（基础数学专业论文）脉冲差分方程解的振动与非振动.pdf

摘要 丫6 6 3 7 90 本篇论文由三章组成，分别讨论下面四类具离散变量和连续变量 的脉冲差分方程 ， i a y ( n ) + p ( ) 可( 一 ) = 0 ，n ( o ) ，n n k ly ( n k + 1 ) 一y ( n k ) = b k y ( n k ) ，k n ( 1 ) 一 ， j ( ( n ) + p y ( n m ) ) + q ( n ) y ( n f ) = 0 ，n v ( o ) ，凡n 女，。 ly ( n k + 1 ) 一y ( n k ) = 靠( n 女) ，n ( 1 ) 、。 ， o ) + p o ) 可 一7 ) = o ，。2 o ，。t k ( ，) iy ( t k + 1 ) 一y ( t k ) = 靠可( “) ，k n o ) 、 。 r j a ( y ( t ) + p y ( t m ) ) + q ( t ) y ( t 一2 ) = o ，t 0 ，t t k rr 1 ，、 iy ( t k + 1 ) 一y ( t k ) = k ( “) ，n ( 1 ) 这里p ( 凡) 0 ，q ( 仃) 0 ，当礼n ( 0 ) 时；p ( t ) g ( 卜1 ，o 。) ，r + ) ，q ( t ) c ( - 1 ，。) ，r + i o ) ) ，r + = 0 ，。) ；f ，m ，r 为正整数，p 为常数，b 一1 ，k = 1 ，2 ，3 ， n t ) ，机) 分别为自然数列的子列和实数列且满足n ， n 。 亿女- 。( 七一。) 和0 t l t 2 一1 ，k = 1 ，2 ， n k ) 是自然 数列的一个子列，n 1 n 2 n k - 1 凡, 一s n ) 现叙述本章主要结果 定理1 2 1 设 ( i ) 卢一f ：扎一f + r ( n ) ) 1 ，对一切正整数n 成立， ( i i ) l i ms u p i 卢( 礼一f ，礼一l + r ( 礼) ) q ( n l + r ( n ) ，礼)p ( j ) l 1 ib + r i li n g “k ) ，n _ l3 = nj ( 1 2 2 ) 则方程( 1 21 ) 的所有解振动 证反设方程( 1 2 1 ) 存在一个非振动解 z ( n ) ，不失一般性，不妨 设z ( n ) 0 ，n 一l ，于是z ( n ) 在 礼k + 1 ，n k + 2 ，一，n k + 1 ) ( = l ，2 ，) 上 是单调不增的，对任给的正整数n ( n 仨 n k ) ) ，由( 1 2 1 ) 得 n + r ( n ) - i x ( n + r ( 佗) ) 一x ( n ) + p ( j ) x ( j f ) = 0 ( 12 3 ) j = n 利用z ( n ) 的单调性可得 。一f g 纠i n f + ，( 。) 一l x ( j ) = “i “ z ( n f + 7 ( n ) 一1 ) ，。( ) l 礼k n l ，n l 十1 ，n f + r ( n ) 一1 ) ) 设n k n k + l 1 则方程( 1 2 1 ) 的所有解振动 推论1 2 2 设 ( i ) n k + 1 一n t ，= 1 ，2 ，且z 丁； ( i i ) 廖协一! ，n l + t ) 1 对一切正整数托成立； ( i i i ) l i ms u p 卢( n 女+ 1 一f ，札+ 1 一l + t ) c y ( n k + l l + t ，n k + 1 ) 艺p 0 ) 1 则方程( 1 2 1 ) 的所有解振动 定理1 2 2 设( i ) l i r a s u p l - i( t + b k ) 。 ( 击) h 1 t ”k ) 一一 则方程( 1 2 1 ) 的所有解振动 ( 1 ，2 ，6 ) ( 1 2 7 ) 证反设方程( 12 1 ) 存在一个非振动解 z ( n ) ) ，不失一般性，设 x ( n ) 0 ，礼一f 令 吣) = 帮，n _ 0 ， 6 当n n k ( 女= 1 ，2 ，- ) 时，由( 1 2 1 ) 式有号未半= 1 一p ( 礼) 叫( 礼) ； 当n = n e ( 七= 1 ，2 ，) 时，由( 1 2 1 ) 式有等挚= 1 + b 女 从而有 吣，2 ( i = 贡n - ，掣) 2 魄掣，州鲰i i 扣。” = i i ( 1 一p ( i ) 训( i ) ) 一1 i i( 1 + b k ) 一1 。葡i ”! “! ”1 利用算术一几何不等式，从上式可得 叫啦薹州灿。) j 刊氮i i 争，( 1 + 6 矿1 。仨 n k ) 又由( 1 2 1 ) 式有。茎n - - 1 p ( i ) w ( i ) 1 及正整数礼0 j 使得当n n 。时有 ( 半) 2 + 1n - ip ( i ) 。i i ( 1 + 壤) 一- 芝口 1 “ t 赢i n - - l o ，取常数n o 及正整数 i 烈“) 使得当礼 礼1 时，有葚p ( i ) 2 。 0 于是对任给的正整数礼 n 1 ) 。i = n 。- 。i 7 训 0p 赢 + 、， 半 一 n p，“赢 半 一 必存在正整数n ，使得n f 礼+ n 一1 , n + g n 女) ，p ( ) i a ，从而有 ；茎p c n + ，= i 号竽芝与一詈渊；号警芝b 即有 u ( n + ) s 吾l ，n n ， 由上式得a o 0 ，即0 a o 由1 呱酽”( n ) = a o 可知，对任给的 实数”( o n q a x 礼o ，n + z ) 上式两边取下极限得a o p q ，令叩_ 1 得a o 口知，这是一个矛盾， 所以定理得证 推论1 2 3 设( i ) n k + 1 一礼k f ，0 b 女 1 + m 则方程( 12 1 ) 的所有解振动进一步若条件( i ) 不变，条件( i i ) 改为 ( i i ) l i mi n f 监* = p ( n ) 1 + m ，则方程( 1 2 1 ) 的所有解振动 n 。 推论1 2 4设( i ) n k 十1 一r l k l ，0 b k 1 + m 则方程( 121 ) 的所有解振动 推论1 2 5 设n k + l n k l ，b k 0 ，= 1 ，2 ，一，1 i mb k = 0 ，p ( n ) 5 p ( j # 负常数) ，以及卫等= p 1 ，则方程( 1 2 1 ) 的所有解振动 注1 2 1 若f 札女 = 曲，则方程( 1 2 1 ) 转化为方程( 11 1 ) ，即定理1 2 1 和定理1 2 2 包含文【5 , 6 中不带脉冲条件的时滞差分方程的振动性结 果作为其特例 下面我们再讨论方程( 1 2 1 ) 的非振动解的存在性 8 定理12 3 设( i ) b k 0 ，k = 1 ，2 ， ( i i ) 方程( 1 1 1 ) 有一个非振动解口( n ) ， 则方程( 1 2 1 ) 也有一个非振动解 证由假设9 ( n ) 是方程( 1 1 1 ) 的一个非振动解，不失一般性，不 妨设蓼( 镩) 为最终正，选取正整数，使得当7 , n c 时，y ( n ) 0 ， 由( 1 1 1 ) 式知可( n ) 在n 礼一l 上是单调不增的，对于给定的2 + 1 个 初始值： ( n 一 + 1 ) ，y ( n i v f + 2 ) ，一，p ( 罪v ) ，( 1 + b 】v ) y ( n n ) 由递推关系得方程( 1 1 1 ) 有唯一的定义在n n 一f + 1 上的解y l ( n ) 满足初始条件： y l ( n ) = 掣( 礼) ，n n 1 + 1 n n n ；掣1 ( n _ + 1 ) = ( 1 + 6 _ ) v ( 札) 下面我们将证明，对一切礼n 一f + 1 有 ( 1 29 ) 对于n j v 一2 + 1 n 7 2 n + 1 ，显然有( 1 2 9 ) 式成立对于n + 1 咒茎 n + z + 1 。我们对( 11 1 ) 式从 + 1 到n 一1 求和有 n 一1 n 一1 9 1 ( n ) = y l ( n n + 1 ) 一p 0 ) l ( i f ) = y l ( n _ + 1 ) p ( i ) g ( i 一2 ) i = n n + li = n n + 1 = 口1 ( n n + 1 ) + ( p ( n ) 一y ( n l v + 1 ) ) = y ( n ) + b n y ( n n ) 一( 可( n + 1 ) 一y ( n n ) ) 即 1 ( n ) = y ( n ) + b n y ( n n ) 一( y ( n n + 1 ) 一可( 礼) ) ，咒+ 1 礼sn n + ! + 1 ( 1 2 、1 0 ) 容易验证当n = n n + l 时，( 1 21 0 ) 式也成立由( 1 2 1 0 ) 式得当r t n + l n n + ? + l 时， y i ( n ) ( n ) ，即( 1 2 9 ) 式成立又对佗+ 1sn + ? + 1 ，由( 1 2 1 0 ) 式有 y i ( n ) 一 y ( n ) 十6 y ( 扎) 一( y ( n t ，+ 1 ) 一( n r ) ) y l ( n n + f + 1 )y ( n n + f + 1 ) + b l , , y ( n n ) 一( y ( n n + 1 ) 一g ( n ) ) s 练 ( 1 ，2 1 1 ) 一y ( n g + f + 1 1 、1 。 9 于是当n + f + 1 n 曼n + 2 i + 1 时，利用( 1 2 1 1 ) 式，我们有 y l ) = y l ( n n + f + 1 ) 一 y 1 ( n n + f + 1 ) 一 p ( i ) 9 l ( i f ) = ，( n + 2 + 1 ) + 等鞘( y ( 礼) 一g ( n n + l + 1 ) ) = 糍等等咖) 刈n ) 这说明，当n + f + 1 n n + 2 l + 1 时，( 1 2 9 ) 式成立接下来我们 证明当n _ + 2 2 + 1 n 墨n + 3 1 + 1 时( 1 2 9 ) 式成立，为此我们需先证 i i 曼歹弓, n n + + l sn n + 。z + ，( l z ，z ) 为证明( 1 2 1 2 ) 式，我们先证明 因为 ( 帮) 独n n + l + l n n “+ 2 l + l ( 1 2 1 3 ， ( y 即1 0 2 ，) ) = 业案学 一可( n ) p ( n ) 可1 ( 礼一f ) + y l ( 礼) p ( r l ) 可( 礼一z ) g ( 几+ 1 ) y ( n ) = p ( 礼) ( n ) 掣1 ( 礼一f ) + 可1 ( 札) 可( 扎一2 ) 萝( 扎+ 1 ) ( 死) ( 12 ，1 4 ) 容易验证当n = n + 2 + 1 时( 1 21 3 ) 式成立若( 1 21 3 ) 式不成立，则 存在旷( n _ + f + 1 n + 茎n t + 2 f + 1 ) 使得 利用( 1 2 1 1 ) 式有 即有 可l ( n ) ( 礼+ 一f ) 掣( 礼+ ) 可1 ( 佗一f ) 们( n ) 可( n + 一f ) ( n 。) g 。( 礼+ 一i ) ( n 4 ) 篙黼 型! ! 兰：2 们m + f + 1 ) ( 1 2 1 5 ) p + += 咐 = j | 而 望堕：2 一y ( n n + f + 1 1 ( 1 2 1 6 ) 显然( 1 21 5 ) 式与( 1 2 1 6 ) 式矛盾，矛盾说明( 1 2 1 3 ) 式成立，从而( 1 2 1 2 ) 式也成立，利用( 1 2 ，1 2 ) 式我们有当n + 2 l + 1 扎礼+ 3 l + 1 时， n 一1 掣l ( 弛) = 玑( n + 2 1 + 1 ) 一p ( j ) v 1 一! ) j = n + 2 h 1 y l ( 7 2 n + 2 1 + 1 ) = y l ( n n + 2 1 + 1 1 + 坐黑掣p ( j ) ( j f ) y ( n n + 2 l + 1 ) 剧z - + , 2 f + 1 。v 埘v 裟等若m 旷v ( n n - 1 - 2 l + 1 ) ) = 里y 丛( n 旦n 揣2 l 1 ( n ) ( 礼)+ 1 9 一。、 这说明当t i n r + 2 1 + 1 0 ，n k + 1 一n k f ，k = 1 ，2 ，3 ，1 i mb = o , p ( n ) 三p ( 常数) ，则方程( 1 2 1 ) 有一非振动解的充要条件是ps 万干知 证 充分性：因为p 冬忐，所以方程( 1 1 1 ) 有一非振动解，又 b k 0 ，k = 1 ，2 ，由定理1 2 3 得方程( 1 2 1 ) 有一非振动解 必要性：用反证法，若p 丌千击可又由推论12 5 得方程( 121 ) 的所有解振动因此若方程( 12 1 ) 有一非振动性，必有p f ，胛+ 1 ) ， 定理得证 1 2 1 3 具多滞量、带非线性脉冲条件或具变时滞的离散脉冲差分方程 本节分别讨论具多滞量、带非线性脉冲条件以及具变时滞三种情 形的离散变量脉冲差分方程的振动性 考虑具多滞量离散脉冲差分方程 ，m la x ( n ) + 乳( n ) g ( n 一，) = 0 ，礼( o ) ，扎n k ， 、 8 1 【1 3 1 ) ix ( n k + 1 ) 一z ( n 女) = 6 女z ( 礼) ，k n ( 1 ) 带非线性脉冲条件的离散差分方程 rm ia x ( n ) + p ：( n ) z ( n z ；) = 0 ，n ( o ) ，n n k 8 1 ( 1 3 2 ) ix ( n k + 1 ) 一x ( n k ) = ( 几k ) ) ，k n ( 1 ) 以及具变时滞的离散脉冲差分方程 ，m ia x ( n ) + 弘( 扎) 茁( 礼一! 。( 孔) ) = 0 ，钆( o ) ，札钆女 ， 、 8 1 【1 3 3 ) ix ( n k + 1 ) 一z ( n k ) = 6 。( 礼k ) ，k n ( 1 ) 这里砘( n ) o ：训。( n ) ，m 均为正整数，且存在正常数l 使得k ( n ) 墨 l ，扎= o ，l ，2 ，i = 1 ，2 ，m ， n 女 是自然数列的一个子列，n 1 ”2 1 n 。- 一7 t 1、 则方程( 1 1 2 ) 的所有解振动 定理13 2 设( i ) b 0 ，= 1 ，2 ，( 1 3 5 ) ( i i ) 方程( 1 1 2 ) 有一非振动解y ( n ) 则方程( 1 31 ) 也有一非振动解 定理1 3 3 设( i ) u l k ( u ) 0 ，= 1 ，2 3 ，( 1 3 6 ) ( i i ) 方程( 1 1 2 ) 有一非振动解( n ) 则方程( 1 3 2 ) 也有一非振动解 定理134 设 ( i ) l i ms u p兀( 1 + b k ) - 1 1 ( 1 3 8 ) 则方程( 1 3 3 ) 的所有解振动 1 4 第二章离散变量中立型脉冲差分方程解的振动性 2 1 引言及引理 考虑离散变量中立型脉冲差分方程 j ( 可( 扎) + 珊( 礼一m ) ) + q ( n ) ( n 一2 ) = o ，n ( o ) ，礼n 阻1 ) iy ( n k + 1 ) 一y ( n e ) = k y ( n t ) ，n ( 1 ) 其中p 为常数，m ，f 为正整数，q 0 ，n = 0 ，1 ，2 ，b k 一1 ，k = 1 ，2 ， n k 为自然数列的一个子列，满足n ， n t n * 一1 ，r = 1 ，2 ，3 ， n 女) 是自然数列的一个子列满足n ， n ： n 且3 i 雹n t = 。 引理2 1 1 设( h ) 成立，又若满足条件 ( i ) l i ms u p 兀( 1 + b e ) 。 o 。( 212 ) f l - - o o n r s “k s n l ( i i ) l i 。m + i 。n f ，妻，p ( i ) 0 ，n 一r ，令 吣) = 帮，n 扎1 ，2 ， 1 5 吣蚝叭 竹 m 一a 哟h 烈 一 + 0哪吲叫 等隰，l终最无 当礼n 女，= 1 ，2 ，时，由( 2 1 4 ) 式有 帮冬1 刊咖 当n = k = 1 ，2 ，时，由( 21 4 ) 式有 掣1 + 6 。，、 一一o 。 从而有 吣，= ( 。亘，等) = 憾帮- 划一，厂 i i ( 1 一p ( i ) ( i ) ) 一1 i i( 1 + b k ) 一1 。嚣五 ”! “! ”1 利用算术一几何不等式，从上式可得 1 t 1 一l 训( 几) ( 1 一p ( i ) w ( z ) ) 一7 ( 1 + 6 e ) 一1 j ：i 洒 n - r _ n k _ n - 1 又由( 2 14 ) 式有0 n - 1 p ( i ) 叫( i ) r ，再利用不等式( 1 - ；) 一r ( 半) 州c ( o 。昴五 c sr ) 和上式进一步可得 ，i1 n l 叫( ，。) ( ! 。= ) 7 + 1 p ( i ) 叫( i ) ( 1 + b k ) 一1 i ：i 蕊、 n - r n k n o 时有 ( 掣) 州董p ( i ) ( 1 + 6 t ) 一- 目 1 。赢1 n - r o ，取常数。 o 及正整 数n ，使当礼 n l 时有n - ip ( z ) n 0 ，于是对自然数列( 必要 运麓a 时可取其一子列) 中的任意正整数n n t ，必存在正整数矿，使得 n rsn s 礼一1 ， n 彰 n k ) ，p ( n ) ；，从而有 知k 揣一揣端 即有 r w ( n ) s ：，n 炳 由上式可得a o 0 ，故0 a o c x ) ，由l i m 啬f w ( n ) = a o 可知，对任给的实数婶( o m a x j v o ，n + r 上式两边取下极限得a o 兰即a o ，令叩_ 1 得a o 9 a o ，这是一个矛 盾，所以引理得证。 推论21 1 设引理2 11 中的所有条件成立，那么不等式 i 掣( 礼+ 1 ) 一可( n ) + p ( 咒) 掣( 礼一r ) 0 ， 礼( o ) ，礼n i ( 扎k + 1 ) 一y ( n k ) 6 女( 札) ， ( 1 ) 无最终负解。 引理21 2 设( h ) 成立且r 三2 ，又若满足条件 ( i ) l i m i n f v f( 1 + b k ) 0 ( i i ) l i m s u p r l( 1 + b k ) ( 孚) 7 r t - + 0 0 + 1n + 1 # e x 寸 任意的自然数佗有 坳卜薹? 掣2 蒸帮。州鲰1 i 鲥h 帮 i i ( 1 + p ( i ) a ( i ) ) 一1 i i( 1 + b k ) ：虿黼 ”1 鲰! ”1 ( 1 一三了p ( z ) a ( z ) ) 叶。 ( 1 + k ) 。 t i = n n + k 1 ) “十l “k “+ 7 一l ( 丢了) p ( i ) a ( i ) ( 1 + b k ) 。i = n + l n + i n o 时有 一 n 十r 一1 ( 高) p ( i ) i i ( 1 + b k ) 口 1 。 1 。冒芝) 州! “忡一1 于是有 a ( 礼) o m i n a ( i ) l n + 1si 礼+ r 一1 ) ，n ( 2 1 z 2 ) 令 1 骢酱f a ( n ) = 由( 2 18 ) 式和( 2 1 9 ) 式得l i 。r a 。i 。n f 。：t 互r - - ，i p ( i ) o ，取常数。 o 及正整 z g “) 数n 。，使当n n 1 时有”誉1p ( i ) n 0 ，于是对自然数列( 必要 。鬲马 时可取其一子列) 中的任意正整数n n 1 ，必存在正整数n + ，使得 礼+ 1 n + sn + r 一1 ，n + g n k ) ，p ( 札+ ) 2i a 了，从而有 五a p ( n k 矧 型! ! ：2 l 由上式可知罚 o 。，另一方面，对任给的正整数n ，由( 2 1 i 0 ) 式，当 n n k 时有g ( 礼) sy ( n + 1 ) ，当n = n k 时有( 札) 曼去可( n + 1 ) ，从而 有 ( n + 1 ) 1 - i( 1 + b k ) 一1 y ( n + r ) n + 1 茎“k 曼n + r 一1 因此有 ! 盟黑 1 i( 1 - 6b k ) ( 2 1 1 3 ) y ( n + 1 ) 一n 十1 n k 0 。根据1 呱磐似( n ) 2 伯及 0 伯 。，对任给的实数1 ( o m a x n o ，n ) 上式两边取下极限有t o p r l r o ，令q _ 1 得- c o p r o ，这是一个矛盾 所以引理得证。 推论2 1 2 设引理2 12 中的所有条件成立，那么不等式 ig ( 礼+ 1 ) 一v ( 礼) 一p ( 礼) 可( n + r ) 茎0 ，n ( o ) ，n n l ( n + 1 ) 一g ( n 女) sb k y ( n ) ， k ( 1 ) 无最终负解。 1 9 5 2 2 方程( 2 ，1 1 ) 的振动性结果 定理2 2 ，1 ，设n + 1 一n em ，b ! b 0 ：七= 1 ，2 ，3 ，一l p 0 ，7 1 = 0 ，1 ，2 ，若 n 一1， 1 i mi n ：三。q ( i ) 川。 ( 南) h 1 ( 221 ) 一!n f ( n 0 ，n 芝一f o 令 z ( n ) = y ( n ) + p y ( n m ) ，n20( 2 2 2 ) 对任意的自然数n ，当n n t 时，由( 21 1 ) 式有。( n ) = 一q ( 几) ( n f ) 0 ，当t i , = 孔时，由( 2 1 1 ) 式有 z ( n k + 1 ) 一z ( n k ) = b z ( n k ) ，= 2 ，3 ，( 2 2 3 ) 这说明。( n ) 在 礼k + 1 ，n k4 - 2 ，n k + 1 ) ( = 1 ，2 ，3 ：) 上严格单调递 减而且只有两种可能，最终正或最终负。若。( 竹) 最终负，则最终有 g ( n ) 一p y ( n m ) ，从而有0 ( n + j m ) 一p y ( n + u 一1 ) m ) ( 一p ) ( n ) _ o ( j _ 。) ，故有0 骢( n ) = 0 ，这与z ( n ) 最终负且严格 单调递减矛盾；若z ( n ) 最终正，由一1 0( 2 2 4 ) 由( 2 ，1 1 ) 式与( 2 2 2 ) 一( 2 2 4 ) 式知：( 札) 是不等式 f z ( n ) + q ( 他) 。( n f ) 0 ，= 1 ，2 ，m 2 + 1 ，ps 一1 ， o ( n ) 0 ，n = 0 ，1 ，2 ，若 1 i mi n 三。q ( i ) n f 。( ，。( 1 + 6 ) 。 雨1 ) h 1 ( z z s ) ：蒸2 ) 川5 ”少1 ”1 。l ，。，1 1 1 。i 。，( 1 + 6 t ) ( ! j i i ! ) n 一( 2 2 6 ) n + ” 兰n + m f l “。 o 那么方程( 2 1 1 ) 的所有解振动。 证用反证法，设方程( 2 1 1 ) 有一个最终正解y ( n ) ，不妨设( n ) 0 ，n 一i o 。令。( 扎) = ( n ) + p y ( n m ) ，与定理2 2 1 的证明一样知。( n ) 在 礼十l ，n k + 2 ，n 州 ( = l ，2 ，) 上严格单调递减而且只有两种可 能，最终正或最终负。若z ( 佗) 最终正，由z ( n ) = ( n ) + 聊( n m ) 及ps 一1 知y ( n ) ：( n ) ，。( 他) 0 ，再注意到z ( n k + 1 ) 一2 ( n 女) = b z ( n ) ，k = 2 ，3 ， 及( 2 11 ) 式，有z ( n ) 是不等式 2 ( 孔) + q ( ”) 。( ”。) o ，n 2 m ，n 礼2( 2 2 7 ) iz ( n k + 1 ) 一z ( n k ) = b z ( n ) ，r = 2 ，3 ， 的一个最终正解，再注意到条件( 2 ，2 5 ) ，这与引理2 1 1 矛盾 若z ( n ) 最终负，注意到z ( 礼) 满足方程 j 。( n ) + 尸虿是兰与z ( n m ) + q ( 礼) g ( n 一2 ) = o ，礼m ，n n 1z ( n + 1 ) 。( n k ) = b z ( 7 h ) ，女：2 ，3 ， 由于n n t 时，。( n ) 帅唧地( 2 2 8 ) lz ( n k + 1 ) 一z ( n k ) = b z ( n k ) ，k = 2 ，3 ， 、 而( 228 ) 式等价于不等式 ( 卅警如十m 一) 0 ，n 唧觚f 2 2 1 9 1 lz ( n k + 1 ) 一。( n 女) = b z ( n k ) ，= 2 ，3 ， 、 这说明z ( n ) 是( 2 2 9 ) 式的一个最终负篇，注意到条件( 2 2 6 ) ，这与推 论212 矛盾。定理得证。 在方程( 2 1 1 ) 中，若p = 0 ，则方程转化为下面的脉冲时滞差分方 程 g ( 礼) + q ( n ) ( n 一。) = o ，n o ，n n k ，f 2 2l o ) ly ( n k + 1 ) 一y ( n k ) = b k y ( n 女) ，= 1 、2 ， 、 7 盟叩 譬耥 学恐 且 由引理2 1 1 和推论2 1 1 容易得出 推论2 1 1 设 ( i ) l i ms u pr i ( 1 + 巩) 一1 c o n _ 。 n f n ，于是方程( 3 1 1 ) 的所有解振动的必要条 件是p 。 o 在此基础上他们讨论了方程 x ( t ) 一p x ( t r ) + q x ( t 一口) = o( 3 1 2 ) 其中p ，q ，r ，a ( 0 ，。) ，r p 4 t 7 ( 口一r ) 一( 3 13 ) 又注意到通过变量代换y ( t ) = p 。7 x ( t ) ，方程( 3 12 ) 被简化成 g ( t ) 一9 ( 一r ) + p - 9 t q y ( t 一口) = 0( 3 1 4 ) r 并且方程( 3 1 2 ) 的所有解振动当且仅当方程( 3 1 3 ) 的所有解振动 1 9 9 3 年d o m s h l a k ”1 1 9 9 5 年z h a n g 和y a n 1 ，1 9 9 6 年s h e n 1 ，1 9 9 7 年 z h a n g ，y a n 和z h a o 2 0 11 9 9 8 年z h a n g ，y a n 和c h o i “】，2 0 0 0 年s h e n ”l ，2 0 0 2 年 s h e n 2 3 j 分别研究了如下带变系数的连续变量差分方程 z ( t ) 一x c t 一，) + p ( t ) x ( t 一口) = 0( 3 1 5 ) 。( t ) 一z 0 一r ) + p 。( t ) z 一吼) = 0( 3 1 6 ) t ；1 卫0 ) 一z ( t r ) + 囟。 ) z ( t 一以) 一q i ( t ) z ( t n ) 】= 0( 3 1 7 ) i = 1 其中r ，吼吼( 0 ，o 。) ，p ，p i ，q i c ( ( 如，o c ) ，r + ) ，r + = 0 ，o o ) ，得出了许多关 于上述方程振动性的好结果需要一提的是，文 1 8 证明了如下 定理a 若盯= r r ，r 为正整数，1 1 巴曾fr 至- - i p 0 一i f ) ( 孚) 7 ，则方程 ( 3 15 ) 的所有解振动， 定理b 若吼= v ，n 为正整数，待l ，2 ，m ，l i m i n f 登( t ) 茄 i ，则方程( 3 ) 的所有解振动-pil 16 3 2 单滞量连续变量脉冲差分方程解的振动性 考虑具单滞量的连续变量脉冲时滞差分方程 ( 。+ 1 ) 一y ( t ) + p ( t ) 9 ( 2 一r ) = o 。o , t t k( 3 2 1 ) ly ( t k + 1 ) 一y ( t k ) = 巩( t * ) ，k = 1 ，2 ，3 ， 其中p ( t ) g ( 卜1 ，。) ，r + ) ，r + = 0 ，o c ) ，6 女 一1 ，a = 1 ，2 ，r 1 为 正整数，0 t 1 t 2 一1 ，k = 1 ，2 ，3 ，协) 是实数序列满足0 t 1 t 2 t _ o 。( k _ 。) 定理3 2 1 设( h ) 成立，又若满足条件 ( i ) l i ms u p兀( 1 + 6 ) 。 0 , t 一( r + 1 ) 令 叫) = 帮， ( 3 25 ) 当t 时，由( 32 ，4 ) 式有篱铲s1 一p ( t ) 鲫当t = 奴时，由( 3 ，2 ，4 ) 式有絮铲1 + b k ，从而有 w = 旧i = t - 川y ( i - 州i - 1 ) - i 一 瞧料- 帖胁1 ) ( e ，) _ l ( 1 一p ( i ) w ( z ) ) 一1 h( 1 + 6 k ) 一1 茸西 帖。哪_ 1 利用算术一几何不等式，从上式可得 1t l “啦) 2 ( 1 一；p ( i 如( z ) ) i i ( 1 + b k ) - 1 意t k 联n “卜1 2 5 又由( 3 ，2 4 ) 式有0 t - - ip ( i ) 伽( i ) 1 及蜀 0 ，使得当t 蜀时有 于是有 ( 1 + b k ) 。1 0 1 t k n ( t r ，t - 1 ) w ( t ) o m i n w ( i ) l i t r ，t 一1 ) ，t 而 ( 3 2 6 ) 令 l i 。r a 。i n fw ( t ) 。a o 由( 3 22 ) 式和( 3 2 3 ) 式得l i r a + 。i n f ，至t - t ，p ( i ) o ，取常数n o 及正 o ， 使当t a 时有t - ip ( 。) n 0 ，于是对任意的t 乃，必存在t + ，使 盏萌 得t + n ( t r ，t 一1 ) ，t + g t k ) ，p ( 矿) 2 ；，从而有 ；纠鹣 r i 【一7j 可( t + 十1 ) g ( t ) 而二可而二可 驯有 w ( t + ) 曼：，t 乃 由上式知a 。 0 ，故0 知 。由l i m 碧f w ( t ) = 知可知，对任给的实数 2 6 p 曼耥 1 一 + 一r r 叩( o 丁时有叫( t ) q a o ，又由( 3 2 6 ) 式 得 圳( t ) 口m i n w ( i ) i i t r ，一，t 一1 ) ) 日卵a o ，t m a x t 0 ，t + r 上式两边取t - o 。的下极限得a o2p ，n 。，令1 _ 1 得a 。p 知，这是 一个矛盾，所以定理得证 推论3 2 1 设定理3 2 1 中的所有条件成立，那么不等式 f + 1 ) 一y ( t ) + p ( t ) 9 ( 。一r ) o , t o ,