（基础数学专业论文）积分算子半群及其在时间连续markov链中的应用.pdf

积分算子半群及其在时间连续 m a r k o v 链中的应用 摘要 学科专业：基础数学研究方向：泛函分析及应用 指导教师：李扬荣教授研究生：朱波( 9 9 1 5 5 ) 关于m a r k o v 过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法概率方法直观、形象、 明晰，概率意义比较清楚；分析方法则有表达简洁、明快的特点就应用而言，许多物理 学家、生物学家，化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果，而分析方法所表达的结 果更适用于将概率论与其他数学学科的成就联系起来或利用现代数学的成果本文着力 于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，研究积分算子半群及其在时间连续m a r k o v 链中的应用 f 给定一个q 一矩阵q ，可能存在无穷多个转移函数，从而在空间上可能有无穷多 个正的压缩半群( q 半群) 与之对应，而每个正的压缩半群有且仅有一个无穷小生成 元。人们自然会提出如下问题：q 一矩阵o 与这些正的压缩半群的生成元之间有什么关 系呢? 本文第一部分作这方面的探讨我们将q 一矩阵o 做一些限制，讨论由q 一矩阵q 导出的算子而、o l ，和q - - c 。o ( 此时q 一矩阵q 必须是f e l l e r r e u t e r r i l e yq 矩阵) 在l l 或c o 空间上生成正的压缩半群的条件 我们首先得到q 一矩阵q 导出的算子之间有如下关系： q o f ，+ = 虿i = q 。 o o 。+ = q o 。o = 9 。 其次，我们讨论由q 一矩阵o 导出的算子葡i 、q i 。和q - 2 在1 1 或c o 空间上生成 正的压缩半群的充分必要条件我们有如下结果： 定理31 1 国，在f l 上生成正的压缩半群的充要条件是存在a 0 ，使得a ，一劬，在 1 t 上是单射； 定理3 13 萄瓦在l x 上生成正的压缩半群的充要条件是存在a 0 ，使得a i o f 。 在k 上是单射； 当q o 。有定义时， 定理3 2 1 虿i 在c o 上生成正的压缩半群的充要条件是存在a 0 ，使得a ，一q f ， 在f - 上是单射 最后，我们将上述结果应用到生灭过程中，得到了上述条件的数字刻划当q 一矩阵 q 为生灭矩阵时，记 一( a o + p o ) a o 0 0 、 吲嘲：l 等一1 譬m m ) 鬈：i ， i ； ；j! 其中a 。三0 ，p f 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，记 拈。轰。志c - + 鲁+ 揣+ 垒! 垒垫= ! ：垒翌! “n “n 一1 一z m + l 肚。妻，c 圭+ 彘+ 糕卜 我们有如下结果： 定理4 1 1q - r g 。在c o 上生成正的压缩半群充要条件是或者( i ) 对 卢。) 的某个子列 脚。) ，有p 。= 0 ；或者( i i ) 如果m = s u p n ；蜥= 0 ) + o o ，那么s = + o o ； 定理4 2 1q f 在z 1 上生成正的压缩半群的充要条件是或者( i ) 对 肛。) 的某个子列 p 。) ，有p = 0 ；或者( i i ) 如果m = s u p n ；肛n = 0 ) + o o ，那么s = + o o ； 定理4 2 2 萄i 在z - 上生成正的压缩半群充要条件是或者( i ) 对( h 的某个子列 。) ，有a 。= 0 ；或者( i i ) 如果m = s u p n ；a 。= 0 + o o ，那么r = + o o 本文第二部分讨论积分半群在时间连续m a r k o v 链中的应用众所周知，岛半群在时 间连续m a r k o v 链中有着广泛的应用，而近年来发展起来的积分半群在时间连续m a r k o v 链中是否也有相应的应用呢? y r l i 在 4 1 j 中作了讨论y r l i 4 1 】着重讨论转移函 数在f 。上的性质，得出一般的无界q 一矩阵q 在f 。上能生成正的一次压缩积分半群 迄今为止，这是首次应用积分半群的理论来研究时间连续m a r k o v 链 在y r l if 4 1 】的基础上，我们首先讨论由转移函数导出的k 上的正的一次压缩半 积分群的生成元与q 一矩阵q 之间的关系；其次，我们该讨论问题的反面：给定k 上的 正的一次压缩积分半群，在什么条件下，能找到一转移函数与之相对应我们有如下结 果： 定理5 3l 设p ( t ) = ( p i j ( t ) ) 是q 一矩阵q 的一g 一函数，定义 a ( t ) = ( g 巧( t ) ) = ( fp i j ( s ) d s ) ，v i ，j e ，v t 0 2 则l 。上的正的一次压缩积分半群a ( t ) 满足： ( 1 ) a ( t ) 在算子拓扑意义下是l i p s c h i t z 连续的且以1 为l i p s c h i t z 常数； ( 2 ) 对v i j e ，g i j ( t ) 关于t 是f 0 ，+ o 。) 上的增函数 定理5 32 设a ( t ) = ( a i j ( t ) ) 是k 上的正的一次压缩积分半群，满足： ( 1 ) g ( ) 在算子拓扑意义下是l i p s c h i t z 连续的且以1 为l i p s c h i t z 常数； ( 2 ) 对v i ，j e ，g i j ( t ) 关于t 是 o ，+ 。) 上的增函数；及 ( 3 ) 对v i e ，e i = ( 0 ，0 ，1 ，0 ，) o ( a ) ，其中q 是a ( t ) 在k 上的生成元 则存在一转移函数p 。( t ) ，使得有 ，t a ( t ) = ( g 玎( t ) ) = ( p i j ( s ) d s ) ，v i ，j e ，v t 0 j u 以前讨论的积分半群的例子都是有关偏微分3 - n s j ，是否存在其它方面的积分半群 的例子呢? 答案是肯定的上面的结果一定理5 , 32 给出t - - 5 p am a r k o v 链为背景的非 偏微分方程的积分半群的例子) 关键词：时间连续m a r k o v 链；转移函数；q - 矩阵；生灭矩阵；算- 7 = 半群；积分半群； 正的一次压缩积分半群；生渍元 3 一、引言和预备知识 1 1 引言 有界线性算子半群理论是2 0 世纪4 0 年代产生和发展起来的，作为泛函分析的一个 分支越来越被人们重视算子半群理论在解决抽象发展方程的c a u e h y 问题及在对m a r k o v 过程的系统研究中都成为基本的数学工具，近年来在分布参数系统、现代控制理论、滤 波和信息处理、偏微分方程及随机过程等各个领域都得到了广泛的应用我国数学家应 用有界线性算子半群理论在人口问题、弹性振动问题及中子迁移理论等具有实际背景问 题的研究中取得了一批出色的成果 m a r k o v 过程最初由俄国数学家m a r k o v 所研究，至今已发展成为概率论中最富理论 意义和应用价值的重要分支它与泛函分析、微分方程、微分几何、理论物理等学科密切 相关，用到这些学科中的许多结果；反过来，它又从方法上、解释上丰富了这些学科从 应用方面来看，许多具体的m a r k o v 过程如布朗运动、p o i s s o n 过程、扩散过程都来源于 物理等自然科学和工程技术，因而m a r k o v 过程的的一般理论在这些学科中及后来兴起的 诸如系统论、自组织理论、数理经济学等中得到了广泛的应用 关于m a l k o v 过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法概率方法直观、形象、 明晰，概率意义比较清楚；分析方法则有表达简洁、明快的特点就应用而言，许多物 理学家、生物学家、化学家等专家更钟爱概率方法所表达的结果，而分析方法所表达的 结果更适用于将概率论与其他数学学科的成就联系起来或利用现代数学的成果例如i t 6 建立的随机微分方程理论，f e l l e r 在m a r k o v 过程研究中引入的泛函分析半群方法，角谷 静夫、d o o b 等人发现的布朗运动与狄利克雷问题的联系，后来h u n t 等人研究的相当一 般的m a r k o v 过程与位势理论的关系以及新近十几年来发展起来的m m l i a v i n 分析都是这 方面的例证 本文着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，研究积分算子半群及其在时 间连续m a l k o v 链中的应用 1 2 文献综述 算子半群( c o 半群) 1 】在时间连续m a r k o v 链中有着广泛的应用由时间连续 m a r k o v 链理论( wj a n d e r s o n 2 ) 知，给定一个m a r k o v 链，存在与之相对应的转移函 数；反之，给定一个转移函数，我f j 能构造一个m a r k o v 过程，使得此转移函数就是与该 m a r k o v 过程相对应的转移函数而转移函数与j - 空间上正的压缩半群一一对应，从而算 子半群在时间连续m a r k o v 链中有着广泛的应用前景对于m a r k o v 链，经转移函数，存 在与之相对应的q 一矩阵q ；而给定一个q 一矩阵q ，可能有无穷多个转移函数与之相对 4 应有关q 矩阵问题，见z th o u 2 3 】 早在1 9 5 7 年，g er e u t e r 【1 5 】就研究了与q 函数相对应的g 0 半群的生成元与q 一 矩阵q 之间的关系但g e r e u t e r 的研究限于讨论算子q o z ，和o ( 1 l 空间上q 一矩阵 q 有极大定义域的算子) 与转移函数满足前向、后向方程之间的关系g g u p u r 【2 8 3 0 中证明了m m 1 排队论模型导出的算子q 在l l 上能生成岛半群，y r l i 3 9 对这一 结论进行了改进，给出了生灭矩阵导出的算子在f - 上生成岛半群的条件本文第一部 分在他们的基础上继续讨论与q 一函数相对应的岛半群的生成元与q 一矩阵q 之间的关 系我们沿着g e h r e u t e r 的思路，讨论q 一矩阵q 的某一部分，如：萄i ，q f 。和q 0 c o 在i 。或c 。空间上作为岛半群的生成元的充要条件，并将上述结果应用到特殊的m a r k o v 过程一生灭过程中去，得到上述条件的数字刻划( 见第二、三、四部分) 近年来，许多作者丰富和发展了积分半群和c 一半群的理论( 见 3 - 6 ， 8 - 1 0 ， 3 7 】， 4 1 ，【4 2 ) 一个重要的问题是：对于c 一半群，是否存在类似于函一半群的l u m e r p h i l l i p s 定理( 见 m 公开问题6 1 0 ) ? 最近，m l i 和f h u a n g ( 8 ，1 9 9 8 ) 和y l i ( 3 7 ，1 9 9 8 ) 讨论了上述问 题y l i 4 l 】针对积分半群而言，进一步讨论了上述问题 由a n d e r s o nf 2 知，对q 一矩阵q 的任意转移函数f ( t ) ，f ( t ) 在f 1 上是一正的压缩 半群，而，( t ) 在i 。上是一正的压缩半群的充要条件为q 一矩阵q 是l 。上的一致有界 q + 矩阵这是一种平凡的情形a n d e r s o n 【2 】认为f 。空间太大了，在k 空间上得出的 结果都很平凡。而l i 4 1 1 着重考虑了转移函数在f 。上的性质，得出一般的无界q 一矩阵 q 在f 。上能生成正的一次压缩积分半群迄今为止，这是首次应用积分半群的理论来研 究时间连续m a r k o v 链 沿着y r l i 4 1 的思路，在本文的后半部分( 见第五部分) ，我们将讨论以下两方 面的内容：首先，我们讨论由转移函数导出的f 0 0 上的正的一次压缩积分半群的生成元与 q 一矩阵q 之间的关系；其次，我们讨论问题的反面：给定 。上的正的一次压缩积分半 群，在什么条件下，能找到一转移函数与之相对应 以前讨论的积分半群的例子都是有关偏微分方程的，是否存在其它方面的积分半群 的例子呢? 答案是肯定的上述反面问题的讨论给出了一个以m a r k o v 链为背景的非偏微 分方程的积分半群的例子 51 3 预备知识 为了叙述方便，我们简单地介绍以下相关的概念及相关的结果 定义1 3 1c o 半群 设x 是b a n a c h 空间，p ( t ) ；t20 ) 是x - _ x 的有界线性算子簇，如果它满足 ( i ) 丁( 0 ) = ，； 5 ( 2 ) t ( t + 5 ) = t ( ) t ( s ) ，v s ，t o ； ( 3 ) l i m t - - 。o + j t ( t ) x z ；= 0 ，v z x ， 则称 丁( ) ：t 0 ) 为强连续算子半群或岛类半群，简称岛半群 定义线性算子a 如下： 刚) = x e x ：姆堡字存在) ， 且 az=lim塑型=td+t(t)xt40t( t = 0 ，v z 删，d t 。 、 则称a 是c 0 半群 t ( t ) ；t 0 ) 的无穷小生成元，简称生成元 定义1 3 2 设 0 定理1 3 ，6 ( l u m e r p h i l l i p s 定理) 1 】设a 是b a n a c h 空间x 上的一个稠定线性算子， f 1 ) 如果a 是耗散算子且存在一个a o 0 使得i m ( a o j a ) = x ，那么a 是x 上 某个压缩半群( t ( t ) ；t o 的生成元； 6 ( 2 ) 如果a 是x 上压缩半群 t ( t ) ；t 0 ) 的生成元，那么对v a 0 ，有i m ( m a ) = x 且4 是耗散算子另外，对v z d ( a ) 及v x + f ( x ) ，有r e 0 。 定义1 37 ( 时间连续m a r k o v 链) 以可数集e 为状态空间，定义在概率空间( q ，户，p r ) 上的随机过程 x ( t ) ，t ( 0 ，+ o 。) ) 称为时间连续参数m a r k o v 链，如果满足：对任意有限 个时间”0 t l t 2 t 。 0 时，有 p r x ( k + 1 ) = j x ( t 。) = i ，x ( t n 1 ) = i 。一1 ，- ，x ( h ) = i l ) = p r ( x ( t n “) = jfx ( t n ) = 吐( 11 ) 方程( 1 1 ) 称为m a r k o v 性质如果对v s ，t 满足0 s t 及v i ，e ，条件概率p r x ( t ) = jjx ( s ) = i ) 只依赖于t s 而与s 和t 无关，则称随机过程f x ( ) ，t 0 ，+ o 。) ) 是齐次 m a r k o v 过程此时，p r x ( t ) = jlx ( s ) = i = p r x ( t 一8 ) = jix ( o ) = i 称 只s ( t ) = p r x ( t ) = j x ( o ) = z ) ，v i ，j e ，t 0 ， 为该随机过程的转移函数 m a r k o v 过程有一个重要的特点：在已知目前的状态( 现在) 的条件下，它未来的演 变( 将来) 不依赖于以往的演变( 过去) 这种在已知“现在”的条件下，“将来”与“过 去”独立的特点，称为m a r k o v 性质( 简称马氏性) 由时间连续m a r k o v 链理论【2 知，给定一个m a r k o v 过程，可以构造一个转移函数 ( 定义1 3 8 ) ；反之，给定个转移函数，人们能够构造出一个m a r k o v 过程从而，对 m a r k o v 过程的研究就转化为对转移函数的研究 标准转移函数的定义如下： 定义1 3 8 ( 标准转移函数) 可数集e 为一状态空间， p 。( t ) ，i ，j e ，t 兰0 j 称为是 标准的转移函数，如果它满足： ( 1 ) p 。j ( t ) 0 ，v t 兰0 ；且 州地= 似翥嚣； ( 2 ) 7 e p z a t ) s1 ，v t 0 ，v i e ( 3 ) p i j ( s + t ) = e p t k ( s ) p k j ( t ) ，v s ，t 0 ，v i ，j e ( 4 ) l i r a 。o p m t ) = 1 ，v i e ，或等价地，l i m t _ o p i s ( t ) = 6 。j ，v i j e 本文始终假定转移函数是以e = 0 ，1 ，2 ，- ) 为状态空间的标准转移函数 续m a r k o v 链理论【2 知，标准转移函数存在如下形式的极限： lim型兰=q(componentwise)t-0 t _ 由时间连 ( 1 2 ) 定义1 39 矩阵q = ；i ，j e ，称为q 一矩阵，如果它满足 0 曼q i j + 。，i ( 1 3 ) q i j 一q i i i m s + o c ，v i e ( 1 4 ) j 2 如果对v i e ，q i 0 ( 15 ) 二、口矩阵q 导出的算子的性质 5 2 1q 一矩阵q 导出的算子的定义 考虑如下形式的b a n a c h 空间： 1 i = z = ( 戤) 锄i i x ii + o o ) l e e k = z = ( x i ) i 6 eis u p | x ij + o 。) ； i 6 e c o2 z = ( z i ) i ei 。三q2o ) 在l ll 。c o 空间上分别定义如下形式的范数 引k2 至旧一i | | 引k 2 s 锄u p 旧z i i i i i c 。s 锄u p 旧t t e “ 设q 是一稳定的q 一矩阵，即 q o 0 ，i j ，且q ：j - - q i ii m + 。，v i e j 2 ( 2 1 ) ( 22 ) ( 23 ) 在f 。空间上定义线性算子q k 如下： 裂q 2 x ! 。澳d j 。( q 。t a ， lq f 。z = ，b 0 。) 、 记m 。= s p a n e i ) ，其中e i 是f 1 空间上的第i 个分量为1 其余分量为0 的元记 功。= z f l ix i q i ji 0 ，a j q ，在z l 上是满射 定理2 2 2 q o l 。+ = 虿五_ = q k 2 3c 0 空间上算子q 0 。和q 。的性质 如果q 是f e l l e r r e u t e r r i l e yq 一矩阵，那么c 0 空间上算子q 0 “和q 。具有如下性 质： 定理2 3l ( 1 ) q 0 。和q 。是稠定线性算子； 9 ( 2 ) q 是耗散算子，q o 。是能闭算子，萄面也是耗散算子，其中萄i 是q 0 。的 最小闭延拓； ( 3 ) q 。也是耗散算子； ( 4 ) 对v a 0 ，a i 一q o c o 在c o 上是单射； ( 5 ) 对v a 0 ，a i q 。在c o 上是单射 定理2 3 2q o 。+ = 萄石了= q f 。 注：事实上定理2 3 1 ( 3 ) 中，对任意的q 一矩阵q 而言，q 。都是耗散算子其证 明与定理2 3l ( 3 ) 的证明完全相同( 见后) 2 4 证明 定理2 2 1 的证明：( 1 ) 由q o z 和q 。的定义，显然两者都是稠定线性算子 ( 3 ) ( 2 ) 为证铂“是耗散算子，由引理1 3 4 ，我们只需证明 i i x ( a i q o “) 忆刈z 忆忱d ( q o f 。) ，v a 0 事实上，设z = ( x o ，x l ，。00 ，) d ( q 0 1 ) = m ，及a 0 ， j | x ( m q o j ，) = f fx ( m v ) 】tl 。 = i z i ( x 6 0 iq ) iz z j1 + j e e l e e = l1 q 一叫。lz j l j j j e e i e e hl - h l l q i jl j e ej e e z e = hl + 幻hl - 旧l iq q j e ej e ej e e l j n = 刈z + 劬1q1 - i x i1 q i j i = oi e e j t s i n 2 a l l 。眦，十幻iq 一i x iiq i j = ol e e = a i 。忆， 所以q o f 是耗散算子 由于万丽= zl ，从而由p a z y 【1 ，p 1 5 ，t h e o r e m4 5 ( c ) 1 知，q o i l 是一能闭算子 再由p a z y 1 ，p 1 5 ，t h e o r e m4 5 ( b ) 知，萄i 也是一耗散算子 最后我们证明萄i c q l 。由于q 一矩阵q 是稳定的q 一矩阵，由a n d e r s o n 2 知， q 一矩阵q 存在最小的g 一函数f ( t ) = ( ( t ) ) 设，( t ) 作为半群在f 1 上的生成元是n 因为f ( t ) 既满足前向方程又满足后向方程，所以由a n d e r s o n 2 ，p 4 0 ，p r o p o s i t i o n4 5a n d 1 0 p r o p o s i t i o n4 6 知，有q o f lcn c q 。又因为q 0 f 。是一能闭算子，而n 是一闭算子， 所以q o f ，cn q f 。 ( 4 ) 因为虿i 是一耗散算子，从而对v a 0 ，a i 一刁i 在i i 上是单射 ( 5 ) 由( 2 ) ( 3 ) 的证明知，q 矩阵q 的最小转移函数f ( t ) 在1 1 上的生成元n 满 足ncq f ，因为n 在f 1 上生成正的压缩半群f ( t ) ，所以由l u m e r p h i l l i p s 定理有，对 v 0 ，i m ( ) j n ) = f 1 从而i m ( x i q 1 1 ) 3i m ( ) j q ) = l ，所以i m ( x l q 1 1 ) = f 1 定理2 2 2 的证明：我们首先证明丽= q 0 1 + 对v y d ( q o f ，) 和v z d ( q o f 。) ， = = ， 从而y d ( q 0 1 1 + ) 且q 0 t , y = 虿石y 所以丽cq o t ，+ 反之，对v y d ( q o “+ ) 和v z d ( z 丽j ) ，存在。d ( q o t 。) ，使得有 。+ l i m + 。x n = 。凰虿百= 。1 i m + 。x n q o f l 因为 = = 。旦： 一。旦l * y 2 ， 所以y d ( 丽) 且丽y = q o r f ，从而q o rc 酊所以q o ，= 丽 其次，我们证明q o z + = q f 。 对v y d ( q t 。) 和v z d ( q o f ，) = m ：，不妨设z = ( x o ，z h ，z 。，0 ，0 ，) 因为 n = = x i q 。j y j = x i q i j y j l e e j e e i = 0j e e n = x i q i j y j = x i q i j y j = = ， j 6 e i = oj e e i e e 所以y d ( q o t 。+ ) 且q 0 f t * y = q f 。y ，从而q f 。cq o t 。+ 反之，对v y d ( q o i + ) 和比d ( q o f ，) c1 1 ，不妨设y = ( y o ，y l ，f 2 ，y ) 我 们有 = 特别地，取。= e i l l ，我们有 = = q o y a j e 记z = q o 1 y ，则z = ( z o ，z l ，- ) f 。且z i = = 所以 z i = j e q i j y j ，即：对v i e ，j eq i j y j 收敛到z i ，又因为z l 。，所以 s ，。u 。p l f 。e q i j y j = s 锄u p 0 事实上，设3 7 = ( x i ) d ( q 。) cc o 及a 0 ，因为x i _ o ( i _ + 。) ，所以存在i o ，使得 旧。i = s u p 。e1 x i1 = 忪忆从而 i l ( a j q c 。) z = l f ( a i q ) x 2 濯丢a ( i j - - 吼j ) x i f t bm 2 攀一伽y _ ：q i j q l t bm 2 溜m 刊矿争丹f “：e“ i ( a 十q i o ) z 1 0 一q i o j x jf j i o d + q i 。) fx i 。卜q i o i 巧 j o o ( + q i o ) l ：c i 。l 一( m 。j ) i lzi i 。 ( + q i o ) l l 茁l l c o 一吼o i lzl 。 = 刈。k ， 所以q 。是耗散算子 ( 2 ) 由q 。和q o 。的定义，q o c 0cq c o 所以对v a 0 和比d ( q q c o ) ，有 f 1 ( a j q o c 0 ) z1 1 c 0 = 0 ( j q c 。) z ；l 。 l lz1 1 。， 所以q o 。也是一耗散算子 由p a z y 【1 ，p 1 5 ，t h e o r e m4 5 ( c ) 知，q 0 c 。是一能闭算子再由p a z y 【1 ，p 1 5 ，t h e o r e m 4 5 ( b ) 知，虿i 也是一耗散算子 ( 4 ) ( 5 ) 由于q - - c 。o 和q 。都是耗散算子，所以对v a 0 ，a i q o c o 和a i 一0 。在c o 上是单射 定理2 3 2 的证明：我们首先证明砺i = q o 。+ 1 2 对v y d ( 刁i ) 和v z d ( q o 。) ， = = 从而y d ( q o 。) 且y q o 。4 = 丽了所以蕊了cq o 。+ 反之，对v yed ( q o c o * ) 和比d ( 萄瓦) ，存在z 。d ( q o 。) ，使得有 因为 。l i m + 。n = z 且瓣= 。要q o c 。z n = = 。旦， 一n 里掣q 0 c 0 + = ， 所以y d ( 百i 了) 且虿i 了= y q o 。+ ，从而q o 。+ c 虿i 了所以q o 。+ = 虿i 了 其次，我们证明q o 。= 。f ， 对v y d ( q ，) 和比d ( q o c 0 ) cc o ，不妨设z = ( z o 、姐，z 。，0 ，0 ， q o 。z = q c o z = q 。，而且 nn = x i q u y j = x i q i j y j = x i q i j y j i e e j e e i = 0j e j e e i = 0 = x i q i j y j = = ， j e e i 6 e 所以d ( q o 。+ ) 且有q o 。= p q “，从而q i lcq o 。+ 反之，对v y 9 ( q o c o + ) 和比d ( q o 。) cc o ，不妨设y = ( o ，y l ，2 ，y 们有 = 特别地，取z = e j c 0 ，我们有 = = = y l q i j ) ，有 ) 我 记2 = y q o c o + ，则z = ( z 0 ，z l ，) 1 1 且勺= = 所以 勺= * f y z q i j ，即：对巧e ，。e y i q i j 收敛到勺因为q 是f e l l e r r e u t e r r i l e y q 一 矩阵，所以对任意固定的j e ，有l i m i 。+ 。q i j = 0 ，从而存在0 坞 0 ，使得a ，一q “在? l 上是单射； ( 4 ) q = q 。，其中q 是q 一矩阵q 的最小q 一函数，( t ) 在1 1 上的生成元 定理3 13 下述条件等价； ( 1 ) 刁i 在f t 上生成压缩半群； ( 2 ) 存在a 0 ，使得a j q k 在f o o 上是单射 推论3 14 下述条件等价： ( 1 ) 刁i 在? 1 上生成压缩半群； ( 2 j 百i 在f - 上生成正的压缩半群； ( 3 ) 存在a o ，使得a ，一虿i 在? 1 上是满射； ( 4 ) q = 砭瓦，其中n 是q 一矩阵q 的最小q 一函数，( t ) 在2 l 上的生成元 ( 5 ) 存在a o ，使得a j q 在1 。o 上是单射； ( 6 ) 存在 0 ，使得 ，一q 2 。在f 基上是单射j 3 2c o 空间上百i 生成q 半群的条件 当q 是f e l l e r - r e u t e r - r i l e yq 一矩阵时，q o 。有定义，从而我们有如下结论： 定理3 2 1 下述条件等价： ( 1 ) 刁i 在c o 上生成压缩半群； ( 2 ) 存在a 0 ，使得a ，一 ，在f 1 上是单射 而且，( 1 ) 或( 2 ) 成立时，磊在c o 上生成压缩半群是一正的压缩半群 1 4 3 3 证明 定理3 i i 的证明：( 1 ) = 寺( 2 ) 因为q f 。在i i 上生成压缩半群，由h i l l e - y o s i d a 定理知， ( 0 ，+ o o ) cp ( q f ，) ，所以对v a 0 ，a i q f ，在；l 上是单射 ( 2 ) = 辛( 1 ) 设对v a 0 ，a i q f 。在1 1 上是单射，( ) 是q 一矩阵q 的最小q 一函 数，并记，( ) 在f l 上的生成元为q 因为，( t ) 是口一矩阵q 的最小转移函数，所以，( t ) 满足前向方程，由a n d e r s o nf 2 ，p 4 1 ，p r o p o s i t i o n4 6 】，ncq f l 因为q 是f ( t ) 的生成元， 所以对v a 0 ，( a ，一n ) 1 存在因为 ( a 一0 ，。) d ( q ) ：( a ，一q ) d ( q ) = i 所以 d ( q i ：) = ( a j q ) “1 1 = d ( f 1 ) ， 从而q = q ，而且q l ，在l l 上生成的压缩半群就是g 一矩阵q 的最小g 一函数，( t ) 推论3 1 2 的证明：( 1 ) = 号( 3 ) 见定理3 1 1 ( 3 ) = 辛( 4 ) 见定理3 1 1 的证明 ( 4 ) = 等( 2 ) 因为g 一矩阵q 的最小转移函数f ( t ) 在f l 上是一正的压缩半群 ( 2 ) = 辛( 1 ) 显然 定理3 1 3 的证明：由定理2 21 知，萄i 是一稠定耗散算子 下面，我们先证明如下事实： 对v a 0 ，如果i m ( a i 一丽) = f l ，则i m ( a i 一瓦) = f 1 事实上，如果，m ( a 一一q o t t ) 在，l 中稠定，对v y z i ，则存在z 。，使得有： l i n l n 。+ 。z 。( “一q 0 1 1 ) 由因为萄i 是耗散算子，所以 i 一瓦) 忆刈吣v z d ( 甄) 所以 忪。一。s 如( x n - - x m ) ( a 一q 0 1 ) 忆。 s 如引a j 一一q o l 。) 一蚓a j 一叼儿， 斗0 ( n ，m 斗+ 。) ， 即： 。n ) 是一c a u c h y 列，从而z n - - - + z ( 扎+ 。) 因为瓦是闭算子，所以a ，一甄也是闭算子，从而由闭算子的定义有。d ( 蕊刁 且= 。( f 一百i ) 所以f 1ci m ( a i 一百面_ ) ，故i m ( m 一百i ) = f 1 1 5 因为虿i 是稠定耗散算子，所以由l u m e r - p h i l l i p s 定理，萄可在i i 上生成压缩半群 等价于存在a 0 ，使得有i r n ( a i 一毛而) 在1 1 上满射由上面的事实，这又等价于存在 a 0 ，使得而币了葡= f 。而而币了雨= f - 等价于“一虿i 的零空间为 0 ，即：n ( m 一蕊) = 0 ，再由定理2 2 2 ，这又等价于n ( a i q k ) = 0 ，即：a ，一q k 在f 。是单射所以，百i 在f i 上生成压缩半群等价于存在a 0 ，使得a j q f 。在k 是单射。 为证明推论3 1 4 ，我们需要如下引理： 引理3 3 11 4 1 a ，b 是b a n a c h 空间x 上的两个算子，如果acb 且a 是满射，b 是 单射，则a = b 推论3 1 4 的证明：( 1 ) 铮( 3 ) 仁亭( 5 ) 见定理3 1 3 的证明 ( 5 ) 乍争( 6 ) 见a n d e r s o n 【2 ，p 8 0 ，t h e o r e m2 7 】 ( 1 ) = 号( 4 ) 因为q 的最小转移函数，( t ) 满足后向方程，所以由a n d e r s o n 【2 ，p 4 0 ， p r o p o s i t i o n4 5 ，q 0 r ，c 萄i c n 又因为萄石在l l 上生成压缩半群，所以由l u m e r - p h i l l i p s 定理，对v a 0 ，i m ( m 一萄i ) = n ，即：j m ( a j 一百瓦) 在l l 上是满射因为 q 生成正的压缩半群，所以由h i l l e - y o s i d a 定理，对v a 0 ，a ，一n 在f l 上是单射，由 引理3 3 1 知，对v a 0 ，a j 一面= a i n ，即：丽= n ( 4 ) = 兮( 2 ) 因为，( t ) 在f 1 上是一正的压缩函半群 ( 2 ) i ( 1 ) 显然 为证明定理3 2 1 ，我们需要如下引理： 引理3 3 2 对v a 0 ，i m ( m 一q o c o ) = c o = 争对v a 0 ，a j 一劬，在2 l 上是单 射。 证明：设i m ( a i 一瓦) = c o 及y ( a i q f 。) = 0 ，对忱d ( q - - 磊) ，由定理2 3 2 ， = = = = 0 因为i m ( a i 一萄i ) = c o ，所以y = 0 ，即：对v a 0 ，a i qc ，在l l 上是单射 反之，设对v 0 ， j q f l 在f 1 上是单射，即：( f q 1 1 ) = 0 从而j m ( j 一q o 。o ) = c o 。下证： i m ( m 一q o 。o ) = c o 事实上，对v y c o ，存在z 。d ( q - 瓦c o ) ，使得 = l i m 。，+ 。( a i 一q o c o ) x 。由定理2 31 ，萄i 是稠定耗散算子，所以 l l ( x z 一甄) z 刈zi i c 0 ，v z d ( 一q o 。o ) ，v a 0 | z n - - z m | l 。si l l ( a f 一虿i i ) ( z 。一。) 。 = 抓a 一一q o 。o ) z 。一( a ，一赈) 。j j 。 0 ( n ，m + 。o ) 1 6 即：f z 。 是c 0 中的c a u c h y 列，所以z 。z ( n + 。o ) 由a j 一虿五的闭性知， z d ( q - - i o ) 且y = ( a j 一q o c o ) x l m ( m 一o o c o ) 即：c oci m ( m 一q o c o ) ，从而 c o h n ( m 一o o c o ) 定理3 21 的证明：首先，我们证明( 1 ) 铮( 2 ) 由l u m e r - p h i l l i p s 定理，百i 在c o 上 生成压缩半群当且仅当存在 0 ，使得 j 一萄i 在c 0 上是满射，即i m ( m 一萄话) = c o 由上述引理知，虿i 在c o 上生成压缩半群当且仅当存在 o ，使得 f q i l 在f 1 上 是单射 其次，我们证明百i 在c o 上生成的半群( t ( t ) t o 是一正的压缩半群由l u m e r - p h i l l i p s 定理，对v a 0 ，i m ( m 一萄i ) = c o ，由引理3 3 2 ，h i q 。在f l 上是单射， 从而由推论3 1 2 ，o “在f ，上生成正的压缩半群，( t ) ，其中y ( t ) 是q 一矩阵q 的最 小q 一函数记，( t ) 在l l 上的预解式为月( a ) = ( 啊( a ) ) ，记p ( ) ! o 在c o 上的预解式为 i ，( a ) = ( 妒；，( a ) ) 设e j c o ，e i l l ，贝9 有 q = c 吼，= ( 一1 j f p 叫一( 1 挚肛一c - 。：，荽 ；) ( 3 ) v a 0 ，“一q l 。在z 上是单射； ( 4 ) 或者( i ) 对 的某个子列 肛。) ，有p 。女= 0 ；或者( i i ) 如果m = s u p n ；p 。= o 0 ，a ，一q l 。在l l 上是单射； ( 3 ) 存在a 0 ，a ，一q 。在z 上是单射； ( 4 ) 或者( i ) 对 卢。) 的某个子列 p n k ) ，有m 女= 0 ；或者( i i ) 如果m = s u p n ；肛。 o ) 0 ，a ，一甄在l l 上是满射； ! 苎垒翌= ! ：垒虫! “n p n 一13 , m + 1 ) = + 。( 4 2 ) ( 3 ) f l = 萄i ，其中q 是q 一矩阵q 的最小转移函数，( t ) 在 l 上的生成元； ( 4 ) 存在a 0 ，a ，一q k 在k 上是单射； ( 5 ) 存在a 0 ，a ，一q l 。在珐上是单射； ( 6 ) 或者( i ) 对( k ) 的某个子列 h k ) ，有h k = 0 ；或者( i i ) 如果m = s u p