（基础数学专业论文）一个超扭化符号差算子的局部指标公式.pdf

摘要 摘要 本文利用热方程方法给出一个超扭化符号差算子的局部指标公式。 关键词：热核，局部指标公式，超扭化符号差算子 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h eh e a te q u a t i o nm e t h o d ，w ep r e s e n tal o c a li n d e xf o r m u l a f o ras u p e r - t w i s t e ds i g n a t u r eo p e r a t o r k e yw o r d s ：h e a tk e r n e l ，l o c a li n d e xf o r m u l a ，s u p e r - t w i s t e ds i g n a t u r eo p e r a t o r “ 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文储躲章参慰一 驯年岁月f 5 e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：匆乒柱 c 年岁月侈日 第一章引言 第一章引言帚一早ji 苗 1 9 6 3 年a t i y a h 和s i n g e r 证明了后来以他们的名字命名的定理，即著名的 a t i y a h s i n g e r 指标定理。在此之前，人们已经知道并证明了g a u s s b o n n e t - c h e m 定理、h i r z e b r u c h 符号差定理、h i r z e b r u c h r i e m a n n r o c h 定理等，这些大定理在 微分几何、拓扑学及代数几何学中有着非常重要的地位。这些结果看似孤立，但 在a t i y a h s i n g e r 指标定理证明后，却都成了其中的特例，并被很好地统一了起 来。a t i y a h s i n g e r 指标定理现在已被公认为二十世纪最重要的数学成就之一。著 名数学家eh i r z e b r u c h 认为a t i y a h s i n g e r 指标定理是数学中最深刻和最困难的 结果之一，可能在拓扑和分析中比其他单个的结果有更广的运用。而美国著名的 数学家h a l m o s 在其综述报告数学的进展慢下来了吗? 中曾评论a t i y a h s i n g e r 指标定理道“这项工作的成果是最深刻和最广泛的，对作为报告人的我来说，它 是这份报告中最铁的部分，它们不仅是一个定理，而且是一种理论，一个领域，一 种观点，这种观点进入数学的许多部分，同时也受它们的影响。 近半个世纪以来，有关这方面的研究一直是国际核心数学的主流之一，并且 已经形成了一套系统的理论，即所谓的a t i y a h s i n g e r 指标理论。该理论现已成 为核心数学的基础理论，在数学的众多分支乃至理论物理中有着多方面的深刻应 用。上世纪八十年代以来，由于来自数学物理特别是受著名物理学家w i t t e n 工作 的深刻影响，a f i y a h - s i n g e r 指标理论又进一步向着更深、更广的方面发展，目前这 方面的研究热点纷呈，方兴未艾。 以下我们只就自旋流形的情形给出a t i y a h s i n g e r 指标定理一个简要的描述。 设m 是一个光滑的佗维定向闭黎曼流形。令t m 为流形m 的切向量丛。用 9 t m 记m 上的黎曼度量。则在t m 上由夕t m 确定了唯一一个无挠且保持度量 夕t m 的联络v t m ，即所谓的l e v i c i v i t a 联络。 如果m 是自旋的( s p i n ) ，即m 的第二个s t i e f e l w h i t n e y 示性类训2 ( t m ) 为 零，则在m 上可构造一个旋量丛s ( t m ) ，它是一个h e r m i t e 向量丛。此时，切丛 t m 上的l e v i c i v i t a 联络v t m 可自然提升成旋量丛s ( t m ) 上的一个h e r m i t e 联络v s ( t m ) 。设e 是m 上的一个h e r m i t e 向量丛，设v e 是e 上的一个h e r m i t e 第一章引言 联络。那么张量积s ( t m ) oe 也是一个h e r m i t e 向量丛，而 v s ( t m ) 。e ：v s ( t m ) o1 + 1 圆v e 定义了s ( t m ) e 上的一个h e r m i t e 联络。 利用上述数据，1 9 6 3 年a t i y a h 和s i n g e r 在扭化旋量丛s ( t m ) qe 上构造 了一个在几何及数学物理中十分重要的扭化d i r a c 算子 d e ：r ( s ( t m ) e ) _ f ( s ( t m ) qe ) 设e l ，e 2 ，e n 是t m 的一个( 局部) 规范正交基，则上述扭化d i r a c 算子d e 可 以表示为 d e = e c ( e i ) v 器蹦) 鲫， i = l 这里c ( x ) 表示由向量场x r ( 7 1 m ) 确定的在s ( t m ) oe 上的c l i f f o r d 作用。 容易证明扭化d i r a c 算子d e 是定义在流形m 上的一个一阶形式自伴的椭圆微 分算子。由椭圆算子的基本理论可知d e 是一个f r e d h o l m 算子。 当流形m 的维数n 是偶数时，旋量丛s ( t m ) 中有一个自然的z 2 分次： s ( t m ) = ( t m ) on 口m ) 注意到c l i f f o r d 作用c ( x ) 满足： c ( x ) ：& ( t m ) 一s v ( t m ) ， 而另一方面，v s ( t m ) 。e 保持s ( t m ) 中的z 2 分次，所以有 d 至：f ( s + ( t m ) e ) 一r ( s v ( t m ) oe ) 令d e 分别记d e 在s + ( t m ) oe 上的限制，则有 d e = d 宝十d 竺， 且算子d 兰和d 竺互为形式伴随。现在对于f r e d h o l m 算子 d 旱：r ( s + ( t m ) e ) _ r ( s 一( t m ) 圆e ) 可以定义其( 解析) 指标为 i n d ( d 拿) = d i mk e r ( d 挈) 一d i mc o k e r ( d e ) ( 1 1 ) 一) 第一章引言 因为d e 是d 星的形式伴随，我们也有 i i l d ( d 睾) = d i mk e r ( d + e ) 一d i mk e r ( d _ e ) ( 1 2 ) 由f r e d h o l m 算子的指标理论可知i n d ( d + e ) 是一个拓扑不变量。 早在1 9 6 0 年左右，g e l f a n d 在研究流形上一般椭圆算子的指标理论时就认识 到闭流形上的椭圆算子的指标是一个拓扑不变量。进而他提出了一个问题，即著 名的g e l f a n d 问题：椭圆算子的指标是否可用流形上已知的拓扑不变量，如流形 上向量丛的示性类来表示? 1 9 6 3 年a t i y a h 和s i n g e r 解决了这个问题，这就是后 来以他们的名字命名的a t i y a h s i n g e r 指标定理。 为给出扭化d i r a c 算子d e 指标的一个精确的形式，我们先介绍一些有关的 示性类及其c h e m w e i l 表示。 令r t m = ( v r m ) 2 为l e v i c i v i t a 联络v t m 的曲率。则h i r z e b r u c h 的a 示性 微分形式a ( t m ，v t m ) 定义为： a c t m ，v t m ，= a e t ；( 嚣) 我们用a ( t m ) 记f i ( t m ，v t m ) 在日酱n ( 尬c ) 中所代表的示性类。此时流形m 的h i r z e b r u c ha 亏格由下式给出： a ( m ) = = a ( t m ，v t m ) ( 1 3 ) 令r e = ( v e ) 2 为h e r m i t e 联络v e 的曲率。则复向量丛e 的c h e m 特征微 分形式定义为： c h ( e ，v e ) = 仃( e 等r e ) 我们用c h ( e ) 记c h e m 特征形式c h ( e ，v e ) 在曰嚣( 旭c ) 中所代表的示性类。 此时关于扭化d i r a c 算子d e 的著名的a t i y a h s i n g e r 指标定理为： 定理( a t i y a h s i n g e r ，1 9 6 3 ) i n d ( d + e ) = = a ( t m ，v t m ) c h ( e ，v e ) ( 1 4 ) ，m 值得指出的是若在上述定理中取e = c ，则有 i n d ( d c + ) = a ( m ) ， 3 第一章引言 从而给出了一个闭的、定向自旋光滑流形m 的a ( m ) 亏格整性的一个直接的解 释。早在1 9 5 8 年b o r e l 与h i r z e b r u c h 就证明了一个闭的、定向自旋光滑流形m 的a ( m ) 亏格定是一个整数，而a t i y a h 和s i n g e r 正是为了寻找该结论的一个 直接的解释而发现了d i r a c 算子并得到了他们的指标定理。 a t i y a h s i n g e r 指标定理主要有三种证明。第一个证明是a t i y a h 和s i n g e r 在 1 9 6 3 年给出的配边证明 a s l 。而在1 9 6 8 年a t i y a h 和s i n g e r 又给出了他们的 第二个证明，即利用k 理论方法的嵌入证明【a s 2 。第三个证明就是所谓的热 方程证明。该证明基于著名印度数学家m i n a k s h i s u n d a r a m 和p l e i j e l 关于椭圆算 子热核的渐近展开。热方程的证明方法与微分几何和数学物理有着更为紧密的 联系，有很多数学家如m c k e a n 和s i n g e r m s ，p a t o d i i p 】，g i l k e y g i ，a t i y a h 和 b o t t a b p ，b e r l i n e 和v e r g n e ，g e t z l e r g e ，虞言林 y u l ，b i s m u t b 】等人在这方 面做出了重要贡献。 鉴于与本文所讨论的问题的关系，下面我们只就扭化d i r a c 算子d e 的情形， 简要地介绍一下其指标公式的热方程证明。 考虑联系于算子d e 的d i r a c l a p l a c e 算子 口= ( d e ) 2 ：p ( s ( t m ) oe ) _ f ( s ( t m ) oe ) ， 其为流形m 上的一个二阶非负自伴椭圆微分算子。我们易见 口：r ( & ( t m ) 圆e ) _ r ( ( t m ) oe ) 。 记 口土= 口i r ( s 士( t m ) 9 e ) ， 则有 口= 口士+ 口一 由椭圆算子的热方程理论知，口士分别决定了一个热核m ，( ，z ) ( z ，y m ，t o ) ， 它们是光滑地依赖于( t ，z ，y ) r + xm xm 的光滑线性映射簇： 儿，t ( y ，z ) ：s ( 疋m ) o 忍_ s ( 咒m ) o 岛 利用热核p 土1 ( y ，z ) ，可以相应地定义热算子 e 一。口士：r ( & ( 丁m ) oe ) 一r ( s 士( t m ) e ) ， 4 第一章引言 e 一皿) ( 可) = p 士，t ( 可，x ) ( x ) d v m ，w r ( & ( t m ) pe ) ， ，m 这里，d v m 表示流形m 的体积密度。令 p t ( 可，z ) = p + ，t ( 可，z ) + p 一，t ( 可，z ) ，e 一口= e 一。阻+ e 一。口一， 则p t ( y ，z ) 是由口决定的热核，e 一口是相应的热算子。易见，e - 烈n ，e - t l j ：皆为迹 类算子。定义 s t r ( e - t d ) = t r ( e 一。皿) 一t r ( e n ) ( 1 5 ) 利用椭圆算子的相关理论及扭化d i r a c 算子d e 的定义可证明： i n d ( d + e ) = s t r ( e t 口) ：s t r ( p 。( z ，z ) ) d v m ， ，m ( 1 6 ) 这里 s t r ( p t ( x ，z ) ) = t r ( p + ：t ( z ，z ) ) 一t r ( p _ , t ( z ，z ) ) ， 其中的迹t r 是线性变换的求迹运算。注意到( 1 6 ) 式的左边与t 0 无关，所以 也有 i n d ( d + e ) = l i m t 。+ s t r 慨( z ，z ) ) d 地彳 ( 1 7 ) 由m i n a k s h i s u n d a r a m 和p l e i j e l 发展的理论知热核士，t ( 可，z ) 有渐近展开：， p 佃，y ) 2c p 卸( 舭) ”研e 4 t 擎理珐 其中 瞠( z ，可) ：s ( 瓦m ) o 易_ s ( 乃m ) 。马 是光滑的线性映射簇，j 口( z ，y ) 是z 与y 之间的测地距离。令 u g ( z ，可) = u 宰( z ，可) + u 尘( z ，y ) ， s t r ( u ( ( z ，z ) ) = t r ( u 宰( z ，z ) ) 一t r ( u ! ( z ，z ) ) 从而有 砌( 。挈) = 高南善n m 枷一号厶s t r ( 泸k ) d 砌( d 挈) 2 面南三枷“- 詈厶鼬r ( 曲( z ) d ( 1 8 ) 第一章引言 根据上式我们立即得知 s t r ( u ( z ，z ) ) d = o ，i 罟， um 二 州。竿) = 酽1 ：f s t r ( 粥) ( 叩) ) d 现在一个自然的问题是下列各等式 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) s t r ( u ( 叩) ) = o ，1 t 三 ( 1 1 1 ) 是否成立? 若该结论成立的话，那么，以下的极限： l i m t + o + s t r ( 9 ( z ，z ) ) = 8 t r ( u ( 詈( z ，z ) ) 将自然存在，此时我们称微分形式 1 i m t - o + i = 五巧1 i 压s t r t ( z ，z ) ) = i ：酽1 s t r ( u ( 詈( z ，z ) ) 为算子d 宰的局部指标密度，记为l o c i n d ( d + e ) ，而将下列等式 l 。c i n d ( d + e ) = 1 i m t 一。+ i ：妒1s t r t ( z ，z ) ) 。i = 妒1 s t r ( u 鼍( z ，z ) ) 称为关于算子d 莹的局部指标公式。由g e t z l e r ，虞言林等人的工作，我们已经知 道( 1 1 1 ) 中各等式的确成立，且有 l o c i n d ( d + e ) = a ( t m ，v t m ) c h ( e ，v e ) ( 1 12 ) 易见对上式右边的微分式在m 上积分即得到关于扭化d i r a c 算子d e 的指标定 理。 一般地人们将( 1 1 1 ) 涉及的问题称为m c k e a n s i n g e r 猜测，该问题最早是 m c k e a n 和s i n g e r 在他们1 9 6 7 的一篇著名文章中提出的【m s 。经过多年的研 究，人们已经知道对于一类由c l i f f o r d 联络定义出来的一阶微分算子，m c k e a n 和 s i n g e r 猜测是正确的，从而这类算子具有局部指标公式。例如经典的d er h a m h o d g e 算子、h i r z e b r u c h 算子、r i e m a n n r o c h 算子以及上述的扭化d i r a c 算子即 属此类。 本文我们将利用虞言林教授在其证明d i r a c 算子的局部指标公式时提出的方 法对所谓的超扭化符号差算子( 定义见3 1 节) 计算其局部指标公式。 第一章引言 本文安排如下，在第二章我们介绍超空间与超迹的概念，给出一个矩阵的 p f a f f 形式的定义；在第三章我们将给出超扭化d i r a c 算子的定义及其l i c h n e r o w i c z 型的公式；在第四章我们复习法坐标系及l a p l a c e 算子的热核等相关知识；第五 章我们给出超扭化符号差算子的局部指标公式。 7 第二章超空间和超迹 第二章超空间和超迹 本章我们简要地复习一下有关超空间与超迹的基本概念。 定义2 1 ( e ，下) 被称为一个超向量空间，如果e 是一个向量空间且r e n d ( e ) 满足7 - 2 = i d 。 令e 士记7 - 的特征值土1 的特征子空间，则向量空间e 有直和分解 e=e+oe 一， 此时我们也称对合映射7 _ 给出了e 中一个z 2 分次。其中，e + 及e 一中的元素分 别称为具有偶次及奇次的。 定义2 2 称为一个超代数，如果作为向量空间是z 2 分次的，即有= + o 一，且中的乘法满足 士占士c + 士千c 一 设e = e + oe 一是一个超向量空间，则e n d ( e ) 亦是一个超向量空间 e n d ( e ) = e n d + ( e ) oe n d 一( e ) ， 其中对任何a e n d ( e ) ， a e n d + ( e ) 铮a ( e 士) ce 士， a e n d 一( e ) 兮a ( e 土) ce 千 易证 e n d ( e ) 士e n d ( e ) 土ce n d ( e ) + e n d ( e ) 士e n d ( e ) 千ce n d ( e ) 一 从而e n d ( e 1 是一个超代数。 设( e ，他) ，( 只t f ) 是两个超向量空间，则t eot f 给出了e 圆f 上一个自然 的z 2 分次： ( eof ) + = e + of + o e of 一，( e f ) 一= e + gf oe of + 8 第二章超空间和超迹 在这种分次下，我们记eo f 为e 园f 。着进一步( e ，t e ) 和( f t f ) 还是两个超 代数，则e f 关于其上的z 2 分次也构成一个超代数，其中的乘法定义为 ( a l 囟6 1 ) ( n 2 圆6 2 ) ：= ( 一1 ) t a 2 | i b l i ( a l a 2 ) 圆( 6 1 b 2 ) ，( 2 1 ) 这里a 1 ，a 2 e ，b 1 ，b 2 f ；且若a e ( 相应地b f ) 为偶元时，定义l a l = 0 ( 相 应地l b i = o ) ；若a ( 相应地6 ) 为奇元时，定义l a l = 1 ( 相应地l b i = 1 ) 。 现在，我们定义超代数e n d ( e ，7 ) 上的超迹运算。对v a e n d ( e ) ，定义： ， s t r ( a ) = t r ( r a ) ， 其中，臼是一般向量空间上线形变换的求迹运算。 引理2 1 对任意a e n d 一( e ) ，有s t r ( a ) = 0 在超代数e n d ( e ) 中可定义两个线形映射a ，b e n d ( e ) 之间的超交换子运 算： a ，b 】。= a b 一( 一1 ) 1 a i | b i b a ，( 2 2 ) 这里，如果a e n d + ( e ) ，则有l a i = o ；如果a e n d 一( e ) ，则有l a l = 1 。 引理2 2 对任意a ，b e n d ( e ) ，有s t r ( a ，矧。) = 0 。 超空间的概念可自然推广到流形上的向量丛的情形。 定义2 3 流形m 上的一个向量丛e 称为一个超向量丛，如果在e 中有一个 指定的z 2 分次 e = e 十oe 一， 这里e 士是e 的两个子丛。如果超向量丛e 本身还是m 上的一个代数丛，且满 足 e 士e 士ce + ， e + e ：vce 一， 则称e 为m 上的一个超代数丛。 若e = e + o e 一是一个超向量丛，则类似于单个向量空间的情形，在e n d ( e ) 中有一个自然的z ：分次 e n d ( e ) = e n d + ( e ) oe n d 一( e ) ， 从而，e n d ( e ) 成为流形m 上的一个超向量丛，它同时也是m 上的一个超代数 丛。 9 第二章超空间和超迹 此时上述定义的超迹运算可以逐个纤维地自然推广到超代数丛e n d ( e ) 的情 形，即我们自然地可定义下列映射 s t r ：f ( e n d ( e ) ) _ g ( m ) 进一步，超迹运算还可以扩展到f _ 2 ( m ) b r ( e n d ( e ) ) = q ( m ，e n d ( e ) ) 上，即 可自然定义映射： s t r ：q ( m ，e n d ( e ) ) _ q ( m ) ， 这里，对任意的q q ( m ) ，a f ( e n d ( e ) ) ，有 s 仃( a a l = q s t r ( a ) 为以下行文的方便，我们在此引入一个反对称二次微分形式矩阵的p f a f f 形 式的定义。 定义2 3 设q = ( q ) 貔1 是m 上一个2 一微分形式的反对称矩阵。则一f l 2 7 r 的p f a f f 形式地定义为 p f ( 一q 2 丌) = 嘉= 丽咏) q - 1 t ：。， ( 2 3 ) 这里，若( i i ，i 凯) 是( 1 ，2 n ) 的一个偶排列，则e ( i 1 ，i 2 竹) = 1 ，否则，定 义e ( i l ，i 2 n ) = 一l 。 l o 第三章超扭化符号差算子d 第三章超扭化符号差算子d 3 1 算子d 的构造 本节我们回顾冯惠涛和郭恩力在文【f g 】中定义的一个超扭化符号差算子的 构造。 设m 是一个闭的定向2 n 维黎曼流形，夕聊，v t m 分别记m 上的黎曼度量及 其l e v i c i v i t a 联络。设e 是m 上的一个定向的2 亿维e u c l i d 向量丛，设严是e 上的一个e u c l i d 内积，v e 是与严相容的一个e u c l i d 联络 用矽记e 的对偶丛。现考虑m 上的复值外代数丛a ( t m 1 _ m 和 h ( e 4 ) 一m 。对任意的x f ( t m ) ，v r ( e ) ，定义 c ( x ) = x 木a - - i x ，a ( x ) = x 4a + 皈； c ( y ) = v + a - - i v ，e ( v ) = v 4a + i v 则对任意的蜀，恐f ( t m ) ，k r ( e ) ，容易验证 c ( 五) c ( 恐) + c ( 簏) c ( 五) = 一2 9 聊( 墨，托) ，c ( ) c ( k ) 十c ( ) c ( ) = 一2 9 e ( k ，) ； 己( 墨) 仑( 咒) + 己( 咒) 仑( 墨) = 2 9 删( 墨，恐) ， e ( m ) 6 ( ) 十6 ( ) e ( ) = 2 9 e ( ，k ) ； c ( x 1 ) e ( x 2 ) + e ( x 2 ) c ( z 1 ) = 0 ，c ( ) e ( k ) + 6 ( k ) c ( ) = 0 设e l ，e 2 竹( 相应地1 ，已n ) 是t m ( 相应地e ) 的一个局部定向的规范 正交基。令 7 1 = 汀c ( e 1 ) c ( e 2 n ) ，死= 何c ( 6 ) c ( 已n ) 易证7 1 ，7 2 不依赖于局部定向的规范正交基e 1 ，e 觚及l ，锄的选取，从 而，t 1 ，7 - 2 是m 上两个整体定义的丛映射。 引理3 1 我们有 ( 1 ) ( n ) 2 = 1 a ( t m ) ，( 吃) 2 = i a ( e ) ； 第三章超扭化符号差算子d ( 2 ) v x f ( t m ) ，v r ( e ) ， c ( x ) n = 一7 1 c ( x ) ， e ( x ) n = 丁1 仑( x ) ； c ( y ) 见= 一亿c ( y ) ，仑( y ) 死= 见6 ( y ) 由引理3 1 ，( a ( t m ) ，7 1 ) 和( a ( e 4 ) ，丁2 ) 是两个超向量丛。事实上n ( 相应地 死) 给出了a ( t + m ) ( 相应地a ( e 4 ) ) 上的所谓的“符号差分次( 参见【y 2 】) 。现考 虑超向量丛a ( t + m ) 园人( 矽) 。则7 1 囟见给出了其上一个z 2 分次。此时c l i f f o r d 作 用c ( x ) ，e ( x ) ( 相应地c ( y ) ，6 ( y ) ) 自然地扩张为扭化张量积丛a ( t m ) 囟a ( 矿) 上的c l i f f o r d 作用c ( x ) 囟1 ，e ( x ) 4 l ( 相应地1 圆c ( y ) ，1 4 e ( v ) ) 。为记号简单起见， 我们仍然将扩张后的c l i f f o r d 作用记为c ( x ) ，e ( x ) ( 相应地c ) ，仑( y ) ) 。此时在 a ( t m ) 4 a ( e + ) 上有 c ( x ) c ( y ) + c ( y ) c ( x ) = 0 ，c ( x ) 仑( y ) + e ( y ) c ( x ) = o ； 仑( x ) c ( y ) + c ( y ) 仑( x ) = 0 ，e ( x ) e ( v ) + e ( v ) e ( x ) = 0 记7 i = 乃囟死。则在局部定向的规范正交基e 1 ，e 2 n 及1 ，2 n 下有 丁= ( 一1 ) n c ( e 1 ) c ( e 2 竹) c ( 毒1 ) c ( 2 n ) ( 3 1 ) 注意到t m ( 相应地e ) 7 上的e u c l i d 内积9 t m ( 相应地9 e ) 可自然提升为 复超向量丛h ( t + m ) ( 相应地a ( e ) ) 上的h e r m i t e 度量矿( t m ) ( 相应地g a ( e 。) ) ， 且a + ( r m ) 与a 一( p m ) ( 相应地a + ( e + ) 与a 一( 矿) ) 关于这个提升度量酉 正交。另外t m ( 相应地e ) 上的保度量联络v r m ( 相应地v e ) 可自然提升 为h e r m i t e 超向量丛a ( t m ) ( 相应地h ( e + ) ) 上的h e r m i t e 联络，我们记其 为v a ( p m ) ( 相应地v a ( e + ) ) 。从而在扭化张量积丛a ( t + m ) 4 a ( e + ) 上有h e r - m i t e 度量g a ( t 。m ) 矾( e + ) = g h ( t m ) og h ( e ) 及h e r m i t e 联络v a ( r m ) 抓( e ) = v a ( t + m ) 圆1 + 1ov a ( e ) 。 引理3 2 ( 1 ) v x r ( t x ) ，荨r ( e ) ，关于h e r m i t e 度量矿( t m ) 及g a ( e ) 分 别有 c ( x ) + = 一c ( x ) ，a ( x ) + = 仓( x ) ， c ( x ) 4 = 一c ( x ) ，6 ( x ) + = ( x ) ； ( 2 ) c ( x ) v a ( ? m ) 园a ( e + v a ( t m ) 园a ( e ) c ( x ) = c ( v t m x ) ； 1 ， 第三章超扭化符号差算子d ( 3 ) 7 1 v a ( t m ) 一v a ( t m 7 1 = 0 ，r 2 v ( f ) 一v a ( e 丁2 = 0 ，从而 下v a c t * m ) a ( e + ) 一v a ( t m ) 西a ( e + ) 丁：0 由引理3 2 ( 2 ) 可见h e r m i t e 联络v a m ) 固a ) 是一个h e r m i t e 超向量丛 a ( t + m ) 圆a ( e + ) 上的一个c n 肋r d 联络；而由引理3 2 ( 3 ) 知h e r m i t e 联络v a ( t m ) ( 相 应地v a ( e + ) ) 保持超向量丛a ( t m ) ( 相应地a ( e + ) ) 中的z 2 分次，h e r m i t e 联 络v a ( t m ) 卧( e ) 保持超向量丛a ( t 4 m ) 囟a ( 秽) 中的z 2 分次。 有了上述的准备，我们就可定义所谓的超扭化符号差算子。设e 1 ，e 2 n 是 t m 的一个局部规范正交基，易见算子丝，c ( e i ) v 筹t 。m ) 。a ( 扩) 的定义与局部规 范正交基8 ，e 2 骼的选取无关，从而是一作用在r ( a ( t m ) 园a ( e + ) ) 上的整体 定义的微分算子，我们记该算子为d ，称为超扭化符号差算子。我们有 2 n d = c ( 岛) v 金t m 觚e ：f ( a ( t + m ) 园a ( ) ) 一f ( a ( t 。m ) a ( 矿) ) i = l 由于联络v a m ) 龇( e + ) 保持超向量丛a ( t + m ) 园a ( 伊) 中的z 2 分次，c ( 龟) 7 = 一r c ( e i ) ，我们有 d ：1 1 ( ( a ( t 4 ? 汀) 圆人( e 。) ) 士) r ( ( a ( t + m ) 园a ( e 4 ) ) 千) 记 d 士= d i r ( ( h ( t m ) 孙( e ) ) 士) 则有 d + ：r ( ( a ( t 8 m ) 园a ( e 4 ) ) + ) 一r ( ( a ( t m ) c 多a ( e + ) ) 一) 易见上述定义的超扭化符号差算子d 是一个一阶椭圆微分算子，从而是一 f r e d h o l m 算子。 在r ( a ( t m ) 圆a ( 矽) ) 上可定义如下的l 2 内积( ，l 2 ： ( 8 1 ，8 2 ) l ：= 厶( s 1 ，s 2 ) d ( 3 2 ) 这里s 1 ，s 2 f ( a ( t m ) a ( 驴) ) ，( s l ，5 2 ) 表示h e n i l i t e 内积矿( t + m ) 觚( e ) ( s 1 ，s 2 ) 定理3 1 超扭化符号差算子d 关于l 2 内积( ，) l 。是一形式自伴的一阶椭圆 微分算子。 第三章超扭化符号差算子d 证明：v s x ，8 2 r ( h ( t + m ) 囟人( 矿) ) ，我们有 2 n ( d s l , s 2 ) = 令 t = 1 2 n i = 1 2露2n 龟 + i = li = 1 2 n轨 龟 + t = 1 2 n 2 n = 一q + i - - - - 1 i = 1 易见t 的定义与局部规范正交基e l ，e 2 n 的选取无关，从而是m 上一个整体 定义的向量场。下面我们来计算该向量场的散度： 2 n d i vt = i , j = l + i , j = l i , j = l 2 n 2 n e i 幻十 i , j = li , j = l 2 n 2 n e i 一 i = 1 i j = l 2 n 2 n e i 一 i = 1 i = 1 2 n 2 n e t 一 e secs 鼽l l it 第三章超扭化符号差算子d 从而我们有 一 - - 一m vt ( 3 3 ) 对上式两边积分得， ， ( d s l ，s 2 ) 如一( s 1 ，d s 2 ) 二2 = 一d i vt d y m = 0 1 ，m 最后我们得到 ( d s l ，s 2 ) l 2 = ( 8 1 ，d s 2 ) l 2 由定理3 1 易见算子d + 与d 一互为形式自伴。从而我们有 i n d ( d + ) = d i mk e r ( d + ) 一d i mc o k e r ( d + ) = d i m k e r ( d + ) 一d i mk e r ( d 一) = d i mk e r ( d 一d + ) 一d i mk e r ( d + d 一) = d i m k e r ( d 2 i r ( ( a ( t 。m ) 圆a ( 伊) ) + ) ) 一d i mk e r ( d 2 i r ( ( a ( p d 言a 。) ) 一) ) 在这篇文章里，我们将用热方程方法给出d 的下述局部指标公式。 定理设m 是一个2 礼维的、定向的、闭光滑黎曼流形，设e 是m 上一个定 向e u c l i d 向量丛，其上带有一个e u c l i d 联络v 国。设r e 是e 上相应的曲率算子。 则如上定义的超扭化符号差算子d 有如下的局部指标公式： l o c , i n d ( d + ) = ( - 1 ) 舢2n p f ( 一r e 2 7 r ) ( 3 4 ) 3 2 算子d 的l i c h n e r o w i c z 型公式 我们记d + 为d 。本节我们给出超扭化符号差算子d 的l i c h n e r o w i c z 型公 式。设e 1 ，e 2 礼( 相应地l ，2 n ) 是t m ( 相应地目的一个局部的规范正交 基。令 础= 一夕删( 胖( e ，e j ) e k ，勺) ，磺脚= 一9 e ( r e ( e ，勺) 磊，钏 定理3 2 下列l i c h n e r o w i c z 型公式成立： d 2 ：+ 丢妻毗) c ( 班陬坂e 1 ) + 2 = + 去肼c ( e t ) c ( 勺) 6 ( e 七) + 去k 。i , j ，k ，l = l 1 z 竹 2 n + 击r 氦z c ( e t ) c ( 勺) 6 ( & ) 6 ) 一击尽苏z c ( e i ) c ( 勺) c ( 靠) c ) ， 。t j ，凫，1 = 1 。i , j ，k ，1 - - - 1 其中， = 一 第三章超扭化符号差算子d ( ( v 筹t m 胁( f ) 2 一v v a ( 弛t * m 融驴) ， k = i j 巧是m 的数量曲率。 证明：为符号简单计，我们记w = a ( t + m ) 园a ( e + ) 。 2 n2 n d 2 = c ( e t ) v 孑c ( 勺) v 善 i = 1 2 n i , j = l 2 n i , j = l 2 n ：r 二_ 一 i , j - - - - 1 j = l c ( e t ) ( c ( 勺) v 孑+ v g c ( e j ) 一c ( 勺) v 吕) v 巧w c ( e i ) c ( 勺) v 髟v 孑+ 一( v 髟) 2 + 去 i = 1 一t j 2 n 1 一( v g ) 2 + 去 i , j = l c ( e ic ( v e r y e j ) v 呵w c ( ) c ( 勺) 【v 孑，v 孑】+ c ( e t ) c ( 勺) v 吕，v 孑】一 2 n 1 = 一( v 吕) 2 + 吉c ( e t ) c ( 勺) v 吕，v 吕】一 2 n 1 = 一( v 吕) 2 + 专c ( e i ) c ( 勺) 【v 孑，v 孑 一 l = 10 ：， c ( e t ) c ( e 七) v 孑 c ( e t ) c ( e 七) v 吕 c ( e t ) c ( e 凫) v 氅。 勺 c ( e t ) c ( e j ) v 瓤勺 喜( ( v 黝w2 一v 却。；) + 互1 荨c ( e f ) c ( 勺啤w w b w 蚓) 1 2 n = + 去 i , j = l 1 2 n = + 壹 i ，j = l c ( e i ) c ( e 歹) r ( e i ，e j ) c ( e 加 胪飞水卅互1 善2 nc ( e 加心胪飞e i ，吼 ! i 勺 v ” 勺 “ 既 v 龟 “ 凯归轨 + 勺 v 龟 v 勺 沁 岛 “ 轨甾誉竺钳 第三章超扭化符号差算子d 又由 c ( e t ) c ( e j ) r a ( p ( e t ，勺) t j = 嘞肌( e t ) c ( 勺) e k + a i e 。 i , j ，k ，f = 去嘞徘t ) c ( 勺) ( 6 ( e 知) + c ( e 七) ) ( 一c ( e z ) ) i , j ，k ，l 壶嘞埘c ( e t ) c ( 勺) ( e ( e 七) 6 ( e z ) 一c ( e 忌) c ( e z ) 一己( e 知) c ( e z ) + c ( e 知) a ( e z ) ) ，五k ，z 去勘觚( c ( e t ) c ( 勺) 仑( e 七) 6 ( e z ) 一c ( e t ) c ( 勺) c ( e 七) c ( e 1 ) ) 一 z , j ，托， 1 = 4 注意到 7 埘( 一c ( 龟) c ( 勺) a ( e 知) c ( e z ) + c ( 龟) c ( 勺) c ( e 磨) a ( e z ) ) 嘞础( c ( e t ) c ( 勺) a ( e 知) 6 ( e z ) 一c ( e t ) c ( 勺) c ( e 七) c ( e 1 ) ) i j ，k ，l 0 = ( 埘+ p k z j k + 兄蚴) c ( e t ) c ( 勺) c ( e 南) c ( e f ) i , j ，k ，l =确削( c ( e t ) c ( 勺) c ( e 惫) c ( e z ) + c ( e t ) c ( q ) c ( 勺) c ( ) + c ( e ；) c ( e 知) c ( e z ) c ( 勺) ) i ，j ，七，_ 3 确舰c ( e t ) c ( 勺) c ( ) c ( e 1 ) + 2 ( 忌瓤庇一2 马t 航+ r j k “) c ( 勺) c ( e 七) i , j ，k ，l i , j 磨 3 砀肌( e t ) c ( 勺) c ( e 七) c ( e z ) + 6 嘞巧 i , j ，k ，z i , j 3 砀舻( e t ) c ( e j ) c ( e k ) c ( e 1 ) + 6 k 从而我们有 删 1 4 k + 勺一 r 妻一，m = 勺 m r 勺 轨讨 第三章超扭化符号差算子d 类似地我们有 舻矿( e t ，勺) = 端m 八= 去r 瓤6 ( 靠) 十c ( & ) ) ( 仑( 钔一c ( 勘) k ，lk ，z = 、去r 孙8 ( 蛳( 鳓一c ( 洳( z ) ) k ，f +