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曲阜师范大学硕士学位论文 一类非线性粘弹性波动方程解的存在性与渐近展开 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的菲线性问题已经日益引起人们的广泛 关注，非线性偏微分方程初边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用 学科中，是目前非线性科学领域中最为活跃的研究课题之一，而非线性粘弹性偏 微分方程初边值问题是近年来讨论的热点，是目前偏微分方程中的一个十分重要 的研究领域 本文研究以下非线性粘弹性波动方程的解的存在性与渐近展开， r iu “( t ) 一u z z ( ) + 七( t s ) t l 。( s ) d s - t - f ( t ，u t ) = i ( x ，t ) ，0 $ 1 ，0 t ， j 加 1 ( o ，t ) 一哟u ( o ，t ) = h o ( ) ，( 1 ，t ) + n l u ( 1 ，) = h i ( t ) ， lu ( 。，0 ) = 砀( 。) ，u t ( x ，0 ) = 五1 ( z ) ， 其中f ( 让，珏t ) = a ( 2 ) ，一2 牡4 - 6 ( z ) l 口一2 毗；p 2 ，g 2 ；7 7 d o ，叩l 0 为常数，而 k ，口( z ) ，6 ( z ) ，h o ，h l ，西，西l 是给定的函数 本文共分三章 第一章为本文的引言。介绍了非线性粘弹性波动方程的重要性以及前人对此 类问题的研究成果 第二章运用了f a e d o - g a l e r k i n 方法证明了解的存在性与唯性其中包括f a e d o - g a l e r k i n 逼近，先验估计，极限过程以及解的唯一性四个部分， 第三章证明了一类非线性粘弹性波动方程初边值问题的解关于参数( 加，叩1 ) 的渐近展开， 关键词：非线性波动方程；f a e d o - g a l e r k i n 方法；解的存在性；解的唯 一性；解的渐近展开 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ec o n t i n u o u sd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a l lk i n d so f n o n l i n e a rp r o b l e mh a v ea r o u s e dp e o p l e sw i d ea t t e n t i o n n o n l i n e a rp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o ma p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c o n t r o lt h e o r ya n d o t h e rd i s c i p l i n e si naw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s ，i ti sp r e s e n t l yo n eo ft h em o s t a c t i v et o p i c si nt h ef i e l do fn o n l i n e a rs c i e n c e ：t h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o fn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sah o tt o p i ct h e s ey e a r s ， a n di t i saq u i t ei m p o r t a n tf i e l do ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a lr e s e a r c h i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h e f o l l o w i n gn o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n ， w h e r ef ( 1 5 ，t t ) = a ( z ) l u l p 一2 u + 6 ( z ) f 饥i 口一2 u t ；p 2 ，q 2 ；r o 0 ，7 7 1 0a r e c o n s t a n t s ，a n dk ，口( z ) ，6 ( z ) ，厂，h o ，h t ， o ，石la r eg i v e nf u n c t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri so u ri n t r o d u c t i o n w ei n t r o d u c et h ei m p o r t a n c eo ft h e n o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n ，a sw e l la ss o m ep r e v i o u sr e s e a r c hr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eu s ef a e d o - g a l e r k i nm e t h o dt op r o v et h ee x s i s t e n c e a n dt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ，w h i c hi n c l u d i n gf o u rp a r t s ，t h a ti sf a e d o - g a l e r k i na p p r o x i m a t i o n ，ap r i o r ie a t i m a t e ，l i m i t i n gp r o c e s sa n du n i q u e n e s so f t h es o l u t i o n w ep r o v et h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h es o l u t i o no ft h en o n f i n e a rv i s c o e l a s - t i cw a v ep r o b l e mw i t hr e s p e c tt ot w op a r a m e t e r s ( 7 0 ，7 1 ) i nt h et h i r dc h a p t e r k e y w o r d s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；f a e d o - g a l e r k i nm e t h o d ；t h ee x i s t e n c e o ft h es o l u t i o n ；t h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ；t h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o n z n ：、 以 i l 堆 卜 = 工 r ，l k 引 s ， 叫 l | r 。 州删小归吣 + 仉l 、， 一 e -厶 u ，：、 似艘 z 哺 - “ 一 珊讯 u 一 ： 叫 卜卜 卜 “p m 瓦 以 舢 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类非线性粘弹性波动方程解的存 在性与渐近展开，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确 的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名： 孝更芬日期：渺乡。垆 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 一类非线性粘弹性波动方程解的存在性与渐近展开系本人在曲阜师范大 学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归 曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送 交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学。 可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：窑文本 日期：卯哆垆 导师签磁锄咻驯彳 2 第一章引言 本文证明如下一维非线性粘弹性波动方程初边值问题弱解的存在唯性与渐 近展开 ( ) 一t l 砧( z ) + 。七( 一s ) 让z 。( s ) 幽+ f ( u ，魄) = ，( z ，。 z 1 ，。 0 ，方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一的弱解t 满足：t l ( o ，丁；h 2 ) ，砘 l ”( 0 ，丁；h 1 ) ，i t 托三o o ( o ，丁；l 2 ) ，并且当p ，q2n + 1 ，n 2 时，对任意牙= ( 伽，7 7 1 ) r 辜，其弱解t 都有关于参数( 哟，7 7 1 ) 的直到第+ 1 阶的渐近展开 一u ；矛怯+ 她一，u 7 斧怯昧r 1 ， h l _ l vh l n 其中0 r o 惦，0 r l 啦，而嚆，7 7 ：是给定正常数，| | 膏l l l l 萨i i ，斧= ( 噶，啸) ，d 是依赖于k 的正常数，函数，( 1 ，y i n ，7 z 辜) 是问题( b ) 的弱 解，而问题( b ) 如下 ，pt lu “一t 二每。4 - 克( 一s ) t 二鸳2 ( s ) ( f s = 曩，0 z 1 ，1 t 0 w 丌i ，p = w 仇，p ( q ) ， 3 = w o , p ( q ) ，m = 缈m ，2 ( q ) ，1 p 。，仇= 0 ，1 ，三2 中的范数记为1 1 | l ， l 2 中的内积记为 ，b a n a c h 空间x 中的范数记为| | 恢x 的对偶空 间记为x 7 扩( o ，丁；x ) ，l p 为( 0 ，t ) 到x 上的实可测函数u 组成的 b a n a c h 空间，其中t 满足 i i u i l l n ( o , t ；x ) - - - - ( o 也i i 妥d t ) 1 加 州纵。， 且 l it 上i i l p ( o r ；x ) = e s s s u p o 0 ( 2 ) h 6 l d e r 不等式；假设1 p ，g 0 0 ，；1 十百1 = 1 如果牡汐( q ) ，移弘( q ) 则有 u vj d x i t i i l ，c ) l l v l l l - ( 1 2 ) ( 3 ) g r o n w a l l 不等式： ( i ) ( ) 是【0 ，t 】上非负可积函数且对几乎处处的t 满足以下积分不等式 ( ) g f ( s ) d s + c 2 ，c 1 ，q 0 ， 则对几乎处处的0 t t 有 f ( ) c 2 ( 1 + c 1 t e g i ) ( i i ) 特别地，如果对几乎处处的0 t t 有 则f ( ) = 0o e f ( 芒)o o 荆如 4 曲阜师范大学硕士学位论文 引理2 1 2 h 1 ( o ，1 ) q 护( o ，1 ) ，p 1 引理2 1 3 ( 1 ) 对坛，y f - r ，捌，5 0 有 i i z r z f 3 1 6 y l ( 6 + 1 ) i 。一y 1 ( 2 ) 对v6 0 ，存在g 0 使得 ( 1 2 1 6 z i y l 6 秒) ( z 一掣) c l z 一可1 6 + 2 为方便起见；本文以t ( ) ，u 心) ，( z ) ，u z ( ) ，u z = ( t ) 分别表示u ( z ，z ) ，警( 。，) ， 密( z ，) ，爱( z ，) ，爱( z ，) 对任意r o ，, 1 0 ，定义 卜) = 1 0 扛弦“司则( 0 弦( o ) + 7 7 l 以1 ) “1 ) 一印1 ， ( 2 1 1 ) 训叼= 俐l 加m = ( o ( t ，t ，) ) m 引理2 1 4 若伽，7 l 0 ，则由( 2 1 1 ) 定义的对称双线性形式a ( ，) 满足 j n ( u ，可) l i f 让l i 町| l 口l | ，v u ，秒h 1 证明：根据c a u c h y 不等式( 取e = 1 ) 及h s l d e r 不等式( 取p = q = 2 ) ，我 们得到 ( 口( 珏，掣) ) 2 = ( z 1u 工可善d z + 珈珏( 。) ( 。) + 刁，珏( 1 ) 移( 1 ) ) 2 = ( o 垢u 2 ( 。) z ，2 ( 。) + 7 7 ；让2 ( 1 ) u 2 ( 1 ) + 2 伽也( 。) u ( 。) z 0 1u x u x 如+ 2 r i u ( 1 ) t ，( 1 ) z 也善出 + 2 7 7 0 叩l t 正( 0 ) ( o ) u ( 1 ) t ，( 1 ) s z 1u ：如z 1 如+ 稿u 2 ( 。) u 2 ( 。) + 7 7 u 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) + 伽t ，2 ( o ) u ：如+ r o u 2 ，0 ，t + 2 ( 1 ) 遽如+ r h u 2 如 如 4 - r o r l t 2 ( 0 ) t ，2 ( 1 ) + 7 7 0 7 7 1 珏2 ( 1 ) t ，2 ( o ) = d ( u ，让) o ( ， ) ， 5 z z 第二章解的存在性与唯性 上式两边取绝对值即得i a ( u ，t ，) 1 2 f 口( 让，u ) l l a ( t ，可) i = l m i 7 1 1 , , 1 1 7 引理2 1 4 得 证 利用这些预备知识，我们将在下一节中证明本章的重要结果一一解的存在唯 一性定理 6 曲阜师范大学硕士学位论文 2 2 主要结果 本章的主要结果是下面的解的存在唯一性定理 定理2 2 1 若( 吼) 一( 矾) 成立，则对任意t 0 ，方程( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯 一的弱解t 满足 t | l ( o ，t ；h 2 ) ，t t l ( o ，t ；h 1 ) ，u 。t l ( o ，丁；l 2 ) 证明：证明包含四个步骤 第一步：f a e d o - g a l e r k i n 逼近。 我们可以找到日2 的一组基，将其标准正交化后记为【) o = 1 ，2 ，) ，则 它同时在l 2 中形成一个完备的标准正交系由 屿】在日2 中的完备性，我们可 以选取系数如，1 j 使得 ( z ) = 如屿 j = l 在2 中收敛于c o ( z ) ，且 t m ( z ) = - j 屿 j = 1 在日1 中收敛于1 ) 假设 m ( ) = ( ) 屿 ( 2 2 1 ) j = l 是初边值问题( 1 1 ) - ( 1 3 ) 的近似解，把( 2 1 ) 代入原问题中再与七( 惫= 1 ，m ) 作内积得 一 ( u ：l ) ，u 七) + o ( u m ( t ) ，u 七) 一七( 一s ) 口( m ( s ) ，u 七) d s + ( 口( z ) ( t 仇( t ) ) - ，0 + 6 ( z ) 穆。( u ，m ( t ) ) ，0 , , 7 k ) = ( 1 ) ；( t ) 一u ( o ) 毳；( ) + f ( z ，t ) ，w 1 ) ， ( 2 2 2 ) u m ( o ) = o m ，u ：。( o ) = 1 m ，( 2 2 3 ) 其中 奶z ) = l z r 2 2 ，比( z ) = l z l q - 2 z ， ，t ；( ) = ) 一七( 一5 ) o ( s ) d s ， 7 第二章解的存在性与唯一性 九：( ) = h l ( t ) 一七( 一s ) h l ( s ) d s ， 由于叭是己2 中的标准正交基，将( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 整理可知系数函数c ，巧( t ) 满足 如下方程 岛+ 萎。( 畸触) 钿( d - 口，) 善z 球_ s ) 啊( s ) d 5 竺 m ，t ，2 i，2 l 。” + ( 口( z ) 如( c 叼( ) ) + 6 ( 。) ( j ( ) ) ，峨) = 魄( 1 ) ：( t ) 一u 七( o ) 慌( f ) + ( f ( z ，) ，七) ，( 2 2 4 ) ( o ) = 嘞，巧( o ) = 庐1 j ( 2 2 5 ) 在u 1 ，已经确定的情况下，( 2 2 4 ) 就是c 疗巧( j = l ，”1 ) 的二阶常 微分方程组故由( - 3 ) 知它有解钿( ) 满足g ，巧( ) c 1 【o ，卅，簖，( l ( o ，丁) ， ( 见【1 5 】中引理3 1 ) 第二步：先验估计i 方程( 2 2 2 ) 第七个方程乘以。七( ) 后对七求和，再对时间变量在( 0 ，t ) 上 积分，整理得 k 0 ) = x m ( o ) + 2 u m ( 1 ，t ) h l ( t ) 一2 u o m ( 1 ) h ；( o ) 一2 t l m ( 1 ，s ) h * 1 ( s ) d 8 + 2 ( o ，o h ；( t ) 一2 u o m ( o ) h ；( o ) 一27t m ( 1 ，s ) 危善( s ) d s + 2 ( f o ) ，u 幺( s ) ) 如+ o ( 让m ( s ) ，( ) ) 七( 一s ) d s ，0，0 叫。咖u m ( s ) 1 1 2 d s 一弘( ) 0 ( 廿槲洲冲 ( 2 2 6 ) 这里 矗舡) = 陋o ( ) 1 1 2 + i l ( ) 瞩+ ；z 1 口( 剖愈) | p d x + z 。幽z 1 6 ( 删略( s ) l 。妃 由假设及引理2 1 2 知存在一个正常数a 使得对所有m 都成立 ( o ) 一2 ( 1 ) 一2 ( o ) ( o ) = l u ：，( o ) 1 1 2 + l l u 仇( o ) | i ；+ ；君o ( z ) l ( o ) l p d x 8 曲阜师范大学硕士学位论文 + 2 j u 0 ，n ( 1 ) i i h i ( o ) l - 4 - - i u o m ( o ) | i 九；【u ) i a 应用c a u c h y 不等式，引理2 1 4 以及 ( 1 ，t ) l 剑u 。( ) 、瓦j 而， ( 2 。2 7 ) 得到如下估计 2 u m ( 1 吲t ) 扣2 + e u 轰( 1 ) 吾i i h t ( 圳1 2 邓+ e 2 ( o 吲) i i h ；( 圳l z 叩+ e r t， 2 0 ( 邝) ，t | ) d s 剑州i 。( q t ) + j 0 虬- ( s ) 如 ， z 。婶叫n ( “s ) 钍勰) ) 如乏蹦卅如悒：( 0 t ) z 0 t x m ( s ) 瓠 一2z ( 1 ，s ) 愚文s ) 如e o ( s ) 出+ 扣 ，( s ) 悒。c 。 一2 0 tu m ( 1 ，s ) ；，( s ) d e o 。( s ) 幽+ 却九；，( s ) 慨 ) 一z 。办z r 七俅一s ) 口( u m ( s ) ，也m ( 圳d s 丁忙，i | l * ( 。o t x m ( s ) 出 选取e = ，将以上各条件估计式代入( 2 2 6 ) 整理得 硝+ 畔z 。x m ( s ) 瓠 ( 2 2 8 ) 其中 fa 拳= 2 a 十1 0 l l 危；( t ) l i 主。( 0 ，t ) + 1 0 l l h ；( t ) l l 至。( o t ) + 2 1 1 f l l ：( o ，t ) + 1 0 l l h ：，l l i ：o ，丁+ 1 0 1 t h ；，| | 知( o 即， 【衅= i 1 4 + 5 | 眺2 ( 0 + 2 i k ( o ) l + 2 t i i k 7 i i 州姗 根据g r o n w a l l 不等式，我们由( 2 2 8 ) 得到：对任意f 0 ，7 1 ， x m ( t ) a 毋( 1 + 2 v t e 醇。) 镑 ( 2 2 9 ) 其中( 为县只与t 有关的常数 9 第二章解的存在性与唯一性 先验估计方程( 2 2 2 ) 对t 求导得 ，f ( u 篙( ) ，) + 8 ( 牡_ ( t ) ，咄) 一( 亡一5 ) o ( u m ( s ) ，u k ) d s ，0 + ( p 一1 ) ( o ( z ) i i p 一2 t 幺。咄) + ( q 1 ) ( 6 ( z ) l u 幺l 叮一2 u ：，蚺) = 饥( 1 ) ：7 ( t ) 一“，k 7 l “u 、) ”0 7 ( t ) + ( ，7 ( z ，) ，u 七) ， l k m ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 0 ) 第k 个方程乘以七( t ) ，对七求和后再对时间变量在( 0 ，t ) 上积分，整理 得 ( ) = y , 。( o ) - 2 h l ( o ) u l m ( 1 ) 一2 k ( o ) a ( u o m ，也1 m ) + 后7 ( o ) l i u 咖| l ： 一2 h o ( t ) u l m ( o ) + 2 h i 7 ( ) 珏幺( 1 ，t ) 一2 矗；( s ) n ( 1 ，s ) d s ，o + 2 忌( o ) o ( ( ) ，“麓( ) ) 一k ( o ) l l u m ( t ) l l ；一2 k ( o ) | i 仳：n ( s ) l l ；d s + 2 七心一s ) o ( ( s ) ，钍：。( t ) ) 幽 一2 z 。d r ( m 啪小如 + 2 五( 厂( s ) 隔t t ( s ) ) d s 、 0 、 - 2 ( p 一1 ) ( a ( z ) l t m p 一2 t i 幺，u ：) d s 一2 ；( s ) u ：n ( o ，s ) d s + 2 h ；7 ( z ) 钍幺( o ，) ， ( 2 2 1 1 ) ，0 这里 ( ) = i i u ：( 喇匦( o ，。) + i i u 二( 圳弓+ 萋( g 1 ) z 出z 16 ( z ) f 岳( i 钆幺( s ) f 孚u 二( s ) ) 】2 如 由假设( 日1 ) ，( 仍) ，( - 4 ) 以及引理2 1 2 可知存在常数岛 0 ，使得对任意m 有 ，( o ) 一2 h ：( o ) u l m ( 1 ) 一2 足( o ) 口( 2 o m ，珏l m ) + 奄( o ) l 牡o m l 偿一2 h o ( t ) u l m ( o ) 善l l + i i q ( x ) l l l 一| | 饥概i i 留+ i l u l mj j 譬+ l i f ( t ) 1 1 2 + i l u l m l i ；一2 九：( o ) u t m ( 1 ) 一2 k ( o ) a ( u o , 。，u l m ) + 七( o ) l i 札咖l 偿一2 h ；( t ) u l m ( o ) 岛 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由c a u c h y 不等式及l 让，f l ( 1 ，) i l i u m ( 洲t ，v y m ( 0 ，有 2 1 h i 印) 厶( 1 ，圳2 愀t ) i j - y - 厕 - 三国+ e y m 一2 z 。啪) 呶) 出2z 。i h 文驯佤而国+ z 蹦s ) d s 2 k ( 0 ) a ( u 勰) ，让：n ( ) ) 2 1 k ( o ) i h 让o 。) 1 1 可i i “。( 讹三国+ e y m ( t ) ， - k | ( o ) l l u , , ( t ) l l 墨一2 k ( o ) | i l u ；。( s ) l l ：d ssc t + 2 1 k ( o ) 1y m ( s ) d s ，o j o ，t 2 后7 ( t s ) o ( u m ( s ) ，让幺o ) ) d s 2 l 忌7 一s ) 川弘。( s ) l | 町d s l l u ；, , ( t ) l l 叶 j 0，0 g + e ( ) ， 一2 z 打z 7 州r s ) 0 ( ( s ) u 乞( 嘲幽国+ z 。y m ( r ) d r ， ， 2 ( ，7 ( s ) ，t 篆( s ) ) d s l i f 7 i l l 。( q r ) + 】厶( r ) 打 ，0，0 ，t，t 一2 0 1 ) ( o ( z ) l 让m ( s ) i p 一2 u 乞( s ) ，碟( s ) d s 的一个子序列 不妨仍记为1 f 惦1 - ，使得当m o o 时 ( 2 2 1 3 ) 巩砷 瓦 正丁 飞m 郴 垆 f l 醒雅醒 让 j 。 j 伽 ，蛳蛳 第二章解的存在性与唯性 由l i o n s 紧致性引理知存在一子列不妨仍记为 u r n ，便得 i ，u m _ u 强l 2 ( q t ) 口一e tu 二_ 让，强l ：( q 丁) 。息 由( 2 2 1 4 ) i 及奶的连续性知 ( u m ) + 如( u ) a e ( z ，z ) q 丁 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 9 ) 知对任意m 有。 l l 如( ) j i ( 口t ) ( j i ( t ) p d t t ( v - d t t ) p ， ，r - ，0 其中p j = 南由l i o n s 引理( 见f 1 6 】中引理1 3 ) 及( 2 2 - 1 5 ) ，( 2 2 1 6 ) 知 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) c p ( u 。) 一( 铭) 弱( q 丁) ( 2 2 1 7 ) 同理，由( 2 2 1 2 ：l ( 2 2 1 4 ) 2 知 妒q ( t i 幺) 一哦( “7 ) 弱厶，( q t ) ，其中q 7 = 了兰 ( 2 2 - 1 8 ) 另一方面，由( 2 2 1 3 ) i 知对任意u l 1 ( o ，r ；( 日1 ) 7 ) 有 z t 出 = z 丁 d s 一。 因此 z 。七( t s ) ( s ) d s 一尼 一s ) u ( s ) d s 弱星l 。( 。，丁；日1 ) ( 2 2 1 9 ) 根据( 2 2 1 3 ) l 3 ( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 7 ) ，( 2 2 i s ) ，( 2 2 1 9 ) 对( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 取极限，知 t 满足方程 i * t ( t ( t ) ，t ，) + g ( u ( t ) ，t ，) 一k ( t s ) 凸( u ( s ) ，v ) d s 4 - ( n ( z ) 移_ ( u ( ) ) ，u ) ，0 + ( 6 ( z ) ( 让7 ( ) ) ，t ，) = g l ( z ) 秽( 1 ) + ( ，0 ) ，t ，) ， v 1 3 1 ，( 2 2 2 0 ) 1 2 啦阜师范大学硕士学位论文 f ( u ( t ) ，t ，) + 口( “( t ) ，t ，) 一七( t s ) 。( u ( s ) ，u ) d s + ( 0 ( z ) ( 饥) 叫小2 ) 】 卅似z “) - 沁分】，d ( 2 2 2 2 ) b 羔，嚣 e t ，t 盯( ) = 一2 走( o ) j 0 l l 弘( r ) l l ；办+ 2j 0 走( 一s ) 。( 乜( s ) u ( ) ) d s 一2 z 2 咖z 七7 ( r s ) n ( u ( s ) ，u ( r ) ) d s 1 3 第二章解的存在性与唯一性 其中 ，i 仃( ) = o t l 7 ( t ) 1 1 2 + i l u ( t ) l l ；+ 2 ( 6 ( z ) 【( u i ( s ) ) 一( u ；( s ) ) 】，u 7 ( s ) ) d s ，0 由引理2 1 3 ( 2 ) 知上式可变为 o r ( t ) t l t ( t ) 1 1 2 + l l 钍( 亡) “；+ 2 c 口6 ) l ( s ) 1 9 d s 0 ， ( 2 2 2 4 ) 故口( ) 是非负可积函数 由引理2 1 3 ( 1 ) 知对任意p 2 ，( 2 2 。2 3 ) 式右侧最后一项可做如下估计 一2 d ( z ) ( u - ( s ) ) 一讳( u 2 ( s ) ) 】，u ，( s ) ) d s ( p 一1 ) 1 t 。( 。) 1 1 l 。( 0 ，- ) r p 一2f o to r ( s ) d sf o to r ( s ) d s ，( 2 2 2 5 ) 其中 冠= m 箩【l i 乜i l | l * ( o ，丁；胃：) ，i l t 二：l l 工m ( o ，? ；抒t ) ) ， ( i = 1 ，2 ) 由( 2 2 2 3 ) ，( 2 2 2 4 ) ，( 2 2 2 5 ) 可得 盯( ) 去盯( t ) + 2 i 七( 。) l iz 。口( r ) d 7 + 主j | 七l l z ：( 。，丁，o 盯( s ) 幽+ 吾z 。仃( r ) d p + 扣，l | 至。( o 砷f o t6 r ( s ) 幽十。一1 ) 1 1 n ( z ) 怯( 0 - ) 彤一2f o t o r ( s ) 幽， 即 ) s 刀z 。) d s 其中 力= t + 4 1 k ( o ) f + i t k l l 至。( o ，+ f f i f 刍( o ，力+ 2 l l a ( x ) l l l * ( o ，丁) 0 1 ) r p 由g r o n w a l l 不等式知o r 三0 ，即u l 三t 2 注2 2 1 由定理2 2 1 所确定的解的正则性可知，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 有一个强 解u 满足 t 工c o ( o ，丁；h 1 ) nc 1 ( o ，t ；l 2 ) nl ( 0 ，7 ；h 2 ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 注2 2 。2 在定理2 2 1 中，若取7 7 0 = 7 7 l = 0 ，则得到第二类边界条件下方程 的解的存在唯性定理，对第一类边界条件的情况，同样可证明其解的存在性与 唯一性 注2 2 3 当o ( z ) ，b ( z ) 恒等于常数，且7 7 ；0 兰1 ，h o 三0 时，文【1 2 】已经证明 了问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解的存在性与唯一性 1 5 第三章解的渐近展开 3 1 预备知识 在这一部分中，我们假设p ，q n + 1 ，n 2 ，( 谝，访，f ，g ，o ( z ) ，6 ( z ) ) 满足假 设( 日1 ) 一( 9 4 ) 令，7 1 ) r 辜，由定理2 2 1 知问题( 1 1 ) 一( 1 。3 ) 有唯一一个依 赖子r i o ，7 7 l 的弱解t = u ，7 0 朋本章将要研究当参数( 伽，刀1 ) 在一个小范围内变化 时，t 关于参数( r o ，刀1 ) 的渐近展开 我们考虑如下扰动问题，其中r i o ，刀l 是足够小的参数满足0 伽嗡， 0 墨叼ls7 7 ；，嗡，瞒是固定的正常数 a u 兰牡t u 嚣+ 七 一s ) t 正霉( s ) d s = 一口( z ) ( t 1 ) 一6 ( z ) 妒q ( 地) - ，o + ，( z ，) ，0 z 1 ，0 z 让z ( 0 ，) = 刁o u ( o ，) + h o ( t ) ，锃2 ( 1 ，) + 7 7 1 t l ( 1 ，t ) = 1 ( t ) ， u ( z ，0 ) = 锄( z ) ，u t ( z ，o ) = 讧l ( z ) 对复指标7 r 辜，k = ( 7 o ，r h ) r 辜有以下表示 fl ，y l = ，y l + 7 2 ，y ! = 7 l ! 蚀! ， 1 1 玄1 1 = 铜+ 刀 ，交7 = 杼，7 7 1 ， 【q ，p z j ，q p 兮q t 展，vi = 1 ，2 ，3 弓i 理3 1 1 令m ，n n ，u 口r ，a z 至，1 l 口j n 贝 ( ，u 口萨) m ： t ( m f u k 萨， ( 3 1 1 ) 其中丁( ”) 由以下递推公式给出 1 6 d m 2 ； i 怪 m 汐 ， 一 m 一 一 仇 陋 m 一 一 仃 纠 加 一 ，tj r m 陋 m 州 v i 一 巾 b 卜丁 q 陋 币 一 一 p 毗 = l l 矿k 吖 乩m l | m a 曲阜师范大学硕士学位论文 证明：( i ) 当m = 1 时，显然r ( 1 心口】= u a ，1 i q l n ( i i ) 当m 2 时，用麦克劳林公式将f ( 伽，叼- ) 三f ( 育) = ( 。s | 口i vu 奈) 展开直至m n 阶， f ( - k ) = 击d a f ( o ) 斧， ( 3 1 2 ) 其中d a 尸= 弼俨。1 啪 l - a 。2 f ，从而，由( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 得 丁m 心】a = 击d 。f ( o ) ， m i a i m n ( 3 1 3 ) 我们将f ( - k ) 写成如下形式 f ( 玄) = ( 心口京) ( p 。齐) = 日( 玄) 忍( 膏) 、l _ l a l _ n 7 、m - l l a l _ ( m - z ) n 7 e 式两端求导后取一k ：0 得。 。 d a f ( o ) = d a ( r 尼) ( o ) = 锘d a 一卢f i ( 0 ) d 口尼( o ) ( 3 1 4 ) 厣s a 注意到让口= 刍d a 只( o ) ，1 i q | 或者 同理 d 口一口r ( o ) = ( q p ) ! t 正口一卢，1 l q p l n ( 3 1 5 ) d 卢f 2 ( o ) = p ! 丁( r n - - i 阻】口，仃 一1 i p i ( 7 7 , 一1 ) n ( 3 1 6 ) 由( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 知 丁r ，【u 】a = t a 一口丁惭一1 m 卢，m l a f 7 n n ，m 2 卢 妒 引理3 1 1 得证 令u o 兰u o ，0 满足u o l ( o ，丁；日2 ) ，t i j l 。( 0 ，丁；h 1 ) ，u ：l 。( 0 ，丁；l 2 ) 是问题( t o 。0 ) 的弱解，即 fa u o = 一o ( z ) ( u o ) 一6 ( z ) 妒q ( u ；) + ，( z ，) ，0 z 1 ，1 z t ， ( 局，o ) u 0 2 ( 0 ，t ) = h o ( t ) ，u o ( 1 ，t ) = h i ( z ) ， 【u o ( z ，0 ) = 面( z ) ，让：( z ，0 ) = 哦( z ) 1 7 第三章解的渐近展开 令蜥满足嘶己( o ，丁；h 2 ) ，嵋l ( o ，丁；日1 ) ，吣l o o ( o ，丁；l 2 ) ，7 z 辜，1 l ，y i n ，是如下问题( b ) 的弱解 l 他2 r0 认1 ，1 kl ( b ) u r z ( o ，t ) = q t ，嘶2 ( 1 ，t ) = 墨， liq ( z ，o ) ：o ，缸：( z ，o ) ：o ， 其中 ， q 7 ： o 1 h i ，7 1 2o 【一1 ，优( o ，t )