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关于数论中两类函数的均值 基础数学专业研究生李延生指导老师高丽教授 摘要 众所周知，数论中函数的均值问题在解析数论研究中占有十分重要的位置，许多 著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重要的推动作用本文利用解析的方法研究了两类均值问题： 第一章研究的是h u r w i t zz e t a 函数的积分均值利用特征和估计、三角和估计及 其解析方法，讨论了h u r w i t zz e t a 函数高阶导数的积分均值，并得到了其均值分布的 渐近公式 第二章研究了m 次补数与无k 次幂因子数的混合均值，得到了几个渐近公式 其具体方法是：首先作在半平面r es 1 + e 绝对一致收敛的一系列级数，然后利用 欧拉无穷乘积公式求其和，最后根据带余项的p e r r o n 公式，取适当的参量值，移动积 分路线，并且利用留数定理，及一些特殊的解析方法可达到预期目的 关键词：h u r w i t zz e t a 函数 渐近公式 积分均值m 次补数 无k 次幂因子数数论函数 d nt h em e a n 晒l u eo f t w ok i n d so ff u n c t i o ni nn u m b e r t h e o r y a b s t r a c t ：i ti sw e l lk n o w nt h a tt h em e a nv a l u ep r o b l e m so ff u n c t i o n sp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n y f a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l dw i l l c o n t r i b u t et ot h et h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y i nt h i sp a p e r ，t w ok i n d s o fm e a nv a l u ea r es t u d i e dw i t ha n a l y t i cm e t h o d s i nc h a p e r1 ，i n t e g r a lm e a nv a l u eo fh u r w i t zz e t a - f u n c t i o ni ss t u d i e db yu s i n gt h e e s t i m a t ef o rc h a r a c t e rs u m ，t h ee s t i m a t ef o rt r i g o n o m e t r i cs u ma n dt h ea n a l y t i cm e t h o d s ，h i g h e r o r d e rd e r i v a t i v e si n t e g r a lm e a nv a l u eo fh u r w i t zz e t a - f u n c t i o n i sd i s c u s s e d ， a n di t sa s y m o p t o t i cf o r m u l ai sg i v e n i nc h a p e r2 ，o nt h eh y b r i dm e a nv a l u eo ft h em p o w e rc o m p l e m e n tn u m b e r sa n d k - p o w e rf r e en u m b e r ss e q u e n c e sa r es t u d i e d ，a n ds e v e r a la s y m p t o t i cf o r m u l a sa r eo h - r a i n e dt oa c h i e v et h eg o a l s ，f i r s t l y , s o m es e r i e sa r ed o n ew h i c hc o n v e r g e so nh a l f - p l a n e r es 1 + e s e c o n d l y ，t h e i rs u m sc a nb ee x p r e s s e da sa b s o l u t e l yc o n v e r g e n ti n f i n i t e t u o d u c t sb ye u l e r sf o r m u l a t h i r d l y ，e x p e c t a b l er e s u l t sc a nb eo b t a i n e dw i t ht h e p e r r o nf o r n m l aa n dr e s i d u et h e o r e ma n ds o m es p e c i a lm e t h o d s y a n s h e n gl i ( p u r em a t h e m a t i c s ) d k e c t e db yp r o f l ig a o k e y w o r d s ：h u r w i t zz e t a - f u n c t i o na s y m p t o t i cp r o p e r t i e s i n t e g r a lm e a nv a l u e”l p o w e rc o m p l e m e n tn u m b e r s k - 一p o w e rf r e en u m b e r ss e q u e n c e s n u m b e r t h e o r e t i cf u n c t i o n 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：奎麈垒日期：兰竺堡：堡 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定。即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件 允许查阅和借阅论文 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名：奎垦垒 日期印_ 友廖 导师签名：刍亟 日期= 丝堡! 垡 关于数论中两类函数的均值 第一章关于h u r w i t zz e t a 函数的积分均值 1 1 引言 设实数0 1 时，定义如下 = 薹南 ( ( 8a ) ， ”( s ，o ) ，( s ，o ) 分别表示关于复变量s 的一阶导数、二阶导数、三阶导数 定义函数： ( 1 ( s ，) = ( ( s ，) 一n 一，( s ，) = ( ( s ，) + 叫i n o ：( s ，q ) = ”( s ，也) 一a 一3 i n 2 q ， ：7 ( s ，) = ”( s ，q ) + d 一5 i n 30 f 文献 5 ， 6 】分别讨论了 i ：16 ( 6 1 + i t , a ) 6 ( 5 2 - i t , c r ) 峨小( 6 1 + i t , a 蜘。 i t ，口) d ，的渐近性质，得到了一些渐近公式 本文利用解析方法及三角和估计，进一步讨论了下面三个均值 l ( 6 1 , 6 2 , t ) = 小( 6 1 + i t , c v ) ( ；( 6 。- i t , a ) d 其中0 6 l ，如 1 ，t 2 m 慨，屯归：1 ( ；吼铀，n ) ( i ，( 如- i t , a ) d 血 其中0 6 1 ，5 2 1 ，t 3 n ( 6 1 , 如，t ) = 0 1 ( t ( 6 1 + i t , a ) e ：( 6 z - i t , a ) d “ 其中0 6 l ，6 2 1 ，t 3 并给出了几个较强的渐近公式 第一章关于h u r w i t zz e t a 函数的积分均值 1 2 定理及引理 定理1 - 1 对任意的0 5 1 ，5 2 1 且6 1 + 如1 ，设c = m i n 6 t ，d 2 ) ，则当t 2 时有渐近公式： l ( 5 t ，6 z ，t ) = 一( 嘉) 1 呐也( 1 n 去( ( 2 6 ，一6 。) + ( ( 2 一d t 一如) ) + 曩南+ o ( t 予i n t ) 定理1 2 对任意给定的实数0 d 1 ，设c = r a i n 6 ，1 6 ) ，则当t 2 时有渐 近公式： m t ) = 一互1l n 2 磊t 一伽l “磊t 一7 1 + o ( 寻i n t ) 其中( ( s ) 为r i e m a n nz e a t 函数，仙为e u l e r 常数，7 l = 为s t i e | t j e s 常数，l ( 5 ，t ) = l ( 5 ，1 6 ，) ；( 1 n n ) 2 ) 定理1 3 对任意的0 5 1 ，6 2 1 且d l + 6 2 1 ，设c = m i n d l ，5 2 ，则当t 3 时有渐近公式： m ( 6 ，如，t ) = 一( 去) 1 呐呐( 1 n 3 嘉( 2 一d 。一6 ：) + 3 1 n - _ z t 。4 ( 2 6 ，一6 2 ) + 3 l n 去 ”( 2 “一d 2 ) + ( 2 “一6 2 ) ) + 矿杀研+ 子i n 3 t ) 定理1 ，4 对任意的0 d l ，6 2 1 且6 l + 5 2 1 ，设c = m i n 5 l ，如 ，则当t 3 时有渐近公式： ( d l ，d 2 ，t ) = 6 2 ( 1 n 3 去( ( 2 呐也) + 3 1 n 2 嘉( ( 2 也“) + 3 h 去 ”( 2 6 。一如) + “2 6 。一6 ：) ) 6 5 1 一如) 4+ 0 ( t 寻i n 3 t ) 2 坚n 删 昌8 关于数论中两类函数的均值 引理1 1 对任意的实数0 d 1 ，6 2 1 ，当t 2 时有估计式 厶= e ( 占l + i t ，) ( 】_ “2 州i n a d a = o ( t 一；i n t ) j0 其中c = r a i n 6 1 ，6 2 ) 证明：参考文献 4 1 引理1 2 对任意的实数0 5 1 ，如 1 ，当t 时有估计式； 如= z 1 ( ( 6 2 - i t , c r ) b 一以- l d n = 。( t - i n t ) 具甲c 2m z n o l ，0 2 证明：参考文献 5 】 引理1 3 对任意的实数0 d l ，6 2 1 且6 1 + 6 2 1 ，当t 2 时有估计式： 厶= z iq 。h 分针 f l n 曲一矿杀哥 证明： z 1 。一n n a d 2 十“n “d q = z 1 一d 一如n d q = 南。1 一以一屯，n n 一0 1 6j 0 1 南a 1 一巩一如三d q2 丁二1 两。一”1 n n 一丁二i 而。一五d q z 1 高“呐呐d 。 1 ( 1 5 l 1 以“。旧 ( 1 6 1 6 2 ) 2 引理1 4 对任意的实数0 5 l ，6 2 1 ，当t 3 时有估计式： 厶= ( 6 1 + i t , ) a - z 2 + i t i n a d a = 0 ( t - i n 3 t ) 其中c = r a i n 6 1 ，如) 3 第一章关于h u r w i t zz e t a 函数的积分均值 如= ( ( d 1 + 哦q ) 血也州l n 2 n d a = o ( t 一；i n 3 t ) 引理1 6 对任意的实数0 d hd 2 1 ，且d 1 + 6 2 1 ，当t 3 时有估计式： 厶= z 1 一乱一n d 一如+ “n 3 盘d a = i 南 卜沪也糊1 n 3 咖三笙麓础志( 1 - 5 1 - 。2 扣。2 南卅1 。如m 1 6 一上南删。 = ：1i 南0 1 - 6 1 - 5 2 1 删n b d q = 一矿毒可。h l 也佶 6 2 一万j 而 引理17 对任意的实数0 6 1 ，6 2 1 ，当t 3 时有估计式： 耳= ( 6 2 - i t , a ) a 呐“把o ( t - i n a t ) 其中c = r a i n 5 , ，6 2 证明：参考文献【5 】 引理1 8 对任意的实数0 6 1 ，6 2 1 ，当t 3 时有估计式： 厶2 z 1 十硪。- 6 i - i t l n 3 如= o ( t - 5 l n 3 t ) 4 _ o 曲也l nq d o 而o n m 衄 羞于数论中两类函数的均值 其中c = r a m 5 l ，如 证明：参考文献 5 定理11 的证明 1 3 定理的证明 由h u r w i t z 公式知，当0 1 时 ( ( 1 一s ，a ) = 两r 0 ) e 半f ( s ) “) + e 竽f ( s j 一“) ) o o 其中f ( s ，) = e 2 r i n a 扎一。为周期( 函数 n = 1 两边关于s 求导得： 砒一s ，血) = 器( 器- i n 2 s ) ( f ：半f ( s ，卅e 钢洲) + 器( e 乎基耶，q 卜i 7 r i e 乎耶，“) + 詈e 半f ( s ，一“) + e 警杀f ( s ，一a ) ) 广l 考虑积分l ( d l ，5 2 ，t ，叫) = ( ( 6 1 + i t + w ，。) ( 5 2 一i t + w ，a ) d a ，由于当r e ( ) j 0 、 1 时，6 。+ r e ( w ) o ( i = 1 ，2 ) 注意到三角积分 r 0 1e 2 * 2 n 。d 2 ：i ：i ： 5 第一章关于h u r w i t zz e t a 函数的积分均值 得： 地屯) = 卫生高掣蓦! 生型 ( 鲁揣- i n 2 ”) ( e 生幽二p e ( 2 6 l 一如一2 叫) + e 二! 巫生2 孚上二型堕( ( 2 一巧l 一占2 2 仙) ) + e 华一6 ，一如一2 叫) + 孑e 华e ( 2 一d - 一d 。一2 ”) + e 监户( ( 2 “也一2 叫) + 萼e 掣( ( 2 “如一2 w ) ) = 型型暑罂型 ( 磐糕- i n2丌)271)2 5 22 w f ( 15 2 i tw f 6 l 一一 一+一1 ( ( ( 2 6 - 一如一2 叫) c 。s ；( 如一占- 一2 i t ) ) + ；( ( 2 6 1 一如一2 ”) s i n i 7 1 ( 岛一6 1 2 i t ) + ( 2 6 l d 2 2 叫) c 。s ；( 如一6 1 2 i t ) ) ( ) 显然上式右半部分对所有r e ( w ) 0 解析，因此将上式解析开拓到r e ( w ) 0 当5 1 + d 2 1 ，在上式中令= 0 得 l ( 5 1 ，5 2 ，t ) = ，1 一止一厶+ 2 f ( 1 6 l 一乱) r ( 1 一d 2 + i t ) ( 2 7 r ) 2 - 5 1 - 5 2(糍一in27r)itr ( 1 6 2 + ) ( e ( 2 6 l 一6 2 ) c 。8 i ( 6 2 一d l 一2 i t ) ) + i ( ( 2 一d l 一如) s i n ；( 如一d 1 2 2 ) + ( 2 6 l 一占2 ) c 。s ；( 占2 一巧一2 i t ) ) 利用s t i f l i n g 公式可得，当0 5 1 ，6 2 1 时有： 坠筹攀zc o s 孔“刮= ( 争气，十o ( 一) ) 坠与筹攀2 s i n 孙呐刮一( 气- + d ( 一) ) 缫= i n t + 争。旷1 ) 所以 l ( d l ，6 2 ，t ) = 一( 爵t ) 1 也也( 1 n 去e ( 2 一d 1 6 2 ) + 抑一6 1 6 2 ) ) + 丌i 而 故完成定理1 1 的证明 + o ( t 寻i n t ) 6 关于数论中两类函数的均值 当d l + 6 2 = 1 ，设6 1 = 6 ，则5 2 = 1 一d ，在( ) 中取极限叫_ 0 得 工( 6 ，t ) = 一；l n 2 ( 击) 一l n ( 嘉) 一7 - + o ( t 一i n t ) 于是完成定理1 2 的证明 定理1 3 的证明： 由h u r w i t z 公式知，当0 1 时， ( ( 1 _ s ，。) = 器 e 警f ( s ，卅e 孚耶，叫) o 。 其中f ( s ，) = e 2 ”“。n 一3 为周期e 函数 n = 1 两边关于s 求导得： “i - - 8 , c z ) = 器( 器- i n 2 ，r ) ( e 乎f ( s ，“) + e 铷s - 。) ) + 器( e 丁- h i s 丽耶一i r c i e 半耶川 + 萼e 半f ( s ，一q ) + e 警妄f ( s ，一a ) ) ( 弋l _ 舭) = 器( 铬- i n 2 ，r ) 2 ( e 乎耶+ e 翻s ，刊) +躲(镍r(一(黑)2)(。平耶删胪耶，刊)sr ( s( 2 7 r ) 5 、) 、 ) 7 八。1k 。u ，5 。k 5 一u ，7 + 2 器( 器岫2 州e 乎未f ( s 一萼e 乎f ( s + 萼e 半f ( s ，一。) + e 半罴f ( s ，一n ) ) + 器( e 乎嚣耶一疵平嘉耶一了7 ( 2 e 半耶，“) + e 半嘉f ( s ，一n ) + ，r i e 半未f ( s ，a ) + 了7 r 2 e 警f ( s ，一口) ) 考虑积分m ( 屯屯t ，叫) ：f 1 “6 1 + i 抖训，。) f ( 5 2 - i t + w , a ) d ，由于当r 。( 伽) 1 时，也+ r e ( w ) o ( i = 1 ，2 ) 7 銎= 茔羞士旦型竺丝兰! 塑些塾堕墼坌塑堕 8 注意到三角积分 r l 厂1e z 。n n d 。= 1 ，礼= o 凡 l o ，n o 得： 州死屯汕) 一z 坠生蒜裟掣 ( 器糍- i n 2 ，r ) ( ( ；睾：榴- i n 2 7 r ) 2 ( ( 2 6 t 一如一2 伽) c 。s 三( 6 z 一西一z i t ) + ( ! r ：o 史 j 躺i t 一( ! r ( 1 1 三粼i t ) 2 ) ( ( 2 一d ，一如一2 训) 。、 一6 2 +一 ) 、 一如+一训) ” ” “7 s 孔“刮+ 2 ( 鲁糍- i n 2 s ) ( ( 7 ( 2 - 6 1 - 6 ，- 2 w ) c 。s ( 6 。一6 l 一2 i t ) 一；( ( 2 6 l 一6 2 2 训) s i n ；( 6 2 6 1 2 i t ) ) + ( ( ”( 2 一d 1 一如一2 训) c 。s ；( 6 2 6 1 2 ) + 丌( ( 2 6 1 一如一2 ) s i n 弘一d 。锄t ) 一i 7 r 2 ( ( 2 一n 一如一2 伽) c o s 孙一6 。锄蝴 卅坠尘薪缨掣 ( 器裂- l l t 27r2w r ( 1 i t ) 2 。 ( 2 7 r 1 2 6 1 6 2 一 n l l 一占，+一叫1 勺 + 差王墼堡主堕耋里墼鲤堕堡 一_ 9 显然上式右半部分对所有r e ) 0 解析，因此将上式解析开拓到r e ( w ) 0 ，当 j l + 如1 ，在上式中令叫= 0 得： m ( 6 i ，6 2 ，t ，)：一z 坠与怨字型 ( 端一i n 2 t r ) ，f ! r ( 1 1 二二5 垒2 型+ i t ) 一l n2 ”) 2 e ( 2 6 1 一如) c 。s 三( 6 2 6 一2 拈) + ( ；黼一( ；槲) 2 ) e ( 2 - 5 1 - 5 2 ) c 。s ；( a 。一曲一z 乱) + 2 ( ；锱一i n 2 1 r ) ( ( ( 2 6 一如) c 。s r 2 、5 。一6 - 一2 拈) 一吾 ( 2 6 一6 2 ) s i n ；( 如一6 l 一2 i t ) ) + ( ( ”( 2 一以一d ：) c 。8 i 7 f ( 6 z - 5 1 2 i 。) + 。( ( 2 6 1 6 2 ) b i n ；( 如一民一2 i t ) 一荨( ( 2 6 1 6 ：) c 。s ；( 如一6 l 一2 甜) ) ) + ( e ( 2 一 。( 器 i n 2 ”) 2 ( 一6 ，一如) c 。s 三( 如一6 l 一2 i t ) s i n ( 5 2 - 5 i - 2 i t ) ) + ( 篇一( 糍) 2 ) 占- 一6 z ) c 。s 三( 6 z 一6 一2 i t ) 一；( ( 2 6 - 一6 。) s l n ；( 占。6 ， 一6 2 + 锄 一d 2 + i t l 一i n2 7 r ) ( 等( ( 2 6 l 一如) c o s 等( j 2 5 1 2 i t ) 4 + ”( 2 一d 1 6 ：) c 。s ；( d 2 6 一2 i t ) ) + ( ( ( 2 6 l 一如) c 。s ；( 如一6 1 2 i t ) + ；r ( 2 6 一6 。) s i n ；( 6 2 6 l 一2 i t ) + 百7 f 2 ( ( 2 - 6 1 - 跏。s i 7 1 - 池- 5 1 - 2 i t ) + 萼( ( 2 山刊s i n ；( 如“埘啪) + i t i b 1 6 利用s t i f l i n g 公式可得，当0 6 i ，如 1 时有； ! ! ! 二! ! 二型! ! ! 二垒塑 ( 2 7 r ) 2 6 1 6 2 r ( 1 6 l i t ) r ( 1 一如+ i t ) ( 2 丌) 2 6 1 6 2 黼i t _ l n hr ( 1 6 2 + ) 。 盟r ( 1 要5 i 要i t 虬t 一 一一1 2c 。s 弘“锄t ) = ( 嘉p 也( 1 + o ( t 一1 ) ) 2s i n 孔一6 - 埘t ) = 一i ( 去) 1 呐呐( 1 + o ( t - 1 ) ) 一 0 田百矗 +一+西 如一如 一 二一怛 盟m 争 、j、) t 1 一 一 0 0 o + 十 0 t 丌一2丌一2 第一章关于h u r w i t zz e t a 函数的积分均值 篇r(1i t 一( 糍i t ) 2 - )一d 2 + )、r ( 1 一如+ ) 7 一” 所以 m ( 扎眩t ) = 一( 1 n 丽t 一萼) ( 去) 卜以。2 ( 1 n 2 嘉( ( 2 一曲一蚴+ 2 l n 嘉( 心一6 - 一如) + ( ”( 2 一d t 一如) ) 一( 嘉) 1 制2 ( 1 n 菇t + 詈) 2 ( 抑一曲一d z ) + 警( ( 2 6 - 一6 。) ) + 2 1 n 万t + 等) ( “2 6 ，一6 。) + 筹( 2 6 - 一6 。) ) + ( ( ( 2 “呐) 一( 2 “呐) + 譬“2 _ “) 一害( ( 2 “如) ) ) + 厶一如一厶+ 一i n a t ) = 一( 去) 1 呐也( 1 n 3 去 ( 2 d - 如) + 3 i n 2t ( ( 2 也一6 。) + 3 l n 舞( 2 “1 “2 ) “”( 2 “l “2 ) ) + 矿南+ o ( t 寻- i n a t ) 千县窨石| ：帝弹13 的证明 定理1 4 的证明： 由h u r w i t z 公式知，当0 1 时 其中f ( 8 m 咱“) = 器f ( s 胪耶，刊) 5 为周期( 函数 on斯 e 瞄 = “ 关于数论中两类函数的均值 网迥天亍s 累= 移r 导双得： 弋1 飞a ) = 器( 器- i n 2 ”) 3 ( e 半即+ e 韧铲训 + 2 器( 器一( 器) 2 ) ( e 乎耶胪耶，刊) + 3 器( 器- i n2 ，r ) 2 ( e 乎未耶，旷警e 乎耶 + i t g i e 下f “f ( s ，一) + e 半基f ( 3 ，一q ) ) + 器( 器- i n2 ，r ) ( 器一( 鬻) 2 ) ( e 半脚) + 却( s 1 刊) + 器c 错一帮一。器r ( s 刊器) 2 ) c e 半脚，。( 2 7 r ) 5 、r ( s )( r ( s ) ) 2 。 ) 。、r ( s ) 7 、。 1 、。u + e 瓤刊) + 3 器( 器一( 器) 2 ) ( e 半鼢 一i 7 7 i e 丁- w i sf ( s ，血) + i 7 r i e 孚f ( s ，一。) + e 半未f ( s ，一d ) ) + 3 器( 等- i n2 ，r ) ( e 乎嘉耶一疵乎妄f ( s 一萼e 乎f ( s ，。) + e 半磊f ( s ，一。) + ”耙半晏f ( s ，。) + 百7 f 2 e 半f ( s ，口) ) + 器e 警( 嘉耶，刊一t 3 1 r i e 等嚣f ( s ，) 一百3 7 f 2 e 警未即，刊) + 芋e 半f ( s ，刊+ e 等嚣耶，一“) + 等e 半导f ( s ，n ) 一了3 7 7 2 e 半晏f ( 驴n ) ) 一百7 r 3 i e 半f ( 8 ，- - ( t ，) ) 考虑积分n ( 5 1 ，6 2 ，t ，叫) = ( ( 6 1 + i t + w ，) ，( 5 2 一i t + w ，c o d a ，由于当r e ( 叫) 1 e 2 r i n a d o g - 2 1 l 纂 蔓二童塞王日u r w i t zz e t a 函数的积分均值 ( a ，如，t ，叫) = 一z ! q 二二兰l 二i ；蒂：罢! 丢；掣 ( ； 三糍- i n 2 z r ) 3 x ( ( 。“- - a 2 - - 。岫；( 5 2 - 5 1 - 2 i t ) + 2 ( 器糍 一( 器糍) 2 ) ( ( 2 - 5 1 - 6 2 - 2 w ) c o s ；( 如也刮 + 3 ( 器糕- i n2 7 r ) 2 ( ；e ( 2 - 5 1 - 5 2 - 2 w ) s i n ；( 如- - 5 1 - 2 i t ) + ( 2 6 - 一6 z 一2 ) c 。s ；( 6 。一6 ，一2 程) ) 十( ；蛊 嬲一l n 2 丌) (!：坚三j鬻一(!兰三篇)2)(26。一一一2r(i i t r ( i i tw u 2 叫) 、 一d 2 +一加) 、 一占2 + ) 7 、 山， c。s；(岛一6-一z赴)+(；三删一丽r(i-62+it-w) 磐r ( i 揣i t wq 磐r ( t 糍5i t w + 2 ( 黑r ( i 糍i t w ) 2 )一如+一) “ 一2 + 一 ) 。“、d 2 +一1 7 e ( 2 6 一5 z - 2 w ) c 。s ；( d z d 一z i t ) + 。( ；譬三j 鬻 一( ；吾；三粼) 2 ) ( ；( ( 2 岛一6 。一2 协) s i n 百7 1 - ( 6 。- 5 1 - 2 i t ) + 7 ( 2 一民一6 2 - 2 w ) c 。s i 7 t ( 6 ：一6 - 一2 乱) ) + 3 ( ； j 三嬲一l n 2 ”) ( ( ”( 2 一万1 5 2 2 ) c 。8 ；( 如一6 一2 i t ) + 7 r ( 7 ( 2 一j 1 一如一2 w ) s i n 三( 6 2 6 l 一2 i t ) 一百7 r 2 ( ( 2 一d 1 一如一2 w ) c 。s ；慨一6 - 一2 甜) ) + ( ”( 2 一巧1 一如一2 叫) c o s ；( d 2 一占1 2 诂) + 百3 7 1 - ”( 2 一巧l d 2 2 w ) s i n ；( 如一占i 一2 2 t ) 一3 7 r 1 - 2 ( 2 一d 1 一巧2 2 鲫) c 。8 百7 r ( 如一d 1 2 i t ) 一警( ( 2 岫一如一2 枷) s i n 孔一d 刊t ) ) ) 显然上式右半部分对所有兄e ( 叫) 0 解析，因此将上式解析开拓到m ( ) 0 ， 当5 】+ 如1 ，在匕式中今w ：0 得： 1 2 关于数论中两类函数的均值 ( 6 1 , 5 2 , t ) = 矗一厶一厶一z 旦里二丢考兰尝 2 i t l + 2 2 i t l + 3 r f l r ( 1 r ，f 1 r ( 1 一如 p ( 1 5 2 如+ i t ) 如+ 甜) 岛+ 乱) 等一i n 2 ，r ) 3 (嬲15 2 i t ) 2 ) 、r f 一+ 1 7 i n 2 r e ) 2 ( ；( ( 2 6 l 一如) s i n ；( 如一d l 一2 i t ) + ( ( 2 一d l 一6 2 ) c 。8 ；( 6 2 一而一2 i t ) ) + ( 黼一l n2 v ) ( 黼一( 糍) 2 ) ( ( 2 6 ，一6 。) c 。s ；( 6 z 一6 t 一2 i + ( ；鬻 一! ：( ! 二垒! 兰2 1 ! ! 二生堡2 2 1 ：! ! 二生! 堕+ ，f ! ：f ! = 墨! 生1 2 1 ( r ( 1 6 2 + 髓) ) 2一r ( 1 5 2 + i t ) 。、r o 一5 2 + i t ) 7 ( ( 2 - a t - 蚴c o s ；( 如“q 卅3 ( 糍一( 端) 2 ) ( ；( ( 2 一d l 一如) s i n ；( 6 2 一d 1 2 i t ) + ( ( 2 6 ，一如) c 。s ；( 如一d - 一2 i t ) ) + 3 ( ；糍一l n 2 霄) ( ”( 2 - 5 1 - 6 2 ) e 。s 三( 6 ：一6 。一2 + 7 r ( ( 2 一巧t 一如) s i n ；( 如一d ，一2 i t ) 一7 i r 2 ( ( 2 一d l 一如) c 。s ；( 如一d ，一2 i t ) ) + ( “2 6 l 一6 2 ) c 。s ；( 如一d 。一2 i t ) + 萼( ”( 2 一d 1 一如) s i n 孙一6 。一2 i t ) 一荨( ( 2 - - 5 1 - 5 2 ) c o s i 7 f 池“锄垆百7 r 3 也如) s i n ( 6 2 - 5 1 - 2 i t ) ) ) 利用s t i f l i n g 公式可得，当0 5 l ，5 2 1 时有 r 0 f o 一 一 2 2 r d f o ，l，l =一2丌一2 s s 0 o c c 、j、) 如 如 一 一 f 0 6 一 一 2 2 ，【，l (，、 一整二童苤至旦! ! 型塑丝塑里墼笪塑坌塑堕 1 4 所以 ( 丸如，f ) = 一( 丢) 1 呐一如 ( i n 舞+ i l r i ) 3 ( ( 2 一n 一如) 一警( 1 n 嘉+ i i r i ) 2 ( ( 2 一d 。一如) + ( 1 n 去+ i 7 r i ) 2 7 ( 2 - 6 1 - d 2 ) + 3 ( 1 n 去+ i 7 r i ) ( ( 7 ( 2 d 。一如) 一丌咖一d ，一如) + i 7 r 2 ( ( 2 一d 。一6 。) ) + ( ( 2 - 6 1 - 如) 一等，( 2 - g l - 屯) 于是完成定理1 4 的证明 第二章关于m 次补数与无次幂因子数的混合均值 2 1 引言 罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授在文献【1 9 】中提出了i n 次补数，无 次幂因子数的问题，其定义如下： 定义 设m 2 是给定的正整数，n 是任意自然数，。( n ) 是使得n k 成为一 最小m 次幂的正整数k ，则称。( n ) 是n 的m 次幂补数，记为o 。( n ) 对于给定的自然数k 2 及任意正整数n ，定义无七次幂因子数。( n ) 如下： 其中p ( d ) 是m o b i u s 函数 c k = 扎( d ) d k i “ 在文献 1 9 】中， f s m a r a n d a c h e 教授要求我们研究数列 盘。( 礼) ， c ( n ) ) 的性 质，关于这类问题的研究，已有学者给出了一定程度上的解决。 关于数论中两类函数的均值 在文献 2 0 】，【2 1 】中，作者利用解析方法分别研究了m 次补数 n 。( n ) ) ，无k 次幂 因子数 c ( n ) ) 的若干渐近性质，得到了几个渐近公式 本文将用m 次补数。( 佗) 与无k 次幂因子数c k ( n ) 定义数论函数，( n ) = a m ( n ) c k ( n ) 显然由n 。( n ) 与c k ( n ) 的可乘性知，( 礼) 是可乘函数，因此我们进一步利用解析方法 研究这个函数的渐近性质，得到了几个有趣的渐近公式 2 1 定理及结论 定理2 1 设亿是任意给定的正整数，则对任意的实数x 1 ，我们有渐近公式 n 。( 礼) c m ( 礼) = 其中g - 为任意给定的正数及 当m k 时， 百要；若再r ( m + ，) + 。( z ”+ 十5 ) r ( z + ，) 2 耳( ，+ 石i f 可石署竺；：未芝南 当msk 时， i r ( m + 1 ) ：1 - 11 + p l ( z 妒2 1 1 ) + ( p m ( m + 1 ( p + 1 ) ( p m ( m 十1 ) 一p m “1 ) + p + 1 定理2 2 设礼是任意给定的正整数，妒( n ) 为欧拉函数，则对任意实数x 芝1 有： 妒( 。( n ) ( n ) ) = 丽6 x m + l 彤( m + 1 ) + o ( 。卅 n 、 其中为任意给定的正数及 1 5 一 ， 黑 一p m 羞至塾堡主堕差重塑塑塑焦 1 5 在文献【2 0 1 ，【2 l 】中，作者利用僻析方法分别研究了m 次补数 口。( ) ) ，无次幂 因子数 。k ( n ) ) 的若干渐近性质，得到了几个渐近公式 本文将用7 n 次补数( n ) 与无k 次幂因子数c k ( n ) 定义数论函数，( n ) = a m ( n ) c e ( n j 显然由n 。( n ) 与“( n ) 的可乘性知，( 呐是可乘函数，因此我们进一步利用解析方法 研究这个函数的渐近性质，得到了几个有趣的渐近公式 2 1 定理及结论 定理2 1 设n 是任意给定的正整数，则对任意的实数z 1 ：我们有渐近公式 a 。( n ) c 。( ”) = 万：；三寺芦r 【m + 1 ) + 。( z ”+ ；“) n ! z 、 其中为任意给定的正数及 当m k 时， r ( m + ) = 耳( - 十瓦i _ 巧石；：南) 当m 女时 ( p