（基础数学专业论文）一类weyl型单李超代数.pdf

摘要 李超代数的研究主要分三个方面，分别是结构，分类和表示单李超代数是研究李 超代数结构的一个重要方面本文主要围绕模李超代数的结构做了一些工作 在任意特征域上，从 ( 2 ，2 ) 和它的特殊导子的子空间的多项式代数出发，构造了一 类w j y l 型结合趣代数和一类w 酎l 型李超代数，进而给出并证明了它们为单的充要条 件 本文的具体内容包括以下几个方面z 第一章绪论介绍了单李超代数的研究背景，发展概况，最新成果，及其本文要研 究的内容 第二章相关知识简介：主要介绍本文将要用到的数学基本概念和定理，给出了单李 超代数方面的经典结果：构造四类c a t b n 型单李超代数的方法，及证明是单的基本方法 第三章现阶段的最新成果t 主要介绍了现阶段构造出的互不同构的单李代数，单李 超代数，从面搽究出他们构造的方法，及其所给出的单性条件及证明方法。 第四章类w 啊型单李超代数；由单李代数和单李超代数的构造方法得到启发， 尤其是苏育才和赵开明构造w j y l 型单李代数方法的启发，构造了一类w e y l 型李超代数 和w 西l 型结合超代数，并给出了它们是单的充要条件及证明方法 关键词：单李代数i 单挛趣代数；单结合超代数；c 吼a n 磐幞拳超代数，超交换 a b 8 t r a c t l i e8 u p e r a l g e b r 够d e 8 lm a i l l i yw i t ht h r e eq u 糟t i o n 8 ：d 8 船m c a t i o n ，r e p r e n t a t i o na n d 8 t r u c t t l r e s i m p l el i e8 u p e r 吐唔b r 勰8 r et h ei m p o r t 诚p 8 r to f 也ec o n g 垤u c 垃o n 乞h e o r e 瑚 0 f “e8 u p e r 舡g e b r 鹪t h i sp a p e r 昏v e ss o m er 鹊1 1 1 t si n0 r d e rt o8 0 ht h e8 t r u c t u r eo f m o d u l 8 rl i es u p e r 柚由r a 8 o v e r 且五e l do f8 r b i t r a r yc h 8 r 8 c t e r i s t i c ，w ec o 璐t r u c tac 1 8 册o f8 船o c i a t i 、，e8 u p e r “ g e b r 8 so fw b y l 勺，p e 雠dac l 嘲o fl i e 蚍p e r a l g e b r 鹕o fw b y lt y p ef r o m ( 2 ，2 ) a n dt h e p o l y n o m i a 】面g e b r ao f 位屺8 p e c i a ld e r a 卅北i o n8 d b a l g e b r 8o fi t i na d d i t i o n ，w ep r a 、艳t h a t t h e8 衄c i e ta n dn e c e 鹋哪7c o n d i t i o n bo ft h e8 i m p l i c i 哆o ft h e8 s s o c i a t i v ea n dt h el i e 8 u p e r a l g e b r t h ec o n c r e t ec o l l t e n t 8o ft h i st h e 8 i sa r el i s t e da 8f b u o 啊s ： c h a p t e r1 i 8d e v o t e dt oi n t r o d u c et h ec o n t e ) 乞o fr 髑e a r c h ，g e n e r a ld e v e l o p m e n ta d t h e1 8 t e s tr e s 山t 80 ft h et h o e r y0 fs i m p l el i e8 u p e r 柚驴b r 舾a 丑dt h ep r o b l e m st h b t 耐u b e8 t u d i e di nt h i 8p 印e ra r ep r e 8 e n t e d i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m ee 雠n t i a ld 蜘t i o n sa n dp r e l i m i n 8 r yt h e o r e m s 件 l 曲e dt ot h i 8t h e s i sa n dt h ec l 船s i c a lr e s l l l t 8o fs i m p l el i es u p e r a l g e b r 踮，w h i c hi st h e w 姆o fc o n 8 t “c t 主n g 也ef o c 1 8 s 8 e 8o fl 主eb u p e r 8 l g e b r 粥o c a 疏旺t y p ea n dw o v i n gt h e s i m p l i c i t yo ft h 眦 i nc h 印t e r3 ，w ei n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o no f8 i m p l el i ea i g e b r 鹅8 n d8 i m p l el k8 u - p e r a l g e b r 8 8w h i d ha r en o ti 8 0 邛l o r p h i s i ct oe a c ho t h e r w bo b r v et h ew a yo fc o n b t r u c t i o n ， t h es 砸c i e n ta n d e c e 日s a r yc o n d i t i o i l sa 丑dt h ep r c 哦n gm e t h o d 8 ， 1 nc h a p t e r4 ，f r o mt h ew a yo ft h ec o n 8 t r u c t i o n0 f 曲豇p l el i ea l g e b r 腿d8 i m p l e “e 日u p e r 础g e b r 曲i n t r o d u c e da b o v e ，p e d 8 1 1 yt h ew 8 yo ft h ec o n 8 t r u c t i o nw h i c h 硼88 d o p t e d b ys um l c 8 i8 n dz h 8 0k 8 i m i a g ，w ec d 璐t r u c tac l a 鹧o fs i m p l el i e8 u p 汀缸孽e b r ao fw 毋l t y p e8 n d8 i m p l e 鹪s o c i b t i v e8 u p e r 址g e b r ao fw 匆1t y p e ，a n dp r o v et h e8 i m p l i c i t yo ft h e m k e ) r ，0 r d 8 ： t h es i m p l el i ea l g e b r a ；t h e8 i m p l el i e8 u p e r a l g e b r a ；t h e s i m p l e 鼬s o c i a t i v es u p e r a l g e b r a ；t h em o d u l 盯l i es n p e r a l g e b r ao fc ：a r t 蛆t y p e ； s u p e r c o m m l l t 8 t i v e 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名；拗日期；纽：2 二壅型窭燮丛 犬连理工大学学位论文舨收使期授权书 本学位论文作者及指导敖廊完全了解。大连理工大学硬士、博士学位论文版权使用规定- ， 同意大连理工大学保留并f 句嚣索有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查闻和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入看 关数据摩进行检索，也可采用影印、缩印或扫措等复制手段保存和汇编学位论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文曩于 不保密日 ( 请在以上方框内打”，) 作者签名；盔琏 指导教师签名；j i ：越 趁“年耳卫日 1 绪论 1 1 引言 李代数是代数学的重要分支，起源于1 9 世纪末，挪威数学家l i e 在研究偏微分方程 组解的积分曲线时，发现了无穷小变换群( 即现代的局部李群) 以及无穷小变换群的李 代数此后，他的学生e n g e l f 等人致力于李代数的研究 李代数有3 个较大的研究方向：特征零有限维李代数，素特征李代数以及k a c m o o d y 及其它无限维李代数对于特征零域上的李代数，研究成果已经丰富 1 9 3 7 年，e w i t t 发现了非典型的单李代数从而开始了模李代数的研究。特别是对 特征p 的单李代数的研究，最初是由j 8 c o b n ，z 8 8 n b m l 8 ，w i t t 以及张禾珊开始的 到目前为止，模李代数的发展已有了7 0 多年的历史，并且近3 0 年来，取得了突破性的 进展 1 9 8 7 年，美国数学家r e b l o 出和r l w i k 跳给出了有限维限制单李代数的分类； 即特征p 7 的代数闭域上的有限维限捌单李代数或者是典蛩的或者是c a t 曲型的这 一个分类定理使我们对限制单李代敷的结构有了个完整的了解，所以这是素特征李代 数研究的一个重大突破 随后。经过许多数学家的努力，特别是h 8 乇r a d e 的杰出工作，最终于1 9 8 9 年完成 了特征数大于7 的代数闭域上单的有限维李代数的分类t 典型李代数或者a 吼啦型牵 代数 在物理学中，为了建立耜对论的费米子与玻色子的统一理论，1 9 7 4 年w i 硝和 z u i n i n o 提出了超对称性，将普通时空满足的p 啊，l 彻a 李代数( 即非奇次l o 嗽l 屯g 代数) 扩充为超p 洲n 砣代数于是将有骰个不同内部量子数的玻色子与费米子放在李超代 数的一个不可约表示中，从此拉开了李超代数研究的序幕 李超代数的研究主要分三个方面，它缸分剐是结掬。分类和表示1 9 7 7 年，v g k 8 c 给出了特征零域上李超代数的分类模李超代效的研究是近十几年才开始的，结论 尚少到目前为止，模李超代数的分类仍然是一个公开柏阅题 著名的数学家v g k 8 c 是李超代数理论的奠基人之一他最重要的贡献是1 9 7 7 一类w j y l 型单李超代数 年给出了特征零域上的有限维单李超代数的分类特征零域上有限维单李超代数分为经 典李超代数和c a r t 8 n 李超代数两大类 单李超代数的伴随表示如果是完全可约的或不可约的，则称为经典的，否则成为 c a r t a n 型的根据k i u i g 型是否为零即伴睫表示是否可约，经典李超代数又分为基本 经典李超代数和奇异李超代数两种基本经典李超代数有以下四个系列和三个例夕p 李超 代数t ( 1 ) a ( m ，n ) = 印f ( m + 1 ，n + 1 ) ，m n ，m ，n ，0 a ( 几，n ) = 声p z ( n + 1 ，n + 1 ) e b 。+ 2 ，n o ( 2 ) b ( m ，扎) = d 印( 2 m + 1 ，2 札) ，m o ，佗o ( 3 ) g ( n ) = o 印( 2 ，2 礼一2 ) ，n 2 ( 4 ) d ( m ，n ) 嚣d 印( 2 m ，2 礼) ，m 2 ，n o ( 5 ) f ( 4 ) = r 3 ( 6 ) g ( 3 ) = r 2 ( 7 ) d ( 2 ，2 ，o ) = r ( 口l ，o r 2 ，o ) 奇异李超代数有以下两个系列， ( 1 ) p ( n ) = 6 加+ 1 ) ( 2 ) q ( 礼) = 0 易。+ 2 ，乱2 利用可迁滤过及诱导阶化李超代数，将c a r t a n 型李超代数分为以下四个系列- w ( ) ，s ( n ) ，珂( 札) ，) 另外，k b l m 鹏璐，l b l i e 珊和n b a d 【h o u 舱分别对2 维和 4 维李超代数进行了分类；m p 8 岛【e r 给出了经典实单李超代数的分类 1 9 9 7 年，张永正教授构造了素特征域上无限维c 8 r t 蛆型事超代数，进丽定义了有 限维广义c a r t a n 型李超代数，并且给出了有限维单李超代数分类的一个猜想一即犄征 p 7 时，除李代数外。在同构的意义下。f 上任一有限维单李超代数或为经典的或 为严格，g 8 r 咖璺的，或为广义c a n m 型的广义c 8 n 啮型的李超代数分为四类t 即 w ，s ，h ，k 目前模李超代数的研究仍处于前期的发展阶段，研究结果较少。因为非模李超代数 与模孪超代数的差别在于e a r t 蛆型代数，所以我们主要讨论c b r 七啦型模李超代数本 文在c 8 r t a n 塑模李超代数的基础上构造了类单李超代数 1 2 课题研究的背景及本文研究的内容 李超代数在数学和物理学领域稀有显著的发展基于其在物理学上的重要应用，李 超代数的研究领域仍需拓广特征零域上李趣代数的研究已经取得了丰硕的成果，而素 2 大连理工大学硕士学位论文 特征域上的李超代数( 即模李超代数) 的研究是近十几年才开始的，结论尚少因此现阶 段对模李超代数的研究显然具有重要意义，特别地，有限维单模李超代数的分类仍是没 有解决的公开问题正如模李代数的情形，c a r t a n 型模李超代数将在有限维单模李超代 数的分类工作中占有中心位置 张永正教授构造了索特征域上无限维e u t a n 型李超代数。进而定义了有限维c a r t a n 型模李超代数，并且证明了他们的单性n k 8 w 嘲o t o 介绍了新的广义僦型单李代 数，通过把若干个未定元的多项式代数变成的加 基乎群的群代数，并且考虑了阶化算子 生成的导子构成的李子代数他的工作是对有限维c a r t 8 n 型模李超代数的推广刘文德 发现一族新的有限维c a r t 8 n 型单模李超代数，即奇h m m t o n 模李超代数一般说来， 它们既不对偶于有限维单模李代数，也不对偶于特征零域上有限维单李超代数这从一 个侧面说明，有限维单模李超代效的分类不会是平凡的苏育才和赵开明从任意特征域 有单位元的交换结合代数和它的交换导子构成的子空间出发，构造了w e y l 型结合代数 和w j y l 型李代数，并且证明了他们的单性 本文在c 口t 蛆型模李超代数的基础上构造了一类单李超代数在本文中，我们从有 单位元的超交换的结合超代数 ( 2 ，2 ) 和它的特殊导子致 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 构成的子空间d 出发，考虑d 的多项式代数f d 】，构造了w 吲型结合超代数和w 纠型李超代数并 且给出了它们为单的充要条件是 ( 2 ，2 ) 是d - 单的，且f 【d 】在 上的作用是忠实地 3 2 相关的基础知识 2 1 约定 1 ) 如不特别声明本文总假设基域f 的特征数p 2 。关于向量空间，代数或域的其他假 设在需要时再明确给出 2 ) 本文中的结合代数都具有单位元的 3 ) z ，| v ，0 分别表示整数集，非负整数集。自然数集 2 2 基本概念和性质 定义2 2 1 设域f 的特征数是任意的，域f 上的向量空间称作f 上的代数。如果除了 数乘和加法运算外，还有一个乘法运算( 用表示茹与f 的乘积，比，y a ) 并且满足以 下条件； 1 ) 互0 + z ) = z 掣+ z 名，0 + 名) $ j 掣。+ 勰， 2 ) a ( z 口) = ( a z ) f = $ ( a ) ，比，f ，z a ，v f 定义2 2 21 ) 如果代数是域f 上的有限雏线性空间 贝l 称为域f 上的有限维代数 2 ) 如果代数的乘法满足结合律，则称代数为结合代数 3 ) 如果代数的乘法满足交换律。则称代数为交换代数 定义2 2 3 如果代数a 的乘法满足以下条件 ( 1 ) 。2 = 0 ，v z a ， ( 2 ) z ( 2 ) + ( 砧) + z ( 叫) = o ，s ，。a ， 则称代数以为李代数 令f 是任意域令r 是环或历，我们只考虑值在r 中的阶化磊中的元素为 o ，i ) 定义2 24 令矿= o ，e r k 是r - 阶化向量空间如果y 的一个元素 属于嵋，则。被 4 大连理工大学硕士学位论文 称为7 次齐次的当r = 磊时，中的元素称为偶的，砖中的元素称为奇的 定义2 2 5 如果a 是f 上的代数，还是忍阶化子空间，即a 可分解为子空间的直和 a = 且l o a 2 如果a 口4 妄a p ，w ，p 邑，贝4 称a 是f 上的超代效 同样，若超代数a 的乘法满足结合律，则称a 为结合超代数 定义2 2 6 超代数被称为。阶化的，如果有二阶化子空问族( 岛) j e 孑使得 s = o 岛 ，z s s | 冬s j ，i ，j z 定义2 2 7 令a 是r - 阶化结合代数，y 是左小模如果是r 骱化的且 钆日，o ，p r ， 则a 模v 被称为r - 阶化的右( 双) r - 阶化a 模类似定义 定义2 2 8 超代数三= 工6 0 三i 的乘法运算用【 】表示，如果这个乘法满足 【工。，l 口 l 。+ 口，v 口，卢易 f a ，b 】= 一( 一1 ) 4 ( 。) d ( b 【b ，a 】， i a ，旧，q = “a ，b 】，q + ( 一1 ) 。( 。) 。( 6 旧，m ，q 】 则二被稚为李超代数 注t 显然l 的子代数是李代数，l i 是l 6 一模 定义2 2 9 令s = s o o 岛是结合超代数，在z 2 一阶化向量空间s 上定义新乘法【，】使得 阻，捌一a 口一( 一1 ) 8 ( 4 ) 4 ( 日) b a ，a ，b s 这个代数将被表为s 一显然s 一是李超代数， 被称为s 诱导李超代效我智淝熟黼( 矿) 诱导i 盼李超代数记为列( v ) ，称纠( ”为一般 线性李超代数 一 定义2 2 1 0 设a = + 也是f 上的超代数，其中d 剪口) ，其中8 磊如栗 d ( z y ) = d ( z ) + ( 1 ) 州2 ) z d ( 3 ，) ，v z 9 ( a ) ，v 9 a ， 贝9 称d 是a 的次数为口的齐次导子 定义2 2 1 l 令y 是阶化厶模令d 8 r ( 厶) 。，口邑是所有d 目帆( 厶y k 构成的 日。m ( 厶y ) 。的子空间使得 d ( b ，纠) = ( 一1 ) 。8 ( 甸d ( 妒) 一( 一1 ) “+ 曲) ) d ( v d ( 。)z ，管三 5 一类w 匆l 型单车超代效 定义d e r ( 三。) = d e r ( 工。) 50 _ d e r ( 瓦) 1 d e r ( 厶，) 称为二到y 的超导子的李超代数当 y = 工时，d e r ( 厶，) = d e r ( 三) 定义2 2 1 2 设l = o 迮z 厶是z 一阶化李超代数，若对任意的e ，均有缸 厶i k ，三一1 = o 】) = o ，劂称三在此阶化下是可迁的，或者简称l 是可迂的 定义2 2 1 3 设l = o z 厶是z 一阶化李超代数，若l o 模三一l 是不可约的，则称l 在 此阶化下是不可约的，或者简称l 是不可约的 定义2 2 1 4设a ( n ) 是由变元茁l ，现，z 。生成的有1 的f 上的结合代敷，且满足关 系式：戤= 一q 墨，其中i ，j = 1 ，2 ，n ，则称a ( n ) 是具有竹个变元茹l ，。2 ，z 。的 f 上的外代数，令 a ( 扎) 6 = 印a 丑f 1 ，甄1 l t ，1 t 1 ，4 n ，2sr n ，r 是偶数) a ( 扎) i = 8 p a n f 。，。，l1st l ，0 n ，l r 扎，r 是奇数) 则a ( ) = a ( n b o a ( ) i 是f 上的鳍合代数，并称如上的z 2 一阶化为a ( n ) 的自然的磊- 阶化 定义2 2 1 5 设l = l o o 工i 是李超代数，日是l 的子空间，令上如= 日n 岛，v 口玩 若日= 凰。研，则称日是l 的忍一阶化子空间 定义2 2 1 6 若日是工的磊一阶化子空阔，并且日关于l 的【，】运算是封闭的。则称日 为二的子代数设l 是二的z 2 - 阶化子空间，并且对任意。f ，口，均有k ，胡， 则称，是三的理想 定义2 2 1 7 若李超代数三只有平凡理想，并且峨脚o ，则称l 是单李超代数 下面再介绍几个重要的结论 命题2 2 1 设，是李超代数l 得理想，则l ：= 扣+ ，iz l ) 关于三的诱导的加 法与数聚是一个z 2 一阶化线性空闻。进而二的f ，j 运算诱导了l ，的个f 1 】运算，使得 l ，是一个李超代数 命趣2 2 2 ( 1 ) 设日是李超代数l = o 三i 的子空间，则日是工的易阶化子空间当且仅当日 中任一元素。均可表为$ = 。o + 。1 ，其中黝凰，p z 2 ( 2 ) 设何，k 是李超代数工= ol i 的忍阶化子空间，则日+ ，日n ，【日，】也是 的阶化子空间 6 大连理工大学硬士学位论文 2 3 四类c a r t a i l 型模李超代数的构造及单性证明 在本节中我们定义四类有限维c 8 r t 蛩摸李超代数为了定义c a r t a 型模李超代 数，我们需要引入外代数的导子超代数自由基为此，首先定义f 一自由代数的定义 考察字母- ，已，矗作成的一切代表元 6 。矗，- 6 m ，v m ，1 s t l ，t 2 ，- 一，i m n 设天( n ) 是由这些形式元为基底张成的上f 一的线性空间在五( n ) 的基底上如下规定乘 法表； ( 6 ，6 ，1 ) ( 6 ，白。白。) = 6 ，缸矗。白，6 。6 。 利用a ( ) 的基底上如下规定乘法表可以定义的一个关于加法分配的乘法，使得五( n ) 是 f 一上的结合代数我们五( n ) 称为交换未定元f l ，6 ，矗生成的自由代数显然， d 婚= i ) ，( = 1 ，2 ，n ) 定义了五( 竹) 的一个邑阶化，使得是五( n ) 一个结合超代数 2 3 1 w ( m ，n ，t ) 的构造 首先设 s = 矗白+ 6 矗k j = = l ，2 ，n 显然s s 五( n ) o 的( 五( n ) ) 设j 是由s 生成的理想 引理2 3 1 1 设q 9 ( ( ) ) ，则q 白一( 一1 ) 武口白q ，其中j = 1 ，2 ，一，n 引理2 3 1 2 以下命题成立 1 ) 任取约，砘，砘，五( n ) 口 d ( 6 ) = 盈，e = l ，2 ，一， 2 ) 任取f l ，讹，蜘，a m b d ( = 玑，e = 1 ，2 ，n 其中口邑，则存在d d e i ( 五( 礼) ) ，使得 其中口z 2 ，刚存在d d e + l ( 五( n ) ) ，使得 3 ) 任取玑，讹，珈，a ( 佗) 日，则存在d d e r ( a ( n ) ) ，使得d 幅) = 玑， = 1 ，2 ，n 引理2 3 1 _ 3d e r ( a m ) ) = 冬l 矾a l 弘a ( n ) ，i = 1 ，2 ，3 ，一，伯) 设f 是特征p 2 的域设s = m + n ，其中m 与n 是大于1 的正整数令和 0 分别表示正整数和非负整数若口= ( 口1 j 一，n 。) 坩，p = 池，风) 矿，令 7 类、v e 叭型单李超代数 ( 。：卢)= 最( 。紫) 设= ( t l ，k ) 设a ( m ，n ，t ) 是| 具有生成元 嚣( 。io 啦p 一l ，a e 矿) u le = m + l ，s 与定义关系 z c a ，z c 所= ( n ：p ) 。t 口邮，； $ ( 。) 霉= z z ( 。) ； z i 刃，= z j 筇 生成的f 一代数，其中a ，卢小学，t ，j = m + 1 ，s 令毛= ( 民l ，魂2 ，。) 卵俺记z = 矗，t = 1 ，2 ，m 令 n b ( n ) = u 鼠， 其中岛= 0 ) ，县= ( u l ，缸2 ，蛳) | m + 1 l u 2 引理2 3 3 1 设g = 。t 一1g 是z 一酚亿李怒代数，并且g l 0 设j 是g 的非零理 想，若g 是可迁的和不可约的，则g 一， 证明：，n g l 是g 的z 一阶化子空间从而j n g 一1 是g 一1 的z 一阶化子空间，进而可 知，n g 一1 是g l 的g o 子模因为g 是不可约的，所以，n g 一1 = o 或者，n g l = g _ 1 令& = o ；一】g ，一1 若存在极小的非负正整数n ，使得，n g 。o 任取 jn0 。的一个非零元素z ，可设z = ：一1 戤，其中缸g ，由，ng 。一1 = o 知 z 。o 因为囟，g 一1 g 。一1 与k ，g 一1 】，所以陋，g 一1 l jn0 。一l = o 因此 冬一1 鼢，g 一1 】= o 于是函b ，g 1 = o 由此得k ，g l 】= o ，t = o ，1 ，n 特 别的，g 一1 = 0 此与g 的可迁性矛盾，所以j n g l 0 故j n g l = g 一从而 g 一】， 1 3 一类w e y l 型单李超代数 定理2 3 3 1 是单李超代数 证明任取d = 叁，五d t 1 帆，其中k 0 若 d ，阢1 _ o ，则 ( 一1 ) 碰皿+ 。 。马d ，旺) d = o 扛l 故 功( ，f ) = o ，w y ， 于是 a ( m ，竹，) on a ( m ，n ，d + l v j y ，所以d = o 因此是可迁的 令m 是h ，0 一模肌1 的非零子模设o ：1 i d m ，其中锄f 又设啦o ， 则b b ，：l 啦d d = 一马m 所以功m 任取e y ，则b 皿，马】= 一( 一1 ) 4 ( ( q ) + d ( 皿) ) 4 ( q ) d m 故d m ，y ， 从而m = 肚1 ，所以是不可约的 设j 是的任一非零理想，上面的引理，肌l ，于是d ，v y ( i ) 设嚣( 。) 茹( u ) 马w ，其中j ( a ，u ) = ( 丌，e ) ，e = ，设 q = ( a l ，一，n m ) ，t = ，7 r = ( n ，一，7 r m ) ，e = 令 屈= 一，碥，设口= b ( n ) ，使得 u ) u 和) = h ，t t ) n ) = 0 则 z ( 。) 扩d j = 入( 2 1 ( 础d ) 反) ( ：；l ( o d 功。) ( 。( ”) z 日功) ， 其中 = 1 或一1 因为亿l ，所以上式右边为j 中的元素故o ( 口) z ( u ) 毋， ( i i ) 由( i ) 知，z ”f ，。5 马j ，y 1 ) 所以 霉”茁e 功= 陋1 d l ，。( ”一e 1 ) 嚣f d ，】， 设y 1 ) ，则 。”。刀d l = z 。互e d 女，z 七d 1 】， 所以j = 因此是单李代数 我们用类似的方法，可以证明其他三类c a r t 型李超代数是单的 定理2 3 3 2s ( 仇，佗，) 是单李超代数 定理2 3 3 3 日( m ，n ，) 是单李超代数 定理2 3 3 4 ( m ，n ，至) 是单李超代数 1 4 d 。 3 现阶段单李超代数的发展及趋势 3 1 前言 四类c b r t a 型李代数是从若干个未定元的多项式代数的导子代数和他的保持某些 微分形式的子代数来构造的如何构造新的g 8 n a n 型单李代敢仍是个同题 n k 8 w 眦o t o 介绍了新的广义e 拈型单李代数，通过把若干个未定元的多项式代 数变成的加法子群的群代敷，并且考虑了阶化算子生成的导子梅成的事子代数 0 8 b 又进一步推广了结果，考虑的f 的有限个加法子群的直和和若干十未定元 的多项式代数的张量积同时考虑了阶化算子和降阶化算予生成的导予代数从而构造 了四类新的c a r t a n 型广义单李代敷赵开明通过选取某些子代数扩充了的工作。即向群 内增加了的某些对角元素 刘文德构造了一族新的有限维c a r t 8 n 型单模李趣代数。即奇酬t o n 模李超代 数一般说来，它们既不对偶于有限维单模李代数，也不对偶于特征零域上有限维单李 超代数这从个侧面说明，有限维单模李趣代数的分类不会是平凡的 3 2 单李代数最新的的发展成果 3 2 1 广义溉代数 令 是个交换群，f 是特征敷为。的域t 是域f 上的向量空问。我们甩f a 代表 f 域上的 群代数元素严，$ 构成丁这个代数的一个基f 中的乘积如下定义z t 4 一= 矿+ v ，v 严，e f a 张量积= f f r 是自由左f 且一模我们用a 表示r 的任一元素，为了方 便，我们用萨a 代替尸圆8 下面我们定义个映射： 妒：? _ 哇一f 这个映射在第一个分量上是线形的，在 第二个分量上是保持加法运算的， 第二个分量上是保持加法运算的， 1 5 一类w e y l 型单李超代数 为了书写方便，我们采用下面的记号，均t ，z 4 ，妒( 8 ，茁) = = a ( ) 定义一个线映射性， w _ t 。a ，a 2 = t 2 岫( a ( 9 ) a 2 一a 2 ( 。) 侥) 对比，a ，a ，岛t 可以验证是一个李代数我们称这个李代数口q 做广义缈饿代 数我们用记号( a ，t ，妒) 表示 d z d o b 订c ，赵开明给出了w ( ，置妒) 是单的充分必要，并作了证明 下面我们先介绍彬的一个a 一阶化 令w ：= 尸z 比a ，可以证明它是彬的个阶化并目这个阶化和李代数绪构 是协调的郎对毙，暑，直，( 彬。i 吲w ；押，特剐的。我们有= r 我们称妒的右核是予代数山 且满足 凡= z a l = o ，r 我们称j p 的左核是子空间如t ，且满足 = a r i = o ，v z a ) 我们称妒是非退化的，如果= o ，死= 0 ，且满足 ( 1 ) = 0 ，v a t = z = 0 ( 2 ) = 0 ，帕t 辛a = 0 首先我们有下面的结论 引理3 2 1 1