（基础数学专业论文）smarandache函数与经典数论函数的性质研究.pdf

中文摘要 众所周知，数论的一个重要内容就是研究数论函数的各种性质一直以 来，数学家对于整数性质的研究十分重视，并且做出了重大贡献著名的美 籍罗马尼亚数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 在他所著( ( o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u t i o n s ) ) 一书中提出了1 0 5 个关于特殊序列、数论函数的问题与猜想随着 这些问题的提出，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理 论价值的研究成果 本文利用初等及解析方法研究了几个s m a x a n d a c h e 函数与经典数论函数 之间的关系，给出了一些与之相关的渐近公式、不等式及方程的解数具体来 说，本文的主要工作包括以下几方面： 1 研究了s m a r a n d a c h e 幂序列与除数函数的性质，利用初等及解析方法 给出了一个包含s m a r a n d a c h e 幂序列s p ( n ) 的除数函数的混合均值，同时也 解决了f e l i c er u s s o 提出的猜想 2 利用初等方法研究了包含伪s m a r a n d a e h e 无平方因子函数的不等式及 方程，得到了两个有趣的结果 3 通过对s m a r a n d a c h e 双阶乘函数进行研究，彻底解决了一个关 于s m a r a n d a c h e 双阶乘函数的极限问题；讨论了一个包含s m a r a n d a c h e 双 阶乘函数与e u l e r 函数的特殊方程 s d f ( 仃) = 妒( 佗) 的解的存在性问题，并给出了该方程的所有正整数解 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，渐近公式，均值，不等式，正整数解 a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i sw e l lk n o w nt h a ti ti sa ni m p o r t a n tp a r to fn u m b e rt h e o r yt os t u d y t h ep r o p e r t i e so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s f o ral o n gp e r i o do ft i m e ，m a t h e m a t i c i a n sh a v ea t t a c h e dg r e a ti m p o r t a n c et ot h es t u d yo fp r o p e r t i e so fi n t e g e r s ， a n dm a d eas i g n i f i c a n tc o n t r i b u t i o n t h er e n o w n e da m e r i c a n - r o m a n i a nn u m - b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ep r e s e n t e d1 0 5a r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n d c o n j e c t u r e sa b o u ts p e c i a ls e q u e n c e sa n df u n c t i o n si n “o r a yp r o b l e m s ，n o ts o - l u t i o n s ”m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es e q u e n c e sa n df u n c t i o n s ，a n do b t a i n e d s o m ei m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，e l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d sa r eu s e dt os t u d yt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ns o m es m a r a n d a c h ef u n c t i o n sa n dt h ec l a s s i c a la r i t h m e t i c f u n c t i o n s ，a n dg i v es o m er e l a t e da s y m p t o t i cf o r m u l a ，i n e q u a l i t ya n dt h en u m b e r o fp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n s t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e d i nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h ep r o p e r t i e so ft h es m a r a n d a c h ep o w e r s e q u e n c ea n dt h ed i v i s o rf u n c - t i o n s a r es t u d i e d t h ee l e m e n t a r ya n d a n a l y t i cm e t h o d sa r eu s e dt os t u d yt h eh y - b r i dm e a nv a l u ea n dt h ep r o p e r t yo ft h ed i v i s o rf u n c t i o n si n v o l v i n gt h es m a r a n - d a c h ep o w e r + s e q u e n c e s i m u l t a n e o u s l y , t h ec o n j e c t u r ep r o p o s e db yf e l i c er u s s o i sa l s os o l v e d 2 t h ee l e m e n t a r ym e t h o da r eu s e dt os t u d yt h ei n e q u a l i t ya n de q u a t i o ni n - v o l v i n gt h ep s e u d os m a r a n d a c h es q u a r e - f r e ef u n c t i o n ，a n dt w oi n t e r e s t i n gr e s u l t s a r eo b t a i n e d 3 t h r o u g ht h es t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h es m a r a n d a c h ed o u b l ef a c - t o r i a lf u n c t i o n ，al i m i tp r o b l e mr e l a t e dt ot h es m a r a n d a c h ed o u b l ef a c t o r i a l f u n c t i o nh a sb e e nc o m p l e t e l ys o l v e d t h es o l v a b i l i t yo fa ne q u a t i o ni n v o l v i n g t h es m a x a n d a c h ed o u b l ef a c t o r i a lf u n c t i o na n de u l e rf u n c t i o n s d f ( 佗) = 妒( n ) a r ed i s c u s s e d ，a n di t sa l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sa x eg i v e n k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，m e a nv a l u e ，i n e q u a l i t y , p o s i - t i v ei n t e g e rs o l u t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：成盏指导教师签名：。瑟垒越 带月吕日加尹年月乎日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 弑占盛 名 年 签哆 者 勿 储 励 文沦位学 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 人类对数的认识和研究可能与火的使用一样古老，数论是研究整数性质的 一个数学分支第一个科学地对整数进行研究的人是希腊人毕达哥拉斯，他和 他的门徒们对整数做过较为彻底的研究，用各种方法对整数进行分类，将整数 分为：奇数和偶数，素数和复合数这通常被认为是数论的真正起源! 古希腊的 丢番图、古中国的秦九韶和古印度的阿耶波多等数学家均对数论的发展做出了 贡献特别是到了近代高斯、费马、欧拉等数学家就某些数论问题提出了新的 看法，从而推动了数论的发展 虽然属于数论范围的许多著名问题在很早就开始研究，并得到了十分丰富 的成果，但奇怪的是，数论作为一门独立的数学分支的出现却迟至十九世纪初 人们公认c f g a u s s 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究( d i s q u i s i t i o n e s a r i t h m e t i c a e ) 是数论作为一门独立学科诞生的标志数论形成一门独立的学 科后，随着其他数学分支的发展，研究数论问题的方法和思想也随之发展目前， 数论已经深入到数学的许多分支，得到了广泛的应用在我国，数论也是发展最 早的数学分支之一 我们知道，当自变量死在某个整数集合中取值时，因变量y 取复数值的函 数y = ，( 扎) ，称之为数论函数。由于数论和组合数学中的许多问题均可以化为 一些数论函数来讨论，所以数论函数是一类非常重要的函数，是数论中的一个 重要研究课题数论研究的一个主要内容就是数论函数的各种性质，如函数的 均值问题我们知道很多重要的数论函数的取值往往很不规则，然而它们的均 值，( 佗) 往往具有很好的渐近公式 1 - 4 f l z 关于一些特殊序列及函数算术性质的研究在数论研究中占有十分重要的地 位，许多著名的数论难题也与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性的 进展都必促进数论的发展 】 第一章绪论 美籍罗马尼亚数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授对数论的发展做出 了许多贡献，其中一项就是他源源不断的提出一系列出色的问题在国际 数学界的一些杂志、期刊甚至百科全书中把他所提出的一系列问题命名 为s m a r a n d a c h e 函数、序列、悖论等在1 9 9 3 年，他所著o n l yp r o b l e m s ， n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中提出了1 0 5 个关于特殊序列、算术函数等未解决的数学 问题及猜想，随着这些问题的提出，国内外许多专家和学者对此进行了深入的 研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果睁圳例如，在文献【5 】中， m a r kf a r r i s 和p a t r i c km i t c h e l l 给出了s ( n ) 在素数幂上的上下界估计：对任意 的素数p 和任意的整数口，有 ( p 一1 ) a + l s ( p q ) 一1 ) ( n + 1 + l o g 芸) + 1 并且证明了s m a r a n d a c h e 函数s ( 佗) 在素数幂上的计算公式：若d = 矿_ 1 + 矿一2 + 十p + 1 q 1 ，妒( 死) 定义为不大于佗且与n 互素的正整 数的个数：即 其中7 表示和式在与n 互素的那些k 上展开 ( 3 ) 除数函数 ) ：对于实数或复数a 及任意整数佗1 ，我们定义 ( 礼) = 矿， d i n 为佗的约数的q 次方幂的和，这样定义的函数称为除数函数 特别地，当乜= 0 时，印( 礼) 是佗的约数的个数，常用d ( n ) 表示，即 即 d ( 凡) = 1 d l n 当口= 1 时，a a ( n ) 是n 的约数之和，通常称为除数和函数，用盯( 礼) 表示， 盯( 礼) = d ( 4 ) m a n g o l d t 函数人( n ) ：对每一个整数n 1 ，我们定义 a ，= 11 0 9 鼽其n2 它p r n p 为素数m 1 ； 1 n 脚 = 几 妒 西北大学硕士学位论文 ( 5 ) l i o u v i l l e 函数入( 佗) o a c 礼，= 1 ，- 1 ，口，+ q 。+ 2 2e u l e r 乘积公式 n = 1 ： 扎= 砰1 p 呈2 霹r 定理2 2 1 1 】令f 是一个积性数论函数且级数e ，( n ) 绝对收敛，那么，这个级 数的和可以表示为在所有素数上展开的一个绝对收敛的无穷乘积，即 ，( n ) = l + ，o ) + f ( p 2 ) + ) n = l p 如果，是完全积性的，则乘积可简化为 三八啦u 南n 2 1口 2 3p e r r o n 公式 定理2 3 3 】 设a ( s ) = a ( n ) n 一， e r a 那 么，对任意的8 0 = a o + i t o 及b o a a ，当b o b 0 ，b o a o + b 6 r a ，t l 及z l 时有： ( a ) 当z 不是正整数时， 三咖矿土2 7 r ij 厂b - - m i t m s ) 等幽+ 。x b b ( b qc r o ) ) + 。x l - a o h ( 2 z ，幽( 1 ，丁l o g x ) ) + 。x - t 。h ( n ) m 洫( 1 ，南) ) ， 其中是离z 最近的整数( z 为半奇数时，取= z 一丢) ，l l zl i = i n z i ； 7 第二章预备知识 ( b ) 当z 是止霆! 叛n 町， 三口( 咖咖+ n 1 ( ) 咖= 芴1 加 b - ；b t i t 。+ s ) 等如 + o ( 掣) + 。n 卜嘲2 ，曲( 1 ，等) ) ， 这里o 常数仅和o a ，b o 有关 定理2 3 是应用复变函数论方法研究数论问题的基础在应用中通常取z 为半奇数，即：z ：旧+ 石1 ，这时公式( 。) 中的最后一个余项不出现 2 4e u l e r 求和公式 定理2 4 1 1 5 1如果函数，在区间【y ，司上有连续导数，其中0 y z ，那 么 。z ，( n ) = f ( t ) d t + o 嘲) ， ) 出+ ，( z ) ( 囟】一z ) 一，( 可) ( m 一可) ， l ， n 。暑，。 其中嘲表示t 的最大整数 2 5a b e l 恒等式 下面将介绍后面要用到的a b e l 恒等式，即下面的： 定理2 5 【1 1 对任一数论函数口) ，令4 ) = q ( 扎) ，其中，当z 1 时， a ( z ) = 0 假设，在区间b ，z 】有连续导数，其中0 可 。则有 。( n ) 衔) = a ( z ) m ) 一a ( 秒) 舳) 一! a ( t ) f ( t ) d t y n s z p 如果我们熟悉r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分 1 6 1 就, - - i p a 得到定理2 5 的更简短 的证明因为a ( x ) 是一个阶梯函数，而函数f ( x ) 在每一个整数礼上跳跃，所 以定理中的和能表示为r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分 o ( n ) ，( 仡) = f ( t ) d a ( t ) y n x ”y 8 由分部积分得 口( 礼) ，( n ) y n x 西北大学硕士学位论文 a ( x ) ( x ) a ( x ) f ( x ) a ( y ) f ( y ) a ( y ) f ( y ) f t ) 西( t ) f x a ( t ) ( 芒) 出 由定理2 5 也容易推出著名的e l d e r 求和公式，实际上，如果对所有7 , 1 ，a ( n ) = 1 ，我们发现a ( x ) = z 】，则定理2 5 即为 砌) ：m ) m m ) m 一厂z ( t ) d t ， y n x d y 由此及分部积分公式 z zt ( 。? 出= z ，p ) 一y ，( 们一j ( z ， ) 出，暑，” 我们立即可以得到e u l e r 求和公式( 定理2 4 ) 9 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 幂序列的除数函数的均值 3 1 引言 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 幂序列 的除数函数的均值 对任意正整数几，著名的s m a r a n d a c h e 幂序列s p ( n ) 定义为最小的正整 数m ，使得n l m 仇即就是 s p ( n ) = r a i n m ：, - , i r a m ，m n ) ， 其中n 表示所正整数的集合易知，s p ( n ) 的前几个值为：s p ( 1 ) = 1 ， s p ( 2 ) = 2 ，s p ( 3 ) = 3 ，s p ( 4 ) = 2 ，s p ( 5 ) = 5 ，s p ( 6 ) = 6 ，s p ( 7 ) = 7 ， s p ( 8 ) = 4 ，s p ( 9 ) = 3 ，s p ( i o ) = 1 0 ，s p ( 1 1 ) = 1 1 ，s p ( 1 2 ) = 6 ，s p ( 1 3 ) = 1 3 ， s p ( 1 4 ) = 1 4 ，s p ( 1 5 ) = 1 5 ， 在文献 17 】中，f s m a r a n d a c h e 教授建议我们研究序列 s 尸( 他) 的性 质从s p ( n ) 的定义，可以很容易得到下面的结论：令扎= 硝1 砖2 霹 表示礼的标准分解式，如果对所有的啦( i = 1 ，2 ，r ) ，都有o t i 仇， 那么s p ( n ) = u ( 礼) ，其中u ( 几) = i i p ，i i 表示对佗的所有不同的素 p i np l n 因子p 求积显然，s p ( n ) 不是积性函数例如，s p ( 3 ) = 3 ，s p ( 8 ) = 4 ， s p ( 2 4 ) = 6 s p ( 3 ) s p ( 8 ) 但对大多数礼来说，都有s p ( n ) = u ( 佗) 关于 这个序列的性质，许多学者曾进行过研究，并且获得了非常有用的结果【1 8 。2 0 | 例如，在文献 1 8 】中，徐哲峰博士已经研究了s p ( n ) 的均值性质，并获得了一 些较强的渐近公式即证明了：对任意的实数z 1 ，有渐近公式 三跚栌互1 2 2 ( 1 一赤) + d ( 疹) ， n 0 本节的主要目的是利用初等方法和解 d i n 析方法来研究包含s m a r a n d a c h e 幂序列s p ( n ) 的除数函数的均值分布性质， 并给出一个较强的渐近公式即就是证明了下面的结论： 定理3 1 对任意实数k 0 ，则对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 n 0 ，令 儿、虽仃七( u ( 扎) ) m ) = 艺掣 由吼( u ( 礼) ) 的可乘性质及e u l e r 求积公式【l j 可得 m ，= u ( 1 + 掣十学+ ) = 耳( 1 + 字+ 害+ ) = 耳( 1 + 字南) = 等 e ( s ) ( ( s k ) ：= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 c f 2 s 一2 k 1 1 2 西北大学硕士学位论文 其中c ( s ) 是r i e m a n nz e t a - 函数 和 对任意实数k 0 及z 1 ，显然有l 吼( u ( n ) ) i c ( k ) 扩， n 2 ，因此 礼 z 盟) 一肛熹仨帮考( 譬) 现在我们将积分线从忌+ 耋士汀移到后+ 互1 士l l 这时函数笔糌 毛es = k + l 处有一个一阶极点，且留数为黼于是 土2 r i ，d 广k + a 扣_ i t t + ：+ 懈k + 扣 - r i t + 仨：) 絮等幽= 黼 和 取t = z ，容易估计 熹= + 丘锱考d s 所以就有 点= 筹如2 丌i _ ，缸 昙+ r p ，所以矿 矿z ，于是 p 警 u ( n ) 证明设死= p 芋1 p 呈2 霹”，则u ( n ) = p i p 2 肼且u ( n ) l s p ( n ) 因为s p ( n ) ( 佗) ，所以至少存在一个素数仇( 1 i r ) ，它的次数啦 满足锄 p t p 2 p r 令q = m a x q t ，i = l ，2 ，r ) ，p 表示与口所对应的 最大的素数，根据s p ( n ) 的定义，易知s p ( n ) 叩，于是s p 七( n ) ( 叩) 后 西北大学硕士学位论文 因此 s 少( n ) u ( n )，p a ) = l a p u ( n ) ( 叩) 七 n p 由引理3 2 知 几z s p ( 功 ，( 仃) 这样便证明了引理3 3 3 。3 定理的证明 于是 s 声( 礼) 1 。9 2 k + 2z = x l 0 9 2 靴z n 1 时，有a k ( n ) ( ( 七) 扩( 参见文献 2 1 】) s d ( n ) 一盯七( u ( 凡) ) n s z n u ( n ) a k ( s p ( n ) ) n z s p ( n ) u ( n ) 矿) s d ( n ) 一仃七( c ，( n ) ) e ( 七) zl 0 9 2 眦z ， n xn z s d ( n ) = 吼( u ( 扎) ) + o ( x l 0 9 2 k + 2 z ) ， n z n z 1 5 第三章一个包含s m a r a n d a c h e 幂序列的除数函数的均值 再由引理3 1 ，有 fs d ( n ) ： z n z 笔揣+ 。( z 七+ 牝) + 。( x l 0 9 2 k + 2 x ) 黼+ 。( 一* ) 这样便完成了定理3 1 的证明 当k = 1 时，则有o ( n ) n l o g ( 1 0 9 n ) ( 参见文献 2 1 1 ) 于是 s s ( 扎) 一盯( u ( n ) ) =( 盯( s p ( 几) ) 一盯( u ( 礼) ) ) n z n u ( n ) ( s p ( n ) l o g ( 1 0 9 ( s p ( n ) ) ) ) 竹z s p ( n ) u ( n ) l o g ( 1 0 9x ) s p ( n ) n c ，( 竹) 由引理3 3 ，可得 或 s s ( n ) 一盯( u ( 礼) ) x l 0 9 4 x l o g ( 1 0 9 x ) ， n z n x s s ( 扎) = 盯( u ( 佗) ) + 0 ( x l 0 9 4 x l o g ( 1 0 9 x ) ) n z n o 是发散的此外，在文献【2 4 中，刘华宁博士研究了该函数的均值性质，并获得 了两个有趣的结果即证明了：对任意实数q ，s 且满足8 一q 1 及0 c 0 ，则 有恒等式 薹掣n = 糍髫2 a 珥( 1 一赤) ， 鲁 5 ( ( 2 s 一) 攀 矿+ 矿 其中( ( s ) 是r i e m a n nz e t a - 函数，n 表示对所有素数求积 第四章关于伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数的两个问题 对任蒽买数a 0 及z 1 ，则有 三c 酬a = 黼筹珥( 1 一志) + 。( 扣) 在文献【2 5 】中，熊文井解决了一个包含该函数的极限问题即就是：对任意正整 数佗 1 ，有估计式 去塞鲣l o g 趔k - 1 + 。u , l o g n 、佗乞 。 进而可得：对任意正整数n ，有极限 t；m元1nlrt-*0(2, 警k乩k n z r _ ， l o g = 2 。 现在，对任意的整数七 1 ，我们考虑况l 讹) 与k 乙( m 1 ) 之间的 七 、 = 1 i = 1 关系f e l i c er u s s o 在文献 1 4 】中建议我们研究它们之i 司的关系关于这一i 司 题，至今似乎没有入研究，至少我们没有看到过有关这方面的论文在本节中， 我们将利用初等方法研究这一个问题，并获得了一些进展即就是，我们下面要 证明的： 定理4 1对任意的正整数m 1 ，m 2 。，m 蠡，其中后 1 ，则 七 乙( m t ) 1 ，我们将分两种情 况进行讨论： ( 1 ) 当( m i ，) = l ( i ，j = 1 ，2 ，k ，且i j ) 时，由于伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数是积性函数，于是我们有 ( 垂m 0 = 矗i = l 况c 讹卜 因此，就有 ， k z w ( m d 旦t 一 i 七i z w ( m d i = l= 乙1 1 ( i ，j = 1 ，2 ，k ，且i j ) 时，令讹= 硝n 理住霹押，o l i 。0 ( i = 1 ，2 ，k ，s = 1 ，2 ，r ) 于是就有 玩( m t ) = 毋1 孝。毋r ， 肛kl 薹兰竺：丝：丝：二丝：丝：丝：二丝：二丝：丝：二丝： kk p i p 2 肼+ p i p 2 肼+ + p i p 2 办 k 、， m 七甜均 i | 办2pp = 第四章关于伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数的两个问题 当且仅当口诂1 ( i = 1 ，2 ，k ，s = l ，2 ，r ) 时等号成立 丝：丝竺：丝：丝! 丝：丝：丝：丝：壁： k 知 玩( m t ) i = 1 七 其中= 屈。( s = 1 ，2 ，) ，但是上式的两个等号不能同时取得 = 1 于是 所以，由( 1 ) 和( 2 ) 可得 七 z w ( m i ) 1 ，我们有 酉s d f ( n ) 2 赫- d 他l i n g ) 、 护( n ) l o g ( s 够( 忌) ) 。 显然这是一个比文献【1 4 】中问题更强的结论，由此我们立刻得到下面的推 第五章s m a r a n d a c h e 双阶乘函数算术性质的研究 推论对任意的正整数扎，有 l i i n 掣掣：o 恶丽2 u 5 2 1 两个引理 为了完成定理5 1 的证明，我们需要用到下面两个简单的引理 引理5 1 对任意正整数k 2 且p ( k ) 讥，则有 洲垆鼢兰： 其中p ( k ) 表示k 的最大素因子 证明 设知= 硝1 硝2 砟o t r - - 1 1 p ( ) ，则有硝1 醒2 r - - _ 1 1 、七 瓜) 由引理5 1 、引理5 2 及e u l e r 求和公式【15 】可得 p ( n ) = l o g ( s d f ( k ) ) l o g ( s d f ( k ) ) 2 l o gp ( k ) 七nk n 七竹 七bk e b = l o gp = l o g p 克p n 惫、历是 p s 量 k p 。k j - 元妄瓮等+ 。( 赤) ) 三矿1 蚝时萎8 高+ 。( 毒) ， 其中b i ( i = 2 ，3 ，- 一，8 ) 是可计算的常数 又因为s d f m ) n ，所以 。 1 时，我们分两种情况来讨论该方程解的情况 1 当死是奇数时，由s m a r a n d a c h e 双阶乘函数s a f ( 扎) 的定义可知，s a f ( 佗) 也为奇数，但妒( 礼) 是偶数，因此方程s d f ( n ) = 妒( n ) 无解 2 当佗是偶数时，此时不妨设n = 2 叼1 谚2 磙，其中p l p 2 p k ，且p i ( 1 i 后) 是奇素数，o t i 0 ( 1 i 后) ，o 1 ( 1 ) 当口= 0 ( 1 i k ) 时，此时佗= 2 q ( o t 1 ) 容易验证，当佗= 2 ，2 2 ，2 4 时，s d ：( 礼) 妒( 扎) 当佗= 2 3 时，s d ：( 2 3 ) = 4 = 妒( 2 3 ) ，于是n = 8 是方程s d ：) = 妒) 的 一个正整数解 一 当口5 时，由于小( 吡于是2 口1 2 2 2 2 删，因此2 ql ( 掣) ! ! 所以s 彤( n ) 掣 妒( 礼) ( 2 ) 当o t i 1 时， ( i ) 当佗= 2 印芋1 琏2 霹。时，其中p a 沈 1 ，p k 3 或口知= 1 ，p k 3 时，由于4 k - 1 七一1 ) ，于 即l ( 掣) 妣 ( i i ) 若露i 佗，( 1 i 七) ，( a ) 当吼= 1 ( 1st 墨k ) 时，由于仡l 妒( 竹) ! ! ，于是 2 p k 2 a - 1 ( p l 一1 ) ( p 2 1 ) 溉一1 ) ( 口) 7 如果= 1 ，那么必有a 2 当q = 3 时，此时钆= 2 3 。p k 据s m a x a n d a c h e 双阶乘函数s d f ) 的定义知 s d f ( 2 3 p k ) m a x s d f ( 2 3 ) ，2 s d f ( p k ) 2 - p k 3 时，由于4 p k 帆叫，于是p ki ( 掣) ! ! ( 6 ) 7 如果k = 2 ，那么必有q 2 当q = 2 ，p l = 3 时，据s m a r a n d a c h e 双 阶乘函数s 缈( n ) 的定义知 s d f ( 2 2 3 m ) m a x s d f ( 2 2 ) ，2