（基础数学专业论文）具有奇性的plaplace方程的多重解问题.pdf

摘要 在这篇文章里，我们首先考察了一类p l a p l a c e 方程的 d 2 7 i e h l e t 问题 a 2 u + l ，( z ，“) r 2 ，( “) ，z q 其中qc 胛是边界光滑的有界区域，1 p 0 ，1 r p q ，q 0 。 论文的第二部分，我们进一步研究具有奇性和柱面对称性p l a p l a c e 方程的同类问题 f a p u ：一, t i v ( f w l 9 2 v u ) = 】, l ur r 一2 + 盥掣，茁q ， i = f ( x ，u ) = 0 ，o a q 、 ( 1 2 ) 此时，l p 0 0 q p ，1 r p 口，q 0 i nt h es e c o n dp a r to ft h i sa r t i c l e ，w ef u r t h e rc o n s i d e rt h es a m ek i n do f p r o b l e mf o rp l a p l a c i a ne q u a t i o n sw i t hs i n g u l a r i t ya n dc y l i n d r i c a ls y m - m e t r v - - a u2 ：一d i ”( v u f 一：v u ) = a i “i 一2 + “1 。乒，z n ，( 1 2 ) lu = ，( z ，) = 0 ，z a q 、 h e r e ，1 p 0 ，0 口p ，1 r p q ，q p ：= 蛐n - p a n dncr “= r 2 r “- ki sas m o o t hb o u n d e dd o m a i nc o n t a i n i n g0 i ni t s i n t e r i o r ，2 兰n ，。= ( z ，z ) r 。r “一 b y t h et e c h n i c a ld e c o m p o s i t i o no ft h ea s s o c i a t e dn e h a r im a n i f o l di n t ot h r e e p a r t sa + ，a a n d a 0 ，a n ds o m ec o m p a c t n e s sc o n d i t i o ns u c ha s ( p s ) c o n d i t i o n o rl o c a l ( p s ) c o n d i t i o na tc e r t a i nl e v e lo f e n e r g y , w e o b t a i nt w on o n n e g a t i v e m i n i m i z e r so ft h ee n e r g yf u n c t i o n a lo i la + a r e s p e c t i v e l y k e y w o r d sp l a p l a c i a n ，s i n g u l a r i t y ，c y l i n d r i c a ls y m m e t r y ，n e h a r im a n i - f 0 1 d 致谢 借此论文完成之机，我要衷心感谢导师陈祖墀教授的悉心指 导。在我的研究生学习期问，陈老师一直给予我极大的帮助，鼓励 和关怀在本文从选题到定稿的过程中，陈老师付出了大量的心 血，多次与作者讨论并提出修改意见导师渊博的知识，严谨的治 学态度，达观向上的人生精神令我受益匪浅，终身难忘 本文也要感谢非线性偏微分方程讨论班的帮助。在三年研究生 学习期间，我向讨论班上的同学学习了很多新知识，得到了很大帮 助在此特别感谢已毕业的几位师兄，他们是钟金标。罗涛，刘兴 涛，和在读的几位同学，他( 她) 们是赵昆，汪全珍，招燕燕，王先 婷，f a k h a rk a m r a n ，魏公明，陈志辉，黄祥娣，朱陈伟，罗珍还 要感谢在科大生活的七年中所有关心爱护我的各位老师和同学，是 他们为我提供了一个良好的生活和学习的环境。 最后，我要感谢我的父母，感谢他们多年来对我细致入微的关 怀和教育，让我能够在科大安心完成七年的学业，他们为我的成长 付出了极大的心血。 在母亲节即将到来之季，谨以此文献给我的母亲 第一章绪论 本文先考虑下列d i r i c h l e t 问题的两个弱正解的存在性 f 一，札= 1 “= ，( z d i v ( i v n l 一2 v u ) = l 札i 一2 u + ，( z ，u ) 1 4 2 ( x ，“) ，茹q u 1 = 0 ，o a q ( 1 1 ) 其中ncr “是边界光滑的有界区域， 1 p 0 ，1 r p g ， 口 p + ：= 畿， 在此基础上，对具有奇异性的p l a p l a c e 方程考虑同类问题 ，- - a 一：，2 ：- 、d i v ( 1 v w p - 2 。v 。) = a u 1 7 2 u + 世学，。q ，( 1 2 ) i u = ，( z ，u ) = 0 ，z a n 。1 此时，1 p 0 ，0 s 口茎p ，1 r p q ，q p + ：= 哚等 而ncr “= 彤冗”“是包含零点，边界光滑的有界区域，2 | v x = ( z ，。) r 。r ”一 关于，给出以下假设 ( a t ) i ( z ，) j = 。( ) ，当缸o ； ( a 2 ) ，( ，u ) l i p s c h i t z 连续，且单调递增； ( a 3 ) i i ( z ，“) 旧兰i i w l l ； ( a 。) “斗，( z ，“) 是从喇。到 ( n ) 的连续函数。如果p q p 。；如果 p 口 o ； ( b 2 ) ，n 珏) 是偶函数，即，( 一z ，e ) = ( z ，“) f ( x ，“) = u ，p = 2 时，问题( 1 1 ) 是两个天文学家b e r t i n 和c i o t t i 描 述星系动力学( d y n a m i c so fg a l a x i e s ) 的一个模型它源于最普通的p o s s i o n 方程毋= 4 7 r g p ，其中p 是物质密度，而曲是这种物质相关联的重力位 能( g r a v i t a t i o n a lp o t e n t i a l ) 此处描述的是一种特殊情况，即p 是变量西和 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 堑三兰竺兰 r = l 的函数这是本类的物理背景 为了研究和推广此类问题，前人将它分拆成了几个逐步推进的数学问 题首先被考虑的是最简单酌情形：没有奇性和柱面对称性。，( z ，u ) = u 文献f 9 1 关于这个问题的多重解存在性和非存在性得出了很完整的结论：存 在性主要依赖于参数n ，p ，r 1q 和a 随后，文献【1 8 将f ( x ，u ) = u 的情 形推广到了带有奇性和柱面对称性的问题( 1 2 ) 几乎是同时，b a d i a e 和 t a r a n t e l l o 在文献【4 中完成丁原物理模型，即f ( x ，u ) = “，p = 2 情形的 研究。 本文对上述问题做了进一步的推广虽然这个工作是全新的，但我们自 己认为最令人感兴趣的有价值的工作是是在问题( 1 1 ) 的基础上，得到一个 关于奇性方程的同类问题的类似结论就我们所知，这一结果是全新的，同 时是所有研究奇性方程的数学家感兴趣的问题( 见参考文献 1 6 【1 9 】) ， 毫 首先考虑的是f 1 1 ) 在l r p q p 。时的重正解问题。整篇文 章中，我们都假设1 p n 2 n ，0 ssp ，s k ， l ，、 p 口p = p ( n s ) ( n p ) 用的方法参考的是文献 1 2 】中所 提到的对n e h a r i 流形的精细分解在本文里，多重正锯的存在性是方程中 具有凹性的非线性项和具有凸性的非线性项联合作用的结果文献1 1 2 】首次 利用对方程关联的n e h a r i 流形分解的办法解决了不同类型的问题而文献 【11 1 则成功的把类似的方法推广到了解决同时具有凹性的非线性项和凸性的 非线性项的方程问题( 12 ) 是在问题( 11 ) 的基础上，一个关于奇性的推 广用到的主要工具是下面的s o b o l e v h a t d y 不等式( 参加文献【4 ) rf 。1 p r 崔d z g ( u v u i d z ) m 1 v 押1 ， ( 4 1 ) j “iij h “ 其中1 p n ，0 s p ，s 女上式对所有的u 州9 ( j p ) 成立而c 屉与u 无关的正常数 这个不等式包括了c a f f a r e l l i k o h n n i r e n b e r g 在文献1 7 】中所做的k = n 时的所有情形也可以算是对s = p 情形( h a r d y 不等式) 和s = 0 情形 ( s o b o l e v 不等式) 的一个补充 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章绪论 为了证明正解的存在性，我们要应用到如下的泛函：在x = 喇4 m ) 中，定义能量函数 ，- ( “) = ；：i v “l a z 一；：i u i d z 一：i ，( z ，u ) 1 4 d z ，v “x ( ，s ) 不作说明的话，以下均假设( a ) ，( j 4 2 ) ，和s ) 成立 从，( z ，u ) 的连续性( a d ) 可以知道，厶c 1 ( x ，r ) 由定义可知。厶 所关联的n e h a r i 流形是 a = “x ：g ( “) ：= = 0 ) 、 = “x ：1 1 w l l ；= | | u i l ：+ i | ，( z ，u ) | | ：) 、7 还是从( a 4 ) 可知，如果1 r p o ) 2 ( “a ：i i v u ”两r - 1 删等l l f ( z ，“) 峪 = u a ：州l r 警圳) 忖 口一r a = u h ： 0 ) = 悱a ：i i v “l ； 等制”籍帅，堋) = u a ：a 删： 0 ，譬如选= ( ；一；) 0 ，则上式表明厶在a 上 有界 q ed 引理2 2 ( 性质2 ) 如果u a + ，则厶( u ) 。仁。， 再设 h = 生兰( ! ) ”州( 叫驴k 1 7 (24)pr 、0 一r 。 1 引理2 3 ( 陛质3 ) a o = o ) ，如果a ( 0 ，r 1 ) 证明 反证如果结论不成立，则存在u a o ，“0 从a 0 的定义可知，有 ( p 一1 ) l l w l l ；= p 一1 ) j , l l u l l ；+ ( 口一1 ) l l ( x ，“) i l ：，( 2 ，5 ) l l v u l l ；= a l l u l l ；+ l l f ( z ，“) 旧( 2 6 ) 并且， 训忙蓦帅，u ) 崞 ( 2 7 ) 由( 24 ) 一( 2 7 ) ，对a ( 0 、r 1 ) ，我们有 支 f “f k 。时，u m _ 0 a o 令u m = u 。1 ) v u 。1 1 ，x ，由u 。a 一，我们有 ( p r ) j v u 。i d z t 。和0 t 一： ( t 上) m 使得t + 程a 一，一乱a + ， ( 矿钍) = m 0 2 眨厶( 执) ，且 ( t 一) = m i n o 什厶( t u ) 证明 令妒( t ) ：= t p - 1 i j v u l l ；一t q - 1 ij f ( = ，) 悖由于q p 0 ，1 r t 时，是一直递增的，妒是一直递减的，因此，存在唯一 的t + = t + ( u ) t ，使得 妒( t + ) = 妒( t + ) ，妒7 0 + ) 一妒0 + ) 0 这就说明t + u a 一 由于r p ，存在唯一的t 一= t - ( u ) 0 ，这说明t - a + 又观察到 d 2 i 忑1 ( f t u 一) ：妒( t ) 一妒( ) ， d 护 一yl 。， v 、j 于是我们有 q e d p + u ) = ? t t a z ， ( 亡u ) ， 5 ( t 一“) = m z ，2 0 t 一 t 一，再由引 理25 可知 厶( “) 曼 ( 。一“) = 。 m t 曼什i n ：l 厶( 。u ) ( m i n ，。+ ) 厶( 。u ) s 。娶慧最( 。“) = 五0 + u ) = 最( n ) 于是厶( t u ) = 厶( u ) q e 1 3 第三章h a r d y s o b o l e v 次临界情形下的结果 在这一章里，我们研究问题( 1 1 ) 在h a r d y s o b o l e v 次临界情形下的 多重正解的存在性所谓次临界情形，指的是q p 。在此情形下，我们要 用到条件a t ，这样非线性算子的紧性保证了厶符合( p s ) 条件，这就使得 厶在a + 和a 一上的极小化序列都是收敛的而这个收敛的结果便是我们所 要研究的弱解 引理3 。l ( ( p s ) 条件) 对任意的a 冗，如果1 r p q 0 ，使得 i 厶( u 。) l m ， 且在x 中，有 ( u 。) - 0 即，当m _ o 。时，有 ；i l v u m 惦一沁1 1 7 一；l l f ( 刚) l l gs m + 0 ( 1 ) 并且， | i v u m 峪一 i | u m ”一l i f ( x ，u ) l l 挣o o ) l t u 。i i x 于是，当m o 。时，有 ( ；一却可u m ；一( ；一i 1 驯：m + 。( 1 ) + o ( 1 ) l l u 。1 1 x ， 同引理2 1 的证明，由s o b o l e v 嵌入定理和y o u n g 不等式，可得 。( 1 ) i i x + 。( 1 ) + m ；1 一 ) l l v u 。铲c l l v “。 ( ；1 一石1 一e ) j i v u m | | ；一g 陋) ， 2 0 0 1 生 第三章 中国科学技术大学硕士学位论文第1 2 页 h a t d y 一$ o b o l e v 次临界情形下的结果 选取足够小的e ，则上述估计表明 u 。 是有界的 q e d 定理3 2 设1 p n ，1 r p 0 于是n 。= 0 ，即( “。) _ 0 因此，事实上 “。) 是c = c o 时的( p s ) 。序 列由引理3 1 ，存在一个u o x ，使得在x 中，u 。强收敛到“o ，并且 ( “o ) = c o = i n ，a 厶 于是再由引理2 6 ，存在一个正的t 一，使得 t 札o a + ，厶( t 一“o ) = i ( u o ) = c 0 同时由引理2 3 可知，厶( t 一“o ) 0 第四章弱解的正则性 在本章里，我们研究问题( 1 1 ) 弱解的正则性首先来看两个关于正则 性的引理，分别出自文献【l o 和文献 s 1 目j 理4 1 设1 0 ，使得 i i u i i lc ( n ) c t 证明 对k 0 ，t p ，我们定义两个r 上的c 1 函数h 和西 h ( r ) ：2 5 i 9 n ( r ) l r 】7 ， l r i 2 ， is i g n ( r ) ( t p ) k t p - 1 i r l + ( 1 一t p ) k 1 - 。p ， ， o = c ( ( r ) ) ，如由西有界，且令中w 3 一( n ) ，有 上i v u r 以“) ) 出+ k 西( “) u i “i p - 2 d x = 上，口( u ) 如 对m 0 ，令q 。：= z n ：| k ( x ) i m ) ，于是我们有： i k 移( 。) 。i 。j 一一。d 。f 。，| 。j 一tj 拳( 。) l d 。 j n j n ，n m + i i a i i 驯啪。) ( 川“i ”1 咖( “) 眇1 d x ) ”小 而且， i v u i ，( ( u ) ) ，：，i v ( h ( “) ) i ，如s ( ，i h ( 。) l m 如) 一，p j n j nj n 2 0 0 1 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 5 页 第日章弱解的正则性 由h 和的定义可知，存在与k 无关的c 0 ，便得 9 1 ( r ) isc l h ( r ) l ，曲( r ) l 茎c i h ( r ) l ( t + l - p “，v r 0 如果选取适当的m 使得i l k l l 删一( n 。) s 嘉，则 ；( 上“) p ) 州“c mfl ( “) p 出+ c l l l l l 川，i l , ( “) p “+ 1 1 ) 出) 州m 且有 ( i h ( u ) l “1 州d x ) p p 吲咖。) p “( i h ( u ) l 咖) 1 p ) p t l , ，nj n 现在假设u l t ( q ) ，则“l t “( ”p ) ( n ) ，并且 导| i u l i ：t 。_ ，) sc m f m l i t + e f q i 9 9 1 7 “i l l l l l 。，i t u l l l t + 。l - ( 。p 一“ 再由y o u n g 不等式，我们得到 b m 刊c 1 恻b + q m c 。，- 1 这里c 1 ，q 依赖于m ，t ，n ，p 和i q | 令 如= p ，赴= ( 熹) 。a f 贝4 对任意的i n ，u l “( n ) qed 引理4 2 设“喇1 9 是下述问题的局部弱解 一d i v ( i v u l 一2 v “) = 妒，p 1 ；妒l k ( q ) ， ( 4 2 ) 这里 n p ( p 一1 ) 则存在口( o ，1 ) ，g 翟( q ) 这是文献【8 中定理2 的一个主要推论 引理4 3 设1 p n ，i r p 口 n p ( p 一1 ) ，妒2 = f ，( z ，u ) i 。一2 i f ( z ，“) l ( n ) 从而由引理42 的结论，存在n ( 0 ，1 ) ，“c l , a t q ，i q e d l 一 u 1 r 0 i m 训 a n 一 ，、l 1 1 令 功 l o 第五章 推广至奇性问题( 1 2 ) 在本章里，我们利用s o b o l e v h a r d y 不等式将问题( 1 1 ) 的多重正解 存在性，正则性在次临界情形下的结论推广至问题( 1 2 ) 5 1 s o b o l e v h a r d y 不等式 为了将问题推广到具有奇性和柱面对称性的情形，我们先引入s o b o l e v h a r d y 不等式，参见文献【4 上。簖出蚓上。f v 衅酬唧， ( 4 ，) 其中1 p n ，d 兰51a s 女，上式对所有的“叼9 ( 彤- ) 成立。而c 是与“无关的正常数 引理4 1 设1 芦 仃，o ! ssn s 七t 则以：珏h 器鬻是从x 到l q ( q ) 的连续算子，若ps 口p ；并且，这个算子是紧的，若p 冬口 p ， s p 证明 由于有条件( a 4 ) ，我们只需证明，算子b ：“时i 南在p qs a 时连 续。在p ! q p 。，s p 时连续紧这个证明和文献【4 】中s o b o l e v h a r d y 型不等式的证明非常类似1 l t t i x 寸1 s ，s z ) 1 9 如出) v p ， ( 4 2 ) 这里v 。，是关于z 的梯度于是，我们有 上黔蜒c 秽c p 叫砌叫d 州h 。， 。( 1 i v z ，u ( z 1 ，z ) 1 9 d z 。如) 叫一 易知p ( q s ) ( p s ) p 。当且仅当q p 。，等号成立当且仅当后者等号成 立再注意到8 = p 推出p = q = p 。，于是由s o b o l e v 嵌入定理和( 4 3 ) 式可 知b 在p 口曼p 。时连续，在psq p ，s p 时连续紧 q e d 5 2 存在性定理的推广 定理4 3 设1 p 丸，2s 惫s 住，0 ssp ，s k ，1 r p q 0 ，a o = m i n r l , r 2 ，使得对任意的 a ( 0 ，a o ) ，满足( a 1 ) 一( a 4 ) ，( b ) ，( b 2 ) 的方程( 1 2 ) 都有至少两个非负 解更进一步的，如果s m 饥 导，必n p ，则方程( 1 2 ) 至少有两个正解 证明 非负解的存在性与定理3 2 的证明完全一样而当s 0 q e d 5 3 正则性定理的推广 弓i 理4 4 设1 p 扎2 ks n ，0 s p ，s k ，1 r p q p = n s ) p ( n p ) ，s r a i n p 。- i ，必n p 则存在某一个q ( o ，1 ) ，问题 ( 1 2 ) 的弱解“eg 芝( n ) 证明 n ( z ) ，6 ( z ) 如前所设， 巾卜掣 此时。由s r a i n p 。- 1 ，掣) m i n p 2 加，k p l n ，有 c ( x ) l n p ( n ) ，k ( x ) l “扫( 从而由引理4 1 的结论，对任意t 【1 ，) ，l t ) 与引理4 3 的证明类似的，在引理4 2 中令 妒= 妒l + p 2 = 一a l 札| r 一2 + ! 兰! 兰2l = 二：! ( 三! 兰! l 1 s 由s m m 等，笔) n p ( p 一1 ) ， 炉盥掣叫( q ) 从而由引理4 2 的结论，存在( o ，1 ) ，“c 訾( q ) q e d 参考文献 1 1 a m b r o s e t t ia ，b r e z i sha n dc e r a m ig ，c o m b i n e de f f e c t so fc o n c a v ea n d c o n v e xn o n l i n e a r i t i e si ns o m ee l l i p t i cp r o b l e m s ，j f u n c t a n a l ，1 2 2 ( 1 9 9 4 ) ， n o2 ，5 1 9 5 4 3 2 1 a z o r e r oj g ，a n dp e t a li ，m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o re l l i p t i cp r o b l e m sw i t h c r i t i c a le x p o n e n to tw i t han o n s y m m e t r i ct e r m ，t r a m s o fa m e r m a t h s o c ， 3 2 3 ( 1 9 9 1 ) ，8 7 7 - 8 9 5 3 a z o r e r oj g ，a n dp e r a li ，s o m er e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fas e c o n d p o s i t i v es o l u t i o na i naq u a s i l i n e a rc r i t i c a lp r o b l e m ，i n d i a n au n i v m a t h j ， 4 3 ( 1 9 9 4 ) ，9 4 1 - 9 5 7 f 4 1 b a d i a l em a n dt a r a n t e l l og ，as o b o l e v h a r d yi n e q u a l i t yw i t ha p p l i c a t i o n s t oan o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o na r i s i n gi na s t r o p h y s i c s ，p r e p r i n t f 5 1 b r e z i sh a n dl i c be ，a r e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s ec o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n s a n dc o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n a s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，8 8 ( 1 9 8 3 ) ，4 8 6 - 4 9 0 6 b r e z u sg ，a n dn i r e u b e r gl ，p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，3 6 ( 1 9 8 3 ) ， 4 3 7 4 7 7 7 1 c a f f a r e l l il ，k o h nr a n dn i r e n b e r gl ，f i r s to r d e ri n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t i e s w i t hw e i g h t s ，c o m p o s i t i om a t h ，5 3 ( 1 9 8 4 ) ，2 5 9 2 7 5 f 8 1 d i b e n c d e t t oe ，c 1 ，8 l o c a lr e g u l a r i t yo fw e a ks o l u t i o n so fd e g e n e r a t ee l l i p t i c e q u a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t m a ， ( 1 9 8 3 ) ，8 5 1 - 8 7 1 【9 g h o u s s o u bn a n dy u a nc ，m u l t i p l es o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a rp d e si n v o l v - i n gt h ec r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d ye x p o n e n t s ，t r a n s o fa m e r m a t h s o c ， 3 5 2 ( 1 2 ) ( 2 0 0 0 ) ，5 7 0 3 5 7 4 3 1 0 1g u e d d ama n dv e r o nl ，q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a l s o b o l e ve x p o n e n t s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t m a ，1 3 ( 1 9 8 9 ) ，8 7 9 - 9 0 2 11 】h u a n gy x ，p o s i t i v es o l u t i o n so fc e r t a i ne l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a l s o b o l e ve x p o n e n t s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，3 3 ( 1 9 9 8 ) ，6 1 7 6 3 6 1 2 】t a r a n t e l l o g ，o nn o n h o m o g e n e o u se l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n g c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，a n n i n s t h e n r ip o i n c a r e ，a n a l y s en o nl i n e a i r e ， 0 ( 3 ) ( 1 9 9 2 ) ，2 8 1 3 0 4 1 3 1 t o l k s d o r f fp ，r e g u l a r i t yf o ram o r eg e n e r a lc l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n s ，j d i f f f ，q n s ，5 1 ( 1 9 s 4 ) ，1 2 6 1 5 0 1 4 v a z q u e zj l ，a s t r o n gm a x i m u np r i n c i p l ef o rs o m eq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a 2 0 0 1 年 中国科学技术大学硕士学位论文第2 l 页 参考文献 t i o n s ，a p p l m a t h o p t i m ，1 2 ( 1 9 8 4 ) ，1 9 1 - 2 0 2 1 1 5 y a n gj - f ，p o s i t i v es o l u t i o n so fq u s i l i n e a re l l i p t i co b s t a c l ep r o b l e m sw i t h c r i t i c a le x p o n e n t s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 5 ( 1 9 9 5 ) ，1 2 8 3 1 3 0 6 【1 6 z u c h ic h e na n dy o n gz h o u ，o nas i n g u l a rq u a s i l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mi nab a l l ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，4 5 ( 2 0 0 1 ) 9 0 9 9 2 4 1 7 】z u c h ic h e r ta n dy o n d o n gz c n g ，as i n g u l a rs e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s i n t e rj d i f f e q u n s a p p l ，4 ( 3 ) ( 2 0 0 2 ) ，2 5 5 2 7 1 【1 8 b e n j i n x u a n a n d z n c h i c h e n ，o n t h e p o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n o f p l a p l o c e e q u a t i o nw i t hs i n g u l a rc o e f f i c i e n t s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，1 4 ( 1 9 9 s ) ，3 7 1 3 8 0 ， 1 9 】z e n gy o u d o n ga n dc h e nz u c h i ，as i n g u l a rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s j p d e ，1 3 ( 2 0 0 0 ) ，2 3 5 2 4 2 。 【2 0 sa l a m a a n dm d e lp i n o ，s o l u t i o n so f e l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hi n d e f i n i t en o n 1 i n e a r i t i e sv i am o r s et h e o r ya n dl i n k i n g a n n i n s th p o i n c a r ea n a l n o n l i n e a i r c1 3 ( 1 9 9 6 ) ，9 5 1 1 5 【2 1 】sa l a m a s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a