（基础数学专业论文）multiple+solutions+for+a+class+of+quasilinear+equations+involving+the+plaplacian.pdf

摘要 近年来包含p - l a p l a c i a n 算子的一般椭圆型方程引起了人们极大的关注，本文主要研究了这 类问题解的存在性和多解性。我们得到主要结果如下： 首先，在第一章我们给出了一维p - l a p l a c i a n 方程( 如( ) ) - t - o ( t ) ，( u ，) = o 在各种 边值条件下正解的存在性和多解性。我们运用不动点定理和指标理论在适当的条件下得 到了该类问题至少存在一个、两个或三个正解。同时指出，就我们所知，这是首次运用 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理且允许非线性项，同时依赖于t 和t 而得到正解的唯一仅有的工 作。 在第二章，我们运用下半连续及鞍点定理得到了一类拟线性椭圆边值为体的多重非平凡 解的存在性。 关键词：一维p - l a p l a c i a n ；超线性：次线性；多重解；e u l e r - l a g r a n g e 型椭圆方程 ab s t r a c t i nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e na ni n c r e a s i n gi n t e r e s ti nl o o k i n ga ta q u i t eg e n e r a lc l a s so f e l l i p t i cp r o b l e m si n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n t h i st h e s i ss t u d i e sm a i n l yt h ee x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t ys o l u t i o n sf o rt h e s ep r o b l e m s t h em a i nr e s u l t sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e rw ep r e s e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n st ot h eo n e - d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s u b j e c tt os o m e b o u n d a r yc o n d i t i o n s w es h o wt h a ti th a sa tl e a s to d eo rt w oo rt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s u n d e rs o m ea s s u m p t i o n sb ya p p l y i n gt h e 丘x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h ei n d e xt h e o r y a t t h es a m et i m e ，t h i si st h eo n l yw o r kw h i c ha l l o w s ，t od e p e n do nb o t hua n d “7t oo b t a i n p o s i t i v es o l u t i o n sb yu s i n gt h ek r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e ma sf a ra sw ek n o w i nt h es e c o n dc h a p t e rw ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o ra c l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h ew e a ks o l u t i o n so x es o u g h tb y m e a a q so fl o w e rs e m i c o n t i n u i t ym e t h o da n ds a d d l ep o i n tt h e o r e m k e y w o r d s ：o n e - d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a n ；s u p e r h n e a r i t y ；s u b l i n e a r i t y ；m u l t i p l es o l u t i o n s ； e u l e r - l a g r a n g et y p ee l l i p t i ce q u a t i o n l v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 8 0 1 2 4 丘 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：煎皇 日期：垫! 兰：生 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名：至笺垒 日 期： 鲨喳生 a c k n o w l e d g e m e n t s 1w i s ht oe x p r e s sm ys i n c e r e s tg r a t i t u d et om ya d v i s o r ，p r o f e s s o rj i h u iz h a n g ，f o rh i s i n v a l u a b l ea d v i c e ，c o n s t a n ts u p p o r t ，a n dg u i d a n c et h r o u g h o u tm yg r a d u a t es t u d i e sa n d r e s e a r c h ia mg r a t e f u lt oh i mf o rb e l i e v i n gi nm ya b i l i t i e sa n db r i n g i n go u tt h eb e s ti nm e 1w o u l dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rh o n g j i ug a o ，z u o d o n gy a n g ，j i n g x u a nf a n g ，q i n g l i u y a o ，y u k u na n ，r u y u nm a ，y u n t i a nl e if o rt h e i re n c o u r a g e m e n ta n da s s i s t a n c e d o c t o r c h u a n z h ib a is h a r e dw i t hm eh i sk n o w l e d g eo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp r o v i d e d m a n yu s e f u lr e f e r e n c e sa n df r i e n d l ye n c o u r a g e m e n t ih a dt h ep l e a s u r eo fs t u d y i n gi ns c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e ro fn a n j i n g n o r m a lu n i v e r s i t y a l lt e a c h e r sa l ew o n d e r f u lp e o p l ea n dt h e i rs u p p o r tm a k e sr e s e a r c h l i k et h i sp o s s i b l e t h ex i n g h a i 死珊s c h o l a r s h 币，w h i c hw a sa w a r d e dt om ef o rt h ep e r i o d 2 0 0 2 2 0 0 5 w a sc r u c i a lt ot h es u c c e s s f u lc o m p l e t i o no ft h i sp r o j e c t is h o u l da l s om e n t i o nt h a tm yu n d e r g r a d u a t es t u d i e si nw - u ) c iw e r es u p p o r t e di np a r t b yd e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s o fc o u r s e ，ia n 2g r a t e f u lt om yp a r e n t sf o rt h e i rp a t i e n c ea n dl o v e w i t h o u tt h e mt h i s w o r kw o u l dn e v e rh a v ec o m ei n t oe x i s t e n c e ( 1 i t e r a l l y ) f i n a l l y , 1w i s ht ot h a n kt h ef o l l o w i n g ：z h i y u a nw a n g ( f o rc h a n g i n gm yl i f ef r o mw o r s e t ob e t t e r ) ；x i a n g r o n gs u n ，s h i c h a oc h e r t ( f o rt h e i rf r i e n d s h i p s ) ；y u e m i n gw a n g ，x u e q i n g w a n g ( f o rt h e i rb e a u t i f u ls m i l e s ) ；s h a o z uw a n g ，j i a nl i a n g ，z h i f e n gw u ，j u n f e n gw a n g ， q i a n gw a n g ，z h i r uq i ，e n g g a n gt i a n ，y o n gf a n ，x i n y i n gh u a n g ( f o ra l lt h eg o o da n d b a dt i m e sw eh a dt o g e t h e r ) ；h a i s h ul ua n dg u i x i a n gx u ( f o rs p e c i a le f f e c t s ) ；b a o f a n gl i u ， q i a ng ea n dy a n h o n gm i u ( b e c a u s ew ea l w a y sd i s c u s sp r o b l e m s ) ；a n dm yl i t t l en e p h e w ( b e c a u s eh ea s k e dm et o ) n a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y a p r i l ，52 0 0 5 z h i y o n gw a n g p r e f a c e n o n l i n e a ra n a l y s i si so n eo ft h ef i e l d so fm a t h e m a t i c sw i t ht h em o s ts p e c t a c u l a rd e v e l o p - m e n ti nt h el a s td e c a d e so fl a s te n do fc e n t u r y t h ei m p r e s s i v em u n b e ro fr e s u l t si nt h i s 8 e ai sa l s oac o n s e q u e n c eo fv a r i o u sp r o b l e m sr a i s e db yp h y s i c s ，o p t i m i z a t i o no re c o n o m y i nt h em o d e l l i n go fn a t u r a lp h e n o m e n aac r u c i a lr o l ei sp l a y e db yt h es t u d yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fe l l i p t i ct y p e ；t h e ya r i s ei ne v e r yf i e l do fs c i e n c e c o n s e q u e n t l y , t h ed e s i r e t ou n d e r s t a n dt h es o l u t i o n so ft h e s ee q u a t i o n sh a sa l w a y sap r o m i n e n tp l a c ei nt h ee f f o r t s o fm a t h e m a t i c i a n s ；i th a si n s p i r e ds u c hd i v e r s ef i e l d sa sf u n c t i o n a la n a l y s i s ，v a r i a t i o n a l c a l c u l u so ra l g e b r a i ct o p o l o g y t h eg o a lo ft h i st h e s i si st os t u d ym a l u l yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t ys o l u t i o n sf o r t h ep r o b l e m si n v o k i n gt h ep - l a p l a c i a n i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i sw ec o n s i d e ro n e - d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o u rc o n c e r ni so ne x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a n d ( 如( u ，) ) 7 - 4 - a ( t ) f ( u ，) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ，“( o ) = ( 1 ) = 0( 0 0 1 ) ( 如( 7 ) ) 7 + 0 0 ) ，( t ，t 7 ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ，( o ) = “( 1 ) = 0 ， ( 0 0 2 ) w h e r e 如( 8 ) ：= i s i p - 2 8w i t hp 1 a n do ，s a t i s f y ：，： 0 ，o 。) ( - - 0 0 ，o 。) _ 【0 ，0 0 ) i s c o n t i n u o u s ，a ：( 0 ，1 ) _ 0 o 。) i sm e a s u r a b l e ，oi s n o ti d e n t i c a l l yz e r oo na n yc o m p a c t s u b i n t e r v a lo f ( o ，1 ) a n df u r t h e r m o r e0 时a ( t ) d t 1 1 ac o n s i s t e n ta c c o u n to nt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r eo i le q t m t i o n sl i k e ( ( “) ) + o ( t ) ，( u ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) 2 ( 0 0 3 ) i sp r o v i d e da n di ti se m p h a s i z e dt h a tt h eu s eo ff i x e dp o i n tt h e o r y , f o ri n s t a n c ek r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ef i x e dp o i n ti n d e xo fac o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o rw i t h r e s p e c tt oa c o n ei nab a n a c hs p a c ea n da s s u m p t i o n so n 肛l 枷i r a ( u ) a n d ：= 瓣等 ( 0 叫) h a v ep l a y e dar o l ei nt h es t u d yo fs u c hp r o b l e m s t h ec e n t r a la i mo ft h i sc h a p t e ri st oi n v e s t i g a t e ( 0 0 1 ) a n d ( 0 0 2 ) r e g a r d i n gt h ed e p e n - d e n c eo f o nb o t hua n d “i nc o n t r a s tw i t he a r l i e rw o r k sw h e r eii sa l l o w e dt od e p e n d j u s to n u a sas t a r t i n gp o i n tw ec o n s i d e rt h eb a n a c hs p a c ex ：= c 1 ( 【o ，1 】) e n d o w e dw i t ht h e n o r mi l u f i 。- 0 i n s s x l u 2 + ( 卵】1 2 ，t h e c o n ekcx 。fn o n n e g a t l v e 缸c 1 。璐a n d h e1 曲n s f ；：= 。+ l i 。m 。卜。i l i i f ； ；i 8 ；ja n d f ：o = 。+ l i 。m ，。i 1 石f ：! ； ：害；i ( 。s ) t h e nw ee x p l o i tt h ei n t e g r a lo p e r a t o r sa s s o c i a t e dt o ( 0 0 1 ) a n d ( 0 0 2 ) i nc o n n e c t i o n w i t ha s s u m p t i o n so nt h el i m i t si n ( 0 0 5 ) ，e s t i m a t e s ，f i x e dp o i n tt h e o r e m so ns u i t a b l es u b s e t s o fka n dp r o p e r t i e so ft h e “f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi nc o n e s ”，s u c h 嬲e x c i s i o n ，t os h o w r e s u l t so i le x i s t e n c eo fo n ea n dt w os o l u t i o n sf o r ( 0 0 1 ) a n dt h r e es o l u t i o n sf o r ( 0 0 2 ) i nt h es e c o n dc h a p t e rw et r e a t st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m so ft h ef o r m ：竺、：d + i v “1 2 ) 2 1 v u = ：，( $ u 兰晋b ， c 。， w h e r e0 d 1 ，( 如) 一= 专+ = 1 ，a n do ，s a t i s f y ( 日1 ) ，：【0 ，+ o o j ( 一o o ，+ o 。) _ + 【0 ，+ o o ) i sc o n t i n u o u s ； 4 5 ( 日2 ) a ：( 0 ，1 ) - 【0 ，+ o 。) i sm e a s u r a b l e ，a n da ( t ) i sn o ti d e n t i c a l l yz e r oo na n yc o m p a c t s u b i n t e r v a lo f ( 0 ，1 ) f u r t h e r m o r ea ( t ) s a t i s f i e s0 舒a ( t ) d t b ，0 r u k ( 7 ，0 ，b ，c ，d ) j ( i i ) p ( t u ) bf o rk ( 7 ，v ，b ，d ) w i t ho ( t u ) c i ( i i i ) 0 簪r ( 7 ，妒，o ，( f ) a n d 妒( t u ) a f o r u r ( ，y ，妒，a ，d ) w t h 砂( 札) = a t h e nth a sa tl e a s tt h r e e 廊c dp o i n t s 乱1 ，u 2 ，u 3 厕，s u c ht h a t 7 沁) d f o r i ；1 ，2 ，3 ；b ( u 1 ) a 妒( u 2 ) w i t hv ( u 2 ) 6 ； 妒( 奶) 1 ； 蝣= o ( 0 ，0 0 ) ，恐= 0a n d0 2 ( 口一1 ) m 1 i 搭= 。，危= 卢( 0 ，o 。) a n d2 p 2 ( g 一1 ) 0 ， s u c h 。h 越，( “，“) p ( + f ) 】p l f o r 阻1 2 + l u 铲万；s e t h 2 = m a x ；h t ，；耳2 ) ，奶= f “x ：j j 珏j f 0s a t i s f i e 吕4 a 2 m 兰1 t h e r ea r et w oc a s e s t oc o n s i d e r c a s e ( 1 ) ：s u p p o s e h a t o m s a s r x lf ( u , u ) i sb o u l l d e d ，t h e ne x i s t 8 o 8 a t i s f i e 8 ，( u tt 7 ) p t a k i n g 玩= m “ ；历，m ) ，f o r “kn 勰2 ，n 2 ；“x ：州l r 0 t a k i n g 日2 r 0 ，r 0 = m a x ；日1 ，玩 ，t h e n w e h a v e ，( “，) g ( h 2 ) ( 2 a h ：) p - 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