（基础数学专业论文）一类非线性脉冲积微分方程及其最优控制.pdf

摘要 微分方程作为一种工具在纯理论科学、应用科学、工程技术领域及其他许多 领域都已得到广泛应用。我们知道这些系统的数学模型都可以用微分方程来进行 描述。这些方程可以采取多种多样的形式，比如常微分方程、泛函微分方程、积 分微分方程、偏微分方程等。对于常微分方程的研究已经比较成熟。对于偏微分 方程等的研究，由于其变量的复杂性，研究起来比较困难。因此，我们试图在一 定的条件下，将偏微分方程的问题转化为抽象空间( 如b a n a c h 空间) 中的常微 分方程问题进行研究。这就是半群理论立足的基础。半群研究的对象主要是以时 间为参变量的发展方程的有关问题。比如研究发展方程解的存在性、唯一性、解 对参数的连续依赖性和正则性等。由偏微分方程( 或与常微分方程耦和) 描述的 动态系统( 如热力学及波动传导、化学中的扩散、弹性体的振动、各种场的运动 模型等等) ，再提出使积分型泛函性能指标取极大或极小的条件泛函极值问题( 如 时间，能量，二次型误差最小等等) ，从而产生了分布参数系统的最优控制问题。 有些反映扩散与迁移现象的数学问题，必须用积分方程来解决，例如中子迁移理 论中的一些问题等，从而产生了对积分方程的研究。此外，在对于一些现象的研 究中，比如说人口在受到一些突变的条件如收成影响、疾病原因、移民因素，自 然灾害等，研究人口的变化问题，这时就要考虑到这些突变条件所产生的瞬时扰 动的问题，从而产生了对受控的非线性脉冲发展系统的研究。从前面的阐述可知， 无论是在实际意义上还是在理论上，对于非线性脉冲积微分方程及受控系统的研 究都是有必要和有意义的。 在有限维空间中对于脉冲微分方程的研究，已有丰富的结果。可参阅 v l a k s h m i k a n t h a m ，t a o y a n g 等人的书( 见 3 3 ， 4 ) 及相关的研究论文。例 如可查阅g u o 和l i u 、l i u 和w i l l m s 的论文( 见 7 ， 2 13 ) 。 自从上世纪末，人们开始讨论无限维空间中的脉冲微分方程。特别是a h m e d 讨论了由脉冲微分方程所决定的系统的最优控制问题( 见 1 0 ， 1 1 ) 。x i a n g ， w e i 等人也继续对半线性和强非线性系统及最优控制进行了研究，并取得了一系 列的结果。( 见 1 4 ， 1 5 ， 1 6 ， 1 7 ) 虽然在文献中有大量的文章研究有限维空间和无限维空间中的积微分方程， 但对于带无界算子的非线性脉冲积微分方程特别是最优控制问题并未进行系统 的研究。本论文就是对这样一类积微分方程进行研究。讨论其解的存在唯一性， 更重要的是考虑了由非线性脉冲方程所决定的系统的b o l z a 问题，给出了最优控 制的存在性并导出了最优控制存在的必要条件，这是最优控制理论中核心而又有 相当难度的问题。 本文主要是利用半群理论研究一类受控非线性脉冲积微分方程及其最优控 制问题。 ( 一) 考虑b a n a c h 空间中非线性脉冲积微分方程： f 圣o ) = 舭o ) + f o ，x q ) ，( 6 k ) 0 ) ，t e ( o , t 1 d ( d z ( 0 ) = x o i x ) ；j ；o ) ) ，i ；1 ，2 ，3 一优 其中：d = t 。, t 2 ，厶) ，0 毛 乞 厶 a 是一个一般的c o 半群$ o ) ；f 苫0 ) 的无穷小生成元，g 是一个非线性积分算 子 ( g ) o ) 2 j = 七o ，f 涫o ，z p ) 矽f 且血( ) = x + o ) 一x ( - 0 ) = 缸( t + o ) 一x 瓴) 表示x ( t ) 7 在t i 处的跳跃，五决定 了在时间处的跃度。 我们研究系统( i ) 解的存在唯一性，解的正则性等。给系统( i ) 赋予一定的 条件，比如f 、g 满足局部l i p s c h z 条件及线性增长条件等，我们讨论了该系统 解的存在唯一性，解的正则性。 ( 二) 考虑其对应的受控系统的最优控制问题。 容许控制集： 玑。c 口( ，y ) ，u 。d 是非空，有界，闭和凸的。 状态方程： f 量o ) 一血o ) + f q ，x ( o ，( g 鼙) o ) + b ( t ) u q ) ，t e ( o , r 】d ( i i ) 扛( o ) = x o i a x e ) = j ；o ( ) ) ，i = 1 , 2 ，厅 目标泛函： ， ) 2 j ：2 ( f ，r ( f ) ，o ) ) 以+ 平o 。仃) ) b o l z s 问题( p ) ：找一个u o u o , ，使得v “e g o d ，有 j ( u o ) s j ( u ) 1 研究受控系统( i i ) 解的存在唯一性，解对初值和控制的连续依赖性。 2 研究最优控制的存在性。 3 导出最优控制存在所要满足的必要条件。 对于系统( i i ) ，( 1 ) 我们给出了( i i ) 解的存在唯一性定理。( 2 ) 我们讨 论了( i i ) 解对初值和控制的连续依赖性。( 3 ) 对b o l z a 问题，我们研究了最优 控制的存在性。( 4 ) 我们导出了最优控制存在所要满足的必要条件。这是本文的 一个主要结果。 关键词：半群，巴拿赫空间，积分算子，紧性，最优控制，存在性，必要条件。 中图分类号：0 1 7 5 1 5 ，0 1 7 5 6 ，0 2 3 1 4 ，0 2 3 2 文献标识码： a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gt h es e m i g r o u pt h e o r y , w es t u d yac l a s so fn o n l i n e a r i m p u l s i v ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fs y s t e mg o v - e r n e db yi n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nb a n a c hs p a c e w ea tf i r s ts t u d yan o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sf o l l o w s ： i 圣( t ) = a x ( t ) + f ( t ，。( t ) ，( ) ( t ) ) ，t ( 0 ，明d z ( o ) = x o( 1 ) 【a x ( t i ) = 五( z ( ) ) ，i = 1 ，2 ，m o nab a n a c hs p a c ex w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fm i l ds o l u t i o n ，t h e r e g u l a r i t yp r o p e r t i e s f u r t h e r m o r e ，w et u r nt oc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc o n t r o l l e ds y s t e mg o v e r n e db y i m p u l s i v ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le v o l u t i o ne q u a t i o n s ： i 圣( t ) = a x ( t ) + f ( t ，。( t ) ，( g z ) ( t ) ) + b ( t ) “( t ) ，t ( 0 ，t 】d z ( o ) = ：t o ， ( 2 ) 【a x ( t i ) = 以( z ( 屯) ) ，i = 1 ，2 ，n w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o lf o rb o l z ap r o b l e m ( p ) ：f i n du o d s u c ht h a t j ( 乱o ) s j ( u ) f o ra l l 让观d ， w h e r e ，t j ( 仳) 2 上l ( t ，铲( t ) ，u ( 幻) d t + 霍( 矿( t ) ) 铲d e n o t e st h em i l ds o l u t i o no fs y s t e m ( 2 ) c o r r e s p o n d i n gt ot h ec o n t r o lu 玩d w e a l s os t u d yt h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo ni n i t i a ls t a t e sa n dc o n t r o lf o rt h es y s t e m ( 2 ) ；t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a l i t yw h i c hi st h em a i nr e s u l to ft h i st h e s i sa r e p r e s e n t e d a tl a s t ，w ep r e s e n ta ne x a m p l et od e m o n s t r a t eo u rr e s u l t s k e yw o r d s ：c o s e m i g r o u p ，b a n a c hs p a c e ，i n t e g r a lo p e r a t o r , i m p u l s i v es y s t e m ，g r o n w a l ll e m m a ，m i l ds o l u t i o n ，c o m p a c t n e s s , o p t i m a lc o n t r o l , e x i s t e n c eo f s o l u t i o n ，n e c e s s a wc o n d i t i o n s c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i ti sw e l lk n o w nt h a td i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e nf o u n di nt h es t u d yo f p u r es c i e n c e s ，a p p l i e ds c i e n c e s ，e n g i n e e r i n g ，a n dm a n ya r e a so fs o c i a ls c i e n c e se x - t e n s i v e l y w ek n o wt h a tt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h e s es y s t e m sc a nb ed e s c r i b e d a sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d e p e n d i n go nt h ep r o b l e m ，t h e s ee q u a t i o n sm a yt a k ev a r i o u sf o r m s s u c ha s ：o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， i n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e t c t h es t u d yo fo r - d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e nm a t u r en o w a d a y s a sf a ra st h es t u d yo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fi t sv a r i a b l e s ，i t ss t u d yi s c o m p a r a t i v e l yd i f f i c u l t t h e r e f o r e ，u n d e rb r o a da s s u m p t i o n s ，w et r yt or e f o r m u l a t e t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa st h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so na b s t r a c t s p a c e s ，f o re x a m p l e ，b a n a c hs p a c e s t h i si sw h e r es e m i g r o u pt h e o r yp l a y sac e n t r a l r o l ea n dp r o v i d e sau n i f i e da n dp o w e r f u lt o o lf o rt h es t u d yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s e m i g r o u pt h e o r yc o n c e r n st h es t u d yo fe x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n so np a r a m e t e r sa n dt h e i rr e g u l a r i t yp r o p e r t i e s t h e d y n a m i cs y s t e m ( f o ri n s t a n c e ：h e a tc o n d u c t i o n ，p r o p e r t i e so fe l a s t i cm a t e r i a l ，f l u i d d y n a m i c s ，e t c ) d e s c r i b e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o rc o m b i n a t i o nw i t h o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) a d d st of i n dac o n t r o lp o l i c yt om i n i m i z eo rm a x i - m i z es o m eo b j e c t i v ef u n c t i o n a ls u b j e c tt oad y n a m i cf l a m ew o r k ，t h i si st h eo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m i ns o m ed i f f u s i o nr e a c t i o np r o c e s s e sa n de m i g r a t i o np r o b l e m ，w e n e e du s ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a l i n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ，w ek n o wt h a ti m p u l s i v ec o n d i t i o n sc a nb eu s e dt om o d e l m o r ep h y s i c a lp h e n o m e n at h a nt r a d i t i o n a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m s m a n yi n t e r e s t i n g p h e n o m e n at h a tc a n n o tb em o d e l l e db yt r a d i t i o n a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m sc a nb e d o n eb yi m p u l s i v ec o n d i t i o n s a si sk n o w n ：t h ed y n a m i c so fp o p u l a t i o n ss u b j e c t e d t oa b r u p tc h a n g e sc a u s e db ye p i d e m i c ，h a r v e s t i n go ri m m i g r a t i o n ；i nt h es t u d yo f e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e s ，s u c ha sb e a m s ，s a t e l l i t e sw i t hf l e x i b l ea p p e n d a g e s ，s u s p e n 一 1 2c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n s i o nb r i d g e se t c ；p r e s e n c eo fa n yf o r mi m p a c tf o r c e sa l s on e e da ni m p u l s i v ee v o l u t i o n e q u a t i o n a l lo ft h i sg i v er i s et ot h es t u d yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r a lp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m i m p u l s i v es y s t e m sh a v eb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e do i lf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s t h er e a d e r sc a nc o n s u l tt h er e l a t e db o o k sw r i t t e nb yv l a k s h m i k a n t h a n ，t a o y a n g e t c ( s e e 【3 】 4 】) t h e r e a r ea l s oag r e a td e a lo fp a p e r ss t u d i e ds u c hp r o b l e m s f o r e x a m p l e ，a st ot h eg e n e r a ln o n l i n e a ri m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ： 亩( t ) = a x ( t ) + f ( t ，z ) ) ，t ( 0 ，t ) d z ( o ) = x o a z ( t i ) = 厶( z ( 如) ) ，i = 1 ，2 ，n g u oa n dl i u9 ( s e e 7 ) ，l i ua n dw i l l m s ( s e e 1 7 ) h a v es t u d i e dt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e - n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h es o l u t i o no ro t h e rp r o p e r t i e sr e s p e c t i v e l yo nf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e si nd i f f e r e n tc a s e a sf a ra st h es t u d yo fe v o l u t i o ns y s t e mo ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s ，t h e r e a d e r sa r es u g g e s t e dt oc o n s u l tt h er e l a t e db o o k sw r i t t e nb ya h m e d p a z y , x u n j i n gl i ，j i o n g m i ny o n ge t c ( s e e 2 1 】 5 ) m a n ya u t h o r ss t u d i e de v o l u t i o ns y s t e m o i li n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s f o re x a m p l e ，f o rt h es a m ee q u a t i o n s 百v e ni nt h e f o r m e r ，r o g o v c h e n k o ，j h l i u ，a h m e d ，x i a n g xh a v es t u d i e di tr e s p e c t i v e l yo ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e si nd i f f e r e n tc a s e ( s e e 3 5 6 1 1 2 2 ) s i n c et h ee n do fl a s t c e n t u r y , i m p u l s i v ee q u a t i o n so ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lb a n a c hs p a c eh a v eb e e nc o n s i d - e r e d ( s e e 2 3 5 6 ) p a r t i c u l a r l y , a h m e dd i s c u s s e da s e r i e so f p r o b l e m sf o ri m p u l s i v e s y s t e mo ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s ( s e e 5 一【10 】) i ti so n l yi nr e c e n ty e a r st h a t o p t i m a lc o n t r o lo fs y s t e mg o v e r n e db yi m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n sb e g i nt os t u d y a h m e df o rt h ef i r s tt i m ec o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n gc o n t r o l l e di m p u l s i v es y s t e m ： d x = ( a x + f ( x ) ) d t + g ( x ) d v ， x ( o ) = z o a t x ( t ) = 只 他) ) ，0 = t o t l t 2 t n t s o m ea u t h o r si n c l u d i n go u rs u p e r v i s o r sp r o f x i a n gx i a ol i n ga n dp r o f w e iw e i a n dt h e i rg r o u p sh a v ea l s ob e e ni n v o l v e di nt h es t u d yo fo p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o r i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m sg o v e r n e db yi m p u l s i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n si nr e c e n t y e a r s ( s e e 【1 0 ，【1 3 ) a l t h o u g ht h e r ew e r es o m ep a p e r ss t u d y i n gi n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so n f i n i t eb a n a c hs p a c e ，t oo u rk n o w l e d g e ，t h e r ea r ef e wp a p e rd i s c u s s e di m p u l s i v e i n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do p t i m a lc o n t r o lo ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lb a n a c h s p a c e s h e r ew ec o n s i d e rac l a s so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 3 a n do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fs y s t e mg o v e r n e db yi n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o nb a n a c hs p a c ew h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h e i r s i nt h i st h e s i s ，w ea tf i r s ts t u d yac l a s so fn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa sf o l l o w s ： i 士( t ) = a x ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，( 虢) ( t ) ) ，t ( 0 ，卅d z ( o ) = z o( l 1 ) 【a x ( t i ) = 五( z ( 屯) ) ，i = 1 ，2 ，n o na b a n a c hs p a c e x w h e r ed = t 1 ，t 2 ，t n ) c ( o ，t ) ，0 t l t 2 0 ，f ；t ( s ) x d s d ( a ) i i i ) f o r 。d ( a ) ，t ( t ) x d ( a ) ，a n d 磊dt ( t ) z = a t ( t ) z = t ( t ) a z i v ) f o rz d ( a ) ，t s 之0 ， t ) x - - t ( s ) z = f s ta t ( 丁) x d t = z 。t ( f ) a 。打 t h e o r e m2 1 9i fab et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac os e m i g r o u p t ( t ) ，t o ) o nab a n a c hs p a c ex ，t h e nd ( a ) ，t h ed o m a i no fa ，i sd e n s ei nx a n dai sa c l o s e do p e r a t o r 2 2 c o m p a c ts e m i g r o u p 7 t h e o r e m2 1 1 0l e t t ( t ) ，t o ) a n d s ( t ) ，t o ) b ec os e m i g r o u pw i t hi n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o raa n dbr e s p e c t i v e l y i fa = b t h e nt ( t ) = s ( t ) ，f o ra l l t 0 t h e o r e m2 1 1 1 ( h i l l e y o s i d at h e o r e m ) l e txb eab a n a c hs p a c ea n da l ( x ) w i t hd ( a ) a n dr ( a ) i nx t h e n ，a i st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa c os e m i g r o u po fc o n t r a c t i o n s t ( t ) ，t o ) i nxi f a n do n l yi f ( 1 ) ai sc l o s e da n dd ( a ) i s d e n s ei nx ( 2 ) p ( a ) ) ( 0 ，o o ) a n d 旧( ；a ) i i l f x 、1 af o ra l la 0 t h e o r e m2 1 1 2al i n e a ro p e r a t o rai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac os e m i g r o u p t ( t ) ，t o ) i nxs a t i s f y i n gl i t ( t ) i i l ( x ) m e w f o ra l lt 0i fa n d o n l y i f ( 1 ) ai sc l o s e da n dd ( a ) = x ( 2 ) p ( a ) ( u ，) a n dl i r “( a ；4 ) | | l ) i x 兰知f o ra 0a n dnen 2 2 c o m p a c ts e m i g r o u p d e f i n i t i o n2 2 1ac 0s e m i g r o u p t ( t ) ，t o ) i sc a l l e dc o m p a c ti ff o re v e r yt t o 0 ，t ( ) i sac o m p a c to p e r a t o r l e m m a2 2 2l e t t ( t ) ，t o ) b eac os e m i g r o u pi nx i f t ( t ) ，t o ) i sc o m p a c t t h e n t ( t ) ，t o ) i su n i f o r m l yc o n t i n u o u s t h a ti s ，c o n t i n u o u si nt h eu n i f o r m o p e r a t o rt o p o l o g yi n 三( x ) ，f o rt 0 t h e o r e m2 2 3l e tab et h eg e n e r a t o ro fac os e m i g r o u pp ( t ) ，t o ) i nx t h e nt ( ) ，t 0i sac o m p a c ts e m i g r o u pi fa n do n l yi f , ( i ) t ( t ) ，t 0 ，i sc o n t i n u o u si nt h eu n i f o r mo p e r a t o rt o p o l o g y , a n d ( i i ) r ( a ；a ) i sac o m p a c to p e r a t o rf o rs o m ea p ( a ) t h e o r e m2 2 4l e t - ab et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa na n a l y t i cs e m i g r o u p t q ) ，t o ) t h e nt ( t ) ，t 0 ，i sc o m p a c ti fa n do n l yi f ，r ( a ；一a ) i sc o m p a c t f o rs o m ea p ( - a ) t h e o r e m2 2 5l e t 丁( t ) ，t o ) b eac os e m i g r o u ph a v i n gaa si t si n f n i t e s i m a l g e n e r a t o r t h e n t ( t ) ，t o ) i sac o m p a c ts e m i g r o u pi fa n do n l yi f 8c h a p t e r2 p r e l i m i n a r 珏3 s ( 0 r ( a ；a ) i sac o m p a c to p e r a t o rf o ra p ( a ) ( i i ) 已( t ) 粤t ( t ) u n i f o r m l yi nto nb o u n d e di n t e r v a l si nr o ，w h e r e 死( t ) 三【( n t ) r ( n 肛，a p = 【i 一( 亡佗) a 】一“ 2 3d i f f e r e n t i a le q u a t i o no nb a n a c hs p a c e 2 3 1 l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s 1 h o m o g e n e o u sc a u c h yp r o b l e m s l e txb eab a n a c hs p a c ec a l l e dt h es t a t es p a c e a l “b ( z ) w i t hd ( a ) a n dr ( a ) i nxa n dc o n s i d e rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nxg i v e nb y ( 2 1 ) d e f i n i t i o n2 3 1t h ec a u c h yp r o b l e m ( 2 1 ) i ss a i dt oh a v eac l a s s i c a ls o l u t i o ni f f o re a c hg i v e nx o d ( a ) t h e r ee x i s t saf u n c t i o nx ( t ) 兰x ( t ，x 0 ) ，t 0w i t h v a l u e si nx ，s a t i s f y i n gt h ef o u o w i n gp r o p e r t i e s ( i ) xi se ( o ，o o ) ，x ) n c l ( ( o ，o 。) ，x ) ；t h a ti s ，zi so n ec o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e w i t ha d 。x ( t ) a ( ( 0 ，) ；x ) ( i i ) 杀x ( t ) = a z ( t ) f o ra l lt 0 ，a n d ( i i i ) x ( 0 ) = x 0 c l e a r l yt h ec o n d i t i o n ( i i ) a l s oi m p l i e st h a tz 0 ) d ( a ) f o ra l lt 0 t h e o r e m2 3 2l e tab ead e n s e l yd e f i n e dl i n e a ro p e r a t o ri nxw i t hp ( a ) 0 t h e nt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 2 1 ) h a sau n i q u ec l a s s i c a ls o l u t i o nz ( z ) ，w h i c h i sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l eo n 【0 ，o o ) ，f o re v e r yi n i t i a lv a l u ex o d ( a ) ，i f a n do n l yi f ，ai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac os e m i g r o u pp ( t ) ，t o ) i nx t h e o r e m2 3 3i fai st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fad i f f e r e n t i a b l es e m i g r o u p i nx ，t h e nf o re v e r yx 0 x ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 2 1 ) h a sau n i q u e ( c l a s s i c a l ) s o l u t i o n c o r o l l a r y2 3 4i fa i st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa na n a l y t i cs e m i g r o u p ，t h e n f o re v e r yt o x ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 2 3 1 ) h a sau n i q u es o l u t i o n 0 乱 t 茁 知卜= z z d 一如 ，j-l 2 3 d i f f e r e n t i a le q u a t i o no n b a n a c h s p a c e 9 d e f t