（工程力学专业论文）一种小变形弹塑性本构模型对金属材料单轴循环加载的模拟.pdf

摘要 l1 1 0 1 11 11qllli ii i i ii i i i i i1 1 1 1 1 1 1 i y 17 4 6 3 6 0 摘要 在重复荷载下的金属材料，不可避免的产生疲劳破坏，对这些破坏的预测 和研究一直没有间断过。本构方程是一种研究生应力增量与应变增量之间关系 的数学方程。由于应力，应变变化是非线性的，所以这个方程的建立和在实际 应用方面研究存在诸多难点，例如参数多且难确定，数值计算复杂等。目前研 究的本构模型集中于五种模型，对于新模型的开发较少。本论文采用的本构模 型且无应用于单轴循环加载模拟的先例。为本论文一大新点。所以本论文主要 是将这种模型应用于金属材料的单轴循环加载的模拟。主要工作如下： ( 1 ) ：从理论上分析了循环加载和单轴单调加载的区别，结合一些学者作的 己有实验结果，由此预测了金属材料在单轴单调循环加载下可能出现象，以及 一些研究本构方程和循环加载的力学知识。为下几章节本构方程的理解和本构 方程在金属材料的应用提供理论前提。 ( 2 ) ：本论文采用的本构模型为一种小变形的l a g r a n g e 弹塑性本构模型。基 于i l y u s h i n 假设，用背应力定义了塑性应变，结果从i l y u s h i n 假设得到了背应力 的增量规律。由此基础上导致了i l y u s h i n 假设的流动法贝0 等效于随动强化法则。 并且讨论证了它能够描述复杂的弹塑性特性。并且从理论上分析了这个本构方 程在描述金属材料单轴加载过程。 ( 3 ) ：确定了小变形弹塑性本构方程的未知表达式的形式，和参数。采用了 计算和试错法相结合的方法。对3 1 6 l 不锈钢进行了应变控制下的单轴循环加载 过程。 关键词：弹塑性本构方程；单轴循环加载；小变形；图形返回算法； i i ，一 a b s t r a c t a b s t r a c t a m a j o rc o n c e r ni nm e t a l l i cm a t e r i a lu n d e rt h ec y c l i cl o a d i n gi su n e x p e c t e d f a t i g u ef a i l u r e s c o n s t u t u t i v er e l a t i o n s h i pi sam a t hr a l a t i o n s h i pw h i c hr e s e a r c ht h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ns t r e s sa n ds t r a i n b e c a u s et h ec h a n g e a b o u ts t r e s sa n ds t r a i ni s n o n l i n e a r , t h ee q u a t i o n se s t a b l i s h m e n ta n ds t u d i e si st h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o na s p e c t h a sm a n yd i f f i c u l t i e s ，s u c ha s1 0 t so fp a r a m e t e r ，t h ed i f f i c u l td e t e r m i n ea n dc o m p l e x n u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n ds oo n a tp r e s e n t ，s t u d i e si nt h i sm o d e l l i n g sc e n t r a t ei n f i v ek i n d so fm o d e l s r e g a r d i n gt h en e wm o d e l sa r ef e w t h ec o n s t i t u t i v ei nt h ep a p e r r e l a t i o n s h i p w h i c hi su s e di nt h e s i n g l ea x l ec y c l i cl o a d i n gs i m u l a t i o n i sn o r e s p o n s e i ti sab i gn e ws p o t t h e r e f o r et h em a i nt h i n g si nt h ep r e s e n tp a p e ra p p l y t h i sk i n do fm o d e li nu n i a x i a lc y c l i cl o a d i n ga b o u tt h em e t a l l i cm a t e r i a l t h em a i n e l e m e n t si n c l u d e di nt h i sa r t i c l ea r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) ：f i r s t l yih a sa n a l y z e dt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ec y c l i cl o a d i n ga n dt h e s i n g l el o a d i n gt h e o r e t i c a l l y , a n ds o m ee x p e d m e n t a lr e s u l t sw h i c hm a n ys c h o l a r s d o f r o mt h e s er e s u l t s ，w ef o r e c a s ts o m ep o s s i b l er e s u l t sa b o u tm e t a l l i cm a t e r i a l s u n d e ru n i a x i a lc y c l i cl o a d i n g b e s i d e ss o m em e c h a n i c sk n o w l e d g ea b o u tc o n s t i t u t i v e e q u a t i o na n dt h ec y c l i cl o a d i n g t h e s et h e o r i e sa r eu s e df o rt h en e x ts e v e r a lc h a p t e r s ( 2 ) ：t h i sm o d e l l i n gu s e di nt h ep r e s e n tp a p e ri so n e k i n do fs m a l ld i s t o r t i o n l a g r a n g ee l a s t i c - p l a s t i cc o n s t i t u t i v er e l a t i o n b a s e do nt h ei l y u s h i ns u p p o s t i o n ，i th a s d e f i n e dt h ep l a s t i cs t r a i nw i t ht h eb a c ks t r e s s t h er e s u l to b t a i n e dt h eb a c ks t r e s s i n c r e a s e m e n tr u l ef r o mt h ei l y u s h i ns u p p o s i t i o n f r o mt h i si th a sc a u s e dt h ei l y u s h i n s u p p o s i t o nt h es a m ea sf l o wr u l e a n di t i sp r o v e dt h a ti s i sa b l et od e s c r i b et h e c o m p l e xe l a s t i c p l a s t i cc h a r a c t e r s b e s i d e si th a sa n a l y z e dt h i sc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n i nt h ed e s c r i p t o nm e t a l l i cm a t e r i a lu n d e rs i n g l ea x l el o a dp r o c e s st h e o r e t i c a l l y ( 3 ) ：t h i sc h a p t e rh a sd e t e r m i n e du n k o n we x p r e s s i o nf o r ma n ds o m ep a r a m e t e r s i na b o v ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o n iu s et h em a t hm e t h o da n dt h et r i a l - c o r r e c te r r o r m e t h o d b e s i d e sih a sc a r r i e do nu n d e rt h es t r a i nc o n t r o ls i n g l ea x l ec y c l i cl o a d i n g p r o c e s s t ot h e316 ls t r a i n l e s ss t e e l i i i a b s t r a c t e l a s t i c p l a s t i c c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p ；u n i a x i a lc y c l i c r e t u r nm a p p i n ga l g o r i t h m ； i v 目录 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 金属材料的棘轮效应的研究进展。1 1 2 1 金属材料的棘轮效应的实验的研究进展l 1 2 2 金属材料的棘轮效应的本构模型的研究进展3 1 2 3 本构模型数值计算的发展现状6 1 3 本文的主要工作8 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论9 2 1 绪言9 2 2 循环加载过程的分析1 0 2 3 循环加载的本构模型13 2 3 1 本构模型的基本假设1 3 2 3 2 本构模型的推导原理1 5 2 3 3 各向同性物质单轴应力的本构模型1 7 2 4 本构模型的数值计算2 0 2 4 1 本构模型的数值计算原理2 0 2 4 2 数值计算方法的误差分析2 2 2 5 本章小结2 4 第三章新型l a g r a n g e 小变形单轴循环加载本构模型2 5 3 1 绪言2 5 3 2 本构模型参数的确定2 5 3 2 1 本构模型未知表达式的确定2 5 3 2 2 本构模型未知参数的确定2 6 v 目录 3 3 本构模型对循环加载的本构模拟3 1 3 3 1 本构方程的离散：3 1 3 3 2 应变控制的循环加载的本构模拟过程：3 3 3 3 3 应力控制的循环加载的本构模拟过程：。3 9 3 4 本章小结4 2 第四章新型弹塑性本构模型单轴循环加载实例4 3 4 1 绪言4 3 4 2 新型弹塑性本构模型参数的确定4 3 4 3 新型弹塑性本构模型模拟图形4 5 4 4 新型弹塑性本构模型模拟结果评价4 8 4 5 本章小结4 9 第五章结论与展望5 0 5 1 结论5 0 5 2 进一步的工作方向5 0 致谢。5 2 参考文献- 5 3 攻读学位期间参与的项目及研究成果5 7 v i 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 现今学者们对核反应设施，化工容器等设备的疲劳损耗投入了极大的关注。 而正是地震，恶劣的天气和机械和天气热等这些环境所产生的重复循环荷载引 起了这些设备局部的疲劳裂缝。在循环荷载作用下，即使应力循环在弹力范围 之内，甚至是在材料设计的弹性范围内，结构的各部份可能会在应力的反复作 用下使其越过了使用材料的弹性极限i l i 。在这种弹性加载范围内，产生了逐步 累积的塑性变形区的应力或应变的行为即为棘轮现象。而且被证实棘轮现象的 存在减少了材料的疲劳寿命，给材料带来了极大的损耗。 当材料本身没有缺陷或者没有经受不恰当的荷载时，材料还是发生了疲劳 损伤，这时就无法确定发生此现象的根本原因了。而且无法确定是否任何疲劳 损伤都是由棘轮破坏引起的。棘轮破坏理论自身学者们也没有很准确地对其了 解。目前学术界流行的几种模型都没无法很精确地模拟结构的棘轮响应。而且 这些由于自身参数众多，在应用过程中遇到各种数值计算的难题。这些本构模 型的建立和数值计算正是此研究方面的研究热点。 1 2 金属材料的棘轮效应的研究进展 1 2 1 金属材料的棘轮效应的实验的研究进展 理论的总结都来源于实验的研究，由于在应变控制下揭示的材料循环塑性 不能全面反映材料变形行为，所以应力控制下的棘轮效应的研究具有重要的理 论意义和工程应用价值。 国内外学者对大量金属材料在循环加载路径下做了很多实验，并且研发了 不少先进实验设备( 如m t s 、n i s t r o n 等) 。杨显杰，高庆等人对循环软化材料 纯铝，4 5 碳钢，循环软化材料3 0 4 不锈钢，3 1 6 l 不锈钢， 2 1 1 3 11 4 11 5 1 1 伽1 1 】【8 l 在单 轴循环行为下的棘轮现象进行了研究，得到了一些有用的结论。单轴条件下常 用棘轮应变随着循环次数的变化的情况定义的棘轮应变率概念： ，一一 第一章绪论 ，d e ， d 占= 上 一d n 基本学术界公认为常温下影响棘轮现象的试验因素有：应力幅值，平均应 力，平均应力历史，应力幅值历史，应变历史和加载速率等。 1 2 1 1 单轴加载下应力幅值的影响 随着应力幅值的增加，初始棘轮应变率也随之增加。 1 2 1 2 单轴加载下平均应力的影响 在应力幅值保持定值的前提下，在某一具体定值的平均应力的下，棘轮应 变率先是衰减，然后达到一个常数状态( 即安定状态) ；若再次增加平均应力 值，又产生新的棘轮现象，但最终仍会达到新的安定状态。1 2 1 【3 1 并且平均应力的方向与棘轮变形发展的方向一致，即平均应力为负值时棘 轮变形率为负值，平均应力为负值时棘轮变形率也为负值。 1 2 1 3 单轴加载下应变幅值的影响 杨显杰等人对纯铝的研究得：应变幅值增大，其循环饱和应力幅值也增大， 此材料的循环硬软化强烈地依赖于应变幅值。杨显杰等人3 1 6 l 不锈钢的单轴 循环应变幅值的研究也得到了相似的结论州怛7 。但纯铝对先前应变幅值下的 循环行为的记忆效应很不明显，可以忽略不计。而3 1 6 l 不锈钢却有明显的记忆 效应。1 5 1 1 伽1 i 1 【8 1 1 2 1 4 单轴加载下平均应变的影响 杨显杰等人对纯铝的研究得到：在应变幅值一定的条件下，循环饱和应力 幅值不受平均应变的影响，平均应变对此材料的循环饱和行为没有影响。即相 同应变幅值下在上述工况的不同平均应变下的循环饱和滞后圈图的形状和大小 基本没有差别。1 9 1 1 0 j 【1 1 1 杨显杰等人对3 1 6 l 不锈钢的研究得到2 8 9 1 ：当应变幅值较大时，较大的 平均应变对材料的饱和行为的影响很小；而当应变幅值较小时，较大的平均应 变对循环变形行为的影响却是明显的p wp 。 1 2 1 5 单轴加载情况下平均应力历史的影响 康国政等人对3 1 6 l 不锈钢的研究得到结论认为p 川：棘轮应变和棘轮应变 率随着平均应力的增大而增大；在同一级加载工况下，棘轮应变率随着循环次 数的增加而下降，且在循环开始几周时的下降速率较大p 引；棘轮行为对先前较 2 第一章绪论 大应力水平下的棘轮循环历史的饱和状态有记忆效应，即在先前较大平均应力 棘轮循环历史下材料达到饱和，那么材料将产生循环硬化，导致变形阻力增大， 抑制后续较低平均应力下的棘轮循环的棘轮变形。【9 】【l 们n 1 1 1 1 1 2 1 6 单轴加载情况下应力幅值历史的影响 对1 0 7 0 钢实验研究表明0 4 1 ：当平均应力一定而应力幅值变化时，同一加 载工况下的棘轮应变率随着循环次数的增加而减少。对3 0 4 不锈钢的研究表明 0 2 1 ：它的后继较小应力幅值加载循环基本上不再产生棘轮应变；先前较小应力 幅值棘轮历史对3 0 4 不锈钢材料的后继较大应力幅值下的棘轮安定状态基本不 影响。杨显杰等人对3 1 6 l 的研究表明p 引：当平均应力相同时，棘轮应变率随 着应力幅值的增大而增大：对于先前应力幅值，棘轮效应有记忆效应。 1 2 1 7 单轴加载情况下应变循环的影响 对3 1 6 l 不锈钢p 6 1 ，纯铝和3 0 4 不锈钢的研究表明【9 l 【1 0 】【1 1 i ：先前应变循环 导致了材料的硬化，抑制了后继棘轮行为的产生。 此外加载速率，温度，多轴加载等情况都会棘轮变形产生或多或少的影响， 这里我不作讨论。 1 2 2 金属材料的棘轮效应的本构模型的研究进展 本构关系是一种材料在变形过程中必须遵守的客观规律，是材料的固有属 性。将这些规律以数学公式的形式表现出来，并通过这些公式的计算从而预测 出材料变形的实际行为，这就是材料的本构建模过程p7 。故学术界预测棘轮现 象最可靠及最常用的方法就是先给出材料的棘轮本构模型，用这些模型的数值 解来预防及减轻棘轮效应对材料的破坏。 而本构模型的建立是一个复杂而艰巨的力学和数学过程。首先要对材料变 形的客观规律有一个客观认识，所以上一节我们做了大量的实验研究。然后将 这些正确认识公式化模型化从而得到可靠的本构模则是这一节讨论的重点。学 者们建立了不同的本构理论，最常用的为弹塑性本构理论，它解决了材料宏观 弹塑性本构建模的难题。 目前应用比较广泛、能够描述棘轮效应的循环本构模型的率无关塑性模型 为：1 1 2 j 厂21 v o n - - m i s e s 屈服准则：f ( c r 一垡) = l 妄 一a ) ：一a ) l = 盯。( 1 2 ) - - 。1 。一 第一章绪论 判定材料处于何种状态，是否发生塑性变形。 应变分解d e = d e 8 + d e v 将总应变分为弹性和塑性应变两部分，弹性应变遵循 胡克定律：d e 8 = 半d 垡一面vt r ( d g ) i ， 而塑性应变遵循流动法则： d s p ：土笪：a 盯望 一h a g- a g 占p 一塑性应变张量； 口一应力空间当前屈服面的中心； 堡一偏应力空间当前屈服面的中心； s 一偏应力张量； 盯一应力张量； 仃。一屈服面的大小； e 一弹性模量： h 一塑性模量； 以上方程式是所有弹塑性本构方程的基本构成。 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 由于在循环加载下，材料基本都会表现出循环软化或循环硬化行为，这一 特征通过各向同性强化准则得到体现p 引。但循环达到一定次数以后，循环软化 或循环硬化行为趋于停止，屈服面形状保持稳定。屈服面形状上的改变通过各 向同性强化法则得到了体现。但是，循环之后甚至是材料稳定之后棘轮现象仍 存在。因此，随动强化法则被认为是棘轮现象的首要原因，而各向同性强化法 则一要是在初始循环时影响棘轮速度的改变。一般来说【3 9 1 ，循环硬化行为可以 降低材料的棘轮应变，而循环软化材料使棘轮应变增加。故一个塑性模型最重 要的特征就是随动强化准则，它决定了背应力的增加。 故现在广泛应用的不同的本构模型主要区别在确定背应力a 和塑性模量h 的方法上。 目前所有有用的各向同性强化模型无法模拟应力控制下的循环软，硬化行 为。因此，为了评估模型最基本的棘轮方面，这些研究从本构方程中除去了各 向同性加载特征。主要有五种类型。 1 3 l 1 1 4 1 1 9 l1 2 0 l 4 第一章绪论 ( 1 ) ：b i l i n e a r 本构模型( x 2 线性模型) d a = c d c p ( 1 6 ) 这种模型材料应力应变关系被一个线性弹性和线性塑性部分所表现。优点 在于只有一个塑性参数c ，很易确定。 ( 2 ) ：m u l t i l i n e a r 本构模型 盯= e t l 占l + f 2 s 2 + ，3 占3 + f 4 9 】 铲学以= 学； ( 1 7 ) 铲毕以= 譬 单轴的应力应变响应被许多线性部分模拟，但是经学者验证，它在描述棘轮现 象时很失败。 ( 3 ) c h a b o c h e 本构模型 d a = 兰c d e p 一厂鱼印 勿：环砂畦p 。名5 8 1 这个模型在小变形范围内能很好地模拟出应力应变响应的线性部分，但在大应 变范围内不适用。因此c h a b o c h e 后来又提出将几个a f 方程叠加：( 1 9 7 9 ， 1 9 8 6 ) 4 6 1 口= 8 1 ( 1 9 ) 1 6 1 1 1 6 3 d a i = c i d e j 口一以口，d 翌( f = 1 ，2 ，3 ) 进一步改进，c h a b o c h e ( 1 9 9 1 ) 提到了合为四个： 电= c 4 d 墨p - y 4 ( ，一矧叫翌 ( 1 1 0 ) 6 0 1 6 2 1 式中的为m c c u a l e y , 这个强化律中 4 7 1 ，当背应力小于门槛值时，为线 性强化；当达到门槛值时，变成非线性强化，因此可以使预测的棘轮应变减小。 这个叠加的模型能很好地模拟应力应变和单轴情况的棘轮响应，但对多轴 5 第一章绪论 情况的描述不尽如人意。 ( 4 ) 改进c h a b o c h e 本构模型 d a = yd a ， 一一二 电= 詈e 趔吖b + ( 1 地：丝k 扬( h ，2 ，3 ) ( 1 1 1 ) 郴j 地争2 赋哨如+ ( 1 _ 万m 逸】( - 一互f ( a 4 ) l 印 这个模型增加了多轴棘轮现象的模拟，多轴参数没有影响到单轴加载响应 的模拟，但在多轴棘轮模拟时起了关键作用。 ( 5 ) o h n o - w a n g 本构模型 d a = md q 。 ( 1 1 2 ) m 】 。 ( 1 1 2 ) h 9 1 电= 2 c i d e _ p - y , b + ( 1 _ 地丝逸忙应) ( 筹 “m 懈， 此模型在后来还添加了一些参数，更好了地描述了多轴棘轮现象5 0 1 5 1 1 5 2 1 。 由于本论文没有使用以上几个模型，所以只是做了简单了解，其中参数就 不加以详细说明了。例举这几个模型是为了解现在学者对循环本构模型的研究 进展。这些模型发展较为成熟，不仅应用于单轴循环加载，还应用于多轴循环 加载。 1 2 3 本构模型数值计算的发展现状 由于本构方程参数较多且型式复杂，所以它的解析解是不可能得到了，我 们只能用数值解对其进行模拟。1 5 6 1 【5 2 】 5 7 1 数值算法分为经典和图形返回算法两大类，由于经典算法的在误差上的积 累难以控制，所以后来学者又研究到了图形返回算法，对上节一些常用的本构 模型的试用中，图形返回算法明显优于经典的数值算法。 5 9 1 5 悖1 由于本构方程基本为增量方程，所以数值方面存在三大类：显式，半隐式 6 第一章绪论 和隐式方法。经典算法用到了常用的数值分析方法，e u l e r 法，b a c k w a r e u l e r 法， r u n g e k u t t a 法。其基本思想为将塑性模量用这几种方法进行近似模似。 以外，在计算力学方面还有适用性强，精确性高的图形返回算法( r e t u r n m a p p i n ga l g o r i t h m ) ，它的基本思想为，2 4 1 先假定应力增量为弹性，给一个初始的 弹性预测步，包括( 在应力空间) 对屈服表面的偏离，然后用屈服函数验证是 否为弹性，如果不是，则给一个塑性修正量，使应力返回初始或更新后屈服表 面。这方法可以基于不同的积分算法：生成中点法或r u n g e k u t t a 法或 b a c k w a r e u l e r 法h 引。故该方法的两个组成部分是一个积分算法，它将一组本构 方程转换为一组非线性方程组，和一个对非线性代数方程的求解算法。在计算 力学中，n e w t o n r a p h s o n 法被证实解非线性方程组很有效。这种方法在应力控 制加载步和应变控制加载步都适用。 这些算法的关键是对一致弹塑性切线刚度矩阵的推导。 以上的图形返回算法中都是应变增量控制应力增量的计算，有学者也将以 上方法稍作改进，应用到应力增量控制应变增量的计算，叫应力返回算法m i 。 这个算法保持离散方程与前面的相似，计算方法也相似。 在隐式方法中，需要合适的切线模量。由于在屈服时突然转化为塑性行为， 连续体弹塑性切线模量可能引起伪卸载和伪加载。为了避免这一点，采用了一 个基于本构积分算法的系统化的算法模量( 也称一致切线模量) ，代替了连续体 弹塑性切向模量。向后e u l e r 更新算法切线模量定义为c 引s = i 半l 1 9 1 以下是几种学者己经推导出的几个一致弹塑性切线刚度矩阵0 “”1 在弹塑性框架下a f 模型和o h n o - w a n g 模型i 推导的一致性切线刚度矩 阵的表达式如下：( t s l1 4 6 ) 1 4 7 竺兰盟= d 。一4 g l - ! ，：，j(1。1 4 ) 糯“ “ k 。= 2 饼+ 姜+ 氧觏 n + lp g n + l + 亏2 惫( ，- - f n + 1 p f n + ! ) ( 1 1 5 ) k a n g 在粘塑性框架下采用隐式积分法对a b d e l k a r i m 一0 h n o 模型进行了数 值实现，并采用u m a t 用户子程序移植到a b a q u s 中，【4 8 l 对工程构件棘轮效应的 模拟取得了很好的结果。他推导的一致性切线刚度矩阵的表达式如下： 7 第一章绪论 挚：d e 一4 g ( 最：最。) ：厶 抛六+ l 一” ”74 k 。讲( 2 g i + 虹t = l 耻三彳。) + 肛川 1 3 本文的主要工作 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 ) ：从理论上分析了循环加载和单轴单调加载的区别，结合一些学者作的 己有实验结果，由此预测了金属材料在单轴单调循环加载下可能出现象，以及 一些研究本构方程和循环加载的力学知识。为下几章节本构方程的理解和本构 方程在金属材料的应用提供理论前提。 ( 2 ) ：本论文采用的本构模型为一种小变形的l a g r a n g e 弹塑性本构模型。基 于i l y u s h i n 假设，用背应力定义了塑性应变，结果从i l y u s h i n 假设得到了背应力 的增量规律。由此基础上导致了i l y u s h i n 假设的流动法则等效于随动强化法则。 并且讨论证了它能够描述复杂的弹塑性特性。并且从理论上分析了这个本构方 程在描述金属材料单轴加载过程。 ( 3 ) ：确定了小变形弹塑性本构方程的未知表达式的形式，和参数。采用了 计算和试错法相结合的方法。对3 1 6 l 不锈钢进行了应变控制下的单轴循环加载 过程。 8 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本 理论 2 1 绪言 一般情况下，材料在单- a n 载状态并在弹性范围内时物质微元体的应力，应 力近似为直线关系。然而，材料在许多特定的外界环境和加载状态下，尤其是循 环加载状态下，应力与应变己不再具有单一的对应关系，而是一种复杂的非线性 关系。这种关系的复杂性导致了材料明明是在弹性范围内加卸载，却出现了塑性 行为现象。特别是循环加载的反向加载情况时，更与正向加载有很大的不同，最 常见的就是我们力学人士所熟知的包氏效应。 故研究循环加载情况下的本构方程己不再采用简单研究的全量理论，而是清 一色地采用增量理论，将应力增量屿应变增量占之间的关系表示为任意的随 时间递增的函数( 在率无关塑性本构关系中没有需要一定是牛顿时间) 。并在方 程中引进一组称之为内变量的宏观参量来一步步地刻画加载历史，并且反应了材 料在塑性变形下的内部微观结构的变化。 由于本构方程是材料的数学行为的描述，而循环加载这一复杂情况直接导致 了本构方程具有形式复杂性，未知参数众多，难以求解的特点。而且，目前没有 任何一种本构方程能准确预测出所有材料在循环加载情况下的状态。所以材料循 环加载的本构模型以及数值计算的理论研究对材料的应用大有帮助。 在数值求解方面，由于本构方程是增量方程，所以一般的数学方法无法解解 决这些非线性方程组，故数值计算更是一大难点。目前最先进，且精确度最高的 为径向返回算法( r e t u r n m a p p i n ga l g o r i t h m ) 。但己有学者对传统的数值算法加以改 进，也有较高的准确性，如p e t e r w c h r i s t e n s e n 在n e w t o nm e t h o d 算法基础上提 出了一种n o n s m o o t hn e w t o nm e t h o d 算法 在塑性本构理论中，主要有两种理论：在应力空间中描述的和应变空间中描 述的。在n a g h d i 和b r o w n 的理论框架下，一种l a g r a n g i a n 有限塑性理论被提出。 这种理论很好地描述了各向异性弹塑性材料的力学行为和应变行为。本论文采用 的本构方程以背应力定义塑性应变历史的泛函。这种塑性应变的定义使得弹性响 9 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 应响应函数有一种特别的形式，使得1 1 y u s h i n 假设的流动法则与随动强化法则在 本质上相等。这样背应力就是弹性范围的几何中心，那么屈服函数的形式也被确 定了。以下是这种本构模型的详细描述以及常用数值算法的应用方法。 2 2 循环加载过程的分析 循环加载过程由于其加载路径的特殊性，会产生与普通单调的加载过程大 不同的现象产生。最常见的就是应变强化和包氏效应。 a 口 一 弹性应变床塑性应变 卜 7 夕2 i 石3 图2 - 1b a u s c h i n g e r 效应示意图 。一a b 为应力从零单调增加到拉伸塑性范围，q a 段为弹性加载阶段， a b 为弹塑性加载阶段。当加载达到b 点时，开始出现卸载现象，卸载至n 点，应力达到零值，而应变却未相应达到零值，是因为这其中有无法恢复的塑 性应变。在这卸载阶段应力应变与。一a 段的应力应变直线的斜率相同，即应 力应变保持直线关系，又称弹性卸载阶段。从n 点反向加载到b 2 点( b 3 ) 点 时开始出现反向塑性应变，因此此点也称为压力后继屈服点，在b 点和b 2 ( b 3 ) 点之间都为弹性范围，这一段的应力应变始终保持弹性关系。( b 2 点为多晶体 的后继压缩屈服点，b 3 为单晶体的后继压缩屈服点。) 但是b 点( 后继拉伸屈 服应力) 和b 2 ( 3 ) 点( 压缩屈服应力) 一般不相同。特别是b 2 点，这种由于 预加塑性拉伸荷载而使压缩屈服应力降低的现象叫做包氏( b a u s c h i n g e r ) 效应。 塑性变形过程是一种各向异性过程，b a u s c h i n g e r 效应是一种由塑性应变引 起的特殊的方向各向异性的形式，因为在后继逆向荷载作用下，一个方向的初 始塑性变形会减小其反方向的屈服应力。 1 0 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 综上所述，这种在拉伸和压缩中，新屈服点出现不等同的b a u s c h i n g e r 现象 的特点在于，重新拉伸时，加载使材料强化或屈服点升高，而在应力或重新压 缩时，加载使材料软化或屈服点降低。 | | 。 一 6 。ir。 拉僻 | 、 j 嘲 压维 | |辽 d e | j ， 图2 - 2 循环加载不恿图 这种加载过程为， o a 段是弹性正向加载过程，盯一g 为直线关系； a _ b 段为正向弹塑性加载过程，这其间盯一s 不再是单调直线关系，其中 塑性变形产生； b 段为卸载过程，仃一s 为直线关系，直线斜率与o a 直线斜率相同； c d 段为反向弹性加载过程，仃一占为直线关系，直线斜率与o a 直线斜 率相同； 啪段为反向弹塑性加载过程，这其间盯一s 也不再是单调直线关系，其 中塑性变形产生； 啪段再次正向弹性加载，但此时的弹性极限值g 点比此前无加载历史 的弹性极限值a 点值要小。 g - h 段又为正向弹塑性加载过程。 这是我们分析一个循环加载过程。我们看到循环加载过程很不同于单调加 载过程，在将这一个过程重复上百次时就会有棘轮现象产生。众所周知，何时 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 发生塑性变形以及整个应变中弹，塑性应变量各占的比例之间的关系都需要加 载准则来测定，特别是弹塑性阶段应力与应变的关系更需要一个本构模型来定 义。对于何时出现了塑性应变这一分界点更是难于鉴定，这需要一个合理淮确 的屈服函数的存在。 对于单轴情况( a ) 弹性与弹塑性的分界为一点应力值，而对于多轴情况( b ) 则 为一个屈服面。 图2 - 3 加载面不意图 屈服面的作用是在应力空间中确定了当前弹性区域的边界。强调当前的原 因是当发生应力状态趋向移出屈服面的状态时，这时是一个加载状态，这时材 料不再是弹性变形，而是弹塑性变形，即发生了塑性变形，而这时原来的屈服 面己无法定义当前的屈服状态，所以原来的屈服面也要相应发生变化，使屈服 面构形发生相应地改变，改变后的屈服面称为后继屈服面，这时当前的应力状 态保持在后继屈服面上。这种情况就是力学上定义的加载过程。当材料发生卸 载过程时，因为这时应力状态的发生趋势是移进屈服面，所以卸载过程时只发 生弹性变形，加载面形状不发生任何变化。还有一个状态就是中性变载过程， 这时的应力点保持在当前屈服面上移动，不移出也不移进，这时只发生弹性变 形。这些分析证明了以上我们对于循环加载过程中出现的弹塑性变形以及纯弹 性变形的分析是有依可据的。于是我们用数学表达式将屈服面定了一个屈服函 数用f 来描述以上三种情况叫加载准则，用下式表达： 1 2 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 f = 0 且罢妲 o n ，加载 u 竺 f = o 且要d 堡：o 时，中性变载 u 竺 f ：0n c 3 fd g o 是一个非负标量 并且试验表明塑性应变增量d s 。的符号与d o - 的方向相同，并且它的方向是 沿着当前加载面的切线方向。 实验还表明在塑性加载时d 占。与d 占的方向相同。 ( 5 ) ：在强化法则中至少要有一个标量参数来描述弹塑性材料的强化行为 就是需要强化参数。这个模型中使用了上式中的各向性强化参数r ，它一 般是塑性变形历史的泛函，此模型中将它定义为累积累计塑性应变 1 4 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 r 2 j d 垒：d 垒) 2 d f ( 2 7 ) 它将初始时刻到此时的任意变形过程的标量塑性应变的累积量表达了出 来，f 是变形过程的参数。 在以上这五点的基础上，建立起了以下的本构模型方程。 2 3 2 本构模型的推导原理 假设弹塑性物质的弹性响应表示为 堡= 吼+ 仃q 一8 p 由 ( 2 8 ) 仃。是背应力，以上己经给了其定义，并且假设塑性应变堡。由仃。定义，这 样本构模型会更简单。此时， 6 ( o ，sp ，确三0 誓是各同性强化参数，它一般都假为是塑性变形历史的泛函， 是累积塑性应变。定义为( 2 7 ) 式。 ( 2 9 ) 在此假设它 首先讨论各向同性弹塑性物质，其弹性常数兄和都一直保持为常量的本构 模型。( 下标横线表示张量) 给出一个应力势函数： 矽缝一墨p ) = 寺旯( 护( 量一曼p ) + 2 ( 曼一曼p ) ( 2 1 0 ) 这样推导出弹性本构表达式： 堡= 垡。+ 允护( 墨一墨，) + 2 ( 墨一量p ) ( 2 1 1 ) 假设应变表述的屈服函数为： g 瞧一曼p ，互p ，里p ) = a t r ( 墨, - _ 8 p ) 2 一r 2 0 ( 2 1 2 ) 这样应力表述的屈服函数为： f ( o - o r , 曼r , e p ) = 4 兰t 二2 护( 璺一垡。) 2 一k 2 o ( 2 1 3 ) 1 5 1 6 第二章材料循环加载的本构模型以及数值计算的基本理论 d 堡= ( 五+ ；) ( f ，( d 墨逛+ ( 2 曼一2 童彳( _ 6 - - _ e p ) ) 塑性加载( 2 2 0 ) 单轴情况的各向同性弹塑性物质，其弹性常数脚都一直保持为常量的本 构模型。 受力状态为盯l = 盯；盯2 = 0 3 = 0 ；仃? = 盯。；o - ；= 盯；= o 仃。为背应力。 g ( 墨。一墨p ，兰p ) = ；( 1 + 。) 2 , 4 1 - 2 0 堡。) 2 一七g p ) 。 c 2 2 ， 加载参数： = g ( 1 + 澎么应+ 了2 a ( 1 + m 一知哆一五2 a ( 1 + 功。一2 咄乜) b 一等g ) g o 塑性加载： 9 2 0 中性加载； g 0 呜= 居p 。 ( 2 3 l a ) 一墨。一1 - i = 2 0 一堡。：+ 1 3 k ，一3 1 b ) e - - ( 2 3 1 b ) 一墨p 一1 矿堡。- + 、| 二以k ， 反向塑性加载：d e 0 ，说明以上预测的应变增量为弹性加载过程的假设不成立，此 时就需要塑性修正值，这个塑性修正值并不是说需要某个精确的值来计算，而 是说明此时加载过程为弹塑性加载，计算应力的方法无法使用计算弹性应力那 样使用胡克定律，而要用塑性应变的算法。 总结起来，整个算法分两步进行，首先假设整个应变增量为弹性应变增量， 然后作必要的修正使其返回到屈服面上。 2 4 2 数值计算方法的误差分析 数值计算方法得到的数值解是代数精确解的近似值，两者之间一定存在一 定的误差。由于本构方程形式复杂，且多为增量形式，所以很难得到代数精确 解，所以只要数值的解误差在充许范围内，我们都采用数值计算方法得到的数 值解。在应用任何一种数值计算方法时都要考