（基础数学专业论文）具有有限型高斯射的旋转曲面.pdf

0 1 at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s s u r f a c e so fr e v o l u t i o nw i t hf i n i t e1 y p e g a u s s m a p b y r e n p e i p e i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r l i uh u i l i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y o c t o b e r2 0 0 7 1 t r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意 学位论文作者签名：在锛吨留 日 期：1 仍7 歹 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： f 东北大学硕士学位论文摘要 具有有限型高斯映射的旋转曲面 摘要 随着数学的发展，它的基本理论更加深入和完善同时，也促进数学研究的 方式发生巨大的变化作为整个科学技术基础的数学，正突破传统的范围而向人 类一切知识领域渗透几何学作为描述物质宇宙空间的一门学科，也更好地反映 了现实物质世界的不同范围和方面现在，我们不仅需要在平直空间中研究数学， 而且需要在弯曲空间中发展数学目前，这个最适当的弯曲空间就是流形，而曲 面就是一种特殊的流形有限型子流形是研究和描述许多重要子流形的有用工 具将有限型的理念运用到子流形的光滑映射高斯映射上，就有了逐点有限 型高斯映射的概念 本文主要讨论了具有有限型高斯映射的旋转曲面的问题特别是系统而全面 地研究了具有有限型高斯映射的有理旋转曲面并且得出了具有有限型高斯映射 的有理旋转曲面所满足的充要条件这些是在具有逐点1 型式高斯映射的旋转曲 面的基础上，对一些结论进行的推广在本文的第三章，分别得出了平面、圆柱 和正规锥具有逐点n 型式高斯映射所满足的公式 关键词：高斯映射：有限型；逐点：旋转曲面 、 ，pj 东北大学硕士学位论文 a b st r a c t s u r f a c e so fr e v o l u t i o nw i t hf i n i t e 时p eg a u s sm a p a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c s ，t h eb a s i ct l l e o 巧o fm a t h e m “c sh a sb e c o m e m o r ea n dm o r ed e e pa i l dp e 彘c t a t 廿l es a m et i m e ，i th a sa l s oi i i l p e l l e dt h eh u g e 仃a n s f o m lm e t h o di nm a t h e m a t i c a lr e s e a r c h a st h eb a s eo fa l ls c i e n c e ，m a t h e m a t i c si s b r e a l ( i n gt h e 仃a d i t i o n a la s p e c t sa n di ss e e k i n ga ua r e a si i lh u m a nl ( n o w l e 心e a sa s c i e n c eo fd e s c r i b i l l gp h y s i c a la s 仃o s p a c e ，g e o m e 仃ya l s ob e t t e rr e n e c t sd i f f 宅r e n ta s p e c t s a n da r e a s n o w ，w en o to n l ys t u d ym a t h e m a t i c si nf l a ts p a c e ，b u ta l s od e v e l o p “i n c u r v e ds p a c e a tp r e s e n t ，廿l em o s ts u i 讪l ec u r v e ds p a c ei sm a i l i f o l d o n ek i i l do f s p e c i a lm a i l i f o l di s s u r f a c e t h en o t i o no ff i n i t eb ，p es u b m a i l i f o l d si 1 1e u c l i d e a i l0 r p s e u d o - e u c l i d e a ns p a c eh a sb e c o m eau s e m lt o o lf o rm v e s t i g a t i n ga i l dc h a r a c t e r i z i n g m a n y 血p o n a i l ts u b m a i l i f o l d s 1 1 1 en o t i o no ff m “e 卯ew a se ) ( t e n d e dt 0d i 骶r e n t i a l m a p s ，i i lp 甜i c u l 虬t og a u s sm a po fs u b m a l l i f o l d s 1 1 1 e nw eh a v et l l ec o n c e p t i o n0 f p o i n t w i s ef - m i t e 咖eg a u s sm 印 1 1 1t h i st h e s i sw em a i l l l yd i s c u s st h ep r o b l e mo fs u r f 犯e so fr e v o l u t i o nw i t hf i i l i t e 咖eg a u s sm a p e s p e c i a l l y ，w es t u d ym e r a t i o n a ls u m c eo fr e v 0 1 u t i o nw 油f i n i t e 娜l e g a u s sm a ps y s t e m a t i c a l l ya n dc o m p l e t e l y f u n h e m o r e ，w eo b t a i l lt h en e c e s s a 巧a n d s u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h er a t i o n a ls u r f a c eo fr e v o l u t i o nw i t hf m i t et y p eg a u s sm 印 t h e s ea r et l l ed e v e l o p m e n to ft l l ec o n c l u s i o n so fm es u r f k eo fr e v o l u t i o nw i l p o i n t 、) i r i s el - 帅eg a u s sm 印mc h a p t e rt 1 u i e e ，w eo b t a m t 1 1 ef o m l u l z l so fp o i l l t v v i s en _ i i i r 帅eg a u s sm 印f o rp l a j l e ，c 沁u 1 2 u rc y l i n d e ra i l dr i g mc o n er e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：g a u s sm a p ；f m i t e 帅e ；p o i i l t 、) l ，i s e ；s u 血c eo f r e v o l u t i o n 弋： 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b s 仃a c t i i i 目录v 第一章引言一1 1 1 欧氏几何和黎曼几何的产生和发展。1 1 2 空间曲面理论的发展一4 1 3 本文的主要内容、研究目的及意义一7 第二章预备知识一9 2 1 欧氏空间一9 2 1 1 数域，上的向量空间9 2 1 2 欧氏向量空间9 2 1 3 仿射空间1 0 2 1 4 欧氏空间1 0 2 2 曲面的基本量ll 2 2 1 曲面的第一基本量1 1 2 2 2 曲面的第二基本量1 1 2 3 曲面的平均曲率1 l 2 4 旋转曲面1 2 2 5高斯映射1 2 2 6 微分流形1 2 2 7 子流形1 3 2 8 光滑函数1 4 2 9 流形上的拉普拉斯算子1 4 第三章具有逐点n 型式高斯映射1 5 3 1 基本概念及引理1 5 3 2 具有逐点n 型式高斯映射的旋转曲面1 6 v ， 目录 东北大学硕士学位论文 第四章具有有限型高斯映射的旋转曲面2 5 4 1 基本概念2 5 4 2 具有有限型高斯映射的有理旋转曲面2 5 第五章总结3 7 参考文献3 9 致谢4 1 东北大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 数学产生于人类的实际需要作为一门最早发展起来的科学，数学历来是人 类文化的一个重要组成部分随着社会的进步，科学技术的进步，以及数学自身 的不断发展，作为人类精神、智慧和理性的最高代表之一，数学不仅是文化的重 要组成部分，还在文化发展中占据着举足轻重的地位今天，数学已经成为与自 然科学、社会科学、人文科学、思维科学等具有同等地位的科学! 不仅如此，作为 一种人类的理性精神，作为理性精神最有力的倡导者和体现者，数学在今天已在 一定程度上渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，成为人们思想和行动 的先导之一有些数学成果，如欧氏几何、非欧几何、哥德尔定理对人类社会所 产生的精神方面的影响，并不亚于对数学的影响，它们对认识论、伦理观、世界 观乃至人生观都产生了一定的作用爱因斯坦曾言简意赅地阐明了数学之所以在 文化中“受到特殊的尊重”的内在原因数学的本质 在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神正是这种精神，使 得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人 类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去解 释和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵 1 1欧氏几何和黎曼几何的产生和发展 几何学是数学的一个分科它是由于人类生活的需要，在人类社会的实践中产 生和发展起来的有着古老文化的中国、埃及、希腊、巴比伦以及印度都是几何 学的重要发源地 在人类文化发展的历程中，特别是在西方历史上，在相当长的一个历史时期， “几何”曾等同于数学不仅如此，几何在一般意义上代表着人类文化中的数学约 在公元前三世纪，希腊著名数学家欧几里得( e u c i l d ) ，在他以前的人们的工作基础 上，运用了亚里士多德提供的逻辑学规律，把人们所研究积累起来的几何材料， 编排成系统的严密的逻辑结构，写成了历史上第一部比较完整的数学理论著作几 何原本 ，广 第一章 引言 东北大学硕士学位论文 几何原本阐述的是关于平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识它 按照公理化结构，运用亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学 的演绎知识体系所谓公理化结构是这样的：选取少量原始概念和不需证明的命 题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运 用逻辑推理证明其它命题，进而得到一系列定理它的主要贡献在于： 1 ) 成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构 2 ) 对命题作了公理化演绎从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体 系，成为其后所有数学的范本 3 ) 几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段 欧几里得几何原本集中体现着数学，它的影响之深远，我们可以从“欧 几里得 与“几何学”几乎成了同义语窥见一斑欧氏几何的创立，对人类的贡 献不仅仅在于产生了许多有用的、美妙的定理，更主要的是它孕育出了一种理性 精神欧氏几何庞大的几百条证明，仅仅是从几条极简单的原理推导出的，这是 人类任何其它的创造不可比拟的正是受这一成就的鼓舞，直接秉承希腊文化的 近代西方文化，理性因素在其中占据着主导地位他们大胆地把理性运用于自然 界、人类社会、思维心理的各个领域科学家、神学家、哲学家、政治学家以及 所有真理的追求者，都纷纷仿效欧氏几何的形式和推理过程理性精神已渗透于 人类文化的几乎一切领域，成了指导人们思想和行动的不可缺少的重要方面 欧氏几何着力体现了希腊人的追求，它们追求的是最普通的和永恒的知识， 几何原本概念、公理的普遍性，命题的永恒性正好满足了他们的这种美好愿 望在希腊人看来，几何领域是永恒的，因此宇宙的数学性质将永远有效，数学 领域的知识也因此是最令人向往的在人类文化教育中，欧氏几何一直是基本的 组成部分，这是几何原本对人类文化产生一定影响的基本原因人们把欧氏 几何在训练思维，培养逻辑推理能力、空间想象能力方面的作用誉之为“脑体操”， “人的智力体育”一代一代的学生从欧氏几何中，学到了应该如何进行严密推理 的方法 欧氏几何在人类文化的发展中发挥了非同寻常的作用，被人们捧为永远真理 的光辉典范实际上，欧氏几何并不是在一开始就被人奉为神明，被视作绝对真 理的欧氏几何的创立者欧几里得，就是第一个向欧氏几何发出挑战的人他对 第五公设( 平行线公设) 存在疑惑，因此尽量避免使用这一公设，而先将未用这一 2 东北大学硕士学位论文 第一章引言 公设的内容放在整个体系的前面欧几里得的举动，标志着二千年来怀疑显而易 见真理的开端，同时也表明数学家具有卓越的怀疑精神康德从哲学角度将欧氏 几何推向了人类社会的顶峰他以欧氏几何为出发点建立了自己的时空观和真理 理论他深信欧氏几何和牛顿力学能适用于一切经验对象，具有普遍的必然性和 有效性然而，罗巴切夫斯基、高斯及鲍耶却发现了非欧几何的存在，但只有俄 国数学家罗巴切夫斯基勇敢地冲破了欧氏几何是唯一的、必然的先验真理的康德 教条的束缚，敢于公开发表且有勇气面对人们强烈地反对，并产生了重大的影 响因此，人们将罗巴切夫斯基称为“几何中的哥白尼” 非欧几何推翻了欧氏几何是唯一的、必然的、先验的几何学这一观念非欧 几何的创立，是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的 典范非欧几何并没有推翻欧氏几何，而恰恰证明了欧几里得把平行公设作为独 立的公设是完全正确的，非欧几何宣告了要从其它公设中证明平行公设的努力纯 属徒劳之举实际上，非欧几何得以诞生的第一步，就在于人们认识到平行线公 设不可能在其它公设的基础上证明，它是一条独立的公设，因而才可以选取一条 与之矛盾的公设进而发展出一套全新的几何的确，欧氏几何是有不严谨之处， 而且没有形成完整的公理化系统不同的公理化系统，可以建立不同的几何体系， 甚至互相对立的几何体系例如：如果将欧几里得的公理系统中的平行公理用罗 巴切夫斯基公理： “在同一个平面上，通过直线外任一点，至少存在两条直线与已知直线不相 交” 来取代，而将其余公理全部保留，就构成了罗巴切夫斯基几何学的公理系统这 就是著名的罗氏几何学，在这种几何里“三角形内角的和小于二直角” 如果将欧几里得的公理系统加以适当的改造，并将平行公理换成公理： “同一平面上的任何两条直线都相交 就构成了黎曼几何学的公理系统这是另一种非欧几何学，在这种几何里“三角 形内角的和大于二直角” 从一般意义上来说，地球上的几何或者说人类发展起来的适用于其居住的地 球上的几何，应该是球面几何黎曼几何，这是一种不同于罗巴切夫斯基、高 斯、鲍耶发展出的另一种非欧几何也就是说，从人类开始进行几何学研究的千 百年以来当然更可以说从地球形成以来，黎曼几何一直就在人类的脚下耐 1 第一章引言 东北大学硕士学位论文 人寻味的是，人类生活在非欧几何的地球上，却发展了欧氏几何，并且认为欧氏 几何是唯一的形式，而迟迟不肯接受非欧几何迟迟不肯接受自己脚下的几何 现实这是因为人类居住在一个非常有限的区域内，在这有限的区域里，地球的 确看起来是平坦的在一个平坦的表面上，两点之间的最短距离当然就是一般意 义上的直线利用绷紧的弦来表示直线，就自然而然地发展了欧氏几何一旦这 种欧氏几何发展起来，球、地面上凸起的高山的形状就必须纳入其框架之中，而 不愿意创立或接受一种不甚习惯的新的体系对于像欧氏几何这样美妙绝伦的理 论，人们已经达到了一种迷恋的程度，很难接受一种与其不同的新理论但是作 为理论性的学科，可以存在几种不同的、在其各自的内部没有逻辑矛盾的、都是 无可非议的几何；作为描述物质宇宙空间的几何，欧氏几何并不是唯一的一种形 式，各种非欧几何也可以成为描述宇宙的形式，它们各自反映着现实物质世界的 不同范围和方面 1 9 1 5 年，爱因斯坦将黎曼几何应用于广义相对论，使人们清楚了：我们生存 的空间，只是在小范围内可以看作是欧氏空间，大范围空间乃至整个宇宙则必须 用非欧几何来描述当人们在日常生活中作局部测量时，可以完全看成欧氏几何 的现象，引用欧氏几何的规律就可以解决；当人们在大海上远航时，是在球面上 运动，就必须用黎曼几何才能解决；当人们在进行天体测量、视觉空间的描述时， 用罗巴切夫斯基几何会比欧氏几何精确得多现在，“已经有大量的根据可以说： 从非欧几何发展起来的思想是极其富有成果的”人类无拘无束的力量才是人类发 展的希望 1 2 空间曲面理论的发展 早期人们对数学的认识非常狭隘，不仅把数学主要限制在几何上，甚至把几 何也仅限于直线和圆以及那些易于从两者得出的曲线，并且认为曲线是否存在的 判别标准就是看它是否可以画出人们对那些直观上看来清楚的事实，如球、圆 柱和圆锥等旋转形体的存在也给予承认但这种观点仍极大地阻碍了人们的视线， 使得古希腊几何成为一门成就有限的学科在人们认识自然的过程中，对物理问 题的探索不可避免地要导致寻求关于曲线和曲面的指示因为运动物体经过的路 径都是曲线，而物体本身则是由曲面界定的三维体 东北大学硕士学位论文 第一章引言 曲面指的是什么? 在现实生活中，各种各样的物体如家具、工具、器皿、建筑 物、流体等等，它们的表面都是曲面的形象，真是千姿百态，丰富多彩然而， 真要精确地说清楚什么是曲面，却并非易事如何用确切的数学语言来描述曲面， 使得既能反映曲面的特征，又便于数学进行研究，这是一个必须回答的问题然 而，在数学研究中，曲面的概念出现在几何中，几何又分为几何基础、解析几何、 微分几何、射影几何、点集拓扑学等几个分支，每一个分支都有它自身的特点和 相对独立性，在每一个分支中都对曲面有各自不同的定义但对曲面理论的发展 影响比较深远的是坐标和微积分的引入 几何学作为数学的一个分支，它是以形象思维为主，而代数学则以逻辑思维 为主，这两种思维方式在处理数学问题时都起到了重要的作用，所以培养与发展 这两种思维方式是非常必要的古希腊时代，以逻辑推理著称的欧氏几何本来只 是逻辑论证和一点点暗箱式的代数计算，后来代数方法用得多了起来到了1 7 世 纪，坐标几何或解析几何的出现使得几何在原则上变为可计算的了从不可计算 的几何到可计算系统的演变，其关键的想法是引入了坐标坐标是能计算的，同 时它又能描写几何对象坐标的这两个特性自古以来一直为人类所眷顾，但一千 多年间未成气候坐标观念长期不能出台，其原因恐怕是在几何与实数的关系 上用现代的眼光看，坐标是实数或实数组，而实数理论在1 9 世纪才完成，坐标 的第一个能计算特性差不多必须建立于实数的运算上因此想起来，古人解释坐 标一定会出麻烦也许我们知道古希腊的一些智者，他们用一些几何的观念代替 论证中的实数，例如欧几里得的几何原本中就有“线段比”，“面积”等几何 概念，可是那些几何观念在运算上不能畅通，达不到实数运算的水平，甚至难以 自圆其说 1 7 世纪，笛卡儿等创立了坐标几何又称解析几何那是引进坐标，而后用坐 标的计算处理几何的一门学问笛卡儿由此开创了几何的新局面，甚至开创了数 学的新局面，因为微积分的产生和牛顿万有引力的发现就深受其影响自此，数 学计算大部分都用坐标并且在笛卡儿发明了坐标几何( 即解析几何)以后，人 们开始用代数方法来研究几何问题，并逐渐出现了用代数方程表示和研究曲面的 思想，这也是研究曲面问题的普遍方法坐标几何的建立改变了整个数学的面貌， 它把数学变成一个双面工具，它把数学的两个基本对象形与数有机地联系起 来几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数来达到；反过来，给代 气 第一章引言 东北大学硕士学位论文 数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，还可以得到启发进而提 出新的理论欧氏空间中的曲面可视为具有某些特征性质的点的集合( 或满足某种 条件的点的轨迹) ，这种特征性质就是指点位于曲面上的充分必要条件在取定空 间直角坐标系下，曲面上点的特征性质可以用点的坐标x ，y ，z 之间的关系式表示， 一般是用方程f ( x ，y ，z ) = o 表示反之，每一个形如f ( x ，y ，z ) = 0 的方程通常表示 空间中的一个曲面这样，通过坐标系建立曲面的方程就扩大了整个曲面的领 域因而出现了一些新的曲面和它们的方程，解决了许多物理上的问题例如利 用笛卡儿卵形线所产生的旋转曲面就可以制作一个能完全聚焦的透镜后来极坐 标的出现使得曲面的家族进一步扩大 三维解析几何的发展是把微积分应用到几何问题中而建立的新领域这个新 领域的创立也标志着微分几何的开端微分几何学是运用数学分析的理论研究在 曲线或曲面上某一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面 在“小范围”上的性质的数学分支学科微分几何学的产生和发展是和数学分析 密切相连的在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉1 8 世纪初，法国数 学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1 8 0 7 年出版了他的分 析在几何学上的应用一书，这是微分几何最早的一本著作在这些研究中，可 以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素 1 8 2 7 年，高斯发表了关于曲面的一般研究的著作，这在微分几何的历史 上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础微分几何发展经历了 1 5 0 年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的 内在几何学其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例 如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的某一区域的面积、测地线、测 地曲率和总曲率等等曲面的内蕴量，即由曲面的第一基本量e ，f ，g 决定的量， 它们在曲面的等距变换下保持不变，由曲面的第一基本量e ，f ，g 和第二基本量 厶m ，可以得出曲面的两个重要曲率高斯曲率和平均曲率其中高斯曲率是 曲面的内蕴量由这两个重要的曲率可以得出一些特殊的曲面，例如：常高斯曲 率曲面、常平均曲率曲面、极小曲面等这些对几何、物理问题的研究都是很有 帮助的作为给定的曲面，它的第一基本形式和第二基本形式总是确定的；反之， 东北大学硕士学位论文第一章 引言 若给出两个二次微分形式，当它们满足g a u s s 方程和c o d a z z i 方程时，除了曲面的 空间位置差别外，曲面就被完全决定了并且曲面以这两个给定的二次微分形式 为第一基本形式和第二基本形式所以曲面的第一基本形式和第二基本形式是空 间曲面的两个根本性质，是解决曲面问题的强有力的工具 1 3 本文的主要内容、研究目的及意义 经过2 0 世纪的空前发展，数学的基本理论更加深入和完善，而计算机技术的 发展使得数学的应用更加直接和广泛，而且活跃于生产力第一线，促进着技术和 经济的发展，所有这些都正改变着人们对数学的传统认识同时也促使数学研究 的方式发生巨大变化作为整个科学技术基础的数学，正突破传统的范围而向人 类一切知识领域渗透作为一种文化，数学科学已成为推动人类文明进化、知识 创新的重要因素，将更深刻地改变着客观现实的面貌和人们对世界的认识如今， 我们不仅需要在平直空间中研究数学，而且需要在弯曲空间中发展数学在目前， 这个最适当的空间就是流形微分流形是描述无数自然现象的一种空间形式，是 2 0 世纪数学的有代表性的基本观念就像欧氏空间与古典分析的关系一样，微分 流形为当代非线性分析的蓬勃发展提供了舞台和语言，它本身就集几何、代数、 分析于一体要研究整个流形，流形论的基础便成为必要流形内的坐标是局部 的，本身没有意义；流形研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质( 如 切矢量，微分式等) 这是与一般数学不同的地方这些观念经过几十年的演变， 渐成定型将来数学研究的对象，必然是流形；传统的实数或复数空间只是局部 的情形( 虽然在许多情形下它会是最重要的情形) 流形中有一类重要的就是子流 形子流形的理论是重要的，因为许多重要的流形都是作为已经熟悉的空间( 如欧 氏空间，球面等) 的子流形出现的此外，在一个流形中，子流形的形态是干奇百 怪的，其中也有许多“好”的、具有某种特殊性质的子流形；它们的存在性、唯 一性和几何性质，以及它们的构造方式和相互联系一直是几何学家所关注的研究 课题可以说，在这方面的研究工作与关于流形本身的研究相比较显得更加多姿 多彩 2 0 世纪7 0 年代，b yc h e n 提出了欧氏空间或伪欧氏空间中有限型子流形【l 】 的概念许多数学家纷纷开始研究有限型子流形，它已成为研究和描述许多重要 第一章引言东北大学硕士学位论文 子流形的有用的工具并且将有限型的理念运用到子流形的光滑映射高斯映 射上，就有了逐点有限型高斯映射的概念特别地，人们对具有逐点l 型式高斯 映射的子流形已有了大量的研究和讨论，并且利用逐点1 型式高斯映射得出曲面 的一些性质和对某些曲面进行了合理的分类这篇论文主要讨论的是具有有限型 高斯映射的旋转曲面，并得出具有有限型高斯映射的有理旋转曲面所满足的充要 条件和平面、圆柱、正规锥所具有的逐点n 型式高斯映射所满足的公式这是y o 吼g h ok i m 等人的工作的推广 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 2 1欧氏空间 第二章预备知识 弟一早 以宙大h 以 2 1 1 数域f 上的向量空间 所谓数域f 上的向量空间是指一个交换群矿，其元素称为向量，群的运算记 为加法，并且定义了数五f 与向量v 矿的乘法加矿，满足以下条件： ( 1 ) ( 见+ ) v = a 1 ，+ ； ( 2 ) ( 舡弘= 允( v ) ： ( 3 ) 五( m + 吃) = 名m + 力屹： ( 4 )1 v = 1 ， 其中名，v ，h ，v ! y 如果在y 中存在栉个元素磊，吒，使得y 中任意一个元素y 都能够表示成 磊，瓯的线性组合， 即 1 ，= 兄1 磊+ 疋+ + 瓦，名f ( f = 1 ，2 ，刀) ， 并且表达式是唯一的，则称 4 ) 为空间y 的一个基底( 或基) 基底 谚) 中元素的 个数胛与基底的选择无关，称为数域f 上向量空间y 的维数 今后我们着重讨论的是实向量空间，即f = 尺因此，当我们不特别指明所讨 论的数域时都是指实数域 2 1 2 欧氏向量空间 假定y 是门维向量空间，若在y 上给定一个对称、正定的双线性函数 ( ，) ：y y 专尺，即它满足下列条件： 苎三主望鱼堑识东北大学硕士学位论文 一 ：= ：= ：= ( 1 ) “+ 屹，y ) = ( _ ，v ) + ( 吃，y ) ； ( 2 ) ( 机，v 2 ) = 五( v 。，v 2 ) ； ( 3 ) ( h ，吃) = ( v 2 ，v 1 ) ： ( 4 ) ( v ，v ) o 且等号只在v = o 时成立， 其中见足h ，v 2 ，v y ，则称( y ，( ，) ) 为刀维欧氏向量空间 满足上述条件的双线性函数( ，) 称为欧氏内积，通常记成 v l v 2 = “，v 2 ) 设( y ，( ，) ) 为刀维欧氏向量空间，则在y 上能够取基底 巧) ，使得 ( ) = 岛= 置 这样的基底称为y 中的单位正交基底 2 1 3 仿射空间 设y 是力维向量空间，彳是一个非空集合，彳中的元素称为点如果存在一个 映射哼：爿彳哼y ，它把彳中任意一对有序的点尸，q 映成矿中一个向量砀y ， 且满足以下条件： ( 1 ) 历y ，v 尸彳； ( 2 ) v 尸彳，v v 矿，存在唯一的一点q ，使得砀：v ； ( 3 ) v 尸，q ，s 彳，成立恒等式砀+ 西：两， 则称爿是刀维仿射空间，且称矿是与仿射空间彳伴随的向量空间 2 1 4 欧氏空间 设缈，( ，) ) 为刀维欧氏向量空间，则以y 为伴随向量空间的仿射空间称为刀维欧 氏空间，记为e ”欧氏空间f 中任意两点尸，q 之间的距离定义为 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 2 曲面的基本量 2 2 1 曲面的第一基本量 邶q ) = 厕 定义2 2 1设c 2 类曲面s 的方程为，= ，( 甜，v ) ，则有： 咖2 = 咖咖= 巧幽2 + 2 吒。幽咖+ 杉咖2 称其为曲面s 的第一基本形式，用 ，：e 如2 + 2 凡玩咖+ g 咖2 表示其中 e = # ：，= 吒o ；g = # 称为曲面s 的第一基本量 2 2 2 曲面的第二基本量 定义2 2 2 设c 2 类曲面s 的方程为，= 厂( “，v ) ，则有： 力d 2 ，= 砌2 + 2 也咖+ 咖2 称其为曲面s 的第二基本形式，用 i l ：l 甜十2 m 出l d v + n 静 表示其中 三= 刀；m = 刀o ； = 刀 称为曲面s 的第二基本量 2 3曲面的平均曲率 令 定义2 2 3 设曲面s 的第一、二基本量分别为e ，f ，g 和厶m ， 第二章预备知识东北大学硕士学位论文 肚错 2 i e g f 2 l 则称其为曲面s 的平均曲率 在本文中，日规定为尺2 上的连续函数 2 4 旋转曲面 定义2 4 1 在空间中，一条曲线r 绕一条直线，旋转所产生的曲面称为旋转曲 面其中r 称为母线，称为旋转轴 以旋转轴，为边界的半平面与旋转曲面的交线称为旋转曲面的经线，经线可以 作为母线，但母线不一定是经线垂直于旋转轴，的平面与旋转曲面的交线称为旋 转曲面的纬线 母线r 上任意点绕旋转轴，旋转都产生一条纬线 显然，球面，圆柱面和圆锥面都是旋转曲面 2 5 高斯映射 设口是曲面s ：，= r ( “，v ) 上一块不大的区域，另外再作一个单位球面现在 我们建立仃中的点和单位球面上的点的对应关系如下：仃中任取一点p ( 掰，v ) ，作 曲面在尸点处的单位法向量疗= 力( 甜，v ) ，然后把，z 的始端平移到单位球的中心，则，z 的另一端点就在单位球面上设该点为，这样对于曲面的小区域盯中的每一点 p ( “，v ) ，p ( 甜，v ) 盯与球面上向径为甩( 甜，v ) 的点对应因此，曲面上所给出的小区 域仃表示到单位球面的对应区域仃上这就是说，建立了曲面的小区域仃到单位 球面上区域仃+ 的对应我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球 面表示，也称为高斯映射高斯映射通常用字母g 表示 2 6 微分流形 定义2 6 1 设m 是一个非空的h a u s d o r f f 空间如果对于每一点p m ，都 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 存在p 点的开邻域ucm ，以及从u 到n 维欧氏空间尺”的某个开集上的同胚 缈：u 寸彤，则称m 为个n 维拓扑流形 上述定义中的( u ，伊) 称为m 的一个坐标卡；此时，开集u 称为点p u 的坐标 邻域，p 称为坐标映射 定义2 6 2 设m 是一个n 维拓扑流形，伊) 与( 矿，y ) 是m 的两个坐标卡如 果己厂r 、矿= ，或者，当uny 矽时，映射 少。伊一1 ：9 ( u r 、y ) 哼y ( y ) 和伊。y 一1 ：y ( u n y ) 专p ( u ) 都是c 7 映射，则称坐标卡( u ，伊) 与( y ，沙) 是c 7 相关的 显然，拓扑流形肘的任意两个坐标卡必定是c o 相关的 定义2 6 3 设m 是一个拓扑流形，a = ( ( 叱，) ；口i 是m 的若干坐标卡构 成的集合，i 为指标集如果a 满足下列三个条件，则称a 为拓扑流形m 的一个c 7 微分结构： ( 1 ) 虬；口i 是肘的一个开覆盖： ( 2 ) v 口，i ，( 虬，) 与( ，) 是c 7 相关的； ( 3 ) a 是极大的，换句话说，对于m 的任意个坐标卡，伊) ，如果它和a 中 的每一个成员都是c 7 相关的，则它一定属于a c 。微分结构称为光滑结构；c 。结构称为实解析结构 定义2 6 4 设m 是一个n 维拓扑流形，a 是肘的一个c 微分结构，则称 ( m ，a ) 是一个n 维c 7 微分流形此时，a 中的坐标卡称为c 7 微分流形( m ，a ) 的容 许坐标卡 特别地，c 。微分流形和c 。微分流形分别称为光滑流形和实解析流形 2 7子流形 定义2 7 1 设，：m 专是光滑流形间的光滑映射 第二章预备知识 东北大学硕士学位论文 ( 1 ) 如果对于印m ，切映射e p ：乃m 专乃( p ) 都是非退化的，则称f 是从 m 到的浸入，( ，m ) 是的浸入子流形： ( 2 ) 如果f 是从m 到的单一浸入，则称( f ，m ) 是的一个子流形； ( 3 ) 如果f 是从m 到的单一浸入，而且f ：m 专f ( m ) 是同胚映射， 则称f 是从m 到的嵌入，旷，m ) 是的嵌入子流形 2 8 光滑函数 定义2 8 1 设厂：m j 尺是定义在光滑流形肘上的连续函数若在点p m ， 存在m 的一个容许坐标卡，伊) ，使得p u ，且厂。伊。1 ：伊) 专尺是在点伊( p ) 处 光滑的函数，则称函数厂在点p 处是光滑的 定义2 8 2 设厂：m 专r 是定义在光滑流形m 上的连续函数若厂在每一点 p m 都是光滑的，则称厂是流形m 上的光滑函数 光滑流形m 上全体光滑函数的集合记作c ”( m ) 2 9 流形上的拉普拉斯算子 设m 是e 3 中的子流形， e i ) 是m 的一组标架，则m 上拉氏算子可表为 = 一嘉否刍c 廊9 专， 其中季= ( 爵) 是m 关于 e f ) 的度量为分量构成的矩阵，万= ，其逆为季一= ( 季9 ) 东北大学硕士学位论文第三章具有逐点n 型式高斯映射的旋转曲面 第三章具有逐点n 型式高斯映射 3 1 基本概念及引理 的旋转曲面 在论文【5 1 中，我们了解了第一类和第二类逐点1 型式高斯映射的概念，并且研 究了具有此类高斯映射的旋转曲面本文的主要工作是将逐点l 型式高斯映射进 行推广，并得出一些重要的结论下面先介绍一些基本概念： 定义3 1 1欧氏空间或伪欧氏空间中子流形m ，如果满足g = 厂( g + c ) ( 其 中为m 上的拉普拉斯算子，g 为m 上的高斯映射，厂c 。( m ) ，c 为常向量) ， 则称子流形m 具有逐点1 型式高斯映射 如果c = 0 ，称子流形m 具有第一类逐点l 型式高斯映射否则，称子流形m 具有第二类逐点1 型式高斯映射 定义3 1 2 欧氏空间或伪欧氏空间中子流形m ，如果满足g = 厂( g + c ) ( 其 中为m 上的拉普拉斯算子，g 为m 上的高斯映射，厂c ”( m ) ，c 为常向量， 刀+ ) ，则称子流形m 具有逐点n 型式高斯映射 一些重要的曲面，如：螺旋面、悬链面、正规锥等都具有逐点l 型式高斯映 射在这里我们主要研究旋转曲面高斯映射的一些情况 对于e 3 中旋转曲面m ，经过适当的参数选取可以表示为 x ( 口，f ) = o c o s 伊，r s i i l 目，g ( f ) ) ， g o ) c 。( ，) 如果g ( f ) 是关于f 的多项式，则称旋转曲面m 是多项式型的如果g ( f ) 是关于f 的 有理函数，则称旋转曲面m 是有理型的有理型旋转曲面也简称有理旋转曲面 下面我们介绍一些引理： 引理3 1 1 【5 1m 是e 3 中具有逐点1 型式高斯映射的旋转曲面，则要么m 的 高斯映射是调和的，即g = o ；要么函数厂仅是依赖于f 的函数，并且向量c 是平 1 5 第三章具有逐点n 型式高斯映射的旋转曲面东北大学硕士学位论文 行于旋转曲面的旋转轴的 引理3 1 2 1 5 1 一个多项式型旋转曲面，它具有第二类逐点l 型式高斯映射当 且仅当它是一个正规锥 引理3 1 3 1 5 l 除多项式型旋转曲面外，不存在有理旋转曲面具有第二类逐点l 型式高斯映射 引理3 1 4 【5 l 有理旋转曲面具有逐点1 型式高斯映射当且仅当它是平面、圆 柱或正规锥的一个开部分 3 2 具有逐点n 型式高斯映射的旋转曲面 我们知道一些重要的曲面，如：螺旋面、悬链面、正规锥等都具有逐点l 型 式高斯映射，但是具有逐点l 型式高斯映射未必具有逐点n 型式高斯映射例如： 悬链面具有逐点l 型式高斯映射，但不具有逐点2 型式高斯映射 命题3 2 1 悬链面具有逐点1 型式高斯映射，但不具有逐点2 型式高斯映射 证明：设悬链面的参数方程为 z ( 州) ：( 订了c o s “，订s i n 甜，s i l l i l 一1v ) ， 则屯：( 一正了s i n 甜，正了c o s 甜，o ) ， x ，= 而c o 鲫，而导血材，而导) ， x v 2 瓦亍鲫而亨8 m 虬瓦亍 x 。x 。= ( c o s 甜，s i i l 甜，v ) 。 得e = x 。x 。= l + 1 ，2 ，= x 。墨= 0 ，g = z ，z ，= 1 ； 从而f ，9 1 1 l 9 2 l 9 1 2 、ir ，e 9 2 2 j 5 l f f 、f ，l + v 2 g j 2 l o 吨小 专 由尚2 意2 寿咖盱小l x 。x ，i 、e g f 2 、1 + v 2 东北大学硕士学位论文 第三章具有逐点n 型式高斯映射的旋转曲面 一赤c 亳c 厢击瓣c 厨专 1a 2vaa 2 = = 一一 l + 1 ，2 抛2l + 1 ，2 加加2 。 掣：毒毒( 一s i i l 邺o s 甜，o ) ， 瓦2 而亨卜8 1 1 声0 8 虬w 窖：；寺( - c o s ”s i n 灿) ， a 甜2 一、孵、。”。“。“1 “。7 丽叫一而锄，一磊如虬一磊卜 粤- ( - 上篓c 。”上乓。协甜，二) ： 萨叫一蕊跚一而锄虬磊卜 得 g 一专赤c - c 删，- s m 川一专卜志淞虬一志咖虬一志 _ ( - 旦粤c 。”上乓s m “，j v