（基础数学专业论文）二阶非线性演化方程组的非李拟设和精确解.pdf

中文摘要 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生命、社会、经济等领域。随着科 学的发展，对非线性系统的研究同趋深入。对于描述非线性系统的非线性方程 的求解研究成为研究者的重要课题之一。对于线性方程的求解，傅立叶分析和 分离变量法是两个非常有效的方法。它们可系统地用于求解线性方程。但对于 非线性方程，由于线性叠加原理的失效，还没有办法给出本质上的非线性方程 的一般解。虽然一类特解能用一种或几种方法得到，但一种方法通常不能得到 各种类型的特解。因此，求解非线性方程没有统一的方法。尤其是有着很弱的 李对称的非线性偏微分方程的精确解的求解，需要我们寻找新的方法，本文我 们采用非李拟设方法来求解一类有着很弱的李对称的非线性偏微分方程的精确 解。所谓用非李拟设方法求非线性偏微分方程的精确解，就是指基于考虑一给 定的非线性偏微分方程( 或方程组) ，伴随着一附加的线性高阶常微分方程 ( 或方程组) 形式的生成条件把给定的非线性偏微分方程( 或方程组) 约化成 常微分方程组，求出得到的常微分方程组的解，代回原偏微分方程( 或方程 组) 的形式解中，从而得到原来给定的非线性偏微分方程( 或方程组) 的精确 解。本文中主要用这种方法研究了单个方程的精确解，两个方程组成的方程组 的精确解以及三个方程组成的方程组的精确解。 关键词 非线性演化方程，非李拟设，精确解 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h en o n l i n e a rp h e n o m e n aw i d e l ya p p e a ri na l m o s ta l lt h es c i e n t i f i cf i e l d s s u c ha u sp h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , s o c i e t y , e c o n o m ya n ds oo n w i t ht h ed e - v e l o p m e n to fs c i e n c e ，r e s e a r c h e so nt h en o n l i n e a rs y s t e m sa r em a k i n gm o r ea n d m o r ep r o g r e s s a sa r e s u l t ，t od e a lw i t ht h en o n l i n e a re q u a t i o n st h a td e s c r i b et h e n o n l i n e a rs y s t e m sb e c o m e so n eo ft h em a i na n dh o tt o p i c sf o rt h er e s e a r c h e r s f o u r i e ra n a l y s i sa n dt h ev a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c ha r ee f f e c t i v em e a n si n s t u d y i n gt h el i n e a rp d e s i n c et h el i n e a rs u p e r p o s i t i o np r i n c i p l ei sn o tv a l i d ，s o t h e r ei sn o ta g e n e r a m e t h o dt os o l v et h en o n l i n e a rp d e e s p e c i a l l yt h a tf i n d i n g e x a c ts o l u t i o n so ft h o e sn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hh a v ep o o r l i es y m m e t r yn e e d sn e wm e t h o d s i nt h i sp a p e r ，w eu s en o n - l i ea n s 苞t z em e t h o d t os o l v es o m en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hh a v ep o o rl i es y m - m e t r y t h ea p p r o a c ht ot h ec o n s t r u c t i o no fn o n l i ea n s i i t z ea n de x a c ts o l u t i o n s i sb a s e do nt h ec o n s i d e r a t i o no fan o n l i n e a rp d e t o g e t h e rw i t ha na d d i t i o n a l g e n e r a t i n gc o n d i t i o ni nt h ef o r mo fah i g h o r d e ro d e w i t ht h eh e l po fn o n l i e a n s 五t z e ，t h eg i v e np d e i sr e d u c e dt oo d e s ，a n dw ew i l lo b t a i nt h eg i v e np e d s e x a c ts o l u t i o n sa f t e rs u b s t i t u t i n gt h es o l u t i o n so ft h eo d e si n t ot h es t r u c t u r e o ft h es o l u t i o n so ft h eg i v e np d e ( p d e s ) w ew i l ls t u d yt h ee x a c ts o l u t i o n so f s i n g l ep d e ，p d e sc o n s t r u c t e do ft w oe q u a t i o n s ，a n dp d e sc o n s t r u c t e do ft h r e e e q u a t i o n si nt h i sp a p e r k e y w o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，n o n l i ea n s i t z e ，e x a c ts o l u t i o n s 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：堑窒蔓指导教师签名： 9 彬7 年万月丁日卿7 年月厂日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导1 ) i ：l ：i t r 导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文作者签名：扦军彳 娴7 年莎月5e l 西北人学硕士学位论文 第一章绪论 非线性现象广泛存在于自然界和人类社会、经济等众多领域中。自然科 学、工程技术甚至社会科学各领域都广泛深入地开展了非线性问题的研究。人 们在探索和解决这些自然界和人类社会的各种复杂的非线性问题的同时使我们 对自然和社会的科学认识更加深刻。特别是上世纪6 0 年代以来，非线性现象 的研究有了巨大的进展，应用也越来越广泛。进而形成研究非线性现象普遍规 律的学科非线性动力学。它的研究对象主要包括分形、混沌和孤立子等方面。 由于这些非线性现象大部分可归结为求解非线性方程，其中包括非线性常微分 方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等等，因此对这些非线 性方程的研究成为广大数学、力学、物理学、地球科学、生命科学和工程技术 等科学工作者的主要研究课题。 在研究非线性科学中，非线性演化方程的求解和定性分析占重要地位。对 于非线性演化方程的研究，具有许多重要的理论研究和应用研究方向，其中精 确解的研究是其中最重要的研究方向之一。因为精确解包含了相关系统的精确 信息，因此在分析各种物理现象时起到了至关重要的作用。另一方面，精确解 为控制数值解的精确度也提供了有用的信息。与对称群相关的方法是研究非线 性演化方程精确解及其对称约化的有效方法，由其得到的解无论是显示解还是 隐式解均具有重要的理论意义和实用价值。 1 1 非线性偏微分方程求解方法简述 研究偏微分方程的精确解的方法有很多，常常是对于不 同的具体问题采用不同的研究手段。比较经典常用的方法有 经典李群( c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h ) 1 7 】或者称为李点对称方法、 非经典李群法( n o n - c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h ) 或者称为条件对称方 法( c o n d i t i o n 出s y m m e t r ym e t h o d ) s 、广义条件对称方法( g e n e r a l i z e dc o l l 1 第一章绪论 d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ) 9 、c k 直接法( c k sd i r e c tm e t h o d ) 10 】、几何方 法( g e o m e t r i c a lm e t h o d ) 1 1 】、分离变量方法( v a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ) 1 2 】、 形变映射法( d c f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o d ) 1 3 】、反映射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 1 4 】、达布变换法( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 1 5 17 】、p a i n l e v 6 截 断展开法( t r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o n ) 1 8 】、混合指数法( m i x i n ge x p o - n e n t i a lm e t h o d ) 1 9 】、穿衣服 法( d r e s s i n gm e t h o d ) 2 0 】、假设 法( a n s a t z b a s e d m e t h o d ) 2 1 】等等。限于篇幅问题，本文仅讨论假设法，而对其它方法不 作任何展开，有兴趣的读者可以查阅相关文献了解具体内容。 1 2 非线性演化方程的研究发展状况 所谓的演化方程，是包含时间变量的许多重要的数学物理偏微分方程的统 称，又称发展方程。在物理力学或其他自然科学中用来描述随时间而变化的状 态或过程。波方程、热传导方程、反应扩散方程与对流扩散方程、k d v 方程 以及由这些方程通过适当方式耦合而得到的耦合方程组，皆属于演化方程的范 畴。随着近代物理、化学、生物学、流体动力学等学科对有关问题的研究，提 出了大量的演化方程，其中包括许多的具有非线性色散或耗散的非线性演化方 程。如波动方程、热传导方程、流体动力学方程组、k d v 方程、非线性薛定 鄂方程、正弦一戈登方程、萨哈罗夫方程、朗道一利弗席茨方程、布森内斯克方 程、反应扩散方程等。一方面，这些方程和物理问题、化学反应问题、生物学 的种群问题、流体力学的波动问题紧密相连，成功地描述了自然界中出现的大 量的波动现象，广泛地应用在这些学科的许多分支中，如基本粒子、流体物 理、等粒子体物理、凝聚态物理、超导物理、激光物理、生物物理、统计物理 等。另一方面，演化方程的研究与数学的其它领域，如：经典分析、李群、李 代数、无穷维代数、代数几何、拓扑学、动力系统、计算数学及泛函分析等数 学的分支紧密相关，互相促进。 2 两北人学硕士学位论文 演化方程的研究内容十分丰富，仅就非线性演化方程( 组) 来说，除了经 典解的存在性、唯一性、正则性外，还研究它的长时间形态，其中包括解随空 间和时间的衰减性、散射性、稳定性以及有限时间内可能的爆破性。目前对这 些问题的研究已有大量很好的工作，并已逐渐形成了许多独特的估计方法。 非线性演化方程的研究除了上述的定性研究外，还有一类是它的定量的研 究，在定量的研究中除了对方程进行数值求解外，另一个重要的研究就是方程 显示求解的问题，这就是求出具显示表达式的精确解( 当然也可以考虑去求方 程的近似解) 。有了一个具体微分方程的解，可以用来解释或描述一些自然现 象或发现自然现象的新的规律。从数学上讲，显示求解方程的过程，是一种构 造性过程，正是这种构造性过程，往往会产生新的数学思想、方法和理论，有 时也会对其它学科领域产生较为直接的推动。 非线性演化方程的解的构造同其它的非线性偏微分方程的解一样可分为两 种情形：一种是幂级数形式的解析解，一种是紧凑形式的解析解( 也称之为精 确解) 。 对于幂级数形式的解析解，从c a u c h y - k o w a l e v s k i 和k o w a l e v s k i 型方程 组的解的存在唯一性定理可知 2 2 - 2 3 】，大批的非线性演化方程都可以由合理的 初始条件或边值条件程序化地构造出来，这方面的结果可见1 9 9 1 年以来的由 加拿大学者r e i d g j 等人所给出的更为广泛的工作【2 4 2 5 1 。最后，美国的学者 a m w a z w a z 利用a d o m i a n 分解法，仅利用初始条件就给出了许多的非线性 演化方程( 组) 的幂级数形式解，同时也可获得一些紧凑形式的精确解，当 然，对于高维情形，还需加入边值条件。虽然这些方法具有相当大的普适性， 但其计算量是很大的，不能很有效的获得紧凑形式的精确解【2 6 - 2 9 】。 长期以来，非线性演化方程的紧凑形式的精确求解问题由于方程本身的复 杂多变的非线性性，一直尚无统一的求解方法。许多的数学家和物理学家对于 这些方程的精确解作了大量的工作，对一些特殊类型的非线性演化方程提出了 多种风格不同的构造具有紧凑形式的精确解的方法，如反散射方法，b i c k l u n d 变换和d a r b o u r 变换法，相似约化法，h i r o t a 双线性法及分离变量法等。这 3 第一章绪论 些方法给出了求解非线性演化方程的直接而又有效的途径，同时，对数学一些 分支的发展也起着促进作用并有很强的应用性。 1 3 问题的提出 二阶非线性演化方程描述了物理、化学、生物中的许多现象，比如，热和 能量传递，流体的滤过，化学反应中的扩散以及人口动力学等，因此这类方程 的某些特殊精确解的构造仍是一个非常重要的问题，寻找那些具有物理、化 学和生物意义的方程的精确解显得尤为重要。大家所熟悉的线性叠加方法不 能用来求解非线性偏微分方程的精确解，因此一些经典的方法( 如f o u r i e r 方 法、l a p l a c e 变换方法等) 不能应用于非线性偏微分方程，虽然有时变量代换 能把非线性偏微分方程化为线性方程，但对于大多数偏微分方程的精确解的求 解，还需要新的方法。 求解非线性偏微分方程的精确解时用得较多的方法是逆散射方法和李方 法。在这里我们不考虑第一种方法，因为它只对具有特殊结构的非线性偏微分 方程有效( 见文 3 0 】) ，而李方法( 文 1 7 】) 是应用给定的偏微分方程的李对 称来构造它的精确解，虽然这种方法已经为大家所熟悉，却经常得到具有非平 凡李对称的非线性偏微分方程的新结果。 另一方面，众所周知的一些很受欢迎的非线性偏微分方程却有着很弱的李 对称，例如，著名的f i s h e r 方程只在时间和空间平移下不变，在这种情况下 李对称是不适用的，这时就促使人们不使用这种难使用的方法而去构造拟设和 精确解。有两种方法来求这种问题的解：( 1 ) 对于具有弱的李对称的偏微分 方程找到具有非平凡李对称的近似解，( 2 ) 找一种新的拟设和精确解，使它 们不用考虑给定的偏微分方程的李对称。 第一种方法已经在r o m a nmc h e r n i h a 和f u s h c h y c h 合作的一些文章， 如文【7 ，3 1 3 4 1 中作了介绍。在那里，描述了一类推广了的经典的热传导方程 的完全或部分的李对称。 4 两北大学硕十学位论文 在这里，我们考虑第二种方法，这种非线性偏微分方程和方程组的非李解 的求解方法已经在文 3 4 - 4 0 q b 作了介绍，且这种方法已被应用在文 3 4 - 4 7 中并 得到了一些新的描述物理和化学过程的非线性演化方程和方程组的精确解。这 种方法基于考虑一给定的非线性偏微分方程( 或方程组) ，伴随着一附加的线 性高阶常微分方程( 或方程组) 形式的生成条件来构造给定的非线性偏微分方 程( 或方程组) 的精确解，即通过一广义条件对称把非线性偏微分方程( 或方 程组) 约化为常微分方程组，求出得到的常微分方程组的解，代回原偏微分方 程( 或方程组) 的形式解中，从而得到原来给定的非线性偏微分方程( 或方程 组) 的精确解。这种方法有时也称为对称约化方法。这种方法也可以用来解一 些非线性偏微分方程的边值问题，如文 4 0 - 4 1 1 。在这里我们主要考虑构造二阶 非线性偏微分方程和方程组的精确解问题。 本文中我们在前人研究的基础上，学习并推广了前人的研究成果。本文的 章节安排如下： 第一章，绪论。介绍了课题提出的背景知识。 第二章，由非李拟设方法求解单个方程的精确解。介绍了对于单个方程情 形，由非李拟设方法求解精确解的方法步骤，并举例验证这种方法的有效性。 第三章，由非李拟设方法求解两个方程组成的方程组的精确解。介绍了对 于两个方程组成的方程组，由非李拟设方法求精确解的方法步骤，并举例证明 这种方法在求解过程中的简便易行。 第四章，由非李拟设方法求解三个方程组成的方程组的精确解。直接引入 具体的方程组实例，来介绍非李拟设方法在三个方程组成的方程组中的求解精 确解过程中的应用。 第五章，总结。给出了本文的主要研究结论以及对今后研究工作的展望。 5 第二章由非李拟设方法求单个方程的精确解 第二章由非李拟设方法求单个方程的精确解 2 1 方法介绍 考虑下面的二阶非线性演化方程 仳t = 入。让霉+ a 1 u z z + r u 2 + p 仳+ q u 2 + s l u + 8 0( 2 1 ) 其中系数入o ，入1 ，r ，p ，q ，s l 和8 0 是任意常数。 如果方程( 2 1 ) 中的系数均为任意常数，这时方程在平移变换下不变， 并且可得到形如 u = u ( k x + v t ) u ，尼r 的行波解。由于很多文章中已经介绍了各种形如( 2 1 ) 的非线性偏微分方程 的行波解( 如文【4 孓4 4 】) ，因此这里我们不再构造这种形式的解。 我们下面考虑方程( 2 1 ) ，它伴随着形如 q 1 ( z ，t ) 五d u + + 口m 一1 ( z ，t ) 夏d r 矛a - l 乱+ 五d m 万u = 。 ( 2 2 ) 的线性高阶齐次方程的附加生成条件，其中o t l ( x ，t ) ，o ，m l ( x ，t ) 是任意 的光滑函数，变量t 被视为参数。众所周知，方程( 2 2 ) 的通解为 u = 妒o ( t ) g o ( t ，z ) + + 妒m 一1 ( z ) 9 m l ( t ，z )( 2 3 ) 其中伽( t ) ，妒1 ( t ) ，妒m 一1 ( t ) 为任意函数，g o ( t ，z ) = 1 ，g l ( t ，z ) ， g m l ( ，z ) 构成方程( 2 2 ) 的基础解系。在很多情况下函数g o ( t ，z ) ， 夕m 一1 ( 芒，z ) 能用基本函数显示表示出来。 现在我们把( 2 3 ) 式视为方程( 2 1 ) 的拟设。显然这个拟设中包含着待 定函数仇，i = 0 ，m 一1 。这就促使我们把给定的形如( 2 1 ) 的偏微分方程 化为关于未知函数蛾的一阶拟线性常微分方程组。下面就详细地介绍这一过 程。 6 西北大学硕士学位论文 把( 2 3 ) 式代入方程( 2 1 ) 。由拟设( 2 3 ) 计算微分u t ，u x ，u 茁并把它 们代入偏微分方程( 2 1 ) ，可得下面的表达式 妒o ，t g o + 妒l ，t g l + + 妒m 一1 ，t g m 一1 = 妒o ( 入l 卯，z z + s l g o g o ，t ) + + 妒m 一1 ( a 1 饥一1 ，船+ s l 一1 一g m 一1 ，t ) + 妒3 ( 入。卯卯，z z + 7 霓z + 册o g o + 弼) + + 妒象一1 ( a o 一l g m 一1 ，z z + r 靠一1 z + p 9 m 一1 9 m l ，z + 口旃一1 ) + 妒。妒l ( 入0 9 b 夕l ，z 。+ , 入o g t g o ，z 卫+ p g o g l ，z + p 9 1 9 0 ，z + 2 r g o ，z g t ，z + 2 q g 0 9 1 ) + 妒。妒2 ( a 0 9 b 9 2 ，z z + a 0 9 2 9 0 ，z z + p g 0 9 2 ，霉+ p 9 2 9 0 声+ 2 r g o ，z 9 2 ，z + 2 q g 0 9 2 ) + + 妒m 一2 妒m 一1 ( 入0 9 机一2 9 m 一1 ，z + a 0 9 饥一l g m 一2 ，z z + p j 9 杌一2 9 m 一1 ，z + p 9 m l g m 一2 声+ 2 7 9 m 一2 ，正g m 一1 ，z + 2 口夕m 一2 9 m 1 ) + 8 0 其中函数q a i ( t ) 和仇( z ，z ) ，i = 0 ，m 一1 的下标t 和z 表示函数慨( ) 和 优( 亡，x ) 关于t 和z 求微分。如果基于函数慨( ) 的幂重组类似的项，则可得约 化上式为常微分方程组的充分条件，且这些充分条件有如下形式： a l g i ，z z + s g i g i ，t = g i l q “l ( t )( 2 4 ) 入o g i g i ，茹。+ r ( g i ，z ) 2 + p 仇仇，茹+ q ( g i ) 2 = 俄。忌i 。( 亡) ( 2 5 ) 入。( g i g j , x = + 夕，仇，z z ) + 2 r 夕i ，z 缈, x - i - p ( g i g j , x + g j g i ，z ) ( 2 6 ) + 2 q g i g j = g i 。磅( 亡) i 0 ，b 和a 都是常数。这里下标t 和z 表示对这些变量求微分。显 然方程( 2 8 ) 是方程( 2 1 ) 的特殊形式。方程( 2 8 ) 是由著名的f i s h e r 方程 u t 一砒乱z z4 - b ( u 2 一u ) = 0( 2 9 ) 附加上对流或迁移效应的项a u u z 构成，它也可看作是b u r g e r s 方程 乱t d u z z + a u u x = 0 和f i s h e r 方程( 2 9 ) 的组合，所以我们把方程( 2 8 ) 叫做b u r g e r s - f i s h e r 方 程。迄今为止，文 4 s 一5 1 】曾分别用双曲函数法、改进的t a n h 函数方法以及齐 次平衡方法得到了一些方程( 2 8 ) 的精确解。这里我们用本文中所介绍的非 李拟设方法来构造方程( 2 8 ) 的新的精确解。我们考虑如下形式的三阶的附 加生成条件 州塞饷象+ 象= 。 ( 2 1 0 ) 显然，( 2 1 0 ) 式是( 2 2 ) 式中m = 3 时的特殊形式。当然，对于m 的其它 取值也可以，但这种取法已经包含了足够多的项使之产生一些有意义的解却不 8 西北大学硕十学位论文 会带来繁重的代数上的计算。条件( 2 1 0 ) 将生成下列形式的拟设 “= l o o ( t ) + 妒1 ( ) e 7 1 ( ) z + 妒2 ( ) e 仰( 。) 如果7 1 , 2 ( 亡) = 丢( 士( a ；一4 a 1 ) 一a 2 ) 且饥仇。 u = 妒o ( t ) + 妒1 ( z ) e 1 ( 净+ z 妒2 e t ( 。净 如果7 1 = 3 1 2 = 7 0 。 如果o l l = 0 。 u = 妒o ( ) + 妒1 ( ) z + 妒2 ( 芒) e r ( ) z i t = 妒o ( ) + 妒1 ( t ) z + 妒2 ( t ) z 2 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 如果o l = 口2 = 0 。 注2 当d = o ；- - 4 c e l 0 时，可得复函数7 1 = 面= 墨( 士i 佃一q 2 ) ，i 2 = - - 1 ，则这时拟设( 2 1 1 ) 转化为形式 u = 妒。( t ) + 眦) c o s ( 圭何z ) 十妒2 ( z ) s i n ( 丢何z ) e 一等 其中妒o ( t ) ，妒1 ( 亡) ，( f 1 2 ( t ) 为待定函数。 与( 2 4 ) ( 2 6 ) 式相对应，把方程( 2 8 ) 化为常微分方程组的充分条 件为 一仇，t + 由瓦z z + b g i = g i i q “l a g i g i ，正一b ( g i ) 2 = g i lr t l ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 一a ( g i g j 一+ g j g i ，。) 一2 b g i g j = g i 。砑 i 歹( 2 1 7 ) 且与( 2 7 ) 式相对应，方程( 2 8 ) 在条件( 2 1 5 ) ( 2 1 7 ) 下约化成的常微 分方程组有如下形式 d y 出_ a i = 妒i l + 见。t ( 2 + 露水。叻。 9 ( 2 1 8 ) 第二章由非李拟设方法求单个方程的精确解 融： 驯 差三i 荔：+ 2 d 7 妒2 c 2 2 2 ， 西北大学硕士学位论文 解方程组( 2 2 2 ) ，并代回( 2 1 2 ) 式得方程( 2 8 ) 的解 u = c 0 + ( c 1 + 2 c 2 d t t ) e d l 2 t + 炜+ c 2 x e d 7 2 t + z ( i i i ) 把拟设( 2 1 3 ) 中的g o = 1 ，g l = z ，9 2 = e k 。) z 代入( 2 1 5 ) ( 2 1 7 ) 式，可得 q 2 2 = d 7 2( 2 2 3 ) 其余对于所有指标i ，i l ，j = 0 ，1 ，2 的任意组合没有包含在( 2 2 3 ) 式中 的，有忍n = q 饥= 磅= 0 ，且还有如下关系 a = b = 0 融忱 亿昀 u 。c o + c l x + c 2 e d , 2 t + 7 茁 ( i v ) 把拟设( 2 1 4 ) 中的g o = 1 ，g l = 。，9 2 = z 2 代入( 2 1 5 ) 一( 2 1 7 ) 式，可得 q 2 0 ：= 2 d( 2 2 5 ) 其余对于所有指标i ，i l ，j = 0 ，1 ，2 的任意组合没有包含在( 2 2 5 ) 式中 的，有尼t 。= q 讥= 磅= 0 ，且还有如下关系 a = b = 0 1 1 第二章由非李拟设方法求单个方程的精确解 这时方程组( 2 1 8 ) 化为如下形式 解方程组( 2 2 6 ) ，并代回( 2 1 4 ) 式得方程( 2 8 ) 的解 例2 考虑方程 u = c o + 2 c 2 d t + c l x + c 2 x 2 仳t = ( + 6 u + p ) z 一鲁6 u ： o j ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 其中，6 ，p 为任意常数，下标t ，。表示函数仳关于这些变量求微分。 考虑形如( 2 1 0 ) 式的附加生成条件，则类似于例l ，该方程有形如( 2 1 1 ) ( 2 1 4 ) 式的拟设。而且可得把方程( 2 2 7 ) 约化为常微分方程组的充分条件 如下 一g i ，t + p g i ，z 茁= g i l q i i l 慨氓+ 6 9 i g i , x x - 兰，z ) 2 = ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 吼，茁缈，z $ + 9 啦z 毋，茁) + 6 ( 仇乃，z z + 仇，扰缈) 一要6 饥，z 夕j ，z = 优。磅 i j ( 2 3 0 ) 此时有了( 2 2 8 ) ( 2 3 0 ) 式，方程( 2 2 7 ) 被约化成与( 2 1 8 ) 式相对应的 常微分方程组 警= q 协。+ r 。t ( 协。) 2 + 露j 。协，咖。 ( 2 3 1 ) ( i ) 把拟设( 2 1 1 ) 中的g o = 1 ，9 1 = e ，y - ( 净，9 2 = e 7 2 ( ) z 代入( 2 2 8 ) 一 ( 2 3 0 ) 式可得 q 1 1 = 胛q 2 2 = 硝 ( 2 3 2 ) 妒 d 2 0 o = = l i 血出纽出血出 ，i，、l 两北大学顸十学位论文 其余的对于所有指标i ，i 1 ，歹= 0 ，1 ，2 的任意组合没有包含在( 2 3 2 ) 式中 的，有忌t 。= q 魄= 磅= 0 ，且同时有关系式 这时方程组( 2 3 1 ) 化成如下形式 6 = 2 = 0 i 鲁= 0 鲁= 刃 妒1 ( 2 3 3 ) i - 鲁= 以妒2 解方程组( 2 3 3 ) ，并代回( 2 1 1 ) 式。得方稗( 2 2 7 ) 的解 u = c o + c l e p _ r l + ，y l z + c 2 e p 他t + 能z ( i i ) 把拟设( 2 1 2 ) 中的g o = 1 ，g l = e 懈，9 2 = x e y 茁代入( 2 2 8 ) 一 ( 2 3 0 ) 式可得 q l l = 刃2q 2 l = 2 p 7q 2 2 = p 7 2( 2 3 4 ) 其余的对于所有指标i ，i 1 ，j = 0 ，1 ，2 的任意组合没有包含在( 2 3 4 ) 式中 的，有忍 ，= q 惋= 磅= 0 ，且同时有关系式 这时方程组( 2 3 1 ) 化成如下形式 6 = 2 = 0 i 警= o 鲁：刃2 妒1 + 2 j 吖妒2 ( 2 3 5 ) i 【鲁= j 吖2 妒2 1 3 第二章由非李拟设方法求单个方程的精确解 ( i i i ) 把拟设( 2 1 3 ) 中的g o = 1 ，g l = z ，9 2 = 正代入( 2 2 8 ) ( 2 3 0 ) 式，可得 q 2 2 = 以( 2 3 6 ) 其余的对于所有指标i ，i 1 ，歹= 0 ，1 ，2 的任意组合没有包含在( 2 3 6 ) 式中 的，有忍t ，= q m = 磅= 0 ，且同时有关系式 融忱 解方程组( 2 3 7 ) ，并代回( 2 1 3 ) 式，得方程( 2 2 7 ) 的解 u = c o + c l x + c 2 e 所2 t + 1 z ( 2 3 7 ) ( i v ) 把拟设( 2 1 4 ) 中的g o = 1 ，g l = z ，9 2 = $ 2 代入( 2 2 8 ) ( 2 3 0 ) 式可得 q 2 0 = 2 pr i o = 一；jr 2 1 = 4 v r 2 2 = 一言6 磁= 2 6 理= 2 v 礓= 一；6 ( 2 3 8 ) l = 2 p l ，0 2 一；6 妒i + 2 6 妒。妒2 + 2 妒1 妒2 孥= 4 妒l 一；1 妒2 ( 2 3 9 ) 【鲁= 一；6 妒； 两北大学硕十学位论文 解方程组( 2 3 9 ) 得 妒22 ：孑1 甄 妒1 2 蕊6 十c 2 v ) o l r l n ( 弛+ c 2 ) + c 1 妒。= 一罟+ 掣赤+ 乒9 v 两1 i n ( - ；6 t + c 2 ) 2 + 字赤l n ( 弛+ c 2 ) + c o ( 弛+ c 2 ) 3 把( 2 4 0 ) 式代入( 2 1 4 ) 式得方程( 2 2 7 ) 的解。 1 5 ( 2 4 0 ) 第三章由非李拟设方法求两个方程组成的方程组的精确解 第三章由非李拟设方法求两个方程组成的方程组的精确 解 3 1 方法介绍 由于用本文介绍的非李拟设方法求方程组的精确解比较困难，因此，迄今 为止，仍然只有很少的文章( 如 3 6 ，4 0 ，4 2 ，5 2 】) 中曾用这种方法求方程组 的精确解。 考虑下面的二阶非线性演化方程组： 让t2 a ( u ，t 正z ， ，) u z z + c ( 乱，让。，秽，) 。+ b l ( u ，u z ，u ，) ( 3 1 ) v t = d ( u ，地，钉，抛) 仳茁z + e ( u ，u x ，u ，) z + b 2 ( u ，u x ，u ，v x ) 其中a ，b 1 ，玩，c ，d ，e 是任意的实或复的可微函数，u = u ( t ，z ) ，u = v ( t ，z ) ，u t = 象，u z = 赛， u t = 鲁，= 赛，z = 貉，茁= 貉。 方程( 3 1 ) 包含了很多描述物理、化学、生物等现象的一阶和二阶非 线性演化方程组，由于很多文章中( 如【3 4 ，3 5 ，5 3 ，5 4 ) 已经研究了形如 ( 3 1 ) 的方程组的非平凡李点对称和精确解，所以我们只考虑下面这种情 形。这个方程组的李点对称只有下面的平移算子生成： p t = a ，r = 如( 3 2 ) 有了算子( 3 2 ) ，我们只能得到如下形式的行波解 u = u ( x + 正，) ， = 秽( z + 王) ， i 已 下面我们用推广了的本文第二章中的方法来研究方程组( 3 1 ) 的非李拟 设和精确解。 我们定义以下形式的常微分方程组 眦z ，乱参一，赭m 扣器) ( 3 3 ) f 2 ( 亡，z ，缸，五d u ，d 出m 。2 u ：，u ，塞，貉) = 0 16 西北人学硕士学位论文 其中f l ，乃是任意的连续函数，变量t 被视为参数。方程组( 3 3 ) 有如下形 式的通解 肌( 托u ， ，删，妒m - 1 ( 亡) ，讥( ，炳( t ) ) ( 3 4 ) w 2 ( t ，z ，u ， ，妒o ( 亡) ，妒仇一1 ( 亡) ，矽o ( t ) ，妒n l ( t ) ) = 0 其中垆o ( t ) ，一l ( t ) ，妒o ( t ) ，矽n 一1 ( ) 是任意的连续函数，w z ， 是固定函数，m = m a x m l ，n l ，扎= m a x m 2 ，扎2 ) 。 把( 3 4 ) 式视为方程组( 3 1 ) 的拟设。显然这个拟设中包含着仇+ n 个 任意函数忱和奶，这就把方程组( 3 1 ) 约化成未知函数忱和奶的一阶拟线 性常微分方程组。下面来详细介绍这一方法。 注3 若方程组( 3 1 ) 中u 三0 ，即只有一个方程时，可由( 3 4 ) 得 m ( 亡，z ，“，伽( ) ，妒m 一1 ( 亡) ) = 0 这正是在本文第二章中介绍的单个方程的情形。 我们考虑如下形式的线性齐次方程组形式的附加生成条件： 矾z ) 塞+ + q m - 1 ( z ，t - ，两d m - l u + 而d m u ( 3 5 ) 岛( 亡，z ) 塞+ + 风一l ( x ，) 笔i + 笔等= 0 其中q l ( 芒，z ) ，q m l ( ，z ) ，历( ，z ) ，风一l ( t ，z ) 是任意的连续函数， 变量t 被视为参数。众所周知地，方程组( 3 5 ) 有如下形式的通解 i t - - q a o ( 酬+ + 妒m - 1 ( ) 饥北z ) ( 3 6 ) u = 矽o ( t ) h o ( t ，z ) + + 矽n 一1 ( t ) n l ( t ，z ) 其中5 i v o ( t ) ，q o z ( t ) ，一l ( t ) ，讥( ) ，矽l ( ) ，以一l ( t ) 是任意函 数，g o ( t ，z ) ，g l ( t ，x ) ，奶n i ( t ，z ) ，h o ( t ，z ) ， 1 ( t ，z ) ，h n - i ( t ，z ) 是构成方程组( 3 5 ) 的基础解系的固定函数，且在很多情况下函数 g o ( t ，z ) ，g l ( t ，z ) ，仂n i ( t ，。) ，h o ( t ，z ) ，h l ( t ，z ) ，h n i ( t ，z ) 可 以表示成基本函数的显示形式。 1 7 第三章由非李拟设方法求两个方程组成的方程组的精确解 我们下面把拟设( 3 6 ) 应用到方程( 3 1 ) 且满足如下条件 a = 入 o + a i l u 。+ 吐札： c = a ；o + a 勃+ 呓z u ： d = 增o + 托u + 1 2 z u z l e = 入；o + 磕u 2 + 屹u ! = r 友u ：u ! + p 讹1u l u 霉k + 如让。u 七+ p 仳：+ s 岛= 7 岔畦札! + p 友仳仳! + 哦扎2 j l 上七+ 胧2 “z l + s 2 u ( 3 7 ) 其中系数a ，哦，巧1 七1 = r 急，p 经，哦= 如，p ，s f 是任意常数，且函数 u 1 三u ，乱2 兰u ，妒i ( t ) 三忱( 亡) ，磅( 亡) 兰奶( t ) ，重复指标尼，l ，l l 表示从1 到2 求和。显然具有任意常数的方程组( 3 1 ) ( 3 7 ) 只在李代数( 3 2 ) 下不 变，因此( 3 6 ) 是这个方程组的非李拟设。 由( 3 6 ) 式计算微分u l ，乱：，u ：。，z = 1 ，2 并把它们代入方程组 ( 3 1 ) ， ( 3 7 ) ，可得一个复杂的表达式。如果我们按函数慨( ) 和吻( 亡) 的 幂重组类似的项，则可得约化这些表达式为常微分方程组的充分条件，且这些 充分条件有如下形式： a i o g i ，z z + p 肌，霉+ s t l g i g i ，t = g i lq l 。( 亡) a 扎俄，。z + 肛；肌，z + s 2 1 肌= 。q 己。( ) a 5 0 h j ，。z + p 5 吻，茁+ s 5 ，巧= g i 。q 嘉。( 亡) 入! o ，o ，z z 十肛；，o ，z + s ；，o 一心，t = b 。q ，( t ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 入i 1 ( g i g i l ，z z + g i l g i ，七z ) + 1 ( g i ，z 吼l ，z z + g i l ，卫g i ，z 。) + 2 r 1 1 9 i ，z g i l ，z + p 1 1 ( g i g i l ，z + g i l g i ，z ) + 2 9 1 9 i g i l = ( 1 一也 1 ) 仇2 7 窑1 ( ) + 2 6 i i 。g i 2 r i l 2 ( t ) ， i i l a i l ( g i g i l ，茹z + g i l g i ，z z ) + 砰1 ( 仇，z g i l ，茹茹+ g i l ，z g i ，z z ) + 2 r 2 x l g i ，z g i l ，z + p ；l ( g i g i l ，z + g i 。g i ，茁) + 2 口 1 9 i g i 。= ( 1 一瓯i 。) 。碟：2 ( z ) + 2 瓯l 。吻，r 毛，( ) ， i i l 1 8 ( 3 1 0 ) 西北大学硕士学位论文 a 5 2 ( b b 。，z z + h j 。力，z z ) + 1 2 1 2 ( h i h j 。，z z + b 。，z b ，z z ) + 2 r 3 2 h j ，z h j 。，z + p t 2 ( b 。声 + 吩。h 3 ，z ) + 2 q i 2 h j h j 。= ( 1 一勤。) 俄。磅：3 ( ) + 2 勃。g i 。冀嘉。( t ) ， j j l 磁( h j h j 。，+ h j ，