（基础数学专业论文）局部紧致动力系统中极小集与几乎周期点的存在性.pdf

中文摘要 我们经常在紧致动力系统中讨论极小集和几乎周期点，而且在紧致动力系 统中极小集和几乎周期点都有很多优异的性质 由于开区间，门维欧氏空间等许多常见重要的空间都不是紧致的，所以以它 们为底空间的动力系统就不一定存在极小集和几乎周期点，进而也不定具有 紧致动力系统中的一些性质因此我们有必要讨论非紧致的度量空间上动力系 统中极小集和几乎周期点 第章，主要是介绍了动力系统的发展史，极小集和几乎周期点的目前研究 状况，作者的工作和一些预备知识 第二章，主要是根据映射厂可以扩充时，通过研究紧致动力系统i t o e ，厂) 中 极小集来确定局部紧致动力系统( e ，f ) 中极小集的存在性在本章节我们明确 给出了局部紧致动力系统( e ，f ) 中极小集的存在与否与紧致动力系统( 彩e ，厂) 之间的关系 第三章，主要是研究局部紧致动力系统几乎周期点的存在性由于在紧致动 力系统中极小集的每一个点都是几乎周期点，所以我们有必要研究局部紧动力 系统中的几乎周期点在具体的研究方法上和第二章中所使用的方法相似 第四章，我们给出了几个例子，以对照第二章和第三章所得出的结论我们 分别给出了映射fp - - 以扩充时，诱导的紧致动力系统缈e ，y ) 只有一个极小集和 几乎周期点，和同时有多于一个极小集和几乎周期点的情形的例子而且我们还 给出了映射f 不可以扩充时，局部紧致动力系统( e ，f ) 中是否存在极小集和几 乎周期点的例子最后，我们总结了这篇文章的主要结果和创新，以及有待进一 步展开的研究 关键词八憾p h j 局部紧致动力系统，紧致动力系统，极小集，几乎周期点，扩充 a b s t r a c t ( 英文摘要) w ea l w a y si n v e s t i g a t em i n i m a ls e t sa n da l m o s tp e r i o d i cp o i n t si nc o m p a c t d y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dw ef m d l o t so fg o o dp r o p e r t i e s m a n yi m p o r t a n tc o n l m o ns p a c e ss u c ha so p e ni n t e r v a la n d r “a r en o tc o m p a c t s p a c e ，t h e r ea r e n ta l w a y se x i s tm i n i m a ls e t s o ra l m o s tp e r i o d i cp o i n t si nt h e d y n a m i c a ls y s t e m st h a ta r es e tu p o ns u c hs o r t so fp h a s es p a c e s ，a n dt h e nt h e yd o n t h a v et h ep r o p e r t i e si nc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s s ow em u s ti n v e s t i g a t em i n i m a l s e t sa n da l m o s tp e r i o d i cp o i n t si nt h ed y n a m i c a ls y s t e m sw h e r et h ep h a s ei sn o t c o m p a c ts p a c e i nc h a p t e r l ，w em a i n l yi l l u s t r a t eh i s t o r yo f d y n a m i c a ls y s t e m s ，t h eb a c k g r o u n d o fm i n i m a ls e t sa n da l m o s tp e r i o d i cp o i n t s t h ep u r p o s ea n dm a i nc o n t e n t so ft h e t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e ma r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r 2 ，a sfc a nb ee x t e n d e d ，w eg i v et h ee x i s t e n c eo fm i n i m a ls e t si n l o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s ( e ，f ) u s e db yt h em i n i m a ls e t s i nc o m p a c t d y n a m i c a l ( t o e ，7 ) a n d g i v et h er e l a t i o nw i t hd y n a m i c a ls y s t e m s ( o , e ，7 ) i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fa l m o s tp e r i o d i cp o i n t si nl o c a l l y d y n a m i c a ls y s t e m s a se v e r yp o i n to fam i n i m a ls e t i sa l m o s tp e r i o d i cp o i n ti n c o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s ，s ow em a yi n v e s t i g a t ea l m o s tp e r i o d i cp o i n t si nl o c a l l y c o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s w e u s et h es a m em e t h o dt oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f a l m o s tp e r i o d i cp o i n t sa sw em a d ei nc h a p t e r2 t oc o n f i r mt h e a p p r o p r i a t e n e s s a n de x p l o r ef u r t h e ra d v a n t a g e so ft h e c o n c l u s i o ni nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w ew i l lg i v es o m ee x a m p l e sw h e nfc a n b ee x t e n d e di nc h a p t e r4 w eg i v es o m ee x a m p l e sa b o u th a v i n go n l yo n em i n i m a l s e ta n da l m o s tp e r i o d i cp o i n t ，a n dt h ee x a m p l e sa l s oh a v i n gm o r et h a no n em i n i m a l s e ta n da l m o s tp e r i o d i cp o i n ti ni n d u e e dc 。m p a c td y n a m i c a ls y s t e i i l s ( 娓7 ) w e a l s og i v es o m ee x a m p l e sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fm i n i m a ls e t sa n da l m o s tp e r i o d i c p o i n t si nl o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m sw h e nf c a n tb ee x t e n d e d f i n a l l yw e s u m m a r i z et h er e s u l t sa n di n n o v a t i o no ft h i st h e s i s ，a n dp r e s e n to u rv i e w o f p e r s p e c t i v e sf o rt h ef u t u r es t u d y k e y w o r d s l o c a l l yc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s ，c o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s ，m i n i m a l s e t s ，a l m o s tp e r i o d i cp o i n t s ，e x p a n s i o n i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数 据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 摩基 指导教师签名：图 辨6 月l o 日 2 4 0 年石月o 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：鹰芨 2 咖年月z d 日 西北大学硕士论文 第一章绪论与预备知识 1 1 引言 动力系统的研究最初开始于牛顿，这个创立微积分、建立三大运动定律以及 万有引力定律的伟大科学家研究物体的运动轨迹是牛顿力学的基本任务，也就 是研究物体的位移随时间变化的规律到1 9 世纪末h e n r ip o i n c a r e 1 1 发现通过方 程本身的性质就可以直接决定它所定义的积分曲线的性质，进而创立了微分方 程定性论 上世纪初，gd b i r k h o f f 等人将经典的微分方程所定义的动力系统抽象为拓 扑动力系统gd b i r k h o f f 2 1 首先在紧致度量空间上的同胚映射或是连续满射 构成的系统中进行了研究，证明了在这类系统上必存在p o s s i o n 意义下的稳定 点wh g o t t s c h a l k 和ga h e d l u n d 在文献 3 1 的工作使得这类系统成为一个独 立的研究对象这类系统就被称作动力系统，对其性质的研究理论称作拓扑动力 系统 在最广泛的意义上来说动力系统研究的是系统随时间变化规律的数学学科 动力系统研究的目的是事物运动最根本的规律它不仅研究平衡状态、周期状态 等基本运动状态的稳定性与存在性，而且更强调运动轨迹的拓扑结构，预测系统 最终演化的状态它偏重的是研究运动在某些较长时期内运动的规律时间可以 是离散的，如迭代论：也可以是连续的，比如经典的微分方程定性论等等它重视 探索当结构发生微小的变动时运动形式所发生的质的变异，运动方式的结构稳 定性因此，动力系统是用几何、拓扑的观点来观察事物，用代数、分析的手段来 处理问题它不仅扎根于深厚的数学基础中又具有丰富的实际背景 人们在研究动力系统，预测系统演化将会出现的最终状态如果我们知道了 一个随时间演化所经历的历史，那么我们就能够预测到它将来会发生什么事情 我们非常希望有这样一个结果但是早在1 9 世纪初，法国数学家p o i n c a r e 就已经 明确的告诉我们这个问题的答案是不能确定的美国著名气象学家l o r e n z 在研 究l o r e n z 方程时揭示了：一个动力系统即使是只包含少数几个变量，甚至是仅含 有一个变量的简单的动力系统，其变化过程呈现出几乎随机性的行为和高度的 不可预测性，这种现象就是现在我们所熟悉的混沌现象 第一章绪论与预备知识 拓扑动力系统的研究与诸如遍历理论、一般拓扑、拓扑群、代数、组合、 数论和泛函分析等其他数学分支有着密切的联系拓扑动力系统研究的对象是 一般的连续系统，在纯粹的意义下研究动力系统中最基本的概念，最广泛的共 性 给定一个拓扑空间e 和其上的连续自映射厂，就可以定义一个离散动力系 统( e ，f ) 若e 为紧致拓扑空间，则称( e ，厂) 为紧致拓扑动力系统，简称为紧致 系统 拓扑动力系统理论中的许多概念，如回复点、非游荡点、一极限点、拓扑 传递、极小集和几乎周期点等等，其定义只涉及到空间上的拓扑结构而不涉及距 离，因此这些概念对一般的拓扑空间上的动力系统也都有定义但是许多涉及到 这些概念的性质却只限在度量空间或者是紧致度量空间上讨论 由于开区间、实数轴和n 维欧氏空间等许多常见重要的空间都不是紧致的， 所以以它们为底空间的动力系统中就不一定存在极小集和几乎周期点进而也 不一定具有紧致动力系统中的一些性质因此我们有必要讨论非紧致的度量空 间上动力系统极小集和几乎周期点 更深一步，我们还经常性的只考虑空间的纯拓扑性结构，而不需要考虑度量 所以，人们在研究动力系统理论中一些对度量空间成立的性质之后，去考虑其是 否对一般的拓扑空间也成立j a u s l a n d e r t 4 1 指出，即使起初我们只打算讨论紧致 度量空间上的动力系统，然而由于不可数个非退化的度量空间的拓扑积不再可 以度量化，因此在考虑不可数个动力系统( 映射) 的乘积时仍不可避免要进入更 广泛的拓扑空间中去讨论 l s b l o c k 与wa c o p p e l 在文献吲中曾提到，书中的某些性质在紧致度量 空间成立而且在般拓扑空间也是成立的当然，不是所有的性质都是成立的 在实际的研究过程中发现，在把动力系统理论中对紧致度量空间成立的一些性 质推广到一般的拓扑空间去时，我们不可避免的会在原有性质的基础上进行一 些必要的修改 1 2 目前研究状况 近些年来动力系统得到了很大的发展，而其核心问题是经迭代所产生的序 2 西北大学硕士论文 列轨道的渐进性质和拓扑结构极小集是一类特殊的传递系统而且其中每一个 点都是回复点。 一个极小系统是由底空间是一个极小集和在它上的连续自映射所生成的迭 代系统极小性是从拓扑学的角度来描述系统的不可分解性，即一个极小系统无 真子系统因此，讨论动力系统中的极小性是动力系统中一个非常重要的研究课 题因而有关极小性的研究成果非常多紧致极小系统有几种等价的定义可以参 考文献 6 ，7 ，8 】2 0 0 7 年m a r c i n 在文献 9 1 中给出了某些特殊的离散动力系统中的 极小集而在文献 1 0 ，1 1 ，1 2 中研究了群作用的极小性和遍历性之间的关系 在紧致度量空间中，下面两个定理是紧致动力系统中众所周知的最初是由 gd b i r k h o f f 于1 9 1 2 年首先提出并给予了证明，可以参照文献很多动力系统 著作都收录了这两个定理，文献5 1 也收录了文献 1 3 ，1 4 】也都介绍并应用了这两 个定理 定理1 2 1 设e 是一个紧致度量空间，f ：e e 为从e 到自身的连续映射， 则厂的任一个几乎周期轨道的闭包都是厂的一个极小集 定理1 2 2 设e 是一个紧致度量空间，f ：e e 为从e 到自身的连续映射， 贝, l j f 的任一个极小集中的每一点都是的几乎周期点 上面两个定理阐述了几乎周期点和极小集之间有着密切的关系在紧致动 力系统中，映射厂的几乎周期点集就等于的所有的极小集的并集 1 9 4 4 年wh g o t t s c h a l k 在文献1 5 1 进一步推广了上述两个定理 定理1 2 - 3 设e 是个度量空间，f ：e e 为从e 到自身的连续映射，则厂 的任一个几乎周期轨道的闭包都是厂的一个极小集 定理1 2 4 设e 是个局部紧致度量空间，f ：e _ e 为从e 到自身的连续映 射，则厂的任一个极小集中的每一点都是厂的几乎周期点 上面两个定理是将定理1 2 1 中紧致性去掉，将定理1 2 2 减弱为局部紧致度 量空间这就推广了gd b i r k h o f f 原先的两个定理的应用范围 第一章绪论与预备知识 孙伟华在他的学位论文空间性质对动力系统性质的影响【1 6 1 中只是讨论 了当底空间是局部紧致空间时，动力系统中极小集与几乎周期点所具有的一些 性质但他没有具体的给出一个局部紧致动力系统中极小集与几乎周期点的存 在性 到目前为止，大量的工作都是在减弱紧致动力系统中的紧致性，进而促使极 小集与几乎周期点的应用更为广泛但还没有人具体给出局部紧致动力系统中 极小集与几乎周期点存在性 1 3 作者的工作 设e 是局部紧致的第二可数h a u s d o r f f 空间，t o e 是e 的a l e x a n d r o f f 一点紧 化 2 0 0 8 年王延庚教授在文献【1 7 】中给出了下面一个定理 定理1 3 1 【1 7 1 i 殴f ：e e 是连续映射，在无穷远处收敛当且仅当厂可 扩充为f ：e - - - 0 3 e 是连续映射，其中m e 是e 的一点紧化 上面定理说明了，当映射可以扩充时，局部紧致动力系统( e ，厂) 可以诱导 紧致动力系统( e ，7 ) 这就为我们研究局部紧致动力系统( e ，) 中极小集和几 乎周期点的存在性提供了可能性 第二章中主要是根据定理1 3 1 ，当f 可以扩充时，通过研究紧致动力系统 ( t o e ，7 ) 中极小集来确定局部紧致动力系统( e ，) 中极小集的存在性由于在定 义映射厂在无穷远处收敛时，在文献【1 7 】中是分为两情况进行了定义，所以在第 二章我们也分两种情况来讨论局部紧致动力系统( e ，f ) 中极小集的存在性在 第二章中我们明确给出了局部紧致动力系统( e ，f ) 中极小集的存在与紧致动力 系统( e ，7 ) 之间的关系因为在紧动力系统中极小集与几乎周期点存在紧密的 联系，所以在本文的第三章中，又继续给出了局部紧致动力系统( e ，f ) 中几乎周 期点的存在性在第四章中结合第二章和第三章的内容，我们具体给出了映射厂 4 西北大学硕士论文 可以扩充和不可以扩充的几个例子 1 4 预备知识 为了更好地了解局部紧致动力系统中极小集和几乎周期点的存在性同时 也为后面我们更好的讨论局部紧致动力系统中极小集和几乎周期点，我们列出 了其相关的定义，性质和定理： 设e 为拓扑空间，f ：e e 为从e 到其自身的连续映射，f 可以看作是其 e 上的一个作用：每一点石e 在作用下生成像点f ( x ) f ( x ) 仍然是e 中的 点，厂可以继续对它作用，生成像点( ( x ) ) = 厂2 ( 功这个过程可以无限的进行 下去我们令f o = i d ( 即e 上的恒同映射) ，f 1 = 厂，f 2 = f o f ，一般地，对n 2 ， f ”= f ”1o f ，其中符号o 表示映射的复合 定义1 4 1 c 1 8 】1 设e 是拓扑空间，e 上连续自映射序列 k 广，f ，f ，入、 叫作“e 上由连续自映射厂经迭代生成的离散拓扑半动力系统 当是e 上的自同胚时，存在相反方向的迭代，因而得到 八，厂”，人，厂1 ，厂o ，厂，厂2 ，a ) b _ t t 作“e 上由自同胚经迭代生成的离散拓扑动力系统” 我们用偶对( e ，f ) 表示拓扑动力系统当e 是紧致可度量空间时，则称 ( e ，厂) 是紧致动力系统当e 是局部紧致第二可数度量空间时，则称( e ，f ) 为局 部紧致动力系统 定义1 4 2 设( e ，f ) 是拓扑动力系统如果闭子集毛c e 对厂不变，即 厂( 毛) c 磊则把f 在岛上的限制映射厂i 岛：毛_ 磊所生成的拓扑动力系统 ( 磊，厂k ) 称为( e ，厂) 的子系统 定义1 4 3 设( e ，f ) 是拓扑动力系统，对每一点x e ，xr i j f _ f 作用下生 5 第章绪论与预备知识 成的轨道 记作o r b ( x ) 五( 石) ，a ，厂“( 力，a ) 定义1 4 。4 n 8 1 设( e ，f ) 是拓扑动力系统，x 寸：f - x ee ，如果存在整数以 0 ， 使得”( 石) = x ，则把x 叫作厂的周期点：并把使厂”( x ) = x 成立的最小正整数，l 叫 作它的周期厂的全体周期点的集合，记作p ( f ) 定义1 4 5 n 8 1 设( e ，) 是拓扑动力系统，对于x e ，如果存在正整数递增 序列吩，使 u m f 一( 功= 工： 或等价地，对任意 0 ，存在，l 0 ，使 厂“( x ) v ( x ，) ， 这里y ( x ，) = y e id ( x ，少) 0 ，使得 f “( 矿( x ，) ) iv ( x ，) = o o ，v n 0 ， 则把x 叫作的游荡点：如果x 木是的游荡点，即对任意的 o ，存在玎 0 ， 使厂”( y ( x ，) ) iv ( x ，) 巾，v n 0 ，则把工l a t t ( g f 的非游荡点 从定义可以看出，的所有游荡点构成的集合是e 的一个开子集因而厂的 所有非游荡点构成的集合是e 的闭子集，叫作厂的非游荡集，记作q ( 厂) 定义1 4 7 设( e ，厂) 是拓扑动力系统，设x e ，如果存在递增序列吩，使 h m f 一( 曲- - y ， 则把点y 叫做x 的一极限点( y e ) ：并称x 的全体一极限点的集合为x 的 一极限集，记作( z ，) ，易证 6 西北大学硕士论文 o ( x ，f ) = iy o r b ( f ( x ) ) ， o k n 即( z ，f ) 是石的轨道o r b ( x ) 的全体极限点的集合 定义1 4 8 悖1 设( e ，f ) 是拓扑动力系统，子集合人ce 叫做厂的极小集，如 果满足 ( 1 ) a 巾： ( 2 ) 人= a ，即人是闭子集： ( 3 ) f ( a ) c 人：即人对不变： ( 4 ) 人无真子集满足上述( 1 ) 、( 2 ) 和( 3 ) 如果子系统 f l a ：a a 是极小的，则说子系统( 人，f l a ) 是极小系统如果一个点包含在某个极小集中， 那么就称它为一个极小点 定义1 4 9 邮1 对于正整数集合“) ，如果存在整数 o ，使得任意连续 个正整数中至少含一个 体) 中的元素，则称 吩) 是相对稠密的 定义1 4 1 0 n 8 1 设( e ，厂) 是拓扑动力系统，工ei l q l 乍- f 的几乎周期点，如果 对任意的 0 ，使 f 4 ( x ) v ( x ，) 成立的n 构成一个相对稠密的集合 的全体几乎周期点的集合记作么( 门易见在紧致动力系统中 p ( 厂) c 么( 厂) c 尺( 厂) 定理1 4 1 1 设( e ，厂) 是紧致动力系统，工e ，则( x ，厂) 是e 中的非空 闭子集 定理1 4 1 2 呻1 设( e ，厂) 是紧致动力系统，x e ，则 f ( o ( x ，厂) ) = c o ( x ，f ) = ( 厂7 0 ) ，) ，v i 0 第一章绪论与预备知识 定理1 4 1 3 n 8 1 设( e ，f ) 是紧致动力系统，z e ，则石尺( ) 当且仅当 x ( x ，) 定义1 4 1 4 1 7 1设厂：e j e 的一个映射 ( 1 ) 如果序列 毛 二。在e 中没有收敛子列，序列 厂( 矗) ) 二。在e 中也没有收敛 子列，则称厂在无穷远处收敛于无穷远 ( 2 ) 如果序列 屯) 二在e 中没有收敛子列，序列 厂( 吒) ) 二。收敛于e 中一个固 定点a ，则称在无穷远处收敛于a ( 3 ) 如果( 1 ) 或( 2 ) 成立时，我们称在无穷远处收敛 考虑到关于e 的一点紧化t o e ，设i ：e t o e 是自然嵌入，定义为i ( x ) = x ， 则连续映射f ：e e 诱导一个连续映射f ：e 一( 1 ) e ，定义为 f ( y ) = ( f - 1 ( y ) ) ，其中y e 按定义1 4 1 4 所述，我们考虑序列 矗 ：。在e 中没有任何收敛子列，与其对 应的序列 f ( 吒) ：。在o ) e 中收敛于c o 因此，l i m f ( i ( x ) ) = l i m f ( x ) ，并且补充定 n - 月 义 ( 1 ) 当厂在无穷远处收敛于无穷远，定义厂 ) = 或 ( 2 ) 当厂在无穷远处收敛于e 中一个固定点a ，定义厂佃) = i ( a ) 从而厂为e 到其自身的一个连续映射 定理1 4 1 5 3 1 设e 紧致度量空间，f ：e 寸e 是连续映射，则o r b ( x ) 是极小 集当且仅当点x 是几乎周期点 定理1 4 1 6 【1 9 1 设e 是h a u s d o r f f 或是正则的局部紧拓扑空间，并且 f ：eje 是连续映射，则厂中的每一个极小集都是紧致的 定理1 4 1 7 嘲 设( e f ) 是紧致动力系统，x e ，则x 彳( 厂) 当且仅当且 x e o d ( x ，f ) 且( 毛f ) 是极小的 r 西北大学硕士论文 第二章局部紧致动力系统极小集的存在性 2 1 引言 极小集是拓扑动力系统中众多概念中重要的一个拓扑动力系统是研究拓 扑群在拓扑空间上作用的定性性质h e n r ip o i n c a r e 是第一个将拓扑概念和方法 引入动力系统中而在这之前动力系统是研究对一些经典微分方程求解gd b i r k h o f f 是第一个系统研究拓扑动力系统他是拓扑动力系统的指引人和奠基 人 1 9 1 2 年gd b i r k h o f f 第一次发表了关于拓扑动力系统方面的文章】，在这 篇文章中他首次提出了极小集这一概念，并且还给出了关于极小集的几个定理 和一些例子gd b i r k h o f f 很多关于拓扑动力系统的文章都可以在他的著作 ( ( d y n a m i c a ls y s t e m s ) ) ( 19 2 7 ) 中找到 一个最简单的极小集例子就是周期运动然而极小集不是周期运动，这个事 实可以通过很多方法进行证明 人们在研究各种各样的自然现象时，只有那些可以重复观察的现象才是人 们最关心的动力系统的核心问题是点的轨道的渐近性质或拓扑结构极小性概 念描述了紧致动力系统在拓扑意义下的不可分解性，即一个极小系统无真子系 统极小系统是一类特殊的传递系统而且极小集中每一个点都是回复点所以讨 论动力系统中极小集的存在性问题是非常有意义 在拓扑动力系统中有个非常重要的定理，就是当底空间是紧致度量空间时， 一定存在极小集关于对这个定理的证明有几种不同的证明方法，周作领的著作 符号动力系统0 8 1 给出了其中的一种证明方法 在证明紧致动力系统中一定存在极小集时，紧致性是必不可缺少的所以当 一个动力系统的底空间不在具有紧致性时，动力系统是否还一定存在极小集 昵? 答案肯定是不一定存在极小集的然而我们常见的如实数轴、n 维开球和” 维欧空间等等，它们都不是具有紧致性的也就是说在一些常见的不具有紧致的 动力系统中我们就很难确定该动力系统中是否有极小集这也就对极小集的实 际应用造成很大的影响 9 第二章局部紧致动力系统极小集的存在性 2 2 王要结论 由b k k h o f f 定理我4 1 失1 1 道在紧致动力系统中至少存在一个极小集由于在定 义映射在无穷远处收敛时，在文献f 1 7 】中是分为两情况进行了定义我们在研究 过程中发现必须将这两情形分开来，才能更好的讨论局部紧致动力系统( e ，f ) 中 的极小集的存在性 第一种情况，当f 在无穷远处收敛于无穷远时，映射7 ：m e 专e ，定义为 7 ( y ) ： ，厂( f - i ( y ”y 趴从而7 为( 0 e 到其自身的一个连续映射因此我们 l y 。 得到以下两个定理 定理2 2 1 设( e ，f ) 是局部紧致动力系统且厂在无穷远处收敛于无穷远若 紧致动力系统( e ，7 ) 有且仅有一个极小集，则局部紧致动力系统( e ，厂) 没有极 小集 证明反证法假设局部紧致动力系统( e ，f ) 有极小集人据定理1 4 1 6 得，人是e 中的紧致子集所以人是e 中的紧致子集故人是c 0 e 中的闭子集从 而a 是佃e ，7 ) 的极小集因为厂在无穷远处收敛于无穷远，所以7 ) = 然而 人与单点集扣) 是两个不相同的极小集，这与题设矛盾故假设不成立 定理2 2 2 设( e ，f ) 是局部紧致动力系统且厂在无穷远处收敛于无穷远若 紧致动力系统卜e ，7 ) 有至少两个互不相同的极小集，则局部紧致动力系统 ( e ，厂) 有极小集 证明因为紧致动力系统( e ，7 ) 有至少两个不相同的极小集且在同一个动 力系统中两个互不相同的极小集互不相交，据题设得，7 ) = c o 所以紧致动力系 统( e ，7 ) 至少有一个极小集不包含点，此极小集就是( e ，) 中的极小集 由上面两个定理我们可以知道，当确定紧致动力系统( e ，7 ) 中只有一个极 小集时，原局部紧致动力系统( e ，) 是没有极小集的：当紧致动力系统卜e ，7 ) 中 西北大学硕士论文 有两个以上的极小集时，我们能确定原局部紧致动力系统( e ，) 有极小集，而且 可以确定哪个是局部紧致动力系统( e f ) 中的极小集 第二种情况，当厂在无穷远处收敛于e 中一个固定点a 时，映射 7 ：e 专e ，定义为7 c y ，= 厂；：” 个连续映射因此我们得到以下定理 少e 、从而7 为e 到其自身的一 y 2 f o 定理2 2 3 设( e ，厂) 是局部紧致动力系统且厂在无穷远处收敛于ee e - 4 固定点口若紧致动力系统p e ，7 ) 只有一个极小集a ， ( 1 ) 若a ，则局部紧致动力系统( e ，) 没有极小集 ( 2 ) 若g 人，则局部紧致动力系统( e ，厂) 有极小集 证明( 1 ) 反证法假设局部紧致动力系统( e ，厂) 有极小集岛据定理1 4 1 6 得，风是e 中的紧致子集所以最是e 中的紧致子集故邑是t o e 中闭子集因 l l ge o 是( m e ，7 ) 中的极小集因为( e ，7 ) 只有一个极小集人，所以a 晶这与 a 矛盾故假设不成立 ( 2 ) 因为正人，所以ace 从而a 是( e f ) 的极小集 定理2 2 4 设( e ，厂) 是局部紧致动力系统且在无穷远处收敛于e 中一个 固定点口若紧致动力系统( e ，7 ) 有至少两个互不相同的极小集，则局部紧致动 力系统( e f ) 有极小集 证明 因为紧致动力系统f 击e ，7 ) 有至少两个不相同的极小集且在同一个动 力系统中两个互不相同的极小集互不相交据定理2 2 3 得，至少有一个极小集不 包含点，此极小集就是( e ，f ) 中的极小集 在这种情形中上面两个定理说明了，要确定当局部紧致动力系统( e ，f ) 是否 第二章局部紧致动力系统极小集的存在性 有极小集会比较复杂一点因为必须确定点是否在紧致动力系统( e ，7 ) 中的 极小集内如果能给出点c o 确实不是极小点，由上面两个定理我们就能确定哪个 是极小集 推论2 2 5 设( e ，f ) 是局部紧致动力系统且映射厂可以扩充若紧致动力系 统( e ，7 ) 有且仅有一个极小集人时， ( 1 ) 若a ，则局部紧致动力系统( e ，厂) 没有极小集 ( 2 ) 若国芒a ，则局部紧致动力系统( 点，厂) 有极小集 这个推论可以直接由定理2 2 1 和定理2 2 3 得出由上面推论又可以得到下 面这个推论 推论2 2 6 设( e ，厂) 是局部紧致动力系统且映射厂可以扩充若紧致动力系 统( e ，7 ) 有至少两个互不相同的极小集，则局部紧致动力系统( e ，厂) 有极小集 其实这个推论也可以由定理2 2 2 和定理2 2 4 得出 2 3 本章小结 在本章节中我们根据在定义映射厂在无穷远处收敛，分为两种情形因此我 们必须分情况分别进行讨论在第一种情况时，局部紧致动力系统( e ，f ) 要有极 小集，则紧致动力系统( e ，7 ) 必须要有两个极小集在第二种情况，局部紧致动 力系统( e ，厂) 要有极小集，则必须视是否在紧致动力系统卜e ，7 ) 中来确定但 总的来说当紧致动力系统 e ，7 ) 有至少两个互不相同的极小集时，局部紧致动 力系统( e ，) 肯定有极小集。因此最终要考虑的是紧致动力系统( e ，7 ) 中极小 集的个数所以最终我们把局部紧致动力系统( e ，f ) 中的极小集存在性问题把它 重新放到了紧致动力系统中去考虑了因而如何找到紧致动力系统中极小集的个 数是非常蚕耍的 1 2 西北大学硕士论文 第三章局部紧致动力系统几乎周期点的存在性 3 1 引言 人们在大量的研究过程发现，那些具有某种回复性的点的轨道在动力系统中 是非常重要的周期点是最简单的具有回复性的点回复点、非游荡点和c o 一极限 点的概念都是从周期点这一概念逐次推广得到的，他们都是动力系统中的重要概 念对于在一般的紧致动力系统中，早在上世纪3 0 - - , 4 0 年代就已经开始对这些点 的进行了研究在国内，几乎周期点的概念出现在熊金城的文章线段映射的动力 体系 2 1 1 中，并且在文章中给出了几乎周期点的一个等价命题：1 9 9 6 年金渝光在 文献中应用了它的性质 3 2 主要结论 由b i r k h o f f 定理我们知道在紧致动力系统中一定存在极小集由定理1 4 1 5 可以知道，在紧致动力系统中几乎周期点与极小集有紧密的联系极小集中每一 个点都是几乎周期点，所以在紧致动力系统中至少存在一个几乎周期点同样的 根据在定义映射厂在无穷远处收敛时所分的两种情况，在讨论局部紧致动力系统 中几乎周期点的存在性时也分为两种情况 第一种情况，当在无穷远处收敛于无穷远时，映射7 ：e 一e ，定义为 7 ( y ) ： 厂( 厂1 ( j ，) ) y e 、从而7 为e 到其自身的一个连续映射因而我们 l 夕2 得到下面两个定理 定理3 2 1 设( e ，厂) 是局部紧致动力系统且厂在无穷远处收敛于无穷远，若 紧致动力系统p e ，7 ) 有且仅有一个几乎周期点，则局部紧致动力系统( e ，) 没 有几乎周期点 证明反证法假设( e ，f ) 有一个几乎周期点2 j b 对任意 0 ，5 ( b o ，) 是 e 中邻域，则匕( 6 0 ，) ie 是e 中的邻域据定义1 4 1 0 ，存在 0 ，在任意连续 r 个正整数中，至少有一个，l ，使 第三章局部紧致动力系统几乎周期点的存在性 ”慨) 勺，) l e 据i 的定义，对任意x o j e r o ，f 一( x ) - f ( i 一1 ( 功) = ( 功e 所以可以得到 7 ”( x ) - - f “( 功所以7 ”( 6 0 ) v 7 ( b o ，) i e 因此， n ( ) v t ( b o ，) 从而6 0 是紧 致动力系统( e ，7 ) 中的几乎周期点据题设厂在无穷远处收敛于无穷远，所以 一f ( c o ) = c o ，即是( e ，7 ) 中的几乎周期点然而6 0 ，这与题设矛盾故假设 不成立 定理3 2 2 设( e ，厂) 是局部紧致动力系统且在无穷远处收敛于无穷远若 紧致动力系统卜e ，7 ) 有至少两个互不相同的几乎周期点，则局部紧致动力系统 ( e ，厂) 有几乎周期点 证明因为紧致动力系统( e 7 ) 有至少两个互不相同的几乎周期点据题 设得，7 佃) = 所以紧致动力系统0 e ，7 ) 至少有一个几乎周期点不是点，此 几乎周期点就是局部紧致动力系统( e ，f ) 中的几乎周期点 由上述定理可知，当确定紧致动力系统( e ，7 ) 只有一个几乎周期点时，局 部紧致动力系统( e ，厂) 中肯定没有几乎周期点：当紧致动力系统( e ，7 ) 有两个 互不相同的几乎周期点时，局部紧致动力系统( e ，f ) 中有几乎周期点，而且能确 定哪个点是局部紧致动力系统( e ，f ) 中的几乎周期点 第二种情况，当厂在无穷远处收敛于e 中一个固定点a 时，映射 一f ：o 。e 一，定义顽炉 厂翟 个连续映射因此我们得到以下定理 j ，e 从而7 为e 到其自身的一 y = 定理3 2 3 设( e ，厂) 是局部紧致动力系统且厂在无穷远处收敛于e 中一个 固定点口若紧致动力系统- e ，7 ) 只有一个几乎周期点 ( 1 ) 若么( 一) ，则局部紧致动力系统( e ，厂) 没有几乎周期点 1 4 西北大学硕士论文 ( 2 ) 若甚彳( ) ，则局部紧致动力系统( e ，厂) 有几乎周期点 证明( 1 ) 反证法假设局部紧致动力系统( e ，) 有几乎周期点对任意 0 ，v 7 ( b o ，) 是e 中邻域，则5 ( b o ，) ie 是e 中的邻域据定义1 4 1 0 ，存在 n 0 ，在任意连续个正整数中，至少有一个n ，使 f ”( ) v 7 ( b o ，s ) i e 据7 的定义，对任意工e ( o e o o ，7 ( x ) = f ( i 一1 ( x ) ) = ( x ) ee 所以可以得到 7 ”( 工) = 厂”( x ) 所以7 “( 6 0 ) v 7 ( b o ，) ie 因此，7 ”( 6 0 ) v t ( b o ，) 从而6 0 是紧 致动力系统( e ，7 ) 中的几乎周期点据题设彳( _ ) ，然而，这与紧致动 力系统( e 7 ) 只有一个几乎周期点故假设不成立 ( 2 ) 因为叠彳( 刁，所以彳( 7 ) ce 因此坛彳( - ) 都是局部紧致动力系统 ( e ，f ) 中的几乎周期点 定理3 2 4 设( e ，f ) 是局部紧致动力系统且在无穷远处收敛于e 中一个 固定点口若紧致动力系统( e ，7 ) 有至少两个互不相同的几乎周期点，则局部 紧致动力系统( e ，厂) 有几乎周期点 证明 因为紧致动力系统( e ，7 ) 有至少两个互不相同的几乎周期点，则至 少有一个几乎周期点不是点，此几乎周期点就是局部紧致动力系统( e ，f ) 中 的几乎周期点 上面两个定理说明，要确定局部紧致动力系统( e ，f ) 中的几乎周期点的存 在性相对于第一种情况是比较复杂的要确定点是否是紧致动力系统0 e ，7 ) 中的几乎周期点 推论3 2 5 设( e ，f ) 是局部紧致动力系统且映射厂可以扩充若紧致动力 系统( e ，7 ) 有且仅有一个几乎周期点时 0 ) 名o 彳( 乃，则局部紧致动力系统( e ，厂) 没有几乎周期点 第三章局部紧致动力系统几乎周期点的存在性 ( 2 ) 若芒彳( 门，则局部紧致动力系统( e 厂) 有几乎周期点 这个推论可以直接由定理3 2 1 和定理3 2 3 得出从而又可以得到下面这个 推论 推论3 2 6 设( e ，f ) 是局部紧致动力系统且映射厂可以扩充若紧致动力 系统卜e ，7 ) 有至少两个互不相同的几乎周期点则局部紧致动力系统( e ，厂) 有 几乎周期点 这个推论也可以由定理3 2 2 和定理3 2 4 得出 3 3 本章小结 在本章节中，我们继续讨论了在局部紧致动力系统( e ，f ) 中几乎周期点的 存在性问题而在讨论过程中明确给出了局部紧致动力系统( e ，f ) 中几乎周期 点的存在性依赖于紧致动力系统( 丘7 ) 中的几乎周期点紧致动力系统 ( e ，7 ) 有多于一个几乎周期点时，局部紧致动力系统( e ，厂) 确定有几乎周期点 但当紧致动力系统卜e ，7 ) 只有一个几乎周期点时，_ b a e 是( e ，7 ) 中的几乎 周期点，局部紧致动力系统( e ，厂) 确定是没有几乎周期点的所以如何确定紧致 动力系统卜e ，7 ) 中哪些点是几乎周期点是很重要的 1 6 西北大学硕士论文 第四章例子 在第二章