（基础数学专业论文）fréchet空间中的向量值ekelands变分原理及其等价定理.pdf

f r 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定 中文摘要 中文摘要 本文通过改进p h e l p s 的方法，利用g e r s t e w i z 函数，在f r 4 c h e t 空间的框 架下，给出了取值于局部凸偏序向量空间中的向量值函数的e k e l a n d s 变分 原理的两种形式，其扰动项包含了可数个生成半范作为其应用，给出了 向量优化中关于精确有效解的一个结果由此向量值变分原理推导出向量 值的c a r i s t i s 不动点定理和向量值的t a k a h a s h i s 极小点定理，同时证明了三 个定理的等价性随后应用上述结论讨论变分原理中端点的稠密性问题 通过拓展和改进c a m m a r o t o 和c h i n n i 的方法，得到关于向量值变分原理的 端点稠密性结果，这推广并改进了已有的结果，进而获得了相应的c a r i s t i s 不动点和t a k a h a s h i s 极小点的稠密性最后，利用函数序列( ) n ( 其中 ： 0 ，) _ 1 0 ，) 为次可加，非减的，下半连续函数) 得到上述结果的更 一般的推广 关键词：f r 6 c h e t 空间；e k e l a n d s 变分原理；c a r i s t i s 不动点；t a k a h a s h i s 极 小点；端点 作者：杨心情 指导老师：丘京辉( 教授) av e c t o r i a le k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e i t se q u i v a l e n tt h e o r e m sa b s t r a c t av e c t o r i a le k e l a n d sv a r l a t i o n a ld r l n c l d l e i nf r d c h e ts p a c e sa n di t s 1 e q u i v a l e n tt n e o r e m s a b s tr a c t i nt h e 丘a m e w o r ko ff r d c h e ts p a c e s ，b yi m p r o v i n gt h em e t h o d so fp h e l p sa n du s i n g g e r s t e w i zf u n c t i o n ，w eg i v et w ov e r s i o n so fv e c t o r i a le k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e c o n c e r n i n gv e c t o r - v a l u e df u n c t i o n s ，w h i c ht a k ev a l u e si np a r t i a lo r d e r e dl o c a l l yc o n v e x s p a c e sa n dt h ep e r t u r b a t i o no ft h ep r i n c i p l ec o n t a i n sc o u n t a b l eg e n e r a t i n gs e m i - n o r m s a st h e i ra p p l i c a t i o n ，w eg i v ear e s u l to fs h a r pe f f i c i e n ts o l u t i o ni nv e c t o ro p t i m i z a t i o n f r o mt h ev e c t o r i a lv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w ed e d u c et h ev e c t o r i a lc a r i s t i sf i x e dp o i n t s t h e o r e ma n dv e c t o r i a lt a k a h a s h i sm i n i m i z a t i o nt h e o r e mo nf r d c h e ts p a c e s ，a n dp r o v e t h ee q u i v a l e n c ea m o n gt h et h r e et h e o r e m s t h e nw ea p p l yt h ea b o v er e s u l t st od i s c u s s t h ed e n s i t yo fe x t r e m a lp o i n t si nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e b ym o d i f y i n ga n dd e v e l o p i n g t h em e t h o do fc a m m a r o t oa n dc h i r m i ，w eo b t a i nan u m b e ro fd e n s i t yr e s u l t so n e x t r e m a lp o i n t so ft h ev e c t o r - v a l u e dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w h i c he x t e n da n di m p r o v e t h er e l a t e dk n o w nr e s u l t s f u t h e r m o r e ，w ed e d u c et h ed e n s i t yr e s u l t so fc o r r e s p o n d i n g c a r i s t i s 缸e dp o i n t sa n dt a k a h a s h i sm i n i m i z a t i o np o i n t s f i n a l l y , u s i n gt h es e q u e n c e o ff u n c t i o n s ( 妒n ) n ( h e r e 垆n ：【0 ，o o ) _ 【0 ，o o ) i sa s u b a d d i t i v e ，n o n d e c r e a s i n ga n d l o w e rs e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n ) ，w eo b t a i nm o r eg e n e r a le x t e n s i o n so ft h ea b o v er e s u l t s k e y w o r d s ： f r 6 c h e ts p a c e ；e k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ；c a r i s t i sl i x e dp o i n t s ； t a k a h a s h i sm i n i m i z a t i o n ；e x t r e m a lp o i n t i i w r i t t e nb yy a n gx i n q i n g s u p e r v i s e db yp r o f q i uj i n g h u i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：扬止! ! ) ：高日期：型皇2 兰，2 三 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盘自丛21 l 盎 日 期：趔皇! ：2 三 导师签名f 蝉日期：姒 f r d c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定理 1 引言 1 引言 e k e l a n d s 变分原理是非线性泛函分析中的重要结果自e k e l a n d 【1 , 2 ，3 】在 1 9 7 2 年给出关于带扰动的下半连续函数取严格极小值的经典e k e l a n d s 变分 原理以来，由于其在数学分析，非线性泛函分析，凸分析及向量优化理论等 各种领域的广泛应用，许多作者分别在不同方面进行了一系列关于e k e l a n d s 变分原理的推广和等价形式的研究，得到了一系列的结果，如【4 】- 【2 5 】及其 中的参考文献特别地，p h e l p s ( 见 6 ，引理3 1 3 ) 利用b i s h o p 和p h e l p s 锥引 理给出了b a n a c h 空间中如下的e k e l a n d s 变分原理 定理1 1 ( f 6 】，引理3 1 3 ) ，设( x ，”1 1 ) 为b a n a c h 空间，：x 一兄u o o ) 为下半 连续，下有界的真函数设知d o m f ，e 0 ，且( x o ) i n f x ，+ e 则对任意 a ，0 入 ，( 名) ，v 叠x ，z z ) 玩称为，的一个a 一端点显然由定理1 1 ( i i i ) ，e 。入o c a m m a r o t o 和 c h i n n i 1 i 】和i s a c 【1 5 】最早考虑了端点的稠密性c a m m a r o t o 和c h i n n i 【i i 】还 给出了端点集的凸包在x 中稠密( 即x = c l ( c o n v ( e l , a ) ) ) 的一个充分条件 在 2 0 ，【2 2 】中，q i u 通过拓展p h e l p s 的方法，得到了n 6 c h e t 空间( 即；完备 的可数半范局部凸空间) 中的e k e l a n d 7 s 变分原理 定理1 2 ( 【2 2 ，推论2 1 ；较简单的形式可见【2 0 ，定理1 ) 设( x ，丁) 为f r 6 c h e t 空 间，其拓扑由递增半范序列，25 所生成设，：x _ 冗u o o ) 为 1 p r 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定理 1 引言 下半连续，下有界的真函数设z o d o m f ， 0 ，且f ( x o ) ，( z ) n 进一步，在扰动项涉及可数个生成半范的次可加函数的情况下，q i u 给 出了如下形式的变分原理及其端点的稠密性设妒：【o ，o 。) _ 【0 ，o o ) 为次可 加，非减的，下半连续函数，使得v ( o ) = 0 ，且妒( s ) 0 ，v s o ；设圣为所有 这类函数的集合这类函数的例子见【2 2 】这里的函数类圣比【2 2 】中的更广 泛，但这不影响 2 2 】中原来的结果 定理1 3 ( 2 2 1 ，定理2 1 ) 设( x ，丁) ，( n ) n ，f ，e ，如同定理1 2 ( ) 竹c 圣则 对任意i n ，存在z d o m f ，使得： ( i ) 仍( 1 l z x 0 1 1 j ) f ( z o ) 一，( z ) ， 对于j = 1 ，2 ，i ； ( i i ) 仍( 1 l z x o l l j ) ，( z ) 特别地，若( s ) = a , s ，s 【0 ，o 。) ，其中k 0 为常数，则得到定理1 2 如上，z 称为，的一个( k ) 一端点，若对于任意z x ，z z ，存在仇n 使入m i i z z i l 仉+ f ( x ) ，( z ) 令 。 刀l ( h ) ：= z x ：( x ) + s u pa n i l z z t l 靠 ，( 名) ，v x x ，z z ) 而且在 2 2 】中，q i u 提出了使得x = c l ( c o n v ( e , ( a 。) ) ) 的一个新条件实例表 明( 见【2 2 】，例3 1 ) 即使在有限维b a n a c h 空间，新的条件也严格弱于【1 1 】的 2 n 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定理 1 引言 条件，因此它不但推广而且改进了【1 1 中的稠密性结果但是，q i u 并没有 给出定理1 3 型变分原理中的端点稠密性结果我们注意到：在定理1 3 型 的变分原理中，其扰动项涉及到更一般的函数序列( ) n c 西，而定理1 2 型正好是妒n ( s ) = k n s ，s 0 ，+ o o ) 的特殊情况故定理1 3 型变分原理中端点 稠密性的研究更为复杂在【2 2 中，q i u 还给出如下形式的f r 6 c h e t 空间上 的c a r i s t i s 不动点定理 定理1 4 ( 【2 2 】，定理4 1 ) 设( x ，丁) 为f r 6 c h e t 空间，其拓扑由递增半范序列 z 所生成设，：x ru o 。) 为下半连续，下有界的真函数 设t ：x _ x 为多值映射，且满足条件( c 1 ) ：对每个z x ，存在y t x ，有 f ( y ) - - 妒- ( i l y 一= 1 1 n ) ，( 。) ，讹 则存在z x ，使得z t z 若对于任意z x 和任意y t x ，都有上式成 立，则 名) = t z 在 2 2 】中，q i u 未曾论及相应的t a k a h a s h i s 极小点定理其实，由定理 1 3 我们也可以得到如下形式的f r 6 c h e t 空间上的t a k a h a s h i s 极小点定理，它 是第4 节一个更一般结果的特例 定理1 5 设( x ，丁) 为f r 6 c h e t 空间，其拓扑由递增半范序列1 | l i l 2 所生成设，：x _ 冗u i n f = x ，( z ) ，都存在口x ，口u ，使得： ，( 秒) - - ( | l 秽一让i | n ) ，( 让) ，v n 则存在z x ，使得f ( z ) = i n f z x ，( z ) 近年来，在多目标决策和向量优化理论中，偏序空间中的变分方法发挥 了重要作用，例如见【2 6 ，2 7 特别地，研究向量值函数的e k e l a n d s 变分原 理引起了人们的兴趣，例如见【2 6 - 3 5 】及其中的参考文献许多作者考虑了 这些定理在有限维和无限维空间的推广( 见【1 4 ，2 8 ，3 0 ，3 2 ，3 4 及其中的参考文 献) t a m m e r 【3 1 】也提出了向量值的c a r i s t i s 不动点和t a k a h a s h i s 极小点定 理a r a y a 【3 5 】给出了定义于完备度量空间，取值于由闭凸锥生成准偏序的 b a n a c h 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理，并导出了相应的c a r i s t i s 不动点 和t a k a h a s h i s 非凸极小化定理，而且证明了三个定理是等价的在这篇文章 3 f r 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定理 1 引言 中，我们首先给出定义于f r 6 c h e t 空间上，取值于由闭凸点锥生成偏序的局 部凸拓扑向量空间中向量值函数的e k e l a n d s 变分原理的两种形式( 一种形 式是处理序锥为体锥的情况，而另一种是处理一般序锥的情况) ，其扰动项涉 及到可数个生成半范，它将f r 6 c h e t 空间上数值函数的e k e l a n d s 变分原理推 广到向量值函数作为应用，我们给出精确有效解的一个结果，它推广和改 进了b e d n a r c z u k 和p r z y b y l a 的定理( 见【3 4 】，定理4 1 ) 其次由所获得的向量值 e k e l a u d s 变分原理，推导出相应的c a r i s t i s 不动点和t a k a h a s h i s 极小点的定 理，进而证明了三个定理的等价性随后应用上述结论，讨论了向量值变分 原理的端点稠密性问题，相应地得到c a r i s t i s 不动点和t a k a h a s h i s 极小点的 稠密性结果最后利用函数序列( ) n ( 如前所述) 得到更一般性的结果特 别地，当向量值函数为数值函数时，我们得到了定理1 3 中e k e l a n d s 变分原 理的端点稠密性定理，从而解决了文【2 2 的遗留问题因为【2 2 】仅对于定理 1 2 ( 即：= k s 的特别简单的情况) 中的端点解决了稠密性问题，故本文的 结果较大地推广和改进了q i u 【2 2 】和c a m m a r o t o 和c h i n n i 【1 1 】的结果总而 言之，本文在f r 6 c h e t 空间的框架下，把e k e l a n d s 变分原理，c a r i s t i s 不动点 定理和t a k a h a s h i s 极小点定理从数值形式推广到向量值形式，并给出其在 向量优化中的应用；而且其中关于端点，c a r i s t i s 不动点，t a k a h a s h i s 极小 点的稠密性结果，即使在数值函数的情况下，也是已有结果( 例如见【1 1 ，2 2 】) 的推广和改进 本文的主要结构如下：第2 节，介绍向量优化的一些基本定义和g e r s t e w i z 函数的定义和性质第3 节，给出在f r 苣c h e t 空间的框架下，关于向量值函 数的e k e l a n d s 变分原理的两种形式及在向量优化中的应用第4 节，推导 出相应的向量值的c a r i s t i s 不动点和t a k a h a s h i s 极小点的定理，并证明了 三个定理的等价性第5 节，讨论了关于向量值变分原理的端点，c a r i s t i s 不动点和t a k a h a s h i s 极小点的稠密性问题第6 节，利用函数序列( 妒n ) n 给出更一般化的向量值函数的e k e l a n d s 变分原理，c a r i s t i s 不动点定理和 t a k a h a s h i s 极小点定理，进一步给出了该一般变分原理中端点，对应的不动 点和极小点的稠密性结果 4 眦c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定理 2 预备知识 2 预备知识 本节给出向量优化的基本概念和非线性标量化函数g e r s t e w i z 函数的 基本概念及性质，可见参考文献 2 6 ，2 7 2 1 向量优化的一些概念 设y 是可分离的局部凸拓扑向量空间( 缩记为1 c s ) ，y 表示y 的拓扑对 偶空间集合acy 的拓扑闭包，拓扑内部，拓扑边界分别记为c l a ，i n t a ，o a 设kcy 为一非空子集，若k 满足：( i ) c l k = k ；( i i ) k + kck ； ( i i i ) 入kck ，入【0 ，o o ) ；( i v ) kn ( 一k ) = o ) 则称k 为闭凸点锥而且若 i n t k d ，则称k 为实体的 给定y 中的非平凡闭凸锥k ，即k _ 【o 】，且k y 由k 可确定y 中准 偏序k 如下： y l ky 2 兮y l y 2 - k ，1 ，y 2 y 显然，对于每个y ky k 可；对于y 1 ，y 2 ，y 3 y ，若y 1 - 一o o 又k o k ，故0 k o k ， 即：靠o ( o ) 1 0 时， 矗。( q 可) ：= m f t r ：a y t k o 一) = i n f _ 【t r ：秒兰七。一k ) = 耐 ( q p ) r ：y p 妒一k ) = c t i n f # r ：y p 七。一k ) 故有& 。( 口可) = q 如( 掣) 若知( o o ) = o o ，我们规定0 o o = o ；口o o = o o ，比 0 则可知知( 口秒) = a k o ( y ) 对任意y y 和任意q 0 都成立 设秒1 ，y 2 y ，并设k o ( y 1 ) 0 0 ，。( 耽) 0 0 由注2 1 可知：y l 。( 掣1 ) 七。一 k ，y 2 白) 七。一k ，那么 y 1 + y 2 ( 矗o ( 可1 ) + 靠o ( 抛) ) 七。一k k = ( 靠o ( 可1 ) + 靠。( 耽) ) 尼。一k 故有缸( y 1 + 耽) 如( y 1 ) + 如( 妇) 若靠。( 夕1 ) ，缸( 耽) 有一个为o o ，则结论显然 这就证明了厶。为正齐性，次可加函数 ( i v ) 设y 1 k 抛，贝0 可1 一y 2 一k ，即k o ( y l 一抛) 0 故 & o ( 爹1 ) & o ( 纨一钝) + 厶o ( 轭) 缸o ( 抛) 。 ( v ) 易见，对于入，q r ，可+ a 舻a k 0k 铮y ( q 一入) 尼o k ，故靠o ( 可) = + o 。 当且仅当o + 入胪) = + o 。 以下不妨设缸( 可) + 0 0 ，缸匆4 - a k o ) = t l ，靠。( 秒) = t 2 ，那么有夕+ 入驴 h k o k ，贝l jy ( t 1 一入) 七。一k ，于是有 & o ( 可) = t 2 t 1 一a ( 2 1 ) 反之，y 亡2 驴一k ，则y4 - a 妒( t 2 + 入) 舻一k ，于是有 矗o ( 可+ a o ) = t 1 t 2 + 入 ( 2 2 ) 7 f r 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分原理及其等价定理2 预备知识 结合( 2 1 ) ，( 2 2 ) 得：亡1 = t 2 + a ，即靠。( y + a k o ) = & o ( y ) + 爻 口 通过修改( 【2 6 】，推论2 3 5 ) 和( 【2 7 】，命题1 4 3 ) 的方法，我们得到如下引 理与【2 6 ，2 7 】不同的是，我们这里不需要假设i n t k o ，而且也不必假设 k o i n t k 引理2 2 设kcy 为非平凡闭凸锥，k o k ( 一k ) ，则色。有以下性质： ( a ) k o ( y ) r 兮y 譬r k o 一蟛 ( e ) k o ( y ) r 甘y 譬r k o 一 ( o ，o o ) k o + 刚 证明( a ) 若缸o ( 秒) r ，那么存在r ， r 使得 y r k o k = r k o 一( r 一，) 忌。一kcr k o 一【( o ，o o ) k o + 困 反之，若y r k o 一【( 0 ，o o ) k o + 卅，那么存在0 0 使：一e k o k ，故e k o + k 。这就证 明了 i n t kc ( 0 ，o o ) 七o + k ( 2 4 ) 由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 我们知：( 0 ，) 妒+ k = i n t k 从而可知( a t ) ( e ) 成立 又由引理2 2 的( n 7 ) 和( ) 知 y y ：。( 可) r ) = 妇y ：y ( r k o 一) 。) 也为开集，故 可y ：r 靠o ( 可) 0 ，f ( x ) n ( f ( x o ) 一g k o k ) = 0 事 实上，若存在z x ，使得，( z ) i ( x o ) 一e 舻一k ，那么 ，( z ) = i ( x o ) 一e 忌。一( 一一e ) 七。一kcf ( x o ) 一七。一k o ) 此与假设f ( x ) n ( f ( x o ) 一e k o k o ) ) = o 相矛盾这样对于任意z x ，f ( x ) 隹 ，( z o ) 一，七。一k ，即f ( x ) 一f ( x o ) 聋一e k o k ，那么由弓i 理2 2 7 ( d ，) 知： 靠o ( 厂( z ) 一f ( x o ) ) 一7 一 ( 3 1 ) 又由x 0 d o m f ，k o i n t k 知：如( 一f ( x o ) ) 有限，故由靠。的次可加性知： & o ( ，( 。) ) k o ( f ( x ) 一f ( x o ) ) 一k o ( - f ( x o ) ) ，一e 一k o ( - f ( x o ) ) 一o o 即知of 是下有界的 口 弓i 理3 3 若x 0 d o m f ，忌o k ( 一k ) 使得f ( x ) n ( ，( z o ) 一忌0 。一k o ) ) = 0 ，贝| j 函数zh k o ( f ( x ) 一，) ) 是下有界的 证明由已知和引理3 2 中证明可得：任意一 0 ，i ( x ) n ( y ( x o ) 一e 7 k o k ) = d ，从而对于任意z x ，f ( x ) 譬，( 知) 一7 驴一k ，即f ( x ) 一f ( x o ) 岳一e 7 驴一k 那 么由引理2 2 ( d ) 知： k o ( f ( x ) 一f ( x o ) ) 一一( 3 2 ) f r 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分3n 6 d l e t 空间的向量值e k e l a n d s 变分原理 即函数zh 七o ( ，( z ) 一f ( x o ) ) 是下有界的 口 3 2 第一个主要结果：麟c h e t 空间中向量值e k e l a n d s 变分原理的两种形式 首先我们考虑序锥k 是实体的：且后o i n t k 的情况 定理3 1 设( x ，丁) 为n 眺e t 空间，其拓扑由递增半范序列，2 所生成( 例如，见 3 6 ) ，y 为1 c s ，赋予由非凡闭凸点锥x 所确定的偏序k ， k o i n t k 设f ：x _ p 为拟下半连续的真函数，z o d o r a ，存在 0 ，使 得f ( x ) n ( ，( 知) 一e k o k _ 【o ) ) = 0 设( a n ) n 为正实数序列，则存在z x 使得： ( i ) 入n i i z 一= o l l n 七o + f ( z ) kf ( x 0 ) ，； ( i i ) 一= o l i n e 入n ，v n ； ( i i i ) 若有z x ，使对于任意乳n ，有k 忙一z i l n 七o - f - f ( 。) ，( 名) ，则z = z 证明令 岛：= 。x ：a n l l = 一x o i i n k o + ，( z ) ，( z o ) ，v n 显然，z o s o ，且由，为拟下半连续及引理3 1 知：岛为可数个闭集之交， 仍为闭集故岛为非空闭集由( x ) n ( ，( 勋) 一e k o k 【o ) ) = d 及引理3 2 知：& oo ，为下有界，故易见 一o o i n 。，f k oof o o ，这里，i 蝉缸oo ，：= i n f k o ( f ( x ) ) ：z s o ) 0 00 0 选取z 1 岛，使 知。f ( x 1 ) i 如n f k oo ，4 - 7 沁 令 两：= z s o ：入1 1 1 = 一z l f | l 老o4 - ，( z ) k ，( z 1 ) ) 显然，2 。& 且& 为闭集，故岛为非空闭集选取z 2 岛，使 如。f ( x 2 ) i j n ，f k o 。，+ 参 令 s 2 ：= z 咒：一x 2 1 1 x x 2 1 1 2 尼o - t - f ( x ) 耳f ( x 2 ) ) 1 2 f r 6 c h e t 空间中的向量值e k e l a n d s 变分3l 拍c h e t 空间的向量值e k e l a n d s 变分原理 显然，z 2 s 2 且为闭集，故岛为非空闭集一般地，若s n 一。给定，选 取晶1 ，使 缸。，( ) 拦& 。，+ 而, a n ( 3 3 ) u n j- 令 s k ：= 【z s k 一1 ：h l l z x n i i n 忍o + ，( z ) k ，( z n ) ) 依次下去，我们得到一个递缩的非空闭集序列s o ) s a ) 3 和点列 z o ，z 1 ，z 2 ，使得x nz 1 & ，n = 0 ，1 ，2 ，这样对于任意p n 和任意 n n ，有 却晶切c & ：= z & 一1 ：a n 忙一z n i l n k o + s ( x ) k ，( z n ) ) 因而 入ni i z n + p z 竹l i 住k o + ，( z n + p ) k ，( z n ) 两边以氛。作用，并应用引理2 1 ( i v ) ，( v ) ，有 x 1 l x n + p z n i i 竹+ 靠oo