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硕士论文基于微带开l 谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 摘要 基于微带开口谐振环结构的广义切比雪夫滤波器具有高截止性、传输零点可控性和 平面结构等优点，在电子系统中具有很好的应用前景。本文着重从如下几方面对基于微 带开口谐振环结构的广义切比雪夫滤波器进行研究： ( 1 ) 阐述了广义切比雪夫函数滤波器的综合方法，采用矩阵旋转法对原型耦合矩 阵进行化简和变换，并编写了广义切比雪夫函数滤波器的综合设计和分析程序。讨论了 最优零点选取方法和级联耦合矩阵的零点分布的独立性。 ( 2 ) s y 析讨论了微带开口谐振环的等效电路和耦合模式，采用电磁场仿真软件a d s 设计微带开口谐振环并分析了两微带开口谐振环之间的耦合系数与耦合距离的关系。 ( 3 ) 分别采用六阶2 零点对称型和七阶3 零点级联型两种不同的拓扑结构设计了 广义切比雪夫滤波器。采用电磁场仿真软件a d s 对该滤波器进行了仿真分析，仿真结 果表明本文介绍的设计方法有效可行。在此基础上对该滤波器进行了实验研究，分析了 本文所研制的微带开口谐振环结构广义切比雪夫滤波器插损偏大的主要原因。 关键词：滤波器，广义切比雪夫函数，传输零点，耦合矩阵 a b s t r a c t 硕上论文 a b s t r a c t b e c a u s eo ft h ec o n t r o l l a b l ef i n i t et r a n s m i s s i o nz e r o s ，h i g hs e l e c t i v i t ya n d p l a n a rs t r u c t u r e ， t h eg e n e r a lc h e b y s h e vf i l t e rb a s e do n m i c r o s t r i p o p e n l o o pr e s o n a t o rp o s s e s s e sb r o a d a p p l i c a t i o nf o r e g r o u n d t h et h e s i si sm a i n l yo nam e t h o df o rt h eg e n e r a lc h e b y s h e vf i l t e r i n g f u n c t i o n ss y n t h e s i s t h em a i nw o r k sa r ed e s c r i b e da sf o l l o w s ： f i r s t ，t h eb a s i ct h e o r yo ft h eg e n e r a lc h e b y s h e vf i l t e ri si n t r o d u c e ds y s t e m a t i c a l l y a m e t h o do f m a t r i xr o t a t i o ni su s e dt oa n n i h i l a t en e e d l e s sn o n z e r ov a l u e si nt h ec o u p l i n gm a t r i x t h e naf i l t e rs y n t h e s i sp r o g r a mi sd e s i g n e dt om a k et h eg e n e r a lc h e b y s h e vf i l t e rs y n t h e s i s e a s ya n df a s t a tl a s t t h ei n d e p e n d e n td i s t r i b u t i o no ft h et r a n s m i s s i o nz e r o si nc a s c a d e d m a t r i xa n dt h em e t h o dt oe x t r a c tt h eo p t i m u mp o s i t i o n so ft r a n s m i s s i o nz e r o sa r ed i s c u s s e d s e c o n d ，t h ee q u i v a l e n tc i r c u i to ft h em i c r o s t r i po p e n - l o o pr e s o n a t o ri sd i s c u s s e ds ot h a t w ec a na s s o c i a t et h ee q u i v a l e n tc i r c u i tm e t h o dw i t ht h es o f to fh i g hf r e q u e n c ys i m u l a t i o nt o r e a l i z et h ec o u p l i n gr e s o n a t o r s t h e nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o u p l i n gc o e f f i c i e n ta n d c o u p l i n gd i s t a n c ei sd i s c u s s e da sw e l l t h i r d ，as i x d e g r e e2t r a n s m i s s i o nz e r o ss y m m e t r i c a la n das e v e n d e g r e e3t r a n s m i s s i o n z e r o sc a s c a d e db a n d p a s s f i l t e r sa r es i m u l a t e dr e s p e c t i v e l yb yu s i n gt h es y n t h e s i z e dc o u p l i n g m a t r i x ，m e t h o do fm a t r i xr o t a t i o na n da d s ，a n ds i m u l a t e dr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ev a l i d i t y a n df e a s i b i l i t yo ft h ep r e s e n t e dt h e o r y o nt h eb a s i so ft h i se x p e r i m e n t a lr e s e a r c h ，t h em a i n r e a s o nf o rt h eh i g hi n s e r tl o s so ft h em i c r o s t r i po p e n - l o o pf i l t e rd e s i g n e di nt h i st h e s i si s a n a l y z e di nd e t a i l k e yw o r d s ：f i l t e r g e n e r a lc h e b y s h e vf u n c t i o n f i n i t et r a n s m i s s i o nz e r o c o u p l i n gm a t r i x 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：堡j 壶 硼年月订日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：和刁年月彳日 硕士论文 基于微带开u 谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 1 绪论 1 1 引言 1 9 1 5 年，德国科学家k w w a g n e r 开创了一种以“瓦特纳滤波器”闻名于世的滤波 器设计方法，与此同时，在美国，g a c a n b e l l 则发明了另一种以图像参数法而知名的设 计方法。1 9 1 7 年，两国的科学家分别发明了l c 滤波器，从此许多科研人员开始积极的 和系统的对采用集总元件滤波器进行理论研究。随着滤波器设计理论的深入研究、材料 领域的不断发展以及工作频率的日益升高，滤波器设计由原先的集总参数元件滤波器逐 渐扩展到分布参数元件滤波器。早在1 9 3 9 年，介电滤波器出现了，但由于当时材料的温 度稳定性不高使该种滤波器不足以实际应用，直到2 0 世纪7 0 年代，随着陶瓷材料的发 展，介电滤波器的应用得到了迅速的发展。目前，2 0 世纪末出现的高温度临界超导材料， 被认为极有可能用于设计出极低损耗和极小尺寸的新颖滤波器。 目前，从i e e e 的在线搜索结果来看，滤波器的文章占了总量6 左右的比例，其中 9 0 年代以后的滤波器论文数量占滤波器总论文的比例大约占了8 0 。而近十几年来针对 椭圆滤波器和切比雪夫滤波器的研究论文也出现了比例越来越高的情况，这说明9 0 年代 以后，滤波器越来越成为研究的热点，而在对滤波器的研究中，高选择性，小型化，高 功率等正成为热点中的热点。 微波滤波器种类繁多，仅按其所用传输线的类型来分，就可以分为波导滤波器、同轴 线滤波器、带状线滤波器和微带滤波器等。微带滤波器和波导、同轴线等微波滤波器的 主要区别在于传输线形式不同。在主要特点方面，例如采用半集总参数或分布参数结构 是相同的，因此有关微波滤波器的一些基本概念和基本设计方法对微带滤波器也适用。 微带滤波器的特点。是由微带线本身特点所决定，例如由于在平面上作图和制版的方便， 滤波器广泛采用各种变阻抗形式和耦合微带线形式。此外，由于微带线损耗大，q 值低， 其结构又不便调整，因此微带滤波器的某些指标( 如通带损耗和阻带衰减) 较低于其它 微波滤波器，本文主要采用微带进行分析和设计。 1 2 选题的背景及意义 微波毫米波滤波器成为无线系统中的重要部件，其性能的优劣直接影响整个无线系 统的质量。现在，微波毫米波滤波器被广泛应用于微波、毫米波通信、微波导航、制导、 遥测遥控、卫星通信以及军事电子对抗等多种领域。同时现代无线系统对微波毫米波滤 波器也提出了更高的要求，高阻带抑制、低通带插损、宽频带使用、高功率、寄生通带 远和带内平坦群时延等成为用户的主要技术指标要求，并且，体积小、高功率、低成本、 快速设计也是其关键技术要求。比如对于发射机而言，它对于带通滤波器的要求就不只 l 绪论 硕士论文 是通带插损低，而且要求对本振，镜频和谐波分量有很好的抑制作用；对于接收机而言， 在同样噪声系数下，窄的过渡带能有效地提高接收机的灵敏度，而采用具有高截止性， 传输零点可控性，窄带特性的广义切比雪夫滤波器就可以很好地解决这些问题。 在这样的历史条件下，上世纪7 0 年代，a t i a 和w i l l i a m s 提出了广义切比雪夫带通 滤波器的基本理论【4 - 6 j 一经提出就成为了研究的热点，直到现在还在广泛引用。后来 c a m e r o n l 卜m j 对广义切比雪夫滤波器函数的综合方法做了很大的改进，通过他的方法可以 自由设置传输零点位置并且可以通过递归法综合出其传递函数，这样就可以提取出其低 通原型值，综合出n 阶的耦合矩阵。他还提出了n 阶滤波器最多实现n 2 个有限传输零 点的理论，并给出了一种矩阵旋转消元法，由此可以直接得到f o l d e d 矩阵。后来他又 提出了n + 2 阶矩阵的综合方法，采用了这种源负载直接耦合结构的n 阶滤波器最多可以 实现n 个有限传输零点，虽然依然不能得到任意结构的耦合矩阵，但是它的这个新特点 依然得到了多方面的应用，有很多研究多种源负载之间或者源负载与谐振器间耦合的文 献。a m a r i l l l j 引入了非谐振点的概念，t a m i a z z 0 1 3 j 提出了轮形拓扑结构的概念，他们都 给出了一些特殊拓扑结构的综合方法和实例。但是由于矩阵变换法本身的缺陷使我们很 难得到任意的拓扑结构耦合矩阵，而广义切比雪夫滤波器的核心问题是要综合出可以物 理实现的拓扑结构的耦合矩阵，因此有人将优化算法引入到滤波器综合中来，直接从数 学模型综合出所需要耦合矩阵，目前已经丌发出了基于优化算法的高阶任意拓扑结构的 综合程序，收到了很好的应用效果。在引入优化算法的研究中，主要问题是复杂结构的 目标函数的选取，以及如何设置优化过程以简化算法流程，避免过早局部最优等等，常 用方法有a m a r i1 1 2 j 的梯度收敛法等等1 ) 3 - 1 5 j 。 通常实现广义切比雪夫滤波器中的传输零点有如下一些基本耦合结构： l 2 实现2 个对称零点 的q u a d r u p l e t 结构 4 3 l2 实现1 个零点的 q u a d r u p l e t 结构 实现2 个非对称零点 的q u a d r u p l e t 结构 2 3 实现一个零点 的t r i p l e t 结构 图1 2 1 基本耦合谐振器示意图 另外，由基本结构进行扩展，得到下面的拓扑结构： 硕士论文 基于微带开口谐振环的广义切比雪又滤波器的研究 6 54 实现4 个传输零点的 6 阶c a n o n i c a l 结构 2 实现4 个传输零点的8 阶 c q ( c a s c a d e d - q u a d r u p l e t ) 结构 58 3 4 6 7 9 实现3 个传输零点的9 阶 c t ( c a s c a d e d - t r i p l e t ) 结构 1578 r- 4326 实现5 传输零点的8 阶 c u l d e c s a c 结构 图】2 2 耦合谐振器拓扑结构示意图 由于微带开口谐振环的特点，斜对角耦合难于实现，因此本文主要选取一些微带易 于实现的结构进行设计，最常用的如的c a n o n i c a l 规范型和级联型的c t ，c q 以及c t ， c q 混合型的结构。 1 3 本文的主要工作及章节安排 本文的研究内容是围绕着微带开口谐振环结构的广义切比雪夫滤波器的综合和设计 展开的，具体安排如下： ( 1 ) 绪论。概述了微波滤波器的发展、种类和本文的研究背景，介绍了本文的研究内容。 ( 2 ) 广义切比雪夫滤波器的综合。介绍了广义切比雪夫滤波器的综合理论。并对广义切 比雪夫函数的耦合矩阵级联特性及非对称零点的选取方法进行了分析。最后为了说明 综合的过程例举了三种不同的耦合矩阵综合提取的实例。 ( 3 ) 微带开口谐振环结构分析。给出了耦合系数的实现方法。 ( 4 ) 广义切比雪夫滤波器的研制和结果分析。设计了两个广义切比雪夫滤波器，并对仿 真结果进行了分析。 ( 5 ) 结束语。给出了本文工作的结论以及有待进一步研究的部分。 3 2 广义切比雪夫滤波器的综合 硕士论文 2 广义切比雪夫滤波器的综合 与传统的滤波器相比，广义切比雪夫滤波器具有如下一些优点： 首先，引入了有限传输零点，且可以根据需要将零点位置进行调整，使得不再单纯 地通过增加滤波器的阶数来得到需要的截止效果，也相应地减小了滤波器的体积。 其次，广义切比雪夫函数可以通过控制传输零点的位置、个数和带内衰减人为地干 预滤波器的响应，所以广义切比雪夫函数既可用来综合对称响应的滤波器，又可用来综 合非对称响应的滤波器。在某些场合，有时需要滤波器在一个边带具有陡峭的响应，而 对另外一个边带没有要求，这就需要非对称响应的滤波器，利用n 阶滤波器产生n 2 个 传输零点的规律( 非源负载耦合型) ，只要将有限零点的位置设置在这一个边带上，只需 要很少的阶数就可以实现这个边带的高截止性，这样的自由化设计可以大大的减少滤波 器的阶数，进而实现高效，小型化的目标。 本章主要围绕广义切比雪夫综合法进行介绍。首先，介绍了在广义切比雪夫滤波器 综合过程中必要的一些基本概念和常用方法，其次，对如何从给定传输零点采用迭代法 i s - n 得到广义切比雪夫函数的传输和反射函数多项式的方法进行了介绍，接着对从二端 口网络综合得到耦合矩阵的过程进行介绍，最后通过对三个耦合矩阵综合的实例介绍了 广义切比雪夫滤波器综合设计的整个过程并通过矩阵得到理论响应曲线来验证了矩阵综 合的正确性。 2 1 滤波器综合基础知识 网络综合处理的问题是寻找一个网络，使之在已知的激励下，达到要求的响应特性， 确定滤波器的电路结构和元件数值。这里给出了无源线性网络综合的一些基本概念和方 法，对于这方面的研究有较多的参考文献【1 7 】。 2 1 i 滤波器综合必要定义和概念 ( 1 ) 策动点函数和转移函数 图2 1 1 滤波器二端口网络图 输入导纳和输入阻抗的激励信号和响应信号都在第一端口上，故称为策动点函数。 其他四个函数的激励信号和响应信号都不在一个端口上，所以称为转移函数。其中，最 4 硕士论文基于微带开口谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 常用到的是输入阻抗z l 和输入导纳k ，且它们之间有x = i z i 的关系。 将策入点阻抗用y 或z 矩阵来表示。首先，以匕= - 1 2 r 2 代入方程： 可得 代入方程 得 因为邢) ( 故得 若是y 参数则有 扣意 乞2 + 炎2 k = 紫 z ，十“， 邵) = 紫 z l ( s ) 2 而1 + y 2 2 r 2l 对于二端口网络不同的激励函数和响应函数定义了六种不同的网络函数。 表2 1网络函数分类表 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 激励函数响应函数网络函数 k ( s )( s ) 输入导醐沪“ 策动点函数 厶( s )k ( s ) 输入阻抗邵) k ( s )1 2 ( s ) 转移导纳巧( s ) = - 1 2 ( s ) k ( s ) i i ( s )( s ) 转移阻抗邵) ( s ) k ( s )k ( s ) 电压转移比邵) 州 转移函数 “s )厶( s ) 电流转移比邵f “( s ) ( 2 ) 转换器函数h ( s ) h ( s ) 寺 ( 2 1 7 ) 即电源输出的最大功率( 资用功率) 都为负载所吸收时，负载上所呈现的电 2 广义切比霄夫滤波器的综合 硕士论文 其中，表示电源的资用功率( 即电源的最大输出功率) ；只表示任意情况下负 载的吸收功率。 ( 5 ) 反射系数函数r ( s 1 巾) = 器( 2 1 1 0 ) 2 1 2 胡维茨多项式 胡维茨多项式【2 2 1 是指所有零点都在左半s 平面内的实系数多项式，零点只在左半s 平面内( 无缈轴上的零点) 的多项式称为严格胡维茨多项式。有理正实函数f ( s 1 的分子分 母多项式n ( s ) 和d ( s ) 都是胡氏多项式。 由定义可知，胡氏多项式p ( s 1 只能具有下列三种类型的零点： s = - l ( 为非负实数) s = 哆( q 为正实数) s = 一a ，力( 口，包为正实数) 所以p ( s ) 可以表示为： p ( s ) = k ( s + 乃) ( s 2 + 砰) i f + a , 一弦) ( s + 口，+ 弦) = k ( s + 乃) ( s 2 + 砰) l ( j + 口，) 2 + 砰i ( 2 1 11 ) 假设常数k 为正，则( 2 1 11 ) 式展开后，p ( s 1 中s 的零阶项到s 的5 阶项各次项的 系数严格为正，由此可以推论，如果多项式： p ( s ) = a r t s ”+ a n l s ”- i + + 口l j + ( 2 1 1 2 ) 是一个胡氏多项式，则各项系数a i 0 ( i = 0 ，1 ，2 , 3 ，n ) 。如果胡氏多项式的零点全部 位于，彩轴上，那么它具有以下两种形式： p ( s ) = k ( s 2 + 砰) ( j 2 + ) ( j 2 + 露) ( 2 i 1 3 ) 或者 p ( s ) = k s ( s 2 + 奸) ( s 2 + 霹) ( s 2 + 砰) ( 2 i 1 4 ) 电 炉只 只一最 舰吖吐 晤 上 科昂 邶嗍 一 墨一 铲 淼： 德 一 硕士论文基于微带开口谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 式( 2 1 1 3 ) 是一个偶次多项式，式( 2 1 1 4 ) 是一个奇次多项式。如果 p ( s ) = m ( s ) ( 偶部) + n ( s ) ( 奇部) ，是一个胡氏多项式，贝1 m ( s ) n ( s ) 是一个电抗函数：反 之，如果m ( s ) m ( s ) 是个电抗函数( m ，1 2 没有公共因子) ，则p ( s ) 是一个严格的胡氏多 项式。 2 1 3 电抗函数的性质与综合 如果一个网络只包括理想电感l 和电容c 元件，则此网络被称为电抗网络或无耗网 络。所谓网络无耗，也即是r e 【z ( s ) 】= 0 ，对所有的c o ，r e z ( 缈) 】- o 即a ( 缈2 ) = o ，贝, u = - - f 以得到： a ( 缈2 ) 2 脚l m 2 一惕伤f 。脑= 0 ( 2 1 1 5 ) 由( 2 1 1 5 ) 式可得： m 。( j c o ) m ：( ，缈) = r 6 ( 归) 慢( j c o ) ( 2 1 1 6 ) 将z ( s ) 改写为： z ：盟：旦。旦! 监：旦旦型导 ( 2 1 1 7 ) 、7 + n 2 坍21 + 伤册2，z 21 + 棚2 嘞 将( 2 i 1 6 ) 式代入( 2 1 1 7 ) 式，得： 砌小瑞或z ( 纠= 揣 ( 2 1 - 18 ) 因此，电抗函数必须是奇( 偶) 次多项式与偶( 奇) 次多项式之比，并且z ( s 1 的分 子和分母多项式不可能具有相同的阶次，所以，z ( s 1 在s = 0 和j = o o 上必然具有一阶零 点或极点。由此我们可以推断：z ( s 1 的分子和分母多项式的阶次正好相差一次。 于是可将z ( s ) = ( j ) d ( s ) 表示为： 砷，= 锱= 等器糕 9 ， 或 砷，= 器= 糕器瓣 ，瑚， 式中：s 2 + 砰= ( s + 缈) ( s 一缈) 产生z ( 5 ) 的一对共轭零点或极点够。 综上所述，电抗函数z ( s 1 的性质归纳如下： ( 1 ) z ( s ) 是偶( 奇) 次多项式与奇( 偶) 次多项式之比； ( 2 ) 分子多项式与分母多项式的阶次j 下好相差一次； ( 3 ) 分别在s = 0 和s = o o 上，z ( s ) 具有一阶零点或一阶极点； ( 4 ) z ( s ) 只具有轴上的单阶零极点，并且在，国轴上交替出现； ( 5 ) 所有极点的留数都是正实数； 7 2 广义切比雪夫滤波器的综合 硕上论文 ( 6 ) 对所有的值，r e z ( 缈) = o 。 最后，简单介绍一下部分分式展开法。 将电抗函数f ( s ) 进行部分分式展开为： 即) = 器锄+ 争嘻丽2 k , s 他， 其中疋、k ok 分别为f ( j ) 在j = o d 、s = 0 上和在q 等极点上的留数： k o2s f ( s ) i l 瑚 k ：型l 弘生生世2 i 2 s l 表2 2 ( 2 1 2 2 ) 式对虑的阻抗导纳元件表 ( 2 1 2 2 ) 阻抗导纳 c = 1 k 上= 1 k o k n | s o 一一卜一 o 一n m b 上一k 。 c k 。 k 。s o _ 一一n n 吖、 o o i i o l l = 2 x i ? d j 2 k , sc i = 2 k t 口j ( s 2 + 州 嗍，厶一l2足， ” 如果f ( s ) 代表阻抗函数，则f ( s ) = z ( s ) ，它所对应的网络由上表中的阻抗元件串 连构成：如果f ( s ) 代表导纳函数，则f ( s ) = y ( s ) ，则其对应的网络由上表中的导纳元 件并联构成。 2 2 广义切比雪夫的滤波函数的综合 对一个n 阶无损双端口网络来讲，其传输和反射方程能用一个n 阶分子式之比来表 示【9 1 ： 喇= 揣喁( 小端 晓2 占是是，的等波纹参数，占的值是由式( 2 2 2 ) 决定的： 硕士论文 基于微带开口谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 1 占= ；= = = = fj r l 、1 0 1 0 1 其中肚为带内回波损耗( 单位：分贝) ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) 式中需要将分子分母两个多项式 按最高系数进行归一化。 在s 。( 缈) 和& ( 缈) 多项式中有同一个分母多项式e n ( c o ) ，零点的位置由r ( 国) 决 定。对于一个无损网络来说，有s 。2 ( 缈) + s ：。2 ( ) = 1 ，将( 2 2 1 ) 中的s ( 缈) 和是，( 国) 代 入该式，可得： 其中 是。2 ( 缈) = l1 瓦虿丽2 万面而研巧碉 c 小) = 锱 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 定义 c 小) 一c 砌i 喜c o s 矿h ) 卜2 而a - l c o ( 2 2 5 ) 这就是广义切比雪夫函数，= ，功。就是它的传输零点在复频域上的位置。 经过推导，可知当珊= 1 ，c = 1 ，当 1 ，c 1 ；当全部的q 趋向 无穷时，c 变成了常规的切比雪夫函数： c ( 缈) i 峨。= c o s h e n c o s h 1 ( 国) ( 2 2 6 ) 其中，对称传输零点必须在复平面的虚轴上以保证c 的分子分母多项式都为实系 数。而有限传输零点的个数订应该小于等于n 一2 ，除了这玎，个有限零点外的其他零点 均为无限零点，也就是说阶滤波器最少要有两个无限零点。 下面介绍一下递推公式： 将特征方程 转化成 企 可得： c o ) 2 c o s 缈1 = c o s ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) c o s h 1 ( 而) = l n ( a + 包) 毛= 吉 e x p ( 1 n ( + 吃) ) + e x p ( 一l n ( + 吃) ) 如训+ 南 晓2 m ( + 瓦) = 毛+ 再 n n = x n l 瓯= ( _ 2 - i ) i ( 2 2 1 0 ) 9 1_1广_1 矗 “ i + 纩 s，l m 州心 2 广义切比雪夫滤波器的综合 l o 将( 2 2 1 0 ) 式代入( 2 2 7 ) 得： g ( 缈) + 阮) + 这样就用了，以代换了正曲函数，又令 1 q2 功一一 则 经推导得： 令 q ( 国) = 三 g ( 缈) =+ 吃 瓯( 国) = 兀( 巳一以 斡旦con=1 兀l1 一竺i 、 + 以) - a ) 由式( 2 2 1 3 ) 可以将c ( 彩) 中的分子式r ( 缈) 表示如下： r ( 功) = 扛g ( 缈) + g ：( 缈) 硕上论文 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 1广_1 k 乜 厅 甜 如 柑脚 办 矗 s s 鲫 兀删 q j n删 p，l 一2 巳 ， 兀蒯 + 、i - ， 以 + 勺，j、 兀删 _，。l 去百去百 一1 一l i i = 包 一l 、，yi。 上砰 上砰 一 一 彩 缈 ” 甜 + 一 、l， ，一 。一 一 一 缈 缈 一二八一 兀删 兀删 巳 ，f 兀蒯 硕士论文基于微带开口谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 这里引入关于国和缈的多项式u ( 缈) ，( ) ： u 0 ( ) = “o + “l 国+ “2 c 0 2 + + “_ 彩1 则瓯( ) ，瓯( 0 9 ) 由 ( 缈) = 缈( + q + v 2 国2 + + 国) ( 2 2 1 6 ) 式表示为： g n ( 缈) = u ( 缈) + ( 国) g o ( 缈) = u j ( 缈) + ( 缈) 由( 2 2 1 4 ) 进行递推得： g l ( 国) = 【q + 4 】 = i o - 去, l 耐( 一封 = u l ( 国) + k ( c o ) g 2 ( ) = g i ( 缈) 【乞+ d 2 】 - - e u ( ) + k ( 功) 卜廿十 r 瓦j 坳。l 卜 = ( 缈) + k ( 缈) 将u ( 缈) ，k ( 缈) 代入g 2 ( 0 9 ) 得： 喇刮小掣+ ( ，一封吣( 缈) 帅一忡) 一掣+ ( - 一对州 同t 4 - 以此类推，经过多次的迭代运算可以得到以下结果： ( 彩) = u ( 国) ( 国) = 一( c o ) 这样就可以得到g ( 缈) 的分子式： 目( 缈) = u ( 国) 从( c o ) 中就可以得到通带中的各个传输极点的位置。 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) 1，j jvl，上 2 广义切比雪夫滤波器的综合 硕士论文 2 3 电网络综合 图2 3 1n 阶耦合谐振器双端口等效模型 对于双端口网络，用一个内阻为是的电源通过该网络加载到负载电阻氐上，得到： z 1 1 =引丛! 堡_ 】一引砂：州 z 2 2 + r z 2 2 + 1 这里将r 归一化为1q ，则策入点阻抗为( 2 3 1 ) 式最右边的表达式。 若r 。也为1q ，一端口策入点阻抗函数表示为： z i 。( s ) = ( 2 3 1 ) 粼= 盟s ! ( s ) - v 器- = 嚣 包3 l + s l ( s )f ( s ) 脚2 + 门2 ( 2 2 ) 肌和行分别是由e ( s ) ，f ( s ) 构成的复数多项式的分子分母的偶次和奇次多项式。 对于偶次阶，提出碍得： z ”= 絮掣 通过对以上三式的比较，可以得到： y 2 2 = n im l 另外，y ：。的分母与儿：相同，且和& ，有着相同的零点，所以有： 儿l = p ( s ) 占m 1 同理，有对奇阶，有： y 2 2 = 确，z i y 2 。= 尸( j ) 铂 m 。，r 6 容易从e ( s ) ，f ( s ) 中得到，采用如下方法： 鸭+ 啊= e ( s ) + f ( s ) 其中： m i = r e ( e o + f o ) + i m ( e i + f ) s + r e ( e 2 + 厶) s 2 + = i m ( e o + f o ) + r e ( e l + f ) s + i m ( e 2 + 五) s 2 + 哆和，f = o ，1 ，2 ，3 是e ( s ) ，f ( s ) 的复系数。 对于单端口网络来说，构造单端口的，2 l 的方法与双端口相似。 且它的传输导纳e 。( s ) 可以用短路导纳参量形式表示出来： ( 2 3 3 ) ( 2 3 。4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 。7 ) ( 2 3 8 ) 设源阻抗r 。= 0 ， 硕士论文 基于微带开l 谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 e l = 导，凡= 1 ( 2 3 9 ) 从( 2 2 1 ) 中得到： 洲= 等 ：监 ( t i + 惕) = 煞，对于偶数阶 ( 2 3 1 0 ) ( 1 + ) 一一。“ ：! 尘迪，对于奇数阶(2311)1 、一ri，v1，-1，、1 一 其中码，r 6 是构成e ( s ) 偶次和奇次多项式。对于如= l 的单端口网络传输导纳e 。s ) 和传输方程是。( s ) 相等，与( 2 3 1 1 ) 式相比可以得到： n 为偶阶情况下： n 为奇阶情况下： 乃l2 尸( 妒铂 ( 2 3 1 2 ) 儿22 惕铂 儿，= j p ( j ) 明 炊2 = 伤 其中： 铂= r e ( e o ) + i i i l ( q ) s + r e ( e 2 ) s 2 + 强= i m ( e o ) + r e ( e i ) s + i m ( e 2 ) j 2 + 其中e o ，e i ，e 2 ，e t c 同样是e ( s ) 的复系数。由上可知，对于单端口情况， 道s ，e ( s ) 和e ( s ) ，及是，( s ) 的分子分母就可以确定m ，l i 。 2 4 矩阵提取 图2 4 i 交叉耦合集总电路网络示意图 二端口网络的电压电流关系由导纳矩阵表示如下： ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 就只需要知 1 3 胙、 2 广义切比雪夫滤波器的综合硕士论文 i期i 州 北 麓心 汜4 由图2 4 1 给出的交叉耦合集总网络示意图，经过一系列推导可以得到它的归一化阻 抗矩阵，这里就不详细推导了，详细内容参看文献1 7 】： 乞 = 【彬+ 盯+ r 】i ，所 ，一l j i m , v 3 ( 2 4 2 ) 其中，r 是一个，z 以阶矩阵，除了蜀l = 喝，r = r 以外的元素全部为0 。m 是拧甩 阶对称耦合矩阵，是玎x 玎阶单位阵。 【彬+ s ，+ 讣【f 2f 3 f 】7 = q 【1 0 0 o 】 ( 2 4 3 ) 由此可以通过阻抗矩阵得到其导纳矩阵参数，设当r i = r n = 0 时，其短路导纳矩阵 i 懈y 2 ，( j ) ，y 2 ：( s ) 为： ：i 蝴( s ) 2 引 = 小m 一国吲。 印l 攀。o ( 2 4 4 ) y 2 2 ( s ) - p i n _ a _ i = 小m 一缈憾 “i r i = r t o 因为m 为实对称矩阵，故特征值都为实数，则有正交阵z 满足( 2 4 5 ) 式： 一m = t 人r 。 人= d i a g 2 q 五乃厶】 ( 2 4 5 ) r 为正交矩阵的转置矩阵，且r ，= ，。 把( 2 4 5 ) 式代入( 2 。4 。4 ) 式中得： 款。( s ) = 一丁- 人丁。一0 1 1 ： 。 y 2 2 ( s ) = 一丁人丁一国， ： 就得到了两个儿，( j ) ，奶：( s ) 关于耦合矩阵的表达式， ( 2 4 6 ) 一般采用下面的方程对上两 式进行求解： i - t a t - c o i o l = 荟n 赫t 眨4 因为儿。( s ) ，y 2 ：( s ) 有同样的分母，则通过部分分式法，得到： 帆佟： 一 一；以鹏j以： j 0 叩肌，腑 硕士论文 基于微带开口谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 o 卜荟莓 ( 2 4 8 ) t = 1w 一以重、 y 2 2 ( j ) = ，善黄 可以看出弘，( s ) ，儿：( s ) 共同的分母的根是矩阵的特征值，通过计算它们的留数， 分别得到正交矩阵的第一行的和最后一行的元素，具体如下： t n x = 厄 五：，r 2 t 2 l ：粤，七：l ，2 ， 2 川 o n k v r m 通过式( 2 4 1 0 ) 决定变压器转换比： = r , v = 磕 1 ( 2 4 1 0 ) 砰= 墨= 砭 对正交化的第一行和最后一行元素作下面的运算，剩余的行可以通过正交化矩阵性 质和斯密特正交化得到： = 互女，z l ( 2 4 1 1 ) = 2 这样，得到正交矩阵的所有元素后，就可以利用式( 2 4 1 2 ) 得到整个电路网络的初 始耦合矩阵： 一m = t 人r ( 2 4 1 2 ) 而此时得到的矩阵是归一化的低通响应矩阵，实际中对其进行频率变换得到带通响 应。其过程为设低通原型滤波器的频率变量为缈，带通滤波器的频率变量为，由于国= 0 的点，变换成c o = 的点，而国= o o 的点变换为国= 0 和彩= o o 的点，故由低通到带通的 变换式应是： ：l ( 旦一堕)(2413)03 4= ( 一_ k ：z f b w 。 式中f b w = 竺二堕是带通滤波器的相对带宽，c o o ：厢是通带中心频率，q 是 低通原型的截止频率。劬是下带边频率，筋是上带边频率。 通过以上的递归方法和电网络综合法可以得到一个以x 捍的矩阵，就可以实现一个具 有押一2 个传输零点的交叉耦合网络。 下面将采用一种新的电网络综合法来进行矩阵运算。相比于传统的n 阶综合法，这 种方法是综合出一个n + 2 阶矩阵【1 0 l ，在原来的门九矩阵的上下和左右各多加入一行( 一 列) ，引入了源和负载之间以及它们与内部谐振器之间的耦合，其具体形式如图2 4 2 所示。 2 广义切比雪夫滤波器的综合 硕七论文 这种新型的方法和以往的方法相比有如下优点： 首先，它提供了源负载间的耦合系数，可以采用耦合的方式馈入能量。 第二，在这种形式下，可以通过源负载耦合用n 个谐振器最多实现n 个有限传输零 点。 第三，在综合过程中采用了和矩阵相似旋转的方法进行化简，这样，需要的时候可 以暂时将一些耦合系数放置在这些新增的行列上，同时能在矩阵的其他位置进行旋转， 为进一步的旋转消元提供了基础。 si23kn 1nl j 】l | 0m s 2m s 3m a m 1m *朋k m l sm i j m t l 肘玉m nj l i | k m j sm 3 lm n m k s m a m n - a , sm n 1 。n 1m n a l m n sm n nm n j i l 么m u 2 1 4 , , m u f m l n |m l n 图2 4 2 加入源负载的祸合矩阵不意图 实际上在不需要采用外部耦合时，它同样也为初始耦合矩阵生成提供了很多的方便， 因为它不需要再使用如上所述的g r a m - s c h m i d t 正交法求解j 下交矩阵t ，使计算过程变得 更加简单。 先了解波纹常数，通常占。= 1 ，除非当所有的传输零点都为有限零点时，也就是 说滤波器有限传输零点个数等于滤波器阶数时，这时候将e ( s ) ，f ( s ) 和尸( s ) 的最高阶系 数归一化以后得到s ，詹可以表达如下： 2 南( 2 4 1 4 ， 同时，修f 传输函数为： 洲= 耥嘶) = 瑞 ( 2 4 邯) 通过上面的方法可以得到y 2 。( s ) ，y 2 2 ( s ) 的分子分母多项式，则可以通过部分分数 法求出它们的留数吃。( s ) ，吒：( 5 ) ，并从儿。( s ) ，儿：( s ) 的分母共同项均( j ) 中求出它们的 根五并从中求得网络的实特征值五，k = l ，2 ，3 ，n 。 具体做法如下： 1 6 s ， 2 3 ； 七 ： w 硕士论文基于微带开口谐振环的广义切比雪夫滤波器的研究 叫测捌 1 y l l , ( s ) y 1 2 n ( j ) 儿( j ) 【儿。，( s ) y z ：。( j ) j = 收讣荟n 丽1 慨r 1 2 k 4 舶， s j k o = $ 暑， 4 o ， -， 一2 卜_ 一 一t 卜- 一 ( a ) n 阶源负载并联结构图 l m 囊 q 牛舡 m 佳 ( 2 4 1 7 ) ( b ) 第k 阶并联单元集总电路图 图2 4 3 源负载电路结构示意图 由图2 4 3 ( b ) 第k 阶并联单元的集总电路图可以得到一个a b c d 传输矩阵如下： r 肥c 。，。= m _ 繁( s c k + j b k ) 蚝：丛生型把( 2 4 1 8 ) 式变换成j ，矩阵得： ( 2 4 1 8 ) 1 7 2 广义切比雪夫滤波器的综合 硕十论文 = l y i i 女( 。s 5 ； ：丝丝 0 s c k + j b k 、 l m 囔 m 啦 ：- 上i 1 崛帆? 胜l ( 2 4 1 9 ) 2 丽l - 帆五肼m 左“j 旺4 这样，2 4 3 ( a ) 所不- - 削思侔愀墒t l a 口横向并联短路导纳矩阵l 1 可以用n 个并联分 支的导纳矩阵【儿】之和加上源负载直接耦合导纳矩阵 y s l 】，得到： m = y l l ( s y n ( s j ) 妇 也，+ 雏跳煳 = 怔针善n 丽1 ( 2 4 2 0 ) 其中，阶数和零点个数相同时：型剑，否则为零。 e r 对这两种【k 】的不同的表达方式( 2 4 2 0 ) 和( 2 4 1 6 ) 相应的各项参数值进行对比： 堑 ： 丝丕 ( 5 一五) ( s q + 屈) ( 2 4 2 1 ) 垒! ：丝丛丝丝 ( s - j ；) ( s g + 皿) 2 _ i | v ，已经通过前面的电网络综合得