（基础数学专业论文）teichmuller空间的度量性质.pdf

摘要 t e i c h m m l e r 理论源于t e i c h m 讧l l e r 对r i e m a n n 曲面模问题的研究，该理论本 身具有丰富而有趣的研究价值，且与其他的数学分支有着广泛深入的联系 本文中，我们的研究兴趣集中在t e i c h m 讧1 l e r 空间的度量性质t e i c h m t i l l e r 空 间具有自然的复流形结构可以对之赋以多种度量，不同的度量从各个角度 对t e i c h m i i l l e r 空间的几何性质进行了刻画本文主要研究t e i c h m 讧1 1 e r 空间的 度量性质，包括t e i c h m m l e r 空间上的t e i c h m 证l l e r 度量、c 甜a t h 6 0 d o u 度量、长 度谱度量( t h u r s t o n 伪度量) 、w 苟l - p e t e r s s o n 度量，以及曲面上的典范b e r g m a n 度量等此外，我们还研究了经典的b e u r l i n 分a h l f o r s 扩张及其一阶变分的非调 和性 在第一章中，我们将给出本文的背景介绍并对本文相关工作给以简单的引 入 第二章主要考虑t e i c h m m l e r 度量、长度谱度量以及t h u r s t o n 伪度量的拓 扑等价性已有的结果属于s o r v a l i 4 5 】 4 6 】、t h u r s t o n 4 7 】、李忠 4 8 】 4 9 】、刘 立新【5 0 】【5 1 】【5 2 】【5 3 】【5 4 】、s h i g a 【5 5 】、p 印a d o p o u l o s 【5 6 】、p 印a d o p o u l o s - t h 6 r e t f 5 7 1 | 5 8 1 等我们在第二章中证明了如下结果：对拓扑有限或无限型的r i e m 猢 曲面的t e i c h m m l e r 空间，存在两个点列，它们之间的t e i c h m 讧l l e r 距离趋于无 穷；同时长度谱距离( t h u r s t o n 伪距离) 趋于零这改进了李忠【4 9 1 的一个相应 结果由这个证明中的构造，我们证明了无限维t e i c h m i i l l e r 空间上t e i c h m m l e r 度量与长度谱度量( t h u r s t o n 伪度量) 的非拓扑等价性该证明比s h i g a 【5 5 1 的 原始证明更自然，且给出了一类拓扑无限型的r i e m a n n 曲面，使得其t e i c h m t i l l e r 空间满足相应的非拓扑等价性( 通过构造一个特殊的反例，s h i g af 5 5 1 于2 0 0 3 年 证明了t e i c h m t i l l e r 度量与长度谱度量的非拓扑等价性同时，s h i g a 【5 5 】给出 了t e i c h m m l e r 度量与长度谱度量拓扑等价的一个充分条件) 另外，我们首次给 出了这些度量拓扑等价的一个必要条件最近，k 嫡of 7 4 】证明了s h i g a 的前述 充分条件不是必要的 在第三章中，我们考虑t e i c h m i n l e r 空间的t h i c kp a r t 分别关于t e i c h m 证l l e r 度量、c 甜a t h 6 0 d o r y 度量和w 色i l p e t e r s s o n 度量的凸包刻画t h i c k _ t h i n 分解 被证明是处理相应问题的一个有力工具首先，通过构造t h i e kp a r t 的一个子 t e i c h m o l l e r 空间的度量性质 集，我们证明了该子集的凸包( 分别关于t e i c h m t i u e r 度量、c a r a t h 6 0 d o 眄度量 和w b i l - p e t e r s s o n 度量) 不在任何t h i c kp a r t 上面 相应地，我们有两个重要的推论：t h i c kp a r t 的凸包( 分别关于t e i c l l m 讧e r 度 量、c a r a t h 6 0 d o u 度量和w 西l - p e t e r s 8 0 n 度量) 并非总在t h i c kp a r t 上面t h i c k p a r t 并非总是凸的( 分别关于t e i c h m 试l e r 度量、c a r a t h 6 0 d o 珂度量和w b i l - p e t e r s s o n 度量) 此外，对于t e i c h m 讧u e r 度量和c 缸a t h 6 0 d o u 度量，给出了 类似的t h i np a 毗的刻画 第四章研究了曲面上的典范b e r g m a n 度量先回顾曲面上的双曲度 量( 即p o i n c a r 6 度量) ，它是依赖于单值化定理的，且具有常负曲率作为曲 面上的一种度量，典范b e r g m a n 度量不依赖于单值化定理双曲度量诱导 了t e i c h m 证l l e r 空间上的w 西l - p e t e r s s o n 度量；类似地，典范b e r g m a n 度量诱导 了t e i c h m i i l l e r 空间卜的l 2b e r g m a n 度量：该度量可以投影到模空间上，从而 我们可以考虑模空间在此度量下的几何性质；与w b i l - p e t e r s s o n 度量相比较，l 2 b e r g m a n 度量更适合于极小曲面理论的研究【4 4 】 a h l f o r s 1 3 1 首先证明了双曲度量面积元的一阶变分恒为零w o l p e r t f 5 9 1 对a h l f o r s 的结果给出了新的证明此外，t a k h t a j a n _ t e 0f 6 0 】也考虑了双 曲度量面积元的变分问题，并给出了在万有t e i c h m i 1 1 e r 空间上的应用利 用“双曲度量面积元的一阶变分恒为零”这一结果，a h l f o r s 1 3 1 进而证明 了w b i l p e t e r s s o n 度量是k 娩l e r 度量 第四章中，我们将考虑典范b e r g m a n 度量，我们证明了典范b e r g m a n 度量 的面积元的一阶变分不恒为零，这与a h l f o r s 的上述结果形成对照我们进一步 的目的是想知道t e i c h m m l e r 空间上的工2b e r g m a j l 度量是否是k 驰l e r 的 此外，在第五章，我们考虑了b e u r l i n 分a h l f o r s 扩张拟共形映射理论中的 一个经典问题是寻找并刻画具有给定边界同胚的扩张对此，我们有b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张、d o u a d y e a r l e 扩张以及调和扩张m c m u l l e n 【6 8 】证明了d o u a d y - e a r l e 扩张的一阶变分的调和性l i u - y 帕 6 9 】证明了d o u a d ：p e 甜l e 扩张并非总 是调和的第五章中，我们证明了如下结果：b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张并非总是调和 的b e u r l i n g - a h l f o r s 扩张的一阶变分并非总是调和的 关键词：t e i c h m n l l e r 空间；t e i c h m i 1 1 e r 度量；长度谱度量；t h u r s t o n 伪度量； c a r a t h 6 0 d o u 度量；w 色i l p e t e r s s o n 度量；凸包；典范b e r g m a n 度量；一阶变分； b e u r l i l l 分a h l f o r s 扩张 a b s t r a c t t e i c h m 证l l e rt h e o 珂o r i 西n a t e s6 的mt e i c h m n u e r ss t u d y0 ft h em o d u l ip r o b l e mo f 瞰e m a n ns u r f a u c e s t h i st h e o 珂c o n t a i 璐a b u i l d a n ta n di n t e r e s t i n gr 争 s e 盯c ht o p i e s ，a n di t 越s oh a sw i d ea j l dd e e pc o n n e c t i o 璐w i t ho t h e rm a t h e m a t i c a l l b r a n c h e s i nt h i st h e s i s ，w 它w i l lf o c u so u r r e s e a u r c hi n t e r e s t so np r o p e r t 斌o fs o m e m e t r i c 8o n7 r e i c h m 讧1 1 e rs p a c e t i e i c h m m l e rs p a u c ec a r r i e 8an a t u r a l lc o m p l e xs t l l l c - t u r e ，t h e r e 舡em a n _ yi n t e r e s t i n gm e t r i c so nt e i c h m 谢l e rs p a c e ，d i 舵r e n tm e t r i c s i m p l yd i 髓r e n tg e o m e t r i e s i nt h i st h e s i s ，w ea r em a i n l yc o n c e r n e d 而t hp r o p e r - t i e 8o ft h ef o l l o w i n gi n e t r i c s ：t h e7 r e i c h m t l l l e rm e t r i c ，t h ec a r a t h 6 0 d o r ym e t r i c ， t h el e n 酵hs p e c t m mm e 乞r i c ( t h u r s t o n sp s e u d 口i n e t r i c s ) a l r l dt h ew 宅i 1 - p e t e r s s o n m e t r i co nt e i c h m i i u e rs p a u c e ；a n dt h ec a n o n i c a lb e r g m a nm e t r i co n 礅e m a n n s u r f a u c e s b e s i d e s ，w ew i l la l s os t u d yt h en o n - h 盯m o n i c i t yo ft h eb e u r l i n 分a h l f o r s e x t e n s i o na n di t sf i r s tv a r i a t i o n i nc h a p t e r1 ，r e 、7 l r i l l 舀v eg e n e r a lb a c k 口o u n d sf o ro u rr e s e a u r c ha r e 嬲，嬲 r e l la 8b a s i ei i l t r o d u c t i o 璐t oo u r 、o r k si i lt h i st h e s i s c h a p t e r2 奶l lb ed e v o t e dt ot h es t u d yo ft o p o l o 舀c a l le q 血v a l e n c eo ft h e 7 r e i c h m n l l e rm e t r i e ，t h el e n g t hs p e c t m mm e t r i ca n dt h u r s t o n sp s e u d 伊m e t r i c s s o r v a l i 【4 5 】【4 6 】，t h u r s t o n 4 7 】，l i 4 8 】【4 9 】，l i u 【5 0 】【5 1 】 5 2 】f 5 3 】f 5 4 】，s h i g a 【5 5 】，p 印a d o p o u l o s 【5 6 】a n dp a p a d o p o u l o s - t 峰r e t 【5 7 】【5 踟h a v eo b t a i n e dm a n y r e s u l t si nt h i sd i r e c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l ls h o wt h ef o l l o w i i l gr e s u l t s ： f o rt h et e i c b m 曲u e rs p 就eo fr i e m a n ns u r k e so ft o p o l o g i c a u y6 n i t eo ri 曲n i t e t y p e ，t h e r ee x i s tt r os e q u e n c e si nt l l i st e i c h m 讧l l e r8 p a c e ，s u c ht h a tt h e i rt 谷 i c h m t n l e rd i s t a n e e s 诵l lt e n dt oi n 6 i l i t y w h i l et h ec o r r e 8 p o n d i n gl e n 酗hs p e c t r m n d i s t a n c e s ( t h u r s t o n sp s e u d 伊d i s t a n c e 8 ) 、7 l ，i l lt e n dt oz e r o t h i sr e s u l ti m p r o v e sa s i i i l n 盯r e s u l to fl if 4 9 1 t h e n ，f r o mt h ec o n s t r u c t i o 璐i nt h ep r o o fo ft h ep r e c e d - i n gr e s u l t ，w e 证us h o wt h ei l o n - t o p o l o 百c 出e q u i v a l e n c eo ft h et b i 妇证l l e ri i l e t r i c ， t h el e n 酗hs p e c t m mm e t r i ca n dt h u r s t o n sp s e u d 伊m e t r i c s0 nt e i c h m 1 1 1 e rs p a u c e 0 fr i 唧a n ns u r f a c e so ft o p o l o 舀c a l l yi n 6 n i t et y p e t h ei i i l p o r t a n c eo ft h i sr e s u l t i st h a ti t 百v e 8ac l a s 8o fr i e m a n ns u r f 犯e so ft o p o l o g i c 甜l yi n 丘n i t et y p ew h o s et b i c h m n l l e rs p a c e s 耐1 1s e r v eo u rr e s u l t ( b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o u n t e r e x a m p l e ， s h j g a 扫5 】s h o w e dt h en o n t o p o l o 舀c a le q u i v 出e n c eo ft h et e i c h m 西1 l e rm e t r i ca i i l d t h el e n 酗hs p e c t r u mm e t r i ei n2 0 0 3 s h i g a 5 5 】a l s og a v eas u m d e n tc o n d i t i o nf o r t h et w om e t r i c st ob et o p o l o g i c a l l ye q u i v 蛆e n t ) o 砒p r o o f i 8m o r en a t u r dt h a n s h i g a 8o n e f i u r t h e r m o r e ，w ew i l l 舀v ef o rt h e 矗r s tt i m ean e c e s 8 a 科c o n d i t i o n f o rt h e s em e t r i c 8t ob et o p o i o 百c a l l ye q u i v 村e n t m o s tr e c e n t l y k 嫡ow h oi sa s t u d e n to fp r o f s h i g as h o w st h a tt h es u m c i e n tc o n d i t i o n 舀v e nb ys h i g ai sn o t an e c e s s a r yo n e w bw i l ls t u d y ，i nc h a p t e r3 ，c o n v e ) 【h u l lp r o p e r t i e so ft h i c l 【p a r t so ft h e 7 r e i c h m 讧l l e rs p a c e ( 、7 l r i t hr e s p e c tt ot h et e i c h m m i e rm e t r i c ，t h ec a r a t h 6 0 d o 珂 m e t r i ca n dt h ew _ e i l p e t e r s s o nm e t r i c ，r e s p e c t i v e l y ) t h i c k - t h i nd e c o m p o s i t i o n h a sb e e np r o v e nt ob eap o w e r f u lt o o li nd e a l i i l gw i t hr e l a t e dq u e s t i o n s f i r s t ，b y e x p l i c i tc o i l s t r u c t i o 璐，、e 讲1 ls h o wt h a t ，f o ras u b s e tw h i c h1 i e 8i nt h et h i c kd 哦 o ft e i c h m m l e rs p a u c e ，c o n v e xh u l l so ft h i ss u b s e t ( w i t hr e s p e c tt ot h et e i c h m 证u e r m e t r i c ，t h ec a r a t h 6 0 d o r ym e t r i ca n dt h ew 西l - l ? e t e r 韶o nm e t r i c ，r e s p e c t i v e l y ) a 舱 n o ti na 1 1 yt h i c kp a no ft h er 1 1 e i c h m m l e rs p a c e t h ea | b 0 、他r e s u l t sh a 、，e 钿i m p o r t a 咀tc o n s e q u e n c e s ：c o i e xh u l l so ft h i c k p a r t so ft h e1 1 e i c h m m l e r8 p a c e ( w i t hr e s p e c tt ot h e7 r e i c h m 讧1 1 e rm e t r i c ，t h ec a r a t h - 6 0 d o 珂m e t r i ca n dt h ew b i l _ p e t e r 豁o nm e t r i c ，r e s p e c t i v e l y ) a r en o ta l w a y si nt h i c l 【 p a r t s t h i c kp 甜t sa r en o t 以w a y sc o n v e xw i t hr e s p e c tt ot h et e i c l l i m 1 1 e rm e t r i c ， t h ec a r a t h 6 0 d o r ym e t r i ca n dt h ew b i l 一p e t e r s s o ni n e t r i c ，r e j s p e c t i v e l y b e s i d e s ， i nt h et b i c h m m l e rm e t r i ca n dc a r a t h 面d o qm e t r i cc a l s e s ，s i i i l i l 觚r e s u l t sf o rt h e t h i np a r t sa r e 百v e n i nc h a p t e r4 ，w e 、) l r i l ls t u d yt h ec a j l o n i c a lb e r g m a nm e t r i co nr i e m 籼 s u r a c e s r e c 甜l 矗r s tt h a tt h eh y p e r b o l i cm e t r i c ( i e p o i n c 缸6m e t r i c ) d e p e n d s o nt h eu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e m ，a n dt h a ti th a sc o n s t a n tn e g a t i v ec un ，a 土u r e t h ec a n o n i c 以b e r g m a nm e t r i c ，a sam e 铺co n e m a i l i ls u r f 如e 8 ，i si n d e p e n d e n t o nt h eu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e m h y p e r b 0 1 i cm e t r i ci n d u c e st h e r e i l - p e t e r s s 0 n o nt b i c h m 试l e rs p a c e ；s i m i l a r l y it h ec a n o n i c a lb e r g m a nm e t r i ci n d u c e st h e 三2 b e r g m a nm e t r i co nt e i c h m 讧l l e rs p a u c e ：t h i sl a t t e rm e t r i cc a nb ep r o j e c t e dt ot h e i n o d u l is p a c e ，a n dt h l i sw ec a n8 t u d yt h e g e o m e t 巧p r o p e r t 洒o ft h em o d l l l is p a c e a b s t r a c t v t o g e t h e r 而t ht h el 2b e r g m a nm e t r i c ；c o m p 啪dw i t ht h ew b i l p e t e r 8 s o nm e t r i c ， t h el 2b e r g m a nm e t r i ci sm o r es u i t a - b l ef b rs t u d i e si i lm i l l i m a ls u r f 犯e st h e o 巧 【4 4 】 a h l f o r 8 1 3 1w a st h e 丘r s to n ew h op r o v e dt h a tt h e 矗r s tv 盯i a t i o no ft h ea 糟a d e i l s i t yo ft h eh y p e r b o l i cm e t r i ci si d e n t i c a u yz e r 0 w b l p e r t 【5 9 1g a v ea n o t h e r p r 0 0 fo fa h l f o r s a b o v er e s u l t t ；址h t a j a n t e o 6 0 】a l s os t u d i e dv 射i a t i o n a lp r o b - l e i n so ft h eh y p e r b o l i ca r e ad e 璐i t y a n dt h e yu 8 e dt h e i rc o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n t h es t u d yo ft h eu n i v e r s a l lt e i c h m i l l l e rs p a u c e b yu s i n gt h er e s u l tt h a tt h e6 r 8 t v a r i a t i o no ft h ea r e ad e n s i t yo ft h eh y p e r b o l i cm e t r i ci si d e n t i c a l l yz e r o ，a h l f o 瑙 【1 3 】p r o v e dt h a tt h ew e n - p e t e r s s o nm e t r i ci sk 荟h l e r i a n i nc h 印t e r4 ，w ew i l lc o n s i d e rt h ec a n o n i c a lb e r g m a nm e t r i c ，a n dw e 、7 l r i l l s h o wt h a tt h e 矗r s tv a r i a 乞i o no ft h ea r e ad e n s i t yo ft h ec a n o n i c a lb e r g m a nm e t r i c i 8n o ti d e n t i c a l l vz e r o ，ar e s u l tw h i c hi 8i nc o n t r a s tt oa h l f o r s r e s u l ti nt h e l p p e r b o l i cm e t r i cc a s e o u rf u r t h e ro b j e c t i v ei st ok n o w w h e t h e rt h ec o r r e s p o n d i n g 三2b e r g m a nm e t r i co nt e i c h m 证u e rs p a u c ei sk 施l e r i a no rn o t b e s i d e s ，i nc h 印t e r5 ，陀w i l lc o n s i d e rt h eb e u r l i n 分a h 怕r se x t e n s i o n a s ac l a s s i c a lt h e m ei nq u a s i c o n f o r m a lm 印p i n gt h e o r y ，i ti si n t e r e s t i n gt of i n da n d c h a r a c t e r i z ee x t e n s i o n so f 舀v e nh o m e o m o r p h i s m so ft h eb o u n d a 够i nt h i sa s p e c t ， w eh a v et h eb e u r l i n 分a h l f o r se x t e i l s i o n ，t h ed 0 u a d y e 甜l ee x t e 璐i o na n dt h eh 褂 m o n i ce x t e n s i o n m c m u l l e nf 6 8 】p r o v e dt h a tt h ef i r 8 tv a r i a t i o no ft h ed o u a d y - e a u r l ee x t e n s i o ni sa l w a y sh a r m o l l i c l i u _ y j 【6 9 1p r 0 、枷t h a tt h ed o u a d y e a r l e e x t e n s i o ni 8n o ta l w a y sh a r m o i l i c i nc h 印t e r5 ，w ew i l lc o n s i d e rt h eb e u r l i i l 乎 a h l f o r se x t e n s i o na n di t s6 r s tv u i a 七i o n ，w ew i up r 0 、陀n l ef o l l 伽矗n gt w or 伊 s u l t s ：b e u r l i n g - a h l f o r se x t e 璐i o ni sn o ta l w a y $ h a r m o i l i c f i r s t 谢a t i o no ft h e e i e u r l i n 争a 1 1 1 f o r se x t e 璐i o ni sn o ta l w a y sh a r m o n i c k 哪r o r d s ： t e i c h m 试l e r8 p a c e ；t e i c h m 试l e rm e t r i c ；l e n 酵h8 p e c t r u mm e t r 沁 t h u r s t o n sp s e u d o - m e t r i c s ；c a r a t h 6 0 d o r ) rm e t r i c ；b i l f e t e r s 8 0 nm e t r i c ；c o i e x h u l l ；c a n o n i c a lb e 鬯n a i lm e t r i c ；6 硌tv 盯i a t i o n ；b e u r l i i l 哥a h b r se x t e n s i o n 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 使用授权声明 学位论文作者签名：。酐墨盔 日期：矽q 9 年乡月加 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。保密的学位论文在解密后使用本规定。 学位论文作者签名：蚕小争告一 日期：d 译月2 日 1 1 背景简介 1 1 1 拟共形映射 第一章引言 二维拟共形映射是由g r 6 t z s c h f l l 于1 9 2 8 年引入的，l a v r e n t i e v 2 】于1 9 3 8 年最 早研究了高维拟共形映射其后，t e i c h m i l l e r f 3 1 、a h l f o r s f 4 1 对拟共形映射进行了 深入的研究r n 上拟共形映射的系统研究始于g e h r i n g 5 】、v 街s 甜苴f 6 】作为共 形映射的自然推广，拟共形映射使得我们可以讨论相应的拟不变量和拟不变性， 例如共形模、极值长度、双曲长度的拟不变性等这极大地拓宽了研究范围和深 度此外，由于r i e m a n n 曲而具有共形结构，使得我们可以研究r i e m a n n 曲面上 和r i e m a n n 曲面问的拟共形映射，从而拟共形映射理论在磁e m a n n 曲面论中有重 要应用相应地，拟共形映射理论与t e i c h m n l l e r 理论之间有紧密的联系不止于 此，拟共形映射的研究还可以推广到任意的度量空间上历史上，人们先是集中 于拟共形理论本身的研究，后来转向其在e m a n n 曲面论中的应用 经典的拟共形映射理论研究的内容主要包括： 拟共形映射的存在性问题：主要讨论具有给定复特征的b e l t r a m i 方程的同 胚解的存在性问题，也即具有给定复特征的拟共形映射的存在性问题这是拟共 形映射理论中的基本问题 双连通区域的模的极值问题：对给定的两个集合，考虑所有的双连通区域， 使得这些双连通区域在扩充复平面中的补集的两个分支分别包含给定的这两个 集合，刻画所有的这些双连通区域中模最大的区域这里有三个此类极值问题， 即g r 6 t z s c h 极值问题，t e i e h m m l e r 极值问题，以及m o r i 极值问题 单位圆到自身的拟共形映射的偏差问题以及全平面到自身的拟共形映射的 偏差问题：这些问题是分别基于前述的双连通区域的模的极值问题的 拟圆周的分析与几何性质的研究：拟圆周是单位圆周( 实轴) 在全平面 拟共形映射下的像拟圆周在拟n c h s i a n 群、万有t e i c h m m l e r 空间的研究中有 重要应用j o r d a n 曲线并非总是拟圆周j o r d a n 曲线可以自然地诱导实轴到 自身的同胚一个重要的事实是，j o r d a n 曲线是拟圆周的充要条件是其诱导 2 t e i c h m o l l e r 空间的度量性质 的实轴同胚是某个上半平面到自身的拟共形映射的边值从而自然地，我们 有如下问题：给定的实轴同胚是某个拟共形映射的边值的充要条件是什么? 对此，b e u r l i n 乎a h l f o r s 7 】通过构造给出了一个充要条件，即实轴同胚是某个拟 共形映射的边值当且仅当该同胚是拟对称函数我们称b e u r l i n g - a h l f o r s 的构 造为b e u r l i n 乎a h l f o r s 扩张b e u r l i n 廿a h l f o r s 扩张吸引了很多数学家的研究兴趣， 包括一些中国数学家对给定的边界同胚，关于其扩张的构造和刻画，我们还 有d o u a d y e 缸l e 扩张以及调和扩张 1 1 2 t e i c h m 诅l l e r 空间 我们可以将t e i c h m t l l l e r 空间视为曲面上不同共形结构等价类的全体，也可 以视为曲面上双曲度量等价类的全体本文中，我们主要将t e i c h m i 1 1 e r 空间视 为曲面上不同共形结构等价类的全体这样，我们马上看到了拟共形映射理论 和t e i c h m t i l l e r 空间理论的密切联系，详述如下： r i e m a n n 曲面是局部共形等价于欧式空间的定向曲面，它具有共形结构，这 里的局部共形性使我们可以引入共形映射和拟共形映射理论来研究r i e m a n n 曲 面，从而我们可以讨论m e m a n n 曲面间的共形映射与拟共形映射对于给定 的r i e m a n n 曲面r ，我们可以考虑础e m a n n 曲面间的共形等价类，所有这样的 等价类全体所形成的空间称为r i e m a n n 模空间m ( 兄) ；模空间m ( r ) 不是一个流 形；通过引入更大的空间即t e i c h m 讧l l e r 空间中元素间的等价关系，模空间的 许多研究可以归结为t e i c h m t l l l e r 空间的研究：我们定义t e i c h m i i l l e r 空间为给 定某个磁e m a n n 曲面兄后的标记r i e m a n n 曲面( s 厂) 的等价类全体所形成的空间， 这里，：r _ s 是拟共形映射，等价类是在共形意义上定义的；称r i e m a n n 曲 面冗上的拟共形自映射盯的同伦类全体所形成的群为映射类群，记为m c g ( r ) ； 则盯诱导了t ( r ) 到自身的映射：口+ ：【s ，月一陋，o 盯_ 1 】，称映射口+ 为模变换，全 体模变换所形成的群为模群，记为m d d ( 冗) ；当r i e m a n n 曲面矧的亏格夕 2 时， m d d ( 冗) 垡m c g ( r ) 。我们有m ( r ) = t ( r ) m c g ( 冗) 由于拟共形映射理论 在r i e m a n n 曲面论中的应用，我们可以借助拟共形映射理论对t e i c h m n u e r 空间 进行研究 为何t e i c h m 诅l e r 空间? 曲面( 1 维复流形) 的t e i c h m t i l l e r 空问的定义源 于t e i c h m t i l l e r 【8 】对m e m a n n 曲面模问题的研究由m o s t o w 刚性定理知，对于三 维及以上的双曲流形，基本群决定其等距类，所以是没有t e i d 皿伽e r 空间的概 第一章引言 3 念的 t e i c h m 讧l l e rf 8 1 早在2 0 世纪3 0 年代末与4 0 年代初期，就应用拟共形映射理论 研究了经典的r i e m a n n 曲面模问题，但直到2 0 世纪5 0 年代a h l f o r s 对t e i c h m m l e r 的思想进行重新解释，t e i c h m 证l l e r 空间才引起了人们的广泛注意基于r a u c h 【9 】 的部分结果，在a h l f o r s 与b e r s 等人的带领下，t e i c h m 证l l e r 空间得到了广泛而深 入的研究此后，戤) y d e n 、a b i k o f f 、m a u s k t 、m a s u r 、m a r d e n 、g a r d i n e r 、e a r l e 、 w b l p e r t 等对t e i c h m 证l l e r 空间的各个方面进行了富有成果的研究 下面我们简单回忆他们的一些主要工作，我们不是按照专题的形式给出相 应的介绍，而是按照历史的大体顺序，以数学家的个人工作为单位这样做的目 的在于能够使我们对数学的历史进程有大概的梳理，当然，我们的介绍将是粗略 的描述，并以本文的主题为指向： i 】= 1 e i c h m i i l l e rf 8 1 对t e i c h m i i l l e r 空间赋以一个自然的度量，即t e i c h m m l e r 度 量( 其自然性在于该度量与t e i c h m m l e r 空间的自然拓扑的相容性) ，一个自然的 极值问题是在给定的曲面间的同胚的同伦类中寻找并刻画最大伸张最小的拟共 形映射我们称该问题为t e i c h m m l e r 极值问题关于此问题，t e i c h m 试l e r 的想 法是极具启发意义的，而且我们将看到他的这一想法实际上建立了t e i c h m m l e r 空间和解析函数之间的密切联系为了对t e i c h m 讧1 1 e r 的想法给出直观的说明， 先回顾g r 6 t z s c hf 1 0 1 的如下极值问题：给定两个平面矩形间的保持顶点的拟 共形映射，寻找所有的这样的映射中最大伸张最小的那个映射对这个问题， g r 6 t z s c h 的解是水平仿射变换t e i c h m t i l l e r 【8 】对t e i c h m m l e r 极值问题的考虑如 下：借助于相应的全纯二次微分，通过曲面上正则点附近的局部共形参数，即可 将极值映射刻画为拉伸仿射变换如前所述，这建立了t e i c h m 讧l l e r 空间和解析 函数之间的密切联系，我们在本章的后续内容中将看到这种联系的其他重要体 现，例如b e r s f l l 】将t e i c h m 讧l l e r 空间嵌入到可积全纯二次微分空间的b a n a c h 空 间中 由于t e i c h m n l i e r 的文章很抽象且被认为不很适合阅读，a h l f o r s 对t e i c h m 讧l l e r 的文章思路进行了新的解释，并得到一系列的重要结果，例如：通过考虑周期映 射，他f 1 2 1 首次给出了t e i c h m 讧l l e r 空间的复结构( 我们现在沿用的对t e i c h m t i l l e r 空间的复结构的刻画大多是借助于b e r s 嵌入 1 1 1 ) 他 1 3 】证