（基础数学专业论文）关于数论中几个渐近公式.pdf

嬲嬲必 1 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属在 ： 年一月解密后适用本规定。 非涉密论文口 ， 论文作者签名： 筵：! 蔓耸日 导师签名：主! 盗日 - 期：竺! 竺：兰：! 竺 期：! ! 垂主应立眇 关于数论中几个渐近公式摘要 关于数论中几个渐近公式 中文摘要 设m 为给定的非负整数集的子集，锄= ni 佗= p 0 1 t 1 砖2 为标准分解， m ，i = 1 ，2 ，七) 对于算术函数f c n ) ，当n 仅在s m 中取值时，研究f ( n ) 的均 值是数论中的一个有趣的课题 记u ( n ) 为佗的不同素因子的个数，丁( n ) 为除数函数，仃( n ) 、妒( 礼) 分别为除数和 函数，及欧拉函数本文我们对于m = o ，1 ，b x ，6 2 ，) ( 即为包含o ，l 的非负整数集的子 集) ，而，( 亿) 分别为常值函数l 、r ( 礼) 、仃( 几) 、妒( n ) 以及歹裔( r o 为任意实数) 的情形，得到了( n ) 的渐近公式 n ( 士 n e s m 关键词：标准分解，数论函数，渐近公式 作者：陈高华 指导老师：余红兵教授 a b s t r a c to ns o m ea s y m p t o t i cf o r m u l a si nn u m b e rt h e o r y 、 1-1 u ns o m ea s v i n d t o t l ct o r m u l a si nn u i n b e rt n e o r v a b s t r a c t l e tmb eag i v e ns u b s e to fn o n n e g a t i v ei n t e g e r s ，s m = ni n = p 口1 谚2 蝾i st h e p r i m ef a c t o r i z a t i o no f 竹a n d 啦mf o ri = 1 ，2 ，忌 f o ra r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，( 礼) ，i t i so fs o m ei n t e r e s tt os t u d yt h em e a l 2v a l u eo f ，( n ) w h i l en s m t h ev a l u eo fu ( n ) i sd e f i n e dt ob et h en u m b e ro fd i s t i n c tp r i m e sd i v i d i n gn l e tr ( n ) b et h ed i v i s o rf u n c t i o n ，盯( n ) ，妒( n ) d e n o t et h es u mo ft h ed i v i s o r sf u n c t i o na n dt h ee u l e r s f u n c t i o n i nt h i sp a p e r ，b yc o n s i d e r i n gt h ec a s eo fm = o ，1 ，b l ，b 2 ， ( s u b s e to fn o n n e g a t i v e i n t e g e r sc o n t a i n i n g0 , 1 ) ，a n df ( 礼) a su n i tf u n c t i o n , m ) ，7 ) ，口( 礼) ，妒) a n d 歹茜( r 。) r e s p e c t i v e l y , w eg e tt h ea s y m p t o t i cf o r m u l a so f ，( 几) n o ( q 时，有i ，( 口) i 云设 岛= 口：l ，( 口) l 云) ， 4 么对于上面的e ，将n 标准分解中的素数幂分为三部分，由，的积性有 i ，( 佗) l =兀if ( q ) i 兀if ( q ) inlf ( q ) i 怍a 摹昨 咋勖 ；1 = 即 l i mf ( n ) = 0 t i + o o 口 2 5 m 6 b i u s 变换及其反转公式 定义2 4 设( n ) 为数论函数，令 f ( n ) = 倒) ，n n d i n 我们把f ( n ) 称作( n ) 的m s b i u s 变换，( n ) 称作是f ( n ) 的m s b i u s 逆变换。 定理2 3 设f ( n ) 和f ( n ) 是两个数论函数，u ( n ) 是m s b i u s 函数，那么 f ( 礼) = ，( d ) 钳，( n ) = p ( d ) f ( 三) a l na l n 定理2 4 设f ( n ) 是，( 礼) 的m 6 b i u s 变换，那么，( n ) 是积性函数的充要条件 是f ( n ) 也是积性函数 2 6 s q u a r e - f r e e 整数，s q u a r e - f u l l 整数 我们称正整数n 为s q u a w - f r e e 的，如果礼的标准分解中素数的指数均为l ；而称 标准分解中素数的指数均不小于2 的正整数礼为s q u a r e - f u u 的下面是涉及s q u a r e - f u l l 整数的众所周知的结果，但为了完整起见，我们这里给出证明 5 2 7 a b e l 求和公式 定理2 6 对于任意给定的算术函数口( n ) ，设 a ( z ) = n ( 佗) ， 其中a ( z ) = 0 ，z 1 假设，为区间【，z 】( o y z ) 上连续可微的函数，那么有 ，三z 咖加) ，( 沪删一z z 删他皿 掣 l ， n z 以及 嘉= 篙+ c 1 4 + o ( z - ) 0 s l ，( ( s ) = 嘉) ，c 1 4 为常数 2 8 m e r t e n s 定理 定理2 7 我们有 其中，y 为欧拉常数 旦1 一；1 ) “雨e - 3 , ， 7 准备工作 关于数论中几个渐近公式 证明请参见【4 ，p 3 7 2 推论2 3 对于欧拉函数妒( n ) ，我们有 证明因为 妒( n ) 南 咖细暴l 一三) n 旦( 1 一砂1 所以由m e r t e n s 定理，我们易知结论成立 8 口 口 关于数论中几个渐近公式 本文的主要结果( 一) 3 本文的主要结果( 一) 从这一节开始，我们证明引言中的定理 设m = o ，1 ，b l ，b 2 ， 为给定的非负整数集的子集，s m = 伽l 扎= p ? 1 醴2 为标准分解，m ，i = l ，2 ，忌) 我们先证 定理1 1 我们有 1 = c z x - 4 - o ( z i 2 ) ， ( 3 1 ) nz n e s f ( = c 2 x l o g x + d ( z ) ， j 二j n z n e s m 口( n ) = c a x 2 + d ( z 3 7 2 + 6 ) ， n 2 n e s m ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 及 妒( n ) = c 5 x 2 + o ( x 3 2 ) ， ( 3 5 ) nz n e s m 其中q 0 = 1 ，2 ，5 ) 为正常数，( o ，去) 为任意实数 为证明定理1 1 ，我们先证明下面的引理 基本引理设，( n ) 为积性函数，且对任意素数p ，有，) = 1 记 ( n ) = p ( d ) ，( 三) ， d l n 其中p 是m 6 b i u s 函数 e f ( n ) ：0 0 丁f l ( d ) x + o ( 以) ； nsd=l 若对任意的e ( o e 丢) ，有i ( 佗) | - d ( 矿) ，则 砌) ：妻丁f l ( d ) z + 扣) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 证明由p 和f 的积性知， 也是积性的又f ( p ) = 1 ，那么，1 0 ) = ，) 一f ( 1 ) = 9 0+z g bz 岛 i | 仡r 要嘞 那么，由( 3 8 ) 及( 3 9 ) 可知 = d ( 荟学即c 故级数薹学收敛 由f l 的定义及m s b i u s 反转有 m ) = f l ( d ) ， d i n 1 0 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 关于数论中几个渐近公式 本文的主要结果( 一) 所以 又类似地有 ，( 他) = f l ( d ) = f l ( d ) = f l ( d ) 1 = ( d ) 丢+ d ( i ( d ) 1 ) 2 薹学z 一三华z + 。( 羡i c 引) = 学z + d ( 缸) + d ( i 1 ) ( 3 1 0 ) if l ( d ) i i i ( u 2 口3 ) i m 7 1 d zu 2 v 3 _ x“2 ”3 霉 ：m 7ff1 , 1 1 3 9 u 2 素 ：m ，丽x l 2 + o ( z l a ) v ( x l 3 。 = o ( x 1 2 ) ( 3 1 1 ) 将( 3 1 1 ) 代入( 3 1 0 ) ，即知( 3 6 ) 成立 由于( 3 7 ) 式的证明与( 3 6 ) 的证明是完全类似的，详细过程从略 注：从( 3 1 1 ) 式的证明过程可得到 1 = o ( z l 2 ) n z n s q u a r e - h a l l ( 3 1 2 ) 现在证明定理1 1 在下面的证明中，我们总记f ( n ) 为集合s m 的特征函数，即 砌，= r 粼若n e 跏s m , 显然，是积性函数( f ( 1 ) = 1 ) 注意到1 m ，故对任意素数p ，有p s k ，即，= 1 1 1 关于数论中几个渐近公式 所以 再由夕1 的积性，知 任意正整数n 1 ，有 夕0 p ) i = i2 ，) 一2 ，0 p 一1 ) i 2 ，a 2 ， g t ( 矿) i = i9 ( 矿) 一9 扩- 1 ) i 冬4 ，对于任意q 1 口 9 1 ( 佗) i ( 川，对任意正整数礼成立c 3 1 3 ) 又对于任意给定实数e c o 三) ，有 p 等= p 嘉一o ， 1 2 证明( 3 3 ) 令 因为对任意的素数p ，有 9 2 ) i 夕2 ) 所以 9 2 ( n ) 9 3 ( n ) 羡( q 詈+ 。( ( 妒) ) c 2 x l o g x + 0 ) 莓础m j ，p p 一卅下( 1 ) m ) _ 2 - 1 “， i7 - ) ，口) 一7 一1 ) ，一1 ) i 2 r ( p a ) ，对任意整数a 2 口 i9 3 泸) i - l9 2 ( p a ) 一9 2 矿_ 1 ) | 4 w ( p a ) ，对任意整数q 1 类似g l ( n ) 的估计，我们有 g a ( n ) = d ( 矿) ，其e e o 1 2 为任意实数 再应用基本引理不难得到( 3 3 ) 式 口 证明( 3 4 ) 令 g a ( n ) g s ( n ) 1 3 他一d ，、p 、l ， ll但 “ s ； d d p p m m n d l “但 回 乳 则 绌 咖。 h 吆m 本文的主要结果( 一) 关于数论中几个渐近公式 采用与( 3 2 ) 相同的方法层p 日 得到( 3 4 ) 式 口 由于( 3 5 ) 式的证明相对复杂一些，我们给出详细过程 证明( 3 5 ) ，为集合跏的特征函数，令 ( n ) ：三妒( d ) ，( d ) ， 1 ( n ) = p ( d ) ( 三) 显然h ，h i 均为积性函数 又由定义可知 o ) = 三妒( d ) ，( d ) = 刍( 1 + ( p 1 ) ) = 1 ， ，d l 口 ，、 。 以及对于任意素数幂矿( a 1 ) ，有 jh l 妒) i = i p ( d ) ( p i a ) i = i 扩) 一九扩一1 ) i = i 歹1 篆删( d ) - 嘉d i 篆p a1 删( d ) i 。 d i 矿 一 m a x ( 嘉i p d i p a 洲) ，( d ) ，击d i 乏p a1 洲) 朋) ) - 一 m a x ( 嘉d i p a 触嘉d 善。， 廊用熟知的结果 可知 故由h 1 的积性有 妒( d ) = n ， d i n h l ( p a ) i 1 ih l ( n ) i 1 ，对任意自然数礼成立 所以由基本引理中的( 3 6 ) 式知 l ( n ) = 吒z + d ( z 1 7 2 ) ， n z 1 4 = z ( 。( x l 2 ) ) 一：2 0 ( ? 2 ) ) d t = c s x 2 - t - d ( z 3 2 ) 一互1c 5 2 2 + d ( z 3 2 ) = 去c 3 2 2 + d ( 2 ) 此外，注意到危( 佗) 的定义，我们有 n h ( n ) = 妒( d ) ，( d ) ， a l l - 故由m 6 b i u s 反转有 妒( 礼) ，( 礼) = e n 。n 。) 由此及( 3 1 4 ) ，可得 妒( n ) = 妒( 佗) ，( n ) = p ( d ) 三 ( 三) 怎0 ”9 “d i n = l a ( d ) l h ( 1 ) = p ( d ) l h ( o d l x d s l 0 ，我们有 三南= n e s m c b l o g z + 0 7 + d ( 万l o g x ) ， e s x l 7 + c 9 + o ( x 1 2 一l o gx ) ， c 1 0 石+ o ( 1 0 9 2z ) ， c 1 1 2 1 一+ o ( x 1 2 一l o gx ) ， c 1 2 + c 1 3 x 1 一+ 0 ( z 1 2 7l o g ”z ) ， 其中龟0 = 6 ，7 ，1 3 ) 均为正常数 证明设，( n ) 为集合跏的特征函数，我们先求急f 矿( n ( ) n n ) r ( 。 2 ) ，一妒0 a ) ”。一1 所以，当口，b 分别是s q u a r e - f r e e ，s q u a w - f u l l 整数时，由g 的积性有 g ( n ) i 丽1 ， g ( b ) i 而b ( 4 1 ) ( 4 2 ) 1 l 一2 ； k | - l 一2 r l = = r 1 2 r o r 关于数论中几个渐近公式本文的主要结果( 二) 令q 2 ，l 2 分别为s q u a r e - f r e e 、s q u a r e - f u l l 整数所成的集合易知任一正整数d 可 唯一表示为0 6 的形式，其中a q 2 ，b l 2 ，( a ，b ) = 1 ( 将b 记为d 的标准分解中指数 大于一的素数幂的乘积，剩下的一次素数幂的乘积记为a ，则o ，b 满足条件此外，唯 一性是显然的) ，所以结合函数g 的积性及( 4 1 ) ，( 4 2 ) 式有 i9 ( d ) i = 9 ( o b ) l d 9 口口2 a b 丘 z ，( 。 ) ：1 i9 ( n ) i i9 ( 6 ) i- z 一 n z b z a a e q 2 b e l 2 三丽1 白丽bn z 7 、。7 b 肛7 、。7 = & 应用结果妒( 佗) 赤( 推论( 2 3 ) ) 及( 3 1 2 ) 式，知 lg ( d ) i s l 。z 。l o 。g _ _ 兰a 铹z l 0 9 6 。z 9 l 。g a 镦z 1 0 9 z 嘶l o 。g _ _ _ _ a al o g z 正 = 0 ( 压l o g z ) ( 4 3 ) 此外，又由g 的定义和m s b i u s 反转得 鬻2 驴卜 因此 篆歹n r f 丽( n ) 2 蒹鲋) 2 忑舭) = 9 ( d ) 1 d zl x 。 。 ，f 、 由此，级数掣绝对收敛，记其和为c b 且对( 4 4 ) 式有 而n r f ( n 厂) 2 薹业z 一业z + 。( 石l o g d d z ) 急矿( n )鲁4 急 。 叫 = c 6 z + d ( 石l o g z ) 下面给出三南( 。 r 1 ) 的渐近公式 三南nz r、。7 n e s m ：f 丛生：r f ( n ) n r 一1 丢，一妒7 ( n ) 差，一妒( 礼) 礼7 ：挲+ rz z 学d t2 f + r 二矿 1 8 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 一。_。_-。_。_-。_-_-_。_。_-_。_。_。_-。_-。_。_一一 关于数论中几个渐近公式 本文的主要结果( 二) = c 6 x + o i ( v 石一l o g x ) + r = c 6 2 1 7 + d ( z 1 2 7l o gx ) + r s 2 ( 4 9 ) 令( 4 8 ) 中的余项为u ，( z ) ，则，( z ) = d ( 、历l o gx ) 且 s 2 = ：篙磐a t = z 扣+ z 等出 魄蚪( 。掣寥+ o c 警， 一； 鲁产+ 。筹出一鲁+ d ( x 1 2 - r 1 刊 1 2 ； 2 c 6 + o ( 1 0 9 2 z ) ， r = 1 2 ； 1c 一6r z l - - r + o ( x l 2 - l o g z ) ，0 r 1 2 由此及( 4 9 ) 即知，定理1 2 中0 1 的情形，由中值定理 ( 1 + 两1 ) p - l = r ( 1 制两1 ，其中郎( 。，币i ) 注意到r ( 1 + 如) 一1 r 2 ，并记a = r 2 ”1 ，则有 = ( 南) r - - ix ( 1 + 两1 ) - 1 刍= 鑫， 9 泸) = 考函i ，) 一，。)