（基础数学专业论文）圆模式与离散可积系统.pdf

圆模式与离散可积系统 摘要 圆模式理论是一个丰富而有趣的领域，它起源于经典的圆填充理论。近年来得到 了快速的发展并产牛了很大的影响，它与离散微分几何、复分析和可积系统理论等- 系列思想密切相关。圆填充是常曲率曲面上具有特定相切模式的一种圆格局。在这个 领域中所取得的研究成就起源于费尔兹( f i e l d s ) 奖得者w t h u r s t o n 于1 9 8 5 年提m r i e m a n n 映射可以用六边形圆填充来近似的方案，1 9 8 7 年r o d i na n ds u l l i v a n 证明了这 个方案的收敛性，这给r i e m a n n 映射提供了一个崭新的离散几何观点。对圆格局的研 究，由其内部不相交的圆组成的经典圆填允发展为其内部可以重叠的圆组成的圆模式 理论。本文的主要工作如下：首先，我们研究了交比为负常数的s g 圆模式，即其巾每 个圆与它相邻圆的四个交点的交比等于个给定的负常数。通过求解适当的c a u c h y 问题得到其存在性。在正方形网格上建立s g 圆模式与可积系统之间的联系。讨论了 正方形网格上可积系统的一类同单值解。按照s g 圆模式，给出了解析函数严与l o g z 的离散模拟。其次，利用准晶菱形嵌入与多维正方形格z 圣的关系，给出了具有固定交 角的准晶圆模式的定义。在多维正方形格z 至上建立了交比系统，给出其离散零曲率条 件。讨论了多维正方形格z 生上由交比方程与一个非自治约束所决定的系统的同单值 解。通过求解交比系统适当的c a u c h y 问题，得到具有固定交角的准晶圆模式的存在性。 关键词：圆模式：可积系统；准晶；同单值解 第i 贞 c i r c l ep a t t e r n sa n dd i s c r e t e i n t e g r a b l es y s t e m s a b s t r a c t t i l et h e o r yo fc i r c l ep a t t e r n si sar i c hf a s c i n a t i n ga r e ah a v i n gi t so r i g i ni nt h e c l a s - s i c a lt h e o r yo fc i r c l ep a c k i n g s i t sf a s td e v e l o p m e n ti nr e c e n ty e a r si sc a u s e db yt h e m u t u a li n f l u e n c ea n di n t e r p l a yo fi d e a sa n dc o n c e p t sf r o md i s c r e t ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ， c o m p l e xa n a l y s i sa n dt h et h e o r yo fi n t e g r a b l es y s t e m s c i r c l ep a c k i n g sa r ec o n f i g u r a - t i o n so fc i r c l e si nac o n s t a n tc u r v a t u r es u r f a c ew i t hp r e s c r i b e dp a t t e r no ft a n g e n c i e s t h ep r o g r e s si nt h i sa r e aw a si n i t i a t e db yw t h u r s t o ni n1 9 8 5w h e nh es u g g e s t e da m e t h o df o ra p p r o x i m a t i o no ft h er i e m a n nm a p p i n gb yh e x a g o n a lc i r c l ep a c k i n g s i n 1 9 8 7 ，r o d i na n ds u l l i v a np r o v e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h u r s t o n ss c h e m e ，w h i c hg i v e sa n e wd i s c r e t eg e o m e t r yv i e wo ft h er i e m a n nm a p p i n g f o rt h es t u d yo fc i r c l ec o n f i g u r a - t i o n s ，c l a s s i c a lc i r c l ep a c k i n g sc o n s i s t i n go fd i s j o i n to p e nd i s k sw e r eg e n e r a l i z e dt oc i r c l e p a t t e r n s ，w h e r et h ed i s k sm a yo v e r l a p i nt h i st h e s i s ，o u rm a i nw o r k i sa sf o l l o w s f i r s t ， w ei n v e s t i g a t et h es gc i r c l ep a t t e r n sw i t han e g a t i v ec o n s t a n tc r o s s - r a t i o ，t h a ti s ，f o r e v e r yc i r c l et h ec r o s s - r a t i oo fi t sf o u ri n t e r s e c t i o np o i n t sw i t hn e i g h b o r i n g c i r c l e si se q u a l t oan e g a t i v ec o n s t a n t t h ee x i s t e n c eo fs u c hc i r c l ep a t t e r n si so b t a i n e db ys o l v i n ga s u i t a b l ec a u c h yp r o b l e m t h er e l a t i o nb e t w e e ns gc i r c l ep a t t e r n sa n di n t e g r a b l es y s - t e m so nt h es q u a r eg r i di se s t a b l i s h e d ac l a s so fi s o m o n o d r o m i cs o l u t i o n so fi n t e g r a b l e s y s t e mo nt h es q u a r eg r i di sd i s c u s s e d d i s c r e t ea n a l o g o u so fa n a l y t i cf u n c t i o n s 严a n d l o gza r ep r e s e n t e di nt e r m so fs gc i r c l ep a t t e r n s n e x t ，t h eq u a s i c r y s t a l l i cc i r c l ep a t t e r n sw i t hc o n s t a n ta n g l e sa r ed e f i n e db yu s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nq u a s i c r y s t a l l i c r h o m b i ce m b e d d i n g sa n dm u l t i d i m e n s i o n a lr e g u l a rs q u a r el a t t i c ez 生t h ec r o s s - r a t i o s y s t e m so nz 王a r ee s t a b l i s h e d ，a n dt h e i rz e r oc u r v a t u r ec o n d i t i o n sa r eg i v e n - a l s oa c l a s so fi s o m o n o d r o m i cs o l u t i o n sd e t e r n f i n e db yt h ec r o s s - r a t i oe q u a t i o n sa n dan o n - a u t o n o m o u sc o n s t r a i n to nz 互a r ed i s c u s s e d t h ee x i s t e n c eo ft h eq u a s i c r y s t a l l i cc i r c l e p a t t e r n sw i t hc o n s t a n ta n g l e si so b t a i n e db ys o l v i n gs o m es u i t a b l ec a u c h yp r o b l e m sf o r t h ec r o s s r a t i os y s t e m s k e y w o r d s ：c i r c l ep a t t e r n s ；i n t e g r a b l es y s t e m s ；q u a s i c r y s t a l l i e ；i s o m o n o d r o m i c s o l u t i o n 第i i 贞 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立撰写 完成的。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已 经发表或撰写过的研究成果，也没有剽窃、抄袭等违反学术道德规范的侵权 行为。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人愿意承担由本声明而引起的法律责任。 研究生签名： 声塘劣日期：山寸年6 月6 日 论文使用授权声明 本人完全了解广西民族大学有关保留、使用学位论文的规定。学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。除在保密期内的保密论 文外，允许学位论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内 容。 研究生签名：届哆g 导师签名： 蓝n 币艾 ， 日期：埘年6 月1 6 日 日期：砂口产舌月j 6 日 1 1 引言 1绪论 叫模式( c i r c l ep a t t e r n s ) 理论是个丰宦而有趣朐领域，它起粼于经典的圆填充 ( c i r c l ep a c k i u g s l 理沦，近年柬彳f 到t 快速发展前日l 起了很大的影响，它涉技离散几何、 复分析o i 可私 系统理论等一系列思想。 囝填充是1 9 8 5 年w t h u r s t o n i l l 介绍的个新课题，它是常i f | 率f 两上具有棚切 模式的种圆格岗。这个领域较显著的成就是圆填充的r j n 映射近似理论 2 - 5 1 。 给定平而内的个单连通域n ，存在本质唯一的共形映射fq 一皿t h u r s t o n 猜想 纾典的共形映射f 可以用六边形恻填充来逼近( 见圈11 ) 。也就是在平面内放置一个 规! j ! | j 的六边形圆填充用n 的边界切割一个填充r ，则在d 巾存在一个组合同构的圆填 充，其对应f ：n 中的圆一d 中半衽变化的圆，在n 的紧子集i ：一致收敛于经_ ! i | 菇形映射f 1 9 8 7 年，br o d i n 与ds u l l i v a n 2 1 证明了t h u r s t o n 方案的收敛性这给r j e l 甜l n 映射 提供了一个崭新的离散儿何观点。此后，圆填充理论及其应用得到了快速的发展p 嘲。 图11 芡形映射的圆填充逼近 对圆格局的研究，南不相交的井圆盘组成的经典的圆填充理论，后来发展到由相交 圃盘纽成的恻模式理沦1 1 72 1j 。最近许多学者对具有符种小同组合的圆模式进行了j 泛 的研究，s c l l r n 【2 1 i 介绍了具有l f 订形网格( s g l 组合的网模式，继而乙姒、jd a l l 2 2 l 证u j jrs g 圆模式c m收敛十r i e m a n n 映射。b o b e n k o 。h o f f m a m l l 2 s , 2 4 对六边形 筇1 页 圆模式进行了。系列的研究。l a n 与d a i1 2 s 】还运用变分原理证明了有分支圆模式的存 在性与唯一性。 近似理论自然导出了全纯函数的离散模拟问题，其存在性已被计算机系统验证【2 6 , 2 7 ， 但还有很多值得探讨的问题。对于具有六边形组合的圆填充，能够精确描述的例子是 d o y l e 螺线 2 8 , 2 9 ，它是指数函数的离散模拟。再者就是共形对称填充，它是a r i y 函数商 的模拟1 3 0 j 。而对于圆模式则有更多精确的例了，e x p ( z ) ，e r f ( z ) ，a i , r v ( z ) ，z 。，l o g 名的离散 模拟由不同的正方形网格所构成 2 1 , 3 1 】，z c 与l o g z 的六边形模式也有相应的结果 2 3 , 2 4 】。 图1 2 所示的就是一个共形对称圆模式，它是两个a i r y 函数的商，( z ) = 瓦b i ( ( 。z ) ) + + 怕v 伍 a i i ( ( ：z ) ) 的 模拟。 图1 2 共形对称圆模式 可积系统理论是描述圆模式的种非常行之有效的方法1 3 2 。b o b e n k o ，h f f m a n n 与 s u r i s1 2 3 引进了多交比为一1 的六边形圆模式，得到了六边形圆模式与正j 角形网上可 积系统的关系。文1 2 4 j 讨论了具有固定交角的六边形劂模式以及函数z a 与l o g z 的六边 形圆模式离散模拟。这些圆模式都可由交比方程与一个非自治约束所决定。二维j 下方形 格上具有正方形组合的圆模式由一个稳定的h i r o t a 方程所决定【2 1 j ，并且h i r o t a 方程 系统还可扩展到多维正方形格z 生上【3 3 】。与离散可积系统相联系的另一个方面是圆模 式的局部浸入性质与整体嵌入性质，它可由离散p a i n l e v d 与r i c c a t i 方程的特殊解所 描述 1 7 , 3 0 , 3 4 , 3 s l 。 第2 贞 果。 1 2 预备知识 在这节中，我们将介绍一些圆填充与圆模式理论的基本术语、定义以及相关的结 1 2 1 圆填充 拓扑多边形一个拓扑n 边形是具有7 , 个不同边界点( 顶点) 的拓扑闭圆盘，且这n 个边界点把这个拓扑闭圆盘的边界分成n 个边界弧( n 条边) 。 胞腔剖分曲面s 上的一个胞腔剖分是指s 局部有限地分解成拓扑闭多边形的集 合k = 七f ，使任意两个多边形要么不相交，要么相交于一点，要么相交于一条完整 的边。其巾局部有限是指s 的每一个点都有一个邻域，它至多相交于k 的有限多个多 边形。k 的集合可以是有限的或可数无限。 给定一个k ，其每个多边形( 面) 都是一个2 单形，每条边是一个1 一单形，每个顶点 是一个阻单形， 特别地，一个拓扑三角形是指具有三个不同边界点( 顶点) 的拓扑闭圆盘，且这三个 边界点把这个拓扑闭圆盘的边界分成三个边界弧( 3 条边) 。 三角剖分曲面s 上的一个三角剖分是指s 局部有限地分解成拓扑闭三角形的集 合t = t f ) ，使任意两个三角形要么不相交，要么相交于一点，要么相交于一条完整的 边。 三角剖分t 是一个单纯的2 复形。圆填充是常曲率曲面上具有特定相切模式的圆 格局。一个圆填充的相切模式可以看成一个抽象单纯2 复形，它单位等价于有向拓扑曲 面的一个三角剖分。 圆填充常曲率曲面s 上一个圆集合p = c o 称为关于t 的一个圆填充，如果 满足下面条件： ( 1 ) 对丁的每个顶点都有一个圆g ，与它对应； ( 2 ) 当 为t 的。条边，则圆瓯，g 是外切的； ( 3 ) 当 为t 内一个正方i 向的面，则g ，g ，瓯在s 内形成一组正方向 的三个网。 这里的常曲率曲面是指欧氏平面c 、球面p 或双曲平面d 图1 3 所示的就是一个 简单圆填充的例子。 第3 页 t p 图1 3p 是关于三角剖分t 的一个圆填充 花圆填充p 中的一个圆c 0 与它相邻的圆形成了p 的一个花。c 0 称为花的中 心，它的邻圆称为这个花的花瓣。花瓣的个数称为中心圆的度。如图1 4 是一个具有七个 花瓣的花。 花瓣 中，心 图1 4 有七个花瓣的花 圆填充不仅具有几何可挠性，还具有组合可挠性。也就是说，圆填充有可能是有限 的或无限的，也有可能是单叶的或有分枝的。一个圆填充称为是单叶的，如果它的所有 第4 贞 圆的内部都不重叠。即没有任何两个圆的交集多于个点。但在圆填充中圆的内部是有 可能重叠的，如果圆填充中一个花的花瓣围绕其中心圆n + 1 次1 ) ，则称它是有 分枝的。图1 5 就是一个围绕中心圆两次的例子。 图1 5 花瓣围绕中心圆两次 b e a r d o n 与s t e p h e n s o n 给出了圆填充基本的存在性与唯一性结果【8 ，以及在不同 的几何中圆填充的存在性与唯一+ 性定理【6 】。 定理1 1 设k 是三角剖分一个拓扑曲面s 的复形，则存在一个同胚于s 的 r i e m a n n 曲面s k ，以及s k 内按内在球面、欧氏或双曲度量的关于k 的网填充p r i e m a n n 曲面& 对于共形等价来说是唯一的，尸对于s k 的共形自同构来说是唯一 的。 定理1 2 ( a ) 在球面p 上存在一个d 度的圆填充当且仅当d = 2 ，3 ，4 ，5 ( b ) 在欧氏平面c 上存在一个d 度的圆填充当且仅当d = 6 ( c ) 在双曲平面d 上存在一个d 度的圆填充当且仅当d 7 此外，在任一种情况下，s 的一个d 度圆填充对于s 的共形自同构来说是唯一的。 其中s 表示p 、c 或d 中任一空间上的曲面。 1 2 2 圆模式 网模式是指常曲率曲而卜具有特定交角的一种网格局。具体地，给定一个曲而的 第5 贞 胞腔剖分或三角剖分，关于它的圆模式有两种类型：- 种是三角剖分t 的每个顶点都 对应于一个圆，我们记为t h u r s t o n 圆模式( 见图1 6 ) ，s c h r a m m 把它扩展到正方形网 格上；另一种就是任一胞腔剖分k 的每个面对应于一个圆，记为d e l a u n a y 圆模式( 见 图1 7 ) 。 t h u r s t o n 圆模式给定个曲面s 的三角剖分丁，其顶点集合记为y ( t ) ，边集合 记为e ( t ) 。令口：e ( t ) _ 【0 ，丌2 l 是定义在t 的边集合e ( t ) t - _ 的函数，则我们称一个 恻格局j p 为关于( zp ) 的t h u r s t o n 恻模式，如果它满足下面条件： ( 1 ) 对于任意一个顶点 v ( t ) ，都对应了p 中的一个圆g ； ( 2 ) 对于任意一条边 1 ，v 2 】e ( 丁) ，圆g 。与相交，交角记为p ( p 1 ，忱1 ) ： ( 3 ) 若 为t 内一个正方向的丽，则 形成了一个正 方向的兰个相交圆。 图1 f it h u r s t o n 圆模式 m a r d e n 和r o d i ni s l 给出了t h u r s t o n 圆模式的存在性与唯一性结果。 定理1 3 令t 为r i e m a n n 球面上s 2 的个二角剖分，p ：e ( t ) _ f 0 ，7 r 2 】是定 义在t 的边e ( t ) 上的函数。如果下面的条件成立： ( a ) 若e l ，e 2 ，e 3 e ( t ) 形成了s 2 上一个闭合的圈，且信31o ( e i ) 7 r ，则( e l ，e 2 ，e 3 ) 是t 中一个面的三条边。 ( b ) 若e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 e ( t ) 形成了舻上一个闭合的圈，且讧41o ( e i ) 2 7 r ，则 ( e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 形成了t 中两个相邻的而的边界。 那么，t 就实现了s 2 的一个测地三角剖分，并且存在一个对应于t 的顶点的圆格 局使得在边e e ( t ) 顶点处的两个圆具有交角p ( e ) 对于s 2 的共形白同构来说，这 个测地i 角剖分与圆格局是唯一的。 第6 贞 对于无限t h u r s t o n 圆模式，h e l 2 0 给出了卜面的刚性定理。 定理1 4 ( a ) 令t 为一个三角剖分，p ：e ( t ) _ 【0 ，7 r 2 1 是定义在边集合上的函 数，尸与p 是复平面c 卜关于( z 口) 的圆模式。若p 在平面卜是局部有限的，则存 在一个欧氏相似f ：c c 使得p + = ，( p ) ( b ) 令t 为个三角剖分，0 ：e ( t ) _ 【0 ，7 r 2 】是定义在边集合上的函数，p 与p 是p o i n c a r d 圆盘u = z c ，i z i 1 】上火于( 正0 ) 的圆模式。若p 与p 在u 上都 是局部有限的，则存在一个双曲等距f ：u u 使得p + = ，( 尸) d e l a u n a y 圆模式给定一个曲面的胞腔剖分k ，其顶点集合记为y ( k ) ，边集合记 为e ( k ) 若p ：e ( k ) _ 【0 ，7 r ) 是定义在k 的边集合e ( k ) 上的函数，则我们称一个圆 格局尸为关于( k ，p ) 的d e l a u n a y 圆模式，如果它满足下而条件： ( 丑) 对于任意一个面盯k ，都对应一个定向圆只尸； ( 2 ) 若仃与盯7 是k 中相邻的面，当仃n 一= e e ( k ) 时其对应的圆b ，只，相 交，交角为p ( e ) ；当盯n 口7 v ( k ) 时，圆只，b ，相切； ( 3 ) 若o 1 ，盯2 足k 中与o r 相邻的面且盯1n ( 7 2 ，则b 是相异的； ( 4 ) 若( 3 ) 中的盯，盯l ，0 2 在k 中的方向是逆时针，则b ，b ，乃在尸中的方向也 是逆时针。 图1 7d e l a u n a y 圆模式 b o b e n k o 与s p r i n g b o r n 1 8 】给出了d e l a u n a y 圆模式的存在性与唯一性定理。 定理1 5 令是个定向的曲面胞腔剖分，矿( 0 ，7 r ) e 是其非定向边的函 数，西( 0 ，o o ) 您是其面上的函数。 存欧氏平面一卜存在一个具有内部交角矿并且在劂的中心具有锥角圣，的圆模式组 合等价于，当且仅当它满足下面两个条件： 第7 贞 圣( ，) = 2 0 + ( e ) ( 1 1 ) f e fe e e ( i i ) 若f ，是面的集合f 的一个非空子集，f ，f ，而e ，是f ，的任意面的所有 边组成的集合，则 圣( ，) 2 0 ( e ) ( 1 2 ) l e f e e e 这个欧氏网模式对于相似变换是唯一的。 在常曲率为一1 的曲面上存在具有锥奇点的双曲圆模式当且仅当不等式( 1 2 ) 对所有 的非空子集f 7cf 成立，包括f 本身。并且这个双曲圆模式对于等距变换是唯一的。 1 3本文的主要工作 在本文中，主要的工作由第二章开始。在第二章，我们研究了交比为负常数的s g 圆模式，即其中每一个圆与它相邻圆的四个交点的交比等于一个给定的负常数。通过求 解适当的c a u c h y 问题得到其存在性。在正方形网格上建立s g 圆模式与可积系统之间 的联系。讨论了正方形网格上可积系统的一类同单值解。按照s g 圆模式，给出了解析 函数z a 与l o g 名的离散模拟。 在第三章，利用准晶菱形嵌入与多维正方形格班的关系，给出了具有固定交角的 准晶圆模式的定义。在多维正方形格z 苎上建立了交比系统方程，给出其离散零曲率 条件。讨论了多维正方形格班上由交比方程与一个非自治约束所决定的系统的同单 值解。通过求解交比系统适当的c a u c h y 问题，得到具有固定交角的准晶圆模式的存在 件。 1 4进一步研究工作的计划 可积系统理论是描述圆模式的一种非常行之有效的方法【3 2 1 。s c h r a m m 圆模式、多 交比为一l 的入边形圆模式以及具有同定交角的六边形圆模式均建立了与可积系统的 火系 2 1 , 2 32 4 ，并得到了相应的解析函数z 。与l o g z 的离散模拟。对于s c l l r a i i l i i l 圆模 式，a g a f o n o v 与b o b e o k e h e h f j 了当0 c 2 w i 它足浸入的1 3 1 】，不久，a g m o n o v 又证明了 第8 页 它的全局嵌入性质【i7 】。而对于具有固定交角的入边形圆模式其局部浸入性质也已经被 证明 a 4 1 。b o b e o k e 猜想0 0 是一个常数，姚= 叫( ) ( 后= 1 ，2 ，4 ) ，则我们称映射w 定义了一个交比 为一c 的s g 网模式。 关于交比为一c 的s g 圆模式的存在性，我们有 定理2 1 对于给定的正方形网格s g ，在扩充复平面c 上一定存在一个实现其交 比等于一c 的s g 圆模式。 证明我们通过解适当的柯西问题得出其存在性。考虑由西北方向到东南方向的一 行s g 的基本止方形，在每个正方形的三个顶点名，z + 1 ，名+ i 处定义映射w ，这三点 彬( z ) ，( z + 1 ) ，w ( z + i ) 决定了一个圆。等式( 2 1 ) 决定了点t u ( z + 1 + i ) 也在圆上，这样 往东北方向下一行的每个正方形，映射w 在其相应三个顶点处的值也决定了。这样无 限地做下去，那么在整个网格s g 上，就唯一地决定了一个映射叫：y ( s g ) _ e ，于是就 得到了一个交比等于一c 的s g 圆模式。这就完成了该定理的证明。 口 2 2正方形网格s g 上的平坦联络与可积系统 在这一节，根据一般图上可积系统的作法( 见 2 3 ，3 6 ，3 7 1 ) ，我们将讨论正方形网格 s g 上的可积系统。 首先，回忆一般图上可积系统的作法，它主要包括以下几个部分： ( a ) 个定向图9 ，它的顶点集合记为y ( g ) ，它的边集合记为e ( 9 ) ； ( b ) 一个圈群g ( 入) ，它的元素是从c 到群g 的函数，这些函数的参变量a 称为 谱参数： ( c ) 一个定义在9 的顶点上的“波函数”妒：y ( 9 ) _ g ( a ) ； ( d ) 。个定义在夕的边上的“转移矩阵”集合l ：e ( g ) 一g ( a ) 假设对任一定向边e = ( z 1 ，z 2 ) e ( 9 ) ，波函数在其端点处的值有如下关系： 妒( 勿，入) = i ( e ，a ) 妒( z l ，入) ，( 2 2 ) 则“离散零曲率条件”应该是满足的，即对夕中任意有限条边组成的闭曲线e 1 = ( z 1 ，名2 ) ，e 2 = ( z 2 ，z 3 ) ，e p = ( z p ，z i ) ，等式 i ( e p ，a ) l ( e 2 ，a ) l ( e l ，入) = i 第1 1 页 ( 2 3 ) 成立，其中，是单位矩阵。特别地，对仟+ 条边e = ( z i ，z 2 ) e ( 9 ) ，如果e 一1 = ( z 2 ，z 1 ) ， 则 l ( e ，入) = ( l ( e ，入) ) ( 2 4 ) 回到正方形网格s g 上，我们规定这种类型的边是正向的：e l = ( z ，z + 1 ) k y ( s g ) ，e 2 = ( z ，z + 0 t z y ( s g ) ) ，如图2 1 。 图2 1 正方形网格s g 的边的定向 - 我t l q 所使用的群g 【刈是s l ( 2 ，c ) 上的扭圈群： l ：c s l ( 2 ，c ) j l ( 一入) = 1 2 l ( a ) 1 2 1 ) ，q = d i a g ( 1 ，一1 ) ( 2 5 ) 对每条正向边e 晶( n = 1 ，2 ) ，g 的元素具有形式： l ( n c e ，a ，= c 1 - a , , a 2 ，一；( ：夕a f ) ， c 2 6 ， 其中l = 1 ，2 = 一；当e e 1 时，s g = 1 ；当e 局时，9 = a 2 凶此，对每条正向边我们指定两个复数( ，g ) c 2 满足上述条件。不难看出，零曲 率条件( 2 3 ) 对s g 中所有的闭曲线都成立等价于它对于每一个基本正方形成：芷。 定理2 2 设e 1 ，e 2 ；e 4 ，e 3 分别是图2 1 中基本正方形相继的两条正向边，其中e 1 e 3 e 1 ；e 2 ，e 4 e 2 ，则零曲率条件l ( e 1 ) l ( e 2 ) = l ( e 4 江( e 3 ) 等价于下面方程组： 、+ 2 = 1 3 七k h 9 2 = 9 3 。 第1 2 页 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 证明直接计算可得矩阵方程l ( e 1 ) l ( e 2 ) = l ( e 4 ) l ( e 3 ) 包含了卜- 面四个数量方程： ( i ) + 厶= y 3 + ， ( i i i ) 夕2 = 9 3 ，4 ， ( i i ) g l + 9 2 = 卯+ 肌，( i 秒) 夕1 五= 厶9 4 由 陇= 9 3 f 4 ：争瓮= 瓮劬庀= 撬 可得( i i i ) 与( 硒) 等价。 又由 + 允= y 3 + 兮a 1 9 2 9 a ( g a 9 1 ) = a 2 9 1 9 3 ( 9 2 一m ) ， f 1 9 2 = 厂4 9 a 兮a 1 9 2 9 4 = a 2 9 1 9 3 ， 我们得到9 1 + 9 2 = 9 3 + 9 4 。因此，( i i ) 包含在( i ) 与( 饿) 中。 由( 2 8 ) 可得 h 3 = 一c 2 沁 口 ( 2 9 ) 方程( 2 7 ) 与( 2 9 ) 组成的系统，我们称为交比系统。 方程( 2 7 ) 还可以按下面的方式理解：存在函数札：y ( s g ) _ c 使对任一条正向边 e = ( z l ，z 2 ) 有f ( e ) = u ( z 2 ) 一乱( z 1 ) ，且函数让由，唯一决定( 可相差一常数) 。由此，我 们可以重新阐述方程( 2 9 ) ，设z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 是图1 中基本正方形相应的顶点，则有 滟高幽一c，(210u(z2u ( z 3 ) ) ( u ( z 47 2 ( z 1 ) ) () 一 ) 一) 一7 现在我们讨论求解出交比系统的柯西数据。由( 2 1 0 ) 式立刻得出 命题2 1 ( a ) 给出u 在z l ，z 2 = z 1 + 1 ，z 3 = 幻+ i 的值，则交比系统的方程( 2 1 0 ) 唯 一地决定了t | 在z 4 = z 1 + 1 + i 的值。 ( b ) u 在从西北到东南方向的锯齿线顶点z = k + l i ：k + z = 0 ，1 ) 处的值，唯一地 决定了整个格上的函数u ：y ( s g ) _ c ；( c ) 在两个正半轴 z = k ：k o ) uz = l i ： z o ) 上的值，唯一决定了函数u 在整个扇形( 第一象限) s = z = k + l i ：k ，z o 的 值。 定理2 3 映射u ：y ( s g ) _ c 定义了一个交比为一c 的s g 圆模式。 证明根据上山j 给出u 的定义及其满足条件( 2 1 0 ) ，我们容易推出该定理成立。 口 第1 3 贞 2 3同单值解与圆模式 下面定义的“非自治约束”在交比系统的求解中是非常关键的。令仳( ) = u s ， z 15z o4 - 1 ，z 2 = z o4 - i ，z 3 = z o 一1 ，z 4 = z o i = u l 一咖，丘= i t 2 一t 上o ， = u o t 正3 ，厂4 = u o 一札4 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 定义其约束为 q u + = 七燕州簏， ( 2 1 3 ) 这里q ，砂为任意的常数。 定理2 4 对任意的n ，c ，约束( 2 1 3 ) 与交比系统的方程( 2 1 0 ) 是相容的。 证明设在四个顶点z o ，z 1 ，z 2 ，z 3 上，i t 的合理的柯西数据已经给山。由z o 点的约束 可得u 在点忽的值，然后由( 2 1 0 ) 得u 在z 5 = z o4 - 14 - i ，z 6 = z o4 - 1 一i 的值；f hz 1 的 约束得到乱在z 7 = z o4 - 2 的值，再由( 2 1 0 ) 得仳在施= z o4 - 24 - i ，z 9 = z o l4 - i 的值； 又由勿点的约束得u 在z 1 0 = z o4 - 2 i 的值，可得到u 在z 1 l = z o4 - 14 - 2 i 的值。以此 类推，这就证明了其可解性。由归纳法，只需验证在点磊处也满足约束方程即可。这个 工作已在数学计算机逻辑演算系统的帮助下完成。 口 推论2 1 满足约束( 2 1 3 ) 的方程( 2 1 0 ) 的解u ：y ( s g ) 。cs u ( o ) ，u ( 1 ) ，u ( i ) 唯一 决定。 现在我们说明约束( 2 1 3 ) 如何产生可积系统的同单值解【3 8 1 。为方便见，我们采用 i ( e ) 的另一种度规。设p = a 2 ，对每一条有向边e 磊( 佗= 1 ，2 ) ，令 沙k = ，) f g = a n 则波函数砂在相邻顶点的值之问火系为 矽知+ 1 ，l ( 肛) = l ( 1 ( e ，p ) 妒七，f ( p ) ，妒七，l + l ( p ) = l ( 2 ( e ，p ) 妒七，l ( 肛) ( 2 1 4 ) 定理2 5 满足约束( 2 1 3 ) 的交比系统方程( 2 1 0 ) 的解是同单值的，u p e - - 个波 函数妒：z 2 一s l ( 2 ，c ) 阻】满足( 2 1 4 ) 及关于p 的线性微分方程 瓦d 州p ) = ( p ) 州p ) ， ( 2 1 5 ) 第1 4 页 , a k , ! - - - - 掣+ 鲁+ 睾c “一上“十 其中d ( z ) ，c k ，l ，b k ，l 为如下与p 无关的矩阵： d ( z ) ：f 一号 、0 n u + 1 垒 j 2 = 忐( 2 1 e k , ! - - 而c l ( 皂l h 3 3 一 2 l 、 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 证明为了方便，我们用记号与_ 分别表示z 与y 轴正方向上对象的改变。例如： 万= 名+ 1 ，牙= z + i 若e = ( 名1 ，z 2 ) ，则虿= ( z l + 1 ，z 2 + 1 ) ，百= ( z 1 + i ，z 2 + i ) 等等。于 是( 2 1 4 ) 与( 2 1 5 ) 等价为 l ( 1 ) ( 百) l ( 2 ) ( e ) = l ( 2 ) ( 刁l ( 1 ) ( e ) ， d 础l o ) ( 、e ) = a + 1 ，l 删( e ) 一删( e ) a 山 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 乏川e ) = 如m 铲) ( e ) 一俨) ( e ) 锄 ( 2 2 2 ) 将( 2 1 6 ) 代入( 2 2 0 ) 全( 2 2 2 ) 中计算p = 0 ，1 ，一c ，。的留数，上面的系统相当于下面8 个矩阵方程： d ( 习l 1 ( e ，0 ) = 工( 1 ( e ，o ) d ( z ) ，d ( 乏) 三( 2 ( e ，o ) = l ( 2 ( e ，o ) d ( z ) ，( 2 2 3 ) 瓯+ l ，l l ( 1 ( e ，1 ) = l ( 1 ( e ，1 ) c k ，l ， 仉，l + 1 l ( 2 ( e ，1 ) = l ( 2 ( e ，1 ) c k ，l ，( 2 2 4 ) 风+ l ，f ( 1 ( e ，一c ) = 三( 1 ( e ，一c ) b k ，f ， b k ，l + 1 l ( 2 ( e ，一c ) = l ( 2 ( e ，一c ) b k ，l ，( 2 2 5 ) ( c k + 1 ，l + b k + 1 ，l + d ( 习) q q ( g ，f + b k ，l + d ( z ) ) = q ，( 2 2 6 ) 第1 5 页 、l，、lil， ( 瓯j + l + 鼠，“l + d ( 乏) ) q q ( c k ，l + b k ，l + d ( 2 ) ) = q ， ( 2 2 7 ) 其中善三。妄，己。兰，l 乏，叱吐l 。e ，代入即可得出。2 2 3 ，成立。将d ( z j ，d ( 习，d ( 乏) ，l ( 1 ( e ) ，l ( 2 ( e ) 代入即可得出( 2 ) 成立。 d e t b 奄1 = ( p 一1 ) 七( p + c ) d e t l p o ，o ( 入) ， 司知： 。 打刖萨南一是钿( 以 其中n ( p ) 与k ，f 无关。 南此可得：t r c k f = - k ，t r b k ，l = 一c 1 i i i ( 2 2 4 ) 与t r c k f ：一七蕴含了( 2 1 8 ) 。同理，( 2 2 5 ) 与t r b k ，l = 一c l 躺- t ( 2 1 9 ) 。 最后我们验证( 2 2 6 ) 。等式( 2 2 7 ) 的验证方法是类似的。矩阵方程( 2 2 6 ) 相当于下面 两个数量方程： c 1 2 + b 1 2 + d 1 2 = 0 ，( c 2 2 ) 南+ l l + ( 6 2 2 ) 奄+ 1 # 一c , 1 ) k ，f 一( 6