引理1 1 ( h l m o n t g o m e r ya n dr c v a u g h a n 【2 1 】) 设a n 是任意的复数，如 果l n 。1 2 丕喾( 盯一圹， 及 ( 1 0 9 矿2 篆掣( 1 0 酬舻 4 警 一 = h ，一 型矿 9 一 n p = 矿 ， “ i 山东大学博士学位论文 证明首先我们建立如f 渐进公式： 噼g k ( m ) 2 一篙去塾( 1 + t = li g k 等) 1 2 ) 2 q 由( 1 2 5 ) 知 鲰0 ) = d k ( p ) ( a ，仞) + 办0 ) ) = k ( a ，仞) + 所p ) ) ， 再利用( 1 1 3 ) 得 g k ) 2 = k 2 ( 口，函) + 毋) ) 2 4 k 2 ( 1 2 7 ) 利用估计( 见 1 8 】或【2 7 】) 幽出鱼继：l o g l o g x + d ( 1 ) ， ( 1 2 8 ) 名p 。 一。 、 和分部求和公式我们得到 争鲜( 1 霉l o g t d 睡学卜魄z ， 即 警蒯2 砒2 l o g 丘( 1 2 9 ) p 0 鲰) d k ( p i ) d k ( p 扛) = d 2 七妇。) 矿。 从而， 善刍鲰，2 莩吾南莩志。 c 1 2 1 。， 现在利用以上估计和【3 1 】中的结论我们可以得到渐近公式( 1 2 6 ) 由 3 1 】知，如果可 乘函数入( n ) 0 满足下列条件： ( i ) 存在常数丁 0 ， 三警刈一忱z ， 山东大学博士学位论文 ( i i ) 存在常数g 0 ，对任意素数p a 0 ) g ， ( i i i ) 善刍 o 。， t ，2 驴) j e - c rx 一一1 1 + 喜等) ， 从而由( 1 2 7 ) ，( 1 2 9 ) ，( 1 2 1 0 ) 推得( 1 2 6 ) 成立下面只需估计( 1 2 6 ) 的右边即可 利用( 1 2 7 ) ，( 1 2 8 ) ，( 1 2 9 ) 我们得 爨( 1 + 喜竽) 塾( - + 学+ 。( 志) ) e x p ( = 崦( 1 + 学+ 。( 志) ) ) 、 、。 u 47 7 唧侄继掣删1 ) ) p s z 唧侄挑咖阱。) ( 1 0 9 x ) 所以再由f 1 2 6 1 知存在常数0 c 1 c 2 ， c l z ( 1 。g x ) 驴一1 鲰( m ) 2 c 2 z ( 1 。g z ) 胪 n z 最后利用上式及分部求和公式便得到引理的第一个结论注意到当盯= + 面c 时， m 黏m m 幻，从而由第一个结论很容易得到第二个结论引理证毕口 下面这个引理是关于积分的凸估计，在后文的证明中将多次用到，证明见 4 】 引理1 3 设f ( s ) 在带形区域 s = 盯+ i t c ：q 矿 0 c 限7 侧佻( c 限a 删能) 纽( e 叭圳啵) 潜 6 山东大学博士学位论文 在下面的证明中，我们令k = ：无条件下，我们取p 和g 为正整数，即尼q 在 假设g r h 下，我们取p = 七，口= 1 ，其中k 为任意的正实数令 岬) = f e 邓叫 定义 ，十 厂( 盯，丁，) = i l ( ，伊+ 托) 1 2 七叫( t ，t ) d t ( 1 2 1 1 ) ，一 除了j ( 盯，l ，) ，我们还需要下面的几个积分令 啪) = 三掣“s 叫， s ) p 一眦) g - 我们定义 ，) ：+ o oi 夕p + ，“，t ) d t g ( o ti tf ) l 言w ( tt ) d t ， ，) =i 夕p + ， ， ， ，一 ，十o o l ( 盯，丁) = i 鼬( 口+ i t ) 1 2 伽0 ，t ) d t ，- - 0 0 我们将在下面引理中估计上述积分首先在引理1 4 和引理1 5 中，我们将建立j ( i 1 ，lf ) 和g ( o ，lf ) ( 盯1 ) 之间的关系 引理1 4 令j 1 盯i 和t 2 更1 j j ( 三，z ，) t h 2 矿一。j ( 盯，l ，) + e c l t 2 证明令 ， f ( s ) = l ( f ，盯+ 乱) e 去扣一r 尸， 7 = ，n = 1 一仃，p = 盯，互1 盯i 和7 = 2 k 对f ( s ) 利用引理1 3 得 f si f ( 卜( c 叭1 - a + i t 汗七班) 错 ( cm 脚p 刁错 ( 1 2 1 2 ) 7 山东大学博士学位论文 由函数方程( 1 1 1 ) 和s t i r l i n g 公式得 l ( f ，1 一盯+ i t ) i l ( f ，盯+ i t ) l ( 1 + i t l ) 幻一1 再注意到i l ( f ，盯+ i t ) i i t l l - 口，从而 d f ( 1 - a + i t 水e 由f ( s ) 的定义可很容易看出 所以 l ( f ，口+ i t ) 1 2 奄( 1 - t - i t l ) 2 七( 2 口- 1 ) e 一( ) 2 d t 仁+ f ) c 1 圳2 吒邓叫2 出 j r t 2 她- 1 ) i l ( ，仃+ i ) 降邓叫2 d t ，十 一 丁2 k ( 2 a 叫i l ( ，盯+ i t ) 降( t 吖) 2 d t + e - c 2 r 2 w ，知1 2 k e - ( t - r ) 2 d t e 棚) 卜 ( p c ，e l l ( f , a + i t ，1 2 k e - ( t - r ) 2d tq _ e - c 2 r 2 ) 错 ( e i l ( f , a + i t ) i 7 2 k ( a 一 ) l ( f 口+ i t ) 1 2 七e 一( 。一r ) 2d t + e - c 3 r 最后在区间 t ，2 t 上关于7 - 积分，再利用h s l d e r 不等式便得到我们的引理口 引理1 5 令j 1 o r i ，t 2 则 地舢一j ( 知) 争口 证明令，y = 盯，o t = 互1 ，p = - 3 2 , 盯i 和r = 2 k 对上面( 1 2 1 2 ) 中定义的f ( s ) 利用引理1 3 得 8 e 州p 班( 粥1 棚1 2 ke - ( t - r ) 2 d t 广 山东大学博士学位论文 显然 而且 - 所以我们得到 蛾3 棚：疆e - ( t - r ) 2 d t 广 el lf ，扣) p 2 k 卅2 出1 ， 厂佃s ) 附( - r ) 2 出厂佃i f ( s ) 1 驰d t ，一o o，一 c 似加枷汗分p 舻出( e 1t ) p 钾嘞厂 最后在区间m2 t 】上关于7 积分，再利用h 6 1 d e r 不等式便得到我们的结论i - 1 下面我们来估计k ( o ，z ，) ，引理中口的定义如上 引理1 6 令t 2 ，n t 当互1 盯2 时有 k c 吼l 厂，k ( 主，正，) 竽( t 警) 竽+ k ( 去，t ，) 学e 刊俨 证明令 f ( s ) = g ( s ，) e 墨( “r 尸， ，y = 盯，q = ，p = i 利用引理1 3 得 e 愀州圳：班( c 棚) 竽 m 2 ， ( c 懈棚) 竽 现在我们估计g ( 8 ，) 利用( 1 1 3 ) ，( 1 2 2 ) ，( 1 2 5 ) 得 鲰) l ( 1 2 1 4 ) - 9 矿 n r l = r n l m 口 m ，s j = l ，q g k ( m 1 ) g k ( m 口) i g k ( m ) 1 i g 七( m 口) m 。m l m 口 饥( m ) 纨( m 。) ， m 2 m 1 m 口 t k ( m ) 是下面函数的d i r i c h l e t 级数的第m 个系数， l ( , s 灶珥( 1 一掣) “( 1 一学) 一 类似于l ( f ，8 ) 的情形，函数饥( m ) 是可乘的，且对任意正整数l 显然，i g k ( m ) l 纨( m ) ，并由( 1 1 3 ) 得 1 1 ，当n t 时，我们得 肌( 沁，) 1 2 一 饥( m ) m ，从而a ( m ) 硝现在利用引理 tr o l = ni o c m ) 1 2 t 乒善t 寺e m 一2 悬m 旦2 再利用h s l d e r 不等式得 腓( 沁，) | ；一t q 夕( 沁驯2d t ) ；t 袢 - 1 1 ) 一让 型静 。一 山东大学博士学位论文 从而引理得证l j 下面我们考虑最后一个积分l ( 仃，t ) 在引理1 7 中我们将给出l ( 盯，t ) 的上界和 下界，证明见【1 7 的引理8 引理1 7 对+ 南盯 ，我们有 r o - - 三) - k 2 l c 盯，t ，t ( 仃一三) 一七2 ， 且有 t ( 昭t 严l ( 纠t ( 1 0 9 t 尸 利用以上结论，我们证明本节的两个主要引理引理1 8 和引理1 9 分别给出 j ( ，t ，) 的下界和上界，利用这两个引理我们可以证明定理1 1 引理1 8 对任意k q ，七 0 ，我们有 j ( 扣，) k 丁( 1 0 9 t 尸 在广义黎曼猜想下，上式对任意实数k 0 都成立 证明由函数9 ( s ，) 的定义得， l s ( s ) 1 2 ：i & ( s ) a 一：i ( s ，) p 一夕( s ，删：i ( s ，删2 七+ i 夕( s ，删； 所以我们有 三( 矾t ) g ( o ，t ，厂) + k ( 口，t ，) ( 1 2 1 5 ) 类似地我们有 和 j ( o ，t ，) l ( 吼t ) + k ( 盯，t ，) ， ( 1 2 1 6 ) k ( 仃，t ，) l ( 盯，t ) + j ( 盯，t ，) ( 1 2 1 7 ) 由引理1 7 和( 1 2 1 5 ) 得 t c 。g ，七2 l ( 去，t ) j ( 丢，t ，) + k ( 三，t ，) 1 2 t 山东大学博士学位论文 j ( 三剐) 坩2 因此我们只需考虑k ( ；，正，) t 的情形当k ( ，zf ) t 时，由引理1 6 得 k ( 吼z ，) k ( 丢，l ，) 掣 再结合( 1 2 1 6 ) ，( 1 2 1 7 ) 得 l ( t r ，t ) j ( t r ，正f ) + k ( 吼e f ) 肌舢+ k ( 三刚) q p 剐+ ( l ( 三一+ j ( 三剐) ) 一 m 剐+ l ( 三一q p + j ( 扣，) 掣 l ( t r , t ，l ( 三一芈 或者 l ( 盯，丁) j ( 盯，z ，) + j ( 三，t ，) 芈 假设( 1 2 1 8 ) 成立，令盯一互1 = 赢，= t + 压，由引理1 7 得 t c 一七2 ( 1 0 9t ) 七2 r o o gt ) 七2 e 一； ( 1 2 1 8 ) ( 1 2 1 9 ) 显然如取c 0 冗分大，则上个等式严生矛盾，所以1 鼓议小厩豆，从f f 只有( 1 - 2 1 9 ) 式 成立我们利用引理1 5 和( 1 2 1 9 ) 得 啪) 一j ( 三，f ) 争矿- - j ( 三川) 芈 令1 7 的取值如上，最后由引理1 7 得 j ( 三剐) g t 严 山东大学博士学位论文 引理1 9 对任意0 k t 时，由引理1 6 得 脚，t ，) k ( 扣，) 哕掣 再由( 1 2 1 5 ) ，( 1 2 1 6 ) 得 j ( 口，t ，) 己( 仃，t ) + k ( a ，t ，) ，t ) + k ( 扣，) 掣掣 ，t ，+ ( l ( + j ( 扣，) ) 一 千县南卜吉鞋们彳导窜l 或者 j ( 矿，t ，) j ( 丢，t ，) 芈 ( 1 2 2 0 ) m ，t ，t m ( 三一掣 ( 1 2 m ) 假设( 1 2 2 0 ) 成立，则利用引理1 4 得 j ( 丢剐) t - k ( 2 j - 1 ) j ( 扣沙一 令n t ，e = 学注意到当0 2 时我们也得不到 黎曼( - 函数积分均值 ( 耻小( 扣) 1 2 魄 的猜想上界t ( 1 0 9 t ) 在 2 9 】中，s o u n d a r a r a j a n 给出了另外一种方法，并证明了在 黎曼猜想下对任意的k 0 都有m k ( t ) t ( 1 0 9t ) k 2 + 虽然此上界比猜想差一点， 但的范围能扩大为全体正实数在本章，我们将利用s o u n d a r a r j a n 【2 9 的方法来研 究h e c k el - 函数积分均值的上界 对( 1 1 2 ) 的两边取对数导数得 一笔l ic 川= 主掣掣， ， 一工( s ) = 坐笋， ( 2 1 1 ) 其中对任意i n ， 口，) = a ，0 ) 。- i - 毋p ) 。( 2 1 2 ) 定义 s c z = t r z 2 卅：- 。gf 己( ，三+ z t ) i y ) 类似于 2 9 中的( 2 ) 式，我们有 ，十0 0，十0 0 m k ( f ，t ) = 一e 2 k v d m e a s ( s ( t ，y ) ) = 2 k e 2 k v m e a s ( s ( t ，y ) ) d 矿( 2 1 3 ) ，- - o o- ，- - o o 由上式看出，我们可通过对m e a s ( s ( t ，y ) ) 的上界估计( 见2 2 的引理2 5 ) 来得到 慨( t ) 的上界估计我们结论如下： 定理2 1 假设l ( f ，s ) 的广义黎曼猜想成立，设a o 是满足e 知= 入0 + 警的唯一解则 对任意的正实数k 2 e 一每，我们有 尥( 工t ) t ( 1 。gt ) 舻+ o ( 由) 山东大学博士学位论文 类似于【1 0 ，我们也得到了一个小区间结果，结论如下 定理2 2 假设l ( s ) 的广义黎曼猜想成立，设, x o 是满足矿。= 知+ 譬的唯一解则 对任意的正实数七 2 e 一每，我们有 m k ( f ，正日) h ( 1 0 9t ) 七2 + o ( 由) ， 其中 m k ( f , t , h ) = ，知p 氓 h = p ，0 e 一每l 0 9 2 t 假设l ( i ，s ) 的广义黎曼猜想成立，则当 e l 0 9 2t v l 0 9 2 t 时我们有 一似删m 赤e 印( - 面y 2 ( 1 一志) 2 ) 仁2 q 当l 0 9 2 t j l 0 9 2 t l 0 9 3 t 时我们有 m e a s c 阳，吲乳印( 一刍3 v l o g v ) 2 0 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 等 山东大学博士学位论文 证明令 z = t a y ，z = x 1 l o g ”，a = a ( t ，v ) 1 我们考虑如下三种情况： 情况1 当e 一誓l 0 9 2t v l 0 9 2t 时，a = ；l 0 9 3 t 情况2 当l 0 9 2t 互1l 0 9 2t l 0 9 3t 时，a = 2 由引理2 2 和引理2 4 得，当盯= ；+ 忠时我们有 。gi l ( 巧1 棚) l e 一誓l 0 9 2t ，当t s ( t ，y ) 时我们有 跳) = y ( 1 一矗) ， ( 2 2 8 ) 或者 岛( ) 丽v ( 2 2 9 ) 令胁( t ，v ) ( i = 1 ，2 ) 表示集合【t ，2 卅中分别满足( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 的的测度 首先我们来估计p 2 ( ey ) 在三种情况下，我们都取l 署一1 显然这样的选 择满足引理2 3 的条件，所以 肛p 媳饥，睡 再利用- a 计 刍刮昭l o g x + o ( 1 ) ， 竺b警 1 舻摩