（基础数学专业论文）具有脉冲的造血模型的振动性和吸引性.pdf

摘要 考虑具有脉冲扰动的造血模型 f 刑 1 ) 卜) iz ( t 去) 其中 南l + z “( 亡一r ) 。r7 k ( z ( 靠) 一k ) + k ， 黼1 xt + n ( 一丁) 、 b k ( x ( t k ) 一m ) + m ， t “ ( 1 ) 七= 1 2 一 。缸 ( 2 ) k = 1 2 ， 丁 0 ，n 1 ，卢 7 ，b k ( 0 ，1 ，七= 1 ，2 ( 3 ) 方程满足的初始条件为 z ( t ) = 妒 ) ，t 一r ，o 】，妒e 【一t ，o 】，r + ，妒( o ) 0 ( 4 ) 得到r 如i 、结果 ( a ) 设( 3 ) 成立如果z ( t ) 是方程( 1 ) 的关于k 非振动的解，则有墨恐z ( ) = k ( b ) 设( 3 ) 成立如果 ( 寿可) ”，那么方程( 1 ) 满足初始条件( 4 ) 的解关于正平衡解k 振动 ( c ) 设( 3 ) 成立如果4 t ) 是方程( 2 ) 的关于m 非振动的解，则墨恐。( t ) 一m ( d ) 设礼 1 ，i p 当，0 ；， 则初始问题( 2 ) ，( 4 ) 的解z ( t ) 关于m 振动 ( e ) 设n 1 ，里：之且b o ( k = 1 ，2 ，一，) ，则初始问题( 2 ) ，( 4 ) 的非平凡 yt 一1 解z ( t ) 关于m 非振动 本文结果( a ) 一( d ) 推广了文献中的相关结论结果( e ) 给出了方程在特殊 情形下非振动解存在的结论，对非脉冲情形也成立 关键词：脉冲时滞微分方程；造血模型；平衡解；渐近性；振动性 2 a b s t r a c t c o n s i d e rt h eh e m a t o p o i e s i sm o d e lw i t hi m p u l s e s 删= 南一似味t 旭 lz ( t ) = “( 。( 如) 一k ) + k ， = 1 ，2 州归端一州“ lz ( ) = b k ( z ( t k ) 一m ) + m ，= 1 ，2 w h e r e t 0 ，n 1 ，卢 7 ，b k ( 0 ，i i ，七= 1 ，2 a s s o c i a t e di n i t i a lv a h ee o n d i t i o ni s ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 。( t ) = 曲( ) ，t 卜t ，o ，妒c h t ，o ，j r + ，( o ) 0 ( 8 ) t h ef o l l o w i n gr e s u l t sb x eo b t a i n e d ( a ) a s s u m et h a t ( 3 ) h o l d s i fz ( t ) i sas o l u t i o no f ( 1 ) w h i c hi sn o n o s c i l l a t o r ya b o u t t h e nl i mz ( t 1 = + o 。 ( b ) a s s u m et h a t ( 3 ) h 。i d s i f ( 再蒜 ( 4 ) i so s c i l l a t o r ya b o u tk ( c ) a s s u m et h a t ( 3 ) h o l d s i fz ( ) i sas o l t i o no f ( 2 ) w h i c hi sn o n o s c i l l a t o r ya b o u t m t h e n 】i mz ( t ) = 矿 + 。 ( d ) a s s u e m t h a t n l ，鲁，o i i ，t h e nt h es o l u t i o n 。( ) o f ( 2 ) ，( 4 ) i so s c i l l a t o r ya b o u tm ( e ) a s s u m et h a t 礼 1 ，! = ：# ja n db k of o r 南= 1 ，2 ，t h e nt h en o n t r i v i “ 1n l s o l u t i o nx ( t ) o f ( 2 ) ，( 4 ) i sn o n o s c i l l a t o r ya b o u tm t h er e s u l t s ( a ) ( d ) e x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fi e f e r e n c e s r e s u l t ( e ) e s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no ft h ee q u a t i o nw i t hs p e c i a lc a s e ，w h i c hi s a l s ot r u ef o rn o i l i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n k e y w o r d s ：h e m a t o p o i e s i sm o d e l ；i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s t c a d y s o l u t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；o s c i l l a t i o n dl 吾 q 缸z时e出铋m 赤 、， 和 第一章引言 m a c k c ya n dg l a s s 1 】提出了如下的造血模型 p m ) = 风伊e ( t 口n 十p 吖t 7 p ( t ) 州= 筹篇川 通过变量代换p ( t ) = 阮( t ) ，可将上述方程分别转化为 z 缸) = 再喾两一似t ) ( 12 ) ( 1 3 ) 和 州= 黜叫， ( 1 4 ) 其中卢，7 是正常数g o p m s a m y , k u l c n o v i ca n dl a d a s 2 1 得到了上述方程的正解关于方 程的正平衡解振动的充分条件，并讨论了方程解的渐近性最近，s a k e r 3 】讨论了更一般 的模型 以归黑邓， ( 1 5 ) 得到了方程所有正解关于其正平衡解振动的一些充分条件，也给出了正平衡解全局吸引 的充分条件，方程( 1 3 ) ，( 1 4 ) 分别是方程( 1 5 ) 当m = 0 和m 一1 时的特殊情形 脉冲微分方程理论是近二十年来比较重要的一个研究领域，它的理论与相应的非脉 冲的常微分方程相比内容更丰富，应用性更强，在物理，生物，工程，经济，管理等领域 都有着广泛的应用前景( 见【4 】) 最近几年，关于时滞微分方程和脉冲常微分方程的理论 研究有许多成果发表然而，关于脉冲时滞微分方程的理论研究成果还不多，见 5 1 4 】 l e o n i db e r e z a n s k ya n de l e n ab r a v e r m a n 5 】对一些非线性脉冲人口动力模型建立了振动 和非振动的一些充分条件，如脉冲逻辑方程 j = 呻) 叠嘣t ) ( ，一半) ，t ln ( r j ) 一= 吗( j v ( 可) ) ， j = l ，2 ， 和脉冲广义l a s o t a - w a z e w s k a 方程 in 7 ( t ) = 肛( t ) + p e7 “【“( o ) ，t 勺， il v ( 7 _ j ) 一n kb a n ( 可) 一胪) ，j = 1 ，2 ， 3 4 具有脉冲的造血模型的振动性和吸引性 本文中，我们将考虑在脉冲扰动下方程( 1 3 ) 和( i 4 ) 的解关于其正平衡解的振动性 及非振动解的渐近性，所得结果推广了相关文献中的结果 易知，方程( 1 3 ) ，( 1 4 ) 分别有唯一正平衡点，时，且，m 分别满足方程 和 给定脉冲点列 t k ) 满足 存= 叮 - ( ，。) 疗 l + n ( 1 7 ) o 。l 。2 “ ， 恕t k = o o ( 18 ) 与方程( 13 ) ，( 1 4 ) 对应的脉冲扰动分别为 和 z ( t ：) = 6 ( 。( t k ) 一k ) + k ，= 1 ，2 z ( t ) = 靠扛( 如) 一m ) + m ，= 1 ，2 ( 19 ) f 1 1 0 ) 其中对k = 1 ，2 ，一，b k r 显然，也是脉冲微分方程( 13 ) ，( 19 ) 的唯一正平衡点，m 是脉冲微分方程( 14 ) ( 11 0 ) 的唯一正平衡点 脉冲微分不等式与脉冲积分不等式在我们的研究中起着重要作用我们先将其列出 引理1l ( ht h e o r e m1 4 1 】) 设t o t 1 t r ，l i mt k = 。，p c ( t o ，o 。) ，兄) ，d k 0 ，b e r ( k = 1 ，2 ，) 若m p c ，( f t o ，o 。) ，r ) ，满足 那么 m ( t ) fm 咏) p ( 咖n ( ) 十g ( ) ，t 。) “) 1m ( 。 ) d k m ( t ) + 6 k ，= l ，2 ， ”t c t 。，如。h “。d ke x p ( ：，c s ，a s ) + 恼z 。h 删d ke x p ( 胁灿) 如十如稿h 。d je x p ( 胁小 第一章引言 5 引理1 2 ( 【4 ，t h e o r e m 1 51 ) 假设t o t l t k ，1 i mt k = o o ，p g ( 。) ，r + ) ，风0 ，c r 若m p c ( t o ，o 。) ，r ) 满足 m ( t ) c + p ( s ) m ( s ) d s + 臃m ( “) ， 那么 邮，c见+c侧exp(iptd s ) o 0 再设对i = 1 ，2 ，m ，k = 1 ，2 ，存在a l 0 ，d k 0 ，使得 l ( z ) i 毗l 。l ，i r k ( x ) i d k z 如果方程 ，tn + 擎“。净m “) ：0 碍“，( 1 1 2 ) i 。( t ) = d k x ( t k ) ， k = 1 ，2 ， 的所有解振动，则方程( 1 1 1 ) 的所有解振动 引理1 - 4 ( 1 5 ，t h e o r e m2 - 4 - 1 】) 设对j = 1 ，2 ，m ，奶c ，c o ) ，r + 】，l i r a o 。q j ( t ) = q j ，_ 0 如果方程 。协) + q j z ( t 勺) = 0 ( 11 3 ) j + l 的所有解振动，则下列方程的所有解振动 z 俅) + q ( t ) 。( t 一勺) = 0 ( 1 1 4 ) 6 具有脉冲的造血模型的振动性和吸引性 引理1 5 ( 1 5 ，c o r o l l a r y2 21 】) 考虑一阶时滞微分方程 z 0 ) + p x ( t ) + q x ( t r ) = 0 ( 11 5 ) 其中p ，q ，t r ，则方程( 11 3 的所有解振动的充分必要条件为 q v e p 7 + 1 1 ( 1 1 6 ) 第二章当m = 0 时方程的振动性与渐近性 本章考虑具有脉冲的非线性微分方程 二意嚣t # t k 、。， 其中口，7 ，r 为正常数，扣) 满足( 18 ) ，kj 叠? r n - ( 1 6 ) 的正根 唯一正平衡解与方程( 2 1 ) 对应的初始条件为 ( 2 i ) 显然z = k 是方程的 ( t ) 一咖( t ) ，t - - o 】，妒g 【一t ，o l ，。r + ! ，妒( o ) 0 ( 22 ) 定义2 1 一个函数z ：【一r ，b ) 一r 如果满足： ( i ) 当t i t l o 】时，。0 ) = 妒( t ) ； ( i i ) 当t ( o ，6 ) 且f t k 时，z ( t ) 存在左导数。似) 且满足( 2 1 ) 中的第一个方程； ( i i i 当如( o ，6 ) 时，z ( t ) 在t 点左连续，右极限存在，且满足( 21 ) 中的第二个 式子，则称z ( t ) 为方程( 2 1 ) 满足初始条件( 2 2 ) 的一个解 我们先讨论初始问题( 2 ，1 ) ，( 2 2 ) 的解的存在唯一陛 引理2 1 设 丁 0 ，礼 1 ，卢 7 ，b k ( 0 ，1 ，k = 1 ，2 - - ， ( 2 3 ) 那么方程( 21 ) 在【一r ，o o ) 存在唯一解z ( t ) 满足初始条件( 2 2 ) 证明我们的证明分三步第一步，首先考虑r = 0 ，6 k = 1 的情形，即考虑常微分 方程 n z 俳) = 再蒜一7 z ( t ) ( z 4 ) 初始条件为。( t o ) ：z o 的情形设。o 0 ，因为方程( 2 4 ) 右边的函数连续且关于z 满足 局部l i p s c h i t z 条件，所以初始问题存在唯一解z ( t ) 设其右行最大存在区间为 o ，6 ) - 当。：k 时，初始问题的唯一解为平衡解。( t ) = k ，它当然在【o ，o o ) 内有定义， 即有6 = 0 3 当。( o ，k ) 时，由解的唯一性知在 0 ，6 ) 内成立0 0 ，b k = 1 的情形，即非脉冲时滞微分方程 z 协) + 州。) 2 百赤刁 ( 2 5 ) 满足初始条件( 2 2 ) 的解的存在唯一性我们将利用步法证明初始问题解的存在唯一性 当t 0 ，7 - 时，方程变为一阶线性常微分方程 z m ) + 哪) = 耳鼎刁， 可解得其唯一解为 。t ( t ) = 。( 。) e 一1 。+ 0 i 击e r s d s t 【。，叫 当t r ，2 r 1 时，方程变为一阶线性常微分方程 z 俅) + 俳) = 南 得其唯一解为 t f 4 z z ( ) 2e 1 盯一。z ( r ) + s t i ：i 。：； ；i 二i _ ，5 一d s ，t r ，2 r 】 依此类推，可得 哳以) = “n ”州叫+ 再熹葡e s ( 日- t ) d s , t m ( m + 1 ) r 定义函数 z ( t ) = 曲( ) ，t 【一t 0 x i ( t ) ，t 0 ，r 】， 这就是方程( 25 ) 满足( 22 ) 的解，在卜一o o ) 有定义且在f 0 ；o o ) 上是正的 第二章当m = 0 时方程的振动性与渐近性 9 第三步，证明初始问题( 21 ) ，( 2 2 ) 的解在 一一o o ) 内存在，且在【0 ，0 0 ) 内是正仍 然用步法证明之 当t 0 ，t 1 时，问题为一阶时滞微分方程的初始问题 二嘉一苍岛 由第二步的结论知该问题存在唯一解，记为。，( t ) 当t ( t - ，t 2 】时，问题为一阶时滞微分方程的初始问题 州t ) = 再善丽一 ，t ( t l , t 2 z ( t ) = z 1 ( t ) t ( 一r ，t l 。( 对) = b 1 ( 3 7 ( t 1 ) 一m ) + m 同样由第二步的结论知该问题存在唯一解，记为。z ( ) 依此类推，可得到唯一的函数z 。( t ) ，在( t 。一，t 。】上有定义且满足 f 。( t ) = t 南一7 z 。o ) ，t ( t m 一，t m z ( ) = x m _ l ( t ) t t 。咄t 。一1 l 。( 蠊一，) = 6 1 扛( t 。一) 一m ) + m 定义函数 z ( ) 妒( t ) ，t 一r ，0 。1 ( t ) ，t ( 0 ，t l 】 z 2 ( t ) ，t ( t 1 ，t 2 】 则。( t ) 就是初始问题( 2 ，1 ) ，( 2 2 ) 的在【一i ，) 有定义，在 0 ，o ( 3 ) 为正的解且是唯一解 引理证毕 引理2 2 如果条件( 2 3 ) 成立，那么初始问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解在 一丁，。) 上有界 证明设x ( t ) 是初始问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解，则由引理2 1 知在 0 ，o 。) 上有。( t ) 0 下面证明z ( t ) 的有界性 ，cl【 l o 令g ( t ) = 搿( ) 一k ，则由方程( 2 1 ) 可知 具有脉冲的造血模型的振动性和吸引性 1 b ( t ) + k ) 一7 p ) + 7 k “，t t k ， k = 1 2 由引理1 1 有 舭，洲( 。照。靠卜州“从媳 - 。b k ) e 叫“乜 o “ k 最终成立注意到 p 1 i 5 可厕 由方程( 2 1 ) 寸以看出，当t t 女时最终有 州一卢( 南一) = 卢( 南一志掣) 卢 1 两一击) 所以z ( t ) 在每个小区间( “，“一t 上单调减少，叉由于 。牡) = b ( 。( 亡) 一k ) + k 譬( “) 一k + k = z ( 奴) ( 2 6 ) p一邢树 一l 6 = l l 可 ，(1i 第二章当m = 0 时方程的振动性与渐近性 所以z ( t ) 在 0 ，o o ) 上单调减少，故有 怒z ( ) = l k 若l k ，则 黜，= 忐一7 l = 卢( 志一志加 从而存在f ，使当t t 时 志1ka 州。， “k j ：j1 k = 1 2 由引理1 1 知有 z ( t ) z ( t ) 十；卢( 丽1 一r 而去) 。一丁) 一一。一o 。) 与z ( t ) k 矛盾所以l = k 情形2 x ( t ) 一k 最终负这时0 z 一f ) t 时， “骖；卢( 而1 一志妻) ， 【z ( 毒) z ( “) ， = 1 州2 一 由引理11 知有 z ( t ) 。口) + 互1 肛( 丽1 一r 古石嘉) ( t - - t ) - + o o 一o 。) 与z ( t ) ( 斋) 南 ( 2 7 ) 那么方程( 21 ) 满足初始条件( 2 2 ) 的解关于正平衡解k 振动 证明反证法设方程( 21 ) 存在解。( t ) ，使。( t ) k 最终正，令 z ( t ) = k e y ( “，( 2 8 ) 则g ( t ) 是下列方程的最终正解 。) + 7 ( 1 + k ”) 丁篙+ 7 k “丁熹= 。，t “，f 29 ) ig ( t ) = i n ( 1 一b k + b k e u ( “) ，k = 1 ，2 ， p ( t ) = 7 ( 1 + m ”) ! q ( t 1 = n t m ” 一e - ( t )1 矿再可瓦面焉 n y ( t r 1 1 + 删“e “( 一7 ) l k ( y ) = l n ( 1 6 + b k e ”) 则方程( 2 9 ) 可写成 ig 协) + p ( t ) ( t ) + q ( t ) y ( t t ) = 0 ，t 缸， ig ( ) = ( y ( k ) ) ， = 1 ，2 f 2 1 0 1 第二章当m = 0 时方程的振动性与渐近性 注意到当y 0 时有 ( ) y ，由引理1 3 知下列方程存在最终正解 0 ) + p ( t ) y ( t ) + 口( t ) ( t r ) = 0 由定理21 知t 1 i m 。( t ) = 0 ，从而 l i r a 娟) 确l i m 酢) = 而n t k 1 = 华 1 3 ( 2 1 1 ) 由引理1 4 知方程 z ，( t ) + 7 z ( t ) + n v 2 石k n + 1 。0 一r ) ：o ( 2 1 2 ) 存在最终正解但由引理1 5 知( 2 7 ) 保证了方程( 2 1 2 ) 的所有解振动，矛盾故方程 ( 2 1 ) 的满足初始条件( 2 2 ) 的解关于k 振动定理证毕 注2 1 当b k = 1 对所有k = 1 ，2 ，成立时，定理2 2 即为文献 5 】中的定理2 1 中 的( a ) 第三章 当m = 1 时方程的振动性与渐近性 ? ，= 嵩高邮州乱 江， i 。( t ；) = k 扛( “) 一m ) + m ，= l ，2 ， 其中卢，7 ，r 为正常数， 靠，满足( 1 8 ) ，m 是方程( 17 ) 的正根显然z ：m 是方程的 唯一正平衡解与方程( 31 ) 对应的初始条件为 z ( ) = 声 ) ，t f r ，o l ，d “一r ，o l ，。r + j ，( o ) 0 ( 3 2 ) 方程( 3 1 ) 的解的定义及解关于m 振动性的定义与第二节的类似我们略去 我们首先给出解的存在唯一性的结果 引理3 1 设条件( 23 ) 成立，则初始问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 存在唯一解。( t ) 对所有t 0 证明用步法可证初始问题解z ( t ) 的存在唯一性下面我们证明 x ( t ) 0 ，t f 0 ，o o ) f 3 3 ) 反证法如果( 33 ) 不成立，注意到由z ) 0 可得。( t ) o ，则存在矿 0 使 z ( 扩) = 0 且对t o ，扩) 有。( t ) 0 令r e ( t ) = 一z ( ) ，则由方程( 3 ，1 ) 有 j m 如) 一7 m ( t ) ， t 【0 ，r 仇) ， 【m ( t 吉) = b m ( 缸) 一( 1 b k ) m ，k = 1 ，2 ，一 雄修州e 叫+ h 。寸b k - l - 州。( 札驻) e 叫“q ，“洲扎 o k r o “ 札 t + r 使得。( 矿+ ) = s u p 。( t ) ：t 扩) 由于z ( t ) = m + k ( “) 一m ) x ( t k ) 对 所有k = 1 ，2 ，成立，我们可以假设t + t ka n d 。二( t + ) 0 于是 岫印卜端m ( 矧伊) ) 这是一个矛盾故肛= l i r a s u p x ( t ) 存在 。 如果p l i r a 碧z ( t ) ，则，t m 且存在点列 0 及噩t 使得对t 陬，o 。) 拓) 有z ) 一皿于是 z ( ) ( 乃) + ( 4 t d 一。( 靠) ) 一声( 一乃) 一。当一0 0 n 1 ，! 当，o ( 3 6 ) “o 则初始问题( 31 ) ，( 32 ) 的解。( t ) 关于m 振动 1 6具有脉冲的造血模型的振动性和吸引性 证明反证法设初始问题( 3 ，1 ) ，( 3 2 ) 存在解z ( t ) 使z ( t ) 一m 是最终正的( 最终负 的情形是类似的，故略去) 令 z ( ) = m e y ( ( 37 ) 则y ( t ) 是下列方程的最终正解 9 7 ( ) + p ) 可o ) + 口o ) 可( 一7 ) = o ，。2 k ，( 3 8 ) ig ( t ) ： ( g ( “) ) ， k = 1 ，2 ， 其中 郇h ( - 坩) 嵩并， m ) = 7 再南f 藉扩，等 i k ( y ) ：i n ( 1 b k + b k e ”) 由于对所有 0 有 ( ) y ，由引理1 3 知非脉冲时滞微分方程 z ( t ) + p ( t ) 4 t ) + q ( t ) z ( t r ) = 0( 3 9 ) 有最终正解由定理3 - 1 知l i r a g ( t ) = 0 ，从而 l i m 础h ，船) = 业掣 方程( 3 9 ) 的极限方程为 z 7 ( t ) + 7 z ( t ) + q o z ( t t ) = 0 ( 3 1 0 ) 由引理14 知方程( 31 0 ) 存在最终正解而由引理1 5 知( 3 6 ) 保证了方程( 31 0 ) 的所有 解振动，这是一个矛盾，定理证毕 当；= 击吼我们易知m = ( 击) v “且m 州( 蚴对所有蚓岫) 成立，其中，( z ) = r 为此时，我们有下面的结论， 定理3 3 设 n ，；= 击且b 一 o ，k _ 1 ) 。 则初始问题( 31 ) ，( 3 2 ) 的非平凡解z ( ) 关于m 非振动 第三章当m = 1 时方程的振动性与渐近性 证明令u ( t ) = z ( t ) 一m ，则由( 3 1 ) 有 (t j 钍7 ( t ) 一7 札( t ) ， t k ， iu ( t j - ) = k ( 乱) ，k = 1 ，2 于是由引理11 知当t t 0 时有， u ( t ) u ( t ) e 刊。t b k t 0 使得z ( 正) 1 ，卢 7 ，ke ( 0 ，1 ，k = 1 ，2 ( 4 , 3 ) 得到了方程满足初始条件 z 0 ) = 0 ) ，t 卜 t ，o l ，t j 5 g ( 一t ，o l ，r + 】，咖( o ) 0 ( 44 ) 的解分别关于方程的正平衡解k 和m 的振动性和渐近性的一些结果推广了文献中的 部分相关结论从我们的结果可以看出，当b k ( 0 ，1 】时，脉冲扰动对时滞微分方程的振 动性和渐近性没有产生影响，即非脉冲微分方程的结果在脉冲扰动下继续保持，这与实 际情形也吻合，因为此时脉冲系数较小可以猜测，当b 1 时，与非脉冲微分方程相 比，脉冲微分方程的性质将会产生变异，脉冲扰动将会影响方程解的振动性和渐近性 关于这方面的问题，我们将在今后的工作中继续讨论 1 8 参考文献 1 m cm a c k e ya n dlg l a s s ，o s c i l l a t i o n sa n dc h a o si np h y s i o l o g i c a lc o n t r o ls y s t e m ss c i e n c e 1 9 7 ( 1 9 7 7 ) ，2 8 7 - 1 8 9 2 】k g o p a l s a m y im r s k u l e n o v i ca n dg l a d a s ，o s c i l l a t i o n sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yi nm o d e l so fh e m a t o p o i e s i s ，j o u r n a lo fd y n a m i c sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 ( 1 9 9 0 ) 1 1 7 _ 1 3 2 3 1s h s a k e r ，o s c i l l a t i o na n dg l o b a la t t r a c t i v i t yi nh e m a t o p o i e s i sm o d e lw i t ht i m ed e l a y , a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o n l p u t a t i o n1 3 6 ( 2 0 0 3 ) ，2 4 1 2 5 0 4 jv l a k s h m i k a n t h a m ，dd b a i n o va n dpss i m e o n o v ft h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e i1 9 8 9 5 】l e o n i db e r e z a n s k y aa n de l e n ab r a v e r m a n b ，l i n e a r i z e do s c i l l a t i o nt h e o r yf o ran o n l i n e a r d e l a yi m p u l s i v ee q u a t i o n ，j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s1 6 1 ( 2 0 0 3 ) ， 4 7 卜4 9 5 6 】jy u ，o s c i l l a t i o no fn o n l i n e a rd e l a yi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ，j m a t ha n a l a p p l 2 6 5 ( 2 0 0 2 ) ，3 3 2 3 4 2 7 】j h s h e n ，t h en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s ， a p p lm a t hc o m p u t7 7 ( 1 9 9 6 ) ，1 5 3 1 6 5 8 】j s y u ，s t a b i l i t yc a r l s e db yi m p u l s e sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a c t am a t h s i n i c a 1 3 ( 1 9 9 7 ) ，1 9 31 9 8 【9 j sy ua n dbg z h a n g ，s t a b i l i t yt h e o r e mf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s ， jm a t ha n a l a p p l 1 9 9 ( 1 9 9 6 ) ，1 6 2 1 7 5 1 0 1a z h a oa x e dj a n ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i m p u l s e s ，jm a t h a n a la p p l2 1 0 ( 1 9 9 7 ) ，6 6 7 6 7 8 1 1 1a z h a oa n dj y a n ，a s y m p t o t i cb e h a