（基础数学专业论文）yamabe流上laplace算子特征值的单调性和热方程的梯度估计.pdf

摘要 本文我们主要讨论y a m a b e 流上l a p l a c e 算子特征值的单调性和y a m a b e 流上热方 程的乳正定性与梯度估计 首先，我们考虑y a m a b e 流上l a p l a c e 算子特征值随时间的变化情况通过考虑相关 几何量在y a m a b e 流上的发展变化，结合极值原理得到了y a x a a b e 流上l a p l a c e 算子特征 值在初始数量曲率满足不同条件时的单调隆；其次，我们考虑了y a m a b e 流上热方程的光 化解在下的正定性的不变性；最后，通过较简单但繁琐的计算，我们给出了y a m a b e 流上热方程的正解的一个梯度估计 关键词；y a m a b e 流，l a p l a c e 算子，特征值，热方程，梯度估计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h em o n o t o n i e i t yo ft h ee i g e n v a l u eo ft h el a p l a c e o p e r a t o ro ny a m a b ef l o w ，t h e 吼p o s i t i v i t ya n dt h eg r a d i e n te s t i m a t eo ft h eh e a te q u a t i o n o ny a m a b ef l o w f i r s t l y ，w es t u d yt h ec h a n g er a t eo ft h ee i g e n v a l u eo ft h el a p l a c eo p e r a t o ro ry a m a b e f l o w b ys t u d y i n gt h ee v o l v i n ge q u a t i o no ft h er e l e v e n tq u a n t i t i e so i ly a m a b e f l o wa n dt h e m a x i n 姗p r i n c i p l e w eo b t a i nt h em o n o t o n i c i t yo ft h ee i g e n v a l u eo ft h el a p l a c eo p e r a t o r o ny a m a b ef l o ww h e nt h ei n i t i a ls c a l a rc u r v a t u r es a t i s f i e sd i f f e r e n tc o n d i t i o n s n e x t ，w e d i s c u 鹧t h e 靠p o s i t i v i t yo ft h eh e a te q u a t i o no ny a x a a b ef l o w f i n a l l y , b ys i m p l eb u t c o m p l i c a t e dc a l c u l a t i o n s ，w eo b t a i nag r a d i e n te s t i m s t eo ft h eh e a te q u a t i o no i ly a m a b e f l o w k e yw o r d s ：y a m a b ef l o w ，l a p l a c eo p e r a t o r ，e i g e n v a l u e ，h e a te q u a t i o n ，g r a d i e n t e s t i m a t e i i 独创性声明 本人郑重声明z 所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名 ；业 上上i l 关于论文使用授权的说明 日期。玉! i ：! ：! 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构迭交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：王量墨导师期：立! 12 ：6 ：堕 第一章绪论 如何在微分流形上寻找典范黎曼度量一直是微分几何中一个十分重要而有意义的问 题所谓典范黎曼度量就是指流形上各种曲率为常数的度量。如数量曲率为常数的度量， r i c c i 曲率为常数的度量( e i n s t e i n 度量) ，截面曲率为常数的度量等1 9 6 0 年，h 1 m a b e 【1 】 提出了著名的y a m a b e 猜想这个猜想是说，对给定的n 维( 竹3 ) 紧致无边的r i e m a n n i a n 流形( 肘，册) ，可以找到与卯逐点共形的度量g ，使得在此度量下流形的数量曲率为常数 经过h y a m a b e l ”，n t r u d i n g e r n ，t a u b i n n 等人的努力，r ，s c h o e n n 终于在1 9 8 4 年 完全解决了这个猜想但是，如何构造个自然的发展方程使得对任意的黎曼度量都共形 于个常数量曲率度量仍然是一个未解决的问题r h a m i l t o n ( 5 引入的y a m a b e 流是一 个可能的途径 设( m ，卯) 是坨维黎曼流形，g = g ( t ) 是流形上一族以t 为参数的黎曼度量y a m a b e 流就是满足如下条件的发展方程 o t g = 一励，g ( o ) = 奶 r h a m i l t o n 证明了y a m a b e 流在任意时刻都有唯一解，在初始度量的数量曲率r 0 0 是对应于度量g 的l a p l a c e 算子的第一特征 值，f = f ( x ，t ) 是相应的第一特征函数不妨设，2 如= 1 如若不然，假设，2 d v = c 2 ， 令7 = j 即可由定义知 - z x f = p ， 对上式两边求导得 一& | 一z x f t = 讧 七9 上式两端同乘，然后在m 上积分得 一厂，咖一，7 ，如= p + p 厂，咖 注意到 # f f = - - a f f 对上式两边积分，再由散度定理得到 # f f d v = 一，咖= 一a f 删”， 从而有 = 一，面 又由引理2 6 知 t = r a u 于是有 , i t t - - - - a r ，2 咖 由于a 0 ，不恒为零。从而有r 0 时 0 ，r _ c 对上式从0 到t 积分，得到 l n p ) 一t n 肛( o ) e t ， 从而有 u ( t ) 弘( o ) e 。p o e 2 r 一c 0 ，不恒为零，从而可知只要r 不恒为零，就不为零结合极大值原理可 知。只要初始数量曲率不恒为零f l ，麓不为零从而结论虚寺n 注记2 1 0 由前面证明过程可知，对l a p l a c e 算子的其他特征值，结论同样成立 1 2 第三章y a m a b e 流上热方程的巩正定性和梯度估计 3 1y a m a b e 流上热方程的吼正定性 3 1 1 预备知识 首先我们介绍初等对称函数的一些相关概念 我们知道。形上的k 阶初等对称函数以是这样定义的，v ( a 1 ，a 2 ，k ) 伊 靠( a l ，k ) = 旷k ( 3 - 1 ) i 1 缸 o ；那么，对任意时刻t 【o ，卅，都有a i ( u ) 0 ，a 2 ( u ) 0 证明由于 执= 一r 9 h ， t = t ， 类似【3 1 】的计算方法，有 ( a 一) t 坼= 2 i z 埘一( r 。u , n j - 1 - r ，哪u h ) 1 4 第三章y a m a b e 流上热方程的以正定性和梯度估计 矾巧( u ) = t t k k j l = v i ( u j 轴一r j l 加) = 崩一v i 岛l 锄一忌l “ = 2 q 缸b 一忍幻m t k m 一2 锄一v i 马l u l 一局l u “ 盎v i ( 1 日址一r h m t b n ) 一冗材m “ m r m u m j v 。马i t l r j t u l i = 触一v ( r 巧m ) 一忌幻m 一见幻。饥m 一血删一v i 吩f 铆一毋f 地 利用缩并第二b i a n c h i 恒等式和r i c c i 恒等式，我们得到 v i ( h u ) = v 码u + 2 n k v t u 一忍d v l u r j n i v t u 一( v t 勘+ 吼凰一v f ) l u 又由条件可知 v i 马i = 0 ， 从而有 v v j ( “) = a v 。v j u + 2 r k o t v k v l u r “v j v 川一局i v i v l u ， 这样，我们就得到 a = a u l j + 2 r k 巧f t 捌一r n t 吩l r f l u a 注意到 日= ( ) ， 于是有 t r a c e ( ( o t z x ) h 、= 0 从而由极大值原理知，如果当t = 0 时a l ( u ) 0 ，则对任意t 0 ，都有口1 ( u ) 0 进一步计算可得 ( a a ) a 2 ( h ) = = 一t r a c e ( 正( 日) v ( 何) + t r a c e ( t 1 ( 日) ( a a ) h ) - i v u d h ) j 2 + t r a c e ( v ( 日) v 。( 日) + f f l ( h ) t r a c e ( a t a ) h ) 一t r a c e ( h ( & 一n ) h 、 一i v c r a ( h ) 1 2 + t r a c e ( v i ( h ) v i ( h ) ) + 2 t 嵇忌 “t 正“+ 2 u ”局l 地f 0 1 5 墨三塞垫尘! 煎尘垫立垂堕墨至室丝塑塑鏖鱼生 从而由极大值原理知：如果当t = 0 时叻( “) 0 ，则对任意t 0 ，都有观( t ) 0 口 3 2 y a m a b e 流上热方程的梯度估计 3 2 1 预备知识 本节，我们假定m 是紧致的或完备非紧的局部共形平坦的n 维黎曼流形我们将要 讨论y n m a b e 流上热方程a u ( t ) = a u ( x ，) 的正饵的梯度估计我们首先给出如下引 理 引理3 2 设( m ，9 0 ) 是紧致无边的或完备非紧的付维局部共形平坦的黎曼流形 9 = 9 ( t ) 是流形上的y a m a b e 流，是热方程 a t ( z ，) = x u ( x ，扪一 的正解如果流形的r i c c i 曲率有一致非负下界k ，那么，在m ( 0 ，o o ) 上，有 譬一等毋2 t 舻 u 2 证明令，= 胁”，p ，z ) 一t o v y l 2 一五) ，则有 ( z x 一裳) ，芝一2 v f v f + 警( | v ，卜驴一( v f l 2 一五) 一2 k t l v f 2 事实上取z m 的局部正规标架( 岛) 崮加。对f 求协变导数，得 只= t ( 2 办厶一厶) ， j = l a f = 昂= t ( 2 尼+ 2 疗厶。一( ，) 。) ， 廿材 从而根据基本不等式和r i c c i 恒等式有 ( ，) 2 = ( 厶) 2 = 尼+ 2 厶勘 t f s 露+ ( 露+ 岛) 4 叼 扎芬 1 6 ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) 第三章y a m a b e 流上热方程的巩正定性和梯度估计 办蕊= 办岛+ 如, f j 玎巧 = v f v ( a f ) + r i c ( v f ，v f ) 2v f v ( a f ) 一k l v f l 2 ， 于是浯5 ) 就变为 f ( ；( ，) 2 + 2 v f v ( a f ) 一2 k i v f l 2 一( ，) t ) 用，= 一i v 1 2 代入，得 a f ( ；( 一l v ，1 2 ) 2 + 2 v f v ( f t 一| v ， 2 ) 一2 k v f l 2 一( ，一i v f l 2 k ) 另一方面 f t = ( t ( i v f l 2 一支) x = v ，1 2 一五+ t ( 1 v f l 2 一五k ， 从而有 ( 一妄) f 凳( i v f l 2 一f t ) 2 - 2 t v f v ( v f l 2 一 ) 一2 酬v 卯 + t ( i v f l 2 一 k t ( i v f l 2 一3 。一( i v ：1 2 一 ) = - 凳( 1 v f l 2 一五) 2 一( i v f l 2 一，f ) t 一2 k t l v f 2 2 t v f v ( t v f l 2 一 ) ：一2 v f v f + 婺( 1 v ，f 2 一 ) 2 一( v f l 2 一，) 一2 k t l v f l 2 n 从而有 了i v u l 2 一警：i v f l ：一 ：孚， t r缸 因此，证明引理就相当于证明f 2 假设对某一r o ，椴黼f 2 不妨设极大值在( 。，t o ) 肘。 0 ，卵取得 由于f ( z ，0 ) = 0 ，应用极大值原理，在0 0 ，t o ) 点，有 a f ( x o ，t o ) 0 ，t t o 0 v f ( z o ，幻) = 0 1 7 第三章y a m a b e 流上热方程的靠正定性和梯度估计 未f ( 跏，岛) o 从而有 叫一扣等一丢= 焉c f 一 由此可得f ( x o ，t o ) 2 ，矛盾，从而结论成立 口 3 2 2 热方程的梯度估计 本节，我们考虑y a m a b e 流上的热方程的梯度估计，得到了。 定理3 3 设( m ，g o ) 是紧致的或完备非紧的局部共形平坦的n 维黎曼流形，g = g ( t ) 是流形上的y a m a b e 流，t 是热方程 o t u ( x ，t ) = t ( 。，t ) 的正解如果流形的r i c c i 曲率有一致非负下界k ，那么，在以流形上任一点0 为球心， 以2 r 为半径的测地球岛丑内，有 s b u 。p t v u ( 雨4 + 譬+ 2 n k + t 2 n ) 这里c 是仅与g o 和i f “| | 伊有关的常数 证明令 ，= i nu f 扛，t ) = t ( 1 w 1 2 一口 ) 则有 8up(譬一口唧fbrb a t t t 取截断函数妒卵( 固，满足s u p p 妒【- 2 ，2 1 ，0s 妒s1 ，并且当0 t 1 时， 妒( s ) - - - - 1 此外还满足 鲰矿屯警鲰( 3 - 6 ) 1 8 第三章y a m a b e 流上热方程的靠正定性和梯度估计 其中q ，g 为正常数 记m 中以0 为基点的距离函数为p ( x ，t ) 令 出 t ) 刮掣) 则 s t i p p 妒岛r ，妒i b r 兰1 对任意t 0 ，假设| p f 在( x o ，t o ) 达到它在岛r 【0 ，刀的极大值 若妒f ( x o ，t o ) 0 ，结论显然成立不妨设妒f ( x o ，t o ) 0 ，从而2 7 0 岛r ，t 。 0 于是根 据极大值原理，在( z 0 ，t o ) ，有 0 = v ( , p f ) = f v 妒+ 妒v p 掣：妒f t o出 由以上几式可得 0 ( 妒f ) = 妒f + _ p a f + 2 v 妒v f = 妒f + 妒f 一2 fj v 妒1 2 ( 3 - 7 ) 又由( 3 - 7 ) 得 学=警=i形妒ja妒鲁，(3-8)r2妒妒形妒：形 妒掣+ 业r = 豢+ 警2 一甭c 1 一鲁蛳 从而有 却s 一1 ) - 牙c o t h ( 俪) l p 一鲁( n 1 ) 州瓜r ) 一是垒_ a ( n ，k ，固 1 9 第三章y a m a b e 流上热方程的叽正定性和梯度估计 代入( 3 - 8 ) 并由引理3 2 得 又由于 上式变为 注意到 从而有 又由于 0 ( 妒f ) 一舷，r ) f 一2 f 醚+ 妒a f 叫咄艘_ 2 f 譬删晟_ 2 v 肿 + 2 n t v f 2 一 ) 2 一( i v fj 2 一a 五) 一2 k t i v s l 2 ) 妒r 毒( 妒p ) t 0 ， - 2 妒v f v f = 2 f v _ p v f o 一觚k ，r ) f 一2 f 竖丝+ 2 f v 妒v ， + 妒 - 罢( i v f l 2 一 ) 2 一( i v f l 2 一n ) 一2 k i v 1 2 】 0 妒1 0 一a ( n ，k ，r ) 妒f 一2 f i v 妒1 2 + 2 妒f v ，v 妒 n 4 - + 矿【等( 1 v ，f 2 一 ) 2 一( i v f l 2 一n ) 一2 k t l x t t 2 】 = ( | p f ) 【一a ( 几，k ，r ) f 一2 竖娑1 + 2 妒f v 妒v ， 十2 ( i v s l 2 一f t ) 2 一k l v f l 2 1 一宰 ( 渊m ( 啦，固一2 譬一争- 2 妒f i v f l l v , p i + 警c ( i v s l 2 一f , ) 2 - n k i v s l 2 】 0 妒s 1 ，v 妒、亿；r 一1 妒 2 0 墨三童! 鱼竺! 堡煎占垫壅堡塑坐垂窒丝塑堂鏖笪煎 从m 胃 o ( 【叫n ，耳，固一等一i 1 卜2 厄i 审， + 凳5 1 0 2 ( i v 1 2 一f t ) 2 - n k i v ：1 2 】 两边同乘以t ，并令= 妒i v f l 2 ，z = l p 五，代入整理得 o 妒( - 1 - t ( 地，r ) + 2 c 2 ) ) 一百2 、- c - ；蹦( ，口z ) + 警一z ) 2 _ n k y l = 妒f ( - 1 - t ( 砸 哟+ 万2 c 2 ) ) 十筹肋一z2 - - n 蜘 一2 亟r2 t 2 y ( 3 ，一a = ) 】 又由于 从而得 ( u - 2 ) 2 = 击( 箩一们) 2 + i a - 1 ) 2 + 2 a d - 1 ( y - o r z ) ( y - - z ) 2 - - t _ 1 , k 一- 2 婀- h - 内( y - a z ) = 刍( 一) 2 + 学y 2 _ n k y n k y 2 壶( 一a z ) 2 + 芋 + 【2 譬，一警纳( 力， o 妒( 1 - 们( 喊固+ 警) + i 2 t 2 【甜1 ( y - - o t z 卜丽n 2 k 可2 a 。2 一蒜( ) i 又因 t ( u 一口z ) = 妒t ( i v 1 2 一口 ) = ! a f 即得 。妒( - 1 训喘肿等) + 去( 旧2 一褊( 蛾一而n k 2 。c 2 ；2 ， 2 1 第三章y a m a b e 流上热方程的靠正定性和梯度估计 再由 上式就化为 c a ( 咄，聊+ 等) = 鲁+ 百0 2 ( n - 1 ) 佩 ( 届固+ 等 c 冗3 ( 、元1 + v t ) 。去( 2 吨硎+ 譬( 去+ 厕+ 蒜乌卜器t 2 去( 妒f ) 2 一( 妒f ) 【l + c ，4 ( 。a 一2 + r 厕耐一豇n 两k 2 0 e 2 这是个关于( 妒f ) 的二次三项式，从而有 妒冬象+ 雨c 4 ( 鲁+ r 厕t + n q 2 譬+ n 。a 2 胁c 4 ( a 一2 了+ r 厕t + 高t 由于所有的计算都是在极大值点进行的，从而有 ( 妒f ) ( z ，研( 妒f ) ( 卫o ，t o ) 譬+ 壁2 鱼r 2 f 旦a - 1 + 置届) t o + 譬+ 壁2 鱼r 2r 旦a - 1 + r 、k ) t + 将上式限制在b h 上，得 掣( 一硐警+ 羔+ 等( 矗+ r 瓜) _ b r z l “一1 j 厶i l “一1 取口= 2 ，换回原变量整理即得 s 如u p i v u l e 雨4 + - 届- i f - + 2 n k + 挚) 这里e 是仅与t t , ，g o ，i i t , lj c o 有关的常数 口 总结 本文首先讨论y a m a b e 流上l a p l a c e 算子随时间的变化情况，结合极大值原理得到了 初始数量曲率满足不同条件时特征值的单调性，其次考虑y a m a b e 流上热方程的巩正定 性，最后讨论了局部共形平坦流形上的y a m a b e 流上热方程的一个梯度估计 参考文献 f 1 】1 h y a m a b e o nt h ed e f o r m a t i o no f r i e z n a n n i a ns t r u c t u r e so nc o m p a c tm a n i f o l d s j o s a k e m a t h j ，1 9 6 0 ，1 2 ：2 1 3 7 【2 】n t r u d i n g e r r e m a r kc o n c e r n i n gt h ec o n f o r m a ld e f o r m a t i o no fr i e m a n n i a us t r u c t u r e so n c o m p a c tm a n i f o l d s j j d i f fg e o m ，1 9 6 8 ，2 2 ：2 6 5 - 2 7 4 【3 1 t 。a u b i n t h e8 c a l a rc u r v a t u r e ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dr e m m t y 吲m a t h e m a t i c a lp h y s a n da p p lm a t h e ，1 9 7 6 ，3 ：5 - 1 8 f 4 】r s c h o e n c o n f o r m a ld e f o r m a t i o no far i e m a x m i a nm e t r i ct oc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e j 】 j d i f fg c o m ，1 9 8 4 ，2 0 ( 2 ) ：4 7 9 - 4 9 5 【5 】r h a m i l t o n t h r e e - m a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c ic i l r v 址l l r e 嘲j d i f f g e o m ，1 9 8 2 ，1 7 2 5 5 3 0 6 【6 l b c h o w t h ey a m a b ef l o wo nl o c a l l yc o n f o r m a l l yf i a tm a n i f o l dw i t hp o s i t i v ec u r v a t u r e j 1 c o m m u n i c a t i o n so np u r ea n da p p n e dm a t h e m a t i c s ，1 9 9 2 ，1 0 0 3 - 1 0 1 4 ， 【7 】g y e g l o b a le x i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c eo fy a m a b ef l o w l j j d i f fg e o m ，1 9 9 4 ，3 9 ( 1 ) 3 5 - 5 0 【8 】r s c h o e n ，s t y a n l e c t u r e so nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y m b o s t o n ，i n t e r n a t i o n a lp r e s s ， 【9 1h i c h o i ，a n w a n g , af i r s te i g e n v a l u ee s t i m a t ef o rm i n i m a lh y p e r s d a c e i j j d i f f g e o m ，1 9 8 3 ，1 8 ：5 5 9 - 5 6 2 1 1 0 d j e r i s o n ，j l e e t h ey a m a b ep r o b l e mo nc rm a n i f o l d s j j d i f fg e o m ，1 9 8 7 ，2 5 ( 2 ) 1 6 7 - 1 9 1 【i i 】n ，g a m a r a ，t h ec r y a m a h ec o n j e c t u r e - t h ec a g en = 1 【j 】j e u r m t h s o e ，2 0 0 1 ，3 ( 2 ) ： 1 0 5 1 3 7 参考文献 【1 2 ln g a m a r a ，r y a c o u b t h ec ry a m a b ec o n j e c t u r - t h ee o n f o r m * lf i a tc a s e p p a c i f i c j m a t h ，2 0 0 1 ，2 0 1 ( 1 ) ：1 2 1 1 7 5 1 1 3 j v i a c l o v s k y c o n f o r m a lg e o m e t r y , c o n t a c tg e o m e t r y , a n dt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s j 】 d u k em a t h j ，2 0 0 0 ，1 0 1 ( 2 ) ：2 8 3 - 3 1 6 【1 4 jj v i a c l o v s k y s o m ef u l l yn o n l i n e a re q u a t i o n si nc o n f o r m n lg e o m e t r y j d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s a u dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s a m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 ，4 2 5 - 4 3 3 f l s j v i a c l o v s k y e s t i m a t e sa n de x i s t e n c er e s u l t mf o r8 0 m ef u u yn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s o nr i e m s n n l a nm 8 n i 乩d s 【j 】，c o m m a n a l g e o m ，2 0 0 2 ，1 0 ( 4 ) ：8 1 5 - 8 4 6 。 1 1 6 】m g u r s k y , j v i a d o v s k y af u l l yn o n l i n e a re q u a t i o no nf o u r - m a n i f o l d sw i t hp o s i t i v es c a l a r c u r v a t u r e 州j d i f f g e o m ，2 0 0 3 ，6 3 ：1 3 1 1 5 4 1 1 7 1m g t u s k y , j v i a c l o v s k y v o l u m ec o m p a r i s o na n dt h e “一y a m a b ep r o b l e m j a d v ，m a t h 2 0 0 4 。1 8 7 ：4 4 4 8 7 【1 8 】m g u r s k y , j v i a c l o v s k y f u u yn o n l i n e a re q u a t i o n so nr i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hn e g - a t i v ec l l r 镕h m f j 】，i n d i a n au n l v m a t h j ，2 0 0 3 ，5 2 ：3 9 9 - 4 1 9 【1 9 】p g u a n ，j v i a c l o v s k y , g w a n g s o m ep r o p e r t i e so ft h es c h o u t e nt e n s o ra n da p p l i c a t i o n s t oc o n _ f o r m a lg e o m e t r y j 1 t r a n s a m e r m a t h s o c ，2 0 0 3 ，3 5 5 ( 3 ) ：9 2 5 - 9 3 3 【2 0 1p g u a n ，g w a n g af u l l yn o n l i n e a rc o n f o r m n lt i o wo nl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a ti n a n i - f o l d s j j r e i n ea n g e w m a t h ，2 0 0 3 ，5 5 7 ：2 1 9 - 2 3 8 【2 1 】pg u a n ，g w a n g g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e so nl o c a l l yc o n f o r m a u yf l a tm a n i f o l d s j d u k e m a t h j ，2 0 0 4 ，1 2 4 ：1 7 7 - 2 1 2 【2 2 】p g u a n ，g w a n g l o c a le s t i m a t e sf o rac l a s so ff u l l yn o n l i n e a re q u a t i o n sa r i s m gf r o m c o n f o r m a lg e o m e t r y 【j 1 i n t e r n a t m a t h r e s n o t e ，2 0 0 3 ，2 6 ：1 4 1 3 - 1 4 3 2 【2 3 】a c h a n g ，f h a n g ，py a n g o n8c l a s so fl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a tm a u i f o l d s j i n t m a t h r e s n o t ，2 0 0 4 4 ：1 8 5 - 2 0 9 酬a c h a n g ，m g u r s k y , p y a n g a ne q u a t i o no f m o n g e - a m p e r et y p ei ne o n f o m a lg e o m e t r y a n df o u rm a n i f o l d so fp o s i t i v em c dc u r v a t u r e j a n n o fm a t h 2 0 0 2 1 5 5 ：7 0 9 - 7 8 7 【碉a c h a n g ，m g u m k y , p y a n g a nap r 姗e s t i m a t ef o r af u l l yn o n l i n e a re q u a t i o no i l f o u r - m a n l f o l d s j j a n a l m a t h ，2 0 0 2 ，8 7 ：1 5 1 1 8 6 【2 6 】a c h a n g ，p y a n g n o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nc o n f o r m mg e o m e t r y 【r 】 b e i j i n g ：c m s ，2 0 0 2 【2 钉y y l i o ns o m ec o n f o r m a l l yi n v u r i a n tf u l l yn o n l i n e a re q u a t i o n s 【r 】b e u i n g ：p r o c e e d i n g s o ft h ei n t e r n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n s ，v 0 1 h i ，2 0 0 2 2 8 y y l i c o n f o r m a l l yi n v a r i a n tf u u yn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sa n di s o l a t e ds i n g u l a r i - t i e s j j f a u c t i o n a la n a l y s i s ，2 0 0 5 ，1 2 ( 5 ) ：1 2 0 6 - 1 2 3 8 2 9 】l m a e i g e n v a l u em o n o t o n i c i t yf o rt h er i c c i - h a m i l t o n 丑o w 【j 1 a r x i v ：m a t h d g 0 5 1 1 2 9 6 3 0 】r r e i l l y o nt h eh e s s i a no faf u n c t i o na n dt h ec u r v a t u r eo hi t sg r a p h j m i c h i g a nm a t h j ，1 9 7 3 ，2 0 ：3 7 3 - 3 8 3 3 1 l n i ，l f t a m p l u r i s u b h a r m o n i cf u n c t i o n sa n dt h ek a h l e r - r i c c ia o w j a m e r j m a t h ，2 0 0 3 ，1 2 5 ：6 2 3 - 6 5 4 【3 2 】g h u j s k e n r i c c id e f o r m a t i o no ft h em e t r i co nar i e m a n n i a nm a n i f o l d j j d i l lg e o m ， 1 9 8 5 ，2 1 ( 1 ) ：4 6 2 【3 3 a b e e s e e i n s t e i nm 8 n i f o l d 8 【m 】b e r l i n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 7 1 3 4 】s b r e n d l e c o n v e r g e q a c eo ft h ey a m a b ef l o wf o ra r b i t r