（基础数学专业论文）几类椭圆方程neumann问题解的存在性.pdf

摘要 本文利用变分法讨论了椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性，并得到了一些解的 存在性定理，推广和改进了一些已有结果 本文分为以下5 个部分： 1 准备知识 2 次线性条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 3 l a n d e s m a n - l a z e r 条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解盼存在性 4 次二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 5 非二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 关键词：n e u m a n n i h j 题：解的存在性；变分方法 a b s t r a c t b y m e a n so fv a r i a t i o n a la p p r o a c h ，t h e p a p e r i sc o n c e r n e dw i t he x i s t e n c e f o rs o l u t i o n so fs o m en e u m a n np r o b l e m sf o re l l i p t i c e q u a t i o n s ，a n ds o m e e x i s t e n c et h e o r e m sa r eo b t a i n e d ，w h i c he x t e n da n di m p r o v es o m ep r e s e n t r e s u l t s ， t h e p a p e rh a s f i v ep a r t s ： 1 p r e l i m i n a r y 2 ，e x i s t e n c ef o rs o l u t i o n so fn e u m a n u b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs u b l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n 3 e x i s t e n c ef o rs o l u t i o n so fn e u m a n n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o re l l i p t i ce q u a t i o nu n d e rl a n d e s m a n - l a z e rc o n d i t i o n 4 e x i s t e n c ef o rs o l u t i o n so fn e u m a n n b o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rs u b q u a d r a t i ce l l i p t i ce q u a t i o n 5 e x i s t e n c ef o rs o l u t i o n so fn e u m a n n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rn o n q u a d r e t i ce l l i p t i ce q u a t i o n k e y w o r d s ：n e u m a n np r o b l e m ；e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s ；v a r i a t i o n a l a p p r o a c h 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名 纭冲准 日期：z p p 歹年 岁月；日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名弘卡妥 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 7 。 导师签名：舒幺 日期：p p f 年爹月弘日 j l 一 月i j 吾 e ：兰 芒扛，啦三 ， 旷以砧兰 ， i ，( 。，t ) i a i tj 。+ b 对所有te r , h j l 乎所有z n 成立，其中a ，b 为正常数 令面= 击矗u ( x ) d x ，嘉1 ( q ) = 扛h 1 ) i 云= o ) ，豆= r ，则h 1 ( q ) = ：露1 ( q ) 。曰 ( h 2 ) 设存在常数卢， ，使得 忡l i m i n 瑚f 赤上脚等 1 前言 ；+ 警= 1 ，；1 + i 1 = 1 ，g 满足当v 3 时，q 2 辅n ，当= 1 ，2 时，q 1 由s o b o l e v 嵌入定 1 i m 盟：o f ( + 嘲 高上 ( 。) 出 ( 一o 。) ( 0 - 3 ) 其中 q i 是n 的体积，户( + o 。) = l i 。m 。s u pf ( t ) 星( 一o o ) = l i m i n o o ff(t)oo c + 即，= = “兰 对几乎所有。n 和任t 贼立，其中当3 时，1 p 篙；当= l ，2 时，l p 。 对几乎所有z n 一致成立，其中f ( z ，t ) =f ( x ，s ) d s 题问直征特为 “ t h o 盹 m | l zb 地 引f | m 也， g | | p sd 0 z ， 吣 = f 中其 前言 对所有it1 2m 和几乎所有q 成立 ( h 8 ) 设f 满足 l 瓢筹t = o一。1 2 对o n 一致成立 ( h 9 ) 设f ，满足 1 3 受( m t 。) 2 2 f ( z ，) ) = 一o 。 对z n 一致成立，其中f ( ：t ) = 片f ( x ，s ) d s 本文分为以下5 个部分： 1 准备知识+ 2 次线性条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 此节的主要结果为： 定理2 1 设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立坝问题睁1 ) 在s o b o l e v 空间日1 ( n ) 中至少有一个解 注2 1 由条件( h 1 ) , - f 见，( x ，t ) 关于位置变量是次线性增长的，故称问题( o _ 1 ) 是 次线性的当口= o 时，( z ，t ) 是有界的，很多文献讨论了这类问题，在本节中，条 件( h 1 ) 将，( 茹，) 放宽到了一类无界函数 注2 2 文献( 1 】在次线性条件及 忙i 螺。雷赤五砷，口) 出= 佃( 0 - 4 ) 下，得到问题忙1 ) 解的存在性在本节中，条件( h 2 煨得上面极限值可以是有限的，从 而( h 2 ) 减弱了条件( 0 - 4 ) 3 l a n d e s m a n l a z e r 条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 此节的主要结果为： 定理3 1 设( h 3 ) ，( h 4 ) 成立则问题( o 2 ) 在s o b o l e v 空间h 1 ( n ) 中至少有一个解其 中日1 ( n ) 是h i l b e r t 空间，具有范数 | ：( i v “1 2 d x + | 札1 2 d z ) t i 3 1 所谓l a n d e s m a n l a z e r 条件是关于微分方程解的存在性的一类充分条件，指 高上”d z 高上m 高z “d z 其中9 一= l i m s u p s ( t ) ，“= ：i m y 口( t ) t t 3 前言 p ( 一o 。) 高z ( z ) d 。 0 l 1 2 e t 0 取危l 1 ( n ) ，使得j 而1 矗h ( x ) d xi 1 由于f e 一一协il n ( 1 + t 2 ) d t + o 。，易知f ( + 。o ) = 一1 ，曼( 一。) = l ，满足( 口3 ) 式，但不满足( 0 - 5 ) 式 4 次二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 此节的主要结果为： 定理4 1 设( h 5 ) ，( h 6 ) ，( 砷) 成立贝i j 问题泄1 ) 在s o b 0 1 e v 空间h 1 踊中至少有一个解 注4 1 通过计算，可由条件( h 7 ) 推出0 氅! 铲= o ，这表明f ( 墨 ) 关于t 比二次函数 增长得慢，故称问题( 0 1 ) 此时为次二次的， 注4 2 文献 3 】中，在条件( h 6 ) ，即 i t i o 。，f ( x ，t ) 一一o 。 对几乎所有z n 一致成立，得到了问题( 0 _ 1 ) 解的存在性，此时问题( 0 - 1 ) 对应的作用泛函 是下方有界的，当我们用条件( h 6 ) 替换条件( h 6 ) 时，文献f 3 】中方法就不再适用受文献【4 】中 方法启发，在次：- 1 次条件( h 7 ) 下，本节用条件( h 6 ) 替换条件( h 6 ) ，得到了问题( 0 1 ) 解的存在 性 令f ( z t ) = ( 1 十t 2 ) i n ( i + t 2 ) ，妊日f 满足定理4 1 中条件 5 非二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 此节的十要结果为： 4 前言 定理5 1 设( h 5 ) ，( h 8 ) ，( h 9 ) 成立贝0 问题( 0 1 ) 在s o b o l e v 空间日1 ( n ) 中至少有一个解 注5 1 对丁d i r i c h l e t 问题 f 一u = ，( ，“) iu = 0 文献【6 在非二次条件下，即 l i m s u p 盟鼍菩幽一。 o ( i a l _ o o i sl ” 、 7 一致对。q 成立，讨论了问题( o _ 6 ) 解的存在性，其中卢为正常数 文献 7 】， 8 】在非二次条件( o - ? ) t i , - j 论t 问题 一a p u t 正= 0 ，( z ：u ) z q o a q 解的存在性， 本节在比条件( o - 7 ) 更弱的条件( h 9 ) 下得到了n e u i n 锄边值问题池1 ) 解的存在性 5 回 阻 噙 5 吾 z z 1 准备知识 本节我们给出一些与本文相关的基本概念和引理，本节的所有内容均为引录，读者可 参考所列文献以获得更为详细的内容 定义1 1s o b o l e v 空间日( q ) = 口l 2 ) l 口。u l 2 ) ，l 口 耐其中2 ( q ) 表 示n 中所有平方可积函数的全体 在本文中，我们使用的工作空间是日1 ( q ) ，它是j x h i l b e r t 空间，具有范数 u i i = ( f j n v u 2 d x + f lu 1 2d z l 定义1 2 设p l ，驴( q ) 是b a n a c h 空间，它由n 上所有p 次幂可积函数的全体所组成，其 范数定义为 ”“忆= ( i v u l ，d z ) ； j5z 当p = o o 时，用口( n ) 表示n 上本性有界可测函数的全体， 定义1 3 ( p a l a i s s m a l e 条件) 设x 为b a n a c h 空间，称泛函妒c 1 ( x ，r ) 满足( p s ) 条件 是指对任何点列 。) cx ，由 妒( ) ) 有界，( z 。) 一o ，可推得 ) 有收敛子列 定义1 4 ( ( e ) 条件) 设x 为b 口n o c 空间，称泛函妒c 1 ( x ，r ) 满足( e ) 条件是指对任 何点列 z 。) cx ，由 妒( ) ) 有界，( 1 + f | z 。i i ) i j 妒7 ( z 。) | 一o ，可推得 z 。) 有收敛子列， 定理1 1 ( 鞍点定理【5 】) 设x 是实b a i l a c h 空间，妒c 1 ( x ，r ) 满足( c ) 条件，且y 有直和 分解x = v o w 萁中d i m v + o o ，满足 酬m 悱a x 。i ( ”) a 胚。i n f ，) 对。 1 9 ，则妒有临界值c 口且 c = i n fm a x j ( ( f ) ) h e f 矿i i v l l ( r 、。 其中r = c ( v n 百k ，x ) f ( ) = u ，v v o b n 定理1 2 设x 是实b a n a c h 空间，妒c 1 ( x ，r ) ，x = x 一9x + ，d i m x 一 。，且 粤妒 1 ，；1 + i 1 = 1 ，驴( q ) ，g ( n ) ，则，9 l 1 ) 并且 厶j ，( 第) 9 ( 功ld x s ( ，( 圳，d z ) ；( “9 ( 圳。d z ) ； nn n 用数学归纳法可以证明h 6 l d e r 不等式的一个推广如下： 1 1 1 u 2 珥n d 。| | u 1i i 工一l l | u 20 p 2 - i l 。i l l 斯。 其中鼽2 1 0 = l ，2 ，m ) ，满足击+ 面1 + + 去= l 另外，本文中用r 表示实数域 7 2 次线性条件下椭圆方程n e u m a n n 边值 问题解的存在性 考虑n e u m a n n 边值问题 其中qcr j v ( n 1 ) 为一 一a u = f ( x ，) z n ， ( 2 - 1 ) 景= 0 a n 具有光滑边界的有界区域，他( z ) 表示外法向，赛= 礼( z ) v “，且，：壳r ? _ r 是c a r a t h e d o r y 函数 假设以下条件成立 ( h i ) j a ( 0 ，1 ) ，使得，满足 | ( x ，t ) i a i t | n + b( 2 - 2 ) 对所有t r 和几乎所有z q 成立，其中a ，b 为正常数 令面= 南f n u ( x ) d x ，青1 ( q ) = 缸日1 ( n ) i 面= o ) ，疗= r ，则胃1 ( q ) = 亩1 ( n ) o 7 ( h 2 ) 设存在常数卢，y ，使得 怕l i m i n 锄f 赤z 脚恤等( 2 - 3 ) 其中f ( 。，t ) = ，扛，s ) d s ，卢= c 。+ 1 ai n l ：7 = m i n ；：警) ，儿为特征值问题 z n z a q 的第个特征值 且 0 = a 1 篙f i n = 1 ，2 时，q 1 理，存在正常数g 使得 “i i l p ) ci iu | | 对所有“h 1 ( n ) 成立 8 由s o b o l e v 嵌入定 ( 2 4 ) a | | o i 簪 ，i，、【 2 次线性条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 h 1 ( n ) 是s o b o i e v 空间，具有范数| | “i i = ( 厶iv u1 2d x + 矗i “f 2d 。) ； 本节的主要结果如下： 定理2 1 设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立则问题( 2 一1 ) 在s o b 0 1 e v 空间日1 ) 中至少有一个解 注2 1 由条件( h 1 ) 可见，f ( x ，t ) 关于位置变量是次线性增长的，故称问题( 2 - 1 ) 是 次线性的当o = o 时，( x ，f ) 是有界的，很多文献讨论了这类问题在本节中，条 件( h 1 ) 将f ( x ，t ) 放宽到了一类无界函数 注2 2 文献1 1 在次线性条件及 1， 忙l | 恕曲高厶f ( 叩) 出。+ 0 。( 2 - 5 ) 下，得到问题( 2 * 1 ) 解的存在性在本节中，条件( h 2 ) 使得上面极限值可以是有限的，从 而( h 2 ) 减弱了条件( 2 5 ) 下面证明定理2 1 在s o b o l e v 空间日1 ( q ) 上定义泛函_ p 如下： 咖) 2 ；上i 孔一z 砷，u ) 她v u h 1 ( q ) 贝妒连续可微，且 ( c p ( u ) ，”) = v u v v d x 一，( 。，u ) v d x ，v u ，口( q ) 众所周知，n h 1 ( q ) 是问题( 2 1 ) 的解当且仅当t 是妒的临界点 对v h 1 ( n ) ，令面= 由正，u ( x ) d x ，贝0 矗( 。) = u ( z ) 一面 f l h p o i n c a r d 不等式( 见文献 2 】， 1 3 】) iv u1 2 d z 沁面1 2d x j l lj s 2 下面用c 表示常量 在证明定理2 1 之前我们先给出必需的几个引理 ( 2 - 6 ) 引理2 1 设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立则泛函妒满足( p s ) 条件，即指对任何点列 u 。) c 日1 ( n ) ，由f 妒( u 。) 有界，妒7 ( 。) 一0 一) ，可推得( ，有收敛子列 证明 设 u 。) ch 1 ( q ) ，使得 i 妒( u n ) i q ，( u 。) 一o ( n o 。) 由( 2 2 ) 式，( 2 4 ) 式及h 6 l d e r 不等式( 见本文定理1 5 ) ，并注意到；+ 学= l ，；1 + ：= 1 有 9 ( 2 - 7 ) 窒丝丝丝兰塑堕堡墼些些堡型壹童丝 及 f 厶f ( x ，) 蟊d xj 矗a i “ni 。1 诹ld x + 厶b 1 面。id x a i q ( 正，i “。i ，d z ) ；( liki d z ) ；+ bi q i ：( 厶i 西。 pd x ) - ； c 。“jnj aj j 。删j 如j j + cj j 碗j j 故 l 止，( 。，t h ) 面n d xi c 。+ 1 in ；ai l 。l l 。| | 豇。| | + ci i 面。i i j n ” 。 由( 2 7 ) 式，有 上v v 曲d 。一z ，( z ，u 。) 咖d 。= 。( 1 1 毋i i ) ，v 日，( n ) 在上式中取咖；讥，当n 充分大时， z v u n1 2 d x - z m 胁) f i 。d x 晶fv u 。f 2d x 一厶( x ，) d 。 矗iv 1 2d x c ”1 inl ai iu 。1 1 n 1 1 面。i i + ci i 诹1 1 m i n i ，警) i i 面n1 1 2 一g 。+ 1 qj ai i 1 1 。1 1 面。i i + ci k i i 从而有 i i 诹| | n iv 缸n1 2d x c 叶1 iq i ai i 1 1 a 1 1 也。i t + ci ik i l j n ” 怕。1 1 m i n 互1 ，鲁川旷一c 幢“in ai i 。胪i i 砜j i + c j | 故由( 2 一l o ) 式及屈7 的定义，有 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) i l 面n 旷s 搿i l 牡。j i 。| j “| | + cj j o = ；”t kj | n ”西。”+ 。o 砧j ( 2 - 1 1 ) 从而有 i l 面。1 1 11 1 “。i i n + c 其中0 q 0 ，使1 1 l l m 时有 一f f ( 。，砜) d z ( 一2 + s ) 譬j i 俨 ( 2 1 6 ) 故对所有0 面。| | m ，m ( 2 1 3 ) 式，( 2 1 5 ) 式及( 2 一1 6 ) 式有 妒( t h ) = i 1 上2iv u 。1 2d x 一矗f ( 。，让。) d z 芸i i “。1 1 2 。+ c | | u 。| f a + c f a f ( x ，面。) d x 一厶 f ( z ，“n ) 一e ( x ，豇n ) j d z 譬 | | 让。1 1 2 。+ i f a | | 丽。| i “+ ( 一2 + e ) | | 面。i 2 a j + c0 i l 。( n + 1 ) + c | | 。旷+ 。 = 邬“n 俨睁烨一错+ 南+ 赤+ 寿】 52 次线性条件下椭圆方程n e u m a n n 边值i 1 题解的存在性 由s 的任意性及o q 一o 。 u e 日1 ( n l ( 妒2 ) 当0 “| i 一+ o o 时，妒( “) 一一o o 对u 口成立 先证( 妒1 ) 对“豆1 ( n ) 由p 嘶n r e 不等式及( 2 2 ) 式有 妒( u ) = i 1 矗lv “j 2d x 一 f n f ( x ，u ) d x 正：f ( x ：0 ) d x 一f n f ( x ，0 ) d x 2 m i n ，等 | f “f f 2 一厶 ，( s u ) u f d 。一f a f ( x ：o ) d x m i n ，鲁) 8u1 1 2 + c8 也i l “+ 1 + c | | “| | + c 由0 o , 陵u 曰，i ii t8 l 时， ，d x f ( xu ) d x ( 譬叫孙 ， ( 三生一) 怕j f 孙 j ny 因i 比 让充分小，( 妒2 ) 成立 妒( 乱) 一( 孚一。) “ 1 2 3 l a n d e s m a n l a z e r 条件下椭圆方 程n e u m a n n 边值问题解的存在性 考虑n e u m a n n 边值问题 其中qcr ”( n ( z ) v u ，9e c ( r , r ) ，h l 1 ( q ) 假设以下条件成立 ( h 3 ) 设g c ( r ，r ) 满足 l i m 盟：o - t ( 3 2 ) ( h 4 ) 设 l 1 ( n ) 满足 f ( + o 。) 高上危( 。) d z ( 一o 。) ( 3 - 3 ) 其中in i 是q 的体积，p ( + o o ) = l i 。m 。+ s 。u pf ( t ) ，( 一o 。) = l i m _ m f f ( t ) 一 e 4 + o 。 f ( t ) 9 ( t )t o t t = 0 本节的主要结果如下： 定理3 1 设( h 3 ) ，( h 4 ) 成立贝h 问题( 3 1 ) 在s o b o k v 空间日1 ( n ) 中至少有一个解其 中日1 ( n ) 是h i l b e r t 空间，具有范数 i l “f f = ( i ! iv u 2d x + ：l u f 2d z ) j f j n 注3 1 所谓l a n d e s m a n - l a z e r 条件是关于微分方程解的存在性的一类充分条件指 虮高上坼 高厶d x 其中9 一= l i r a _ s u p g ( t ) ，乳21 i 掣磬9 ( t ) 一w 1 3 0 盟加 向法外示表 忙一 域 q 砌怄 印 锄得 z z 有的 忙 界 ， z “ 边 0 滑 “ 光 | | 0 育 她 净具 一 照肌卜 ，、【一 勾 s 0 “ 如 卜 詹 2 一e r ， ，l，、 丘上 s3l a n d e s m a n l a z e r 条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 f ( 。) 高上 ( z ) d z ( + o 。) ( 3 - 4 ) 其中iq l 是q 的体积，f ( 一o 。) = l i m s 。u p f ( 2 ) ，( + o 。) = l t i 一+ m + i 。n f f ( 。) 即，= i 2 t = “： fe - t 4 “l n ( 1 + t 2 ) 一1 t 0 ， 夕( t ) = 【1 2 e t 茎。 取 l 1 ( n ) ，使得l 丽1 如h ( x ) d xi 1 由于j ；o oe - t * t “。i l n ( 1 + t 2 ) d t 0 令 g = f ( - o o ) - 篱三： 噍= 拿+ 。) + 5 户p 。( + + 。o o ，) ：e r 一, 。 则对垤 0 ，存在 0 使得 f ( t ) e( 3 - 1 1 ) 3l a n d e s m a n l a z e r 条件下椭圆方程n e u m u n n 边值问题解的存在性 对v t 成立 从而 f ( t ) 墨噍 ( 学卜一掣s 一鲁= ( 导) 7 对v s 一成立 在区间f r ，t 】c ( 一o 。，一k ) 上，对上式积分 ，。( 掣) ，d 。，。( 铷。 即有 警一掣g ( 一手1 ) 由( 3 - 2 ) 式知，当j7 1 一+ o o 时，! 掣一0 令r 一一o 。，由( 3 - 1 3 ) 式 警g ； 对v 一k 成立 故 掣b 对y t 一k 成立 类似地有 盟 k 成立 因为| | i t 。| | 一o o ( n 一) ，妒( u 。) c 且 一上渊出+ 上揣d zl “。| | 。| i 0 。厶i i “。| | 由( 3 - 5 ) 式( 3 - 1 6 ) 式，并注意到u = in ，我们有 h 。m s 。u p ( 一矗错d 功+ 矗 if t 卜d 。 1 6 ( 3 - 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) 53l a n d e s m a n l a z e r 条件下椭圆方程n e u m a , n n 边值问题解的存在性 l i 嬲9 捌1 i 恕p 南2 0 因而 hin i - d x l i m i n r 上粼蜒；嬲p 上揣d z ( 3 - 1 7 ) 另一方面 上黜把t 粼蚺厶湍厶揣d z i 厶i ；耳蒂瑞d 。一 k 删蜓以k 尚岖以：篇一噍加卜州n 刊 从而由( 3 1 7 ) 式有， h 旧1 - 。d x _ l i m s u p 上粼血噍上- d 。 由e 的任意性 f h i q 1 - d x m o 。) 上_ 出 即 高1 埘z f ( + o o ) 这与( 3 - 3 ) 式矛盾 我们给出定理3 1 的证明 证明 由引理3 1 知( p s ) 序列 t 。) 是有界的，由标准方法知作用泛函妒满足( p s ) 条 件，易见作用泛函妒在有界集上是有界的，故泛函妒e h l ( q ) 上可以达到全局极小值，从而问 题( 3 1 ) 在h 1 ( n ) 中至少有一个解 1 7 4 次二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值 问题解的存在性 f 一缸= ，( z u ) z q 。4 一。， 【舞= 0 。a n 其中qcr n ( n 1 ) 为一个具有光滑边界的有界区域，n ( z ) 表示外法向，爨： n ( z ) ，v u ，且，：翕r - - * r 是c a r a t h e d o r y 函数，使得 if ( x ，t ) i m 血( 。) ( 缸2 1 对ltl m 成立，其中，m ( z ) = s u p i ，( z ，t ) i | itl m ) l t ( n ) ，f ( z ，t ) = 矗，( z ，s ) d s 假设以下条件成立 ( h 5 ) 设，满足次l 临界增长条件，即 l ，( z ，t ) i c o + | tl 。)( 4 - 3 ) 对几乎所有。n n f f ：t e r ) 我a ，其中当兰3 时，1 p 箍；当= 1 ，2 时，1s p o 和o “ a 2 f ni 证1 2d z 1 8 54 次二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 k 为特征值问题 的第k 个特征值 且 z n z a n 0 = a l - i q l ( g ( 盈。) 一4 ) - f n f ( 鲁) ；+ 上2 3 ( x ) d x 由g 的强制性，可知 弦) 有界，注意到日1 ( q ) 是s o b o l e v 空间，且具有等价范数 l i l i = ( 1 面1 2 十l v “1 2d 茁) n 从而 “。 在h 1 ( q ) 中有界，由标准讨论知妒满足( c ) 条件 一 引理4 3 ( 5 j 设x 是实b a n a c h 空间，妒c 1 ( x ，r ) 满足( c ) 条件，且x 有直和分解x = v ow ，其中d i m v + o o ，满足 。川m a x l = “i ( ) 口 卢。i n f j ( u ) 对。 o 。 u e 日1 f n 】 ( 妒2 ) 当| fu0 一+ o 。时，妒( “) 一一。对u 豆成立 先证( 四) 由条件( h 7 ) 有 f ( z ：t ) sgi ti “ 对所有l t l m 和几乎所有z f 2 成立，其中o “ 2 b ( i 丽s ( 4 2 ) 式有 y ( x t ) gi tl “+ m 知 ( 4 - 1 4 ) 2 】 4 次二次条件下椭圆：方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 对所有te r 和儿乎所有z r 2 成立 注意到日1 ( n ) 中具有等价范数 | | “i | = ( 1 豇1 2 + iv u1 2d z ) 当“雷1 ( n ) 时，| | 让l l = ( 矗iv u 1 2d 。) a ( 4 - 1 4 ) 式，h 5 1 d e r 不等式) 及p o i n c a r d 不等式有， 妒( t ) ；正2iv u 尸d 。一g i “i “d x m 矗f m d x j 1 | i u 1 2 一c 毫ln1 2 手( 厶lu1 2d z ) 彗+ 魄 j 1 l f u1 1 2 一岛iq j 孕( 击厶iv ui 2 d 。) + q = i 1l lu 一岛l i “胪+ 注意到o 肛 2 ，故( 妒1 ) 成立 再证( 妒2 ) 若u 曰时，i 面1 2 = i iu 暇由( 4 9 ) 式有 妒( “) = 一f n f ( x ，u ) c b 茎一厶g ( u ) d x 一厶p ( z ) d 。 由g 的强制性知( 妒2 ) 成立 由引珲4 3 知妒在日1 ( n ) 中至少有一个临界点，即问题洚1 ) 在1 ( n ) 中至少有一个解一 5 非二次条件下椭 n e u m a n n 边值 问题解的存在性 考虑n e u m a n n 边值问题 f - z x u = f ( x ，u ) n ， ( 5 - 1 ) 【舞= 0 z a n 其中qcr v ( 1 ) 为一个具有光滑边界的有界区域一( z ) 表示外法向，舞= 札( z ) v u ，且f ：q r 是c a r a t h e d o r y n i 数 假设以下条件成立 ( h s ) 设，满足次临界增长条件，即 ii ( z ，t ) l sg ( 1 十iti , - 1 ) ( 5 - 2 ) 对几乎所有z q 和任t r 成立，其中当23 时，1 p 斋蓦，当= 1 ，2 时，1 p 0 使得 1 lf ( x ，t ) i 五磊一致成立 由( 5 - 1 0 ) 式，( 5 1 1 ) 式及条件( h 6 ) 有 d ( 1 ) + 品= 踹= j 1 如i v 2d x 一由f a f ( x ，u 。) d 。 = ；矗fv f 2d x 一赢铲州圳，慨f ( 。，u 。) d x 一i ：1 俨正( 。) i s 帆f ( x ，“n ) d 。 1 矗1v 1 2d x 一 州圳，帆i 1 2d x 一爵 ；矗iv i 2d x 一；上t1 f 2d x 一币鲁p 令n - o o 有 n i t i s u m s u 畦上 v 1 2d x 卵d xn 。一。p 互止fv - n i ”r 由e 的任意性，有厶lv 1 2d x 一0 ( n o o ) 令。= 1 i i f a v ( x ) d x ，o = u 一。 p o i n c a r d 不等式 a 2 矗i i1 2d z 上2i 吼1 2d xs l i r a i n f j t o iv 1 2 d 2 恕矗i v 1 2d x = 0 这表明 故 i iv 1 1 2 2z iv 1 2 d x + 上i 。1 2 d x + 0 21q f 一。2i n i 如一o 。) 注意到| | | | = 1 ，故”= i = 土lqr 5 菲二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 不失一般性，可令 故n o 。时，9 “。l i 一。有 = 面= i n r 对儿乎所有z q 成立 从而由( 5 _ 4 ) 式，( 5 1 3 ) 式有 县恐( ，( z ，u n ( z ) ) “n ( 。) 一2 f ( z ，u n ( z ) ) ) = 一o o 对z q 一致成立 这表明 厂 ( ，( z ，( z ) ) u 。( z ) 一2 f ( x ，( z ) ) ) d z 一一o 。扣一o 。) j n 另一方面，由( 5 1 0 ) 式 2 l p ( u 。) 一( 垆( ) ，) 一2 q ( n o o ) 故 ， ( ，( z ，。( 。) ) ( z ) 一2 f ( x ，( z ) ) ) d z 一2 g m o o ) j n 这与睁1 4 ) 式矛盾，故 u 。) 有界 ( 5 - 1 3 ) 引理5 2 5 l 设y 是实b a n a c h 空间舻c 1 僻，r ) 满足( c ) 条件，且y 有直和分解x ： v o w ，其中d i m v + o 。，满足 。v m a x i = ri ( 、 ) 。 p 。i n w f ，( u ) 对 o 使得a ( 0 ，a 2 ) 和岛 o 有 f ( z ，t ) 去a i t l 2 + c a 对所有t 宜1 ( q ) 成立 对u 雷1 ( n ) ，由( 5 _ 1 5 ) 式和p o i n c 戚不等式有 妒( u ) = j 1 如i v u l 2d 。一矗f ( z ，u ) d x j 1j ：2 iv u 2d x 一互a 矗l 让1 2d x q ( 1 一砉) 矗iv “t 2 d x a 2 ( 1 一毫) m i n j ，鲁) | ju0 2 一q 故当| | 0 0 。时，妒( u ) 一+ 。 再证( 妒2 ) 由条件( h 9 ) 知，对任m 0 ，存在t o 使得 f ( x ，t 弦一2 f ( x ，) 一m 对所有ltj t 年n j l 乎所有z q 成立 对r 0 我们有 昙【掣lf(丁x,r)r-2f(z,r) 在h8 1c 匝+ 。) 上积分晦1 7 ) 式有 掣一掣i m 【孓1 一击) 令8 一+ o 。，由( 5 3 ) 式有 f ( z ，f ) = m 对所有t 和几乎所有。n 成立 同理可证 f ( z ，) 百m 对所有t 一t 和几乎所有。q 成立 故 f ( z ，t ) i m 2 7 ( 5 1 5 ) ( 5 - 1 6 ) ( 5 - 1 8 ) 5 非二次条件下椭圆方程n e u m a n n 边值问题解的存在性 对所有i l r 和几乎所有。n 成立 因而 l i 。m 。f ( 。，。) = + 。 ( 5 - 1 9 ) 对几乎所有。n 成立，对“曰，利用( 5 - 1 9 ) 式有，当| | ul l 一。时 妒( 珏) = 一上f ( 曩珏) d z 一一o 。 故垆在h 1 ( n ) 中至少有一个临界点，即问题( 5 1 ) e h l ( n ) 中至少有一个解 参考文献 【l 】t a n gc h u n l e i ，s o m ee x i s