（基础数学专业论文）三点式纤维化的整体不变量.pdf

摘要 摘要 寻找代数陆面的不变量之间的关系是代数几何的重要问题计算带有纤维化的曲面 的不变量等价于计算纤维化的相对不变量对于直纹面和椭圆纤维化以及超椭圆纤维化 的不变量，人们已有有效的计算方法非超椭圆纤维化的不变量计算是代数几何中未解 决的问题而三点式( n i g o n a l ) 纤维化是非超椭圆纤维化中最简单的情形例如亏格3 和亏格4 非超椭圆纤维化都是三点式纤维化 经过一个基变换后，三点式纤维化曲面都有一个到直纹面的三次覆盖，因此我们可 以利用三次覆盖理论来计算不变量我们可以从一个几何直纹面上的三次覆盖出发，并 且利用典范解消来解消曲面上的奇点这时我们就有公式来计算光滑曲面的不变量为 了回到原始曲面，我们还得收缩纤维中的( 一1 ) 曲线因此主要问题就是计算典范解消产 生的垂直( 一1 ) 曲线的条数对三次覆盖来说，这是一个未解决的问题 对于二次覆盖，类似的问题被e h o r i k a w a 【1 9 和肖刚【6 1 1 解决他们将分歧轨迹中 的奇点分为两类，并且对每一类奇点都有公式计算这种( - 1 ) 曲线的条数 对于三次覆盖，我们找到分歧轨迹奇点的一种数值分类我们将奇点分为9 类，并且 对每一类奇点，我们也知道典范解消产生的垂直( 一1 ) 曲线的条数这样我们就得到了原 始曲面的不变量如果把我们的方法应用于二次覆盖，那么我们也可以得到e h o r i k a w a 和肖刚的结果 作为应用，结合陈志杰和谈胜利f 1 2 1 的研究结果，我们得到了亏格3 半稳定非超椭 圆纤维化的不变量计算公式从而我们解决了m r e i d 4 6 1 于1 9 9 0 年提出的猜想对任 意亏格的三点式纤维化，我们得到了它的斜率的上界，推广了陈志杰和谈胜利的相关结 果 此外，对任意次覆盖的分歧轨迹的奇点，我们也有类似的数值分类i s 6 关键词三点式纤维化，三次覆盖，典范解消，斜率，h o r i k a w a 数 a b s t r a c t t of i n do u tt h er e l a t i o na m o n gt h ei n v a r i 袖o f8 na l g e b r a i cs u r f a c ei sa ni m p o r t a n t p r o b l e mi na l g e b r a i cg e o m e t r y t h ec o m p u t a t i o no ft h ei n v a r i a n t so ff i b r e ds u r f a c e 8i s e q u i v a l e n tt 0t h a to f t h er e l a t i v ei n v a r i a n t so f t h ef l b r a t i o n s t h e r ea r ee f f e c t i v em e t h o d st o c o m p u t et h ei n v s r i a n t so f s u r f a c e sw i t ha r u l i n g ，e l l i p t i cf i b r a t i o no rh y p e r e l l i p t i cf i b r a t i o n h o w e v e r ，i ti ss t i l la no p e np r o b l e mt oc o m p u t et h ei n v a r i n n t so fan o n - h y p e r e u i p t i c f i b r a t i o n t r i g o n a lf i b r a t i o u sa r et h es i m p l e s tc a o fn o n - h y p e r e l l i p t i cf i b r a t i o n s f o r e x a m p l e ，g e n u s3o r4n o n - h y p e r e l l i p t i cf i b r a t i o u sa r et r i g o n a l u pt oab a s ec h a n g e ，t h es u r f a c eo fat r i g o n a lf i b r a t i o na d m i t sag e n e r i c a l l yt r i p l e c o v e ro v e rs o m en l l e ds u r f a c e ，s ow ec a nu s et h et h e o r yo ft r i p l ec o v e r 8t oc o m p u t et h e i n v a r i a n t s w bs t a r tf r o mat r i p l ec o v e ro v e rag e o m e t r i cr u l e ds u r f a c e a n du s et h e c a n o n i c a lr e s o l u t i o nt or e s o l v et h es i n g u l a r i t i e so ft h ec o v e r i n g8 u r f a o e t h e nw eh a v e f o r m u l a sf o rt h ec o m p u t a t i o no fi n v a r i a n t so ft h es m o o t hs u r f a c e i no r d e rt og ob a c k t oo u ro r i g i n a ls u r f a c e ，w eh a v et oc o n t r a c tt h e ( - 1 ) c u r v e 6i nt h ef i b e r s h e n c e ，t h e m a i np r o b l e mi st oc o u n tt h en u m b e ro fv e r t i c a l ( - 1 ) 一c u r v e sc o m i n gf r o mt h ec a n o n i c a l r e s o l u t i o n h o w e v e r ，f o rt r i p l ec o v e r s ，t h i si sa no p e np r o b l e m f o rd o u b l ec v e l - s ，t h es i m i l a rp r o b l e mi ss o l v e db ye h o r i k a w a 【1 9 a n dg x i a o 【6 1 1 t h e yd i v i d et h es i n g u l a rp o i n t so ft h eb r a n c hl o c u si n t ot w ot y p e s ，a n df o re a c ht y p e ， t h e yh a v ef o r m u l a st oc o m p u t et h i sn u m b e r f o rt r i p l ec o v e r 8 ，w ef i n dan u m e r i c a lc l a s s i f i c a t i o no ft h es i n g u l a r i t i e so ft h eb r a n c h l o c u s w ed i v i d et h es i n g u l a r i t i e si n t o9t y p e s ，a n df o re a c ht y p ew ek n o wa l s ot h en u m b e r o fv e r t i c a l ( - 1 ) l h l r v e sc o m i n gf r o mt h ec a n o n i c a lr e s o l u t i o n a sac o n s e q u e n c e ，w eg e t t h ei n v a r i a n t so ft h eo r i g i n a ls u r f a c e i np a r t i c u l a r ，i fw ea p p l yt h em e t h o dt od o u b l e c o v e i l $ ，t h e nw eg e tm s oh o r i k a w aa n dx i a o sr e s u l t a s 衄a p p l i c a t i o n w eo b t a i nt h ec o m p u t a t i o nf o r m u l a sf o rt h ei n v a r i a n t so fas e m i - s t a b l en o n - h y p e r e n i p t i cf i b r a t i o no fg e n u s3b a s e do nt h ej o i n tw o r ko fz m jc h e na n d s - l t a n 1 2 】a 8ac o n s e q u e n c e ，w es o l v em m 粗8c o n j e c t u r e | 4 6 1p r o p o s e di n1 9 9 0 f o rat r i g o n a lf i b r a t i o no fh i g h e rg e n u s ，w eg e tu p p e rb o u n d so ni t ss l o p e ，w h i c hi m p r o v e s s i m i l a rr e s u l t so fz c h e na n ds 一l t a n f u r t h e r m o r e ，f o r 伽t u p l ec o v e r s ，w eh a v eas i m i l a rn u m e r i c a lc l a s s i f i c a t i o no ft h e s i n g u l a r i t i e so fb r a n c hl o c u s k e yw o r d s t r i g o n a lf i b r a t i o n ，t r i p l ec o v e r ， c a n o n i c a lr e s o l u t i o n ， s l o p e ， h o r i k a w a 8n u m b e r 一 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知， 除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体均已在本文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复 制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将 学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：! 堡t 叁 导师签名 日期：兰：! ! ：! ：! 日期 血刚 第一章引言 1 1 研究背景 第一章引言 设，：s c 是亏格g ( 2 ) 纤维化，也就是从光滑复射影曲面s 到亏格b 的光滑射 影曲线e 的全纯映射，它的纤维是连通的g 是一般纤维的亏格我们总假设s 是相对 极小的，即纤维中不含( 一1 ) 曲线按曲线论的观点，我们知道，曲线到p 1 上的覆盖的最 小次数d 是曲线的重要不变量d = 2 时称为超椭圆的d 3 称为非超椭圆特别地， d = 3 称为三点式的( t r i g o n a l ) 按照一般纤维的相应性质，纤维化可分为超椭圆，非超椭 圆和三点式等等 根据代数曲面s 的特殊性质，寻找曲面的基本不变量( s = 哟，c 2 ( 研= x t o p ( 印， x ( o s ) 之间的关系，是代数几何中的基本问题对于带有纤维化的曲面，我们等价于研究 三个相对不变量之间的关系 碍= 知= 磁一s ( g 一1 ) ( b - 1 ) ， x ，= x ( o s ) 一( g 一1 ) ( 6 一1 ) ， 8 ，= ) o o p ( s ) 一4 ( g 1 ) ( 6 1 ) 当s 相对极小时，这些量是非负整数它们满足n o e t h e r 公式研+ 碍= 1 2 x ， 当g 2 时，研= 0 当且仅当x ，= 0 ，也当且仅当纤维化是局部平凡的，即所有纤 维同构而8 ，= 0 当且仅当所有纤维光滑，即没有奇异纤维特别地，如果e ，= 0 且 x ，0 ，那么就称这种纤维化为k o d a i r a 纤维化 8 ，的计算是一个拓扑问题它可以归结为奇异纤维f l ，尼，只相应的不变量的 计算具体地讲，我们有e l = 8 r ，其中8 r = x t 叩( r ) 一( 2 2 9 ) 利用谈胜利【4 9 】的 计算公式则有 8 r ：= 2 ( g p o ( 最，同) ) + p ( r r e d ) - l 一 第一章引言 其中只r e d 是只的支集，p ( 只，耐) = 脚( e ) 是只上所有奇点的m i l n o r 数之和 p 最 当g = 0 时，没有奇异纤维，s 是直纹面，此时我们有碍= x ，= e l = 0 等价地，我 们有 磁= 8 ( g 1 ) ( 6 1 ) ， x ( o s ) = 0 1 ) ( 6 一1 ) ， x t o p ( s ) = 4 ( g 一1 ) p 一1 ) 当g = 1 时，称为椭圆纤维化，s 称为椭圆曲面此时叼= 0 ，x ，= 去8 ，等价地， 我们有 磁= o ，x ( 仉) = 壶砷( s ) 在这种情形，小平邦彦( k o d a i r a ) 【2 4 】将奇异纤维分为1 1 类通过计算每一类奇异 纤维对不变量的影响值，就可以得到不变量的计算公式 当g = 2 时，为了计算不变量，很多人试图仿照k o d a i r s 的方法对奇异纤维分类例 如o g g 【4 2 】，n a m i k a w a - u e n o 4 0 ，4 1 1 等人将奇异纤维分为两百多类人们很快发现通过 这种方法研究不变量之间的关系是不可行的 因为亏格2 纤维化是超椭圆纤维化，其相对典范映射给出了它到一个相对极小直纹 面的二次覆盖h o r i k a w a 1 9 在1 9 7 7 年利用二次覆盖的方法成功地将奇异纤维分为五 类，从而得到不变量的计算公式 肖刚f 5 8 l 不是通过分类奇异纤维，而是将二次覆盖奇点分为两类，最终得到了亏格2 纤维化的优美的不变量计算公式( 也可见【6 1 】) 碍= ；s 。+ b 11 材。而8 2 + 亏5 3 ， e l = 现q - 8 3 ， 这里3 2 ，3 3 是所谓的奇异性指数在半稳定情形，s 2 表示纤维中不可分离点的个数，s 3 表 示可分离点的个数一个点叫做不可分离点，如果去掉该点后纤维仍然连通 2 第一章引言 进一步，肖刚【6 1 】对于任意亏格的超椭圆纤维化，都给出了不变量的计算公式比如 g = 3 时，有 碍= 亍2 s 2 + 了1 7 s 3 + 了1 0 s 4 + 了2 0 s 5 ， 3 221 x 1 2 两s 2 + 7 岛+ 亍3 4 + 丽3 5 。 对于非超椭圆纤维化，由于二次覆盖方法不能用所以不变量的计算一直是一个未 解决的问题 当g = 3 时，很多人试图寻找其他方法来计算不变量e v i e h w e g 5 5 】希望用 w j i e 璐c r a 点的方法来计算e h o r i k a w a 【1 9 等证明了砰3 x i m r e i d 和肖刚试图用原子纤维( a t 曲1 i cf i b r e ) 的方法来计算不变量他们将原子纤 维分为四类所谓原子纤维就是不能通过形变而变成一些更加简单的奇异纤维m r e i d 【4 6 】于1 9 9 0 年猜测不变量公式为 x ，= 百1 ( s 。+ s 1 + 3 s 2 + 5 8 3 ) ， 叼= i 1 ( s o + 4 s l + 9 s 2 + 1 4 s 3 ) ， e l = 8 0 + s 2 + 2 s 3 ， 此处乳是第( i ) 型原子纤维的个数( 见7 1 ) 对g 4 非超椭圆纤维化，人们只能知道些不等式关系为此，当x ，0 时，肖刚 【5 7 】定义纤维化的斜率= 碍x s ，并证明了 24 4 g 对小亏格的非超椭圆纤维化，有以下一些结果： 3 |晕n 一一 第一章引言 s t 加b v n k e i 【4 _ 7 l 证明了对于半稳定三点式纤维化，有 艟黼 因为亏格3 和亏格4 非超椭圆纤维化都是三点式纤维化，经过基变换后有一个到直 纹面自 j _ - - - 次覆盖陈志杰和谈胜利试图利用三次覆盖来研究不变量计算问题这也是研 究三次覆盖的目的之一特别地，他们【1 2 l 通过对三次覆盖分歧轨迹的奇点的分析，得到 了斜率上界的估计 邪，：霎：5 ， 其中a 是纤维化的不变量( 见4 1 ) 因此k o d a i r 8 纤维化( 1 i p 满足a ，= 1 2 的纤维化) 只 可能出现在a 1 的情形他们迸一步得到了任意亏格的三点式纤维化的斜率上界估计 其中的关键之处是估计典范解消曲面产生的( 一1 ) 一曲线条数 对超椭圆情形，肖刚也有类似的研究他 6 1 】证明了 ，i1 2 一照铲，g 是偶数， 邪1 1 2 - 舞8 9 + 4 ：；是奇数： 1 2 主要结果 利用我们对( - 1 ) 一曲线条数的计算，结合陈志杰和谈胜利的研究，我们可以得到任意 亏格的半稳定三点式纤维化的不变量计算公式( 见7 2 ) 特别地，我们得到g = 3 时的 不变量公式 定理1 1 e ，= s o + 观， 4 阮。铲 + + 乱 以 4319 + + 跚 印 l一3l一9 = = 砰 第章引言 其中s 0 是纤维中不可分离点的个数，s 2 是可分离点的个数，s l 是超椭圆纤维的个数 对非半稳定情形，我们可以利用稳定约化 r ：0 一g 由谈胜利1 5 1 l 的计算公式，我们有( d = d e g l r ) 碍= 等+ f 相， e ，2 等+ 莓嘏 驴等+ 莩肌 这里砰( f ) ，也( 刃，加都是奇异纤维p 的非负不变量它们为0 当且仅当f 半稳定 进一步，对原子纤维都可以验证m r e i d 猜想是正确的对第( 3 ) 型的原子纤维， f = 2 c ，其中c 是光滑超椭圆曲线，这时经过d ( = 2 ) 次基变换，就变成了亏格3 超椭圆 纤维，且有喀( f ) = 4 ，比( f ) = 2 这种奇异纤维对不变量的影响值恰好与m r e i d 的猜 想公式吻合 如前所述，计算的难点在于确定三次覆盖典范解消曲面的( 一1 ) 一曲线条数在二次覆 盖时，这种典范解消曲面上产生的( - 1 ) - 曲线条数问题被e h o r i k a w a 【1 9 】和肖刚【6 1 】解 决他们将分歧轨迹中的奇点分为两类为了解决三次覆盖典范解消产生的( 一1 ) 曲线 条数问题，我们发现了分歧轨迹的奇点分类的数值判别方法我们利用它将三次覆盖分 歧轨迹的奇点分为九类然后我们可以对每一类奇点计算( 一1 ) 曲线条数因此我们最 终得到三点式纤维化曲面的不变量计算公式 对于n 次覆盖的分歧轨迹的奇点，我们也有类似的数值分类( 见【3 6 】) 按照这种分 类，我们也可以分析由覆盖曲面的奇点解消所产生的( 一1 ) 曲线我们将在第九章中简单 介绍这些内容 作为应用，我们将估计亏格g ( 4 ) 的三点式纤维化的斜率上界( 见( 1 3 9 - 5 - s i + g 一 -s。“1c 定理1 2 设9 4 且q 2 我们有 a ，1 2 - - 面万2 4 两( a 石- 丽1 ) a = 西 这里r = r ( a ，g ) 是依赖于a 和9 的值( 见4 1 ) 特别当a = g + 2 时，我们有 邪仁1 2 - 学g 一6 1 , ：竺萎： 这样k o d a i r a 纤维化只可能出现在口1 的情形 本文的内容安排如下： 在第二章中我们回顾一下三次覆盖的基本概念和结论我们将介绍三次覆盖的奇 点解消以及三次覆盖不变量的计算公式 在第三章中，利用三次覆盖的典范解消，我们可以对三次覆盖的分歧轨迹奇点进行 一种有效的数值分类利用这种分类方法，我们对奇点的典范解消引入的( 一1 ) 一曲线做了 一个数值分析此外我们还计算了分歧轨迹奇点的h o r i k a w a 数 在第四章中，我们首先介绍了一些基变换方面的结论进一步，我们可以将三次覆 盖的分歧轨迹取成所谓的规范模型( 见4 2 ) 最后，我们计算了直纹面上水平曲线的相 对分歧指数 在第五章中，利用数值分类方法，我们给出了每一类奇点的典范解消图，定义了奇异 性指数然后数精确地计算出由典范解消引入的( 一1 ) 一曲线的条数 在第六章中，我们首先证明了a 2 时，纤维中没有额外收缩的( 一1 ) - 曲线，计算了 a 1 时的额外收缩曲线的条数然后我们讨论了分歧轨迹中的例外除子在三次覆盖下 的拉回什么时候提供( 一1 ) 曲线 在第七章中，我们利用奇异性指数精确计算出三点式纤维化的不变量，特别地，我们 得到了亏格3 非超椭圆纤维化的不变量计算公式，从而证明了定理i i 在第八章中，我们证明了定理1 2 在第九章中，我们简单讨论了n 次覆盖的分歧轨迹奇点的数值分类利用这种分类 可以分析奇点解消中引入的( 一1 ) 曲线 6 - 第二章三次覆盖基本理论 三次覆盖的理论最早由r m i r a n d a 3 9 】系统地研究谈胜利 5 2 ，5 3 l 从三次扩张的整 闭包理论出发，进一步发展了三次覆盖理论在曲面情形，谈胜利证明了曲面的三次覆盖 奇点有典范解消( 见2 2 ) 以下我们简单回顾这些内容 2 1 三次覆盖数据 设岛是复数域c 上的光滑代数曲面， r ：s o 一昂是一个正规三次覆盖所谓 三次覆盖数据就是这样一些截面构成的三元组( s ，t ，c ) ，此处是昂上的可逆层， 8 日o ( 昂，2 ) 和俨( r ，3 ) 都是截面( t 0 ) 岛就是在线丛c 中由方程 + s z + t = 0 所定义的曲面的正规化任何三次覆盖丌总是被某个三次覆盖数据 ( 毛，c ) 唯一确定如果s = 0 ，那么这个三次覆盖是伽罗华覆盖，所有的事情都是熟知 的读者可以参考【鸫】因此以下我们总假设s o 设 4 s 3 2 7 t 24 8 3 + 2 7 t 2 0 2 面丽归面丽归g c d ( s 3 , t 2 ) 那么mb 和c 是某个可逆层中两两互素的截面，满足口+ 6 = o 反过来，任何满足口+ b = c 的两两互素三元组( o ，b ，c ) 都可以唯一确定昂上的一个 三次覆盖假设我们有一个分解( 对应于它们的除子分解) 口= 4 1 d d ，b = 2 7 b 1 6 3 ，c = c l 碚 此处o l ，口2 ，b l ，c l 无平方因子，且g c d ( d l ，啦) = 1 于是数据( s ，t ) 被( 口，b ，c ) 唯一确定： 5 = 口1 h 口o ，t = d 1 醒 7 一 第二章三次覆盖基本理论 相应的除子记为 a = d i v c a , ) ，最= d i v ( b i ) ，g = d i v ( e ) 设d 1 = b l + a ，d 2 = a l + a 2 分歧轨迹除子就是r = 2 d 2 + d 1 霄在d 2 = a l + 也 是全分歧的，因此d 2 被称为全分歧轨迹；d i 被称为一般分歧轨迹，它是偶除子层 ( t r a c e - f r e es u b s h e a f ) ，于是有c 1 ( 乓) = 一詈岛是光滑曲面当且仅当d 2 光滑，d 2 与 d l 没有公共交点，且d l 所有奇点都是g o o dc u s p s 点，即可以局部解析地定义为 护+ ，( z ，g ) 3 = 0 ，f ( o ，o ) = 0 ，并且丌在这种点上是全分歧的 2 2 典范解消 岛上所有奇点的典范解消7 ：雪一岛来自下面的交换图 雪= 鼠上i 一岛& - 二k 岛 型r 二一k i p ” 陋” j 6 = r o 一庞o a - 扁 ( 1 ) 仉+ l 是只在以的分歧轨迹奇点p l 处的爆发( b l o w i n 争u p ) s o l 是忍 l 只s 的 正规化亓= 巩有光滑的分歧轨迹因此雪= 鼠是光滑的 ( 2 ) 川对应的三次覆盖数据( n ( o ，6 ( “，c ( o ) 可以通过消去下式中的公共因子得到 2 3 不变量计算公式 ( 西口( 一n ，町6 ( 一n ，酊一1 ) 设凼= m i n m h ( j 4 ( ) ， h ( b “) ，竹h ( c ( ) ，此处脚( d ) 除子d 在嫩的重数 设 t 7 l i2 - 8 一 ( 2 - 2 ) 第二章三次覆盖基本理论 啦： 竺讧也5 ( 劣) ( m o d3 ) ；( 2 - 3 ) 轳1 ( d ；i ) ) “o t h 咖 w i 。驰+ 啦 设蜀是以的例外曲线，且1 是日在户中的完全原像设盯0 1 靠：户一r 通过计算，我们得到亓的分歧轨迹 西l = 矿( d 1 ) 一2 m t 毛+ l ， i - - o k - - 1 魂= 矿( d 2 ) 一n t 缸- 因为d l 晚= 0 ，由公式( 2 4 ) ，我们有 现在我们得到三次覆盖的不变量公式： ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) x ( ) = 3 x ( d 而) + 百1 “2 。+ 五1 d t + 去噬+ ；d 2 一姜k - - 1 业2 趔一基丛铲， ( 2 - 。) 鲁厶i = o 1 8 ”1 碍= 3 k 毳+ ；d i + 2 d - 耳矗+ ；d 2 + 4 d 2 k 而 一萎2 ( 她_ 1 ) ：- 。- 1 4hi(h3i-3)-：14 n i ( m - 3 ) 地( 2 - 7 ) 一2 一1 ) 2 - 3 一七 t f f i o i f f i o 一 分歧轨迹奇点p 的h o r i k a w a 数被定义为 缉= ；( 2 一训挑一3 ) + e p ， 此处跑遍p 的所有无穷接近奇点 9 ( 2 - 8 ) m m 枷 2 = 如 d 第三章奇点的数值分类 设 r ：岛一p o 是一个三次覆盖，亓：雪一户是 r 的典范解消我们仍然沿用上一节 的记号和概念 t 6 j 一一o a k l - 岛- 岛j i 岛 。是r 卫一b r a 三r 。1 3 晶f o 目庐= r o 一b - r - 晶 设p 晶是霄的全分歧的分歧轨迹奇点设z 是支集在s u p p ( 亓矗) 上的基本闭链 3 1 分歧轨迹奇点的数值分类 设a = 膏晶一z 为了书写方便，我们记w = 矿晶我们用v g s w 表示- 矿中任 何不可约分支其余各处出现的类似写法不再一一说明 因为wc ：f 0 ，v g w ，所以由基本闭链的极小性可知a 0 如果a 0 ，那么 - 3 = w 2 = 矛+ a 2 + 2 a z - 2 + 2 a z 因此a z = 0 且a 2 一2 设z - 是支集在a 上的基本闭链，b = a z 由于a g = w q 0 ，v g a ，所 以由基本闭链的极小性可知b 0 如果b = 0 ，那么w = z + z a 如果b 0 ，那么 一2 a 2 = 蜀+ b 2 + 2 z a b 一2 + 2 9 a b ，因此现b = 0 并且z j = b 2 = - 1 因为b a = a q 0 ，v g b ，由基本闭链的极小性可知d = b 一孑日0 这里 z b 是支集在b 上的基本闭链假设d 0 ，那么一1 = b 2 = 3 2 + 磊+ 2 d z b - 2 ，矛 盾因此必有b = z 裔 这样我们实际上就得到了亓矗的唯一分解 膏+ 矗= z l + 忍+ z 3 ， 蜀 忍磊0 ，p 1 ) z t z j = 0 。t 辛j 如果z 0 ，那么s u p p ( z ) 是连通负定曲线，且z t 是支集在s u p p ( z ) 上的基本闭 1 0 链 为了叙述方便，互被称为分歧轨迹奇点p 的i t h 基本闭链 对二次覆盖的奇点，我们也有类似的分解：开矗= z i - i - z 2 现在回到三次覆盖的情 形我们考虑丌的一般分歧的分歧轨迹奇点p 此时，1 1 - 1 ( p ) 由一个二次覆盖奇点和一个 光滑点组成霄- 1 ( p ) 中的光滑点在典范解消曲面中的例外集是第一类有理曲线( 见【4 】) ， 其所对应的的基本闭链记为z 3 这样我们也有唯一分解亓。晶= 蜀+ 历+ z 3 于是在典范解消中，对丌的分歧轨迹奇点p ，我们有 引理3 1 假设r 是7 1 i 的分歧轨迹奇点，那么亓+ 最+ 1 有如下的唯一分解 亓最+ l = z o + z + z 5 0 ， 犁 露掣0 ， 布z f = 0 ，z ( 3 - 2 ) 如果帮0 ，那么唧p ( 露) 是连通负定曲线，且z 岔是支集在s u p p ( z k ( i ) 上的基 本闭链 因为一3 = ( 亓。晶+ i ) 2 = ( z f ) 2 + ( 劣) 2 + ( 劣) 2 ，所以一3 ( z ) 2 一1 又因为z o 劣) ，故( 墨) 2 = 亓i + l z l 亓毛+ l 掣= ( 劣) 2 同理，如果a 是全 分歧的奇点，那么我们有( z 参) 2 ( 露) 2 如果a 是一般分歧的，那么由前面z ：l i ) 的定 义，我们有( 硝) 2 = 一1 注意到z l o 是奇点解消例外集上的基本闭链，所以( 硝) 2 和解消方式无关，是奇点 的不变量按照下面的分类讨论，很容易看到( 劣) 2 和( 硝) 2 都不依赖于解消，因此我 们可以认为这是分歧轨迹奇点的不变量，它只和覆盖以的局部性质有关 按照上面的讨论我们可以将每一类分歧轨迹奇点p 归结为下列几种情形 c a s e1 ( 雹) 2 = 一1 由上讨论，显然有( 劣) 2 = ( z 岔) 2 = 一1 如果鼽是全分歧的分歧轨迹奇点，那么掣帮设岛z 岔满足力q 七) ，所以亓i + 1 a = 一3 且亓毛+ i 3 a 这就推出 亓毋+ l = 3 a ，也就是说，忍+ l 落在全分歧轨迹里这蜀+ l 就是爆发叭l 所对应的例外 曲线 - 1 1 第三章奇点的数值分类 如果鼽是一般分歧的分歧轨迹奇点，那么通过类似的讨论，我们知道局+ l 落在一般 分歧轨迹中设亓艮l = 2 a + q 我们则有劣6 1 = 一1 以及z q = 一1 c a s e2 ( 霉) 2 = 一2 如果m 是全分歧的，那么( 劣) 2 = 一i 且孝= 0 设a 曼孝满足劣a 0 因 为劣是本身支集上的基本闭链，并且( z p ) 2 = 一1 ，所以z 拿a = 一1 由于霉墨 且2 o z 岔= o ，所以亓乐 l a 0a n d 亓晶+ l 2 a 这就推出 “l 落在分歧轨迹里 假如e i + l 是全分歧( 相应的，一般分歧) 的例外分支，那么a 在z i 。) 中的重数恰好是2 ( 相应的，1 ) 如果a 是一般分歧的分歧轨迹，那么( 掣) 2 = 一1 且z = 0 根据掣的定义， z 和z 挈没有公共分支 c a s e3 ( 硝) 2 = 一3 在这种情形，我们有劣= 掣= o 这样我们可以断言仇必定是完全分歧的事实 上露0 对任何一般分歧的分歧轨迹奇点都成立 这样我们给出了三次覆盖分歧轨迹奇点的一种数值分类方法在5 1 中，我们还将 进一步分析各种类型的奇点 回顾2 3 定义的局部不变量毗；挑+ 啦下面的结论表明覆盖奇点的不变量 ( 墨”) 实际上被分歧轨迹奇点的重数所控制 设z 9 同上那么 批= m ( z ) + m ( z 岔) + ( z 岔)( 3 - 3 ) 因此砒o 进一步，挑= 0 当且仅当町。1 慨) 中的点都是覆盖的光滑点 事实上，不妨只考虑i = 0 的情形由引理3 1 ，利用h u r w i t z 公式，我们有( z i o ) + 几( z ：1 0 ) ) + p 4 ( 省) = ；( 西+ 2 岛) 晶利用公式( 2 - 4 ) 立得式( 3 - 3 ) 结论的后半部分结论 是显然的 如果分歧轨迹奇点a 的拉回只有有理奇点，那么显然这时p a ( z 翔= o ，只要 z ：o o 的话( 见【4 】) 因此这时总有毗2 在典范解消意义下，所有的三次覆盖奇点可以被替换为以下九类奇点这种替换不 会影响奇点对不变量的贡献值在二次覆盖情形，肖刚【6 l 】将奇点分为两类 b ，p e0 1 ：a 是全分歧的g o o dc 唧，其中一般分歧轨迹d l 的局部方程可写为 1 2 第三章奇点的数值分类 护+ 矿= 0 i i x 3 r p e0 2 ：p i 是全分歧的g o o dc m p 其中一般分歧轨迹d 1 的局部方程可写为 z 2 + 户= 0 ，n 2 t y p ei l ： a 全分歧并且( 雹) 2 = 一i ，满足( 乏) 2 = 一i 以及如( 乏) = 0 u = 2 ，3 ) 此外，p o ( z l ”) 0 t y p e1 2 ：鼽全分歧并且( z l ) 2 = 一i ，满足( z ：) 2 = 一1 以及p 4 ( 露) = 0 此 外，p , ( z l ”) 0 ，且“( 劣) 0 t 1 f p e2 ：p 全分歧并且( z ) 2 = 一2 ，满足( z 岔) 2 = 一i 以及p o ( 雹) = 0 此外，由 p 爆发的例外曲线e 0 l 落在全分歧轨迹里 t y p e3 ：p i 全分歧并且( z f ) 2 = 一2 ，满足( z p ) 2 = 一1 ，且( 劣) = 0 此外， 日+ l 落在一般分歧轨迹里 t y p e4 ：p 是全分歧的，并且( 盈0 ) 2 = 一3 此时由a 爆发的例外曲线毋+ l 不落在 分歧轨迹里 t y p e5 ：p 是一般分歧的，并且( z ) 2 = 一1 ，满足( 毯) 2 = 一1 以及m ( 零) = 0 0 = 2 ，3 ) 但是m ( 帮) 0 此外，z i 和劣没有公共分支 t y p e6 ：p 是一般分歧的，并且( 墨o ) 2 = 一2 ，满足劣= 0 ，以及( 犁) 2 = 一1 ， ( 窍) = 0 此外，z l o 和z 没有公共分支 我们举一例说明一个三次覆盖分歧轨迹的奇点是如何替换成上述类型的奇点其 余情形可类似地讨论( 见【3 6 1 ) 比如p 是全分歧的，且( 矽) 2 = 一1 以及m ( 露) 0 u = i ，2 ，3 ) 设以的局部解消数据是( 驰，仉) ( 见2 3 ) 于是我们在解消意义下可把这 个奇点替换为t y p e4 奇点加上由a 爆发的例外曲线上的无穷接近奇点，而且要求这个 t y p e4 奇点的解消数据也等于( 佻，m ) 由三次覆盖的不变量计算公式可知，这样的替 换没有改变奇点对不变量的影响值 在5 1 中，我们将讨论直纹面上的三次覆盖，它诱导出半稳定的三点式纤维化此 时三次覆盖的分歧轨迹的奇点可以简化为六种类型我们可以更加精确地描述它们，并 且可以对每一类奇点计算它们提供的( 一1 ) 一曲线条数 3 2 奇点解消产生的( 一1 ) 一曲线的数值分析 首先我们证明一个很有用的引理 - 1 3 第三章奇点的数值分类 引理3 2设c 是负定曲线，d 和d ，是支集落在c 中的两个闭链，满足d 2 = d a = 一1 如果s u p p ( d ) ns u p p ( y ) o ，那么d d ，或者d d ，进一步，如果 d d ，那么d d = 0 证明反证法假设结论不成立，我们来导出矛盾! 我们用dad ，表示不超过d 和d ，的最大公共闭链，亦即d d ad ，0 和d ，一d ad ，0 没有公共分支 设a = d dad ，以及b = d ，一dad ，由假设，我们有a d ，0 因为 ( d + d ，) 2 一1 以及( d d ，) 2s 一1 ，所以dd ，= 0 又因为s u p p ( d ) ns u p p ( d ) o ， 所以d a 0 ，亦即a d 同理可证b d ，d ，0 因为 一2 = ( d d ) 2 = ( a 一日) 2 = + b 2 2 a b a 2 + b 2 一2 ， 所以a 2 = b 2 = - 1 且a b = 0 再次利用上面的讨论，我们有a d = a i y = b d = b d = 0 于是( d ad ，) d = ( d ，一b ) d = 0 另一方面，( d a i y ) d = ( d a ) d = d 2 一a d = - 1 ，矛盾! 假设7 r ：岛一r 是一个三次覆盖，亓：雪一户是丌的典范解消设p ：雪一雪收缩 了所有由奇点引入的( 一1 ) 曲线，亦即p 由以下的b l o w i n g - d o w n 复合而成 雪二s 乌一群一l 卫母( = 雪) ( 3 - 4 ) 其中p i 收缩( 一1 ) 曲线g 我们用花体字母g 表示g 在p 下的完全原像在不致于引起 混淆的情况下，我们仍然用g 表示它在p 下的严格原像 回顾引理3 1 的分解式亓磊 l = z i o + 劣+ z _ ；：i ) 我们断言每个完全原像g 必定是 某个分解式中的项z ， 事实上，如果结论不真，我们可以找到某个完全原像q 使得它不是任何一个z ：”不 失一般性，我们不妨假设s a p p ( c k ) 包含了亓晶中的某条不可约分支日，这里置是典 范解消中第一次爆发分歧轨迹奇点得到的例外曲线于是q 亓矗 0 因为瑶= - - 1 ，由 引理3 2 ，6 墨= 反矿矗 0 但是我们知道前是例外集上的基本闭链，且当p ( 帮) 不是一个点时，有z i o ) = 矿“z p ( 见【5 6 】) ，此时不可能有反z i 0 ) 8 ( 1 ) 如果不是半稳定，那么a ， a ， ( 2 ) 如果，的斜率极大，那么，是半稳定的 由上面的讨论，我们总是可以假定，是半稳定的由引理4 1 ，还可以进一步假设下 面的交换图成立 雪+ l 雪3 一s