（基础数学专业论文）全纯曲线的相似分类和elliott不变量.pdf

摘要 分类问题或寻找不变量问题一直是数学研究所关注的重要课题之一 上世纪7 0 年代，g e u i o t t 最早提出对于a f 代数a 而言其群，半群 及单位元组成的对( k o ( a ) 。y ( a ) ，【l a d ( 称为e u i o t t 不变量) 是其完全相似不 变量e u i o t t 不变量在分类领域中尤其是c 代数的分类有着举足轻重的 作用本文的主要工作是它在复几何方向的应用和对一类具体的口代数 a i 代数的分类问题的研究论文主要分为两部分，第一部分是关于全纯 曲线的相似分类问题；第二部分是具有理想性质的舡代数的分类问题 两部分工作的共同点是都利用了e u i o t t 不变量作为分类研究的不变量关 于全纯曲线的分类问题最早于1 9 7 8 年几何学家m j c o w e n 和算子理论家 1 t g d o u g l a s 提出，他们综合利用复几何和算子理论的知识和技巧在全纯 复丛上建立了c l a n 刚性定理并定义了一种曲率函数这种曲率函数被证 明是全纯曲线的酉不变量个自然的问题就是什么是全纯曲线的相似不 变量，m j c o w e n 和r g d o u g h s 猜测对于一维的全纯曲线该曲率函数也应 是其相似不变量但是，后来人们通过反例证明他们的猜测并不合理本 文的第一部分通过给出全纯曲线的换位代数的概念，证明了全纯曲线的换 位代数的娲群和序群( e u i o t t 不变量) 是一维全纯曲线与大部分高维曲线 的的完全相似不变量众所周知，仿紧流行x 上的向量丛上的s w a n 定理 证明了( c ( x ) ) 中两个投影等价当且仅当它们诱导的x 上的向量丛同 构继而证明了x 上的向量丛的同构类与 ( c 僻) ) 上投影的代数等价类 相一致，从而建立了代数k 理论与拓扑k 理论之间的联系但是在复几 何中对全纯复丛而言，相应的s w a n 定理并不存在本文的分类定理把两 个全纯曲线，夕的相似性问题和，0 9 换位的硒群的计算密切相连，从这 种意义上讲建立了全纯复丛的s w a n 定理 豇 文章第二部分是属于伊代数分类的研究，近似区间代数4 ( a p p r o x i m a t e i n t e r v a la l g e b r a 简称a j 代麦j ) 是c 0 。1 】上的矩阵代数有限和的归纳极限， i e _ ；，规厶( = 苓佩司( c 【0 。1 】) ) 年，利用 群和迹态空ml 1 9 9 1g e l l o t t k o 间( e l l i o t t 不变量) 有单位元的单的舡代数进行了分类1 9 9 5 年，k e n n e t h h s t e v e n s 推广了g e l l i o t t 的结果但是他考虑的只是有单位元的近似可分 的具有理想性质的a j 代数( 每个双边的闭理想都由其投影生成) 在本文的 第二部分我们去掉了s t e v e n s 文章中有单位元和近似可分的条件，而且证 明方法与s t e v e n s 的方法完全不同在他的证明里，s t e v e n s 引进了许多依 赖于【0 ，1 】区间的概念，这些概念无法推广到高维情形在本文中，我们证 明的d i c h o t o m y 定理可以避免使用s t e v e n s 文章中技巧和概念并且可以推广 到高维情形d i c h o t o m y 定理得到证明后，许多代数是单的情况下的技巧 就可以在非单的情况下得到应用所以，这种新的方法对将来a h 代数的 彻底分类必将有很大的帮助 关键词全纯曲线，换位代数，硒群，相似分类，归纳极限，灿代数， 理想性质 a b s t r a c t t h ec l a s s i t l e a t i o no rs e a r e h i n gi n v a r i a 础i sa l w a y 8o n eo fm o e ti m p o r t a n tp r o j e c t o ft h er e s e a r c ho fm a t h e m a t i c 8 i nt h e1 9 7 0 8 ，g a f a l i o t tp r o v e df o rt h ea f - a l g e b r a a ，t h ep a i ro fi t 8k og r o u p ，s e m i g r o u pa n du n i t ( t o ( a ) ，y ( a ) ，【l a ) ( e a a e dl l l i o t t i n v a r i 觚t ) i bt h ee o m p e l t e l yi n v s r i a n to ft h ea l g e b r a 1 王l l i o t ti n v a r i a n t 蝴b av i t a l r o l ei nt h ee l a s , s i t i e a t i o no fm a t h ，e s p e c i a l l yi nt h et i d do f 俨a l g e b r a t h em a i n w o r ko ft h i st h e s i si 8i t 8a p p l i c a t i o ni nt h eco m p l e xg e o m e t r ya n dt h ee l a s s l f l c a l ；i o n o fa ia l g e b r 目l t h e s i si 8d i v i d e di n t ot w op a r t s ，t h ef i r s ti sa b o u tth ec l a s s i f i c a t i o no f h o l o m o r p h i ec t t r v e s ；t h es e c o n di sa b o u tt h ec l a s s i f i c a t i o no fa ia l g e b r a s 。1 1 地t w o p a r t sh a v ei nc o l l a l l l o l li 8t h eu m o fe l l i o t ti n v a r i a u tf l , f lt h ei n v a r i a _ 】a to fc l a s s i f i c a t i o n t h e o r e m i n1 9 7 8 ，c l a s s i t i e a t i o no fl a o l o m o r h i ec u 册i sf i r s tp r o p o s e db ym a t h e m a t i - e i a m m j c o w e na n dr g d o u g l a s t h e yu mt h ek n o w l e d g eo fc o m p l e xg e o m e t r y a n do p e r a t o rt h e o r yt or e b u i l dt h ec l a b ir i g i dt h e o r e ma n dd e f i n eak i n do fc u i v s , - t u r ef u n c t i o n a n dt h e yp r o v e dt h i se u r v a t t t r ef t m e t i o nc a nb es n 嬲t h et m i t r a y i n v a r i a n to fh o l o m o r p h i ec i i i v e 8 们璩n a t u r a lq u e s t i o ni s 、h a ti sh o l o m o r p h i ec l l r v 豳 s i m i l a ri n v a r i m a t ? m j c o w e l la n dr g d o u g l a se o n j e e t u r et h a tt h e c u r v a t u r ef u n c - t i o ni sa l s ot h es i m i l a ri n v a r i m a to fo n ed i m e m i o n a lh o l o m o r p l a i ea i l r v e b u tp e o p l e f i n dt h ec o n j e c t u r ei sn o tr e a s o n a b l eb ys o m ee x a m p l e s i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v e t h ed e f i n i t i o no fe o m m u t a n to fh o l o m o r p h i cc u r v ea n dp r o v et h a tt h ek og r o u pa n d o r d e r e dk og r o u po ft h ee o m m u t a n ti sj l l s tt h ec o m p l e t e l ys i m i l a ri n v a r i a n to fo n ed e - m e n s i o n a lc u r v ea n dm o s to fn - d e m e n s i o n a lc u 嗍a sw ea l lk n o w n ，f r o mt h es w a i n t h e o r e mw h i c hi sa b o u tt h ev e c t o rb u n d l eo np a r a e o m p a c tm a n i f o l dx ，t h etw op r o - j e c t i o mi n 帆( c ( x ) ) i se q u i v a l e n ti fa n do n l yi ft h et w ob u a d l e si n d u c e db yt h e m 8 1 et h e8 锄e i ta l s op r o v e st h a tt h ei s o m o r p h i s mc l a s so ft h ev e c t o rb u n d l eo nx i v m c o n s i s t e n tt ot h ee q u i v a l e n tc l a mo fp r o j e c t i o n so fm o o ( c 伍) ) s ot h er e l a t i o s h i p o fa l g e b r a i ck - t h e o r ya n dt o p o i o # ck - t h e o r yi se s t a b l i s h e d b u tt h es w a i nt h e o r e m f o rh o l o m o r p h i cc o m p l e xb u n d l e si nc o m p l e xg e o m e t r yd o e sn o te x i s t i nt h i sp a p e r ， t h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mr e d u c e st h es i m i l a re q u i v a l e n c eo ft w oh o l o m o r p h i cc t l r v e 8 llgt oc a l c u l a t i o no ft h e t og r o u p o ft h ec o m m u t a u to f e g i nt h i s8 e n s f l ，w eb u i l d t h es w a i nt h e o r e mo fc o m p l e xh o l o m o r p h i cb u n d l e s t 】h es e c o n dp a r tb e l o n g st ot h er e s e a r c ho fc l a s s i f i c a t i o no f 伊a l g e b r a , a na p - p r o x i m a t ei n t e r v a la l g e b r a ( a b b r e v i a t e da ia l g e b r a ) i 8as e p a r a b l e 俨一a l g e b r aw h i c h i s 蛆i n d u c t i v el i m i to ff i n i t ed i r e c ts u mo fm a t r i xa l g e b r a so v e rc 0 ，1 】i e ( 厶= 鱼咋，司( c 1 0 ，1 】) ) i n1 9 9 1 ，g e o r g ee l l i o t tc l a s s i f i e dt h es i m p l eu n i t a la p p r o x i m a t ei n t e r v a la l g e b r a s n s m g 衄i n v a r i a n tc o n s i s t i n gk ot h e o r ya n dt r a c i a ls t a t ed a t a ( s e e e l2 】o r 【s t e 】) i n1 9 9 5 ，k e n n e t hh s t e v 锄 s t e lp r o v e dag e n e r a l i z a t i o no ft h i sr e s u l tb yp e r m i t t i n g t h ea l g e b r aa r eu n i t a la n dh a v et h ei d e a lp r o p e r t y ( e v e r yc l o s e dt w o - s i d ei d e a lo ft h e a l g e b r ai sg e n e r a t e d 蚵i t sp r o j e c t i o n s ) f u r t h e r m o r e ，t h ea l g e b r ai 8a l s oa s s u m e d t ob ea p p r a x i m a t e l yd i v i s i b l e i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，o u rp u r p o s ei st o g e n e r a l i z et h es t e v e n s r e s u l tt oc l 蛐a l lo ft h e a ia l g e b r a sw i t ht h em e a lp r o p e r t y - t h a ti s ，b o t ha b o v er e s t r i c t i o n s ( o fb e i n gu n i t a la n da p p r o x i m a t e l yd i v i s i b l e ) w i l lb e r e m o v e d l e tu sp o i n to u tt h a to u rp r o o fi 8c o m p l e t e l yd i f f e r e n tf r o ms t e v e n 8p r o o f o fh i st h e o r e m i nh i sp r o o f , s t e v e ni n t r o d u c e dal o to fc o n c e p t s m o s to ft h o s e c o n c e p t sh e a v i l yd e p e n do nt h ec o n d i t i o n - t h es p e c t r u mi si n t e r v a l 【0 ，1 ja n dd o n t h a v eh i g h e rd i m e n s i o n a la n a l o g y i nt h i sp a p e r ，w ep r o v e dad i c h o t o m yc o n d i t i o nw h i c hc a nb eu s e dt oa v o i da l l t h et e c h n i c a l i t i e so fs t e v e n 8p a p e r l e tn sp o i n to u t ，t h i sd i c h o t o m yc o n d i t i o nc a n v b eg e n e r a l i z e dt oh i g h = d i m e n s i o n o n c et h ed i c h o t o m yt h e o r e mi sp r o v e d ，m a n y t e c h n i q u eo ft h es i m p l ec 嘲c a nb eu s e di nt h i sn e ws e t t i n g w eb e l i e v et h a tt h i sn e w a p p r o a c hw i l lb ev e r yh e l p f u lf o rt h ef u t u r ec l a s s i f i c a t i o no fa ha l g e b r a so fh i g h e r d i m e n s i o n a ls p e c t r u m k e y w o r d s ：h o l o m o r p h i cc i 删e ，c o m m u t a n t ，k 0 - g r o u p ，s i m i l a rc l a s s i f i c a t i o n ，i n d u c - t i v el i m i t s ，a ia l g e b r a , i d e a lp r o p e r t y 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文全纯曲线的相似分类和f 1 1 i o t t 不变量，是在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：参巳寺 年月 日 指导教师确认( 签名) ： 年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：幸乙参 年月日 指导教师( 签名) ： 年月 第一章引言 令7 l f 为复的、可分的h i l b e a 空间，c 表示复平面，n 是正整数设 c ( n ) 表示作用在7 l f 上的全体有界线性算子，g r ( n ，7 t ) 表示g r n s s m a n n 流 行，即冗上全体n 维子空间组成的集合 定义1 1 【1 】设1 2 是伊上的开的连通子集，我们称映射，：f l _ g r c n ，冗) 在n 上全纯，如果存在的个邻域及1 1 个上的全纯的7 l f 值 的函数讥，伪， y n 使得，( a ) = v ( 7 l ( a ) ，( a ) ) ，垓e1 2 如果，：n g r ( n ，7 t ) 是条全纯映射，那么，自然诱导了一个n 上的 h e r m i t i a n 全纯向量丛( 研，丌) ，其中 占= ( ( z ，a ) 咒n i zef c x ) ) 且映射丌：毋一n 满足丌( 毛入) = a 等价的，毋与g r ( n ，7 - 1 ) 的万有丛 s ( n ，h ) = ( z ，v ) 氕g r ( n ，冗) ：? y ) 的回拉丛( p u l lb a c kb t m d l e ) ：f s ( n ，咒) 相等特别的，当q c 时，被称为全纯曲线 设，和五f l - g r ( n ，冗) 为两条全纯曲线，我们自然得到两个q 上的 全纯向量丛毋和研如果存在个酉算子何) 使得厂= c ，则我 们称，和，是相互同余的，同时毋与研等价如果存在一个可逆算子 x c ( 咒) 使得，= x ，则，和，被称为相互相似等价同时毋与毋相似 等价【l 】而且，我们还有下面著名刚性定理- 刚性定理1 j 设a 为伊的一个连通开子集且，与，为从a 到g r ( n ，7 l f ) 的全纯曲线使得vf ( x ) = v 冗a ) = 咒则，与，是同余的当且仅当毋和 研作为a 上的全纯向量丛是局部等价的 1 9 7 8 年，数学家m j c o w e l l 和r g d o u g l a s 解决了全纯曲线及其诱导的 h e r m i t i e m 全纯向量丛的酉等价分类问题【1 】在给出全纯复丛酉分类的结 2 果之前，需要介绍一些与全纯丛局部等价密切相关的概念 定义1 2 【1 】对于全纯丛e 而育，若全纯函效，y ：n 冗满足 ( 1 ) 对任意入q ，r ( 对两； ( 2 ) v ，y ( 入) 皇冗 则我们称1 为全纯丛j e 7 个张成的全纯截面 定义1 3 【1 】我们称两个全纯曲线，与，：n g r ( n ，尢) 在n 的相切 阶数为七( o r d e ro fc o n t a c tk ) 。如果存在个酉算子，c ( h ) 使得，与， 在处k 阶相同，即若饥，蚀，为毋在知的张成的全纯截面，则存 在研在知的张成的全纯截面满足 厂( k ) = 刑( 知_ ) ，1 ls 铂0 歹素 定义1 4 f 1 】对于给定的两个q 上的n 维全纯向量丛e 与豆及保度量的 联络d 及万与k 1 ，我们称e 与豆在入q 处七阶等价当且仅当存在从 b 到鼠的等距y 满足 y , x j 一妒k 0si , jsk ，( i ，j ) ( o ，七) ( 七，0 ) 这里瓦与分别是由d 与万诱导的曲率函数 利用上面的概念，c o w e n 和d o u g l a s 把两个全纯复丛在q 的子集上等价 归结到考虑这两个丛在n 上的有限阶等价问题上去，给出了如下结果， 定理1 1 【1 】设e 与豆为q 上的n 维全纯向量丛，d 及万分别为相应的 保度量的联络那么存在n 的个闭的疏朗集磊。罾满足刀与亩在q 一乙量 上局部等价当且仅当e 与宫在n 上n 阶等价 由刚性定理。我们知道全纯曲线，与，同余( 酉等价) 等价于全纯复丛 毋与毋的局部等价从而由定义1 4 和定理1 1 ，我们可以看出曲率函数 j c 可以视为全纯曲线的酉不变量 3 对于全纯曲线，：n _ g r ( n ，伊) ，如果广( s ( n ，沙) ) = 毋的典则联络的 曲率函数具有不同的特征根，则我们称，为- 般的( 啾) 这里s ( n ，沙) 表示g r ( n ，c 钿) 上的万有子丛 p a g r 瓶t h 8 【2 】证明了对于两条一般的全 纯曲线 ， ，若它们都是相切阶数为二的，则必酉等价林青【3 】证明了 g r ( 3 ，伊) 上的全纯曲线或是一般的或者是射影平面上的三个全纯曲线的 正交直和因此，对g r ( 3 ，伊) 上的两个二阶相切的全纯曲线必然是酉等价 的 利用全纯曲线和全纯复丛的酉分类结果，c o w e n 和d o u g l a s 同时解决了 一类重要的几何算子一g o w e n - d o u g l a 8 算子的酉等价分类问题 c o w e n - d o u g l a s 算子设n 为一个有界连通开集，指标为n 的c o w e n - d o u g l a s 算子记作风( q ) 是由优) 中算子构成的集合且满足： ( a ) f 2 c ( t ( t ) = a c ；t a 不可逆) ； ( b ) r a n ( t 一入) ：= ( t 一入) z ；z 冗) = 冗v 入q ； c ) a v 印k e r ( t a ) = 冗；及 ( d ) d i mk e r ( t a ) = n ，坝q 著名数学家m f a t i y a h 在美国数学评论中认为：qc o w e n - d o u g l a s 算 子是极其复杂、非常有意义的几何算子，把算子理论的研究与复丛的等价分 类紧密的联系起来- c o w e n - d o u g l a s 算子是相当丰富的类算子，包含了许 多次正规算子、亚正规算子及单边加权移位算子的伴随算子d a h e r r e r o 证明了有相当多的一类算子可以加充分小的紧扰动变为c o w e n - d o u g l a s 算 子任何拟三角算子都在有限个c o w e n - d o u g l a s 算子的直接和的范数闭包 中m j c o w e n 和r g d o u g l a s 首先引进了这类算子，并表明了它们和复 几何特别是全纯曲线之间的密切联系事情上，由上面的定义，我们可以 4 找到( c i ( a ) 。e 2 ( x ) ，c i ( a ) ) 使得 俺 k e r ( a 一研毒v e ( 入) ，名en ，v 风( n ) i l 由此可见，c o w e n - d o u g l s s 算子t 风( q ) 都诱导了条全纯曲线，( a ) = k e r ( 入一妁，进而诱导了一个h e r m i t i a n 全纯向量丛岛= 毋 在【1 】一文中。m j c o w e n 和r g d o u g l a s 证明了若风( n ) 中的算子t 与 亍是酉等价的且是酉算子使得t = 亍w ，则定义了一个g r ( n ，7 t ) 上的同余并且把a 变成j 【，因此毋与瞬作为h e r m i t i a n 全纯向量丛是等价 的反之，若岛与做为丛是等价的，则由【1 】1 文中的定理2 2 ，可知存 在个7 l f 上的酉算子w 使得 w k e r ( t a ) = k e r ( t a ) ，a q 但对于z k e r ( t 一入) 我们有 w 于垤_ 一t z = w 。( 亍一a ) w z = 0 又因为vk e r ( t 一入) = 7 - 1 ，故w 于w = t 从而有 定理1 2 【1 】设t 和s 氏( q ) 则t 怎s 铮f - , t 品两 也就是说，玩( q ) 中算子的酉等价问题可以转换到相应的h e r m i t i a n 全 纯丛中来研究这同时也进一步表明，c o w e n - d o u g l a s 算子和复几何着极 为密切的关系人们从复几何的角度出发，同样可以对算子特别是c o w e n - d o u g l a s 算子作进一步的研究 林青【4 】证明了g r ( n ，沙) 上的全纯曲线几何结构可以在c o w e n - d o u g l 鹪 算子类上实现具体的讲，这种实现可以视为把g r ( n ，沙) 的全纯曲线嵌 入到玩( q ) 中去设d 为开圆盘，f = ( 几) n n 是元素在日中的n 阶矩 阵，9 日，定义算子t s ( g ，f ) = ( 臻如。霉函厶) i 白口蚺( 晖) ， 5 其中礓，- 与为定义在俨。伊行向量上的矩阵t o e p i t z 算子那么 s ( g ，f ) 即是全纯曲线s p a n ( 分：d g r ( n ，c 锄) 的算子实现( a p 岛o 。一与全 纯曲线8 p 肌( 力万有子丛的拉回丛e 舯( d 相等) r i e 明t 定理1 3 【4 】若夕- ，写历( n ) ，则s 0 ，f ) 风( q ) ，而且 1 岛“一篁奶。毋，芦( z ) = f 0 1 ( 动) 2 毋与如为七阶等价的当且仅当曷d 。一与毋o a ) 是七阶等价的，其 中g 为元素在俨中的矩阵 。 由定理1 3 和【1 1 一文中的定理1 6 ，定理1 1 4 ，林青找到两个算子噩，t 2 风( q ) 使得它们的曲率函数逐点相似，但是噩与乃却并不酉等价由此 可以看出，m j c o w e n 和r g d o u g l a s 定义的曲率函数并不能彻底解决全纯 曲线的分类问题 k e h ez h u 从定义1 2 中提到的张成的全纯截面的角度入手，对风( q ) 中 的算子的相似等价和酉等价问题做了相应的的研究，并证明了。 定理1 4 1 5 对任意t 晶( q ) ( n 2 ) ，毋都有个张成的全纯截面 设7 为西的个张成的全纯截面通过再生核( 名，u ) - - - - ， k e h ez h u 给出了曷与砰的张成的全纯截面倦及竹的相似关系的定义 3 s 一竹当且仅当一k 利用张成的全纯截面的相似给出了风( q ) 中 算子的相似的等价条件 定理1 5 【5 】设t 和s 为风( q ) 中的算子则t s 当且仅当分别存在 与岛的张成的全纯截面 s ，竹满足。馏一竹 k e h ez h u 的工作给出了风( q ) 中两个算子相似的充要条件，但是这距离 彻底完成c o w e n - d o u g l a s 算子的相似分类工作还有一定的距离，主要表现 在以下两点t ( 1 ) 定理1 5 仅在形式给出晶( q ) 中算子t 和s 相似的充要条件，因为 6 无论是在丛厮和西中寻找这种张成的全纯截面。还是计算和判断由其 诱导的再生核是否相似等价都有相当大的难度和繁琐的计算 ( 2 ) 用张成的全纯截面作为晰d o u g k 算子相似不变量，所涉及到 的仅限于复几何和分析，并没有通过不变量与其他数学分支联系 我们相信会有新的不变量通过它可以用相对简单明了的数学概念来刻 画复杂繁琐的c o w e n - d o u g h s 算子与全纯曲线、全纯丛的相似分类问题 c o w e n 和d o u g l a s 证明了对于t 夙( q ) ，毋对应的曲率函数就是其完全 酉不变量【1 】也就是说对于一维的全纯曲线该曲率函数【即是其完全酉 不变量m j c o w e n 和r g d o u g l a s 猜测对于一维的全纯曲线该曲率函数也 应是其相似不变量但是，后来人们通过反例证明他们的猜测并不合理 因此，我们希望从几何学以外的角度来寻找新的不变量为此，我们需要 引入e l l i o t t 不变量与强不可约的概念 代数a 的e l l i o t t 不变量是指其砀群，半群及单位元组成的对下面介 绍关于硒群的概念 令4 为含单位元的b a n a c h 代数，e 和f 为a 中幂等元e 和，称为代数等 价( 记为一( n ) ) ，若存在z ，l ，a 使得z y = e ，y z = ，e 和，称为相似等价( 记 为一) ，若存在可逆元z 4 使得z e g - 1 = ，令坛( 4 ) = ( ) n x n ：叼4 ) 记 ( a ) 为 靠( a ) ( n = l ，2 ，) 的代数极限， 霸( a ) _ m i + l ( 4 ) 的嵌入映射 为口- , d i a g ( a ，0 ) = 口o o 记p r o j ( m o o ( 。4 ) ) 为地( a ) 中幂等元的代数等价类 v ( 棚a p r o j ( m o o ( 一4 ) ) 在v ( a ) 上可以定义加法运算如下- 若【e 】，v ( a ) 。 任选e ，【e 】，【，】使得e ，= ，一= 0 并定义【e 】- t - l r = e ，- 4 - f q 则这个运算 是良定义的，并且v ( a ) 在该运算下为一个半群4 的群，记为( 棚， 定义为v ( 4 ) 的g r o t h e n d i e c k 群 e l l i o t t 不变量是由g a e l l i o t t 提出的最早用于对a f - 代数( 即有限维 7 俨代数的归纳极限) 的分类问题对一个a f 代数a 而言其f 皿o t t 不变 量( k o ( a ) ，y ( a ) ，【1 j i 】) 是其完全相似不变量e l l i o t t 工作的意义在于把结构 复杂的数学对象( 代数) 的同构问题转化为考虑两个结构简单的数学对象 ( 群) 的同构问题上来故对a f 代数分类而言，e l l i o t t 不变量是恰当的不 变量并且实现了用简单数学概念描述复杂数学概念的本质结构的要求 e l l i o t t 不变量在分类领域中尤其是俨代数的分类有着举足轻重的作用 g a e u i o t t 、龚贵华、李良青和d a d a r l a t 6 7 8 9 1 0 1 1 j 通过e u i o t t 不变量 成功的对单的a h 代数及实秩零的a h 代数等诸多伊代数进行了分类 受这些出色的分类工作的影响，蒋春澜首先考虑是否可以利用e l l i o t t 不 变量对全纯曲线和全纯复丛进行相似分类那么，我们自然要把几何对象 的分类问题转化到代数中去最初的想法与工作是基于与全纯曲线密切联 系的c o w e n - d o u g l a s 算子的相似分类研究 既然我们希望利用算子代数来讨论c o w e n - d o u g l a s 算子的分类问题，首 先我们要给出个基本的代数概念 定义1 5 算子t c ( 咒) ，我们称( ”= b c ( 咒) i t b = s t 为t 的换位 代数，而且爿( t ) 是个b a n a c h 代数 强不可约的概念是由f g i l f e a t h e r 1 2 】和江泽坚【1 3 】独立地给出的( 1 9 7 2 ， 1 9 7 9 ) ： 定义1 6 t c ( 7 l f ) 被称之为强不可约的，如果( t ) 中没有非平凡的幂 等元等价地，不存在t 的非平凡不变子空间对朋和，使得m + = 氕 且a 4n n = 0 在此算子分解的意义下，强不可约算子是c ( 咒) 中最基本最简单的算 子，它是不可能再分成誓更小嚣的算子的直和的而在有限维的情形，强 不可约算子就是我们熟悉的约当块( j o r d a nb l o c k ) 并且通过蒋春澜等人的 8 工作【1 4 】证明了强不可约算子就是约当块在无穷维情形的推广为了完成 算子的相似分类问题。我们希望在无穷维空间上重建约当标准形定理换 言之，我们要考虑d o l l g l 8 8 算子是否可以在相似的意义下唯一的写 成有限个强不可约算子的直和 事实上c m ) 中算子t 的强不可约分解与t 的换位代数( t ) 中的极 小幂等元是密切相关的如果p e a ( t ) 是一极小幂等元，( 即不存在其他 非零幂等元的值域包含在该幂等元的值域中) ，则t 在r a n p 上的限制是一 强不可约算子如果( t ) 中只有有限个幂等元( 只，b ”，r ) ，则t 能写 成有限个强不可约算子的直接和，因此讨论个算子在相似意义下是否有 唯一的强不可约分解问题实质上是讨论算子换位代数中幂等元的等价分 类问题，这些都是b a n a c h 代数群所讨论的问题 d a h e r r e r o 1 5 ，蒋春澜【1 6 】表明，能写成c o w e n - d o u g l a s 算子和其共轭算 子的直接和的算子类于( 爿) 中按范数拓扑稠蒋春澜、王宗尧【1 7 】则进一 步表明，e q c o w e n - d o u g l a s 算子可以写成有限个强不可约的c o w e n - d o u g l a s 算子的直接和 蒋春澜等人首先把e l l i o t t 不变量引入算子的相似分类研究中。曹阳、 房军生和蒋春澜【1 8 】证明了， 定理1 6 1 1 8 令t ( 咒) ，记7 l f 为l - l i l b e r t 空间7 l f 的n 次正交直和， 记t ( n ) 为h ( n ) 上的算子西t ，则以下叙述等价。 g = - i ( 1 ) t 相似于空间7 l f = 6 ( m ) 上的算子奋a ( 川，使得对所有正整数n ， t 协) 为有限强不可约分解算子并且其强不可约分解在相似意义下唯一，这 里k ，n 1 ，n 2 ，m 均为正整数，a 。a 2 ，厶为强不可约算子满足a 当1s 歹k ( 2 ) g o ( ，4 ( ? ) ) 竺z 佧) 并且y ( 爿( 研) 笺似，进而记h 为从y ( ( t ) ) 到( d 9 的同构，则h 映【j 】为( - i ，彻，1 ) ，即i i ( 阴) 暑n l e l + t 1 2 饧+ m “这里 n = ( 0 。1 2 ，3 ，) ，七，n i ，抛，m 为正整数， e 各l 为伪) 的七个生成元 定理1 6 用算子的换位代数的硒群来刻画在相似意义下有唯一的强不 可约的算子，同时也给出了个计算群的方法，把算子的相似分类问 题转化为代数的群同构问题 2 0 0 4 年，蒋春澜证明了 定理1 7 【1 9 】两个强不可约的c o w e n - d o u g l a a 算子a ，b 相似的充要条件 是存在个从( 爿( a ) ) 到( 爿( 男) ) 的群同构口，满足t 1 a ( 凰( ( a ) ) ) = ( ( b ) ) ，口( y ( 爿( a ) ) ) = y ( b ) ) 2 n ( 【“) 】) = p 】，这里“) 与“分别表示爿( a ) 与爿( b ) 中的 单位元， 3 存在幂等元i a e m o o ( a ( a ) ) ，g k ( ( b ) ) 使得q ( 纠) = 口】且p 与q 在 k ( 爿( a o b ) ) 中等价 而蒋春澜巳指出条件3 是可以去掉的，这也同时证明了e l l i o t t 不变量 是强不可约的c o w e n - d o u g l a a 算子的相似不变量 2 0 0 5 年，蒋春澜、郭献洲、纪奎【2 0 】又证明了e l l i o t t 不变量也是一般的 c o w e n - d o u g l a s 算子的相似不变量 定理1 8 令a ，b e b ( n ) ，假设a = a p - o a 妒1 0 o a 孑，这里0 啦，a ( s ，) ，其中i = l ，2 ，七，且当i 歹时，a 如，则a 一日的充 要条件是t ( 1 ) ( ( 4 ，( a o b ) ) ，v ( 4 ，( a o b ) ) ，) 垒( z ( 舢，( ，1 ) ； ( 2 ) 从v ( 爿( a o 口) ) 到( 七) 的同构h 映为( 2 n l ，2 n 2 ，2 m ) ，即 h ( r 1 ) = 2 n l e l + 2 n a e 2 + + 2 n k e k ，这里j 是( a o b ) 的单位元， e i 怎1 是 ( ) 的生成元 l o 至此，我们把两个d 0 u g l a 8 算子的相似分类的问题转化为群的同 构问题，彻底解决了c m m - d o u g l a 8 算子的相似分类问题，也同时把算子 理论，算子代数与复几何有机的联系了起来 本文关心的问题是e l l i o t t 不变量是不是全纯曲线和全纯复丛的相似不 变量，能否用代数和群的语育来刻画全纯曲线的结构 为此，我们首先给出全纯曲线，的换位代数爿( ，) 的概念。 定义2 1 对于全纯曲线f ：o _ g r ( n ，咒) ，我们用记号爿( ，) 来表示，的 换位代数，定义为爿( ，) 全 a c 何) i a ，( a ) ，( a ) ，姒q ) 然后我们借鉴了算子理论强不可约的思想，把它应用到全纯曲线上去， 定义了不可分解的全纯曲线( 即无法分解成两个全纯曲线的正交直和的形 式) ；通过对不可分解曲线的研究，最终证明了全纯曲线的换位代数的硒 群和序群( e n i o t t 不变量) 是一维全纯曲线与大部分高维曲线的的完全相似 不变量 下面是我们的主要结论【2 1 】： 定理3 1 设，9 ：q _ g r o ，7 - i ) 为全纯曲线，则，一夕当且仅当础( ，o g ) ) 笺z 定理4 1 设 与，2 ：n g r ( n ，咒) 为两条不可分解的全纯曲线且满足 兰 ( a ) = 7 l