（基础数学专业论文）色散方程和退化松弛dirichlet问题的若干问题.pdf

中文摘要 具有近二百年历史的调和分析是数学中的一个相当完善的分支，是数学 的核心学科之一其方法几乎渗透到其它所有的数学分支并得到广泛的应用 调和分析在偏微分方程方面的应用是其中相当重要的方面调和分析中的许 多工具，如插值方法，极大函数方法，位势理论等，是偏微分方程研究中的必 备工具一方面，在二阶椭圆型方程边值问题中的应用，我们可以参考c e k e n i g 的 3 5 及其中的参考文献另一方面，在发展型方程的定解问题中的应 用是以振荡积分估计，位势估计为基础，通过建立时空估计来讨论非线性问题 解的适定性的此时的关键在于建立非线性项的估计这方面，jg i n i b r e ，t c a z e n a v e ，ce k e n i g ，gp o n c e ，工hv e g a ，j b o u r g a i n 等人作了很出色的工作， 这方面的工作可参考苗长兴所著的【5 0 ，j b o u r g a i n 所著的 8 及它们所附的 参考文献和tt a o 的个人主页( h t t p ：w w w m a t h u c l a e d u 。t a o ) 中所列的参考 文献 本文主要是要利用调和分析的方法讨论偏微分方程中的若干问题全文 分两个部分第一部分包含三章第一章考虑一般的自由色散方程问题的 b e s o v 估计；第二章考虑耦台s c h r s d i n g e r k d v 方程的c a u c h y 问题；第三章考虑 一个浅水波方程的c a u e h y 问题第二部分包含一章，考虑退化松弛的d i r i c i f l e t 问题 。c巩。u。，-。，ip：(d，。)。u，i。(。)r“l c 。， 这里d = ( 0 1 ，a n ) ，见= 差，j = 1 ，2 ，n ，p ( d ) 由是其特征所定义的，即 p ( d ) ，( z ) = e “p ( f ) ，( f ) ( o 1 2 ) 从可微性角度看w ( t ) 不存在任何整体的正则性不过，存在其它类型的正则 性一方面存在可积性指标提升，另一方面，存在局部可微正则性，它不仅可用 于非线性色散方程定解问题的研究，还可改进著名的c a r l e s o n 猜测c a r l e s o n 猜测在一维情形已彻底解决但对高维情形，尽管有许多的部分结果，基本上 还是公开问题 sn l k u m a 和t m u r a m a t u 在【2 5 】中讨论了( o 1 1 ) 解的l p b e s o v 空间估 计，其中 p ( f ) = 。，具体结果参考 2 5 t h e o r e m3 和t h e o r e m4 ，本章讨论以 下色散方程 j 巩“一n ( d ) “。0 ，( 州) 5 皿n眦3 ) 、t “， iu ( z ，0 ) = ，( z ) 解( 形式上) “( z ，t ) ：( s n ，) ( z ，t ) = e i ( 一) o ( ，o ) d f d y ( o14 ) 的一些范数估计，其中n 2 ，n 是径向函数 本章的主要结果： 定理0 1 1 若n ( ) = 6 ( ) ，即n 是径向函数，定义算子t 为 ( t ，) ( z ，) = e 忙洲州吣( g ) d v ( o1 5 ) 令，的取值范围为 f 10 1 忆一1 ， 当n = 2 ， j0 0 ，使得 峨尹c u l l b 川肛 ( o 1 6 ) 定理o 1 2 t 是从哪。，m 到l 产l 字上有界的，这里s = 口( ；+ 1 ) 11 日0 11 一日0 l1 p口 p 1 2 。p 一1 五一下十i 一q 22 下+ ； 而0 日1 更确切地，存在常数c 0 ，使得 l l t 刘甲l sc 1 f l l b ；。： ( o 1 7 ) 定理o - 1 3 若n ( f ) = 6 ( ) ，而且在去掉一个含原点的邻域后， i 铲n ( f ) i g “一这里n 是多重指标则t 是曰：寸1 + 1 “7 4 到l 一2i 上有界的，更 确切地，存在常数c = a ( n ，o ，7 ) 0 ，使得 t 刑l ；甲c l i f l 日婶咿 ( o l8 ) 定理0 i 4 在定理0 1 3 的条件下，设 一n n1 1 1 l 盯= i + 互j 互一；j 则t 是搿1 + 1 p 到城l 尹上有界的，更确切地，存在常数g = e ( n ，n ，7 ，p ) o ， 使得 慨产e i i 1 1 目臀m h ( o 1 9 ) 注o 1 1 容易验证n ( f ) = 。，o 1 满足定理d 13 中的条件同样的，可以 验证 n ( f ) = n 1 ( ) + 十o ( 0 ， 其中n ( f ) = 勺吲“，1 n 1 s 3 4 ，帅= ( u o ，口o ) 酽+ ；( r ) h a ( r ) ，则 一j 存在t = t ( j j 。j 卅女+ , o j i 。) 吖当p o ，t ( p ) 一o ，和唯一的强解 w ( t ) = ( u ( t ) ， ( ) ) 满足以下性质： u g ( 一t ，t ：h 5 + i ( l ) ) ，口a ( 一t ，t ：h 3 ( r ) ) ；( 0 2 3 ) i i i i l ；l w o o ，h l 尹 o o ； ( o 2 4 ) i l 如“i i q 婶 o o ，| | 以 l h l 于 。； ( o2 5 ) l i d 。以“忆尹l ； 。，l i d 8 如口f f l 尹l ； o o ； ( o26 ) i d 卜；如“i l l 字l ； o o ，l i d 卜 如口虬尹q 1 2 ，对任何u o 1 1 5 ) ，存在t t ( 1 l u o l lr , ，( r ) ) 0 ，使得初值问题r 口3 剐在f o ，t 上有唯一解u ( t ) ，且满足 “0 ( o ，t 1 ：h 3 ( 皿) ) ， ( 0 34 ) u x 。b 以( “2 ) ，( 1 一篚) 。1 ( 也( 巩u ) 2 ) x 柚一1 ( 0 3 5 ) ( o36 ) o t u x 。3b1 ( 0 37 ) 对任何t ( o ，2 1 ) ，存在u u 在h 8 ( 砒) 中的邻域n 使得映射奶一i ( ) ，映v 到 由佃3 4 ，佃3 圳定义的类中，其中t 。代替t ，是l i p s c h i t z 连续的 另外，我们对于s ( 1 4 ，3 8 ) 的情形，有以下的定理 定理0 3 2 若s ( 1 4 ，3 s ，则可找到b 1 2 ，对任何u oeh 。( r ) ，其范数充分 小，则在区间( 0 ，1 ) 上，初值问题f 口3 印有唯一解u ( ) ，且满足 uel ”( ( o ，1 ) ：h 。( r ) ) ue x s b ， 以( u 2 ) ，( 1 一篚) 。( 氏( 以u ) 2 ) ex 一 ( 038 ) ( o39 ) ( 0 3 1 0 ) ( o 3 1 1 ) 我们所使用的方法源自b o t t r g a i n ，他的方法( 9 ( 1 0 ) 是用于处理周期型的 k d v 方程和s c h r s d i n g e r 的，这种方法由k e n i g ，p o n c e 和v e g a 等人进行了发展 ( 4 2 ， 3 8 ) ，用来处理非周期的问题 第四章本章引入退化松弛的d i r i c h l e t 问题 4 8 ， 4 9 ， 4 7 对松弛的 d i x i c h l e t 问题上“+ p “= ”作了较为深入的讨论本章将其的主部三推广为退 化的情形，即所谓退化松弛的d i r i c h l e t 问题，并得到了一些基本的结果本章 的主要结果是： 定理0 4 1 假设，h _ 1 ( n ，u ) ，且存在weh 1 ( n ，u ) nl 2 ( n ，p ) ，使得一 g h 6 ( n ，u ) ，则问题4 22 的弱解有且仅有- - 4 - - 更进一步，u h 1 ( n ，u ) n l 2 ( n ，p ) ，而且 一叫，对每个口eh 6 ( n ，“) nl 2 ( n ，p ) ， 。( “，”) + n “”8 p2 ( ，”) ， 俐存在只与n ，a 和u 有关的常数c ，使得 jj uj h ，m - ，。) + l l u l l l ，( n j c ( t t l l h 一，( n ，山) + j j h 7j | h - ( n ，“) + j 坤yj j l ：( n ，p ) ) 定理0 4 2 假设4 58 成立，则z o 是w i e n e r 点，当且仅当z o 是关于肛和上 的正则d i r i c h i e t 点 定理0 4 3 设p m g ( n ) ，“是下列问题 一d i v 墨 c o a 川 若i g l “j l ”( n ，u ) ，m 争，其取法由 2 1 z , e m m ar j j j 和p r o p e r t y4 确定，r 1 ju l 。( n ，1 ) nl o 。( n ，p ) ， l l l i l * ( n ，。) - i - u l l l * u , ，p ) g | | l g l u f l * ( n ) ，( 0 4 2 ) 其中c 不依赖和g i 一砂若i g i u i , o o ( n ，u ) ，2 r n l ，i t i so p e n ，a l t h o u g h t h e r ea r eal o to fa u t h o r sc o n t r i b u t et oi t s f u k l l r n aa n dt m t l r a m a t ui n 2 5 d i s c u s s e dt h el v b e s o ve s t i m a t eo ft h e s o l u t i o n ，w h e r ep ( f ) = 蚓“，s e et h e o r e m3a n dt h e o r e m4i n 2 5 】i nt h ec h a p t e r w ec o n s i d e rt h en o r me s t i m a t eo ft h ef o r m a ls o l u t i o n “( 。，t ) = ( s a ，) ( z ，t ) = e i ( 。- y k 删f m ) d 曲 ( o - 1 2 ) o ft h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n 。ot。u。，-。，ia：(d，。)。u，i。(。，)l“l c 。，s ， w h e r en 2 ，n i sr a d i a l t h ep u r p o s e so ft h ec h a p t e ra r e ：( 1 ) t og e ts o m em a x i m a lb e s o ve s t i n l a t e w h i c hd i f f e rf r o m 2 5 ；( 2 ) t og e n e r a l i z et h e o r e m3a n dt h e o r e m4i n 【2 讣t h e 1 1 1 a i nr e s u l t sa r e ： t h e o r e m 0 1 1 可n ( ) = 6 ( ) ，d e f i n eo p e r a t o rtb y ( t ，) ( 刈) = e ( h 删钏m ) d f d 口 ( o 1 4 ) ，ll s e t7 0 75n 0 gp p r e c i s e l y ，t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc 0 ，s u c ht h a t i l t 州l 扎尹g i l 州群寸t + 训： f 0 15 1 t h e o r e mo 1 2ti sb o u n d e d k o m 哪l 巾2t ol 产垮，w h e r e3 = 口( 号+ 1 ) ， 11 0011 0011 00 p lt + p 一，p 一2t + _ ) 一q 2t + i ， w h e r e0 0s1 p r e c i s e l y ，t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc 0 ，s u c ht h a t | | t ，i i l 产l 字c l i i i i b ；。 ( o 1 6 ) t h e o r e m o 1 3 巧n ( ) = 6 ( ) ，t h a ti s ，n ( f ) i sr a d i a l , a n do u t s i d eo ，an e i g h b o r - h o o d d ，o r i g i n ，l 伊q ( ) lsg 。一w h e r e di sm u l t i i n d e x ，t h e n ti sb o u n d e d 1 0 m b 寸1 + 1 “7 4t 。l ：l 产p 州c i s e l y , t h e me 。i s t s 口c 。n s t 。n tc = c ( n i a l7 ) 0 ，s c h t h a t 咿川琏￥g n f t l s ：7 - + ，) n ，a ( o 1 - 7 ) t h e o r e mo 1 4u n d e rt h eh y p o t h e s i so ft h e o r e m0 1 ，3 i f a = 1 4 + ；l ；一；1 盯= 一+ i l 五一；l t h e nti s6 0 u n d e df r o mb 对1 + 7 pt ol ：l 产，p 嘶c i s e l y ，t h e r ee 。i s t 5 口c 。n s t n tc = c ( n ，a 1 7 ，p ) 0 ，s u c ht h a t i i t - r i i l ：l i ”e l l f l l b ：? ：，+ ，) 一 ( o _ 1 8 ) ，tlli-，、，i_j【 r e m a r ko 1 1i t i s e a s yt o e r f f yt h a tn ( ) = 。，d ls a t i e 詹t h ec o n d i t i o no f t h e o r e m0 j s i m i l a r l y ，o n ec a nu e r 锄 n ( ) = n 1 ( f ) + - + n 女( ) w h e r e ( f ) = c j l f l “，l a l 5 3 4 ，叫o = ( u 0 ，v 0 ) h 卧( 琥) h 9 ( r ) ，t h e n t 船r ee 。i s t t = t ( i n o + i e v o l le ) 0m e “p o ，t ( p ) 一+ o ，。n d u n i q u es o l u t i o nw ( t ) = ( u ( ) ，”( ) ) s a t i s f y ： n e ( 一t ，t ：h 。+ ( t ) ) l l u i k ；l ? 。 慨u 忸垮 m l i d 。巩u i b 瑶 o o l i d 3 一；以u 忆尹q o 。 l l 如“忆铲珥 o 。 ”g ( 一t ，t ：h ”( r ) ) h l 尹 o o ； | | 以口恤l o o ； i i d 8 如口l i l 芋l ： l 2 ，f o ra n yu o k 。( r ) ，t h e r e e x i s t st = t ( 1 l u o i i h ，( r ) ) 0 ，s u c ht h a tt h ei n i t i a lp r o b l e mp 3 砂伽t 船们0 2 0 ，t h a sau n i q u es o l u t i o nu ( t ) s a t i s f y n g ( 【0 ，t 1 ：h 3 ( 皿) ) ， ( 0 3 4 ) u x # 5 ， & ( “2 ) ，( 1 0 2 ) 一1 ( 以( 如“) 2 ) x 。，6 一l 0 脚x p 3 ，b 一1 ( o 35 ( 0 3 6 ( 0 3 7 乃ro n t 7 ( o ，t ) ，t h e r ee x i s t snn e i g h b o r h o o dv o f u oi nh 3 ( r ) s u c h t h a tt h em a p 乜。讧f r o mvi n t o t h ec l a s sd e f i n e d 如0 ，s ，4 ) ， o ，3 5 ) w i t ht ii n s t e a d 。| t 讧 l i p s c h i t z f o r3 ( 1 4 ，a s 】w eh a v e t h e o r e m0 3 2 玎s 1 4 ，3 8 ，t h e n t h e r ee x i s t sb 1 2 ，s u c ht h a tf o ra n y u 。t t 3 ( r ) ，w h o s en o r f ai ss u f f i c i e n ts m a l l i nt h ei n t e “( o ，1 ) ，t h ei n 捌。fp ”b 搪” ，o ，鲫h a s u n i q u es o l u t i o n ( ) ，s a t i s f y u l o 。( ( o ，1 ) ：h 。( 亚l ) ) ， ( 0 38 ) “x 。b ， 也( u 2 ) ，( 1 一磋) 1 ( 以( 以“) 2 ) x 。扣1 0 m x 。一3 d b 一1 ( o 3 9 ) ( o 3 1 0 ) t h em a i nm e t h o di sb u s e do nt h ea a a l o g o u sa r g u m e n t a sp u tf o r t hb yb o u r g a i n ( 9 】， 1 0 ) i nt h es p a t i a l l yp e r i o d i c c a s ea n dt h ec a u c h yp r o b l e mb yk e n i g ，p o n 。8 a n dv e g a ( 4 2 ， 3 8 ) i nn o d _ p e r i o d i cc a s e c h a p t e r 4 i n 4 8 ， 4 9 a n d 4 7 ，t h er e l a x e d d i r i c h l e tp r o b l e ml u + p “2 ” w u sd i s c u s s e d i ut h ec h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ed e g e n e r a t e r e l a x e dd i r i c h l e tp r o b l e m ， w h i c hm e a n sli sd e g e n e r a t e d ，a n dg e ts o m e r e s u l t s t h em a i nr e s u l t sa x 8 ： t h e o r e mo 4 1 巧，h 一1 ( n ，u ) ，a n de x i s tw h 1 ( n ，u ) nl 2 ( n t p ) ，s u c ht h a t w g h 1 ( n ，u ) ，t h e n “2 2 ，h a so n ea n do n l y o n ew e a ks o l u t i o n i na d d i i 。“， y j eh a v eu h 1 ( n ，u ) n l 2 ( q ，_ 【正) ，a n d 以叫助ra n y h 6 ( n ，u ) nl 2 ( n ，p ) ， n ( u ，”) + 以“”舢= ( ，”) ， 俐t h e r ee x i s t sac o n s t a n tg d e p e n d 。n 幻o nn ，a a n du ，s u c ht h a t | l 札i | h - f n 一) + i i 札l l l 。( n ，“) sc ( 1 l l l h 一- ( n ，u ) + i i w i l h t ( n ，u ) + i i w l l l 。( n ，肛) ) t h e o r e mo 4 2i f “5 纠h o l d s ，t h e nz o 诂bw i e n e ”p o i n t ，铲a n do 忆培矿z o 拈如8 r e g u l a rd i r i c h l e tp o i n t0 npa n d l t h e o r e m0 4 3 巧p m 子( n ) ，a n d ui st h es o l u t i o no f 旃ee q u a t i o n r j 工u + p “= 一d 1 7 ( g ) ， i n n ( o 4 1 ) i = 0 ， o na n ， eh a v e 例巧i g l u l m ( n ，1 ) ，m 拳，c b 0 0 5 ea si n 2 1 l e m m ap 2 ，a n dp ”p e t t y 4 ，t h e nu l ( n ，u ) n l ( n ，p ) ，a n d u m ) 圳u 札。m ) s c l l l g l u l l l 。i n ，。) ， ( o 42 ) w h e r eci si n d e p e n d e n $ 。乱乜8 耐擘j 一一z fi g l l 。( n ，w ) ，25m j 丐，t h e n 札l m ( n ，u ) nl ”( n ，p ) ，a n d w h e r e u l j l ，“( n 。1 + “ l ，( n ) g 9 1 u l l m ( i w ) ， ( 0 , 4 - 3 ) m 。= 一 l a n dci si n d e p e n d e n t 。# 。g ( 1 一熹弦 p3 而 致谢 我要感谢我的导师。首先，我衷心感谢导师王斯雷教授的谆谆 教诲和辛勤指导，使我顺利完成了学业，王老师严谨的学风和渊 博的学识使我获益匪浅，定将对我今后的工作和学习产生深远的 影响。同时，也感谢王师母对我的关心和帮助。其次，我衷心感谢 导师陈杰诚教授对我在学习和生活上的帮助，使我得以顺利完成 学业。也对陈师母徐老师几年来的关爱和帮助表示感谢。 同时感谢浙江大学西溪校区数学系的各位老师及资料室的工 作人员对我提供的帮助。感谢王衡庚博士、陶祥兴博士、刘宗光 博士，杨益民博士，贾厚玉博士、金永阳博士等各位师兄对我的 帮助。与孙永忠、陈晔憨、应益明、王梦、郭新伟、章志飞等同学 经常的讨论和交流，使我受益匪浅，在此一并致谢。 最后感谢我的家人和亲戚。感谢父亲的教导，母亲的关爱， 及他们在经济上的支持。感谢我的在杭州的姨父和姨母一家的关 心。还要感谢我的哥哥，嫂子等对我的关心和帮助，侄子的童稚 给我带来的快乐。还感谢其他亲戚的关心和帮助。 第一章 一类色散方程的l p b e s o v 估计 1 1 引言 自由s c h r 6 d i n g e r 方程的初值问题( i v p ) ( z ，t ) r “r ， ( 1 1 1 ) “( 。，t ) = ( s ，) ( z ，f ) = ( t ) m ) = 上。e ”5 剐2 瓜) 叫， ( 1 一l ，2 ) ，( f ) = e - i 。，( z ) 血，f m “， j r “ 。ot。u。，-。，ip：(d，。)。u，=。(z1)l“l c - 。， 这里d = ( o h 一，巩) ，如= 矗，j = 1 ，2 ，n ，p ( d ) 由是其特征所定义的，即 p ( d ) ，( z ) = e 缸印( ) ，( f ) 世 ( 114 ) 0 ) = 扛 ， = z ) l r 0 u 0 仇 呱 ，llfl，、l【 利用p l a n c h e r e l 定理，可以知道对于任何，( z ) h 5 ( r “) ，有w ( ) ，( z ) hs ( r ，。) ， 反之也对所以w ( t ) 是h 8 ( 鼠”) 上的单位酉群，这里s r 因此从可微性角 度看w ( t ) 是不存在任何整体的正则性，即可微性指标的提升不过，从别的 角度看，是存在某种类型的正则性 对于( 1 1 1 ) ，一方面，从可积性指标提升来看，rs s t r i c h w a r t z 在f 5 9 1 中 证明了：若z l 0 l 2 ( r ”) ，则“( z ，t ) = ( t ) “o 对。e t 属于l 2 + ：( 凰“) ，更确切 地，有以下的定理： 定理1 1 1 设“( 。，t ) 是n j j 的解，则 ( l 小，t ) 2 ( 2 + n ) 2 d z d t ) 州2 m + 2 se i i 1 1 睁 定理可以在f 5 9 1 中找到 另一方面，尽管从整体上讲没有正则性，但从局部来看，是存在可微性的 提升的这个工作起源于t k a t o 在【3 3 】中关于k d v 方程的研究在 1 5 】中， c a n s t a n t i n 和s a u t 证明了，若方程( 1 1 3 ) 的特征p ( f ) 在无穷远处与“的行 为一样，则( 1 1 3 ) 的解u ( z ，t ) 满足 上t 也r t ( i 一) m _ 1 v 2 “( ，t ) 1 2 捌兰e ( e 冠，1 1 1 1 l ：) ( 5 ) 此类估计不仅可用于非线性色散方程定解问题的研究，还可以用来改进著名 的c a r l e s o n 猜测所谓c a r l e s o n 猜测是l c a r l e s o n 在 1 7 中提出的问题：要 使当t 一0 时，u ( 。，t ) 一，( z ) 对a , e z 都成立，( z ) 的正则性至少是多少? 或者，要使局部极大算子 ( ，) ( 2 ) = s u pi ( s ，) ( 2 ，) l( 1 1 6 ) 1 是局部可积的，的正则性至少是多少? 这个问题在一维的情形已经彻底的 解决c a r l e s o n 在 1 7 中得到以下结果 定理1 1 2 设u ( z ，t ) 是初值问题仁1 1 ，在n = 1 时的解，若，h ( r ) ，则 u ( z ，t ) = m ) ， z - ( 1 - 1 7 ) 2 而d “h b e r g 和k e m g 在【1 9 】中证明了3 = 1 4 是最佳的但对高维的情形，尽 管有许多的部分结果，参考 7 】 1 6 ， 5 5 和 6 2 】但基本上还是公开的问题 s f u k u m a 和t m u r a m a t u 在 2 5 】中讨论了( 1 13 ) 解的一b e s o v 空间估 计，其中尸( f ) = “，具体的结果参考 2 5 】中的t h e o r e m3 和t h e o r e m4 ，本章 讨论以下的色散方程 。ot。u。，-。，isq：(d，。)。u，i。1(z，t)l“l， “( 。，t ) = ( 最z ，) ( 。，) = 岛e 啦训删m ) d f 曲 f 1 1 8 1 ( 1 19 ) 的一些范数估计，其中n 2 ，n 是径向函数 在给出本章的主要结果之前，先给出一些本章将要用到的记号和约定 5 ( b “) 表示s c h w a r t z 函数类，5 ( r “) 表示s ( m “) 的对偶空间w ：( m n ) 表 示r “上的s o b o l e v 空间，其中p 是可积性指标，s 是可微性指标，其范数用 ”l i ( r n ) 表示而当p = 2 时，我们用h 。( p ) 表示，其范数用忆表示 b ；。( r “) 表示b e s o v 空间，具体定义为： 设垂5 ( p ) ，满足 s u p p 曲= 代r “：2 _ 1s s2 ， 对2 。 吲 0 ， 对f 0 ，( 2 “f ) = 1 ， 定义，机( f ) = 妒( 2 一f ) ，其中自= 0 ，士l ，土2 ，v ( f ) = 1 一是1 ( 2 一f ) 设 s l ，1 p ，口s0 0 记 怕圹1 1 妒* f l p + ( 静纠忆矿 ( 1 。) 所谓b e s o v 空间刀南定义为 彤s 口= ，：，5 ，m 慨。 。) ( 1 11 1 ) r - ”( r ，x ) 表示x 值的l e b e s g u e 空间，其中p 1 聪l ! 表示p ( 毗；( i ，。) ) ，其 中皿，z r “设，= ( 0 ，t ) ，l p i 。q 表示l p ( i ；l a ( r “) ) a 表示多重指标， n = ( n 一，a 。) ，a 是非负整数，a 的长度川= ；：1a j ，吼= o o t 一产a a z i o 。= 凳，妒 本章的目的是：( 1 ) 获得不同于 2 5 】的b e s o v 极大估计；( 2 ) 利用其中 的引理推广 2 5 中的t h e o r e m3 和t h e o r e m4 以下给出本章的主要结果： 定理1 1 3 若n ( f ) = 6 ( 吲) ，即n 是径向函数，定义算子t 为 ( t ，) ( 州) = e i ( - v h 删) m ) d c d y 令7 的取值范围为 0 2 n - i , 当n ：2 、 10 0 ，使得 咿刘l ! l 尹c i l f l i b ：7 - 十1 ) ，。 定理1 1 4t 是从彤。，p ：到l 产l 警上有界的，这里5 = 口( + 1 ) 1 1 一丹0 1 i 一0 011 00 p at + p 一一p 2t + _ i 五2t + i ， 而0 口1 更确切地，存在常数c 0 ，使得 归州l 产哮c l l f l l s ：。： 定理1 1 5 若n ( f ) = 6 ( ，而且在去掉一个含原占、的邻域后，l 伊n ( ) l g 蚓。一这里a 是多重指标+ 则t 是b 寸1 + 1 ”7 4 到瑶l f 上有界的，更 确切地，存在常数c = g ( n ，n ，7 ) 0 ，使得 i t 州碡毕c i i f l l s l 7 叫 ( 1 1 - 1 5 ) 4 他 坞 h l 1 l u q n 定理1 1 6 在定理j 5 的条件下，设 忆扎1 11l 盯= i + i l 互一；l 则t 是搿1 + 7 p 到域l f 上有界的，更确切地，存在常数g ：c ( n ，。，1 ，p ) o ， 使得 l i t 刑l 扎产c i i i i l b * - 一 ( 1 l 1 6 ) 注i i 1 容易验证n ( f ) = 。，a 1 满足定理1 5 中的条件同样的，可以 验证 n ( f ) = n 1 代) + + q b ( f ) ， 其中n ( f ) = 。j 吲“，1 a l n ，且c j o ，j = 1 ，b ，也满足定理j1 5 的条件 本章安排如下：在第二节中，给出几个有用的引理，在第三节中证明一个 重要的引理，在第四节中逐个证明第一节的定理 1 2 基本引理 这节给出一些有用的引理先给一个复插值引理，见6 1 引理1 2 1 设0 日 1 ，s ，s o ，s 1 ，p ，p o ，p 1 和g ，口o ，口1 ，满足以下条件： s = ( 1 0 ) 8 0 + 8 8 1 ， 11 一日011 00 一+ 一，一+ 一 pp op 1g如9 1 则当。o s l ，1 p o , p 1 ，如，9 1 时， ( 彤：。，彤：仉) 。= 彤，。 设0 d n 、令 w ) ( z ) ：高二。卜圹叫州g ， ( 1 21 ) 其中 7 ( ) = 7 v n 2 2 。r ( a 2 ) r ( n 2 一d 2 ) l 。是r i e s z 位势关于r i e s z 位势有以下重要的h a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e v 引 理，见 5 7 ( p 1 1 9 ，t h e o r e m1 ) 5 引理1 2 2 设0 。 n ，1 p 0 ， 嘶：叫 岖( 华) 。， 即映射，一厶( ，) 是弱型f 1 , q j 的，( t q = 1 一“胁j ， 下面我们给出b e s s e l 函数的定义和它的一些性质 首先，给出b e s s e l 函数k 的定义， 州r ) _ 去小挑峨“，0 z 3 ) 其中m 是整数m 为实值的b e s s e l 函数定义为，当m 一l 2 时， 抛) = 器p 电_ f 2 2 把 ( 1 z t ) 下面给出若干b e s s e l 函数的性质 引理1 2 3 ( i ) 设n 2 ，k 0 和0 0 ，不依赖k 和t 0 ，使得 i j k 2 ( t ) l c 。 ( 1 26 ) 这个引理可在 2 9 中找到另外，对于固定的m ， ( r ) a r ( 1 2 7 ) 设s ”1cr ”是单位球壳，n 2 ，设d 口是r n 上的l e b e s g u e 测度在扩一1 上诱导出来的测度则d a 的f o u r i e r 变换 矗( ) 2 五e _ 2 协d 一( z ) 有以下的表达式 品( f ) = 2 ”2 ) 2 j ( 。一2 ) 2 ( 2 ”，( 12 8 ) 且有以下的渐近性质 i 品( f ) i = o ( 刚1 一”) 2 ) ( 12 9 ) 下面给出振荡积分的一个引理，证明见 2 5 引理1 2 4 设庐c 铲( l “) ，妒在支集的一个邻域上是c ”函数假设对任 意z s u p p 和多重指标n ，i v 妒l c ，l 伊妒l 茎c 么l v 妒 则对于任意9 - 整数，n ， e 坤。妒( 。) d z i 1 1 1 1 l t s c 2 十2 m ) e 一2 | | 毋i l w p t ( 1 - 2 1 0 ) 这里c 。( n ) 是仅依赖n ，m 和 以k 1 。 再给出一个基本引理，证明参考 6 引理1 2 5 存在函数es ( r “) ，满足 s u p p 庐= f 矾”：2 _ 1 茎茎2 ) ； 1 3 重要引理 当2 1 0 对0 ，妒( 2 山f ) = 1 j b = 一o o 在这节中证明一个引理，它将在下一节定理的证明中用到， 引理1 3 1 设 k n , t ( 啦酬加e i z t + i r b 化”妒( 专) 心 ( 1 3 1 ) 径向函数妒c “( 珉，) ，o 币1 ，s u p p 母e p ：1 4 l i 4 ，n 1 ，m 1 1 ( i ) 我们有 i k n ( = ) i 茎c , l z l 一“2 + 1 ”2 “， ( 1 3 2 ) 7 若取0 1 1 时，由厶( r ) 的渐进性：l 如( r ) 茎c r - 1 2 ， 4n(j。，)一，jdr：。排；1isl i ， j l ( j 2 ”) 畸j 8 = 。n 排p i ， 所以 i k n ( z ) i g ；l z | 一；* 对k u ( z ) 作变量替换蚓r r ，我们有 。z”(izir)2一n)2(2_n)2eitbkn(z)=c j ( r ) 妒( 斋) , r n - - 1 d 0 r 。( i zr ) o 一) 门( 妒喜) r jy - c n i ”o o e i t b ( j 0由) ) 2 母( 南) 南rv l w i = c 。i 。i 8 利用( l 2 3 ) 有 上r 1 _ 2 j 2 ( 刊2 d r c ， 我们有以下估计， i 删茎z “疗j ( 。- 2 ) 1 2 ( 棚( 南) “ 茎( 卜w 卜：脾阳r ) ( ) ； c ，。( l z 俨+ 1 + 1 ) 2 ， 所以 l 硒，( 。) i 巩( “+ 1 + - y ) 1 2 i x l ( 一“+ 1 + 们2 引理1 3 2 设径向函数c 。( 皿“) ，0 毋l ，s u p p 庐 z 皿n ：i z i 茎2 ，设 凰( z ) = e b 抖圳岷f ) 世 我们有 i k i ( = ) i 川一；十1( 1 34 ) 知 i k l ( z ) l c 。一“+ 1 + 1 ) 2 ( 135 ) 注1 3 1 由引理1 3 1 和引理1 3 2 ，令7 的取值范1 1 i 为 f o 7 s 。一1 ，当。：2 ， lo 1 扎一1 ，当n 3 ， 则我们有 l 琊，( z ) i ( ”+ 1 + t ) 2 刚一“+ 1 + 1 ) 2 ， 釉 j 露1 ( z ) l i g n 一“+ 1 + 】2 因为当n 2 时，7 = 1 ( n 一1 ) ，所以f 3 纠包含于p 3 别，而以? 训包含 哥( i 3 5 ) 而当n = 2 畸l ? 3 ，2 ) 是( 1 s 3 ) ( i ? 3 ) 是( 17 3 5 ) 的端点嫱彤 9 推论1 3 1 设径向函数曲，妒c o o ( r “) ，s u p p 妒c f 皿_ l 4 4 s u p p $ c e r n ： 1 ) ，t ( z ) 为取值于r 的可测函数，令 蹦班一“州啪惟”妒( 熹) 心