（基础数学专业论文）关于直线构形的φ3不变量.pdf

北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的 规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京 化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在必解密后适用本授 权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：墨延塑 日期： 2 亚止互，2 l 导师签名： 日期：勉啦姜乒一 学位论文数据集 中图分类号 0 1 5 7 学科分类号 1 1 0 3 1 1 5 论文编号 1 0 0 1 0 2 0 1 10 9 5 1密级 非保密 学位授予单位代码 l o o l o 学位授予单位名称 北京化工大学 作者姓名张娟学号 2 0 0 8 0 0 0 9 5 1 获学位专业名称基础数学获学位专业代码 0 7 0 1 0 4 国家自然科学基金项 课题来源研究方向超平面构形 目 论文题目关于平面直线构形的巾3 不变量 关键词直线构形；o s 代数；巾3 不变量 论文答辩日期 2 0 11 5 2 9 论文类型基础研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名职称 工作单位学科专长 指导教师姜广峰教授北京化工大学几何学 评阅人l孙华飞教授 北京理工大学 几何学 评阅人2牛兴文副教授北京化工大学几何学 评阅人3 评阕人4 评阅人5 徽员蝴孙华飞教授北京理工大学 答辩委员1杨永愉教授北京化工大学 答辩委员2 杨丰梅教授北京化工大学 答辩委员3崔丽鸿教授北京化工大学 答辩委员4赵丽娜副教授北京化工大学 答辩委员5 注：一论文类型：1 基础研究2 应用研究3 开发研究4 其它 二中图分类号在中国图书资料分类法查询。 三学科分类号在中华人民共和国国家标准( g b t1 3 7 4 5 9 ) 学科分类与代码中 查询。 四论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成 摘要 关于直线构形的织不变量 摘要 本文研究了直线构形的么不变量，主要包括两部分内容：仿射平面上 直线构形的识不变量的计算及直线分类和一类特殊平面直线构形的特征 多项式的计算。 首先，文章研究了仿射平面上不多于6 条直线的构形的么不变量。结 合具体的理论知识，运用元素编号法和矩阵求秩法，得到了么不变量的通 用算法。另外，通过算法分析、理论证明以及编程计算，将这些直线构形 根据织不变量的值进行了分类。3 条直线的平面构形分为3 类；4 条直线的 平面构形分为5 类；5 条直线的平面构形分为8 类；6 条直线的平面构形分为 1 3 类。接着对于特殊的直线构形，包括平面完全图构形的么不变量进行证 一明推导，得到通用的计算公式。 其次，利用已有的w h i t n e y 定理，文章研究了三维空间平面构形的特征 多项式。针对特殊的平面完全图构形的特征多项式，经过证明推导给出了 其特征多项式的计算公式。 关键字：直线构形，特征多项式，o s 代数，诲不变量，完全图构形 。 北京化t 人学颁i j 学位论文 一 i i 摘要 织i n v a r i a n to f l i n e a ra r r a n g e m e n t s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rt h ei n v a r i a n t 九o fl i n e a ra r r a n g e m e n t s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s ：t h ec o m p u t a t i o nf o ri n v a r i a n t 织o ft h e a f f i n ep l a n el i n e a ra r r a n g e m e n t sa n dt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l so fac l a s s o ft h el i n e a ra r r a n g e m e n t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ei n v a r i a n t 九o ft h el i n e a ra r r a n g e m e n t sw i t hu pt o6 l i n e si na f f i n e p l a n eh a v e b e e ns t u d i e d t h r o u g ht h ea l g o r i t h ma n a l y s i s ， t h e o r e t i c a l p r o o fa n dp r o g r a m m i n gc a l c u l a t i o n ，w e o b t a i n e dt h e g e n e r i c a l g o r i t h m s f o rt h ei n v a r i a n t 红a n dac l a s s i f i c a t i o no ft h e s ea r r a n g e m e n t s a c c o r d i n gt o t h ev a l u eo f 珐t h r e el i n e sp l a n a rc o n f i g u r a t i o ni sd i v i d e d i n t ot h r e ec a t e g o r i e s ，f o u rl i n e s p l a n a rc o n f i g u r a t i o ni s d i v i d e di n t o 5c a t e g o r i e s f i v e i n e sp l a n a rc o n f iu r a t i o n t i v i d e d 。n t o8c a t e ；p r i e sand5 c a t e g o r l e sl i v el i n e sp l a n a rc o n n g u r a t a o nl so l v l a e ai n t o c a t e g o r i e s , a n a， l i n e sp l a n a rc o n f i g u r a t i o n d i v i d e d i n t o13c a r ep r i e s t h e nweslx l i n e s p l a n a rc o n t l g u r a t l o ni s 1 c a t e g o r i e s 1n e n r e s e a r c h e ds o m en i c ee x a m p l e sw i t hs p e c i a lp r o p e r t i e s ，a n dp r o v i d e dap r o o f o ft h ec o m m o nf o r m u l af o rt h ei n v a r i a n t 珐 i nt h es e c o n dp a r t ，b a s e do nt h ew h i t n e yt h e o r e m ，t h ep a p e rs t u d i e dt h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s f o rt h et h r e e d i m e n s i o n a l a r r a n g e m e n t s f u r t h e r m o r e ，w ec o n s i d e r e dt h ec o m p u t a t i o no f c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l sf o r as p e c i a lp l a n a rc o m p l e t eg r a p ha r r a n g e m e n ta n do b t a i nt h ec o m p u t i n g i i i 北京化t 人学硕i ：学位论文 f o r m u l a k e y w o r d s ：l i n e a ra r r a n g e m e n t ，c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l ，o r l i k s o l o m o n a l g e b r a ，i n v a r i a n t 矽3 ，c o m p l e t eg r a p ha r r a n g e m e n t i v 目录 目录 第一章概述1 1 1 研究的背景1 1 2 本文主要内容4 第二章直线构形织不变量的计算5 2 1 预备知识5 2 2 直线构形6 2 3 直线构形的不变量7 2 3 1 珐不变量的算法描述8 2 3 2 平面条数不多于6 的直线构形的绣分类1 3 第三章几类特殊的直线构形的织不变量2 5 3 1 简单直线构形的红不变量2 5 3 2 计算k 一完全图的珐不变量2 7 3 2 1k - 完全图的定义说明2 7 3 2 2 计算k 完全图构形霹的维数2 7 3 2 3u 完全图举例说明2 8 第四章射影平面上特殊直线构形的特征多项式3 l 4 1 三维空间中特征多项式的算法3 l 4 2 特殊直线构形的特征多项式3 1 4 2 1 特殊平面直线构形3 1 4 2 2 计算结果3 2 参考文献3 5 v 北京化t 人学硕i ：学位论文 附录4 3 致谢4 3 研究成果及发表的学术论文4 5 v l 日录 co n t e n t s c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1 1b a c k g r o u n d - 1 1 2r e s e a r c h 4 c h a p t e r2a l g o r i t h m s f o rl n v a r i a n t 织5 2 1p r e r e q u i s i t ek n o w l e d g e 5 2 2l i n e a ra r r a n g e m e n t s 6 2 3 绝f o rl i n e a r a r r a n g e m e n t s 7 2 3 1a l g o r i t h m sf o ri n v a r i a n t 痧3 8 2 3 2c l a s s f i c a t i o no fl i n e a ra r r a n g e m e n t sw i t hu pt o6l i n e s 13 c h a p t e r3l n v a r i a n t 矽3f o rs p e c i f i cl i n e a ra r r a n g e m e n t s 2 5 3 1s i m p l el i n e a r a r r a n g e m e n t s 2 5 3 2i n v a r i a n t 矽3f o rk - c o m p l e t eg r a p h 。2 7 3 2 1k - c o m p l e t eg r a p h 2 7 3 2 2 f o rk - c o m p l e t eg r a p h 2 7 3 2 3e x a m p l eo f k - c o m p l e t eg r a p h 2 8 c h a p t e r 4c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lf o rl i n e a ra r r a n g e m e n t s 3l 4 1a l g o r i t h m si n t h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e 3 l 4 2p a r t i c u l a rl i n e a r a r r a n g e m e n t s 3 1 4 2 1d e f i n i t i o n 3 1 4 2 2c o n c l u s i o n 3 2 v u 北京化t 火学硕l ：学位论文 r e f e r e n c e s 3 5 a p p e n d i x ，3 7 t h a n k s 4 3 v i l i 符号说明 实数域 复数域 实数域或复数域 超平面构形 构形a 的特征多项式 构形么的p o i n c a r e 多项式 直线构形的标识，表示该构形有吃个2 重 点，豫个3 重点 无破圈 构形a 的理想 构形4 的o r l i k s o l o m o n 代数 构形a 的唬不变量 i x 舀 力 吩 d 、 4 4 k k 们 沁 ，l，l ， i ，一 l r c k 肌帆 阴 敝 哪 九 北京化t 人学硕1 ：学位论文 x 第一章概述 1 1 研究的背景 第一章概述 超平面构形近的研究，兴起于2 0 世纪7 0 年代，最初起源于一个有趣的关于“切 馅饼”的初等数学问题。该问题的具体描述如下：一刀把馅饼切为两块，两刀最多切 成四块，那么切更多刀的话最多能将馅饼分为多少块? 其后，超平面构形慢慢发展成 为- - i - j 综合了代数、拓扑、组合、分析等学科的交叉学科。3 0 年来受到国际上的广泛 关注，诸如特殊构形及其拓扑性质、特征多项式、庞卡莱多项式、超可解性、o s 代 数等领域成为众多学者研究的热点。其中，rp s t a n l y 、m f a l k 、eo f l i k 、l s o l o m o n 、 h t e r a o 、hs w h i t e 等在这些方面做出了重大贡削】。另外，近年来在国内也有一 些关于特殊构形，包括混杂构形、类自由构形、直线构形、轮换图构形等方面的研究 【9 1 3 a 回顾超平面构形的历史，早在1 9 4 3 年【1 4 】，jl w o o d b r i d g e 就提出“切n 刀后的 馅饼最多有尘丛芝型块”，这个结论可以用数学归纳猜想的方法证明。对该结 论做类似推广，可以得到这样的结果：平面上的n 个点可以将1 条直线最多分为n + l 部分，n 条直线可以将一平面最多分为l + 刀+ f 刀1 个部分，n 个平面可以将一个空问最 l 2 多分为1 + 肘+ 个部分。另外，l s 蝴n i 还得到了腓馅饼经过n 爪超平面的 分割所得的最多块数为l + 刀+ ( 兰 + ( 兰 + + ( 三) 。需要说明的是，为了使得分得的块 数最多，需要对这n 个超平面加以限制。即：这些超平面满足，任何两个平面交与一 条公共直线，且这些直线是互异的；任何三个平面交与一个公共点，且这些交点是互 异的f 1 4 1 。由此开始，超平面构形受到了研究者们越来越多的关注。1 9 7 5 年，z a s l a v s k y 通过定义超平面元素构形中平面的非空交集l 上的偏序关系，利用莫比乌斯函数完成 了l 的特征多项式和庞卡莱多项式的定义。此后，更多的工具被用于超平面构形的研 究，并为该领域的研究工作奠定了坚实的理论基础。 首先给出超平面构形的定义【l 】【1 4 1 。设域k 为实数域酞或复数域c ，y 为k 上的，l 北京化t 人学硕l ：学位论文 维向量，取定一组基q ，吃，巳后，则k ”中任一向量v 可惟一表示为 归( 五，恐9 - 9 ) k ”。我们将集合肚 ( 五，x 2 ，) l a , x , + a 2 x 2 + ，卜毛而) 称为矿中 的一个超平面，并且将矿中有限个超平面的集合称为超平面构形，可以记为 a = q ，风 。另外，如果构形4 中的所有超平面的交非空，则称此构形是中心构 形，否则称为非中心构形。 超平面构形由其定义多项式唯一确定，一些特殊的构形具有代表性的研究意义。 主要包括以下几类：布尔构形( b o o l ea r r a n g e m e n t ) 、辫构形( b r a i da r r a n g e m e n t ) 、 时俭益构形( s h i a r r a n g e m e n t ) 、一般位置构形( g e n e r a lp o s i t i o n a r r a n g e m e n t ) 等等， 它们的定义多项式分别为： b o o l e 构形：q ( 以) = 五屯吒 b r a i d 构形：q ( a ) = 兀( 薯一t ) i i j n s h i 构形：q ( 4 ) = f i ( 薯一_ ) ( 一_ 一1 ) l s ， s 打 一般位置构形：q ( 4 ) = ( 五一t ) ( - x o ( 吒一。一) ( 吒一五) 对于这些特殊的构形，其几何、拓扑性质都具有明显统一的特征【l 】【15 1 。 从具有特殊性质的构形入手研究，有助于发现构形的普遍性质，若加以深入推广 研究，可以得到很好的结果。另外，由于超平面构形的理论研究极其复杂，没有统一 成熟的方法和体系，这种出浅入深、由简到繁的方式为学者们提供了一个很好的研究 途径。本文中的部分研究也借助了这样的方法。 下面介绍关于超平面构形的理论基础知识。 我们将构形a 中所有元素的非空交的集合记为l = ( a ) ，并且利用反包含定义 上的偏序关系如下：x y x d _ y ，其中x ，y e l ( a ) 。显然，此偏序关系满足自反性、 对称性和传递性。对于任意两个构形4 、召，若存在保序双射伊：三( a ) 一三( 召) ，则称 构形4 和构形召是l 一等价的。 定义l ( a ) 上的秩函数为相应元素的余维数，假设构形4 的维数为，则可以得到： r ( x ) = e o d i m ( x ) = ，一d i mx ，其中x l ( a ) 。也可以等价解释为：r ( x ) 表示使得 x = 红，n e ：n n 玩成立的最少超平面的个数。显然，r ( y ) = 0 ，( 日) = 1 。若元素 2 第一章概述 日的秩为l ，则称该元素为原子。 接下来定义l ( a ) 上的交为：x 】，= n z ：z 三( 4 ) ，x u y c _ z ) ；如果x n y 囝，则 定义并为：x vy = x ny 。设l ，对于啷、y 厶均vy ，x y l ，则称是格。 为了定义构形的特征多项式和庞卡莱多项式，我们先给出( 4 ) 上m 6 b i u s 函数如 f ： i a ( x ，x ) = 1 ，x ( a ) ( x ，】，) = ( 彳，z ) = 0 x ，y ，z e l ( a ) _ k x 】厂 【x _ g ( x ，】，) = g 其他 定义( x ) = ( 0 ，x ) ，则( 0 ) = l 。 定义构形4 的特征多项式为x ( a ，f 户j u ( x ) t m 岖朋。例如：对于特殊的b o o l c x e ( l 构形的特征多项式为x ( a ，f 户( 一1 ) r ( x ) t m 州朋。 x ( = 4 ) 特征多项式为研究超平面的拓扑性质提供了一个很好的工具，通过它可以得出一 个构形将其所在超平面分割出的区域数以及相对有界区域数。具体结果如下：定义 厂( 4 ) = ( 一1 ) ”z ( 一1 ) ，b ( a ) = ( 一1 ) ”以z 4 ( 1 ) ，则，( 4 ) 表示构形4 将其所在 空间分割出的区域数，而6 ( 么) 表示其中相对有界的区域数目。 定义构形4 的p o i n c a r e 多项式为万( 4 ，t ) = ( x ) ( 一f ) 7 朋。 x 五孤) 关于平面上直线构形的研究情况如下【1 6 1 。 在直线构形的研究领域中，一个备受关注的重要问题是，在给定仿射平面上及l 等价的意义下，究竟有多少种直线构形，即如何给出一个l 等价的分类。当然，前人 已经得到了一定的结果。在文献 1 6 】中，d g a r b e r , d t e i c h e r ，m v i s h n e 给出了射影平 面上不多于8 条直线的构形，由此我们可以作出射影平面上不多于8 条直线的构形。在 参考文献 8 】中，详细介绍了仿射与射影的区别与联系。根据相关理论，我们可以将射 影平面上的构形转化为仿射平面上的构形。具体方法为：对射影平面内的某个n + 1 ( n 7 ) 条直线的构形，取定其中一条直线作为无穷远直线，去掉该直线，并将其余的直线都 看作有穷远直线，这样就得到了仿射平面中n 条直线的构形。 关于超平面构形4 的拓扑不变量珐的定义如下：根据有理同伦理论， 缟= r a n k ( g 2 g 3 ) ，其中g 是构形4 的余集的基本群，并且g = g o2g l 是g 的下 中心序列。 北京化t 人学顾i ：学位论文 由参考文献 3 n - i l l ，识的计算公式为： 伴) - n w 2 + d i m ( 嘲) 手工计算平面直线构形的工作量大，并且随着直线数目的增多，人为计算几乎不 可实现。因此，本文中研究了针对平面直线构形的拓扑不变量珐的具体算法，并利用 m a t l a b 进行了实现。其他的研究人员只需输入直线构形各条直线的方程系数，即可方 便得到其么不变量。在这个基础上可以进一步研究构形的拓扑性质，最简单直接的应 用之一便是根据此结果对平面直线构形进行分类。 另外，关于织不变量的研究，前人也得到了一定结果。张曦等人曾证明【l o 】：在所+ 1 个顶点的平面轮式图构形中，计算织不变量时有织= 2 m 。 另外，数学家w h i t n e y 曾给出了一个定理来求解构形的特征多项式【l 】，具体内容 如下：设4 为n 维向量空间中的构形，则 z4 ( f ) = ( 一1 ) 邶t 彻懈 尽为中心构形 在三维空间中，该公式可以进一步的简化。因此，我们想到从一些特殊的平面直线构 形入手，分析其特征多项式并给出推广证明。 1 2 本文主要内容 本文内容主要分为三部分。 在第二章里我们首先介绍了直线构形、o r l i k s o l o m o n 代数和织不变量的基本知 识，接着通过详细的分析，给出了么不变量的算法，通过m a t l a b 编程实现，主要包括 元素编号法和矩阵求秩法。并在此基础上，对不多于6 条直线的平面构形计算了相应 的么不变量，进而进行了分类。 在第三章里我们分析了几类特殊的直线构形，根据拓扑性质的特殊性，对其破不 变量进行了归纳计算。另外，根据k - 完全图直线构形的独特拓扑结构，进一步计算了 k - 完全图的么不变量，并给出了具体的例子说明。 在第四章里我们首先根据w h i t n e y 定理描述了三维空间中构形的特征多项式的算 法，接下来选取了一类特殊的平面直线构形，即k 一完全图直线构形，计算了其特征多 项式并进行了推广证明。 4 第二章直线构形唬不变量的计算 2 1 预备知识 第二章直线构形红不变量的计算 本论文的理论研究基础，除了在背景知识中提到的超平面构形、偏序集、m 6 b i u s 函数、特征多项式等基本概念，还包括以下的部分，主要包括：外代数、o r l i k s o l o m o n 代数、圈、破圈、n b c 基以及唬不变量掣1 1 6 1 。 首先介绍外代数的概念，设a = q ，皿，见) 是数域k 上的一个超平面构形， 取e ，h z ，一为其中的p 个超平面，并且| | | c 是一个交换环，则定义巨2 恩c e ， e = e ( 月) = ( 巨) 是巨的外代数。巨的所有基由元素生成，且有2 = o ， = 一，日，k 4 。由于代数e 是分次的，若1 4 l = 刀，贝i je = 壹。此处昂= 庀， 且巨= 恩i c e 。若简记p 一= q ( 1 f 以) ，则可得到结果互2 。曼。k ，t2 s 2 ；。i c e , e ， ，e = 1 c e d e z 巳，由此可推得e 22 廓= e 0 e , o o e 。 定义o r l i k s o l o m o n 代数，记线性映射为：0 = 0 ：e p 专e 川，其中0 1 = 0 ，= 1 ， 且对于p 2 ，a ( 。e h ，) = ( 一1 ) 扣1 e h 。，。给定超平面的p 元组， s = ( h ，h 2 ，h p ) ，i s i = p ，e s = 气e 。如果厂( n s ) - - i s l = p ，则称s 是无 关的。如果a s 矽且r ( n s ) p ，则称s 是相关的。如果对于任意1 k p ，超平面p - 1 元组( q ，反，以) 是无关的，则称s 是极小相关的。令，= ，( e ) 表示e 的理想， 且，由 l n s = 刃u 织l 醍相关的超平面组) 生成。由于，是由齐次元素生成的，若令 i p = ，n q ，则可得，= 垒( ，n 乓) 。从而我们称商e 为o d i k - s 。l o m o n 代数，一般简 记为o s ( a ) 或者o s 。 接下来定义线性序关系“i ”：e q i 。对于p 元组s = ( 日。，哎，h p ) 如果满足h 。一 哆 _ h p ，则称该p 元组是标准型，并且记删为该线性序下的 最大元。 5 北京化t 大学硕l j 学位论文 如果p 元组s = ( h i ，4 ，h n ) 是极小相关的，则称s 是一个圈。如果3 h a 使 得m a x s _ m lq ( 气气气) = 羔岛( 气气气) ， i = 1 j = l 从而有兰q ( 气气气) 一芝乞( 气气) ：o i = 1j = m 由b ，c 的生成元马，g 的定义可知，当每条直线上仅包含一个3 重点时有忍nc 3 = 矽 因此可得：口，= o ，i = 1 ，聊；也= o ，= 1 ，m ：口= o ，从而证明：b nc = 0 另外，子空间d 的生成元为 d 3 = e , e je j , - e , e je j , + 乞气气lj 【甩】，且上0n 月ln 蚝矽) 假定d i m ( b ) = ，l i ，d i m ( d ) = m , 。将b ，d 的基元素分别记为： 气气 和 气气 若b a d o ) ，则j b a d 。 则由于b ，所以了q ，f = 1 ，c ，不全为o ，使得= 芝q ( g ，气气) 又因为d ，所以j 吃，j = l ，m 3 ，d 不全为o ，使得= 办( 气气气) 艺c j ( 气气气) ：窆嘭( 气气气) ，从而有芝q ( 气气气) 一m 2 嘭( 气气) = o j _ l j 2 i j - l ，2 i 由b ，d 的生成元马，皿的定义可知，当每条直线上仅包含一个3 重点时有色n b = 矽。 因此可得：c f = o ，i = l ，m 。；d = o ，j = 1 ，m 3 = o ，从而证明：b n d = 0 为了证明c n d 不一定是零子空间，我们只需找出一个元素y 满足7 c nd 即 可。 设二维平面匕的直线构形如下图所示： 图2 - 1 平面直线构形 f i g 2 - 1p l a n el i n ea r r a n g e m e n t 图2 - 2 平面直线构形 f i g 2 - 2p l a n el i n ea r r a n g e m e n t 在图2 - 1 的5 直线非中心构形中，则由相关定义可得，此时： 岛= 矽，c 3 = e l e 2 e 3 ，e l e 2 e 4 ，e l e 3 e 4 ，e ：3 e 4 ) 9 北京化- 丁人学硕i ：学位论文 b = 耐q ) ，耐q ) ，耐q e ：e 4 ) ，酬q 色吃) ，酬q ) ，鲥q 蛹) ，q a ( 色鲡) ，耐呸编) 2 址一3 + 瑟，弓1 2 一扔+ 扬，弓1 2 一弓1 4 + h ，弓1 2 一岛1 4 + f 姒，e 2 n e z l 4 + 芒奴， 弓1 3 一弓1 4 + 妊，q 乃一q 2 4 + q 3 4 ，e m 一芒扬+ 缸j q 2 4 + e z 3 4 c a d ，所以可得：c a d 不一定是零子空间 再看图2 2 的4 直线中心构形中，由相关定义可得，此时： 马= 矽，c 3 = e i e 2 e 3 ，e l e z e 4 ，e l e s e 4 ，e z e s e 4 ) d 3 = 气a ( q 吃巳) ，巳a ( q 乞白) ，乞a ( q 巳匕) ，q a ( 吃巳气) = 1 2 一e 4 1 3 + e 4 2 3 ，巳1 2 一巳1 4 + 巳2 4 ，吃1 3 一屹1 4 + 4 ，e 1 2 3 - e 1 2 4 + q 3 4 d 的生成元均可由c 的生成元线性表示，故此时有：c n d = d c u d = c 从而原结论得以证明。 2 3 1 2 九不变量的程序算法说明 根据文献 3 ，以不变量的公式为： 惮- n w 2 + d i m ( o s ；) 其算法说明分为以下几部分。 ( 1 ) 平行的两平面的计算 设q 4 的定义多项式为o t i = a i l x l + + 吒颤，从而得到一般构形么的定义矩阵 为： a = 从彳中取出两行，如，如行，比较相应的系数矩阵和增广矩阵的秩，若，之线性相关 即为平行元素，记下此时的序号( ，之) 。遍历所有二元组，得到构形4 的所有平行元 素，存储在l b 中： 1 0 i l i q 吃 第二章直线构形识不变量的计算 皿= 蚓 并且记召有陋口l = 行，两列。 ( ，五，五) ，遍历所有三元组，得到构形a 的所有步长为3 的极小圈，存储在三c e p 肚卜气 并且记三c 有l c 3 l = 行，三列。 中的基比较后，即可得到n b c 基。具体步骤如下：勺代表了e 2 中的所有元，其中 l i s j 玎。将每一个勺都与b c 中所有元比较，若不相同，则说明此元为n b c 基， 且彻c 基的个数加一。遍历完成所得n b c 基个数即为呓。 由相关证明可得：d i m i ；= d i m ( b + c + d ) 。为了计算各个子空间的维数，需要求 解马uc 3 u d ，作为f 中极大线性无关组的基数。这里采用的方法是以e 3 的顺序基为 标准基底，分别求出e 的生成元对应的坐标向量，并计算这些向量所组成的矩阵m 的秩，从而得到d i m 霹= r a n k ( m ) 。 根据d i m e 3 = q ，定义e 3 的顺序标准基底为： q 乞巳，巳乞气，q 吃巳，q 巳白，q 巳巳，乞巳气，乞乞巳，吃气巳，巳一2 e 一l ， 将生成元转换为1 的向量写入矩阵m ，映射方法为： 北京化t 犬学硕l ：学位论义 l o c a ( i j k ) 寸( o o o o o ( 一1 ) 州砌o ooo o ) ( 批) 其中l o c a ( i j k ) 和n u m ( i j k ) l 拘计算方法如下： 由于上述的标准基底的下标是从小到大顺序排列的，所以需要将( i j k ) 经过一定次数的轮换使得驰一l ：o j o k oo o 矗 25 32 】 26 4 1 】【2 1 34 】 d i m ( i ；) = 2 0 哆= 9 = 1 6 碥 d i m ( 1 3 ) = 2 0 q = 9 = 1 6 1 7 蚝 d i m ( i ；) = 6 哆= 9 = 1 4 北京化t 人学硕i ：学位论文 、 、 2 】 d i m ( 1 2 3 ) = 1 4 c 0 2 = 1 1 九= l o 、乏 ， 2 9 4 1 】 坞7 d i m ( i ；) ：1 0 哆= 1 2 九= 8 迭 221 1 # , - - l o f f 2 4 33 】 u 3 0 - 1 d i m ( e ) = 1 8 o j 2 = 1 0 痧3 = 1 2 c 0 2 = 1 2 红= 6 26 32 】 8 - 2 d i m ( i ；) = 2 0 哆= l o 痧3 = 1 0 29 3 1 】 2 9 - 2 d i m ( e ) = 1 4 e 0 2 = 1 1 矽3 = 1 0 z 3 0 _ 2 d i m ( i ；) = 1 8 ：o e2 1 0 九= 1 2 i i 1 9 l 心8 - 3 d i m ( ) = 1 8 哆= 1 0 唬= 1 2 心 心 心 心 9 3 d i m ( 1 2 3 ) = 1 6 哆= 1 1 # , - - s 第一二章直线构形织不变量的计算 、 x “3 l i d i m ( ) = 1 6 哆= 1 1 识= 8 誓 i 【2 1 0 3 1 u 3 2 1 d i m ( e ) = 1 2 哆= 1 2 唬= 6 心、 吣 k i i 2 7 32 】 u 3 1 2 坞l _ 3 d i m ( i ；) ：1 6d i m ( i ；) ：1 6 q = 1 1哆= 1 1 珐= 8 珐2 8 、 u 3 2 2 d i m ( 脚= 1 2 哆= 1 2 苁= 6 【2 3 1 】 - l d i m ( i ；) = 8 哆= 1 3 唬= 4 、 芦n ? u 3 3 2 d i m ( i ；) = 8 哆= 1 3 识= 4 矿 v ，。 2 1 i ， i i ， u 3 1 4 d i m ( i ；) = 1 6 哆= 1 1 么= 8 、， 八l | ， 北京化t 人学硕i ：学位论义 鸭4 _ l d i m ( 1 2 3 ) = 1 2 c 0 2 = 1 2 织= 6 心。 k 吩7 _ l 【29 32 】 3 4 - 2 d i m ( ) = 1 2 鸱= 1 2 织= 6 | 鸭s - 2 d i m ( 1 2 3 ) = 1 4 c 0 2 = 1 1 # 3 = 1 0 i | k 彳 1 i 鸭6 - 2 d i m ( e ) = 1 6 哆= 1 1 唬= 8 渗 、 一， z 靠2 哆= 1 2 织= 6 4 3 4 - 4 d i m ( 1 2 3 ) = 1 2 c 0 2 21 2 织= 6 2 i l o、j m 】 d 2 j2 42 4 ， = 、j 1 ) 吩e 1 小啄训枷 m 嘎织 善 哆织 6 3 2 l：，化川书 m 广唬篙缚 第二章直线构彤织小变量的计算 d i m ( i ；) = 8 c 0 2 = 1 3 唬= 4 d i m ( i ；) = 8 c 0 2 = 1 3 死= 4 图形维数 1 1 2 3d i m ( e ) = 0 6 2 4 d i m ( 2 3 ) = 4 魄d i m ( e ) = 6 2 3 3 一l 1 3 3 - 2 坞7 一l 蚝7 2d i m ( 1 2 3 ) = 8 7 u 2 7 一ld i m ( ) = 1 0 2 2 2 7 2 3 2 一l 3 2 2u 3 4 一i 3 4 2 坞4 - 3 - 4d i m ( 1 2 3 ) = 1 2 u 9u 1 8u 2 1t 2 9 iu 2 9 2 u 3 5 1 d 3 5 2d i m ( ；) = 1 4 u 1 9u 2 5 2u 2 9 3u 3 1 一i 3 l 一2 3 1 3 1 3 i 一4 “l 6 2d i m ( ；) = ：1 6 心“l11 1 3 1 4 2 8 一l 2 2 8 3u 3 0 一iu z o 一2d i m ( e ) = 1 8 吻吩略哟u l ou 1 5 , 2 0 2 5 一lu 2 6 一i 1 2 2 2 8 2d i m ( i ；) ：2 0 图形 绣不变量 u 2 3 o u 1 6 1 2 4 2 u nu 3 3 一lu 3 3 2 u 3 7 一i u 3 7 - 2 4 u 2 2 1 2 7 2 3 2 一iu 3 2 27 3 4 一iu 3 4 2l d 3 4 - 3 吃4 4 6 1 7 t 2 7 1 “2 9 - 3 吩l iu 3 1 2 鸭t 一3u 3 1 4 吃6 - 1 坞6 _ 2 8 坞u l s 吃1 f 2 8 - 2 “2 9 一l 2 9 2u s 5 1u 3 5 - 2 1 0 u 4 “l1 3u 1 4 2 8 一i 4 2 8 3u 3 0 一1u s 0 - 2 1 2 蚝 1 4 蚝呜o 2 5 1 2 6 1 2 6 2 1 6 心5 - 2 1 9 2 0 蚝鸭 1 5 2 2 1 2 2 0 4 0 嵋 7 7 0 北京化t 人学顾f ：学位论文 第三章几类特殊的直线构形的疙不变量 第三章几类特殊的直线构形的织不变量 对于平面上几类特殊的直线构形，我们可以根据其拓扑性质的特殊性证明缟不变 量的计算公式。另外，我们考虑了特殊的完全图构形的情形。具体的分析过程如下。 3 1 简单直线构形的么不变量 ( 1 ) 所有的直线都平行 l 2 l 卜1 n 图3 - 1 平面直线构形 f i g 3 - 1p l a n el i n ea r r a n g e m e n t 在这种情形下，容易得到： 引1c = o ，曰n d = o ，i 马i = q ，c 3 = 矽，b = 矽，