（基础数学专业论文）一种非局部平面曲线流.pdf

d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： p u r em a t h e m a t i c s s u b j e c t ： d i 能r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ：p r o f s h e n gl i a n gp a n n a m e ：g a ol i a p r i l ，2 0 1l s h a n g h a i 郑重 士( 请勾 的内容外 人和集体 一种非局部平面曲线流系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕毒博 士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关 规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位 论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校 将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编 出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，于年月 日 解密，解密后适用上述授权 ( 2 不保密，适用上述授权 学位论文作者签名、芍丽 日期：塑jj 金笪 导师签名： ( 西虼 1 日期：卫! ! ：尘丛、 p 高丽硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 翱鲆极召烫东峄枞学妣承 主席 泷参范副锻技嘻乐9 矽勿火哮耘骘系 细哮 翻毅艘 彳吞、卿纵亏数净尔 摘要 本文的主要目的是研究一种平面凸曲线流，即令x ( u ，t ) ：【。，6 1 【o ，。o ) 一酞2 是一族平面闭曲 线，x ( u ，o ) = ( u ) 是一条严格凸的平面闭曲线考虑如下发展问题： 咒= ( 以矗一善) 邱，= 三八赛一可笔) 地 坤) = z 6i 警， x ( u ，0 ) = 凰( u ) 这是一种平面曲线的缩短问题，我们将证明曲线的周长和它所围的面积均单调递减，并且曲线会变 得越来越圆最终在c 。度量下，当t 趋向于无穷大时，曲线收敛到一个圆 关键词：曲线收缩流，严格凸，短时存在性，长时存在性 a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t eae v o l u t i o np r o b l e mf o rc o i l _ v e xp l a n ec u r v e s l e t x ( u ，t ) ：【口，6 】【o ，o 。) _ r 2b eaf a m i l yo fc l o s e dp l a n e rc u r 、，e s 诵t hx ( t 正，o ) = x o ( t 正) b e i n ga c l o s e d ，s t r i c t l yc o n v e xc u r v e c o 璐i d e rt h ef o l l o 丽n ge v o l u t i o np r o b l e m ： 咒= ( 扛矗一菩) ， 邱，= 去儿宝分笔) 毗 球，= o 篑 x ( 札，0 ) = ( 仳) t h i sc u r v ee v o l v i n gp r o b l e mi sac u r v es h o r t e n i n ge v 0 1 u t i o np r o b l e mw h i c hw i l ld e c r e a s eb o t ht h e p e r i m e t e ro ft h ee v o l 讥n gc u r v ea n dt h ea r e ai tb o u n d sa n dm a k et h ee v o l v i n gc u r v em o r ea n dm o r e c i r c u l a rd u r i n gt h ee v o l u t i o np r o c e s s a n df i n a l l y a l st h et i m etg o e st oi n f i n i t y t h e1 i m i t i n gc u r v e w i l lb eaf i n i t ec i r c l ei nt h e“c o 。 i i l e t r i c k e yw o r d s ： c u n ，es h o r t e n i n gt l o w ，s t r i c t l yc o n v e x ，s h o r t - t e r me ) 【i s t e n c e ，l o n 分t e r me x i s t e n c e n 目录 中文摘要 i 英文摘要 i i 第一节引言1 第二节曲线发展的最终形状3 第三节短时存在性8 第四节长时存在性2 1 第五节“c 2 ”收敛到圆2 7 第六节“c o 。”收敛到圆2 9 参考文献3 5 待发表的论文3 8 致谢3 9 华东师范大学硕士论文一种非局部平面曲线流 第一节引言 在过去的二三十年里，曲线发展问题受到了几何分析界的广泛关注，出现了大量的研究成果， 例如，g a g e 【2 0 】，g a g e h a m i l t o n 【2 4 】以及g r a 泸o n 【2 5 】研究了著名的平面曲线收缩流( 也可以参看 a b r e s c h - l a n g e r 【1 】，a n d r e w sf 4 】，a n g e n e n t 【9 】，e p s t e i n - w 越i l s t e i n 【17 】，g r a y 8 0 n 【2 6 】，h 锄i l t o n 【2 9 】 和h u i s k e n 【3 0 】) ；a n d r e 粥 5 】 a i l g e n e 以s a p i r o _ t a n n e n b a 呦 1 l 】以及c a l a b i o l v 孙t a l l l l e n b a u m 【1 3 】研究了平面上的仿射曲线流；a n d r e w s _ f e l d m a n 【6 】，c i 蜘卜l i o u t 8 a j 【1 5 1 ，c h o w t s a l i 【1 6 】，p 扑 z h a n g 【3 8 】，t s 砸【3 9 】以及u r b 嬲【4 0 】研究了曲线扩张流；g a g e 【2 1 】和p a n - y a n g 【3 7 】分别研究了平 面凸曲线的保面积流和保长度流；a n g e n e n t 【7 ，8 ，1 0 j ，g a g e 【2 2 ，2 3 】，g r a y s o nf 2 7 j 以及o a i 【s 【3 3 j 研究了曲面上的曲线发展问题；a 1 t 8 c h u l e r 【2 】和a 1 t s c h u l e r g r a 归o n 【3 1 主要研究了空间曲线流； m 舡c h e n 【3 2 】考虑了黎曼流形上的曲线收缩流由k 缸s e n gc h o u ( t s o ) 和) 【i p i n gz h u 的书【1 4 】 总结了曲线流方面直到2 0 0 1 年的各种结果，并含有丰富的文献信息 本文的目的是研究一种非局部平面凸曲线流设x ( u ，t ) = ( z ( u ，t ) ，可( 让，t ) ) ：陋，6 i 【o ，。) 一 酞2 为一族平面闭曲线，其中x ( u ，0 ) = ( u ) 是一条闭凸曲线，我们要考虑的发展问题是： 五= ( 以刍一菩) 邱) = 珂( z 是一耖) 旭 邵) = z 6i 瓮胁， x ( 让，o ) = 弱( u ) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中k = k ( u ，) 是发展曲线的曲率，a ( t ) ，l ( t ) 分别是t 时刻曲线所围成的面积和曲线的周长， = ( u ，t ) 是沿曲线的单位内法向量可以验证，如果初始曲线是一个圆，那么它在此流下始终是 同一个圆，即，圆在这个流下是稳定的 我们将推导出发展曲线的面积a ，长度l 和曲率七的发展方程如下： 警= 一歹代2 幽+ 芸+ 莩= 一z 孙仡础+ 芸+ 莩， 警= 一歹砌s + 譬+ 菩= 一卜2 舢妥+ 菩， 警= 2 粕以；+ 一簪一窖， ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 其中口为发展曲线的单位切向量场与z 轴正半轴所成的角如果一条闭凸曲线按照( 1 1 ) 一( 1 4 ) 发展 且保持凸性，那么，由( 1 5 ) 和g a g e 不等式( 证明参见【1 9 ，3 7 】) 歹砌8 筹 ( 1 8 ) l 华东师范大学硕士论文一种非局部平面曲线流 可以证明a 在发展过程中是单调递减的，( 1 6 ) 和几何不等式( 参见【2 8 】) 歹砌s 牮 ( 1 9 ) 可以说明l 是单调递减的因此我们称这个流为收缩流 本文安排如下：首先，我们将证明如果曲线在发展过程中不出现奇性，那么闭凸曲线仍保持凸 性，周长和面积递减( 定理2 5 ) ，并且它会越来越圆( 推论2 6 ) 在h a u s d o r f f 测度下，当t 趋向于无穷 大时曲线最终会收敛到一个圆( 定理2 7 ) 其次，在定理3 3 中我们将证明几何发展问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 等价于下面的初值问题： 一2 时2 m 4 一等一学， 扣一小瑚+ 芸+ 譬， 如一办2 卅薯+ 筹， a ( 0 ) = 山= 一r 嵩 。， 即) 幽= 厂焉 。， 其中凰( p ) = ( 譬嚣潘却，j ；：l 篙茜d ) ，= ( 一s i n 口，c o s 口) 根据最大值原理和l e r a y - s c h a u d e r 不 动点定理，我们将证明该初值问题是局部可解的( 定理3 7 ) 再次，我们利用曲线流研究的经典方法得到了发展曲线的几何估计，积分估计和点点估计，证 明了k 关于口的各阶导数均一致有界，从而证明了代关于时间的各阶导数也是有界的因此得到 上述初值问题的整体可解性( 定理4 1 1 ) 最后，根据k ，击 一o o ) ，我们得到当t o o 时， i i k ，o o 呻o 通过一系列计算，我们证明了对任意的q ( o o ，有a ( t ) a 否则，存在t o 使得o a ( t ) = a 1 ，取 t o = i n f ：a ( t ) = a 1 ，那么在【o ，t o 】上有a ( t ) a 1 在【o ，t o 】上，令 m n i n ( ) = i n f 【( 口，t ) ：0 日2 7 r ) 如果存在【o ，t o 】，使得o o ，且在此点处有 吼0 ，口0 ，= 0 ，= 叩 0 ， 则( 2 2 1 ) 式的左边小于或等于零，右边大于零，矛盾从而对讹【0 ，t o 】，有w 孟n ( t ) w 矗i n ( o ) ，即 尤( p ，t ) 尤m i n ) = i j l ，盐n ( t ) e p 。k m i n ( 0 ) e m 0 ， 因此曲线在【0 ，t o 】上保持严格凸性那么由引理2 4 后的注解可知，对任意的t 【o ，t o 】，有a ( t ) 2a ， 这与假设a ( t ) 0 ，有a ( t ) a 如果存在某一时刻t 0 ，使得0 o ，( k 2 一矗一簪) _ l c ( k 2 一署) k ( 一示) k ，取p = ( 朵) 差，那么在此点处有 仡3 一k 矗一片簪+ p o 且有 吼0 ，8 0 ，= 0 ，= p0 ， 则( 2 2 1 ) 式左边小于或等于零，右边大于零，矛盾所以对任意的 o ，有w - m i n ( ) w m i n ( o ) ，从而 k ( p ，t ) k m i n ) = w 厂m i n ) e 一肼k m i n ( 0 ) e m o 即曲线在整个发展过程中保持严格凸性根据引理2 4 的注可知，对于任意的t 0 ，有l ( t ) 口 由( 2 1 3 ) 式和g a g e 不等式( 1 8 ) 可得在发展过程中曲线所围面积a 是单调递减的而对于曲 线的周长厶由( 2 1 2 ) 式和( 1 9 ) 式可知其在发展过程中也单调递减 口 推论2 6 如果一条严格凸曲线按照( 2 1 6 ) 一( 2 1 9 ) 发展，那么等周差三2 4 丌a 在发展过程中单调递 6 ( i i ) 由定理2 5 以及定理2 7 可知，存在正常数r ( 极限圆的半径) 使得 。里臻l ( ) = 2 丌足t 里a ( t ) = 7 r r 2 ，t 塑k ( 日，t ) = 去 ( 2 2 4 ) 7 华东师范大学硕士论文 一种非局部平面 第三节短时存在性 这一节，我们把几何发展问题等价地转化为一个微分积分方程组的初值问题，然后考虑这个初 值问题解的短时存在性和唯一性 定理3 1 令 k m i n ( 亡) = i n f k ( 口，t ) ：0 口2 7 r 】， 那么k m i n ( ) e ( 孟) 曼单调递增 证明令( p ，t ) = ，c ( 口，t ) e m ，其中肛待定，则w 满足如下方程： 吼= 2 k 3 。+ 警孵+ ( k 3 一蠡k 一菩k + p ) w ( 3 1 ) i 担o = ，c 0 ( 口) 0 令g ( z ) = z 3 一署z0 o ) ，则g ，( z ) = 3 2 2 一叠，从而g ( z ) 在z = 磊处达到最小值 一矗k 一菩k 尤3 一三k 尤3 一朵k ( 赤) g 一朵( 赤) ；= 志， 其中a 小 0 在定理2 5 中已经证明 令f ( k ，t ，p ) = k 3 一矗k 一咨k + p ，当p = ( 紊) ；时f ( ，c ，t ，p ) o 现在令 职n i n ( t ) = i n f w ( 日，t ) ：0s 口2 7 r ) ( a ) 与定理2 5 类似，可以得到：对任意的t o ，有i n ( t ) w r m i n ( 0 ) ( b ) 证明对任意的t 0 ，有w k n ( t ) w 矗i n ( o ) 用反证法证明否则存在一点t o 使得w 孟n ( t ) = i n ( 0 ) o ，令t + = i n f t ：i n ( t ) = w m i n ( o ) ) ，由彤的连续性可知w m i n ( 矿) 在( 矿，矿) 处可达到，从而有 w ( 口，t ) w n i n ( ) i n ( 0 ) = 眦n i n ( + ) = ( 虻矿) 而在( 口+ ，矿) 处有吼o ，口0 ，= o ，w 0 ，这与满足( 3 1 ) 矛盾，因此证明了i n ( t ) w 矗。( 0 ) ( c ) 证明i 。( ) 是严格递增的设0 亡1 0 8 华 根 从 ( d 在 其 足 当赴 孟利用( a ) ，( b ) 和( c ) 可得 ( m ) m i 。( t ) = i n “w ( p ，) ：o 口2 7 r ) 在白+ 1 】上是单调递增的当如t t l + 1 ，o z 一1 时，定义既( t ) ： 则w 厶( t ) 严格递增从而 是递增的 w ( t ) = ( m ) m i n ( t ) = k m i n ( t ) e 埘( 1 ) + 肌l b ， 鹄魄( ) = ( z ) e ( 南疹 口 引理3 2 如果k o ( 日) = k ( 日，o ) o 满足后”龋抬= o ，那么，对每一个时刻t o ，( 2 1 5 ) 式 的解k ( 口，t ) 满足后”赢础= o 口 引理3 2 告诉我们，曲线在发展的过程中满足“闭条件”，因此，曲线的发展问题可以等价地转化 为一个非线性微分积分方程组的初值问题，即 9 华东师范大学硕士论文一种非局部平面曲线流 定理3 3 几何发展方程( 2 1 6 ) ( 2 1 9 ) 等价于如下的初值问题： 寻找k = k ( 口，) ：s 1 【o ，o o ) r + ，a = a ( t ) ：【o ，o 。) - r + ，l = l ( t ) ：【o ，o 。) _ r + 使得 ( i ) _ c c 2 + 以1 + 号( s 1 【o ，t ) ) ，a c 1 ( 【o ，t ) ) 和l c 1 ( o ，p ) ) 对所有的r 0 ( i i ) 蓑= k z ( k 。一矗一墨) 鲫+ 以一矗一菩) ， ( 3 2 ) 警一肛s + 芸+ 莩， 3 ， 等一肛s + 薯+ 笞 涵4 ， ( i i i ) ( a ) k ( 口，o ) = k o ( p ) c 1 桕( s 1 ) ，k o ( 口) o 和后”茄枷= o ； ( b ) a ( 0 ) = a o o ( a o 由( 3 6 ) 式定义) ； ( c ) 工( 0 ) = l o 0 ( l o 由( 3 7 ) 式定义) 证明( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 及( 2 1 5 ) 告诉我们给定发展方程( 2 1 6 ) - ( 2 1 9 ) 的一个解，在坐标系口和t 下，发 展曲线的面积，周长和曲率函数将满足( i i ) 和( i i i ) 反之，如果k ( 曰，) ，a ( ) 和l ( ) 是该微分- 积分系统的初值问题的解，则对每一个时刻t 0 ，都 存在对应的曲线x ( 口，) = ( 口，) ，( 口，) ) ，在不考虑平移的情况下定义为： 础= z 8 器她 新定义的曲线满足发展方程： 们= z 8 器她 ( 3 5 ) 譬= 一刍( 舻一矗一墨) 于+ ( k 。一矗一芬) 石f2 一历【k 一甄一工r j l 。+ 【k 一砑一1 7 ) 通过计算可以发现，对应曲线贾( 口，) 的曲率恰好是k ( 口，) 下面我们验证曲线所围面积五( t ) 为a ( ) 事实上，由定义可知 邵) = 一三歹 如= 一r 志， a ( 。) = 一去z 知 焉= 山 ( 3 6 ) a 2 ( 兄郧+ ) 志+ 圩 赫枷 三( k 2 一矗一菩) 瑚+ 三z h 贾，奶 ( 尤2 一矗一菩) 的+ k 2 一矗一菩 枷 扣一矗一菩) 棚 1 0 丌 i = 霄 2 2 2 z z z l 一2 l 一2 l 一2 一 一 一 华东师范大学硕士论文 + 斯霄 ( 以矗一善) p + z 斯 ( 以 = 一庶( 扛矗一菩) 卅舻一矗一菩) 口 宁 一厅以矗一菩) 。( 禹郧+ 贾，奶瑚+ z 知 ( 矗一菩) d 朝 = 一折扣一矗一菩) 棚 一扩( 以矗一菩) 。 贾，奶叭扩 ( 以矗一菩) 础 = 一彳扣一矗一菩) 舭掰 ( 以矗一苦) 硼 一去 ( ，c 。一矗一菩) p 一石斯( k z 一矗一菩) ( + ) 叫 = 一# 扣一矗喾) 抛+ 扩一扣一矗一菩) 枷 + 圩 耻如( 以矗一菩) 扩 ( 以矗一菩) 枷 = 一材扣一矗一菩) 硼一掐扣一矗一菩) 枷 = 一z 2 ”扣一矗一菩) 棚= 一j f 砌s + 芸+ 莩地 最后，我们验证曲线的周长三( ) 为三( ) 由定义可得： 砸) = z 2 霄压西= z 2 丌 三( 。) = z 2 霄去d 口= 工( 0 ) 再利用曲率的发展方程( 3 2 ) 式可得： 三：去一胁铆慨m 。一三一菩肚 一= 一一 ji z 圪k 口口十二仡d 十仡= 。= 一l “ 尤 k o ，o 。 z al 。 将( 3 8 ) 式代入( 3 7 ) 式可以证明l ( ) = l ( ) 引理3 4 对于t o 使得3 一；e 4 7 o ，同时令 加= 6 ( 碧+ 能) 2 ， 可以得到 z 2 霄毋棚加z 。( z 2 丌d 口) 2 疵+ z 2 丌如枷 设f ( ) = 后( 后”妒枷) 2 出， 那么可得 解这个微分不等式可得 令 则当 t o 时有 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) c = 后”o 枷= 后”k 3 ( 口) 棚，从而警= ( 詹”d p ) 2 且f ( o ) = o ， 邢) 南 扣去= 去( 序泗) 哪01 n ，0 。 z ( z 斯础) 2 班= f ( t ) c 2 m ( 班 c 2 m ( 班。， 1 3 华东师范大学硕士论文 一种非局部平面曲线流 其中当o o ，且当t _ 幻时，m ( t ) _ o o 将上式代入( 3 1 2 ) 式可得：当 0 t 伤， 其中q = 一8 丌2 后”磊棚一学一后霄【( k 2 ) 口( p ，o ) 】2 瑚是只与初始值有关的负常数 再次利用( 3 1 0 ) ，取口= k 2 可得 小4 棚和小2 ) ；柏+ 2 ( 婺+ 他) 2 ( 序2 妒 由于e o 是任意的，可以取e 32 壶，则有 厅固m2 ( 哿+ 他) 2 ( 序2 枷) 2 厅确m2 ( 哿+ 能) 2 陬) ( 3 z 孙删 ，2 7 r ( k 2 ) 细+ 岛， ，o 其中仍= 2 ( 哿+ 他) 2 ( 2 丌) i ( 3 后”稿d 口) 也是只依赖于初始值的正常数 由上面我们可以得到： z 2 霄( k 2 ) 2 瑚一z 撕( k 2 ) 2 枷仍 最后我们有 三z 孙( k 2 培枷+ q z 孙( k 2 ) 2 瑚q + z 2 丌( k 2 培枷 1 2 1 2 1 2 一 o 使得下列初值问题存在唯一的解k c 2 + 以1 十i ( q o ) ，a a 1 【u ，o l j ，厶t 。p 加1 7 舰：2 阳协。穑+ 舻( 一云一墨) ， a t ：芸+ 譬一f 霄触 乙；譬+ 婆一厂孙棚， 厶。百+ 可一五彤 卸) _ a 0 ：一去广 志 。，a ( o ) = a o 一互五“0 川 丽刈 印) 幽= ：2 霄赤奶。l ( o ) 乱o 。上丽硎刈 嚣耋。愁等毳墨缝黧箍冀蒜篡裟矗一例 证明我们将利用l e r a y s 出a u d e r 不动点定理来证明解的存征住，丹很诺怀7 匪“。陛例j 任旺卜p 。 1 6 竺奎堑蔓奎堂堡圭堡塞 一种非局部平面曲线流 一- ：= ： 设蜀= i i l i n 乃，乃，死) ，其中乃，乃和死待定设q o = s 1 【0 ，而】，c o ( q o ) 是q o 上的连续 函数空间，其范数定义为i i o = 胃i 口( 口，) i 取闭凸集bcc o ( q o ) ： b = 伊( q o ) i 入口( 9 ，) sa ) ， 其中a ，a 分别由下面的( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 给出 假设存在乃 0 ，对任意的时间亡当o ts 乃时，有 三山a 2 山，三l 。工2 如 对任意的 b ，下【o ，1 1 ，考虑如下问题： 铲2 卅2 ；“( 以丁矗一丁菩) ， 仁芸+ 莩一序姐 耻薯+ 箬一序2 媳 k ( p ，0 ) = k o ( p ) ， a ( o ) = a o 0 ，三( 0 ) = l o 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 由 b 以及( 3 1 3 ) 式，利用p i c a r d 存在惟一性定理可得：初值问题( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 1 8 ) 存在 惟一解a c 1 ，三c 1 ，且可以表示为 坤，= 山+ 霄z 。c 去+ 铷一肼丌硼妣邵m 。瓜+ 知一膨”砌纰， ( 3 1 9 ) 其中【0 ，乃j ，f = t 甲 i 茜+ 譬一后霄口础l ，i 譬+ 簪一詹”口2 瑚i ) 警+ 等+ 等+ 等+ 乃：m i n 丑，掣 ( 3 2 0 ) 将a ( ) 和l ( t ) 代入( 3 1 4 ) ，考虑由( 3 1 4 ) 和( 3 1 7 ) 组成的初值问题由( 3 1 2 ) 可知当o 时，彘矗看，磊咨s 嚣，且矗c 1 ，簪c 1 因此对任意的丁【o ，l 】，初值问题 ( 3 1 4 ) ，( 3 1 7 ) 存在惟一解仡c 哆+ 西1 + 暑( q o ) 如果能够证明，c 口，那么我们便可以定义非线性映射 丁( ，7 ) = ，c ：bx 【0 ，1 】b ，若t ( 秒，1 ) 有一个不动点k ，那么这个k 以及与之对应的a 三便是原 初值问题的解 我们分四步给出证明 第一步：找出乃 o 使得对任意的口召，当t 【o ，乃j 时，( 3 1 3 ) 成立 1 7 华东师范大学硕士论文 一种非局部平面 根据3 j 5 可得 a 。：三丢+ 号芋一z 2 r 口d 口一2 丌a a t = 詈；+ 二 一 口d 口一2 7 r a 两边关于t 积分，则有a 山一2 丌 t ，取t l = 急，当t 【o ，t 1 】时有 a 山一2 丌人急= 鲁 由( 3 1 6 ) 可得 咖鲁+ 笞一序2 抛嘲胪 两边关于t 积分有l l o 一2 7 r a 2 t ，取t 2 = m i n t 1 ，热 ，在【0 ，t 2 1 上有 即) 弛嘞a 2 熹= 孚 再一次利用( 3 1 6 ) 得 妊筹+ 菩一妪筹+ 等 两边关于积分得 郫讲( 等+ 等弦 取如= m i n 。2 百孑鲁可) 在【0 3 】上有 l ( ) 2 l o 现在我们冉次考虑( 3 1 5 ) 式，司得 伽筹+ 莩一序妪等+ 等 两边关于积分有 a 山+ ( 等+ 等) t 取乃= m l n b 亏恕】，那么在 o ，丑】上有 去a 。a 2 a 。，三l 。l 2 l 。， 其中乃只依赖于a o ，l o ，a ，a 第二步：证明对任意的口b ，7 - 【o ，1 】，那么k = t ( u ，7 - ) 满足圪b 对任意的r 【o ，1 】，利用定理3 1 可知： k ( 占，t ) k m m ) ，c m i n ( o ) e m ，c m i n ( o ) e 一功a ， 华东师范大学硕士论文 一种非局部平面曲线流 其中 由引理3 6 知 a = l n i n n ( o ) e a = m a x m ， ，压磊一 惫+ 净v 石+ 可一 取乃= 等，那么在【0 ，珏】上有，c ( 口，) k 一m a 因此，c b 第三步：证明存在与 和下无关的正常数m ，使得 k 盼m ，( 0 p 在长度为7 r 的区间上 ( 4 1 ) 根据文献【2 4 】( p r o p 4 3 2 ) 知：若闭凸曲线所围面积为a ，周长为厶则k ( t ) 矿( ) 】可以惟一地表示为可数个互不相交的开区间五的并，根据 ( 4 1 ) 可知每个开区间的长度均小于等于7 r ，且由k ( 口，t ) 的连续性知在每个开区间的端点处有 k ( 口，t ) = k + ( ) 假如存在长度大于7 r 的开区间而= ( 口6 ) ，在如上有k ( p ，) 矿( t ) ，那么可以在而 中取塔= 【口+ 蛀产，6 一鱼号= 互】，而在上有k ( 口，t ) 矿( ) ，从而k ( 口，t ) 在闭区间昂上的最小值 k + ( p ，t ) ( ) ，与k + ( ) 的定义矛盾 在每个区间厶上，有 “一( k 2 ) ；+ ( k 2 ) 2 冲= “( ，c 2 一( ) 2 ) ；+ ( ) 2 瑚 j i j