（基础数学专业论文）拓扑空间上的等价关系与分离公理.pdf

摘要 摘要 在本文中，我们主要讨论无限集x 上的等价关系e 与x 上满足特定分离公 理拓扑之间的关系全文由以下三部分组成： 第一章：给出本文所涉及到的主要概念和命题 第二章：给出集合x 上等价关系e 存在满足蜀，五，易拓扑7 使得e = c 0 ( ) 的充要条件 第三章：提出进一步的问题及给出一个反例 关键词等价关系分离公理 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s sr e l a t i o nb e t w e e nt h ee q u i v a l e n c er e l a t i o neo n a ni n f i n i t es e txa n ds o m es e p a r a t i o na x i o m so nx t h i sp a p e ri sc o n s t i u t e db yt h r e e p a r t s i np a r t1 ，s o m ed e f i n i t i o n sa n dp r o p o s i t i o n sa r ei n c l u d e dw h i c ha r eu s e di n t h i s p a p e r i np a r t2 ，n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n si n e q u i v a l e n c er e l a t i o n ea n d 蜀，五，t 2t o p o l o g y7 t h a ts a t i s f ye = c 1 下( ) i np a r t3 ，w er a i s es o m eq u e s t i o n sa n d g i v eac o u n t e r e x a m p l e k e y w o r d se q u i v a l e n c er e l a t i o ns e p a r a t i o na x i o m s 符号说明表 q q + z u ( 3 0 川 u 厂 c 2 r ( a ) o 符号说明表 有理数集 正有理数集 整数集 自然数集 非有限数 集合a 的势 u f ：f 厂) 集合a 在拓扑7 - 下的闭包 拓扑和 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：孑财刚 沙年j - 月日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：亍胡训 硼 年厂月i j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 第一章绪论与基本知识 第一章绪论与基本知识 1 1 绪论 等价关系是近代数学领域中的重要概念，是各个数学体系中众多数学关系的 一种，在代数，离散数学，集合论里有重要的应用一般拓扑学里的商空间与商映射 是由拓扑空间上的等价关系所产生的，商空间的构造其实是一种由已有的拓扑空 间生成新的拓扑空间的一种方法原空间上的等价关系决定商空间集合本身，原空 间的拓扑和等价关系则决定商空间的拓扑至于商空间与商映射在一般拓扑学的 重要性是毋庸置疑的等价关系在一般拓扑学里其它相关的内容则不多见在本文 中我们讨论集合上等价关系的结构与集合上拓扑之间的关系，并给出了一些充要 条件 1 2 基本定义和命题 本文中所论空间均为无限集本文未定义的符号，术语均以 1 ， 3 】为准 定义1 2 1 ( 2 】) 设集合x ，7 i 为x 子集族，如果仍7 - ，x 7 - 且7 对有限交 与无限并运算封闭，则称( x ，7 - ) 为拓扑空间，7 - 为x 上拓扑 定义1 2 2 ( 1 1 ) 拓扑7 - 的子族召，对vu 7 - ，jb 1c 层使得u = ub 1 成 立，则称召为( x ，7 - ) 的基为( x ，7 ) 的子基是指属于召7 的集合的有限交全体 构成( x ，7 ) 的基 命题1 2 1 ( 1 】) 对于拓扑空间( x ，7 _ ) 的基b ，下述二条件成立 ( i ) 对于y x x ，3 b 召使得z b b ( i i ) 若x b 1nb 2 ，b 1 ，b 2 b 贝43 b b ，使得x bcb 1nb 2 反之对于集合x 和子集族召，若此二条件成立，则以召为基的x 的拓扑是唯 一存在的 定义1 2 3 ( 【1 】) 拓扑空间( x ，7 ) ，对x x ，子集族玩称为x 的邻域基是指 ( i ) vv 魄有zev e7 - ，( i i ) vu 丁，若z u ，则3 v 既使得z vcu 第一章绪论与基本知识 定义1 2 4 ( 4 1 ) 拓扑空间( x ，7 - ) ，若对vz x ，子集族玩为z 的邻域基则 称 统) z x 为( x ，7 - ) 的邻域基 命题1 2 2 ( 4 】) 对拓扑空间( x ，7 ) 的邻域基 魄) z x ，满足下面三条件? ( i ) 对比x ，晚非互对vv 统有z v ( i i ) 若z u 豌则| v 玩使得ycu ( 饿) 对v 巩，巩玩ju 既使得uc 巩n 巩 反之对于集合x 若存在子集族 统) x 满足上面三条件，则j , x 玩) z x 为 邻域基的拓扑唯一存在 下面我们给出一种从已有的拓扑空间构造新的拓扑空间的一种方法( 4 】) 设 ( k ，) ：q a ) 为一组两两不交的拓扑空间，考虑空间 x = u k q a 其上拓扑7 - 定义为：u 7 - 甘对 c a a 有unk w a 记为 ( x ，丁) = o ( ，) a a 定y , 1 25 ( 【1 】) 对于拓扑空间考虑下面公理? 蜀若z ，y x ，z 秒则存在z 的邻域不合或者存在可的邻域不舍z 丑若z ，可x ，z 可则存在z 的邻域不舍秒同时存在的邻域不舍z 如若z ，g x ，x 可则存在z 的邻域u 和可的邻域v ，使得unv = 仍 由这些分离公理我们定义下面概念： 定义1 2 6 拓扑空间( x ，7 - ) ，对z ，可x ，称z ，y 关于丁可分如果存在a ，b 7 - 使得。a ，b 且4nb = 0 反之称z ，可关于7 - 不可分 关于五分离公理我们有下面三个命题，其证明是简单的 命题1 2 3 ( 2 】) 拓扑空间( x ，7 - ) ，拓扑7 为乃当且仅当x 的单点集为闭集 命题1 2 4 ( 2 】) 拓扑空间( x ，7 - ) ，定义x 中的余有限拓扑疋，( x ) ? u 乃( x ) 营x u 为有限集则拓扑7 - 为噩当且仅当兀，( x ) c 7 i 2 第一章绪论与基本知识 扑和 命题1 2 5 ( 4 ) 若两两不交的拓扑空间族_ 【( k ， r a ) ：a a ) 均满足乃，则拓 亦满足五 ( x ，丁) = ( ，) a a 定义1 2 7 ( 1 】) 设冗为集合x 的元素间的关系，即冗c ( x x ) 记( a ，b ) r 为a r b ，( a ，6 ) 之冗为矗_ 6 则当va x 兮a r a 时称r 为自反的，当a r b 兮6 r o 时 称冗为对称的当a r b ，b r c 号a r c 时称r 为传递的自反的，对称的，传递的关系 称为等价关系 令a = ( z ，z ) ：z x ) cx x ，当x 上存在拓扑7 - 时，记c f ，( ) 为在 乘积空间( x ，7 - ) ( x ，7 i ) 下的闭包 定理1 21 拓扑空间( x ，7 - ) ，( z ，y ) c l r ( ) 当且仅当x ，y 关于丁不可分 定理的证明是简单的 由上述定理，容易看出对任意拓扑7 而言，c f 下( ) 都是白反的，对称的自然 的，我们会问对于x 上的每个自反的，对称的关系兄，是否都存在x 上对应的拓扑 丁使得r = c l 下( ) ? 在下面的章节中，我们主要考虑的是满足自反的，对称的，传递 的关系即等价关系e ，以及对应的满足e = c l 丁( ) 的拓扑7 - 的分离性质 3 第二章拓扑空间上的等价关系 第二章拓扑空间上的等价关系 设e 为集合x 上的等价关系对x x ，令e ( x ) = 可：x e y ，称e ( x ) 为 e 的等价类显然对比，y x ，e ( x ) 与e ( y ) 要么相等要么互不相交令p ( e ) = e ( z ) ：z x ) ，即e 的全体等价类 本章给出了集合x 上的等价关系e 与满足各种分离公理拓扑丁之间是否存 在e = c l 下( ) 的充要条件 我们先考虑拓扑丁满足蜀时的情况，我们有下面的定理 定理2 o 2 对集合x 上的等价关系e ，存在x 上蜀拓扑7 使得e = c l f ( ) 证明：记7 9 ( e ) = 只：o l a ，对每个只，取x a r 定义x 上的拓扑 7 - ：u 7 - 当且仅当对q a 时，若un 只d z a u 定义显然满足定 义( 1 2 1 ) 下证7 - 满足蜀取x y x ，若x e y ，则存在o l a 使z ，y 只不妨设 y x a ，则开集 z ，z a ) 包含x 但不包含秒若x - e y 则e ( x ) ne ( y ) = d 且e ( x ) 与 e ( y ) 均为丁中开集故r 为死 下证e = c l r ( ) 当x e y 时，存在q a ，使得z 只，y 只任取z ，y 分 别在7 - 中的开领域配y 由7 的定义可知x a unv ，故x ，y 关于丁不可分当 z 两时，e ( x ) ne ( y ) = 仍且e ( x ) 与e ( y ) 均为7 - 中开集，故z ，y 关于7 - 可分由定 理1 2 1e = c l r ( ) 证完 我们接着考虑拓扑7 _ 满足乃时的情况，我们有下面的命题 定理2 o 3 ( 2 ) 对集合x 上的等价关系e 下列两条件等价： ( i ) 存在x 上满足正的拓扑7 使得e = c l r ( ) ( i i ) e = a 证明：i 兮i i ：对任意的x ，y x ，若x e y 则( z ，y ) c l r ( ) 由定理1 2 1 ，z ，y 关于7 - 不可分，因拓扑7 - 满足乃，所以x = y ，即( z ，y ) 这说明ec 而 ace 是显然的故e = a 4 第二章拓扑空间上的等价关系 i i i ：我们只需证明对x 上满足是的任意拓扑7 都有a = c i 下( ) 即 可若( x ，y ) c i r ( ) ，则由定理1 2 1 ，z ，y 关于7 - 不可分，因拓扑7 _ 满足正，所以 x = y ，即g z r ( ) ca 而acc i r ( ) 是显然的故a = c i r ( ) 得证 从定理2 0 2 ，2 0 3 可以看出，当要求拓扑7 满足较弱的分离公理蜀时，对等 价关系e 没有任何要求当要求拓扑7 - 满足较强的分离公理正时，对等价关系e 要求太高，即e 只能为最简单的等价关系所以，我们考虑要求拓扑丁满足介于 蜀与乃之间的分离公理乃时的情况 我们首先对等价类族p ( e ) = 只：q 人 做个划分，令 r ( e ) = 只：1 只l = 1 ，q a 1 ) 只( e ) = r ：1 1 只i 0 0 ，q a 2 p o o ( e ) = 只：1 只i = o o ，o z a s 我们分两种情况讨论，给出两个引理 引理2 0 1 当p ( e ) 有限时，若1 只( e ) i = 0 ，则存在五拓扑7 使得e = c l r ( ) 若0 i 及( e ) i ，则这样的拓扑不存在 证明：当1 只( e ) i = 0 时 对每个p a p l ( e ) 在其上定义离散拓扑丁口，对每个r r 。( e ) 在其上定 义余有限拓扑令丁为上述拓扑的拓扑和记为 ( x ，丁) = o ( 只，亿) a a 1 ，a a 显然拓扑丁满足上述引理的条件 当0 ，p m + t 氏( e ) ，都存在a 的开邻 域阢，使得以np m + t = 0 令 v= n 阢 i e 1 ，2 n 则y 为a 的开邻域，且对vi 1 ，2 n ) ，有ynp m “= 仍与上面的结论矛盾 取x p m + i 。t o o ( e ) ，则z 面o ，由定理1 2 1 ，z ，a 关于7 - 可分设巩，k 为x ，a 对应的开领域且以nk = d 由r 。+ t 。的性质得knr 。+ i 。d 取 y knp m + 如，则x e y 由定理1 2 1 ，x ，y 关于7 - 不可分，又因x 玩，y k 则 玩nk 0 矛盾 所以当0 i r ( e ) i 时不存在丑拓扑7 - 使e = c i r ( ) 成立证完 引理2 0 2 当p ( e ) 无限时，存在噩拓扑7 - 使得e = c l r ( ) 证明：我们分四种情况分别讨论 情况1 ：当1 只( e ) j = 0 时，对每个只7 9 1 ( e ) ，在其上定义离散拓扑，对每 个只r ( e ) ，在其上定义余有限拓扑令丁为上述拓扑的拓扑和，记为： ( x ，丁) = o ( p a ，) 口a 1 a a 显然拓扑丁满足定理的条件 情况2 ：当0 1 只( e ) l o o ，i r ( e ) i = 0 0 时，不妨设 乃( e ) = uv 虻w 歹之，( a ) 下面验证 玩) z x 满足命题1 2 2 的三个条件 条件( i ) ，显然成立 条件( i i ) ，如果存在x 只，y p j 使得x u 吼，则存在w 正，( 如) ，满 足x u = 可) uw 则x = y 所以u 统 条件( 俐) ，对v 巩，u 2e 统，由既定义可得巩nu 2 魄 我们以 魄) z x 为邻域基生成上拓扑丁2 定义x 上拓扑7 - 为： ( x ，7 - ) = o ( 五，死) i e 1 ，2 ，3 下面来证明这个拓扑丁满足要求 首先丁满足五根据命题1 2 5 ，只需说明( 咒，乃) 满足五对v x ，y 恐，x y 当x e y 时，设x ，y 只只( e ) ，取w 乃( a ) ，则 z ) uw 为包含x 不包含 y 的开集， 可) uw 为包含可不包含x 的开集当z 动时，存在i j 使得z 只 只( e ) ，y 易r ( e ) ，则z x u a i ，y m u a j 且 _ z ) u a ) n 可) u 如) = 仍 所以7 满足丑 下面证明e = c l 下( ) 当x e y 时，若_ z ，可) 墨u 托，显然有x ，y 关于7 - 不 可分若 z ，可) 拖，则存在i 1 ，2 m ) ，使得x ，y 只只( e ) 任取z 的开邻 域 z ) uw ，任取y 的开邻域 可) uu ，其中彬u 兀，( a ) ，则wnu d 所以 z ，y 关于7 - 不可分当z 两时，若 z ，可) x 1ux 3 或者z x 1ux 3 ，y x 2 或者 7 第二章拓扑空间上的等价关系 y x 1ux 3 ，z 咒，显然有z ，y 关于r 可分若 z ，秒) 咒，则存在i j 使得 z 只，y 弓贝i jz z ) u a 死，y 秒) u 山死，且 z ) u a ) n 可) u a ) = d ，所以z ，y 关于7 可分由定理1 2 1 得e = c 1 ，( ) 情况3 ：当0 i r ( e ) i 0 0 ，i p o o ( e ) i = o o 时，不妨设 兀( e ) = 只：o z h 3 只( e ) = 只，马p m - 其中i a 3 i = o o ，m u 类似于情况2 ，对每个i 1 ，2 m ) ，存在无限子集ac 豫( e ) ，使得对vi j ，有an = 0 同样的令 x 1 = u p l ( e ) ，x 2 = u 及( e ) ，x 3 = u ( e ) 在m 上定义离散拓扑，在弱的各个等价类只上定义余有限拓扑亿，同时弱 上拓扑 r 3 定义为： ( 恐，乃) = o ( 只，) a 6 a 3 对vz x 2 ，弓i 1 ，2 m ) 使得x 只定义 召( z ) = y ：v = z ) u 彬w = u c ，c 元，( a ) ) 与情况2 类似可证明 玩 距x 满足命题1 2 2 的三个条件则以 段) z x 为邻域 基生成托上拓扑死定义x 上拓扑7 - 为： ( x ，丁) = o ( 五，死) i e l ，2 ，3 ) 与情况2 类似可证明拓扑丁满足噩，且使得e = c l 下( ) 成立 情况4 ：当l r ( e ) i = 0 0 时，令 x 1 = u r ( e ) ，x 2 = u 只( e ) ，x 3f - u v o 。( e ) 下面我们分两步证明在咒上存在拓扑丁2 ，使得t 2 满足乃且在子空间咒上 e = c l 仡( ) 第一步：首先考虑一种简单的情形，设x 2 中的所有等价类只包含两个点 8 第二章拓扑空间上的等价关系 令y = 托xq o ，1 ) 定义y 上等价关系f 为： ( z ，q ，k ) f ( x ，q ，后) 兮。= z 7 ，q = q 当z x 2 时，对vq q ，vr q + 定义 耳( z ，q ) = z ) xl r ( 口) x o ，1 ) 其中0 ( 口) = “：i q 一q i r ) 在y 上定义集族8 ：b 召当且仅当存在z 恐，q q ，r q + 使 得b 为耳( z ，口) 的余有限集易验证集族召满足命题1 2 1 的两个条件令拓扑p 为以召为基生成的拓扑，显然p 满足噩当( z ，口，k ) f ( x ，q 7 ，尼7 ) 时，由b 定义可得 ( z ，q ，) ，( z 7 ，q ，尼7 ) 关于p 不可分当( z ，q ，尼) f ( z 7 ，口7 ，七7 ) 时，( z ，q ，南) ，( z 7 ，q 7 ，尼7 ) 关 于p 可分由定理1 2 1 ，f = c f p ( z x ) 成立 因咒中等价类个数为i i ，y 中等价类个数为i 恐q i = i 恐i 故存在双 射厂：x 2xq x o ，1 ) 一恐使得可，可恐xq x _ o ，1 ) 时，有 ( v ) f ( v 7 ) y ( v ) e f ( y 7 ) 在恐中定义拓扑死为：恐= f ( c r ) ：u p ) 易验证此拓扑满足五且在子 空间恐上e = c k ( a ) 成立 第二步：由r ( e ) = 只：1 1 只i z x 满足命题1 2 2 的三个条件以_ ( 玩) z x 为邻域基生成x 2 上拓扑死 则丁2 满足五是显然的下证在子空间恐上e = c l 亿( ) 当z e v 时，存在q a 2 ，使得z ，秒只当z ，x w 时，取z 的任意开邻域 k = z ) ua ，秒的任意开邻域k = ) ub 其中a ，b 盯，au o a ) ，bu _ q q ) 盯则4nbcknk 因( anb ) u o a ) 盯，即为o a 在( 彬仃) 中的开邻 域若anb = 0 ，则 n n ) 在( 彬o r ) 中既开又闭，这与o a ，6 a 关于盯不可分矛盾故 9 第二章拓扑空间上的等价关系 anb 0 ，所以圪nk d 这说明x ，y 关于见不可分其它情况时有类似证明 或更简单 当画时，存在q 1 ，q 2 a 2 使得x 只。，y r ：当x ，yex w 时，因 o a ，醌q 2 ，即a a l a a 2 关于。可分取a ，b 仃使得a q ，a ，a q 。b 且a nb = 0 则_ z ) ua 与 可) ub 分别为x ，y 的开邻域且不相交故z ，y 关于死可分其它情 况时有类似证明或更简单由定理1 2 1 得e = c l 亿( ) 至此我们证明了在魁上存在拓扑死，使得仡满足正且在子空间上 e = c l 它( ) 在x 1 = u t i ( e ) 上定义离散拓扑n ，在x 3 = u r 。( e ) 的各个等价类上定 义余有限拓扑，同时托上拓扑乃定义为： ( 恐，乃) = o ( r ，) a e a 3 则定义x 上拓扑7 i 为： ( x ，丁) = o ( k ，死) i e 1 ，2 ，3 ) 易验证此拓扑满足定理要求证完 综合引理2 0 1 ，2 0 2 ，我们可以得到下面结论 定理2 o 4 对集合x 上的等价关系e 下列两条件等价： ( i ) 存在x 上满足噩的拓扑丁使得e = c l 下( ) ( i i ) p ( e ) 无限或者p ( e ) 有限时1 只( e ) i = 0 1 0 第三章其它结论及后续研究 第三章其它结论及后续研究 在第一章中提到对任意拓扑7 - 而言，c 0 ( ) 都是自反的，对称的但当7 满足 丑时也不一定是传递的下面我们构造一个例子来说明 设x 为可数集，令a ，b 为x 的可数真子集且x 一( aub ) d 在x 中 定义拓扑7 ：r 由集族兀，( x ) u a ) u b ) 作为子基生成显然7 满足丑取 a a ，b b ，c x 一( aub ) 则( a ，c ) 关于7 不可分，( b ，c ) 关于7