（基础数学专业论文）完全正则半群上同余的若干研究.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 完全正则半群上同余的若干研究 基础数学专业硕士研究生王祥颖 指导教师郭聿琦教授刘国新副教授 摘要 本文利用格林关系和同余的核迹方法刻画完全正则半群上的一些重要同余证 明了p 一= ( o ，b ) sx ，sia 0 = b o ，a b - 1 c ( s ) 是中一1 、5 密码群并半群s 上最小纯 正同余，p 尹管= ( o ，b ) s sin 勿6 ，a b 。c ( s ) 是中心完全正则半群s 上最 小c l i f f o r d 同余，艮露一= ( o ，b ) s sl 觑6 ，a b - 1 c ( s ) 是格林关系刀为 同余的中心完全正则半群s 上的最小左正则纯正同余，同时结合p 可的性质得出 ( 乡纩np 少可) 。和( 历np y 留) 分别为中心完全正则半群上的最小纯正同余和最小左正 则纯正同余最后探讨了【1 】1 中一个关于迹关系t 的公开问题；在完全正则半群s 上，t = e 的充要条件是什么? 通过构造同余的方法，我们证明了在完全正则半群 s 上，t = 当且仅当s 为一带 文章分为三部分，主要有如下内容； 第一章介绍了半群及完全正则半群的一些基本概念和引理，以及本文经常使用 的符号 第二章刻画了中心完全正则半群上的某些最小同余 第三章解决了一个关于迹关系t 的公开问题若s 为一完全正则半群，则 t = e 当且仅当s 为一带 关键词：同余；中心完全正则半群；迹 西南大学硕士学位论文英文摘要 s o m es t u d i e so fc o n g r u e n c eo nc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：y u q ig u og u o x i nl i u a u t h o r ：x i a n g y i n gw a n g a b s t r a c t t h i st h e s i sm a k e su s eo fg r e e n sr e l a t i o n sa n dk e r n e l - t r a c ea p p r o a c ht oc h a r - a c t e r i z es o m es i g n i f i c a n tc o n g r u e n c e so nac o m p l e t e l yr e g u l a rs c m i g r o u p w ep r o v e t h a tp 一= ( o ，b ) s s o o = b o ，a b _ l c ( s ) ) i st h el e a s to r t h o g r o u pc o n - g r u e n c eo nac e n t r a lc r y p t o g r o u ps ，p 曾= a ，b ) sxs0 9 6 ，a b 一1 c ( s ) ) i st h el e a s tc l i f f o r dc o n g r u e n c eo nac e n t r a lc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u ps ，a n d p 2 毋一= ( n ，b ) sx sin 历6 ，a b 一1 c ( s ) ) i st h el e a s tl e f tr e g u l a ro r t h o g r o u p c o n g r u e n c eo nac e n t r a lc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u ps w h i c hs a t i s f i e s 留i sac o n - g r u e n c e m o r e o v e r ，( 乡纩nj d y 留) + a n d ( 历np y 曾) + a r et h el e a s to r t h o g r o u p c o n g r u e n c e a n dt h el e a s tl e f tr e g u l a ro r t h o g r o u pc o n g r u e n c er e s p e c t i v e l y l a s t l yw ec o n s i d e ra n o p e np r o b l e mo fm p e t r i c ha n dn r r e i l l yl w h a ta r en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n - d i t i o n so nac o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u psi no r d e rt h a tt = ? b yc o n s t r u c t i n g c o n g r u e n c e s ，w ep r o v et h a ti fs i sac o m p l e t e l yr e g u l a rs c m i g r o u p ，t h e nt = gi fa n d o n l yi fs i sab a n d t h c r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r1 ，i n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a s ，f i xs o m en o t a t i o n sw h i c h u s e du s u a l l yl a t e r i nc h a p t e r2 ，c h a r a c t e r i z es o m el e a s tc o n g r u e n c e so nc e n t r a lc o m p l e t e l yr e g u l a r s e m i g r o u p s i nc h a p t e r3 ，a n s w e rap r o b l e mo nt r a c e w ep r o v et h a ti fsi sac o m p l e t e l y r e g u l a rs e m i g r o u p t h e nt = 5 i fa n do n l yi fsi sab a n d k e yw o r d s ：c o n g r u e n c e ；c e n t r a lc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p ；t r a c e n 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 王祥凝签字日期：矽l 。年占月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：王椒 签字日期：2 o l o 年占月f 弓日 导师签名： 薪至k 签字日期：乡口e 舟厂月e 3 日 西南大学硕士学位论文前言 前言 创立于上世纪初的半群代数理论，它的系统研究始于上世纪5 0 年代a d w a l l a c e 和a h c l i f f o r d 作为当时的代表人物建立了t u l a n e 学派几乎同时，法国的m p s c h u t z e n b e r g e r 和俄国的l i a p i n 也分别创建了巴黎学派与s v e r d l o v s k 学派7 0 年 代初，a h c l i f f o r d ，g b p r e s t o n 及h o f f m a n n 等人创办了国际专门刊物”半群 论坛( s e m i g r o u pf o r u m ) ” 回顾整个半群代数理论发展的历史，正则半群一直占据主导地位完全正则半 群作为一类重要的正则半群，它的研究成为半群代数理论中一个相当活跃的领域 同余理论是研究半群的重要工具，在半群代数理论的发展过程中，起着越来越 重要的作用，在半群的结构中占有核心的地位为了研究某一类半群，通常可以研 究其上的同余，由此获得它的内部结构及其同态象的知识二十世纪七八十年代， p a s t i j n 和p e t r i c h 等人在同余方面做了很多研究工作【7 】【8 】【9 【1 0 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 9 9 9 年，p e t r i c h 和r e i l l y 在专著c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s 一书中系统地介绍了 完全正则半群上同余的核、迹刻画，以及完全正则半群上的同余格及同余网理论，其 中还介绍了一些具体同余的刻画及其性质到目前，很多学者对某些特殊半群上的 般同余和某些半群上的特殊同余已经做出了具体的刻画 1 5 11 1 6 11 1 7 11 1 8 】随着对同 余刻画的认识和了解，发现对于某类特殊的半群。其刻画方式会因该类半群的结构 而出现更精细的情况因此，本文试图给出中心完全正则半群上与格林关系相关的 结构相似的一类最小同余更精细的刻画 对同余的有效处理是丰富它的应用的基本前提，对正则半群上的同余的研究的 一个有效的方法是核迹方法设s 为正则半群，我们记e ( s ) 为s 的幂等元集合， 够( s ) 为s 上的同余格对s 上的任一同余p ，k e r p = a s l ( 3 e e ( s ) ) a p e 和t r p = p l e 分别是p 的核和迹这种方法最先用于逆半群上同余的研究 m p e t r i c h 在文献 1 0 】中改进了s c h e i b l i c h 的刻画，证明了逆半群上的同余p 由序对唯 一确定，并且关于任意a ，b s 有 a pb 兮【a - l at r pb - l b ，a b 一1 k e r p 1 西南大学硕士学位论文前言 紧接着，f p a s t i j n 和m p e t r i c h 于1 9 8 6 年在文献【7 】中把对逆半群上同余刻画的 核迹方法，推广到更一般的正则半群上的同余刻画，并且证明了任何同余p 都可由核 k e r p 与迹t r p 唯一确定这种方法之所以有效，一是因为p 由它的核k e r p 和迹t r p 唯一确定，二是由于对核和迹的分析比对p 的直接研究相对简单，同时从这种刻画 方式可以得到够( s ) 的两个关系，迹关系t = ( p ，入) 够( s ) 够( s ) l t r p = t r y 和 核关系k = ( p ，a ) 够( s ) 够( s ) l k e r p = k e 以 ，其中t 和k 满足t nk = e 此性质使我们对够( s ) 的分解上得到许多有用的信息核迹方法研究同余正在趋于 完善，但有很多问题尚未得到解决本文最后一章利用构造同余的方法探讨了关于迹 关系t 的一个公开问题：在完全正则半群s 上，t = s 的充要条件是什么? 2 西南大学硕士学位论文预备知识 1 预备知识 令s 是一个非空集合称二元组( s ，) 为一个半群，如果。是s 上的一个 满足结合律 ( v a ，b ，c s ) ( a b ) c = a - ( b c ) 的二元运算在不引起混淆时，我们简称s 为半群，对于任意a ，b s ，将a b 简记 为0 6 称半群s 是一交换半群，如果关于任意a ，b s 有a b = b a 称半群s 的非 空子集m 为s 的子半群，如果m 关于s 的运算封闭，即关于任意a ，b m ，都有 a b m 1 s 称为s 的幺元( 或单位元) ，若 ( v s s ) l s = s l = s 易证，一个半群至多含有一个幺元( 或单位元) 称三元组( m ，1 ) ( 或简称m ) 为一 个幺半群，如果( 尬) 是一个含有幺元1 的半群如果s 没有幺元，在su 1 上 规定1 1 = 1 ，且， ( v s s ) l s = s l = 8 则su 1 ) 成为一个幺半群，1 为其幺元于是，我们总可以用s 1 表示如下幺半群 s1=s u ；1 ，霎喜票喜耋霎： 令a 与b 是半群s 的两个子集我们用a b 表示 a bla a ，b b ) 容易验证， ( v a ，b ，c s ) ( a b ) c = a ( b c ) 通常情况下，我们也写a 6 ) 作a 6 ，写 o ) b 作a b 若s 没有幺元，a s ，则通常 情况下s o 中未必含有a 我们分别用s 1 a ，a s l ，s 1 a s l 表示如下三个集合 s 口u 口 ，a su 口 ，s a sus a 1 ja st j o ) 称半群s 中元素a 为一正则元，如果存在z s 使得a x a = a 称半群s 为一正则半群，如果s 中任何元素都是正则元若a s ，且存在0 ，s 使得 西南大学硕士学位论文预备知识 a a 7 a = a ，o = a t ，则称a 为a 的个逆元容易验证，每个正则元都存在逆元 称半群s 中元素a 为一完全正则元，如果存在s 使得0 口7 n = a ，0 ，n = a a ! 称 半群s 为一完全正则半群，如果s 中任何元素都是完全正则元称s 中满足a 2 = a 的元素a 为幂等元记s 中全体幂等元构成的集合为e ( s ) 称半群s 为带，如果s 中每个元素都是幂等元 称集合x 上的二元关系p 为一等价关系，若p 满足 ( 1 ) 自反性( v a x ) apo ； ( 2 ) 对称性( v a ，b x ) apb 兮bpa ； ( 3 ) 传递性( v a ，b ，c x ) apb ，b pc 令a pc 令p 为x 上一等价关系，z x ，则商集x l p = x pix s ) 构成x p 上的一 个划分 2 】称诸印为矿等价类，简称矿类集合上的等价关系与该集合上的划分 之间有一一对应关系【2 】 称半群s 上的二元关系p 为左相容的，若 ( v a ，b ，c s ) apb 号c a pc b ； 类似地，称p 为右相容的，若 ( v a ，b ，c s ) apb 号a cpb c ； 称p 为相容的，若 ( v a ，b ，c ，d s ) apb ，cpd 辛a cpb d s 上的 左，右】相容的等价关系称为【左，右】同余记s 上所有同余组成的集合为 够( s ) 若p 为s 上一同余，在s 关于p 的商集s p 上定义运算如下 ( v a ，b s ) ( a p ) ( b p ) = ( a b ) p( 1 ) 容易验证，这一运算是合理定义的，且s i p 关于该运算形成一半群，称为s 关于p 的商半群事实上，我们有 4 西南大学硕士学位论文 预备知识 定理1 1 ( 【2 】定理1 5 3 ) 若p 为半群s 上一同余则s p 关于俐中的运算 形成一半群，且s 到s p 的映射砂：zhz p 是一满同态 令s 是一半群，a ，b s 则s 上的格林关系定义如下t a ? b 牟号s 1 a = s 1 b a 留b 错a s l = b s l ，( 2 ) 2 a 夕b 错s 1 a s l = s 1 b s l 另外，澎= pn 露，9 = 影v 留在完全正则半群s 中，9 = 夕是s 上的最 小半格同余易知，半群s 上的格林关系均为等价关系，且格林关系2 旧 是一右 【左】同余 定理1 2 ( 3 】定理( c l i f f o r d ) i i 1 4 ) 令s 是一半群则s 是完全正则半群当且 仅当s 的每个澎类是一子群 令s 是完全正则半群，a s h o 表示a 所在的乡纩类，a 以表示a 在群h 。 中的逆元，n o 表示群h 口的单位元 定义1 1 ( 6 】定义i i 9 3 ) 莎型非空代数类k 称为簇，如果它关于子代数，同 态象和直积封闭 完全正则半群是一类同型代数，它关于子代数，同态象和直积封闭。用够劈记 完全正则半群簇，用乡( 够纺) 记够坊的完全格，且 朔= f a a a = a ，a = ( a - 1 ) ，a a = a - l a 令s 为一完全正则半群，彩是一个带簇称s 是纯正群并半群，如果它的幂 等元集e ( s ) 为一半群称纯正群并半群s 是彩一纯正的，如果e ( s ) 彩称完 全正则半群s 是密码群并半群，如果它的格林关系纩为一同余称完全正则半群 s 为一c l i f f o r d 半群，若幂等元与s 中所有元素可交换称s 是中心的完全正则半 群，如果s 中任意两个幂等元的乘积属于该乘积所在的乡纩类的中心称由e ( s ) 生 成的子半群为s 的核，记为g ( s ) 称带s 为左正则带，若s 满足等式a x = a x a 称s 为左正则纯正群并半群，如果它的幂等元集e ( s ) 为左正则带 5 西南大学硕士学位论文预备知识 令少是类半群，j d 是s 上一同余则p 是少一同余，若s p 少p 是幂 等元纯同余，若p 渗透e ( s ) ，即关于任意a s 且e e ( s ) ，如果有ape 则蕴含 a e ( s ) 以下罗列本文要涉及的完全正则半群簇的若干子簇，此处将沿用【1 】1 和【2 】中的 记号 记号1 1 院全则半群簇的子簇j 够历 完全正则半群 够夕 完全单半群 留 带 夕留留左正则带 够中心完全正则半群 y 留 c t q 7 l o r d 普蛰 留够 密码群并半群 够历够 中心密码群并半群 秒 纯正群并半群 幺劈汐 左正则纯正群并半群 6 西南大学硕士学位论文中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 2中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 格林关系在完全正则半群的结构中起着重要的作用，而同余的研究就是为了弄 清半群的内部结构和同态象本节主要从中心完全正则半群内部元素之间的格林关 系和核的角度来研究同余 弓l 理2 1 ( 【1 】，弓i 理i i 2 3 ) 令s 绷，a l ，a 2 ，a n s 知l ( a l a 2 口n ) - 1 = ( 0 1 a 2 口n ) o n 二l ( o n a l a n - 1 ) o a 一- 11 ( 一1 a n a l a n 一2 ) o 8 f l ( 0 1 a 2 o t l ) o 特别地。 ( 0 6 ) 一1 = ( 0 6 ) o b 一1 ( 6 0 ) o a 一1 ( 0 6 ) o 引理2 2 ( 【1 】，引理i i 6 1 ) 令s 够纺则a c ( s ) 当且仅当a - 1 c ( s ) 证明令a c ( s ) 则关于某些e e ( s ) ，i = 1 ，2 ，佗有a = e l e 2 e 。 由于任意幂等元的逆元都等于它自身，根据引理2 1 有a - 1 c ( s ) 口 引理2 3 ( 【1 】，推论i i 4 3 ( i i ) ) 令s = ( y ；& ) ，a & ，b 品，其中a 卢则 a2b a 。a 铙a b 引理2 4 ( 【l 】，引理i i 3 6 ) 令s 够纺，a ，b s 则 俐oa eb 譬冷a = a b o ，b = b a o ； ( i i ) a 留b 错a = b o a b = a o b 引理2 5 ( 【1 】，引理i i 6 4 ( i i i ) ) 令s 够纺则关于所有e e ( s ) ，c ( s ) nh e 均包含在也的中心里 引理2 6 ( 2 】，引理i i 4 6 ) 令s 够勿，p 是s 上一同余如果口i p 是s p 中 一幂等元，那么存在幂等元e s 使得a p = e p 引理2 7 ( 【1 】，引理i i i 1 1 ( i i ) ) 令s 为一完全单半群则关于任意a ，z ，b s ， 都有( a z b ) o = ( 0 6 ) o 7 西南大学硕士学位论文中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 命题2 1 令s 够留够则 p 一= ( o ，b ) s sl 扩= 6 0 ，a b 一1 c ( s ) 是s 上最小纯正同余 证明首先证明p 一为s 上一等价关系自反性显然成立关于任意a ，b ，c s ，若 ( a ，b ) p 一，则有b o = a 0 ，由于s 的每个澎一类都是个群，( 6 0 - 1 ) - 1 = a b 1 c ( s ) 根据引理2 2 ，( b ，a ) p 一若( a ，6 ) ，( b ，c ) p 一，则a o = b o = c o 且0 6 ，b c 以c ( s ) 暗示了a c _ 1 = a b o c 以= a b _ 1 b c - 1 c ( s ) ，故( a ，c ) p 一 接下来，我们证明p 是右相容的令a ，b ，c s 满足( a ，b ) p 口则由。乡鳓 且澎为一同余，有a c 澎b c 进一步有 口c ( 6 c ) 一= a b o c ( b c ) = 0 6 1 6 c ( 6 c ) = a b 一1 ( 6 c ) o 由于a b - 1 c ( s ) ，所以( a c ，b c ) p 一对偶地也可以证明p 一是左相容的，故p 口是 s 上一同余 关于任意，e ( s ) ，都有( e f ) p 秽( e s ) o ，根据引理2 6 e ( s p 口) 是s p 秽的 子半群，从而p 一是s 上一纯正同余 令p 为s 上任意纯正同余，a ，b s 满足ap ob 则有a o = b o ，a b - 1 c ( s ) 和 ( 0 6 - 1 ) o = b o 因此a b 。p c ( s p ) = e ( 酬j d ) ，且有 a = a a o = a b o = ( a b _ 1 b ) p ( a b - 1 ) o b = b ， 即肋p ，从而证明了p o 是s 上最小纯正同余 引理2 8 ( 【1 】，引理i v 2 4 ( v i ) ) 令s 夕够则澎= 勿 命题2 2 令s 够则 以留= ( o ，b ) s sin 9 6 ，a b 一1 c ( s ) 是s 上最小c t i f f o r d 半群同余 8 口 西南大学硕士学位论文中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 证明首先，证明如曾为s 上一等价关系自反性显然成立关于任意a ，b ，c s ， 若( a ，b ) 如可，那么 ( b a 1 ) = ( b a 。1 ) o a ( a _ 1 6 ) o b - 1 ( h a 以) o ( 据引理2 1 ) = ( b a - 1 ) o 口( ( 沈- 1 ) o o ) o ( o - 1 6 ) o b _ 1 ( 阮- 1 ) o = ( b a - 1 ) o a b 一1 ( ( 沈- 1 ) o o ) o ( n - 1 6 ) o ( 乩- 1 ) o ( 由于( b a _ 1 ) o o 形( ( 比。) o o ) 9 ) ( 据引理2 7 ，( ( 阮- 1 ) o 凸) o ( o _ 1 6 ) o 乡鳓_ 1 和引理2 5 ) 由引理2 2 及a b _ 1 c ( s ) ，有b a - 1 c ( s ) 因此( b ，a ) p y 管若( a ，6 ) ，( b ，c ) p 管， 则。勿6 勿c 且 ( a c - 1 ) = ( a c - 1 ) o c ( c _ 1 0 ) o a 。( a c _ 1 ) o ( 据引理2 1 ) = ( a b o c 一1 ) o c ( c 一1 口) o a 一1 ( a b o c 一1 ) o( 据弓l 】蟹2 7 ，a c 一1 形a b o c 一1 ) = ( a b o c _ 1 ) 。1 ( a b o c _ 1 ) c ( c - 1 口) o a 。1 ( a b o c 。1 ) ( 口6 0 c - 1 ) _ 1 = ( a b o c 一1 ) 一1 a b o c o ( c 一1 0 ) o a o b o c 一1 ( a b o c 一1 ) 一1 = ( a b o c 一1 ) 一1 a b o ( c 一1 口) o b o c 一1 ( a b o c 一1 ) 一1 = ( a b o c _ 1 ) _ 1 a b - 1 b b o ( c _ 1 0 ) o b o c - 1 ( 0 6 0 c _ 1 ) - 1 = ( a b o c _ 1 ) 。口6 以6 0 ( c 。o ) o b o b c 1 ( a b o c q ) _ 1 ( 据引理2 7 ，雠6 0 ( c _ 1 口) o b o 和引理2 5 ) = ( a b o c 一1 ) 一1 a b 一1 ( c 一1 口) o b c 一1 ( a b o c 一1 ) 一1 根据引理2 2 及a b o c 一1 = 口6 - 1 b c _ 1 c ( s ) ，有a c _ 1 c ( s ) 故( a ，c ) p 曾 下证移管为右相容的令a ，b ，c s 且( a ，b ) p 曾则 ( o c ( 6 c ) - 1 ) _ 1 = ( n c ( 6 c ) _ 1 ) 0 6 c ( ( 6 c ) _ 1 a c ) o c - 1 ( c ( 6 c ) - 1 n ) o a _ 1 ( o c ( 6 c ) - 1 ) o ( 据引理2 1 ) = ( o c ( 6 c ) _ 1 ) o 删o ( ( 6 c ) _ 1 0 c ) o c _ 1 ( c ( 6 c ) _ 1 n ) o a q ( 口c ) o ( a c ( b c ) - 1 ) o ( 由于a c 叨( a c ( b c ) _ 1 ) o 和引理2 4 ) = ( o c ( 6 c ) 1 ) o b c c - 1 ( c ( 6 c ) 1 0 ) o a _ 1 ( 口c ) o c 0 ( ( 6 c ) - 1 n c ) o ( o c ( 6 c ) 一1 ) o 9 西南大学硕士学位论文中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 ( 据引理2 7 ，c 0 ( ( 6 c ) - 1 口c ) o 掰c - 1 ( c ( 6 c ) _ 1 n ) o a - 1 ( o c ) o 和引理2 5 ) = ( 口c ( 6 c ) - 1 ) 0 6 ( c ( 6 c ) _ 1 n ) o a 一1 ( n c ) o ( ( 6 c ) - 1 n c ) o ( o c ( 6 c ) _ 1 ) o = ( o c ( 6 c ) _ 1 ) o b ( a o c ( 蚴。6 ) o ( c ( 6 c ) - 1 口) o a _ 1 ( o c ) o ( ( 6 c ) - 1 0 c ) o ( a c ( b c ) _ 1 ) o ( 由于( o c ( 6 c ) _ 1 ) 0 6 髟( a o c ( 6 c ) 以6 ) o 和引理2 4 ) = ( o c ( 6 c ) 一1 ) o b ( a o c ( 蚴一1 6 ) o ( c ( 6 c ) 一1 n ) o ( 口一1 ( 口c ) o ) o a _ 1 ( n c ) o ( ( 6 c ) - 1 0 c ) o ( a c ( b c ) - 1 ) o ( 由于( a - 1 ( o c ) o ) o 乡纩o - 1 ( 口c ) o ) = ( n c ( 6 c ) - 1 ) o b a - 1 ( n c ) o ( o o c ( 6 c ) - 1 6 ) o ( c ( 6 c ) 以口) o ( 口_ 1 ( o c ) o ) o ( ( 6 c ) - 1 n c ) o ( a c ( b c ) 1 ) o ( 据引理2 7 ，( a o c ( b c ) _ 1 6 ) o ( c ( 6 c ) 一1 口) o ( 口一1 ( 口c ) o ) o 篪9 0 - 1 ( n c ) o 和引理2 5 ) 根据引理2 2 以及b a _ 1 c ( s ) 有a c ( b c ) _ 1 c ( s ) ，从而( a c ，b c ) p y 留对偶地容 易证明p y 够为左相容的，故如留是一同余 关于任意a s ，e e ( s ) ，均有a e 叨e a 且 a e ( e a ) 一1 = ( a e ) o 口e ( e o ) 一1 = ( o e ) o e o ( e 口) 一1 = ( 口e ) o ( e o ) o ， 由此推出( a e ) p y 留( e o ) 因此在纠p y 管中幂等元属于中心，故p y 留是一c l i f f o r d 同 余 令p 是s 上任一c l i f f o r d 同余，且关于a ，b s 满足ap 曾b 则a 勿b 且 a b 。c ( s ) 因此a p9 6p 通过引理2 8 ，a p 形b p a p = ( o o o ) p = ( o j d ) ( o o p ) = ( n p ) ( 6 p p ) = ( a b o ) p = ( ( a b 一1 ) 6 ) p = ( 曲_ 1 ) o b p ( e ( s p ) 是s p 的子半群) = b ( a b _ 1 ) o p ( s p 是一c l i f f o r d 子半群) = b p ( b 2 f ( a b - 1 ) 和引理2 4 ) 因此p y 管p ，p y 留是s 上最小c l i f f o r d 同余 口 命题2 3 令s 够则( 澎n 以曾) + 是s 上最小纯正同余 证明关于任意e ，e ( s ) ，显然有e ，( 纩n 纷管) ( e 厂) o ，则e f ( 澎n p 曹) 。( e ，) o ， 因此e ( 酬( 纩n 如曹) + ) 是纠( 乡汐n 纷曹) 的一个子半群，且( 乡汐n 以曹) + 是s 上 纯正同余 】0 西南大学硕士学位论文中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 和 令p 为s 上任- - 纯z e n 余，a ，b s 满足n ( 澎n p ，可) 6 则有a o = b o ，ap y gb a p = a a o p = a b o p = a b b p = ( a b 。1 ) o b p = 6 0 b p = b p 故乡纩n 以管sp ，则( 乡纩np g ) p 从而( 形n 以g ) + 为s 上最小纯正同余 口 记号2 1 记所有格林关系留为同余的完全正则半群类为露+ 引理2 9 令s 够叨则 留+ = x y a = ( x y x a ) o x y a 证明令s 留4 ，a ，x ，y s 总有z 可勿x y x 成立，暗示了x y a 曰x y x a ，因 此x y a = ( x y x a ) o x y a 相反地，若s 【x y a = ( x y x a ) o x y a 令a ，b ，c s 满足b 留c 设x = b - 1 c ，y = c - - 1 b 2 则可推出x y = b ，x y x = c 通过假设b a = ( c a ) o b a 对称的有乩留c a 故贸 为一右同余由于刀显然为一左同余，从而s 露+ 得证 口 引理2 1 0 ( 【1 】，引理v 1 2 ) 令s 为带，则s 为一左正则带当且仅当历= e 命题2 4 令s 够n 贸。则 p g 鲤矿= ( o ，b ) s sio 留6 ，a b 一1 g ( s ) ) 是s 上最小左正则纯正同余 证明首先证明p 2 田一为s 上一等价关系自反性显然成立关于任意a ，b ，c s ， 若( a ，b ) 如田一，则 ( b a 一1 ) 一1 = ( b a 一1 ) o a ( a 一1 6 ) o b 一1 ( 乩一1 ) o ( 据引理2 1 ) = ( b a 一1 ) o n ( ( 沈_ 1 ) o 口) o ( o _ 1 6 ) o b - 1 ( 6 0 - 1 ) o ( ( k _ 1 ) o 口浇9 ( ( 沈_ 1 ) o 口) o ) = ( b a 一1 ) o a b 一1 ( ( k 一1 ) o 口) o ( 口一1 6 ) o ( 6 0 一1 ) o ( 据引理2 7 ，( ( b a 。) o n ) o ( n _ 1 6 ) 0 3 e b 一1 和引理2 5 ) 】1 西南大学硕士学位论文中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 根据引理2 2 及a b - 1 c ( s ) ，有b a - 1 c ( s ) 因此( b ，a ) 艮田一若( a ，b ) ，( b ，c ) p 望霪d ，醚a 绕b 现c 鱼 ( a c _ 1 ) = ( a c , - 1 ) o c ( c - 1 口) o a 以( o c - 1 ) o ( 据引理2 1 ) = ( a b o c 一1 ) o c ( c 一1 口) o a 一1 ( a b o c 一1 ) o( 据引理2 7 及a c _ 1 3 9 口a b o c - 1 ) = ( a b o c _ 1 ) - 1 ( a b o c _ 1 ) c ( c _ 1 0 ) o a - 1 ( a b o c - 1 ) ( 口6 0 c - 1 ) _ 1 = ( a b o c 一1 ) 一1 a b o c o ( c 一1 n ) o a o b o c 一1 ( a b o c 一1 ) 一1 = ( a b o c 一1 ) 一1 a b o ( c 一1 口) o b o c 一1 ( a b o c 一1 ) 一1 = ( a b o c 。1 ) - 1 a b 。1 b b o ( c 。1 n ) 0 6 0 c _ 1 ( a b o c 。1 ) 。 = ( a b o c _ 1 ) - 1 a b _ 1 6 0 ( c _ 1 0 ) o b o b c _ 1 ( 0 6 0 c _ 1 ) - 1 ( 据引理2 7 ，6 澎6 0 ( c _ 1 口) o b o 和引理2 5 ) = ( a b o c 一1 ) 一1 a b 一1 ( c 一1 0 ) o b c 一1 ( a b o c 一1 ) 一1 根据引理2 2 及a b o c 一1 = a b 一1 b c 一1c ( s ) ，有a c 一1 c ( s ) 因此( a ，c ) 如田口 下证p 为右相容的令a ，b ，c s 满足( a ，b ) p 譬留秽，则 ( o c ( 6 c ) q ) _ 1 = ( 口c ( 6 c ) - 1 ) o b e ( ( b c ) _ 1 0 c ) o c - 1 ( c ( 6 c ) 1 n ) o a - 1 ( a c ( b c ) 。) o ( 据引理2 1 ) = ( o c ( 6 c ) 一1 ) 0 6 c c 0 ( ( 6 c ) 一1 a c ) o c 一1 ( c ( 6 c ) 一1 0 ) o a _ 1 ( 口c ) o ( a c ( b c ) 一1 ) o ( n c 纺( 口c ( 6 c ) - 1 ) o 和引理2 4 ) = ( o c ( 6 c ) 一1 ) o b c c 。( c ( 6 c ) q o ) o o - 1 ( 口c ) o c 0 ( ( 6 c ) _ 1 口c ) o ( 口c ( 沈) 一1 ) o ( 据引理2 7 ，c o ( ( 6 c ) _ 1 n c ) o 沈c _ 1 ( c ( 6 c ) _ 1 0 ) o a 。( o c ) o 和引理2 5 ) = ( n c ( 6 c ) q ) 0 6 ( c ( 6 c ) 一1 a ) o a - 1 ( o c ) o ( ( 6 c ) _ 1 0 c ) o ( o c ( 6 c ) _ 1 ) o = ( o c ( 6 c ) _ 1 ) 0 6 ( n o c ( 6 c ) _ 1 6 ) o ( c ( 6 c ) _ 1 0 ) o a _ 1 ( o c ) o ( ( 6 c ) _ 1 0 c ) o ( o c ( 6 c ) _ 1 ) o ( ( a c ( b c ) - 1 ) 0 6 髟( o o c ( 6 c ) - 1 6 ) o 和引理2 4 ) = ( 口c ( 6 c ) - 1 ) o b ( a o c ( b c ) _ 1 6 ) o ( c ( 6 c ) - 1 0 ) oa _ 1 ( 口c ) o ) o a _ 1 ( 口c ) o ( ( 6 c ) - 1 0 c ) o ( n c ( 6 c ) - 1 ) o ( ( a - i ( 口c ) o ) o 形口_ 1 ( n c ) o 1 2 西南大学硕士学位论文 中心完全正则半群上某些最小同余的刻画 = ( o c ( 6 c ) - 1 ) o b a - 1 ( 口c ) o ( o o c ( 6 c ) - 1 6 ) o ( c ( 6 c ) _ 1 口) o ( n _ 1 ( o c ) o ) o ( ( 6 c ) - 1 a c ) o ( a c ( b c ) 。1 ) o ( 据引理2 7 ( a o c ( b c ) 一1 6 ) o ( c ( 6 c ) 一1 口) o 一1 ( 口c ) o ) o 乡纩n 。( n c ) o 和引理2 5 ) 根据引理2 2 及b a - 1 c ( s ) 有o c ( 6 c ) - 1 c ( s ) ，从而( a c ，b c ) 儿田口对偶地容易 证明如露一为左相容的，故p p 田一是一同余 令e ，f e ( s ) ，显然有( e f ) 勿( e f e f ) 和e f ( e f e f ) - 1 c ( s ) ，因此( e ，) p ? 癣一( e f e f ) ， 即e ( 酬如姥一) 是纠如曰一的一子半群同理，( e ，) 如露一( e f e ) ，从而e ( 纠如露口) 是 一个左正则带p 卫魔口是s 上左正则纯正同余 令p 为s 上任一左正则纯正同余，a ，b s 满足ap 皇贾一b 则a 历b ， a b 一1 c ( s ) 从而a o 勿b o 因此a o p 勿b o p 既然e ( s p ) 为一左正则带，根据引理 2 1 0 ，有a o p = b o p 和a b - 1 p e ( s p ) 故 a p = a a o p = a b o p = a b b p = ( a b 。) o b p = b o b p = b p 这样如露一p 这就证明了如露一是s 上最小左正则纯正同余 口 命题2 5 令s 够则( 历n 如曾) + 是s 上最小左正则纯正同余 证明类似于命题2 3 的证明我们可以直接得出e ( s ( 勿np y 俘) ) 是s ( 勿n j 口y 留) 一子半群关于任意e ，厂e ( s ) ，显然有e ，( 勿n 以曾) e r e 从而e ( 澎n 以粤) + e y e ，暗示了e ( s ( 勿i 1 以管) + ) 为一左正则带( 历n 以留) + 为s 上左正则纯 正同余 令p 为s 上任一左正则纯正同余，a ，b s 满足a ( 勿np 留) b 则a 勿b ， a b 一1 c ( s ) ，因此0 0 历b o ，从而a o p 砑b o p 既然e ( s p ) 为一左正则带，根据引理 2 1 0 有a o p = b o p ，口6 _ 1 p e ( 驯，) 故 a p = a a o p = a b o p = n 6 b p = ( a b 一1 ) o b p = b o b p = b p 因