（基础数学专业论文）一类半线性椭圆变分包含问题的多解性.pdf

_ 、 ， ，： 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年- 月解密后适用本规定。 非涉密论文囱 论文作者签名： 缓：塞 日 导师签名：f 虱杰兰 e t 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 摘要 摘要 本文我们将讨论下述具有非光滑位势的半线性椭圆变分包含问题： c p ，僻如m 牝晰) ：茎曼， 其中q r ( n 3 ) 是具有光滑边界的有界区域，歹( z ，e ) ：q r - - - - - 4 瓜，j ( x ，( ) 关于e 是局部l i p s c h i t z 的，乃( z ，e ) 为e j ( x ，e ) 的广义梯度，c ( x ) l o 。( q ) 问题( p ) 也称为一类半变分不等式问题 近年来，国内外一些学者利用变分方法和临界点理论对具有光滑或非 光滑位势的椭圆变分问题进行了大量的研究在问题( p ) 中，当c ( z ) 为 ( 一，嘲( q ) ) 的某个特征值，问题( p ) 称为共振问题z d e n k o w s k i ，l g a s i n s k i 和n s p a p a g e o r g i o u 等在文献 1 ，2 ，3 】中研究了这类问题解的存在性和多解 性关于非共振情况，即c ( z ) 介于两个相邻的特征值之间时，n s p a p a g e o r - g i o u 在 4 】中利用极大极小原理得到了问题( p ) 廨的存在性结论本文主要 是考虑在非共振的情况下，问题( p ) 的多个解的存在性 本文利用非光滑的临界点理论，主要是局部环绕定理，并借助于还原法， 将问题限制在有限维空间上考虑，证明问题( p ) 在适当的条件下至少存在 两个非平凡的解 关键词：局部环绕； 强制； ( p s ) 条件；包含映射；投影算子 作者：肖荣 指导老师：周育英教授 a b s t r a c tm u l t i p l es o l u t i o n sf o rac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i c a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lb ec o n c e r n e dw i t ht h em u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g s e m i l i n e a re l l i p t i cv a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e mw i t han o n s m o o t hp o t e n t i a l ： c 尸， 等h m a jx ，u ( z ) ) ，z q ， z 0 9 t ， w h e r eq 垦r ( 3 ) i sab o u n d e dd o m a i nw i t has m o o t hb o u n d a r yo n ，j ( x ，e ) ： q r r ，j ( x ，) i sal o c a l l yl i p s c h i t zf u n c t i o n ，o i ( x ，e ) i st h eg e n e r a l i z e dg r a d i e n t ， c ( x ) l 。( q ) t h ep r o b l e m ( p ) i sk l s oc a l l e dt h eh e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m r e e e n t l ym a n ya u t h o r sh a v es t u d i e de l l i p t i c v a r i a t i o n a lp r o b l e m sw i t has m o o t h o rn o n s m o o t hp o t e n t i a lb yv a r i a t i o n a lm e t h o d sa n dc r i t i c a lp o i n tt h e o r y i np r o b l e m ( p ) ，w h e nc ( z ) i sa ne i g e n v a l u eo f ( 一，嘲( q ) ) ，p r o b l e m ( p ) i sc a l l e dt h e r e s o n a n c e p r o b l e m t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l es o l u t i o n so fs u c hp r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e db y m u l t i p l es o l u t i o n sf o rac l a s so fs e m i l i n c a re l l i p t i c a b s t r a c t t h el o c a ll i n k i n gt h c o r y k e y w o r d s ：l o c a ll i n k i n g ；c o e r c i v e ；( p s ) 一c o n d i t i o n ；i n c l u s i 、7 em a p p i n g ；p r o j e c t i v e o p e r a t o r i i i w r i t t e nb yx i a or o n g s u p e r v i s e db yp r o f z h o uy u y i n g 目录 第一章预备知识6 1 1 基本知识6 5 1 2 引理及其证明9 第二章主要结果及证明1 5 问题展望2 3 参考文献2 4 致谢2 7 引言 l 口 变分不等式是一类重要的非线性问 工程学和金融管理科学等具体的 程科学中的问题，它们的模型都是 一些偏微分方程加上适当的边值条件和初始条件，并且是以等式的形式出 现然而更多复杂的物理过程是通过一些变分不等式来描述的 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，在一定条件下，确 定微分方程边值问题的解与确定相应能量泛函的极值点这两个问题可以相 互转化近年来，变分方法( 参见文献【6 ，7 ) 得到了重要的发展，并取得了 许多有重要意义的新结果椭圆变分问题尤其受到人们的关注求解带有 边值的椭圆方程可以转化为求相应的能量泛函的极值点这里需要应用一 些基本的理论知识，比如泛函分析，非线性泛函分析，临界点理论，包括山 路引理、极大极小原理、鞍点定理等等 本文我们将讨论下述具有非光滑位势的半线性椭圆变分包含问题： ( p ) u - a ：u 。( ，x 一c z u z 力。让z l 三茎纛， 其中q r ( n 3 ) 是具有光滑边界的有界区域，j ( z ，e ) ：q r r ，j ( x ，e ) 关于( 是局部l i p s c h i t z 的，动( z ，e ) 为( 一歹( z ，e ) 的广义梯度，c ( x ) l 。o ( q ) 具有非光滑位势的变分问题称为半变分不等式问题，这是一种新型的变分 不等式问题因此问题( p ) 也称为半变分不等式问题当j ( z ，) 是某个连续 函数的原函数时，问题( p ) 即化为椭圆边值问题方程的情形 我们先看一个简单的线性椭圆边值问题 8 】： ( q ) u - a - 0 ，u = “叻三最 引言一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 其中q r ( n 3 ) 是具有光滑边界的有界区域，f c ( r ，r ) ，厂的原函数 为f ( t ) = 厶，( s ) d s ，且厂满足次临界增长条件：即存在常数o ，0 2 0 使得 i 厂( ) isa l + a 2 1 t l p ， 其中0 p 2 ；及( a r ) 条件：即存在 2 ，m 0 使得 0 肛f ( ) t f ( t ) ，vi t i m 在日3 ( q ) 上定义泛函： m ) = 新w l ；d x z f ( u ) d x 不难证明，是连续可微的( 见【8 ，p r o p o s i t i o nb 1 0 】) ，且 ( 以u ) ，妒) = 上v u v 妒d x 一上，( u ) 妒d x ，v 妒硪( q ) ， 则，的临界点是方程( q ) 的一个弱解 ，的紧性( 见 8 ，p r o p o s i t i o nb 1 0 】) 可以保证( 尸s ) 条件存在，再应用山路引理( 见【8 ，t h e o r e m2 2 ) 可以证明， 存在一个非平凡的临界点 在问题( p ) 中，当c ( z ) 为( 一，硪( q ) ) 的某个特征值k 时，问题( p ) 就 称为共振问题e l a n d e s m a n e l a z e r ( 1 9 6 9 1 9 7 0 ) 在文献 9 中首先研究了 共振问题，在l a n d e s m a n l a z e r 条件下，利用变分方法，给出了具有光滑 位势的椭圆共振方程解的存在性的充分条件在这之后，椭圆共振问题和 非共振问题的非平凡解的存在性及多解性一直是大家比较感兴趣的研究课 题 唐春雷在文献【1 0 】中考虑了一类带有无界非线性项的半线性共振的椭圆 边值问题，利用鞍点定理和广义的山路引理，在不同的假设条件下证明了 此类问题至少有一个非平凡的解在文献【1 1 】中唐春雷考虑了半线性共振 的n e u m a n n 边值问题，利用还原法( 即将问题简化为在有限维的b a n a c h 空 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性引言 间上寻找非平凡的临界点) 及临界点理论中的局部环绕定理，证明了此类问 题至少存在两个非平凡的解 对于具有非光滑位势的变分包含问题( p ) ，当c ( x ) = a l 时，m f i l i p p a k i s ， l g a s i n s k i 和n 。s p a p a g e o r g i o u 在文献【1 】中利用局部环绕定理证明了问题 ( p ) 至少存在两个非平凡的解z d c n k o w s k i ，l g a s i n s k i 和n s p a p a g e o r g i o u 在文献 2 】中，假设j 满足反强制条件，利用寻找全局极小点的方法和局部 环绕定理，分别得到了半线性椭圆共振问题( p ) 存在一个非平凡的解和至 少存在两个非平凡的解的结论 当c ( x ) = a 时，l g a s i n s k i 和n s p a p a g e o r g i o u 在文献【3 ，1 2 】中，利用还 原法和局部环绕定理，得到了当j 满足不同的条件时，半线性椭圆共振问 题( 尸) 存在一个非平凡的解和至少有两个非平凡的解的结论 n s p a p a g c o r g i o u 在文献【4 中考虑了问题( p ) 的非共振情况，假设c ( x ) = a ，k a 0 ，r 1 ，2 + ) ( 2 k 面2 n 是临界指数) 使得 i u l a l ( 。) + c 卜1 ( i 口) 对几乎所有的z q ，j ( x ，e ) _ + o 。( _ + o o ) ( 口) 扎 c ( z ) a 七+ ，0 , k 是( - a ，础( q ) ) 的第k 个特征值) ，且对任意的臼，已 r ，g 岛，存在0 0 ，1 冬m k 使得 a r n , - - c ( z ) 攀a m + 1 一c ( z ) 一b ，v o l ( i 6 与问题( p ) 相对应的能量泛函为 妒( u ) = 一扣v u 眩+ 互1 上c ( z ) u 2 ( z ) 如+ z 歹( z ，u ( z ) ) 如， 则妒( u ) 的临界点即为问题( p ) 的解 4 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 引言 本文的结构如下： 第一部分是引言，介绍了文章的背景和主要内容 第二部分是预备知识，给出了一些基本知识和引理及其证明 第三部分是主要结果的证明，主要是利用局部环绕定理证明了问题( p ) 至少存在两个非平凡的解 第四部分是结论与问题展望 5 第一章预备知识一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 1 1基本知识 第一章预备知识 我们考虑s o b o l e v 空间刚) ，其中的范数为i i v u l l ：= f oi w l 2 如) ，这里 明( q ) 为霄( q ) 关于范数i l w l l 。= 厶i w l 2 d ) ；1 的完备化空间l 2 ( q ) 为平 方可积函数空间，其中的范数为i l u l l 。= 厶i u l 2 d x 下面的定义中令x 是b a n a c h 空间，x 4 是它的共轭空间，且x 。和x 的 共轭对记作( ，) 记“一”为强收敛，“一”为弱收敛，“q ”连续嵌入， “q q ”为紧连续嵌入下面的定义可以参见文献 3 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 定义1 1 ( 见 1 4 ，d e f i n i t i o n4 6 1 】) 若 z n ) x ，z x ，对每一个f x + ，有 i i l n 厂( z n ) = ，( 。) ，则称 0 使得 l f ( y ) 一，( z ) l c 【，l l u z l l x ，vy ，z 矿 6 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性第一章预备知识 定义1 3 ( 见 1 5 ，d e f i n i t i o n1 1 】) 一个局部l i p s c h i t z 函数厂：x r 在某一 点u x ，沿方向u x 的广义方向导数，记作，o ( u ；u ) ，定义为 ，。( u ；u ) ：l i m 。u p 丝甚生型 $ t 正l t 上0 定义1 4 ( 见 1 5 ，d e f i n i t i o n1 2 ) 一个局部l i p s c h i t z 函数厂：x r 在某一 点u x 的广义梯度记作o f ( u ) ，定义为 o f ( u ) = e x ：，o ( t | ；u ) ( e ，钉) ，vt ，x ) 注记1 2 由定义1 3 可知，( 扎) x 4 ，且由h a h n b a n a c h 定理知，a ，( u ) 0 注记1 3 如果，是凸的，则f 的广义梯度和凸函数意义下的c l a r k e 次微分 是相同的，次微分的定义为 a ，( 让) = ( ( x + ：f ( v ) 一y ( u ) ( e ， 一u ) ，v x ) 进一步，如果f c 1 ) ，则o f ( u ) = ，协) ) 性质1 2 若f ，g ：x r 是局部l i p s c h i t z 函数，且a r ，则 o ( s + g ) ca ，+ 0 9 且0 ( m ) = a a ， 性质1 3 ( 见【1 5 ，t h e o r e m1 1 ) ( l e b o u r g 中值定理) 如果，：x r 在包含 k ，y 】的一个开区间上是l i p s c h i t z 的，则存在z = o x + ( 1 一e ) y ，其中口( 0 ，1 ) ， 且矿a 厂( z ) 使得 s ( y ) 一s ( x ) = ( z ，秒一z ) 定义1 5 ( 见【1 5 ，d e f i n i t i o n2 1 】) 函数，：x r 是局部l i p s c h t i z 的，如果存 在一点缸x 使得0 a y ( u ) ，即，o ( 让；u ) 0 ，v u x ，则称点是，的一个临 界点，在临界点乱x 的值称为，的临界值，记为c ，即e = ，( u ) 7 第一章预备知识 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 性质1 4 ，的局部极小点是临界点 定义1 6 ( 见f 1 5 ，d e f i n i t i o n1 5 】) 局部l i p s c h i t z 函数厂：x r 满足非光 滑的p a l a i s s m a l e 条件，简记为( p 回条件，是指如果任意的序列 z n ) 满足 厂( ) ) 有界且m i ( x n ) = i n f i i x i i ：a ，( z 住) 】_ 0 _ + 。) ，则 有强收 敛的子列 定义1 7 ( 见【1 6 ，定义1 4 】) 泛函，：x r 是强制的，是指 l i r a y ( x ) = + c o i l x l l x - * + o o 定义1 8 ( 见【1 6 ，定义1 3 ) 泛函，：x r ，黝x ，在z o 处弱下半连续 是指，如果当一黝_ + ) 时，有 ，( z o ) l i m i n ff ( x n ) 下面我们给出( 一，明( q ) ) 的特征值的性质( 见【1 4 ，e x a m p l e5 2 6 】) 考虑下面的线性特征值问题： ( r ) u - ( a z ) u ：= 。，u z l ：茎未， 其中入r ，f t 是r 中的具有光滑边界的有界区域 若方程( 最) 有非平凡的弱解缸硪( q ) ， 即满足 上v u v 口d x = a z u ( 咖( z ) d x ，v v 础( q ) ， 则入r 是算子一的一个特征值方程( r ) 的非零解为与特征值入相对 应的特征函数 算子一的特征值记作入礼，对应的特征函数记作u n 下面给出其性质： 方程( 最) 有无穷多个特征值，0 a l a 2 入3 ，且入n 一+ 。o ( 礼一+ o 。) u 竹) l 2 ( q ) ，且 让n 佤) 构成了硪( q ) 的一个正交基 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 第一章预备知识 特征值k 具有如下变分性质： 枷。黝糌= 雠， k = m i n 觜磊笋，o u 明( q ) ，珏上 u - ，乱。，u m z ) = m a x 错，0 u 明( q ) ，乱s p a n 廷- ) 一i i v u m 幔 一0 t m 瞻 且a ，是简单的，即与a ，相应的特征函数空间是一维的； 入，是孤立的，即 入，是唯一一个使得相应特征函数不变号的特征值 1 2引理及其证明 设八( z 1 ) 为( 一，明( q ) ) 的第i 个特征值，e ( 九) 是相应的特征函数空 间 令v ：刍e ( 九) ，w ：y 上，贝i jh i ( a ) ：v w 引理1 1 若k 1 ，p ( z ) l ”( q ) + ，且对几乎所有的z q ，p ( z ) 入七+ 1 ，其中 在q 的某个正测集上严格不等号( z ) 0 使得 | i v 伽崦一z ( x ) 1 w ( z ) 1 2d x f 1 i i v 叫旧， v w 形 ( 1 1 ) ，n 证明：令 f ( w ) = i l v 叫瞧一( z ) l 叫( z ) 1 2 d x ，v w 彬 i ，n 则由假设( z ) a 詹+ 1 ，知 f ( 叫) l i v w l l ；一a l l c + 1 1 w ( x ) 1 2 出0 ，n 下面反证假设结论( 1 1 ) 不成立，则存在序列 ) 竹。w ，使得i l v 伽n 1 1 2 = 1 ，且 f ( ) 丢- - - * 0 ，n 一+ 毗 q 第一章预备知识 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 因为f | v 加竹i f 。= 1 ，所以( 在明( q ) 中是有界的不妨假设在明( q ) 中j w ( 佗一十) ，故由瑶( q ) q ql 2 ( q ) ( 见【1 7 ，t h e o r e m1 9 】或【1 8 ，定理5 6 1 】) 的紧嵌入性质，有， 一i nl 2 ( q ) t 上k ( z ) _ 叫( 。) ， 口e z q i u ( z ) i 忌( z ) ，k l 2 ( q ) ，a e 。q ，竹1 由范数的弱下半连续性知， i l v w l l ：l i r a + i n 。fi i v w 竹幢 由控制收敛定理我们得到 n 1 i r a f # ( 圳叫删2d x = 上鼬) m 刮2 d x 所以 f ( w ) = i i v 叫嚏一( z ) l 叫( z ) 1 2d x ，n l n i m 叶i n 。f 1 w n l l ；一n 上p ( z ) i ( z ) 1 2 出 n _ 十。on _ 十，“ l i m i n f f ( n ) n 十。o = 0 于是 j j v 伽喝p ( z ) i 伽( z ) 1 2 d x 入知+ 1 i 叫( z ) 1 2 d x = a k + 1 i i 伽旧 ( 1 2 ) ，n ，n 若叫= 0 ，则i l w 1 l z _ o ( n 一十。) ，这与i l v t u 竹瞻= 1 矛盾 若伽0 ，注意到w w ，由九+ 。的性质可知 k 雠 再结合上面公式( 1 2 ) ，就有 址，= 雠 所以伽是与a m 相对应的特征函数 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 第一章预备知识 由特征函数空间唯一连续的性质【1 9 以及引理中的假设，知 1 1 w l l ；= p ( 。) 1 w ( z ) 1 2d x a 知+ 1 i i 伽l i ；，v 形 ，n 这与公式( 1 2 ) 矛盾故假设不成立即命题得证 口 令矽( u ) = s u p 妒( u + 伽) ， v v y 记西= 一妒，耍= 一妒，贝0 妒( ) _ 。s e u p ( 一西( u + 叫) ) = 一i 醢西( u - 4 - w e 们) ， 锄i 矿 p y 和 皿 ) = 叫i n f 垂( u + 叫) 引理1 2 假设h ( j ) 成立，则存在一个连续映射0 ：v 一，使得对每一个 u v ，有 i n f 圣( u + 加) = 西 + 口( ”) ) ， w e w 、77 且o ( v ) w 是 0 p w + o o ( v + 叫1 的唯一解，其中p w 。是日_ 1 ( q ) 到w 4 的投影映射进一步可知下式成立： 妒( u ) = 一0 酷西 + 钮) = 一圣( 口+ 9 扣) ) 2 妒( u + 口( u ) ) 证明：对每一个u v ，令 西口：嘲( q ) 一r ， 圣 ( u ) = 圣0 + t 正) ，v 让明( q ) 则 a 西 ( u ) = a 圣( u + u ) ，v u 瑶( q ) ( 1 3 ) 令 i ：w 一明( q ) 为包含映射，即对每一个z w ，i ( x ) = z 第一章预备知识 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 令 哦：w r ， 毒廿( ) = 垂0 + 郇) ，v w w 贝0 圣voi = 毒。，且 a ( 西uo t ) ( 伽) = a 圣。( ) ，v w 形( 1 4 ) 又因为i + ：h 一- ( q ) 一形+ ，所以矿是日一1 ( q ) 到+ 的投影映射，即 i + = p w 所以 a ( 圣。oi ) ( 伽) i 障a 圣t ， ( 叫) ) = 矿a 圣。( i ( 伽) ) = p w a 西 ( t ( 叫) ) ， v w w ，： 再结合公式( 1 3 ) 和( 1 4 ) 有 a 蚤。( 叫) 所。a 西口( z ( 伽) ) = p w 。a 圣扣+ i ( 叫) ) = p w a 垂( 口+ ) ， v w 形 ( 1 5 ) 注意到 圣( u ) = 一妒( u ) = 去i i v u i l l 一三上c ( z ) 乱2 ( z ) d x 一上歹( z ，u ( z ) ) d z 定义算子： a ：嘲( q ) 一日- 1 ( q ) ， ( a ( 名) ，可) 硪( o ) = ( v z ，v ! ，) ， v z ，y 础( q ) 所以对任意的z 础( q ) ，矿a 西( z ) ，y g o ( q ) ，存在u 。力( z ，z ( 茁) ) ，使得 ( 矿，y ) = ( a ( z ) ，可) 一c ( x ) z y d x 一( u + ，可) ( 1 6 ) ，n 所以对几乎所有的。q ，任意的伽1 ，w 2 w ，且w 1 w 2 ，伽：砸。( 1 ) ，； 砸竹( 叫2 ) ，由公式( 1 5 ) 和( 1 6 ) 知，存在乞彳a 圣 + w t ) 使得 ( 叫；，y ) = ( p w 瞄，y ) = ( 瞄，焉。y ) = ( 砖，i ( ) ) = ( ；，! ) ( 1 7 ) = ( a ( v + w i ) ，炉上c ( 州口讹) 可d x 呻m 1 2 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 第一章 预备知识 其中乱；o j ( x ，( 口+ 叫t ) ( z ) ) ，i = 1 ，2 由日( 歹) ( 口) ，有 篱掣 巾) 所以由公式( 1 7 ) 和( 1 8 ) ，有 ( w ：一伽；，伽l w 2 ) w = ( a ( v + w 1 ) 一a ( v + 叫2 ) ，w l 一伽2 ) r 一( c ( z ) + t ，1 ) ( 伽l w 2 ) d x i ，n ， 一c ( z ) ( u + 毗) ( 叫1 一w 2 ) d x ) 一( u ：一u ；，w l 一1 0 2 ) ，0 ， | i v ( 叫- 一w ：) l l ；一c ( z ) ( 伽，一w 。) 2 d x ，n 广 一口( 。) ( 伽1 一w 2 ) 2d x ，n 广 = i l v ( 叫1 一毗) j | ；一( 口( z ) + c ( z ) ) ( 伽l w 2 ) 2 d x ( 1 8 ) 又由日( 歹) ( 钉) ，有 0 a ( x ) 0 ，存在6 ( e 1 ) 0 使得i z q ：j z ( z ) l 0 使得i z q ：l 芗( 名) i 6 ( 1 ) l 础( n ) l e 2 ，v y v 上 证明参见文献 3 】中的l e m m a4 6 3 ( p 6 2 4 ) 1 4 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性第二章主要结果及证明 第二章主要结果及证明 由引理1 2 知，我们只需要在有限维空间y 上考虑矽( 幻) 的临界点因为如 果 是妒( t ，) 的临界点，则u + o ( v ) 是妒( ) 的临界点利用下面的局部环绕 定理，可以得到妒( 影) 至少有两个非平凡的临界点这样妒( 口) 至少也存在两 个非平凡的临界点 定理2 1 翻若x = yov ，且d i m y 0 ，存在6 ( e 1 ) 0 使得 f z q ：f u ( z ) i 0 使得 j ( x ，e ) 7 7 1 ，v 尬 a e 。q 对每一个礼1 ，我们定义 c k = z q ：i ( z ) j 6 ( 1 ) 0 i l 础( n ) ) ， d n = z q ：i ( 。) i f ) 1 5 第二章主要结果及证明 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 则j 叭g i l ，且在f l d n 上，有i ( z ) i 0 使得l j ( x ，( z ) ) i 尬，v x q 风，所以 j ( x ，( 茁) ) 一尬，v z n d n 下面证明存在n o n 使得对任意的佗n o ，有 i q d 疗j l q g i 6 1 事实上，若z 。g ，则 l ( ) i 6 ( 1 ) i | | i 础( n ) 因为i i | i 嘲( o ) _ + o o ( n 一+ ) ，所以存在某个伽1 ，使得 即 所以 ( z o ) i 6 ( 1 ) l i | | 础( n ) m ， i n 7 1 0 g 巩，v 礼n o ， f l d n i i q g l a 七，所以 妒( ) = 一扣v 唱+ 互1z c ( z ) l v n ( 圳2 如+ 上歹( 。，( z ) ) 如 歹( 。，v n ( x ) ) d x 对上式取极限，当i i | i 硪( n ) 一十。( n _ + ) 时，有 n 妒( ) n 上j ( 。，( z ) ) 如= + o 。 即妒( u ) 在y 上是强制的因此，妒( 口) 在y 上是强制的 口 推论2 1 假设h ( j ) 成立，则妒( 口) 在y 上是下有界的 推论2 2 假设h ( ) 成立，则妒( ) 在y 上满足( p s ) 条件 证明：假设_ 【) y 是矽( u ) 的( p s ) 序列，即 s u p i 妒( ) i 0 ，使得对任意的u ，i l v l l 日d ( a ) 6 t ，有矽( u ) 0 由有限维空间范数的等价性( 见【1 4 ，t h e o r e m 2 4 3 】) ，知存在c l 0 ，使得 s u p v ( x ) il z q ) = i i v l l c ( n ) c 1 删嘲( n ) ，v v 令6 1 = 砉( 其中，6 为日( j ) ( 优) 中的6 ) ，则对任意的 ，i 础( n ) j ， 有 ) l c i i 口慨c - 妄= 正 呲z q ( 2 2 ) 由日( 歹) ( 说) 及公式( 2 2 ) 知，对几乎所有的z q ，任意的u k ，1 日3 ( n ) 6 1 ， 及任意的矿0 j ( x ，u ( z ) ) ，有 , 入r a - - c ( z ) 了2 v * 所以 j ( z ，u ( z ) ) 掣i t ，( z ) 1 2 ，v u v 1 , 矾( n ) j 。 故 上歹( z ，u ( z ) ) 如j 1 ( 入m - - c ( z ) ) m 刮2 如，v u m ，i l v l l 嘲( 哟以 由u 知，k 糌于是对任意的 m ，i l v l l 础( n ) 6 l ，有 妒( u ) = 一 一 0 c ( z ) i 口( z ) 1 2 d x + j ( x ，刨( z ) ) d x j n c m 硎2 如+ 互1 上( h c ( z ) ) m 圳2 如 k i v ( x ) 1 2 d x n j i g ，对任意的u ，i i v l l 础( a ) 西， 妒 ) = s u p 妒( 移+ w ) 妒( u ) 0 w e w 1 8 丘上钏 瓢瓢扳卸 + + + + 幢 嚏 幢 幢 u 口 口 口 v v v v i i i i i i i i 1 2 1 2 1 2 1 2 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性第二章 主要结果及证明 第二步：证明存在如 0 ，使得对任意的 k ，恻l 础( q ) 而，有妒( u ) 0 由日( 歹) ( 说) ，有 等k + 1 - - c ( z ) _ 6 v o i u ( 蚓正 矿力( 叩( 训，。- e z q 所以 妣u ( z ) ) 主( k + 。一c ( z ) 一6 ) i u ( z ) 1 2 ，v o ) f j ( 2 3 ) 由h ( j ) ( i i ) 知0 旬( z ，o ) ，又在日( 歹) ( ) 中，令已= 0 ，我们有 等掣，v u * e 嘶删) ， 所以 m ，u ( 瑚掣u 2 ( 吐v u h i ( n ) ( 2 4 ) 当l u ( 。) i 6 ，有南 所以 i u ( z ) 1 2 一p 5 2 - p ，( 2 5 ) 其中2 p 入m + l ，所以 c ( 卫) 一入。+ l 0 因为口 0 ，b 0 ，所以 a ( x ) 一k + l + c ( x ) + b 0 所以，若i 钍( z ) l 占，由公式( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，有 m ，心) ) 掣u 2 ( z ) = 丢( 入m + ，一c ( z ) 一6 ) i u ( z ) j 2 + 互1 ( 。( 。) 一a m + ，+ c ( z ) + 6 ) l u ( z ) 1 2 一p l u ( z ) l p 11 专( 入m + 1 一c ( z ) 一b ) l u ( x ) 1 2 + 专( a ( z ) 一入m + 1 + c ( z ) + 6 ) 6 2 一p l u ( z ) i p ， ( 2 6 ) 1 9 第二章 主要结果及证明 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 其中2 p 2 + 故由公式( 2 3 ) 和( 2 6 ) ，对任意的u 础( q ) 有 池u ( z ) ) 互i ( a m + 1 一c ( z ) 山) 1 2 + 烈1 z ) 一入m + ，+ c ( 卅b ) 州u ( z ) l p 因为在日( j ) ( u ) 中，0 o ( z ) k + 1 一c ( z ) ，所以n ( z ) + c ( z ) 0 ，所以a k + 1 一入m + 1 + 6 0 ，因 此c 2 0 由紧嵌入硪( q ) q q ( q ) ( 见 1 8 ，定理5 6 1 】) ，2 0 由口的连续性，知存在如 0 ，使得m i 硪( 嘞如， 且 l i e ( 口) 慨n ) ( 砺m 胪i 一如 所以 + 慨哟- i i 训础( q ) + i i p ( u ) 1 1 , , o l ( n ) ( 砺m 胪 故对任意的口坞，i l v l l 如，有 妒( u ) ：妒( u + 口( u ) ) l l v ( 口+ 口( u ) ) 旧( 一d + c 2 c 引l v ( u + p ( 口) ) i 匿一2 ) 0 取品：m i n 6 1 ，如) ，由上面两步的证明知( 2 1 ) 成立即妒在v 上满足局 部环绕条件 口 定理2 4 若日0 ) 成立，则妒( 口) 至少存在两个非平凡的临界点即问题( p ) 至少存在两个非平凡的解 第二章主要结果及证明 一类半线性椭圆变分包含问题的多解性 证明：因为 妒( u ) 0 ，v 口k ， i i u i i 础( n ) 6 0 ， ( 2 9 ) 所以j 酷矽( u ) 0 当j 酵砂( u ) = 0 时，结合公式( 2 9 ) ，对任意的u k ，i i v i l 刚( n ) 6 0 ，有 妒( u ) = 0 所以任意的满足u k ，0 i i v l i h o ( n ) 6 0 的钉都是矽( u ) = 0 的非平凡解 当! 醇妒( 口) 0 且h a a m ，使得c ( 。) = 九 则问题( p ) 至少存在两个非平凡的解 注记2 4 关于椭圆共振问题已经有大量的研究，如文献【2 ，3 ，2 1 ，2 2 】等在