（基础数学专业论文）有关整数序列的两个问题.pdf

致谢 y 7 3 8 2 8 7 本文是在娶簿藜天耨载授懿悉豢霉下完娥静。程嚣警半豹臻究窆 学骂期间，蔡天新教授的谆谆教导嬲无微举至鲍关怀锼我深受箕盏，在 j 鞋：袭示褒心静感谢! 闯辩也黼特掰感谢9 带母林俐老师给我的关心和照顾。 在学习和完成此文翅阅，我斡赚冗舞殂爆懿师然嚣】绘子了我大力弱 支褥器帮动，寇j 乏国毯巷】表示深深戆感游 中文摘要 设a 楚由 个翌不耀固躲正蹩数癣筑残| ! 冬序列乌 a 2 m i n ( iai , ib1 ) ，w h i c hg e n e r a l i z e sg r a h a m sc o n j e c t u r e i nt h i sp a p e rw ev e r i f yt h e c o n j e c t u r ew h e nb o t haa n dbh a v eap r i m e k e yw o r d s g r a h a m sc o n j e c t u r e ；s e q u e n c e s ；p r i m e 3 关于g r a h a m 猜想的一个推广 1 。引言 1 9 7 0 年，r l g r a h a m 1 提出了这样一个猜想：设a 是由”个互不相同的正糕数组成 的痔到，则 m a x 一墨n t ，( q ，盘，) 二中年采，遮一猿怒嗫；l 了众多趣数学家e z c h e i n 2 j 幕| r k i e i n 3 j 善先独立话爨弼暴其中 一个正整数恁是素数，则猿想成立。毽蘑考又簌羧予r ，w i n s t e r l e 4 的+ ：俘。1 9 8 6 年， m s z e g e d y 5 1 证哩了对于充分大的，猜想成立。1 9 9 4 年，c b e n gy u a n y o u 积c a r lp o m e r a n c e 6 l 给出了一个明确的器1 0 4 2 7 5 ，1 9 9 6 年，r b a l a s u b r a m a n i a n 棚k s o u n d a r a r a i a n 7 1 完企证明了 g r a h a m 猜想 t 9 9 9 年，g r a n v i l l e 和r o e s l e r 8 疆出了一个有关两个正整数序列a 和b 的猜想：集台 画磊焉，否丽b ，d 爿，西口) 中的最大元索m i n ( f “曰i ) 尚取a 嚣b 甘寸，此猜想 即为g r a h a m 猜想本文诅e 明了若序列a 羊【lb 中均存在至少一项系数时，此猜想成立 定理 端：序列a 雨ib 中均存在至少项是索数时，集合 a g c d ( a ，6 ) ，b g c d ( a ，6 ) ， a a ，b b 中的鼎大元素m m i n ( i a i , i b i ) ， 2 定理的证明 川反证法，假设r t = m i n ( i a l ， b i ) ，集台 a g c d ( a ，6 ) ，b g c d ( a ，6 ) ，球a ，6 b 中 的嫩夫元素m - 露一1 ，最然l 鞋a u b ，没p a ，q b ，p 嚣lg 均为素数虫蔡 f _ ：爨餐b 孛 一定存在元素岛不麓p 静倍数藏p = p ( p ，辞) 扭磊外，黉6 ，托时，b j 描跫妒的倍数， 若j i 然b ，( b ，p ) = 6 ，“与假设矛盾特别地，记集合b 中最火的元素为舌= 舻，则 b = t p s ( 6 ，p ) ( n 一1 ) = ( h o p ，得r - 1 削类似的方法再讨论集台a 中的元素。令集 4 台c = 2 3 ，n i ，c + = c u n ，d = s p ，( s + 1 ) p ，t p ，e = s q ，( + 1 ) g ，r 匆 其 扯* 爿t - 1 此映射为单射若不然，假f ( x ) = f ( x 2 ) 一x 2 ，不妨设z l 也，鼍= 6 p 1 ，而= 印。，则玉= p ”3 x 2 p n = 占，最然不成立 再定义映射g ：f ( d ) 寸c ，若b f ( d ) ，存在唯一的“使得b * u ( m o d p ) ，其中 1s “羔p 一1 当“为奇数时，g ( b ) = b + t ，当“为偶数时，g ( b ) = b - 1 。此映射为单射若 不然，i 乏g ( 岛) = g ( 如) ，熟# 6 2 ，魂s 氆( m o d p ) ，b 2 * “：( m o d p ) ，显然雄和“2 有不周的毒 偶性，不妨蹬, t i 奇，“2 偶，则岛+ l = 6 2 一t ，即毪一“2 + 2 - - - o ( m o d p ) 叉壶1 - u | 墨p 一2 ， 2 甜2s p 一1 ，得一p + 4 量屿一“2 + 2 p 一2 ，故毽一封2 + 2 = o 这与1 , t 奇，张馁矛1 蠹贯 外，g ( b ) 不能设p 熬除若不然，缎没p | g ( b ) ，若# 为鸯数，删p lb l ，褥“= p 一1 为偶 数，矛魅犀璞，若# 为偶数，蟋p | b l ，缮“= 1 ，矛霪f 瑟定义f 秘g 黪复合浃瓣 f ：d 。c ，尹( 苫) = g ( 歹0 ) ) ，盎f 帮g 楚鼙袈褥f 也蹩荸瓣。设并= 勿d ，函为 ( 6 ，f ( x ) ) = l 强g ( 酚不能被芦箍豫，褥( 劫7 ，f z ) ) = 1 ，敢菪d 中元素苫麓b ，刘f 扛) 隹a 狰j x ( x ，f ) ) = 并”与饭设矛盾掰辍著| 嚣n d 卜日，癸j i c r a t 一1 ，触序列a 中任意元素妊能 被2 或p 箍除，番喇若序蜘a 中有一元素d 既不能被2 整除，也不能被p 禚除，则6 ，( 6 ，盘) h 与假设矛盾定义1 、列集台：c o = 回d 能被2 绒p 整除，且2 d ”) ，c 0 = 删d 能被2 或p 整豫，且2 d n d o d d 是p 的偶数倍，且押兰d ( h 1 ) p ) ，d l = 纠fd 是p 的奇数倍，h ih s d 玉( n t ) p ) 由以上定义得4 量c 0 u e ，矗c ud 。u d 令 。幼+ v ，其中0 v p 一1 经计算! j ：1 纳得：当月不是p 的倍数，。且k 为偶数时 | 岛| 十q 净撵一1 当”不燕p 豹罄数，虽女为奇数拜雩，| 弱 | | = 嚣净* 是f 懿藩数辩， j 域l + l q i = ”一1 4 岛 + i g j - m f 面分捌来讨论 哟”不是p 的倍数，盥为偶数时，定义映射用：日j g ，f ( x ) = f ( 戈) ，由以上对 # 强) 的讨论类似地可得：若d l 申元素z b ，则最0 ) a ，设l b nd 睁拉，f 珐净d ，则 i b n d ! - a + d ，出| d o 卜 g | - n - 1 褥，i c n x m g n a t _ i c 。n a i _ n 一1 - a - d ，即 1 b n d t + i c n a l h 与辗浚矛t | 葺综 上所述， 若d f u o 一1 ) 脚中的元素x b ， 则e ( x ) 镬a 而且 | d o ( ”一1 ) p i + ic o i = 1 岛t + i g 7 卜1 = n - 1 数假设i 口n ( d l u ( ( 月一1 ) p ) ) 睁口， 6 d o ( n 1 ) p = 蠢m g b n d i _ a + d ，f c n 4 c 戏c ”，f + ( 羔) = g ( ，( x ) ) ，壶定义易知f x x ) 为鼙射肖为偶数 且b = h l 对，( x ，f 0 ) ) = l 显然成立当n 为鸯数时，减h 为偶数虽b 毋”一l 辩，由 b f ( d ) 为奇数得( 6 ，b 十2 ) = 1 ，故( x ，f7 ( x ) ) = 1 ，所以当d 中元素x b 时，尸( x ) 硭a 否姗x ( x f 0 ) ) 与条件矛盾，而且由l c p l c ”净h 一1 ，c n a 。c ”n a c n a 荔蒋 嚣n d i + i c n a 墨抖i 综上蕨述，若序列a 中至少一矮是素数对， 艿n d 卜| c n 爿 n - i 阕理菪假设b 中 至少一项魁素数时，珥类似地讨论得到l 嚣o c l + l 建n e l 2 n om o r et h a n2 nc o n s e c u t i v ea l t e r n a t i n gn n i v e nn u m b e r si s p o s s i b l e t h e o r e m2 ，f o ro d dho r 2 2 n on l o r et h a n2 n + lc o n s e c u t i v ea l t e r n a t i n gn - n i v e nn u m b e r s i sp o s s i b l e f u a h e r , i fxi st h ef i r s tt e r mi nas e q u e n c eo fl e n g t h2 n + lc o n s e c u t i v ea l t e m a t i n g g - n i v e nn u m b e r s , t h e nx ；, 。一n ( m o dn 21 t h e o r e m3 f o rh 2 2 ，3 ，5 ，t h e r ee x i s t sa ni n f i n i t e f a m i l yo fs e q u e n c eo fc o n s e c u t i v e a l t e r n a t i n gn - n i v e nn u m b e r so fl e n g t h2 n + l ；f o rn 2 4 t h e r ee x i s t sa ni n f i n i t ef a m i l yo fs e q u e n c eo f c o n s e c u t i v ea l t e r n a t i n gn - n i v e nn u m b e r so fl e n g t h2 n k e yw o r d s n i v e nn u r n b e r s ，a l t e r n a t i n gs u m so f d i g i t s ，c o n g r u e n c e so f h i g hd e g r e e 0 关予连续的交错n i v e n 数 1 。萼l 富 强意正糕数”2 ，一个雕”避鞯4 米表示的拒接数，魏祭这个整数本冀l 疆它抟器像数 字之番 攀狳，都么这个数虢装称为n - n i v e n 数，戎1 9 9 3 年，c o o p e r 翻k e n n e d y 谜骥了连续 的1 0 进翻n i v 口n 数至多2 0 个。他们借助计算器找到一绵符合条件的数，最小的那个数有 4 4 3 6 3 3 4 2 7 8 6 侥。袭1 9 9 4 年，g r u n d m a n 证明了避矮的n - n i v e n 鼗至多肖2 n 个，献时猜想： 蹿丁经意夔整簸”2 ，存在连续豁锄令n - n i v e n 数。1 9 9 7 年，w i l s o n 诞骠了g r u n d m a n 的猜想，即存在连续的2 h 个h n i v e n 数。 本文，我们引进交错n - n i v e n 数的定义，一个j = ：4n 进制米表示的正糖数，如槊这个整数 拳身能谈宅熟餐髓鼗字躲交缵秘整躲，鄂矗这个数裁锼舔为交镑n - n i v e n 鼗。李文主要磷突 逐续拜馨交镶n - n i v e n 数鲶个爨蛏嚣，褥剿绪论； 定理1 ：当n 魁火j u n2 的偶数时，连续的燮媸n - n i v e n 数至多2 n 个。 定理2 ；、尚h 是2 或鸯数对，遽续妇交错m n i v e n 数至多2 n + 1 个。避一步，皴晨存在。 遮避续的2 n + 1 个数的首颈x e h 2 一n ( m o d ”2 ) ， 定理3 ；避n = 2 + 3 ，5 时，存擞2 n + t 个连缕的交错”一n i v e n 数：酱n - - m 时，存在2 # 个 连续携交镑”+ n i v e n 鼗。 2 。定理的证明 令最( x ) 楚”避毒f f x 麓番位数字交罐秘t 薛 # 工= 出，n7 ，o d j h ，邑( x ) 。( 一1 ) a 。 瑚，；0 理1 ：鞠菜嚣，a + i ，c t + n l 楚连续黼 个交锚n - n i v e n 数，这塑盘= q ，拱 o _ a j s 嚣一1 t 难馥熊技n 餮滁e 证明：令s ；鼠( n ) ，j i i l | 群，臼+ 1 ，a + h 1 的燮错和分别是矗s + 1 。，s + h le 遮” 个缝续摆数s ，s + l ，s + 雕一1 中窍艇仅有个熊被”整除。n 璃s + k ，剿嚣| 拄十毒，蠢为口 能铍 牲除，所以女= 0 ，即) 能被月帮除。 引理2 ：昔o s f n - i ，a = d ， ，o 曼。，s 一1 ，, ! l l n + 2 个连续盼糕数 肚2 o + i n ，a + i n + 1 ，口+ ( i + 1 ) n + 1 不可能全是交错h n i v e n 数。 证明；h 反证法。设s = 十i n ) ，因为0 + i n ) = 疋 十( i + 1 ) n + 1 ) ，而且它仃 分另4 帮除口+ 加剌d 十( j + 1 如+ l ，所以档除两者的蒋雕+ i 。由引理l 得月l s ，故圳n + t ， 矛盾。 引理3 ：若d = 口，月0 s 口，5h 一1 t 删 + 3 个琏续的整数 ，2 “+ ( 门一2 ) n + n i ，盘+ ( n i ) n ，a + n 2 + l 书可能全是交借m n i v e n 数。 证明：刚反证法。设s = s ( 口十即一】) ”) ，产8 口+ 2t 肖女是偶数时 扣+ m 一2 ) n + n 1 ) = 最) 一( h 一2 ) + 一j ) = s + g l s ( d ) = j + 月一1 。冈为最+ h 2 ) = 邑+ 印2 ) + 印一1 ) ) ，而h 它们分j _ | | 档除g + n 二和 6 14 m 一2 如+ 一1 ) 所以整除两者的差n + l ，由引理1 得叫，故h | n + 1 矛盾。敲 + 2 个连续的整数 日+ ( 月一2 ) n 。 一1 ，口+ ( 月1 ) n ，日+ ”2 不可能全楚交错 。n i v e n 数。 当女娃奇数时，s o ( o + ( n 一1 ) n ) _ 瓯0 + + 1 ) 。因为。( n 1 ) 乖 a + t t 2 + l 都是交 错卅n i v e n 数，s 整除它们的棼月十1 ，由引理】褥n f s ，故h 目+ 1 矛詹。故 + 2 个连续 的整数 a + ( ”一1 ) h ，a + 2 ，a + n 2 + t 不可能全是交锘 - n i v e n 数。 引理4 ：设。1e t ( r o o d n2 ) ，0 - t 一1 ，若f n 2 - - 7 ，则2 n + 1 个连续! i 5 1 数。j ，x ，。 不可能全是交错n - n i v e n 数。 证明：_ i j 反证洼。如果0 t 兰矿一2 n 戚矿一 十 s f 蔓 2j ，则 2 a + i n ，盘+ i n + i ，a + ( f + 1 ) n + l 建连续静交错n - n i v e n 数予序鳓，这羹o s i n - 1 ，拜= 乃“。，o _ a j - n - 1 。由 f 瑾2 j 2 可褥i n 矛藩。 如聚n 2 2 n f 矿摊，娜 球+ ( 辫一2 ) n + n i ，盛+ ( 瓣一1 ) n ，。，g + 嚣2 + l 楚连续的交锩n - n i v e n 数子序列，这里搿= a ，r j , o 蔓气_ n - 1 。由g f 理3 可褥窭矛蜃。 j 2 2 定理1 的证明： j 反证法。假设存在逑缕静2 h + i 个交锗n - n i v e n 鼗置，恐，x 2 ，令五= t ( m o d n 2 ) 、幽f 摊2 一n 时，由g i 理4 可得出矛盾。 当z 。”。一”时，由引理3 得 箍偶数，这受旷 x n “。令x 2 a + ( n 1 ) n ，这里 搿= a ，辑，0 2 ，救h 不蘩除口- 1 ) n + 留一2 ) ，矛藉。 警s = 一 一1 露，( 鼍) = s 0 + ( # 一1 ) n ) = 最和) 一托+ 1 = 之 。闲为是偶数，新 隧2 8 | 疗，2 n | ( 雄一1 ) n ，矛麓。 当0 s 开+ l 时，由 是偶数得s 玎1 ，敬”不棼除口+ m 2 + 撑一s 一1 。又嗣为 s ，( 而 叫) = s ，( 舀十托2 + 玎一s + 1 ) = g t ，矛盾。 肖一胛一1 4 其中，一1 个囊是奇数，r + 2 个丘是偶数。因为g ( x - 2 ) = 2 ，i s l 2 一1 ) = 3 ，s 2 0 ) 。4 s d x + 1 ) 等5 ，s 2 谤+ 2 ) = 3 ，n n x - 2 ，z 一1 ，x ，x + 1 ，x 十2 是5 个连续的交错2 。n i v e n 数 当上生仅当f 筒的同余方程组成立： z o 0 ( m o d 3 ) ( 1 ) x 。+ 2 s 0 ( m o d 5 )( 2 ) 这熙的而22 十2 b + + 2 “。困为2j ( 羹3 拳15 的除分崩楚2 爨l4 ，所以x 一2 ，并一 ，x ， x + 1 ，x + 2 燧5 个连续的交错2 - n i v e n 数当且仪警z 一2 ，x 一l ，z ，x7 + l ，z + 2 是5 个连续 的变稽2 一n i v e n 数，遮里r = 2 岛+ 4 衲+ 2 赶+ 4 。7 2 + + 2 也“1 + 4 ”m - ，删1 ，脚2 ，埘2 i 刊 - 0 。 离为2 2i 2 ( r o o d 3 ) 残立墨且仅当k ；l ( m o d 2 ) 袋立，2 2 l ( m o d 3 ) 成立当越仅肖 k * 0 ( m o d 2 ) 成立。假没有为个墨整鸯数，而个冬是强数。由( ) 式褥： 并2 一x 1 = 3 ( 3 ) 2 x 1 + 算2 _ 0 ( m o d 3 )( 4 ) 玄簿魏：0 l ，x 。) = ( 3 ，o ) ，( 4 ， ) ：( 5 ，2 ) 类似地t 2 “= 2 ，4 ，3 ，1 ( r o o d 5 ) 9 ) j q n 2 z - - 5 苴f g n k ；i ，2 ，3 ，0 ( m 。癌4 ) 努澍残 立。记z ，( o s - ，3 ) 为满足同余方程鼻* j ( m o d 4 ) 的t ( 1 i 冬2 t + 1 ) 的个数。由( 2 ) 式缮： + x i x l 一盖3 = 3( 5 ) f 4 x o + 2 x 】+ 4 x 2 + 3 x 3 + 2 羞0 ( m o d 5 ) ( 6 ) 有解如；( ，x l ，嘞，玛) = ( 3 , 0 ，0 ，o ) ，( 2 ，0 ，2 ，1 ) ，( 4 ，1 ，1 ，1 ) ，这些解也满魁方程( 3 ) 和( 4 ) 。 这样我们就我到了一缀最小瓣5 个连续交错2 - n i v e n 鼗5 5 8 2 ，5 5 8 3 ，5 5 8 4 ，5 5 8 5 ，5 5 8 6 ，其 中5 5 8 4 = 2 4 专2 6 七2 7 + 2 8 + 2 1 0 + 2 瞳，我镯还筏戮了；垮多慧台条辛l ：鹣寿舞窝；6 9 9 0 2 ， 6 9 9 0 3 ，6 9 9 0 4 ，6 9 9 0 5 ，6 9 9 0 6 ，其中6 9 9 0 4 = 24 + 2 8 + 2 2 + 2 潞，1 1 1 8 7 0 2 ，1 i1 8 7 0 3 ， 1 8 7 0 4 ， 1 1 1 8 7 0 5 ，l 1 8 7 0 6 ，其中1 1 1 8 7 0 4 = 2 4 十2 5 + 2 6 + 2 7 十2 8 + 2 谗+ 2 6 + 2 2 。 考n = 3 时，我们垲类似的方法找划7 个逛续的交罐3 - n i v e n 数1 9 9 3 7 4 ，1 9 9 3 7 5 ，1 9 9 3 7 6 ， 1 9 9 3 7 7 ，1 9 9 3 7 8 ，1 9 9 3 7 9 ，1 9 9 3 8 0 ，其中1 9 9 3 7 7 = 32 + 33 + 34 十3 5 十37 + 3 9 + 3 。 当 l = 5 时，我们j 刳类似的方法找划1 t 个连续的交错5 - n i v e n 数是口一5 ，a 4 ，一3 ， a 一2 ，, c 一l ，膣，a + l ，a + 2 ，a + 3 ，娃+ 4 ，球十5 ，其中a = 3 5 2 + 5 4 + 4 5 5 + 5 6 + 5 7 + 5 8 + 5 9 + 5 1 。+ 5 + 5 15 + 5 1 7 + 5 + 5 2 9 十5 弘。 当”= 4 雌，我们刚类似的方法找到8 个连续的交错4 - n i v e n 数是球一4 ，a