（基础数学专业论文）环与复域上的toeplitz矩阵问题.pdf

一 r t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 狲 导师虢名爨坪 签字日期：1 , 0 1 9 年1 月易日 签字日期：加，d 年占月1 1 日 中图分类号：0 1 5 1 2 1 u d c ：5 1 2 学校代码：1 0 0 0 4 密级：公开 北京交通大学 硕士学位论文。 环与复域上的t o e p l i t z 矩阵问题 t h e p r o b l e mo ft o e p l i t zm a t r i c e so v e rar i n ga n dac o m p l e xf i e l d 作者姓名：王春梅 导师姓名：李思泽 学位类别：理学 学科专业：基础数学 学号：0 8 1 2 2 11 l 职称：教授 学位级别：硕士 研究方向：代数表示论 北京交通大学 2 0 1 0 年6 月 致谢 本论文的工作是在我的导师李思泽教授的悉心指导下完成的。在本文即将完 成之际，向所有关心和帮助过我的老师和同学致以深深的谢意。 首先感谢我的导师李思泽教授，本论文在我的导师李思泽教授的悉心指导和 亲切关怀下顺利完成。他不仅为我的学业和研究作出了悉心的指导，在平常生活 中也给了无微不至和热情的照顾。他对事业的追求和对生活的积极态度都对我产 生了重大的影响，使我受益匪浅。在此，谨向恩师表达我最真挚的敬意和感谢。 十分感谢教授自己代数学基础的江中豪教授，以及教授其它基础课的各 位老师，向他们表示由衷的感谢。 深深的感谢我的父母和姐姐，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我 的学业，他们的鼓励陪伴我一路前行。 同时我也要感谢全班同学对我的生活和学习的关心和帮助，你们陪我度过了 人生中非常珍贵的一段美好时光。 感谢各位专家和学者在百忙之中审阅我的论文，我将诚恳的接受您的宝贵意 见和建议，并期待您的指导与批评。 中文摘要 摘要：矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少 的数学工具，其中t o e p l i t z 矩阵因其在多项领域中应用广泛而备受关注。t o e p l i t z 矩阵是2 0 世纪初由德国数学家托普列茨( t o e p l i t zo t t o ) 提出来的。t o e p l i t z 矩阵及 相关矩阵的计算问题一直是国内外热门的研究课题。特殊的t o e p l i t z 矩阵有广泛的 应用前景，特别在生物学、物理学、数学等学科中应用广泛，因此对于t o e p l i t z 矩 阵的研究是有必要的。从目前已有的大量国内外文献看，对t o e p l i t z 矩阵及其应用 的研究不仅在现在，而且在将来一段时间里都是一个引入注目的研究方向。t o e p l i t z 矩阵的特点是主对角线上的各元素彼此相等，平行于主对角线的各对角线上的元 素也彼此相等。t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵一般不再是t o e p l i t z 矩阵，因此求t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵有一定的困难。 本文前半部分利用t o e p l i t z 矩阵的求逆的已有结果，对一类含单位元环上的 t o e p l i t z 矩阵的求逆问题作进一步研究给出了疋一。可逆时l 可逆的条件。即若l 一。可 逆，且= a 。- r t n _ i - l q 或p t - a o q t n _ l - i r 之一可逆，则可逆，且及p 全部 可逆。 后半部分对单位t o e p l i t z 矩阵及反循环矩阵性质作了研究，给出了成为循环 t o e p l i t z 型代数及反循环t o e p l i t z 型代数中元素的充分条件，即描述了复域上一类 循环t o e p l i t z 型及反循环t o e p l i t z 型线性子空间，它们是分别与单位循环矩阵和反 单位循环矩阵交换的反对称矩阵及与单位循环矩阵和反单位循环矩阵交换的反 h e r m i t e 矩阵形成的线性空间；并刻画了与单位循环矩阵交换的复域上反对称矩阵 的线性空间的基；探索对t o e p l i t z 矩阵的结构和性质作进一步推广。 关键词：t o e p l i t z 矩阵；逆；循环矩阵；反循环矩阵；反h e r m i t e 矩阵 分类号：0 1 5 1 2 1 a bs t r a c t a b s t r a c t ：m a t r i xi si n d i s p e n s a b l ea sam o d e r nm a t h e m a t i c a lt o o li nn a t u r a ls c i e n c e e n g i n e e r i n ga n de v e ni nm a n ya r e a so fs o c i a ls c i e n c e t o e p l i t zm a t r i xi sam a t r i xw h o h a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o nb e c a u s eo fi t sw i d e l yu s e n e s si nm a n yf i e l d s t o e p l i t z m a t r i xw a sf i r s tp u tf o r w a r da tt h eb e g i n n i n go ft w e n t i t hc e n t u r yb yt h eg e r m a n m a t h e m a t i c i a nt u o p u l i e c i ( t o e p l i t zo t t o ) t o e p l i t zm a t r i xa n dt h ec a l c u l a t i o no ft h e c o r r e l a t i o nm a t r i xh a sb e e nah o tr e s e a r c ht o p i ca th o m ea n da b r o a d p a r t i c u l a rt o e p l i t z m a t r i xh a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nb i o l o g y , p h y s i c s ，m a t h e m a t i c s t h e r e f o r e ，t h e s t u d yo ft o e p l i t zm a t r i xw a sn e c e s s a r y f r o mt h ec u r r e n tv i e wo fm a n yd o m e s t i ca n d f o r e i g nl i t e r a t u r e s ，r e s e a r c ho nt h et o e p l i t zm a t r i xa n di t sa p p l i c a t i o ni sc o m p e l l i n gn o t o n l yi nt h ep r e s e n t ，b u ti nt h ef u t u r e t o e p l i t zm a t r i c e sa r ec h a r a c t e r i z e db yt h a tt h em a i n d i a g o n a le l e m e n t sa r ee q u a lt oe a c ho t h e ra n de l e m e n t sp a r a l l e lt ot h em a i nd i a g o n a la r e e q u a lt oe a c ho t h e r g e n e r a l l yt h ei n v e r s eo fat o e p l i t zm a t r i xi sn ol o n g e rat o e p l i t z m a t r i x ，t og i v et h ei n v e r s eo fat o e p l i t zm a t r i xi sw i t hc e r t a i nd i f f i c u l t i e s i nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e rb ym a k i n gu s eo ft h ek n o w nr e s u l t sf o ri n v e r s em a t r i xo f t h et o e p l i t zm a t r i x ，w em a k eaf u r t h e rr e s e a r c hf o rt h ei n v e r s em a t r i xo f t o e p l i t zm a t r i x o v e rac l a s so f r i n gw i t hu n i te l e m e n t w eg i v et h er e v e r s i b l ec o n d i t i o n so f w h e n g i v e n t 。一ii sr e v e r s i b l e i fz ii sr e v e r s i b l e ，a n d 肛= a 0 - r t _ , - qo r # _ a o o z n _ l - l r i sr e v e r s i b l e ，t h e nt i sr e v e r s i b l e ，a n dp = a o r t _ i - iqa n d 肛。a o o t n _ l - l r a r ea l l r e v e r s i b l e i nt h el a t t e rp a r to ft h ep a p e rw e s t u d yt h en a t u r eo fa n t i c y c l i cm a t r i xa n du n i t t o e p l i t zm a t r i x w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nw h i c he l e m e n t sm a d eu po fac y c l i c a l g e b r aa n do nw h i c he l e m e n t sm a d eu po fa n t i - c y c l i ca l g e b r a t h a ti s ，w ed e s c r i b e sa c l a s so fr e c y c l i n gt o e p l i t za n da n t i c y c l i ct o e p l i t zl i n e a rs p a c eo v e rc o m p l e xf i e l d ， w h i c ha r el i n e a rs p a c er e s p e c t i v e l yf o r m e db ya n t i s y m m e t r i cm a t r i xe x c h a n g e dw i t h u n i tc i r c l em a t r i xa n du n i ta n t i c y c l i cm a t r i xa n dt h ea n t i h e r m i t em a t r i xe x c h a n g e dw i t h u n i tc i r c l em a t r i xa n du n i ta n t i c y c l i cm a t r i x f u r t h e r m o r ew ec h a r a c t e r i z et h eb a s eo f c y c l i ct o e p l i t zl i n e a rs p a c eo v e rc o m p l e xf i e l d a 1 1o f t h ea b o v ew ed i di st oe x p l o r et h e s t r u c t u r ea n dn a t u r eo f t h et o e p l i t zm a t r i xf o rf u r t h e rp r o m o t i o n k e y - w o r d s ：t o e p l i t zm a t r i x ；i n v e r s e ；c y c l i cm a t r i x ；a n t i - c y c l i cm a t r i x ；a n t i h e r m i t e m a t r i x c i 。a s s n o ：o 】5 】2 1 目录 中文摘要i i i a b s t r a c t i v 1引言1 2相关概念及背景知识2 2 1 含单位元环上的t o e p l i t z 矩阵2 2 2几类矩阵的概念及性质2 2 3 t o e p l i t z 矩阵的性质3 2 4 t o e p l i t z 矩阵的研究历史3 3 含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵4 3 1 含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵的表达式4 3 2 含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵可逆的条件6 4复域上与循环矩阵交换的反对称矩阵的代数8 4 1循环矩阵与反循环矩阵9 4 2 复域上的循环t o e p l i t z 型代数1 0 4 3 复域上的反循环t o e p l i t z 型代数1 2 4 4与单位循环矩阵交换的复域上的线性空间1 3 4 4 1 与单位循环矩阵交换的复域上反对称矩阵的线性空间1 3 4 4 2 与单位循环矩阵交换的复域上反h e r m i t e 矩阵的线性空间1 5 4 5与反单位循环矩阵交换的复域上的线性空间1 6 4 5 1 与反单位循环矩阵交换的复域上反对称矩阵的线性空间1 6 4 5 2 与反单位循环矩阵交换的复域上反h e r m i t e 矩阵的线性空间 1 8 5结论2 l 参考文献2 3 作者简历2 5 独创性声明2 6 学位论文数据集2 7 1 引言 矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数 学工具，在整个数学研究中起着重要的作用。其中t o e p l i t z 矩阵因其在多项领域中 应用广泛而备受关注。 t o e p l i t z 矩阵是2 0 世纪初由德国数学家托普列茨( t o e p l i t zo t t o ) 提出来的。 t o e p l i t z 矩阵的特点是主对角线上的各元素彼此相等，平行于主对角线的各对角线 上的元素也彼此相等。在数学领域，t o e p l i t z 矩阵在多项式计算、插值、逼近拟合， 卷基计算、微分方程数值解、数理统计、谱分析等有密切联系；在工程领域，t o e p l i t z 矩阵及循环矩阵在数字图像信号处理、归滤波器设计、石油勘探及其它很多领域 中，也起着重要的作用。由于这类矩阵有许多良好的性质和结构，很有必要对其 特殊性质、特殊结构、逆等问题进行探讨。t o e p l i t z 矩阵及相关矩阵的计算问题一 直是国内外热门的研究课题特殊的t o e p l i t z 矩阵有广泛的应用前景，特别在生物 学、物理学、数学、社会科学中的许多问题都和t o e p l i t z 矩阵的理论有着密切的关 系。因此对于t o e p l i t z 矩阵的研究是有必要的。随着科学技术的不断发展，研究的 进一步深入，很多算法也相继提出。从目前已有的大量国内外文献看，对t o e p l i t z 矩阵及其应用的研究不仅在现在，而且在将来一段时间里都是一个引人注目的研 究方向。随着研究的深入，t o e p l i t z 矩阵问题不断被提出，其应用领域会更加广泛。 对t o e p l i t z 矩阵类及其应用研究的理论意义和应用价值，越来越受到人们的重视。 t o e p l i t z 矩阵的特点是主对角线上的各元素彼此相等，平行于主对角线的各对 角线上的元素也彼此相等。特殊的t o e p l i t z 矩阵有广泛的应用前景。t o e p l i t z 矩阵 的逆矩阵一般不再是t o e p l i t z 矩阵，因此求t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵有一定的困难。 本文利用t o e p l i t z 矩阵的求逆的已有结果对t o e p l i t z 矩阵的求逆问题作进一步 研究，对单位t o e p l i t z 矩阵及反循环矩阵、循环t o e p l i t z 型及反循环t o e p l i t z 型线 性空间做了研究，探索对t o e p l i t z 矩阵的结构和性质作进一步推广。 2 相关概念及背景知识 2 1 含单位元环上的t o e p l i t z 矩阵 定义2 1 设弧是一个非空集合，吼带有两个代数运算：一个记作加法( a + b ) ， 一个记作乘法( ao b 或a b ) ，吼叫做一个环，如果以下条件成立： i ) ( 吼，+ ) 构成a b e l 群； i i ) ( 吸，o ) 构成半群，即乘法封闭，且满足结合律：( a b ) c = a ( b c ) ，v a ，b ，c 贸； i i i ) 乘法对加法有分配率：a ( b + c ) = a b + a t ：，( 6 + c ) a = b a + c a 。 注：( 孵，+ ) 的单位元通常用0 表示，并称零元，零元是唯一的；若( 吼，o ) 的单位 元存在，通常用e 表示，e 是唯一的。只有在环中只有一个元素的时候才会有0 = e 。 定义2 2 称，z xn 阶方阵t n = ( t i _ ，) 吼职“，f ，_ ，= 1 , 2 疗，为t o e p l i t z 矩阵，即 = 2 2 几类矩阵的概念及性质 岛t l 岛 乙一2乙一3 乙一l乙一2 t n + 1 t 斛2 t o 定义2 2 1 设a = ( a 扩) 为m x n 矩阵，b = ( b ，) ，( 其中b o = a 。一川扩f + 1 ) ，为 刀胧矩阵，称曰为次转置矩阵，记作b ：a 一。若a 一：a ，称么为次对称矩阵。若 a 一：一a ，称彳为反次对称矩阵。 定义2 2 2 【l 】实数域上的方阵彳如果满足州：a a ：e ，则称彳是正交矩阵。 可知，正交矩阵a 一定是可逆的，并且a 一1 ：a 。反之，若实数域上的方阵彳满足 么= 么，则显然彳是正交矩阵。正交矩阵具有以下性质： 1e 是正交矩阵； 2 若a 与曰都是n 级正交矩阵，则a b 也是正交矩阵； 3 若彳是正交矩阵，则么一也是正交矩阵； 4 若么是正交矩阵，则若i a i = l 或一1 。 定义2 23 设a = ( ) ，满足= k a 川咖+ l - ，f ，j = 1 ，n ，当k = 1 时，则称么为n 阶中心对称矩阵；当k = - 1 时，则称4 为n 阶反中心对称矩阵。 2 2 3t o e p l i t z 矩阵的性质 性质1 两个玎n 阶t o e p l i t z 矩阵的和与差仍是t o e p l i t z 矩阵。 性质2t o e p l i t z 矩阵是次对称矩阵。 2 4t o e p l i t z 矩阵的研究历史 1 9 7 2 年，俄罗斯的数学家g o h b e r g 和s e m e n c u l 提出了著名的g o h b e r g s e m e n c u l 公式，将非奇异t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵表示成了一些三角t o e p l i t z 矩阵的乘积【2 j 。 g o h b e r g s e m e n c u l 公式适用于n 一1 阶顺序主子阵非奇异的n 阶非奇异t o e p l i t z 矩阵。 同年，g o h b e r g 又和k r u p n i k 发现【3 】，若t o e p l i t z 矩阵逆矩阵第一列的最后一个元 素不为零，则可由逆矩阵的第一列及第二列的元素确定。次年a k a i k e 就给出了一 种求解分块t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵的a k a i k e 算法【4 1 ，该算法适用于那些各阶块顺序 主子阵瓦( 后= 1 ，2 ，n ) 均非奇异的t o e p l i t z 矩阵丁。1 9 8 4 年，h e i n i g r o s t 将表示逆 矩阵的元素减少到第- - y u 的n 元素和第一行的，l 一1 个元素来确定【5 】。矩阵的q r 分 解是指非奇异矩阵都可以分解为一个正交矩阵q 和一个上三角矩阵尺的乘积，且 若要求矩阵r 对角线元素都为正数时，分解是唯一的。同年，s w e e t 提出求t o e p l i t z 矩阵o r 分解的快速算法【6 】。1 9 8 6 年，b e n - a r t z i 和s h a l o m 给出了由t o e p l i t z 矩阵 逆矩阵丁- 1 的三列构造丁- 1 的b e n - a r t z i - s h a l o m 公式l r 7 j 。同年，b o j a n c z y k b r e n t d e h o o g 等人将s w e e t 的算法做了改进，不但加少了运算次数，还将之推广到广义 t o e p l i t z 矩阵的情形【8 】。该公式要求t o e p l i t z 矩阵非奇异。1 9 9 2 年l a b a h n 和s h a l o m 证明丁。1 可由它的某两列及原t o e p l i t z 矩阵的某些元素确定p j 。1 9 9 4 年l a b a h n 和 s h a l o m 又把上述性质推广到广义t o e p l i t z 矩阵的情形l l 。2 0 0 1 年，m i c h a e lk n g 等人对证明方法作了改进【l 。2 0 0 2 年，g h e i n i g 和k r o s t 研究了中心对称t o e p l i t z 矩阵和中心反对称t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵的一些性质2 1 。同年，g h e i n i g 对t o e p l i t z 矩阵逆矩阵的重建问题作了进一步的分析，即t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵可由至少哪几 列的至少几个元素重建【l3 1 。求t o e p l i t z 矩阵逆矩阵丁一与求解t o e p l i t z 线性方程组 密切相关，b a r e i s s 采用构造一组同解方程组的方式即t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵 b a r e i s s 变换法求解t o e p l i t z 线性方程组t x = 厂【l4 1 。后来，k u m a r 通过将t o e p l i t z 矩阵镶嵌成一个大的循环矩阵来求解t o e p l i t z 线性方程组【l 引。即k u m a r 超快速算 法。对于求一般t o e p l i t z 矩阵的特征值问题的方法较少。h a n d y 和b a r l o w 给出了 求交叉和矩阵的特征值和特征向量的h a n d y - b a r l o w 法【l 引。t r e n c h 给出了一系列求 h e r m i t e 型t o e p l i t z 矩阵特征问题的t r e n c h 算法【l 7 。 3 含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵 3 1 含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵的逆矩阵的表达式 g o h b e r g 、k a a s h o e k 和s c h a g e n 在文献 18 中给出了含单位元环上有限t o e p l i t z 定理3 1 令疋= a t t - j ：= o 是一个矩阵，其中的数值元素a 。孵，k = 一刀，0 ， x = 篓 ，z = 三 ，y = c 丘。，形= r ， 分别为v - 1 的第一列，最后- y j j ，第一行，最后一行，, 贝l j x o = j ，。，z 。= w o ，且 t - 1 = 础= x o 0 西而 吒一1 0 z 一 ： 0 0 ： 而 00 0 l z _ l t 。o j x o 0 0 五而 oi i ：。：i i 吒一l 矗2而j z 一，0 0 z 目+ lz-。0 一z 一、 z 一2 z h 证明：z = a oa i q口o a 月 a n l y qy i 0 0 o 0 嵋 0 0o w l 0 hr 、lf ，乙一， 2 【、q一，j 2 lq 4 ( 公式1 ) ( 公式2 ) 尺 ，对其有如下分解 a o ) 一 + ；儿 ； 叫叫：一 叫 h 蜘 o k k o吃0 ；0 蜘0；o一 一 舯； ，办叩：锄 令五=： 【_ 吒j c = ( 笼糟川旺 一f ，x o 一尺瓦一l 。 ：l 一尺1 l 一z l 1 q 一尺乙一1 - i 。- , 。+ 圣： ，k = t 卫。弦。，嘶= r ， 于是一而尺乃一。- 1 乃一。q q = 而一五k = 而一 三 c y 一。 令。= 飞码- 1 - ! - 1 q + 乙_ 1 - 1 , = 吼圳。厶_ ( o 吨撕旷则 巧1 = y 一1 y n 五 ；d 矗 = 旺甜列( 苫剖( 电) ( 苫剖卧却乙_ i - i 厶 令前移算子【厂和后移算子【，分别为 ，o i le u = l l p 贝u u ( 三 = ( ； ，c ，。，u 。= c 。，。 o i u - ：l l 。 巧1 ：= a f 工t 1 7 r ( ；) 2 ：一。一1 ( 。，) 同样有巧1 = z 乒z ，矿r ( 三 瓦一。一1 ( ，。) 5 ，、， 、 0 0 0 采 墨x = = q 一d乙识邓 则 、， 0 p 0 、， 0 o o 一u u 得巧1 一u 巧1 u = x x o y u z z o 聊 依次可得，u ”巧1 u ”一u 川玎1 u m ”= u ”瓶。1 y u ”一u 肿1 z z 。w u 卅1 ，将 式加到式， 将 得，巧1 = k = o 巧1 - - ( x u x 巧1 = x o 0 墨而 x rx n 一1 d = 巧1 只一只石1 最 一1 z 一。0 z - n + lz 一4 乙l t 2 即 u ”x ，西昭_ 妻： 一c 汜u 2 z u 肘1 z ，扰昭肛， y oy 一、 0 y o ： 00 ，p 、 只) 一引z 0 。1 ( 另 再由乙r 1 = 。一而。1 三 t 儿。少一。，即得公式。 3 2 含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵可逆的条件 6 0 蟛 ： 0 oo 删勿矿 。心 一阿 扩 聊一旷 0 、 弓最一一乙曩忍 一 一 只只一一而 o o ； b ； d d 1 一 一 一 一 ； 2 l 儿 oh 蜘o ；o 唯心 。 奇 嵋o ；o o 0 ； 一 ， o o 乙 o； k 一 再；五恐； g o h b e r g 等在定理3 1 中假设了含单位元环上有限t o e p l i t z 矩阵疋和l 一。都可 定理3 2 令l = a k - j ：乒。是含单位元环吼上一个矩阵，其中的数值元素 a t 吼，k = 一，z ，0 ，l ，若l l 可逆，且肛= a o - r t _ , - i q 或pt _ a o - o 乙一1 1 r 之 x = 兰 ，z = ： ，y = c 卫。，= t w o ， x o = y o = 肛，z 。= w o = 肛r 1 可逆，且l 的逆和r n 一。的逆分别由上面的公式1 和公式2 证明：乙= a oa 一1 q口o a a n 一1 ：f ，口。r ：一 q乙一q ( 耋甜3 一b q 舻1 r 麓乜；) 晚3一(一r五苫1q互：一。qxjq+tn-1-1q ( 嘞一尺0 乙- l 卅ql ! ：一。lq互一，_ 1 ll 一。叫 r q 剖= ( 三珧剖喉黜( 乏 = 、e i 擘烈r 妈e _ ! ：一1 )、i7 ：l 一。_ 八qz 一。八一q 瓦一。1 瓦一，_ i (e一尺一-1)(耋乙r0一。) ( 一不- p 1 - 1 q ；) = ( 0 芝。)i ， 八q 乙一。八一不，ji瓦一。 乙= ( 三一r z n - l - i ) 。1 ( 苫。 ( 一z e ，一。q ； 。1 由于可逆，若：z = a o - r 。q 可逆删昨。卜逆，于是乃可逆，又 7 肿； 咕舢叫：砌 乙= ( 麓t 甜1r q 乃：一。 嘞一r 翟一q 2 ( 舌芝。) ( 苫z ! ：一。) ( 耋。 ( 苫剖陌廿 是 ( e 1 l q 乙一。_ 1 0、一1 乙一，。j 一- 一1 = ( 乏芝。) - l ( 乞1 ， ( 苫乇! ：一1 ) ( 1 芝， ( 三芝。厂 = ie 坦荆默1 陌亦一孑 = ( 一一：。一。q ； ( 苫z ! ：一。i ( - 0 1 一肛一r ，乙1 。1 = ( 一t 。_ 二- i qz ! ：一) ( p 0 一肛。1 ：1 。1 一l 一一q z _ l _ 1 j l ， j ：(一肛一l。a乇-一l。一，qp一。-1t-i乙rth一_。fqlrt,_1-1+ 一，一。i 一工l 以z 一_ 1 q p - 1 z - | 川q + 一，- 1j 于是而= y 。= p ；同样，( 一q 乏r 。兰 ( ： ( 三一j 1 r = ( 奄1 三 乃= ( 一q 乏一。一。兰) 一( 菇1 三 ( 三一乙j 1 r 。 若= 口。一q 乙一- 一1 r 可逆，则( 乙孑_ 三) 可逆，于是乃可逆，又 瓦= ( 否：兰 ( 乙- 。i 一三 ( 巧1 艺) ，( z - 。i q 三 ( 1 肛0 一) = ，。于是 吖= r 1 鼍静t - 一1 一叫1 2 1 卜圹1 。1 n 一1 l 肛- 1 。一f 2 f 1 j 。， 。 再由定理3 1 的证明可知，定理3 2 的结论成立。 4 复域上与循环矩阵交换的反对称矩阵的代数 域f 上一个向量空间a 叫做域f 上的代数【1 9 】，如果除数乘( 用口a 表示，口f ， 8 、l一、一、 a a ) 和么的加法运算( 用+ 表示) 外，彳中还定义有一个乘法运算( 用表示或 用幻表示运算结果，口，b a ) 满足下列条件： + i ) a ( 6 + c ) = a b + a c ，( 6 + c ) a = b a + c a ，v a ，b ，c a ： i i ) a ( a b ) = ( e t a ) b = a ( a b ) ，v a ，b a ，v 口f 。 4 1 循环矩阵与反循环矩阵 定义4 1 1 【2 0 】n 阶方阵c c 舢称为复域c 循环t o e p l i t z 矩阵或循环矩阵， 其巾， c = 简记为c = c i r c ( t 。，f 。，t 川) 。特别地，循环t o 印1 i t z 矩阵0 称为单位循环矩 阵，如果 c c i r c ( o 1 0 叫潍 。 = ，o ) = l ，：1i 。 定义4 1 2n 阶方阵s c 称为反循环t o e p l i t z 矩阵或反循环矩阵，其中， 如果 s = t o 一乙- l 岛 一一乞 简记为s = o p p c i r c ( t o ，t n 一。) ，特别地，循环矩阵毒称为单位反循环矩阵， s 4 c i r c ( o l o - o ) ：巴针n - = ，o ) = i ，n 1l 。 定义4 1 3 玎阶方阵称为单位t o 印l i t z 矩阵其中，= i 吕厶0 - 1i， 刀阶方阵；称为次单位t o 印l i t z 矩阵其中，= ，三 。 引理4 1 4 对于反循环矩阵s 和单位反循环矩阵毒有如下结论： ( 1 ) n h t = ( “s ) ；：，故毒是正交矩阵； ( 2 ( 3 ) z 是正交矩阵； 证明：由假设归纳知( 幻j = 卿c 讹( 笠。生，1 0 ，o ) ，f = o ，1 ，z 一1 ，( 三) 。：l 。 9 l 2 一 一； o o o ；气 o 之； 0 o o ；气 当待1 时，s 是正交矩阵，假设f l 时( 3 ) h 是正交矩阵， ( ( s ) ) = ( ( s ) 卜1 ( s ) ) = ( s ) ( ( s ) 卜1 ) = ( s ) 。1 ( ( s ) 卜1 ) = ( s ) h ( s ) ) = ( ( 研) 一1 ，即( s ) 是正 交矩阵。 n - 1 ( 3 ) s = ( s ) 7 。 s = o p p c i r c ( t o ，乙一1 ) = t o o p p c i r c ( 1 ，o ，o ) + t l o p p c i r c ( o ，1 ，o ) + + 乙一l o p p c i r c ( o ，0 ，1 = 卿c f w ( 必，10 ，o ) = ( s ) 。0 i i = o 引理4 1 5 对于任一t o e p l i t z 矩阵 t = t o f - l乇 l n + l t 斛2 都可以分解为循环矩阵和反循环矩阵之和。这是因为 i 1 i i 1 t = ( c + s ) ，p = ( c ”一f 1 ) ，f = 1 ，刀一1 ， n - i i 一1 “ 1n - i l j 一1 丁= f o n 丁+ r = t o z + 寺( c + 跗+ 寺艺t ，( u - - s - ) = t o z + 寺 + t 州) c + 寺( 一t - + i ) s 令q = 吉( + t 州) ，_ = 吉( 一t - n + 1 ) ，f = 1 ，珂一1 ，c = t o i + qc ，s = 墨s c 和s 分别为循环t o e p l i t z 矩阵和反循环t o e p l i t z 矩阵。 定理4 1 6 全体循环矩阵c 构成一个交换除环，可逆循环矩阵c 构成一个域。 证明：首先若g 与q 都是刀阶循环矩阵，则g + q 也是，z 阶循环矩阵，q g 也是n 阶循环矩阵，且c 1 c 2 = c ：c l 。若循环矩阵c 可逆，则c 一1 也是循环矩阵。得 证。 定理4 1 7 全体反循环矩阵s 构成一个交换除环，可逆反循环矩阵s 构成一 个域。 证明：首先若s 与是都是胛阶反循环矩阵，则s + 足也是n 阶反循环矩阵，墨岛 也是n 阶反循环矩阵，且s 是= 是墨。若反循环矩阵s 可逆，则s 一，也是反循环矩阵。 得证。 4 2 复域上的循环t o e p l i t z 型代数 x c + c x = 0 ，x g l ( n ，c ) 和石c + c - x = 0 ，x g l ( n ，c ) 分别形成了域上的循 l o l， o o ；岛 环t o e p l i t z 型代数 2 1 1 。 引理4 2 1朋+ c x 一0 ，x g l ( 刀，c ) ，c 是循环矩阵的充分条件是 x + x 一0 ，x c + c x 一0 ，x g l ( n ，c ) ，c “是单位循环矩阵。 证明：c 是循环矩阵，即c = c i r c ( t 。即t t ) ，二为单位循环矩阵，即 e = c f 以0 , 1 0 , - 0 ) = i ? ，。n - 1l 。由于( 苫) ，o ：，故。是正交矩阵。由假设 归纳知( c ) = c 讹( 坠2 ，1 0 ，o ) ，i = o ，l ，1 一，l 一1 ，( 6 ) n ：l 。当江l 时，0 是正 交矩阵，假设i - 1 时( c ，是正交矩阵， ( ( c ) ) = ( ( c ) 一1 ( c ) ) = ( c ) ( ( c ) 一1 ) = ( c ) 一1 ( ( c ) 一1 ) 一1 = ( c ) 卜1 ( c ) ) 一1 = ( ( c ) ) 一1 ， 即( c ) ，是正交矩阵。而 c = c i r c ( t o ，乙一1 ) = t o c i r c ( 1 ，0 ，0 ) + t l c i r c ( o ，1 ，0 ) + + 乙一l c i r c ( o ，o ，1 ) = c 讹( 坚，l v ，1 0 一，0 ) = ( c ) i = 0 f j - o x c + c x t _ x ( ( c ) ) + ( ( c ) ) x 故 = t o ( x + x s + t 1 ( x c + c x - ) + + f 川( x ( c ) ”1 + ( c ) ”1 x i ) x + x 、= 0 ( 1 ) x c + c x - o ( 2 ) z ( c ) 2 + ( c ) 2 x t _ 0 ( 3 ) jx c + 凹= o ，x g l ( n ，c ) 。 ； ； x ( 分t + ( 分x - o 刀 下证 x c + c x k0， x c 幻2 + p 2 黔。 未嚣兰。 x ( c ) ”+ ( c ) ”1 x = 0 必要性显然，只证充分性。将( 1 ) 式x + x = o 代入( 2 ) 式x6 + 0 x ko 及0i f _ 交，可得 x = ( c ) x c = ( c ) ( ( c ) x c ) c = ( ( c ) - ) 2 x ( c ) 2 = ( c ) ( ( ( c ) f ) 2 x ( c ) 2 ) c = ( ( c ) ) 3 彳( c ) 3 = = ( ( c ) i ) n - i x ( c ) 川 即( 1 ) 式与( 2 ) 式推出( 3 ) 式到( n ) 式，充分性得证。引理证毕。 引理4 2 2x c + c x = o ，x g l ( n ，c ) ，c 是循环矩阵的充分条件是 x - + 夏：o ，x c + c i = o ，x g l ( n ，c ) ，6 是单位循环矩阵。 一：xt(艺袖r)+(n-ix c + c x 谚 = x ( ( c ) ) + ( ( c ) ) x 证明： 等 持o 故 下证 = t o ( x + x ) + ( x c + c x ) + + 乙一l ( x ( c ) 川+ ( c ) n - i x ) x + x = 0 一 ( 1 ) 彳c + c x = 0 ( 2 ) 五t ( c ) 2 + ( c ) 2 叉= 0 ( 3 ) x c + c z = 0