（基础数学专业论文）一些连续统上自映射的动力性质.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 设x 为一个拓扑空间，f ：x 呻x 为连续映射，令 厂。：x 一彳为憾阔映射，对 于整数拜l ，妇缝逮定义f ”= f o ，”。这楼褥裂了一个浚袈翡枣强，。，f ，f 2 ， 它将被称作映射f 的动力体系一维动力系统特别是线段映射的动力体系的研舡作自 进入八十年代以来受到了较为广泛的重视和呈现出了较大的活力前苏联，楚园，东欧， 西欧等数学家都分别做出了成绩并彤成了各具特色的研究群体中国的数学工作者如熊 金城、时国容、嚣终镶、廖公夹、麦绪华等塞，十年 弋秘翅进入这一谖题戆赣究工终 后，取褥了系列重要的成燕邋黪年来，由于入嚣l 发现苏许多微分流形上瓣阂胚系统， 曲面上同脓的动力性质等往往与树、图等一些连续统匕连续自映射的动力性质相关联； 再者，这热空间本身也是对线段遂一空间最直接的撮广，所以一些数学家对树、图等 上连续自映射豹动力性质的硬究袭域出了摆当的兴趣邀瞧是基翦拓卦动力菇；绫中普遍 受蓟重视翡令赣域。 本文教力于在这方面做一点= i = 作，讨论了一些连续统匕连续自映射的动力性魔全 文共由网牮组成，在第一章中，我们对一维动力系统的历史背景和一些研究成果作若 干综述，并且介绍了所需的预备知识及术语t 第二豢主要讨论嚣上连续舞浚瑟懿若干动力 璧缓，飨塞了连续舞映赫黪0 2 羧凝集、 非游荡集的些拓扑结梅。主要聋糟树的特殊偏序美系i 芷明了：不在恩麓点集闭包中的 国极限点都有无限轨迹；q 一，蚰一r 为可数集，a r ，歹一r 或为空集或可数无限，其 中r 为f 的y 极限点集；当分支点都是周期点时，连续树映射的吸引中心漾艘有限，且 蔽雩 串心羲楚r 第三奄主要讨论一些特殊涟续统上连续自映射的孤立链回归点与最终周鹚点之闻 的关系，证明了对树或图上连续自映射，孤立链回蜗点是最终周期的，虽如孤立链邸 归点不在临界点的轨道中，也无临界点在其轨道中，贝u 此点必为周期的上述性质对 类海辣懿矗。d e n d r o i d 赛是残立弱。 第四章主要讨论了k 华沙潮( 膏2 ) e 连续自欧瓣的菜些动力性质，涎明了l ( 华涉 浙江大学博士学位论文 圈不是s a r k o v s k 虹空间对定义在其上的连续自欧射而言，孤立链回归点是最终周期的； 周期点集闭包等于回归点集闭包：中心为周期点的闭包，中心深度不趣立4 ：如周期点 的周期都是2 的方幂，则拓扑熵为零：可迁映自十等价于d e v a n e y 意义下的混沌 浙江大学博：学位论文 a b s t r a c t l e t xb ea t o p o l o g i c a ls p a c e f ：x xb ea c o n t i n u o u s m a p l e tf nl x x b et h ei d e n t i t ym a p a n dd e f i n e f ”= f 。f ”一i n d u c t i v e l yf o r h 1 t h es e q u e n c eo f m a p sf 0f j ，f ! ，i sc a l l e d t h e d y n a m i c a ls y s l e m f o r m a p i t h e r e h a s b e e n a n e x p l o s i o n o f i n t e r e s t i n o n e - d i m e n s i o n a l d y n a m i c a ls y s t e m , e s p e c i a l l y f o r 低d y n a m i c s o f i n t e r v a l m a p s i n c et h e1 9 8 0 s m a t h e m a t i c i a nl i o mr u s s i a , a m e r i c a , e a s ta n dw e s t e u r o p ee t ca l lh a v e d o n eal o to f w o r ka n da l s of o r m e d t h er e s e a r c hg r o u p sw i t ht h e i ro w n s p e c i a ic h a r a c t e r i s t i c i nc h i l l a ，r e s e a r c h e r ss u c ha sp r o f x i o n gj i n c h e n g ，z h o uz u o l i n g ，l i a og o n g 虬y e x i a n g d o n g ，m a i j i e h u ae t c h a v ea l s od o n el o t so f g l u tr e s u l t ss i n c et h e ye n t e r e dt h i s r e s e a r c ha r e aa tt h eb e g i n n i n go f8 0 s r e c e n t l y , s e v e r a la l l t h o t sb e c a m ei n t e r e s t e di n s t u d ，s n gt h ed y n a m i c s o f m eyt h e n - s t a r , a n dt h ed y n a m i c so f t r e em a p s g r a p hm a p sa n ds o o f t t h ei n t e r e s ti n 或u d y i n gm a p so ns u c ho n e - d i m e n s i o n a ls p a c e si sd u e 幻t h ef a c tt h a tt h e d y r m m i c so f l o t so fm a n i f o l dm a p sa r ev e r ym u c hr e l a t e dt ot h ea b o v ec o n t i n u o u sm a p s ； f t l l - t h t - 1 t r o o r e ，t h ea b o v es p a c e s a r ea l s ot h ed i r e c t g e n e r a l i z a t i o n o f t h em e w a l ， t h ea i mo f t h i st h e s i si st od os o m em o r ew o r ki nt h i sa r e a w ed i s c u s ss o m ed ) 枷c s o f c e r t a i n c o n t i n u a s s e l f - m a p ，i t c o n s i s t s o f f o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r i ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds o m ek n o w n r e s u l t si no n e - d i m e n s i o n a l d v 删c a ls y s t e m 1 1 1c h a p t e ri i , s o m ed y n a m i c so ft r e em a p sa t ed i s c u s s e d c e r t a i nt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e o f t r e em a p s l i m i ts e t s n o n - w a n d e r i n gs e t sa r eg i v e n b yu s i n gt h es p e c i a lp a r t i a lo r d e r s o nt h et r e e ，w ep r o v e ：e v e r y6 0 一l i r o i tp o i n tn o ti nt h ec l o s 憾o f p e r i o d i c 断n ts e t ph a st h e i n f i n i t eo r b i t ：q p q 一厂a r ec o t m t a b l es e t s ；人一r ，) 一ra r ee i t h e re m p t yo rc o u n t a b l y i n f i n i t e w h e r erd e n o t e st h es e to f ，- l i m i tp o i n t so ff ，t r e em a p sd e p t ho f a t t r a c t i n g t e l s t a ri sf i n i t ea n dt h ea t w a c t i n gc e n t e ri s fp r o v d e da l lt h eb r a n c h i n gp o i n t sa r ep e r i o d i c 塑坚苎：型兰坐型二一 p o k r l l s - i nc h a p t e r i w ed i s c u s s c e r t a i nr e l a t i o n s h i pb e t w e e ni s o l a t e dc h a i n r e x u r r e m p o i m a n d e v e n t u a l l y p e r i o d i c p o i n t o f s o m e c o n t i n u a f o ra c o n t i n u o u s m a p o f t r e e s o rg r a p h s t o i t s e l f , w es h o wt h ep r o p e r t i e st h a te v e r yi s o l a t e dc h a i nr e c 删p o i n t i sa ne v e n t u a l l yp e r i o d i c d 。h t la n da n i s o l a t e dc h a i n r e c u r r e n l p o i n t w h i c h i s n o t i n t h e o r b i t o f a c r i g c a l p o i n t a n d h a s m c r i t i c a lp o i n ti n 恼o r b i ti sap e r i o d i cp o i n t t h ep r o p e r t yc a n a l s ob ee x t e n d e dt os o m e s p e c i a l 丑一d e n d m i d s i nc h a p 船i v ，s o m ed y n a m i c so fm a p so i lk - w a r s a wc i r c l e ( k _ _ _ 2 ) a r ed i s c u s s e d k - v b r s a w 疵i ei sn o tt h es 口k o v s l d is p a c e ；f o rt h ec o n t i n u o u sm a p s o l lt h ek - w a r s a wc i r c l e , i s o l 曲。dc h a i nr e c u r r e n tp o i n t si se v e n t u a l l yp e r i o d i c ；h a st h ep r - p r o p e r t y ；o e i l t g re q u a l st o t h ec l o s u r eo f p e r i o d i cp o i n ts e t , a n dt h ed e p t h o f c e n t e ri sr i om o r e t h a n 4 ；h ( f ) e q u a l s t oz e r o i f t h cp e r i o do f a up e r i o d i cp o i n t s a r cp o w e r so f 2 ；廿a n s i t i v em a p si se q u i v a l e n tt ot h ec h a o s i nd e w m e y 4 j j j n i 凡。擎f 由! 萼+ 位论业 第一章绪论 1 1 维动力系统研究历史和现状 十九世纪末到二十世纪初，p o i n c a r e 等人从经典力学和微分方程定性理论的研究 中，提出了动力系统的概念对于一般的连续自映射p ：rx x 斗爿，这罩x 是+ 个拓 扑空间，如果妒满足条件： ( 1 ) p ( o ：x ) = x ，v x x ( 2 ) c p ( s + t ，x ) = e ( s ，c p ( t ，x ) ) ，v s ，r r ，x x 则称p 为x 上一个拓扑动力系统如果参数s ，r 不取值于实数集r ，而是取值于离散的 整数集z ，则称妒为x 上一个离散动力系统对映射的动力体系也可以这样来定义：设 r ：x x 为连续映射，x 为拓扑空间，令r o ：x 斗x 为恒同映射，对于整数”1 ， 归纳地定义f ”= 厂。f ”1 这样得到了一个映射的序y l j f o , f 1 ，f 2 ，它将被称作映射 f 的动力体系二十世纪初期，b i r k h o f f 等人开展了拓扑动力系统般理论的研究 一维动力系统是指一维紧致连通流形，即线段和圆周上的动力系统，也就是线段 和圆周自映射理论，是最简单的动力系统这种动力系统就是差分方程而利用一阶差 分方程这样一个简单的数学模型描述具体问题早在四十年代就已开始，且发现了某些 复杂的性状但是从纯数学的角度进行理论研究那还是近代微分动力系统大范围结构 稳定性理论这一新兴综合性数学分支的出现并接受其影响以后的事近代微分动力系统 研究的是微分流形上常微系统f 向量场或流1 的大范围结构稳定性问题在国外，这方面 最早的观念在m n d r o r l o v 和p o n t r j a g i n 及p e i x o t o 关于匿盘和二维流形上的工作已见端倪 国内著名数学家廖山涛教授在五十年代末期就致力于这一理论的探索和研究，并获得 了一系列重大成果，且形成了不同于国外的流派 由连续自映射所生成的一维动力系统不属于微分动力系统，而属于拓扑动力系统 矶i l 凡学伸t 口论爻 或连续半动力系统，其问题的提法j 微分动力系统不同， ! 无论从内容还是从疗法上 _ ：讲，它受微分动力系统的影响还是随处可见的 近二| f 年柬，维动力系统，特别是线段映身j 的动力系统有了极其迅速的发醚由 f 以f 诸方面的原因，血口定义在商维流形上的动力系统f 连续的或离散的) 的研究出现了 许多相当复杂的现象，这些现象希望能够在较为基本的和较为简单的对象中得到澄清； 此外高维动力系统中的若干问题也有可能用降低维数的办法来处理；某些学科中提出 的数学模型原本就是线段映射的动力系统问题，如理论生物学中的无世代交叠的虫口 模型，物理学中的一维耗散系统等：再者，线段映射的动力系统，本身就是一个极富 吸引力的数学课题所以该课题激起了广大科学工作者的广泛兴趣，呈现出了较大的活 力数以百计的文章和综述的大量涌现也正说明了这一点前苏联，美国，东西欧等的 数学家都分别做出了成绩并形成了各具特色的研究群体中国数学工作者，如熊金城， 周作领，廖公夫，叶向东，麦结华等，自八十年代初期进入了这一课题的研究工作， 并且取得了一系列重要的结果n i t e c k i 4 4 ，c o p p e l 2 3 ，熊金城 5 8 】，周作领 6 8 1 等都作过 有关的综合报告国内、外亦已出版了好些导引性的专著( 如c o l l e t 等阎，p r e s t o n 4 5 ， b l o c k 和c o p p e l 1 4 ，张景中、熊金城0 5 4 1 等) 近些年来，一些科学工作者对一维空间如yn 星形树，树，图，无圈曲线等一些 特殊连续统e 连续自映射的动力性质的研究表现出了相当的兴趣【6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 4 ，3 6 1 主 要是人们发现好多流形上的动力性质与这些空间上的连续映射有关，如，流形上具有 不变叶层结构余维数为】的映射，其商映射往往就定义在一般的图上；曲面上的 p s e u d o - a n o s o v 同胚的动力性质就可以归并到一些特殊的树、图映射上去：图映射有时 可以反映出双曲吸引子邻域上光滑映射的一些性质( 见 2 7 ，5 3 ，5 4 等) 以上诸原i 鲴使 该领域的研究呈现出了相当活跃的气氛我国当首推中国科技大的叶向东教授在这一领 域做出了一系列好的结果( 7 ，8 ，3 0 ，3 4 ，6 0 ，6 1 ，6 2 等) 1 2 预备知识 这一节主要是介绍与本文有关自一些背景知识和基本概念 连续统是指非空紧致连通的度量空间，无圈曲线( 曲枷t e ) 是指不含简单闭曲线的局 浙江_ 人学博士学位论义 部连通的连续统图是指一维紧致连通的分支流形，树是指不含圈的图，一般记作t 线 段是指直线r 上的紧致连通子集，即有限闭区间，一般记作l 在一个变化发展的系统中，若系统的某种状态会一再重现，则这种状态可称为系 统的周期状态在宇宙和自然界中，具有周期状态的系统大量存在，周期现象出现在天 体运行、四季更迭、生物繁殖、机械振动等多种过程中迭代过程中的周期轨是描述现 实世界中周期现象的数学模型之一所以它理所当然受到数学家和其他领域科学家的重 视 设x 为一拓扑空间，f ：x 斗x 连续自映射，对任一x x ，有正向轨道 o r b ， ) = z ，厂( x ) ，厂2 ( x ) ，厂”( x ) ) 若对某一x ，存在”n ，使厂”( ) = x 。，但对一切1 七 7 3 2 5 2 3 2 2 p5 22 2 ”p2 “一1 睁2 p1 正整数的这一顺序称为s a r k o v s k i i 顺序 1 2 1 1 4 6 设：ij 1 为连续自映射若f 有i 3 , 周期轨道并且m 是按s a r k o v s k i i 顺 序排在n 后面的某一整数，即i - i 睁m ，f 必有m 周期轨氆 该定理最早是由s a r k o v s k i i 于1 9 6 4 年用俄文发表的，它表明线段自映射的周期点 的周期呈现出令人惊异的整齐的规律佳但在十几年内未被重视直到1 9 7 5 年l i 和 浙江大学博士掌泣论文 y o r k e 0 ， 一个从点x 到点y 的s 链( c h a i l l ) 是指x 的一个有限序列 = x ，- ，_ = y ，使得对 1 i ”，都有d ( ( x 。) ，x 。) 0 ，存在从x 到y 的链，则称x 可被链至, j y 假如x 可被链到z 本身，则称x 为x 的一个链回归点( c h a i nr e c u n 踟tp o h a t ) 记c r ( ，) = x x ：x 为x 的一个链回归 点 记。而r ( x ) = f ”( x ) ：n = 0 ，1 ，2 ，) 为x 在厂下的轨迹，称点x 为x 的最终周期 点( e v e n t u a u yp e r i o d i cp o i n t ) ，如d ，6 ( x ) 中某一点为周期点点x x 称为厂的一个临界 点( c r i t i c a l p o i n t ) ，如_ 厂在点x 不是局部同胚的 在链回归点与周期点之间的关系问题上，已知有下述 定理1 2 8 1 6 设厂为线段i 上的连续自映射，则下列等价 ( i ) f 的周期点集为闭集 ( 2 ) _ 厂的链回归点都是周期点 定理1 2 9 1 7 对区间或单位圆周上的连续自映射厂， ( 1 ) 孤立链回归点是最终周期点 ( 2 ) 如孤立链回归点不在临界点的轨道中，其轨道中亦不合临界点，则其必为周期点 对于定理12 8 ，1 9 9 9 年李涛和叶向东 3 4 1 推广到了一般的树情形，而对j 二一般的 图或无圈曲线则不必成立 最后介绍一下映射的拓扑熵概念这个概念来源于概率空间上保测映射的测度熵， 山a d l e r 等 2 j ：1 9 6 5 年首先给出定义，b o w e n 1 8 随后为了其他目的又给出另外的定义， 这两种定义在x 是紧度量空间时是等价的 没x 为紧敛拓扑空m 厂：x _ x 连续映射定义- ，的拓扑熵 ( ，) 如i - ：发d 为 浙江夫学博七学位论文 x 的开覆盖记 h 一1 n i 口”= = 口；= n 厂。( 爿，) ：a ，a ，i = l ，2 ，n 一1 且n 厂( _ 4 。) 庐) n ( a ) = m i n e a r d ( f 1 ) ：卢ca ，为x 的有限子覆盖) h ( f 2 1 i m l o g n ( a ”) ， h ( f ) = s u p h ( f ，口) ：口为x 的开覆盖) 拓扑熵是整个动力系统理论中一个重要的概念在动力系统中有一个中心问题是如 何来度量混沌的大小，而系统的拓扑熵可以说是用来度量混乱程度的最好工具之一所 以一直不断的有人对有关拓扑熵的问题进行讨论( 如见【3 ，4 ，3 7 ，6 2 ) 本文继续讨论了一必奎续统e 连续自映射的动力性质对于树上连续自映射，主要 得到以下一些结果 定理1 3 1 设f 是树上连续自映射则 ( 1 ) o t l x 人一，则x 具有无限轨迹( 定理2 1 4 ) ( 2 ) q 一为可数集 ( 3 ) q f 为可数集 ( 4 ) a r ，一f 或为空集或为可数无限集( 定理2 11 3 ) ( 5 ) 当分支点都是周期点时，舻= = 人2 = a ( q ) = a ( a ) = 人( r ) = f ( 定理2 23 ) 空间x 称为具有性质( + ) ，如对厂：x _ 工，孤立链回归点是最终周期点 定理1 3 2 ( 1 ) 每一树、图具旮眭质r ) ( 定理3 1 6 ) ( ! ) 设厂为树或图卜连续自映射，如，的孤立链列归点x 不在临界点的轨道中，hx 的 轨道中办不含临界点，则x 必为周期点f 定理3 1 9 ) 定理1 3 3l 盐x 是d i 树t 通过替换其卜n 个点q ，q ，q 。为县有桐同深度的z 浙江大学博t 学位论文 d e n d r o i d s g q 2 ，q 后作某种紧化所得的a - d e n d r o i d 如q ( 1 i ”) 具有性质( + ) ， 则x 亦具有性质n ( 定理3 2 4 ) 在连续统理论中，华沙圈是经常作为类圈而非类弧的典型例子而出现的【4 2 】，其拓 扑性质又区别于线段或圆周1 9 9 6 年熊金城等 5 9 1 对其上的连续自映射的动力性质进行 了讨论k 华沙圈( 2 ) ，作为华沙圈的推广，我们对它上面的连续自映射的动力性质 电进行了一些讨论，主要证明了 定理1 3 4 设f 是k 华沙圈( 女2 ) e 连续自映射， ( 1 ) k 华沙圈( 2 ) 不是s a r k o v s k i i 空间( 定理4 2 5 ) ( 2 ) f 的孤立链回归点是最终周期点( 定理4 2 6 ) ( 3 ) f 的中心为周期点集闭包，中心深度不超过4 ，即q 。= i 历( 定理4 2 8 ) ( 4 ) p ( f ) = r ( f ) ( 5 ) 如f 的周期点的周期都是2 的方幂，则厅( ，) = 0 ，特别，当f ( ，) 矿时，上述条 件是等价的( 定理4 2 1 3 ) ( 句f 是可迁映射等价于f 是d e v a n e y 意义下的混沌( 定理4 2 17 ) 浙江欠学博上学位论支 第二章连续树映射的若干动力性质 2 1 连续树映射的出极限集与非游葛集 研究拓扑空间上连续自映射的f - o 极限集，非游荡集的拓扑结构直是动力系统 理论的重要课题之一绪论中我们已经提到，对于线段r 上连续自映射，不在周期点 集闭包中的极限点都有无限轨迹( 定理1 2 6 ) ，q p 为i 上的无处稠可数集 5 5 ， q r 为可数集，a r ，p r 或为空集或可数无限 5 7 这一章中我们旨在研究连 续树映射上相应的论题树不具备区间上所具有的自然序，叶向东在【6 0 1 中引进了树 的偏序，证明了如树的中心深度等重要结论因为偏序不能保证树上任何两点者阿比 我们利用叶的序，定义了树上有限个偏序，使任何两点总在某序下可比，从而可以 证明对连续树映射，相应于区间上的上述论断仍是成立的 用r 表示树，c ( t ，t ) 为丁到自身上的所有连续映射的集合对树7 1 ，r 的子集 被称为r 的子树，如它本身是一个树设x t ，v a l ( x ) 表示r - x 的连通分支数 目，若v a l ( x ) 3 ，则称x 为r 的一个分支点r 的分支点全体是一有限集，记作0 若 v a l ( x ) ；1 ，称x 为r 的个端点用e ( ，) 表示r 的端点集设x ，y t ，i x ，y 】表示 r 的包含x ，y 的最小连通子集( 即r 中以z ，y 为端点的弧) 记( x ，y ) = r ，y 1 - r ，y 在树r 上引进偏序 ，如下 6 0 ： 设p e ( r ) ，t 一0 = u ，定义r 上的偏序 。为：x ，y 当且仅当x 瞳，y 】，且 = 1 x y t 上的偏序 ，= 。) 定义为：若，。= ( d ，6 ) ，d 。b 并且 瓦= x t ：b ，x ) u 【，b 】，一= ( t t ) u 【臼，b 】，则z l ，：二当且仅当 ：互一 口，6 2 ，：2 疋，亘建者当z 【，三2 i 时，= 二 ；i ，当三，z ! tf 时 ： 。：，( 这罩视一，瓦) b t 的两个子树) 浙江丈学博卜学位睑文 因e ( r ) 为有限集，且只有有限个，= 1 ，2 ，相应于每一p e ( 7 ) 及 ，存在一偏序 ，= ，( 。) 所以了上总共有有限个偏序r 不妨设为 。，i = 1 2 ，f 。 使树上任何两点总可以找到某一偏序 。使这两点关于 。是可比的( 简称 ，可比) 以下我们总以( x ，j ，) ，表示连通子集( x ，y ) ，其两端点x ，y 在偏序 ，下满足x ，一 c o ( x ) 表示x 的极限点集，对树上任一给定的偏序 ，令 甜，( x ) = y t ：存在行，一，4 ( x ) 专弘厂“( x ) ，y ) ，显然，y ，( x ) 当且仅 当存在盯，斗c o ，f “( x ) _ y ，且厂“( j ) ，厂( x ) ， ，y 如x 芒只则 t o c o ( x ) = u 棚。( x ) 定议a ，= u 出，( x ) = 1j e r 口( z ) 表示x 的口极限点集令口，( x ) = 抄t ：存在行甘o 。 x ：一o o ，厂“( x ) = x f u 如x 崔p 则显然有口( 石) = u a 。( x ) = 【 y ( x ) 表示x 的y 极限点集，则y ( x ) 2 c o ( x ) n 口( x ) 记r = u r ( x ) 定义 y ，( x ) 2 c o ，( x ) na r ( x ) ，记r = u y ，( x ) 对z t ，厂c ( t ，t ) ，令o p ( x ) = x ，厂( z ) ，f 2 ( x ) ，) ， 设y 为，的子集，f 表示y 的闭包，多表示y 的内部对，的一个偏序 0 ，( y 一，y ) ，n y 十记f = - v t ：y 为y 的r 聚 点 u y 易见f ：0 i 对t 卜某偏序 0 ，使。( x 1 ) 0 ，自 ”( x ) d ，则必有厂”( x ) 0 ，都有 浙江大学博士学位论文 厂”( 工) t d t u 设。为r 的分支点集，记r o = u i ，对。，总假设 l ，2 ，n o ) ，一 j l o 引理2 】1 1 6 0 1 设f c ( t ，r ) ，r d = u ，如x ，y 眇l ；y 2 】= ，。，且 j t i x ，f ( x ) ，f ( y ) ( ，y ，贝4 f ( ，) n x ；y 】妒 由上述引理，易得下述 e t l z l o 设d 为r 上连通子集，d n p = 矿，且存在矗，使d c ，则d 或为自 由型，或存在某一偏序 ，使d 为r 型 1 q 嚏 2 1 3 1 2 8 石q 当且阪当x 口( x ) 定理2 1 4 设厂c ( t ，r ) ，如x a 一，n x 具有无限轨迹 证任一x a p ，如x i j ，贝| j 2 8 ，引理3 3 】已证明了工具有无限轨迹所以不妨 设x 为r 的一个分支点设c 为r p 中含_ f 的一个连通分支如x 具有有限轨迹，因 易证人( ，) = a ( f ”) ，p ( ，) = p ( f ”) ，故不妨设p = 厂( x ) 为厂的不动点取y r ，使 x c o ( y ) n v a l ( x ) 有限，必存在某一厶，使 厂4 ( y ) ：i ) 亡 ，厂1 ( y ) 寸z ， 且不妨设 ，“( y ) ) c c n 对，。，x ，p ，必存在r 上某一偏序 ，使，“1 ( y ) ，厂”z ( y ) ， ，x ，那么 我们有x ，p = 厂( x ) 事实上，因z 与p 总是 ，可比的，如p ，x ，对任意取定 厂( y ) c n ，。，p = ， 一( x ) ，x ，利用一1 。的一致连续性，可取，上与 x 充分靠近的点x 仍满足，“”( x 。) ，”m ( y ) ，叫k ，r x ) ，x ，由引理2 11 知， 【( y ) ，x 】中必含f 的周期点，矛盾 塑婆查兰苎主兰堡堡兰 易知，区问c n ，h 具有性质( + ) ：任一z c n ，n ，甩n ，如厂”( z ) c r j o ， 则z m ， ”。“。( 厂2 ( y ) ，x 】) “2 ( y ) ，p j30 ，) 所以存在 z f 1 ；( j ，) ，x 】， 使f ”1 1 2 ( z ) = ，”( y ) 从而 厂”“2 + ”( z ) = ，“t “( ，吣。”t ( z ) ) = 厂1 ( y ) ，2 ，与p ) 矛盾 因x t o ( y ) ，所以p = ( x ) 国( y ) 又p 为厂的不动点，如p # j c o ( y ) 的孤立 点，则必有国( j ，) = p ) ，矛盾所以p 必为( 力的聚点由于v a l 有限，及上段的 证明，总可在某一分支上取到“，v ( ，使满足p ( ，“ ，v 所以存在m ， 使p 阼，使 p ，f 1 ( y ) ，2 ( y ) 于是 “( 【厂( y ) ，x 】) 3 p ，f 。( y ) 故存在 使，“( z ) = f “( y ) 所以厂“”( z ) = f “+ 1 1 ( z ) = ，”n ( ，一( _ y ) ) = f 1 ( y ) ，z ，又与r ) 矛盾所以x 必具有无限轨迹 n s a i l r c 溅i 【4 8 】证明了对于区间情形， a 为闭集，从而ca 对于树隋形 我们有下述结果 命墨2 1 5 对树t 上任一偏序 0 ，捌f 隋v ，l 。， m ， o 使厂”“( v 。) = x 令q ，= 用。p ，因，“( z ，) = = 。，f “( v 。) = x 由连通性，“( 三) l 令磊= r ，归纳地定义= 一n f 。”( 三。) ，其中 0 ，且，= q