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一阶拟线性双曲组混合初边值问题 经典解的生命跨度 摘要 在许多力学、物理学或其它自然科学领域中，经常会提出具有两个自变数的 一阶拟线性双曲型组。一般而言，拟线性双曲型方程组混合初边值问题的经典解 只能在时间z 的一个局部范围内存在，即使初边值相当光滑，甚至相当小，也是 如此。于是，人们自然会提出一系列问题：在什么条件下混合初边值问题存在整 体经典解? 在什么条件下不存在整体经典解，在这样的情况下解的生命跨度是怎样 的? 对这些问题的研究，一方面是数学理论本身的需要，另一面也是实际问题的 需要。在理论上和实际中都具有重要的意义。 对于混合初边值问题整体经典解的存在性的研究已经的得到了很好的结 果( 见【1 0 ) 。而本文主要考察了非弱线性退化的一阶拟线性双曲组的混合初边值问 题经典解的生命跨度，即在半无界区域 ( t ，x ) jt 0 ，z2 0 ) 中带有非线性边界条件 的拟线性双曲组的混合初边值问题，在正特征根不全为弱线性退化的假设下，可 以得到带有小衰减初值的c ，1 解的一阶导数将会破裂。同时也给出了其c ，1 解的生命 跨度的精确估计。文中波的分解公式对定理的证明起到了很重要的作用。 本文第一章首先介绍了关于一阶拟线性双曲组的初值问题及混合初边值问题经 典解的已有的一些结果，并给出了本文要证明的主要结果。可以看到一阶拟线性 双曲组混合初边值问题与初值问题有完全类似的结论。在第二章中给出了拟线性 方程组的精细的波的分解公式，并给出了后文证明会用到的一些引理。这些结果 主要来自于 2 和 8 1 。第三章为混合初边值问题的解及其一阶导数建立一致先验估 计，为主要结果的证明做准备。主要是通过四个引理详细阐明的。第四章通过一 个等价的引理来证明主要的结果。 关键词：拟线性双曲组，混合初边值，生命跨度，弱线性退化 中图分类号：0 1 7 5 2 2 ，0 1 7 5 2 7 t h el i f es p a no fc l a s s i c a ls o l u t i o nt om i x e d i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s to r d e r q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ef i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t ht w o i n d e p e n d e n tv a r i a b l e s t h e ya r i s ei nm a n yf i e l d so fm e c h a n i c sa n dp h y s i c s g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h ec l a s s i c a ls o l u t i o n so fi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h ef i r s t o r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so n l ye x i s ti nas h o r tt i m ee v e nf o rs m a l li n i t i a l d a t a h e n c et h ep r o b l e m s ：w h e nd o e sag l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o ne x i s t ? w h e nd o e s ag l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o nd on o te x i s t ? a n dw h a ti st h el i r e - s p a no fs o l u t i o n ? i nf a c t ， t h e r ea r et h e o r e t i c a la n da p p l i e dn e e d st os t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o - l u t i o n s t h e r e f o r ei ti so ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li n t e r e s tt os t u d ya b o v ep r o b l e m s o ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h ef i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ac o m p l e t er e s u l t sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o n so fi n i t i a l - b o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rt h ef i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sh a sb e e no b t a i n e d b yl i b i nw a n g ( s e e 1 0 ) i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h em i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n si n ah a l f - u n b o u n d e dd o m a i n ( t ，圳t 0 ，z o ) u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e p o s i t i v ee i g e n v a l u e sa r en o ta l lw e a k l yl i n e a r l yd e g e n e r a t e ，w eo b t a i nt h eb l o w - u p p h e n o m e n o no ft h ef i r s to r d e rd e r i v a t i v e so fc 1s o l u t i o nw i t hs m a l la n dd e c a y i n g i n i t i a ld a t a w ea l s og i v ep r e c i s ee s t i m a t eo ft h el i f e - s p a no fc 1s o l u t i o n t h ef o r m u l a s o nt h ed e c o m p o s i t i o no fw a v e sw i l lp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei no t l rd i s c u s s i o n t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w eg i v es o m er e s u l t sp r e s e n t e df o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n so fi n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n di n i t i a lv a l u e p r o b l e mf o rt h ef i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，a l s ot h em a i nr e s u l to ft h i s p a p e r i ti se a s yt os e et h a ti n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rt h ef i r s to r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sh a v es i m i l a rc o n c l u s i o n sa si n i t i a lv a l u ep r o b l e m i nc h a p t e r 2 w eg i v et h er e f i n ef o r m u l a so nt h ed e c o m p o s i t i o no fw a v ea n ds o m e1 e m m a sw i l lb e n e e di nt h ef o l l o w i n g ( s e ef 2 】a n d 8 ) i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s hau n i f o r map r i o r ie s t i m a t ef o rt h ec on o r ma n dc 1n o r mo ft h ec 1s o l u t i o nt ot h em i x e di n i t i a l - b o u n d a r y p r o b l e m a n dp r o v ef o u rl e m m a si no r d e r t oo b t a i nt h em a i nr e s u l t i nc h a p t e r4 ，w e p r o v et h em a i nr e s u l tt h r o u g hae q u i v a l e n tl e m m a 1 1 k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m ，m i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，l i f e - s p a n ，w e a kl i n e a r c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 2 ，0 1 7 5 2 7 i n 第一章引言及主要结论 1 考察形如 。 豢+ a ( u ) 蹇_ 0 ( 1 1 ) 的一阶拟线性双曲组，这里u = ( 乱。，) t 是( t ，z ) 的未知向量函数，且a ( u ) 是 一个n 礼矩阵，其元素。巧( u ) ( i ，j = 1 ，n ) 适当光滑由双曲型的定义，对 所考察的区域上任意给定的“，a ( u ) 都有礼个实特征根) 、，( u ) ，k ( 札) 且有 一组完全的左( 右) 特征向量系对于i = 1 ，佗，令瓦( 札) = ( k ( u ) ，f 。( u ) ) ( r i ( u ) = ( n 1 ( u ) ，t i n ( 札) ) r ) 是九( u ) 相对应的左( 右) 特征向量： k ( u ) a ( u ) = 九( u ) 如( u ) 且 4 ( 让) n ( “) = 九( “) n ( “) 我们有 d e t ( u ) i 0( r e s p d e t h ( u ) i 0 ) 不失一般性坡在所考察的区域上 l i ( u ) r j ( u ) ；6 i j ( i ，j = 1 ，n ) ， ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 这里也，表示k r o n e c k e r 符号 我们设所有的九( 札) ，b ( “) 和( u ) ( i ，j = 1 ，n ) 具有a i j ( u ) ( i ，j = 1 ，n ) 相同的正则性 对于带有初值 = 0 ：“= ) ，( 1 6 ) 的柯西问题( 1 1 ) ，这里( 。) 是c 1 范数有界的c 1 向量函数f j o h n 在所有特征为 真正非线性的条件下，证明了一维非线性双曲方程组奇性的形成( 见【3 ) ，而刘太 平则考虑了部分特征为真正非线性，一部分为线性退化的情形下，经典解的整 体存在性或奇性的形成( 见 1 4 ) 而后，l h s r m a n d e r 重新证明了f j o h n 的结果并得 到了生命跨度的估计( 见 2 ) 此外，a b r e s s a n 证明了线性退化方程组小的有号变 差初始值的柯西问题解的整体存在性( 见 1 1 ) 特别的，在引入了弱线性退化的 定义之后，李大潜周忆和孔德兴给出了对带有某种衰减性的小初值的柯西问 2 题( 1 1 ) 和( 1 6 ) 的c 1 解的整体存在性，破裂现象和生命跨度等问题的证明( 见 4 _ 6 【8 一 9 ， 1 2 一 1 3 和 1 8 ) 对于带有初值( 1 6 ) 和边值 茁= 0 ：= ，s ( o ( t ) ， 1 ，) + h s ( t )( 8 = m + 1 ，n ) ( 1 7 ) 的混合初边值问题( 1 1 ) ，在区域 d = ( t ，z ) jt 0 ，z o ) ，( 1 8 ) 上，其中 i = l i ( u ) u ( i = 1 ，n )( 1 9 ) 且 o ( t ) = ( d 1 ( t ) ，。( t ) ) ，( 1 1 0 ) 这里西( z ) ，q ( t ) 和 。( t ) ( s = m + 1 ，几) 是带有某种衰减性的c 1 函数李大潜，王 立彬证明了在所有正特征根为弱线性退化的假设下，阶拟线性双曲组的混合初 边值问题的整体经典解的存在性( 见 1 0 】) 为了考察系统( 1 1 ) 和( 1 6 ) 一( 1 7 ) 的c 1 解的 破裂现象和生命跨度，本文主要考虑正特征根不全为弱线性退化的半无界区域内的 混合初边值系统( 1 1 ) 考察初值问题的整体经典解和破裂现象时( 见 8 】和 1 2 _ 【1 3 ) ， 我们仅估计了沿z 一轴出发的特征线上的c 1 解然而，本文中我们还需要估计沿y 一轴 出发的特征线上的g 1 解，实际上它是可以由边值控制的 设特征根满足 a 1 ( o ) ，a 。( o ) 0 a 。+ 1 ( o ) 0 使得 m a x s u p ( 1 + z ) l + u ( i 妒( 。) i + i 砂( 茁) 1 ) ，s u p ( 1 + t ) l + z ( i a ( t ) 1 + 1 日( t ) i + i a ) 1 + 1 日7 0 ) i ) ) z o t 2 u 上g 1 解“= 札( t ，。) 的生命跨度t ( ) 满足 l i m ( ”1 t ( ) ) = m o ，( 1 2 3 ) 4 这里 = ( m 。a x s u r p 击学k 。( 喇嗍。) 旷 ( 1 z a ) 其中u = u ( 。( s ) 由p 4 ，定义且 rk ( o ) 砂( z ) ，z 0 蛾如卜i 耋孰，叫和，砂( 端z ) + 凰( 一赢) ，q - 2 5 对于i 注1 2 与柯西问题的结论相比较( 参 8 并1 1 1 2 一【13 ) ，( 钍) p = 1 ，m ) 的弱线 性退化的假设不是必要条件 注1 3 注意到( 1 2 2 ) 和蛾( z ) ( i ) 的定义，在证明定理1 1 之前我们会给 出面。( z ) c 1 并且存在i o 使得圣t 。( z ) 0 那么m ( 1 1 9 ) 可知，( 1 2 4 ) 中给 出的常数总是正的 注1 4 以( u ) ( n ( u ) ) 其中i ，对于所考察的区域内的任意给定的“拥有一个自由 度然而，m ( 1 5 ) 和( 1 1 4 ) ，很容易得到( 1 2 4 ) 中给定的m j 在特征向量的这种变化下 是不变的 注1 5 由 的定义，( 1 2 4 ) 中m a j 1 可以替换成m a ：。+ 1 m ，这里对i 仨j 1 蛾( z ) c 1 可以是任意的e 1 函数 注1 6 由定理1 ，1 可以直接得到混合初边值问题( 1 1 ) 和( 1 6 ) 一( 1 7 ) 的g 1 解u = u ( t ，z ) 的一阶导数在有限的时间内一定会破裂，且存在两个不依赖于e ( 在定理1 1 中) 正常数c 和a 使得u = u ( t ，z ) 的生命跨度于( 5 ) 满足 既一( a + 1 于( e ) ( k 一( 。+ ( 1 2 6 ) 注1 7 8 】， 1 0 】和 1 3 】中的一些结果仍然是有效的，所以本文中没有再次给出证明 过程 第二章预备知识 5 对于一般的拟线性双曲组，由 1 5 1 5 b 引理2 5 ( 也可见 6 ) ，对于任何给定的a ( u ) 的完全右特征向量系r z ( ) ，( 扎) ( 不用假设严格双曲) ，存在一个适当光滑的可 逆变换u = ( 西) ( u ( o ) = 0 ) 使得在石空间中，对每个i = l ，礼，过面= o 的第i 个特 征轨线至少在对f 甄憎艮小时与瓯轴重合，即， 再慨岛) 岛，vf 蕊fs m a l l ( i = 1 ，n ) ，( 2 1 ) 这里瓦( 五) 为与n ( 牡) 相对应的第i 个右特征向量且 白：( o ，o ，q ，0 ，o ) 7 ( 2 2 ) 称这样的变换为标准化变换，且未知量面= ( 面1 ，瓦) t 为标准化变量和标准化坐 标 不失一般性，设 霄( 面) 再( 司；1 ( 2 3 ) 那么，( 2 1 ) 可以写成 再眩e ；) = e ；，v1 瓯is m a l l ( i = 1 ，礼) ( 2 4 ) 对于标准化变换t t = u ( 面) m ( o ) = o ) ，有 瓦o u ( 。) = n ( o ) ( 汪1 ，n ) ， ( 2 5 ) 即 笔( 0 ) = r ( 0 ) ， ( 2 6 ) 这里r ( u ) 是右特征向量n ( u ) ( i = 1 ，n ) 组成的矩阵 因此，注意到( 1 5 ) ，有 瓮( o ) _ “o ) ( i 钆， ( 2 7 ) 即 裳( 0 ) 叫0 ) ) ( 2 8 ) 这里l ( u ) 是左特征向量l ( 钍) ( i = 1 ，n ) 组成的矩阵 6 令( i = 1 ，n ) m ( 1 9 ) 定义且 训。= i i ( u ) u 。( i = 1 ，一，n ) ( 2 9 ) 由( 1 5 ) ，有 且 u = * ( u ) = 1 札。= 训肌( 乱) = 1 挑。，、 d d2 毫心机 其中 序i j k ( u ) = ( a k ( u ) 一九( u ) ) 以( u ) v 吩( u ) “( 钆) 因此有 f l i j i ( u ) 三0 ，v i ，j 此外在对应的标准化坐标下，有 3 i j j ( u j e j ) 三0 ，vi ls m a l l ，v i ，j 其中 注意( 2 1 z ) ，m ( 2 z a ) 有( 见 2 】) d v i ( d x a i ( u m ( 2 1 5 ) ，很容易得到 且 b 玎k ( u ) = 助k ( u ) + v a i ( u ) r k ( u ) 如 b i f i ( u ) i0 ，vj i 局t ；u ) = v m u ) r i ( u ) ，v i f 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 昔或6 旦如则 有九是 + 于a 瓦致 = 导 旦如神的于关的线特个第 令 沿怍 记 此外由( 2 1 6 ) ，在标准化坐标下有 b i j j ( 8 ，) i0 ，vi 嘶 s m a l l ，vj i 另一方面，有( 见 3 】， 6 】或 1 2 1 ) 等2 三训札肌。_ 1 ，峨 2 2 其中 仉j k ( u ) = ： ( ( u ) 一a k ( 扎) ) 以( u ) v r k ( u ) q ( “) 一v 入k ( u ) q ( u ) 文k + o l 南) ) ， ( 2 2 3 ) 这里( j l k ) 表示前一项中变换j 和k 所得到的所有项因此 均j ( u ) e0 ，vj i ( 22 a ) 且 ，k 。( u ) = 一v a f ( “) n ( “) ( i = 1 ，礼) ( 2 2 5 ) 注意( 2 1 1 ) ，m ( 2 2 2 ) 有( 见 2 ) d 瞰出一l i ( u ) d t ) = r 批( u ) 屿训k d t ad x ， ( 2 - 2 6 ) 其中 r 玎( u ) = ；( ( u ) 一a k ( u ) ) 2 。( u ) v “( “) q ( u ) 一v q ( 札) ( u ) ( 2 2 7 ) 因此 ( “) j0 ，v i ，j ( 22 8 ) m ( 2 1 7 ) y r g ( 2 2 6 ) 很容易可以证明下面的引理( 见 2 ) 引理2 1 设u = u ( t ，) 是系统阻i j 的一个c 1 解，丁1 和b 是两个不会与篾个特征方 向楣切的c 1 弧? 且d 是由t 17 他和两个第t 个特征曲线l _ 和珐围成的区域那么 加扣u i 5f l v i ( d x - a i ( u ) d t 卅l 熹剐钍酬删坤2 9 ， 且 加 删5 小咄l + di j 壹, k = l 晰脚出妣3 。， 下面两个引理可以在【8 中直接找到 引理2 2 设 = ”( t ) 是下面常微分方程的c 1 解j 面d w = 。( t ) 叫2 + 。1 ( t ) 叫+ n 2 ( t ) ， ( 2 3 1 ) 在区间 o ，明内，其中r 0 是给定的载a i ( t ) ( i = 0 ，1 ，2 ) 是 0 ，刁上连续函j 数且 a o ( t ) 0 ，v t 0 ，t ，( 2 3 2 ) k = o t 呲m 印( 一f o t a l d s ) 批 c z 。s ， 如果 , 4 0 ) k ( 2 3 4 ) 那么 f o ta o ( 咖印( z 2 。，( s ) d s ) 出 ( 训( 。) k ) ( z 3 5 ) 引理2 3 设啦( t ) ( i = 0 ，1 ，2 ) 是区间 o ，t 】上关无的连续函数，k 仍由俾3 s ) 定义 令 。吉( t ) = m a x ( 土a o ( t ) ，o ) ( 2 3 6 ) 如果 w o 0 ，( 2 3 7 ) 且有 j 0 7 a o + ( 咖x p ( r a l ( s ) d s ) 疵 5 0 ( i = 1 ，礼) ( 3 3 ) 随着时间的变化，设在混合初边值问题( 1 1 ) 和( 1 6 ) 一( 1 7 ) 的g 1 解u = u ( t ，z ) 的 任何给定存在区域内，有 i u ( t ，z ) is5 ， ( 34 ) 由 1 0 中引理3 2 的证明结尾处可以知道此假设是合理的 为了估计解的生命跨度，首先要对混合初边值问题( 1 1 ) 和( 1 6 ) 一( 1 7 ) 的a 1 解u = u ( t ，。) 的g 1 模建立一个一致先验估计( 参 1 0 】或【1 1 】) 由( 2 1 0 ) 一( 2 i i ) 很容易 看出仅仅需要估计 = ( v 。，v n ) 和训= ( w l ，w 。) 的g o 模 对于任何给定的t 0 ，令 d ：= ( t ，z ) 10 t t ，茁( 入。( o ) - fa o ) t ， ( 3 5 ) d o = ( t ，z ) 10 t t ，o z ( a 。+ 1 ( o ) a o ) t ， ( 3 6 ) d t = ( t ，。) 10st t ，( a m + 1 ( o ) 一5 0 ) t z 冬( a 。( o ) h - 岛) t ) ， ( 3 7 ) 并且对8 = m - f 1 ，几， d = ( t ，z ) io t t ，x a 。( o ) t 1 5 0 t ( 3 8 ) 很容易看出 d ：u d 手u d t = 0 ，x ) i o t t ，z 0 并且 ud c d t l u 在混合初边值问题的g 1 解钍= “( t ，z ) 的每个存在区域 ( t ，x ) l o 曼t 曼t ，z o ) 内令 y ( d ：) = 。珥8 x ，i i ( 1 + z ) 1 + “地( t ，x ) l l l 。( d d ， ( 3 9 ) t = 1 n w ( d t + ) = 唧a xj i ( 1 + z ) 1 + “毗( ，x ) l l l 。f d d ，( 3 1 0 ) 0 = 1 一n v ( d t ) = 磐8 xf i ( 1 + ) 1 t “饥( t ，。) f f l 。( d i ) ， ( 3 1 1 ) t = i n ” w ( 瑞。) = ，粤a xm + t ) 1 + ”w d t ，z ) | j 胂( 璐) ， ( 3 1 2 ) 0 = i m ” v = ( t ) = m a x 珥瓢s u p ( 1 + t ) 1 + “i v ，( t ，x ) l ， 7 。1 ，“阢x ) e d 7 m 3 ，2 , ( ， s u p ( 1 + t ) 1 + “i v 。( ，茁) m( 3 1 3 ) 3 2 “+ l ，4 陋m ) e d t d t w 品( t ) = m a x m a xs u p ( 1 + t ) 1 + “i 嘶( t ，x ) l ， 2 1 ，”，”m _ | c ) 6 d t m a ，x ，s u p ( 1 + t ) 1 + “f 训。( ，z ) m ( 3 1 4 ) 8 2 ”+ 1 ，礼( t ，x ) 6 d t d t s 。 v x ( t ) = m a xm a x s u p l v s ( t ，x ) l d t ，( 3 1 5 ) 3 - m + l ，t s , j # s c ，j i ，j w l ( t ) = ，璺擎，m a ：x s u p l w 。( t ，x ) i d t ， ( 31 6 ) 3 = m + l ，+ ，nj 产。 c ，玉 其中磊记为d 上第，个特征线( ，s ，8 = m + 1 ，n ) ， v 麓( t ) = m 3 , xs u p1 吼( t ，茁) 1( 3 1 7 ) t ，n o t t z 0 且 w 矗( t ) = 珥a xs u p1 毗( t ，z ) | _( 3 1 8 ) t 2 l ”m o 0 使得对任何给定的 0 ，- c o ，在混 合初边值问题( 1 1 ) 和( 1 6 ) 一( i ) 的c 1 解u u ( t ，吣的任伺给定存在区域博，z 、徊曼 t t ，z 之0 ) 上，有下面的一致先验估计： y ( 职) ，w ( d t ) 圪。 ( 3 1 9 ) l l 这里，k 1 是不依赖于s i l t 的正常数口 引理3 2 设在u = o 的邻域内，a ( u ) c 2 ，口圳是双曲的且似1 1 ) 成立再假 设砂( z ) 满足n j 9 j 那么存在足够小厅眙o 0 使得对任何给定厅眙 0 ，g o ，在混 合初边值问题p 纠和一矽一n 7 ) 的a 1 解u = “( t ，z ) 的任何给定存在区域 ( t ，z ) i o 茎 t z x o ) 上，有下面的一致先验估计? w ( j o ) 茎f 5 2 ， 研f 丁) 1 5 3 e ， w l ( t ) k 4 e ， 和 比( t ) k 5 这里，蚝( i = 2 ，5 ) 是不依赖于5 和丁的正常数口 令 昭( t ) i ，骂。焉雠，z ) f z 0 注3 1 m ( 3 1 9 ) 一( 3 2 0 ) 和( 3 2 2 ) ，很容易得到 w 嚣m ( t ) k 6 这里，是不依赖于e 和丁的正常数口 ( 3 2 0 ) f 32 1 1 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 32 4 ) ( 3 2 5 ) 为了考察标准化坐标下的混合初边值问题，我们有在任何给定的光滑可逆变 换钍= u ( 面) ( 札( o ) = o ) t 边值条件( 1 7 ) 始终保持形式不变( 参 1 0 ) 下面证明中仍然 记标准化坐标为u = ( u 1 ，) 引理3 3 定理j 1 的假设下，在标准化坐标中，存在足够小的s o 0 使得对任意给 定f 拈( 0 ，印 ，在混合初边值f 习题以j j 和口纠一仁卅的g 1 解仳= u ( t ，o ) 的任何给 定存在区域 ( t ，x ) l o t t ，x o 上，有下面的一致先验估计? 和 矿( d o t ) 研e ， v i ( t ) k 8 + ，c 9 e 2 + 。t 屹( 丁) k 1 0 8 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 32 8 ) 1 2 如果 而且 i p k ( z ) k ：1 1 e ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 其中心“= 7 ，8 ，1 2 ) 是不依赖于和t 的正常数 证明这个引理的证明方法类似于 1 0 中引理3 5 和3 6 的证明下面我们仅指出 证明中的不同之处 令 吒( t ) = m 。引，璺黑：啬，( 1 + 妒押1 札r ( t , x ) l ， m 骈s u p( 1 + t ) 1 + “l “。( ，z ) m ( 3 3 2 ) 一“1 。l ，p ( ，x ) e d l d ； 由 1 0 】中( 3 7 1 ) 和( 3 8 1 ) ，很容易得到 u ( t ) c 圪( t ) ， ( 3 3 3 ) 和 v ( j o ) c l i 1 + 圪( t ) + 诟( t ) ) ( 3 3 4 ) 这里以及后面，c 和g ( i = 1 ，2 ，) 记作不依赖于和时间t 的正常数 现在我们估计访( t ) 令 r ( t ) = m a xs u p 1 v s ( ，x ) l d x ( 3 3 5 ) s = m + l ，“o ! t 一, i t d ；( t ) 、 类似【1 0 】中( 3 8 3 ) ，对s = m + 1 ，n ，有 k h 嘶渺胚小讪1 - 级嘉懒触 ( 3 3 6 ) 对sgj ( s = m + 1 ，几) ，可以像 1 0 】中引理3 5 的证明一样估计( 3 3 6 ) ；而 对s j ，注意到( 2 2 1 ) ，取代 1 0 】中( 3 8 4 ) 可以把( 3 3 6 ) 写成 瓜h ( 州“( 仳驯出 0 成立 ( t ) 尤8 + k 9 2 + c t ( 3 4 7 ) 因此，为t e n ) i ( 3 2 6 ) 一( 3 2 s ) 我们要选取k 7 ，k 8 ，k 9 和k 1 0 使若满足对任意固定 的而( 0 0 因此，为了证明( 3 3 0 ) ，就要选取k 1 1 和圪1 2 ，若满足对任意固定的蜀( 0 0 适当对任意 给定序拈( 0 ，o 】，在混合初边值f 习题似u 和化砂一以7 ，的c 1 詹轧= u ( t ，z ) 的任意 给定存在区域 ( t ，x ) 1 0 t t ，。o ) 肉，有下面的致先验估计j 玩( t ) 1 3 e + k 1 4 2 扣t ，( 3 7 3 ) 如果 t e 2 帕1 ( 3 7 4 ) 这里n 3 和吼4 是不依赖于帮匝的正常数 证明由( 2 1 0 ) ，( 2 4 ) 和h a d a m a n d 公式，对j s ( s = m + 1 ，n ) ，有 。( t ，z ) = 瑶( u ) e 。+ v k r 吾( “) e 。+ t 。( 哆( u ) 一哆( 勺) ) e 。， ( 3 7 5 ) 和 咖h ( 啪) 2 2 1 f i 台列o r j r ，哗，脚r 帅，丁删叫3 7 6 ) 因此，由( t ) 的定义以及注意到( 3 3 3 ) ，对j 8 有 i 珏。( t ，z ) l d tsc ，品( t ) + h ( t ) + ( v 矗( t ) + 巩( t ) ) 比( t ) ) ( 3 7 7 ) d c l = 也 一 留 4g3 一 lm 果如 此因 埔 那么由( 3 7 2 ) 和引理3 2 ，对适当小的 0 有 1 7 玩( t ) g 圪( t ) + 诟( t ) ) ( 3 7 8 ) 因此，用引理3 3 ，存在两个不依赖于和t 的正常数圪1 3 和k 1 4 ，使得对t e 2 “s1 如果 玩( r ) k 1 3 e + k 1 4 e 2 + 口t f 3 7 9 ) k 1 3 g ( k 8 + 圪1 0 ) a n dk 1 4 ( 尤9 ( 3 8 0 ) 引理3 4 的证明结束口 1 8 第四章定理1 1 的证明 第二节中提到，存在个标准化变换1 , = u ( 面) ( u ( o ) = 0 ) 使得( 2 8 ) 成立在任 意标准化变换u = u ( 司( u ( o ) = 0 ) t 有 a 。( 石) = ) 、。u ) ( i = 1 ，礼) ( 4 1 ) 对任意固定的i ，m ( 1 1 7 ) 很容易得到 雨0 z a i ( 。) = 。( b 1 ，a ) ，( 4 2 ) 豢( o ) = 警k 。 ( 4 s ) 因此为了证明定理1 1 ，仅需要证明下面的引理： 引理4 1 在定理j 的假设下，在标准化坐标下面满足俾剀，于是有 l i m ( e 时1 t ( ) ) = ， ( 4 4 ) e 叶0 + 、 其中 耻r m a “x s u 叫p 一去藉一融，旷 s ， 这里蛾( z ) ( i ) 由口2 砂定义 证明为了简单起见，下面所考察的标准化坐标仍然记作u 注意( 2 8 ) 和 1 0 中引 理3 4 ，混合初边值条件( 1 6 ) 和( 1 7 ) 应该写成 t = 0 ：u = 巧( z ) + o ( 2 ) ，( 4 6 ) 其中 市( z ) = l ( o ) 妒( z ) ， ( 4 7 ) 且把 1 0 中( 3 5 9 ) 带x ( 1 7 ) 中，很容易得到 z = 0 ：= 上( a ) ，口1 ，一，) + 风0 ) + o ( 1 1 ) s = m + 1 ，。一，n ， ( 4 8 ) 因此， z ：0 ：驴喜差( o ) 蚓卅旧s = m “，n ( 4 9 ) 1 9 此外，现在这种情形下，左右特征向量不仅可以假设满足( 1 5 ) 和( 2 4 ) 而且可以满足 因此，有 一( u ) n ( 乱) i1 ( i = 1 ，n ) ( 4 1 0 ) 由( 4 6 ) 一( 4 7 ) 和( 4 1 1 ) ，有 r ( 0 ) = l ( 0 ) = i ( 4 1 1 1 t = 0 ：地= c l 。( o ) 妒 ) + o ( e 2 ) ， ( 4 1 2 ) 讹= 如( o ) 妒( z ) + 0 ( 一) ( 4 1 3 ) 把( 4 9 ) 关于t 作微分得到 z = 。：警= m 差0 ( 吣一，。) 瓦o v r + 饵沁) + 2 ) s = m + ”一，n ( 4 1 4 ) 再注意到( 1 1 ) 和( 2 1 1 ) ，很容易得到 鲁= 瓤札m = 屯( 札+ 妻k = l ( u ，n ， ( 4 1 5 ) 其中 a i k ( “) = 一a k ( “) 堙( 让) v 如( “) “ ( 4 1 6 ) 那么注意( 1 1 1 ) ，( 3 2 0 ) 和( 3 2 3 ) ，对足够小的 0 ，由( 4 1 4 ) 一( 4 1 5 ) 有 z = o ：驴丽1 ( 萎m 川募( 0 】1 0 ) 嘶一醐啪+ o ( 。( s = m + l ，川t ( 4 1 7 ) 既然e 0 是适当小的且在e 1 包容性条件下，对i ，吡和妣在点( o ，o ) 上是连 续的于是容易得到蛾( z ) c 1 且由( 1 1 9 ) m a x s u p ( 1 + ) 1 + “( i 西。 ) iq - l 圣： ) i ) 0 注意( 4 1 8 ) ，由( 4 5 ) ，很容易得出存在如 和印r 使得 = ( 一i 1 砰0 1 + a a i o 如跏吲舻。，) 2 0 不失一般性，假设i o = n 注意( 3 6 3 ) ，令 。= 刍鬻( 0 ) 一刍咎舢 o2 面刁万【u ) 2 一习丽【u j o 由( 4 1 9 ) 知，( z o ) 和n ( ( z o ) ) 。一定为同号于是可以设 b 圭o ( 西。( z o ) ) 。 0 a n dd 兰圣：( z o ) 0 f 42 0 ) ( 4 2 1 ) ( 否则用一秕代替“) 如果存在z o o 使得( 4 1 9 ) 成立，类似【1 3 中定理1 2 的证明，令。= x n ( t ，) 是 第n 个过( o ，9 7 0 ) 点的特征线由f 13 j 中( 4 4 8 ) 和d ：的定义，特征线z = x n ( t ，x o ) - 定在 有限时刻t o 2 x o 如时进入