（基础数学专业论文）严格π正则半群的研究.pdf

董 ， s t u d yo fs t r i c t l y7 r - r e g u l a rs e m i g r o u p s b y l i us h u l i n b s ( x i n j i a n gu n i v e r s i t y ) 2 0 0 7 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e p u r em a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rt i a nz h e n j i m a y , 2 0 1 1 哪43 伽9舢58舢8 iii唧y j l i 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期：j c 年6 月占日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 刘蛄贼 愉仰 日期：2 0 f 年6 月0 日 日期：h ，1 年月扩日 目录 摘要 i a b s t r a c ti i 第一章引言 1 1 1 国内外研究现状 1 1 2 本文研究的思路 2 1 3 本文研究的内容 2 第二章 严格和正则半群的局部化及其应用 3 2 1 引言与预备知识 3 2 2 严格丌正则半群的局部化 3 第三章严格丌- 正则半群的同余1 0 3 1 引言与预备知识1 0 3 2 严格7 r 正则半群的群同余1 1 3 3b 理想7 r 一正则半群上的群同余1 3 第四章严格7 r 正则半群的性质 1 6 4 1 引言与预备知识1 6 4 2 严格7 r 一正则半群的子半群1 6 4 3 严格开正则半群的子直积与理想1 9 结论 2 3 参考文献 2 4 致谢 2 6 附录a ( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 2 7 摘要 本文主要研究严格丌- 正则半群的性质，包括：局部化，同余，理想以及子半群 第一章介绍了半群的发展背景和严格7 r 正则半群的研究现状第二章利用局部化的 概念，研究了严格丌正则半群上的最大群同态像并给出最小群同余的表示第三章 研究严格丌正则半群上的丌- 群同余，并给出其平凡群同余最后研究了b 理想丌正 则半群的群同余的表示第四章研究严格7 r 一正则半群的各种特殊子半群，进一步讨 论严格丌- 正则半群的子直积以及与它的各种理想之间的遗传性 关键词：严格7 r 正则半群；局部化；理想；群同余；最小群同余；7 r 一群同余 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ep r o p e r t i e so fs t r i c t l y ，r - r e g u l a rs e m i g r o u p sa r es t u d i e d ，i n c l u d - i n g ：l o c a l i z a t i o n ，c o n g r u e n c e ，i d e a la n ds u b - s e m i g r o u p i nc h a p t e r1 ，w ei l l u s t r a t e t h eb a c k g r o u n do fs e m i g r o u p s d e v e l o p m e n ta n dt h er e s e a r c hs t a t u so fs t r i c t l y7 卜 r e g u l a rs e m i g r o u p s i nc h a p t e r2 ，t h es t r i c t l y ，r - r e g u l a rs e m i g r o u p sw i t ht h eg r e a t e s t h o m o m o r p h i s mi m a g eo fg r o u pa r ed e s c r i b e da n dt h e l e a s tg r o u pc o n g r u e n c eb yt h e l o c a l i z e dc o n c e p ti sg i v e n t h ea i mo fc h a p t e r3i st os t u d yr - g r o u pc o n g r u e n c e o fs t r i c t l y 丌一r e g u l a rs e m i g r o u p s ，a n dg i v ei t so r d i n a r yg r o u pc o n g r u e n c e t i 。i n a u y ， 一t11 1 t h eg r o u pc o n g r u e n c eo fe - i d e a ln - r e g u l a rs e m i g r o u p sa r ei n v e s t i g a t e d c h a p t e r 4i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t ev a r i o u ss p e c i a ls u b - s e m i g r o u p s ，a n ds u b - d i r e c tp r o d u c t a r es t u d i e d f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nt h ec o m p l e t e l yr e g u l a r i t yo fs t r i c t l y ，r - r e g u l a r s e m i g r o u p si sah e r e d i t a r yp r o p e r t yc o n c e r n i n ga l lt h ek i n do fi d e a l k e yw o r d s ：s t r i c t l y ，r - r e g u l a rs e m i g r o u p s ；l o c a l i z a t i o n ；i d e a l ；g r o u pc o n g r u e n c e ； t h em i n i m u mg r o u pc o n g r u e n c e ；丌- g r o u pc o n g r u e n c e 第一章引言 半群代数理论是二十世纪5 0 到6 0 年代发展起来的一个新的代数分支与半格、 半环等理论和格论、环论关系不同，半群代数理论以其特有的研究对象、研究课题 和研究方法，早已独立于群论之外对半群理论的研究不仅体现于对代数学纯理论 领域的贡献，而且越来越体现出对应用数学领域的伟大贡献 1 1国内外研究现状 在数学史上，对半群的研究可追溯到1 9 0 4 年，然而它的系统研究始于上世纪5 0 年 代，特别是计算机科学、非线性动力系统等学科的推进使半群代数理论成为代数学 的重要分支回顾一个多世纪的半群代数理论历史，对正则半群的研究一直占主导 地位研究正则半群的结果已极为丰富，见文献【6 ，1 6 ，1 8 1 完全正则半群作为一 类重要的正则半群，它的研究成果在半群理论中占据重要的位置近几十年非正则 半群特别是7 r 一正则半群引起了许多学者的极大关注例如，g l g a l b i a t i 在( o n q u a s i - c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) ) 一文中研究了7 r 正则半群并刻画了拟完全正 则半群的基本性质和特征s b o g d a n o v i c 也对丌- 正则半群进行了细致的研究，把完 全正则半群的结构理论推广到拟正则半群中去对7 r 正则半群的研究获得的大量结 果在r e g u l a rs e m i g r o u p sa n di t sg e n e r a l i z a t i o n ) ) 中做了系统综述近年来，对完 全7 r 正则半群的研究成果越来越丰富，例如，s b o g d a n o v i c 、喻秉钧及郭聿琦、任 学明和芩嘉评分别对某种完全7 r 一正则半群进行了研究另外对半群同余的研究也处 于核心地位，几乎涉及半群代数理论的各个方面，研究成果也非常丰富例如郭聿 琦、任学明运用允许同余对的概念，对半群上的同余进行了刻画1 9 9 7 年高理平运 用局部化研究了强7 r 逆半群上的最小群同余，1 9 8 9 年张玉芬利用逆半群的局部化刻 画了它的群同余局部化是交换代数的重要工具，1 9 8 5 年局部化理论被推广到半群 上，是半群上最小群同余的一种刻画方式，在正则半群、非正则半群( 如：强7 r 一逆半 群c 2 9 】、c - r p p 半群叫等) 上证明在幂等元半格上的局部化 严格7 r 正则半群作为一类特殊的完全7 r 一正则半群受到了许多学者的关注，1 9 9 0 年 喻秉钧曾给出了严格7 r 一正则半群的代数结构，对严格7 r 正则半群的同构问题进行了 研究，给出了严格丌正则半群同构的充分必要条件接着宫春梅2 0 0 5 年在她的论文 中用b 逆b 半群上的正则同余构造方法，通过s 的偏序关系，给出了严格7 r 一正则半群 上的正则同余，并对严格7 r 一正则半群上的最大幂等分离同余进行了研究，并利用格 林关系给出了这类半群上最大幂等分离同余的一个刻画，为我们的工作做了铺垫 1 严格仆正则半群的研究 1 2 本文研究的思路 由于完全正则半群是特殊的严格7 r 一正则半群，通过完全正则半群的丰富性质和 研究方法，对严格仃正则半群的性质进行研究，而作为一类特殊的非正则半群它本 身所具有的异于完全正则半群的性质，本文主要是通过对完全正则半群及其一些特 殊的非正则半群，例如g v 半群、强7 r 逆半群、c - r p p 半群的性质等进行分析研究，将 其结果推广到严格卅正则半群 总体上采用的研究方法是是从严格卅正则半群的定义及其内部结构一理想、特殊 元素和外部结构一子半群、同余等着手，描述严格7 r 正则半群的性质，以及将其保持 完全正则性的特殊子半群进行刻画，并且在研究中力求从这类半群的定义出发，寻 找与其它半群之问的联系与区别并将对一类特殊的严格卅正则半群一d 理想7 r 正则 半群进行研究，并给出一些推论 1 3 本文研究的内容 本文研究内容共分四章： 第一章给出了国内外研究背景和论文的研究思路及内容 第二章利用局部化的概念，研究了严格7 r 一正则半群上的最小群同余，并给出最 小群同余的表示 第三章研究严格舟正则半群上的弘群同余，并给出其平凡群同余，这一结果是 对正则半群群同余的推广和补充最后研究了b 理想卅正则半群的群同余、最小群 同余，并给出其表示 第四章研究严格丌- 正则半群的一些基本性质首先研究各种特殊子半群可保持 完全正则的性质，进一步研究严格丌_ 正则半群的子直积以及它与各种理想之间的遗 传性 2 第二章严格7 r 一正则半群的局部化及其应用 局部化是交换代数的重要工具，1 9 8 5 年局部化理论被推广到半群上，其后在正 则半群和某些非正则半群上证明在幂等元半格上的局部化例如文献【2 9 】研究了 强7 r 一逆半群的局部化与最小群同余，文献【3 4 】研究t c _ - r p p 半- 群上的局部化及其应用 本章证明了非正则半群严格7 r 一正则半群在其r e g s 上的局部化且在同构意义下唯一， 由此刻画了严格丌- 正则半群的最小群同余 2 1引言与预备知识 首先给出文中需要的基本概念和引理 半群s 称为丌_ 正则的，若每个元素a s ，存在m z + ，使得扩是正则的在 本文中用r ( n ) 表示使得a m 为s 的正则元的最小正整数用毋表示s 的所有幂等元 集( e s ) 表示由生成的s 的子半群r e g s 表示s 的所有正则元设p 是s 的同余， 若s p 是群，则称p 是s 的群同余若s p 是s 的最大群同态像，即称p 是s 的最小群同 余设p 是s 的同余，定义s 的子集 o s l a p e s , 为p 的核，记作k e rp 如果p 是 半群s 上的一个同余，那么可以在商集s p 上定义运算如下：( a p ) ( b p ) = ( a b ) p ，容易 证明此定义是有意义的，且运算满足结合律，因此( s p ，) 构成半群从s 到s p 的映 射p 4 是一个自然同态。 定义2 1 1 设s 是半群，a 是它的子半群，如果存在幺半群r 和同态，：s 呻r ， 使得对于任意口a ，( o ) 在月中可逆，并且使( 兄，) 在下列意义下是一个泛性对： 若有同态9 ：s q ，q 是幺半群，使得对于任意的a a ，9 ( 口) 在q 中可逆，则有唯 一的同态h ：r 哼q ，使得h f = g ，那么半群r 称为s 在a 上的局部化 定义2 1 2 半群s 称为严格丌- 正则的，如果r e g s 为完全正则的，且为s 的理想 2 2 严格丌正则半群的局部化 在严格丌- 正则半群s 定义一个关系 r = ( e a r ( 口，( 0 r ( 口) ，( e a r ( 口，( 矿( 口) 7 ) 2 ) l e ，e s ，a s ，( a t ( d ) 7 v ( a r ( 口) ) 引理2 2 1 【7 】若冗是半群s 上的任意一个二元关系，则彤= ( z s y ，x t y ) s x s ： 3 x ，y s 1 ，( s ，) r ) 是包含兄的最小左和右相容关系，进而剧= u 急l 【砰u ( 形) _ 1 u 1 r 】n 是包含蚓拘最小同余 在以下该章中的s 均指严格7 r 一正则半群，为了方便我们用表示由兄生成的最小 同余 3 严格7 r 一正则半群的研究 下面我们在集合s r e g s 上定义关系“一 ( 口，z ) 一( 6 ，y ) 铮( j 9 e 夸) ( 9 z 口z 9 ) = ( g 可6 可9 ) 一 该关系满足下面三个命题 命题2 2 1 “一 是s 上的等价关系 证明易知“一满足自反性和反对称性下面证明满足传递性事实上，若 有( 口，z ) 一( 玩”) ，那么对于任意的s y ( x a x ) 和v ( y b ! ) 都存在f e s 使 得 ( f s f ) p $ = ( f t f ) p 口 接着给出证明，假设( o ，妨一( 6 ，) ，则根据“一的定义，存在七，使得( 尼z n z 七) 一= ( k y b y k ) p h 因为r e g s 是s 的理想，则踟髓，y 叻r e g s ，因此设s v ( x a x ) ，t v ( y b y ) ，并设 = k t k y b y k ，厶= k x a x k s k ，显然 ，2 r e g s 根据的定义， 我们得到 和 h 釜= 1 0 净1 霸毒= 1 0 掺。k h = a k = h ，k 皂= 冰= 2 。 ( s 厶) = ( s 止) = ( f l k t k y b k s f g ) p l = ( f l k t k x a x k s f 2 ) p 口 = ( f l k t k x a x k s k f 2 ) p 口= ( 尼) o h y ( ( 尼 2 ) ) ，= 厶 厶 e s ，那么有 ( ，s ，) = ( 厶 厶 s 厶 | 7 1 l 厶 ) = ( 厶 尼 厶 厶 ) = ( f t f ) p 4 事实上，若有( 凸，z ) 一( 6 ，y ) ，( b ，矽) 一( c ，名) ，则有“， e s 使得 ( u z 口z 让) = ( t 彤6 1 ，让) p l r ，( u 可6 可口) = ( v z c z v ) # 1 假设s l y ( 可幻) ，t l v ( z c z ) ，那么存在，互江使得( 如1 ，) = ( h f ) p t 设叫l y ( ，) 2 ) ，1 1 3 2 y ( ( ，u ) 2 ) ，那么e 1 = f u w 2 f u ，e 2 = u f w l u f 设h r = e l z c z e 2 t l e l ， h 2 毒e 2 s l e l y b y e 2 ，从的定义，可以得到 1 = 1 2 ，= h 2 1 p 牛，九l e l = e l l = h l ，k e 2 = e 2 k b ， 4 硕士学位论文 和 ( l z 口z k ) =( h x h l x a x h 2 ) p h = ( l e l 石c z e 2 l e l z 口z e 2 九2 ) = ( 九l z c z ( u ，t d t 正，) 1 ( ，t 正七，让) z 口z ( 仳，t l j t 正，) ) 一 = ( h l z c z e 2 ( f t l f ) ( f u k f ) ( u x a x u ) f w u f h 2 ) p h = ( h l z c z e 2 ( f s l f ) ( f u k f ) ( u y b y u ) f w u f h 2 ) p n = ( l z c z e 2 ，s l ，u 后，乱可b y ( u f w u f ) h 2 ) p $ = ( h l z c z e 2 s i e l y b y e 2 k ) = ( h i z c z h 2 h a ) = ( h l z c z h 2 ) p h 设h v ( ( h 2 h 1 ) 2 ) ，g x = h 2 h l h h x h 2 ，则夕1 e s ，因l l t ( g l ( x a x ) 9 1 ) = ( g l ( z c z ) 9 1 ) j d i i ， 也就是，( n ，z ) 一( c ，z ) 因此，“一”是s 上的等价关系 命题2 2 2 对于任意的( 口，z ) s r e g s 存在b s 和 e s ，使得a ，z ) 一 ( b ， ) ，和( n ，e ) 一( a ，) 其中o s ，e ，f e s 证明假设a ，z ) ( s r e g s ) 一，p v ( x 2 ) ，t y ( ( z 觥) 2 ) ，设f = x p 2 x t x p 2 x ， 很容易得知f ，x p x e s ，并且因为 因此有 p x ( x a x ) x p = p x 2 p x 2 a x 2 p x 2 p = p x ( x p x ) ( x a x ) ( x p x ) x p ( f ( x a x ) f ) p h = ( f ( x p x ) ( x a x ) ( x p w ) f ) p 口 显然a ，z ) 一( x a x ，z p x ) 设b = x a x ，h = x p x ，则有( n ，z ) 一( b ，九) 下面设a s ，e ，f e s 首先证明e a ，e )一( e a ，) 从的定义，可以得到( e ，e ) ， ( f e f ) p n ，( f e ) 2 e ( 酬) ，因此存在h i ，u ，钉e s 使得 ，= ( f e f ) 一，牡= ( ，e ) 2p l i ，u = ( e f e ) p h ， 并且有 ( u ( e a ) v ( e a ) 7 u ( e ( e o ) e ) u ( e n ) 7 h l ( e a ) u ) p h = ( u ( e n ) u ( ) u ( e a ) e u ( e a ) 7 h l ( e a ) u u ( e a ) h l ( e a ) u ) p 4 = ( t i ( e n ) u ( e o ) 7 u u ( e 口) u ( e n ) u ( f ( e a ) f ) u ( e a ) 7 h l ( e a ) u ) p = ( 牡( e n ) u ( e 口) u ( f ( e a ) f ) u ( e a ) h i ( e a ) u ) p n 设x l = t ( e o ) 钉( e n ) 7 u ，y l = t ( e 口) h l ( e a ) u ，l v ( ( y l x l ) 2 ) ，和w l = y l x l t l y l x l e s ， 那么 ( w l ( e ( e a ) e ) w 1 ) , 0 h = ( w i ( f ( e a ) f ) w 1 ) p n ， 5 严格7 r 一正则半群孵研究 最p ( e a ，e ) 一( e 口，) 接下来证明( e 口，) 一( 口 e ) 设x 2 = 让( e 口) 让( e 叫t 和抛= 缸( e 口) 7 u ( e a ) u 因为 z 2 = 耽2 ，耽= 耽2 j d | i ， 则有 ( x 2 ( f ( e a ) f ) y 2 ) p t = ( “( e 口) u ( e 8 ) 7 u ( f ( e a ) f ) u ( e a ) 7 牡( e n ) t ：) = ( u ( e o ) t ( e o ) u f e ( e a ) f u ( e a ) t ( e o ) t 让( e n 灿( e 口) 钆) = ( u ( e a ) u ( e a ) u v ( e a ) u ( e a ) 7 u ( e ( a f ) e ) u v ( e a ) “( e 口) 仳) = ( t i ( e d ) 让( e b ) u ( e ( a f ) e ) u ( e a ) 7 u ( e n ) 牡) = ( x 2 ( e ( a f ) e ) y 2 ) p h 设t 2 y ( ( 耽z 2 ) 2 ) ，蚴= y 2 x 2 t 2 y 2 x 2 显然w 2 e s ，并且有 ( w 2 ( f ( e a ) f ) w 2 ) f $ = ( w 2 ( e ( a f ) e ) w 2 ) ， 也就是e a ，f ) 一( a f ，e ) 因此( 口，e ) 一( e a ，e ) 一( e a ，f ) 一( a f ，e ) 一( n ，) 一( a ，) ，该结果a ，e ) 一 ( n ，) 得到证明 接下来在本章中用符号a e 表示包含a ，e ) 的等价类由命题2 2 2 可以得出( sx r e g s ) 一= a e l - s ，e b 命题2 2 3 在( sxr e g s ) 一= 口e 1 8 s ，e e s ) 中规定乘法口e b e = 曲e ， 在该乘法下( s r e g s ) i 一是幺半群并且幺元为e e ，其中e b 证明首先设a e = a l e ，b e = 8 1 e ，则存在z ，y 毋使得 ( x e a e x ) p # = ( ；t e a l e z ) ，( ! ，e 6 e y ) = ( 3 ，e 6 1 e 簟) 令8 = e a ，t = e a l ，t = b e ，u = b l e ，就有 ( e x e s e x e ) p h = ( e z e 沈z e ) ， ( e y e u e y e ) p 4 = ( e y e v e y e ) p 口 令k l y ( ( e z e ) 2 ) ，k 2 y ( ( e 妒) 2 ) 和1 1 = e x e k l e x e ，1 2 = e y e k 2 e y e ，很明显z 1 ，1 2 五疆， 并且可以得出 ( 1 l s l l ) 。= ( 1 l t l l ) p 口，( f 2 u 如) ；( 2 2 z 2 ) 下面证明该乘法为良定义h g o 出e = a l b l e 首先我们证明0 6 e = a l b e 令s v ( e s e ) ，t ，y ( e e ) 因为 ( 1 l e s e l l ) p 口= ( 1 l s l l ) p 口= ( 1 t t l l ) = ( 1 l e t e l l ) 矿， 6 硕士学位论文 则存在f e s 使得( ，s ，) = ( f e f ) p n 假设y ( 钍) ，p y ( ( ，u ) 2 ) ，q v ( ( u c f ) 2 ) ，并设 = ( f u p f u ) ，厶= ( u u f q u u f ) 显然 ，厶e s 令g l = t ，2 ，9 2 = ，2 s ， s 如，那么由得定义，我f 门得出 g x = 9 1 2 ，仍= 9 2 2 一，g l = 夕1 = g x ，仍厶= 1 2 9 2 = 9 2 ， 因此 ( 9 1 s u 9 2 ) = ( g l g l s u u 9 2 ) = ( 夕1 t 厶 s 牡9 2 ) = ( g l t f 2 f f f f l s f 2 9 2 ) p n = ( g l t f 2 f s f f l s f 2 9 2 ) = ( g l t u u f 2 s 7 s 丘9 2 ) = ( g l t u u 9 2 2 ) = ( g l t u u 9 2 ) p 1 令9 ，y ( ( 仳7 9 2 9 1 ) 2 ) ，w = u 7 9 2 9 1 9 u 9 2 9 l ，那么有枷e s ，且( 叫s “叫) = ( t 仳) 伽) p n 因为s = e n ，t = e a l ，u = b e ，因此( 叫( e n 6 e ) 叫) = ( w ( e a l b e ) w ) ，即有，a b e = a l b e 同理可以证得，a l b e = a l b l e 因此a b e = a a b l e 该乘法为良定义已经证明 并且满足交换率很容易得出( 口，e ) 一( e o ，e ) 一( a e ，e ) ，因此e e 是( s r e g s ) 一的 幺元 因此，( s r e g s ) , - , 在乘法a e b e = a b e 下构成幺半群 从以上结果我们得到下面的定理 定理2 2 1 设s 是严格丌- 正则半群，那么s 在r e g s 上的局部化存在并且是唯 一的进一步，这个局部化是s 的最大群同态像 证明由命题2 2 3 知，( s v 呛g s ) 一关于定义的乘法作成幺半群下面从s 到( s p 呛g s ) 一上定义一个自然映射秽，即。秽= a e 对于任意的a e ，b e ( s r e g s ) , - , ，则有 妒日( 口) 妒b ( 6 ) = a e b e = 0 6 e = 妒q ( 0 6 ) ， 故秽是态射且满的对每一个z r e g s ，设z 7 y ( z ) ，那么x e e = x x e = e e ， 因此一e 是x e 的逆元我们可以得出秽 ) = z e 在( s p 伦g s ) 一是可逆的，对 于每一个z r e g s ，且秽( e ) 是( s p 呛g s ) 一的单位元 假设是幺半群并且存在态射妒：s _ 使得妒( z ) 在中可逆，对于任意 的z r e g s ，那么妒( e ) 是s 7 的幺元素，其中e b 设 f ：( s b 电g s ) 一+ a eh 妒( 口) 假设a e = b e ，下面我们证明妒( = 矽( 6 ) 根据a e = b e ，可以得出z e s 使 7 严格霄正则半群的研究 得( z e o e z ) = ( z e 6 e z ) 若x e a e x = x e b e x ，显然砂( 口) 皇妒( 6 ，因为妒 ) ，妒( e ) 在中可逆如果x e a e x x e b e x ，那么( z e n e z ，x e b e x ) ，则存在z l ，勿， z n l s 使得 ( z e n e 彩，z 1 ) ，( 勿) ，( “名e 6 e $ ) 研u ( 兄一1 ) 。u 1 s 若( 苁，厄+ 1 ) l s ，显然有妒( 荪) = 妒( 铒1 ) 否则( 忍，钳1 ) 舒从r 越) c 假设( 旎，钳1 ) 砰，故存在8 ，亡s 1 ，d s ，( 矿( d ) ) 7 y ( d r ( d ) ) ，和，e s 使得 ( 忍，忍+ 1 ) = ( s e d r ( d ) f ( d r ( d ) ) t ，s ( e d r ( d ) ，( d r ( d ) ) 7 ) 2 t ) 由于对于任意的z p e g s ，矽 ) 在中可逆，我们得出 矽( 乞) = 妒( s e d r ( 田，( ( 田) 7 ) = 妒( s ) ，妒( 苁+ 1 ) = 妒( s ( e d r ( 毋，( 矿( 田) 7 ) 2 t ) = 妒( s t ) ， 即有矽( 忍) = 妒( 忍+ 1 ) 相似的，若( 么，忍+ 1 ) ( r - 1 ) c ，我们得出妒协) = 妒( 旎+ 1 ) 因此， 妒( n ) = 妒( 6 ) 故是幺半群的同构 设o s ，那么荨秽( 口) = ( 砂( 口) ) = f ( o e ) = 妒( 口) ，因此秽= 矽如果存在同 构：( sx 髓g s ) 一一s 使得砂= 妒我们就有 ( q e ) = 专7 ( 妒4 ( 口) ) = p 妒4 ( o ) = 妒( 口) = ( n e ) 对于任意的a e 。( sxr e g s ) 一，因此= 故( sxp 泡g s ) 一是s 在g s 上的局 部化 下面证明该局部化是唯一的假设态射：s g 其中e 是s 在p e g s 上的 局部化根据局部化的定义，我们得出存在唯一的态射x ：( sx 胎g s ) 一_ c 使 得x 秽= 因为g 是s 的局部化，故存在唯一的态射咖：c _ ( sxp 呛g s ) 一使 得= 秽，因此有c x , p h = 秽，和x 咖= ，又有x 是( s r e g s ) 一的恒等同态， x 咖是c 的恒等同态，故和x 是互逆的也就是，c 笺( sxr e g s ) , v 因此，在同 构意义下局部化唯一 现假设( n r ( 口) v ( a r ( 。) x 则有( 矿( 口) ) 矿( 口) 一1 e a e2e 肛，故( n r ( 口) ) 7 a t ( a ) 一1 e 是a e 的一个逆元，因此( sxr e g s ) 一是群假设态射：s _ g ，其中g 是s 的另 一个群同态像，从局部化的定义，我们知道存在唯一的态射：( s 鼬g s ) 一_ g 使得秽= 因此( sxp 汜g s ) 一是最大的群同态像 我们可以立即得出下面的推论 推论2 2 1 设s 是严格丌- 正则半群，则 p = ( n ，6 ) sxs ：存在e 使得( e o e ) ( e 6 e ) 8 硕士学位论文 是s 的最小群同余 证明由定理2 2 1 ，我们得出s 在r e g s 上的局部化( s p 舱g s ) 一是最大的群同 态像，显然有p = k e rq o b 9 第三章严格7 r , - v n 半群自铜余 正则半群上的同余，迄今已有较丰富的结果例如，文献f 1 9 】研究了正则半群上 的同余文献 9 】研究了正则单半群的幂零扩张上的同余完全正则半群作为正则半 群的一个重要分支，其上的同余亦受到广泛的关注p e t r i c h 在文献 1 7 ，2 0 】研究了完 全正则半群上的某些特殊同余在诸多研究成果的基础上，文献1 1 8 对完全正则半群 上的同余进行了比较详尽地研究而早在1 9 8 2 年，d r l g t o r r e 给出了任意正则半群 上群同余的一种刻画之后，s h a n u m a n t l mr a oa n dp l a k s h m i 研究了和正则半群 上的群同余但是对于严格丌- 正则半群上的群同余的研究相对甚少 3 1引言与预备知识 本节将研究严格丌- 正则半群上的群同余，并给出b 理想7 r 正则半群最小群同余 的刻画 定义3 1 1 丌_ 正则半群s 称为b 理想卅正则半群，如果s 的幂等元集为s 的理 想 设h 是半群s 的子集，日称为满的，如果区日h 称为自共轭的，如果关于任 意的o s ，a t v ( a r ( b ) ) ，有a l i a ( 。) 一1 h ，a t ( 口) 一1 a h a h 定义3 1 27 1 - 正则半群9 上的同余口称为最小7 r 。群同余，如果酬仃是卅群，且对 任意的丌- 群同余p ，有盯p 定义3 1 3 丌正则半群s 称为什纯正半群，如果臣酱为s 的子半群 引理3 1 1 【1 6 】设。s 是7 r 正则半群，p 是。s 上的同余，则p 是7 r 群同余咎任意的e ，s e s ，e p s 引理3 1 2 【4 1 】设s 是卅正则半群，对于任意的e ，岛，则存在g e s ，使 得g e = 隼= ，9 引理3 1 3 4 1 1 设s 是丌纯正半群，则 是s 的最小群同余 仃= ( 口，b ) s s i e a c = e b e ，3 e e s = ( n ，6 ) s s l a s = g b ，j ，g e s 1 0 硕士学位论文 3 2 严格丌正则半群的群同余 在第二章我们通过局部化定理给出了严格7 r 一正则半群上的最小群同余形式， p = ( 口，b ) sxs ：存在e e s 使得( e a e ) p h ( e 6 e ) ) 下面这一节我们来研究其上的平凡群同余的等价刻画，并给出严格丌正则半群的丌 群同余形式 命题3 2 1 设s 是严格7 r 一正则半群，何是s 的满的，自共扼的子半群，则 p h = ( o ，b ) sxs ：存在z ，y h 使得2 ：a = b y ) ) ，丘； 是s 的群同余 证明首先证明p h 是同余： ( 1 ) p 日满足自反性；因为h 是满的，有点冶h ，且n ( n r ( 一1 ( n r ( d ) ) a ) = ( a t ( 口( n ( n ) ) 7 ) n 而矿( 口) 一1 ( n r ( 口) ) 7 a ，a t ( 口) ( n r ( 口) ) e s h 即( 口，a ) p h ( 2 ) p h 满足对称性；( a ，b ) p h ，即存在z ，y h ，使得x a = b y 从而 a ( a r ( 口) 一1 ( 口r ( 口) z ( n 6 r ( 6 ) 一1 ( 6 r ( ”) 6 ) ) = ( a t ( d ( n r 似) b y ( b r ( b ) 一1 ( 6 r ( 6 ) ，) ) 6 ， 令= 口r ( 口) 一1 ( n r ( 口) x ( a b r ( b ) 一1 ( 矿( ) 7 b ) h ，矿= a t ( d ) ( 矿( 口) ) 7 b y ( b r ( b ) 一1 ( 6 r ( ”) 7 ) h ， 故a x = 咖号( b ，a ) p h ( 3 ) p h 满足传递性；设( n ，b ) p - x ，( b ，c ) p h 故有x a = b y ，t 1 6 = 例则c ( 可) = u b y = l t x a ( 4 ) p h 满足相容性；设( n ，b ) p h ，c s ，x a = b y 故有 ( 6 c r ( 。( c r ( 。) ) 7 6 r ( 6 ) 一1 ( 6 r ( ) 7 x ) a c = 6 c ( c r ( 。) 一1 ( c r ( c ) ) 7 矿( 6 ) 一1 ( 6 r ( 6 ) ) 7 6 可c ) 所以( ，b c ) p h 同理可以证得( c a ，c b ) p h 故朋是同余t i 正p 是群同余因为任意的e ，f e s ，有( e ) ，= e ( ，) 专( e ，) p h 设口s ，e e s 我们有o e ( 矿( 口) 一1 ( n r ( n ) a ) = ( a e a r ( 口) 一1 ( 0 r ( 口) 7 ) n ，即( o ，e a ) p 日同理，( e a ，a ) p h 那么就得出，( a e ) p j r = a p h = ( e n ) 阳号e 阳为单位元又因 为任意的a s ，有 口( 一1 ( a r ( d ) ) 7 ) 阳= ( n r ( 口) 一1 ( n r ( 口) ) a p h = e p h 触a ( a p h ) = ( n ( 口) 一1 ( n r ( 口) ) 7 ) p h 所以任意的n s 都有逆元，因此阳是s 的群同余 命题3 2 2 设s 是严格丌正则半群，记r = r e g s ，则彻是s 的平凡群同余 1 1 严格7 r 一正则半群的研究 证明根据严格7 r 正则半群的定义，r 为s 的理想，那么对于任意的a s ， a r a , t 一1 ( 矿) r ，a n - 1 ( 扩) r 口r 且五冶r 故只是满的，自共扼的子半群根据 命题3 1 2 可知触是s 的群同余 又因为对于任意的z s ，r r 兮t x r ，汀gr ，且g n - - 1 ( 护) z e s 于是根 据 x r ( x n - - 1 ( z n ) 7 z ) = x ( r ：r n 一1 ( a ，) 7 。) ， 我们可得( z ，x n - - i ( 扩) z ) p r a p x k e rp r 那么就得到s = k e rp r ，故p r 是s 的平 凡群同余 命题3 2 3 设s 是严格7 r 正则半群，p 是s 的群同余若k e rp ；r e g s ，则p = p r 证明首先显然有p p r 若任意的( o ，b ) p r ，存在z ，y r ，使得z 口= b y 那么就有( z o ) p = ( b y ) p ，又因 为z ，y r = k e r p ，故有x p = y p = 1 p 那么就有a p b p 辛( a ，b ) p ，即舰p 故 命题得证 从上面的两个命题我们就得到严格