（基础数学专业论文）一类带有三个bernoulli多项式的diophantine方程.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o no f2 011s c h o o lc o d e ：1 0 2 6 9 a c a d e m i cn u m b e r ：510 8 0 6 010 4 6 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y ac i a s so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o n sw i t h t h r e eb e r n o u ip o l y n o m i a l s d e p a m n e n t ： d e p a i t i n e n to fm a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： f u r em a t h e m a t i c s n u m b e rt h e o 巧 s u p e r v i s o r ： p r o f e s s o rz h i g u o “u m a s t e rc a n d i d a t e ：j i c a il i u 2 0 1 1 4 眦49 7309iiy 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程，是在华东师范大学攻读蚴博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导 下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：主! j 妻乙叁今 日期：塑丛：复：塑 华东师范大学学位论文著作权使用声明 一类带有三个b e m o u m 多项式的d i o p h a n t i n e 方程系本人在华东师范大学攻 读学位期间在导师指导下完成的蚴博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成 果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论 文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印 刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同 意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位 论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文：- c ，于 年月日解密，解密后适用上述授权。 2 不保密，适用上述授权。 学位论文作者签名：丞! j 丝乙舞刍 导师签名： 阅 宰”涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生中请学位论文”涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适 用上述授权) 。 刨彳乙彤硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称 单位备注 目才位盏缴鸫华旅夕印匆疋孚 主席 键娃利搬缀华承师到久学 l 为和奂叔峻擘系夕矽协久学 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 摘要 d i o p h a l l t i n e 方程自古以来是数论的中心问题之一比如费马大定理、p e u 方 程、b s d 猜想都与d i o p h a n t i n e 方程有直接关系 k u l k a m i 和s u 巧首先研究了带有一个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程既( 工) = g ) 接着他们又研究了带有两个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程( x ) = 日b 。( ) 7 ) + c ) ，并且给出了一个该形式方程分母有界有理解个数有限性的判定定理这个判定定 理在某种程度上说是b i l u 和面c h y 有关厂( 功= g ( y ) 形式的d i o p h a l l t i n e 方程一个重要 定理的推论因为b i l u 和t i c h y 给出了厂( 神= g ( y ) 形式d i o p h a n t i n e 方程有无限多个分 母有界有理解的一个等价条件，而l ( u 墩锄i 和s u 巧在证明他们的判定定理时反复使用 这个重要定理 本文的主要工作是将k u ( a n l i 和s u 巧的定理推广到带三个b e m o u m 多项式 的d i o p h a l l t i n e 方程，进而给出了一个该形式方程分母有界有理解个数有限性的判定 定理本文的主要安排如下：第一章主要介绍k u l l ( a 1 1 1 i 和s u 巧的结果以及作者所要证 明的结论第二章介绍一些证明定理所必备知识，包括b e m o u u i 多项式及其分解，以 及b i l u 和t i c h y 的重要定理第三章是证明第一章所提出的结论 关键词：b e m o u l l i 多项式； d i o p h a n t i n e 方程； b e m o u n i 数；有理解 华东师范大学 一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 a b s t r a c t d i o p h a i l t i n ee q u a t i o n si so n eo ft h ec e n t r a lp r o b l e n l s0 fn u m b e rm e o d ，s i n c ea n c i e n t 血e s f 研e x 锄p l e ，f e 啪a t sl a s tt h e o r e m ，p e ue q u a t i o n s ，b s dc o n j e c t u r ea r ed i i e c t l yr e l a t e dw 油d i o p h a n t i n ee q u a t i o n s k u l k a m ia n ds u r yf i r s ts t u d yac l a s so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o n sw i t ho n eb e m o u l l ip 0 1 y n o r n j a l ，w l l i c hi s 既( x ) = g ) t l l e yt h e ns t u d yac l a s so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o n sw i mt w o b e m o u mp 0 1 y n o m i a l s ，w h i c hi sz 乙( 力= 口玩( ) ，) + c ( y ) a tt h es a m et i m em e yg i v eat h e o r e m t h a td e t e m i n e ss u c hd i o p h a n t i n ee q u a t i o n sh a v eo n l yf i n i t e l ym a n yr a t i o n a ls o l u t i o n sw i t h b o u n d e dd e n o i i l i n a t o r s t os o m ee x t e n t ，t h j st 1 1 e o r e mi sa c o r o l l a r yo fb i l u t i c h y si m p o n a n t m e o r e mo nd i o p h a j l t i n ee q u a t i o n 厂( x ) = g ( ) ，) b i l ua 1 1 dt i c h yg i v ea nc o n d i t i o nw h i c hi s e q u i v a l e n tt om a td i o p h a l l t i n ee q u a t i o n 厂( x ) = g h a si n f i n i t e l ym a n yr a t i o n a ls o l u t i o n s w i t l lab o u n d e dd e n o m i n a t o r ，k u l k 锄ia n ds u 巧r e p e a tu s eo ft h i si m p o r t a n tt l l e o r e mw h e n t h e yp r o v e t h e i rm e o r e m i i lt h e6 r s tp a n w ew i l lag e n e r a l i z a t i o no fk u l k a m i s u r y st h e o r e mw h i c hd e t e m i n e s d i o p h a n t i n ee q u a t i o n sw i t ht h r e eb e m o u l l ip 0 1 y n o m i a l sh a v eo n l yf i n i t e l ym a n yr a t i o n a ls o l u t i o n sw i t hb o u n d e dd e n o m i n a t o r s t h i sp a p e ri so 略a n i z e da sf o l l o w s ，t i l ef i r s tc h 印t e r i n t r c i d u c e sk u u ( 锄i - s u r y st h e o r e 】 i la i l dt h ea u t h o r sc o n c l u s i o n s ；t h es e c o n dc h a p t e ri n t r 0 一 d u c e se s s e n t i a lk n o w l e d g et op r o v em em e o r e m ，i n c l u d i n gb e m o u l l ip o l y n o m i a l sa n dt h e i r d e c o m p o s i t i o n ，b i l u t i c h y si m p o r t a i l tm e o r e m ；t h et l j 柑c h 印t e ri st 0p r o v et h ec o n c l u s i o n s p r o p o s e di nt h ef i r s tc h a p t e r k e yw o r d s ： b e m o u l l ip o l y n o m i a l s ； d i o p h a n t i n ee q u a t i o n s ； b e m o u l l in u m b e r ；r a - t i o n a ls o l u t i o n s i i 华东师范大学 一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h 矗t i n e 方程 目。录 第一章引言l 1 1 研究背景1 1 2 本文的结果2 第二章预备知识4 2 1b e m o u l l i 多项式4 2 2 d i o p h 柚t i n e 方程尺( 曲= s ( ) ，) 7 2 3b e m o u l l i 多项式的分解9 第三章主要定理的证明1 2 3 1 定理1 2 1 的证明1 2 3 1定理1 2 2 的证明1 8 3 1定理1 2 3 的证明2 3 参考文献2 4 致谢2 7 i i i 1 1 研究背景 第一章引言 d i o p h a u l t i n e 方程最早是由三世纪希腊数学家丢番图对这类方程进行研究的概 括地讲，d i o p h a u l 缸e 方程就是一个或几个变量的整系数齐次方程，它们的求解仅在整 数范围内进行这个限制使得d i o p h a n t i n e 方程求解与实数范围方程求解有根本的不 同这与仿射化后的有理系数多项式在有理数域内求解本质上是一致的一些著名 的d i o p h a n t i n e 方程有费马方程和p e u 方程 本文研究的是带有b e m o u u i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程分母有界有理解个数有 限性的判定定理b i l u 和n c h y 在【2 中给出了d i o p h a n t i n e 方程厂( d = g ( ) ，) 有无限 多个分母有界有理解的一个等价条件k u l l 【疵和s 唧首先研究了既( 力= g ) 形 式d i o p h a n t i n e 方程，接着k u m 锄i 和s u 巧又在 4 】中研究了既( 功= 口鼠) + c ( ) ，) 形 式d i o p h a u l t i n e 方程，并且给出了一个该形式d i o p h a l l t i n e 方程分母有界有理解个数有 限性的判定定理这个定理表述如下 定理1 1 1 对于任意多项式c o ，) q m 且m 疗 如gc + 2 ，那么方程 z 乙( 曲= 口既( ) ，) + c ( y ) 只有有限多个分母有界有理解，如果它至少满足下列条件之一 ( 1 ) m ，z ( 2 ) 口i ( 3 ) c 0 ) 0 其中既( 力表示第m 个b e m o u l l i 多项式，口是一个非0 有理数 华东师范大学 一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h 柚t i n e 方程 我们说方程，( x ) = g ( ) ，) 有无限多个分母有界有理解，如果存在正整数a 使得方程 厂( 劝= g ) 有无限多个有理解 ，y ) 满足x ，) ，考 这是一类带有两个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程本文主要工作是给出一 个带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a l l t i n e 方程分母有界有理解个数有限性的判定定 理 1 2 本文的结果 定理1 2 1 对于任意多项式c ( ) ，) q m 且m n d 昭c + 3 ，那么方程 e 。( 曲= 口玩( ) ，) + 6 玩一l ( y ) + c ( ) ，) 只有有限多个分母有界有理解，如果它至少满足下列条件之一 ( 1 ) m 为奇数 ( 2 ) m 为偶数，l = 扰，口垡 其中既( 工) 表示第m 个b e m o u l l i 多项式，口和易是非。有理数表示所有有理 数d 次方的集合 定理1 2 2 对于任意多项式c ( ) ，) q m 且m n 咖c + 4 ，那么方程 = 以最( ) ，) + 6 风一2 ( ) ，) + c 只有有限多个分母有界有理解，如果它至少满足下列条件之一 ( 1 ) 聊为奇数 ( 2 ) m 为偶数，m = 2 d ，口 其中如表示第优个b e m o u l l i 多项式，口和6 是非。有理数表示所有有理 数d 次方的集合 定理1 2 3 对于任意多项式c ( ) ，) q m 且m ，z z 咖c + 2 ，那么方程 z m ( 力= 口鼠( ) ，) + 6 b 心) + c ( ) ，) 2 华东 只有 ( a ) ( b ) ( c ) 其中 数d 第二章预备知识 2 1 b e m o u l l i 多项式 首先我们给出b e m o u l l i 数的定义，因为通过它可以给出b e m o u l l i 多项式精确的定 定义2 1 1 鼠就是第，1 个b e m o u l l i 数 2 丌 所有的b e m 叫m 数都是有理数，下面给出前几位的b e m o u l l i 数 玩= - ，b 。= 一三，b z = 丢，b s = o ，风= 一嘉 当，z 是大于2 的奇数时，玩= o b e m o u l l i 数有很多的应用，比如它与代数数论中的类 数就有很大的关系，在这方面可以参考【1 2 】它还与解析数论中的f 函数在偶数处的值 有某种关系 f ( 2 七) 2 乞丁戢7 r 2 七1 是整数 这个等式的证明可以参见 9 】下面我们给出b e m o u l l i 多项式的通常定义，这是e u l e r 在1 7 3 8 年用生成函数的方法来定义的 定义2 1 2 篙= 芝掣广 幼 e l 一1q ，l ! 一 玩( 曲就是第，1 个b e m o u l l i 多项式 4 矿 玩一川 。脚 南 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a j l t i n e 方程 这个定义的缺陷是没有给出b e m o u l l i 多项式的精确表达，然而在证明一些b e m o u n i 多 项式性质的时候很有用下面我们给出l u c a s 在1 8 9 1 年给出的一个定义 定义2 1 - 3 最( x ) = ( b + 曲n 用二项式定理展开后，= 召f ，o f n ，其中磅是第f 个b e m o u l l i 多项式 从定义2 1 3 可知，b e m o u l l i 多项式首项系数都为l 的这两定义是等价的，若想知 道更多有关b e m o u l l i 多项式的定义可以参见 5 】l e h m e r 在 5 】中用函数方程引入了 一种新的b e m o u l l i 多项式的定义，从而证明了各种b e m o u u i 多项式定义的等价性下 面列出前几位b e m o u l l i 多项式 玩【神= l b 。( 劝= 工一三 眈( 曲= ，一工+ 三 j 5 i ，( 曲= ，一吾+ 季 风( 力= 一2 ，+ ，一未 毋( 力= 一主，+ ；，一喜 毋( 力= 一昙，+ ；，一兰 酬= 一3 ，+ 主，一萼+ 击 想了解更多b e m 叫l l i 多项式的表达式，可以参见 1 0 】想了解玩( x ) 在单位区间上的图 像可以参见【1 l 】b e m o u l h 多项式有一些很好的性质，这些性质将在下文b e m o u l l i 多 项式的分解中用到 命题2 1 1 对于任意正整数，l ，则有下列式子 既( 1 一工) = ( 一1 ) n 玩( x ) 5 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 证明 比较等式两边护的系数可得命题 命题2 1 2 对于任意正整数，l 1 ，则有下列式子 既( o ) = 岛( 1 ) 口 证明当，l l 且，z 为奇数时，岛( 0 ) = 岛= o ，故由( 1 ) 式可得，玩( 1 ) = 玩( o ) = o 当，l 为偶数时，在( 1 ) 式令x = o 可得岛( o ) = 玩( 1 ) 命题得证 命题2 1 3 玩一l ( 工) 和既( 工) 有如下关系 玩一l ( 工) ：! 兰玩( 曲 ，z o ，zd x 证明对等式 两边关于工求导可得 再比较等式两边严的系数可得命题 命题2 1 4 如果咒 0 则有 玩( 工+ 1 ) 一玩( 动= ，l ，一1 6 口 口 学 。 等品等 灶 竿 。脚 鲁 灶 警 。脚 队 警 。栅 广 警 。匹栅 等 广 等 。枷 华东师范大学 一类带有三个b e m 叫1 1 i 多项式的d i o p h a l l t i n e 方程 证明用数学归纳法证明，当n = 1 时，命题显然成立假设命题对于，z = 足成立，则有 最o + 1 ) 一瞰( f ) = 足矿一 由( 3 ) 式可得 ( 七+ 1 ) r 瞰( f ) d f ：瞰“工) 一反“o ) o 对( 5 ) 式两边从o 到工积分可得 将( 6 ) 式代入( 7 ) 式可得 最后由( 2 ) 式可得 命题得证 r 讹+ 1 ) 出一r 眦肛 瞰+ l + 1 ) 一反+ 1 ( x ) + 晚+ l ( 0 ) 一瞰+ l ( 1 ) = ( 七+ 1 ) 瞰+ 1 0 + 1 ) 一最+ l ( 动= ( 七+ 1 ) 2 2 d i o p h a n t i n e 方程尺( z ) = s ( y ) 首先给出d i c k s o n 多项式的定义 定义2 2 1 用巩 6 ) 表示第个d i c k s o n 多项式 阻2 1 以( 五6 ) = 如，r 一甜 其中以，f - 兰e 力( 一6 ) ，阻2 表示大于或等于2 的最小整数 下面给出标准对的定义 定义2 2 2 标准对有以下五种类型 7 ( 7 ) 口 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 ( 1 ) ( ，口，p ( x ) ) 或( 口，p ( 曲，f )其中osr o ( 2 ) ( ，( 口p + 易) p ( 工) 2 ) 或( ( 口+ 6 ) p ( x ) 2 ，) ( 3 ) ( d t ( j ，) ，d ，( x ，扩) ) 其中( 毛f ) = 1 ，这里n 是第f 个d i c l 【s o n 多项式 ( 4 ) ( 口一2 d f ( 工，口) ，易一2 d t ( x ，口) ) 其中( 尼，f ) = 2 ( 5 ) ( 0 j c 2 1 ) 3 ，3 一4 p ) 或( 3 一种，( 口j c 2 1 ) 3 ) 我们说在域七上的标准对是指口，易足且p ( 曲足 最后我们给出多项式在域c 上分解的定义 定义2 2 3 一个多项式f ( 力c m 的分解是指它具有，( 神= g l ( g 2 ) 形式， 其中g l ( x ) ，g 2 ( 工) c 吲分解称为是非平凡的，如果d e gg 1 ，d e gg 2 1 两个分 解f ( 工) = g l ( g 2 ( x ) ) 和f ( 工) = 日l ( 魁( x ) ) 称为是等价的，如果存在一个线性多项 式z ( 工) c 【x 】使得g l ( x ) = 日l ( z ( 工) ) ，飓( 工) = f ( g 2 ( 曲) 多项式称为是可分解的，如果它 至少有一个非平凡分解否则就称为不可分解的 下面这个定理非常重要，在证明定理1 2 1 和定理1 2 2 中反复使用这个定理，这个 定理是b i l u 和n c h y 在 2 】中提出来的 定理2 2 1 对于两个非常数多项式尺( 力，s ( 曲q 工】，以下两个条件是等价的 ( 1 ) 方程r ( 工) = s ) 有无限多个分母有界有理解 ( 2 ) 足= 妒。厂。五，s = ogop ，其中a ( x ) ，p ( 工) q ( x 】是线性多项式，( x ) q 叫，g ) 是q 上的标准对使得厂( 神= g ( ) ，) 有无限多个分母有界有理解 我们说方程尺( x ) = s ( ) ，) 有无限多个分母有界有理解，如果存在正整数m 使得方程 尺( x ) = s ) 有无限多个有理解( x ，y ) 满足工，) ，吾 这个定理的证明依赖于s i e g e l 有关整点的经典定理，可以参见 3 】 8 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 2 3 b e r n o u l l i 多项式的分解 在证明b e m o u l l i 多项式分解定理中需要用到一些引理 引理2 3 1 对任意八工) c 卅且如g 厂= 2 m ，若厂( 力= 厂( 1 一力恒成立，则有 八工) = 觚x 一扣 其中忍( 工) c 卅，d e g 忍= m 证明若劫是八力的一个根，则由厂( x ) = ，( 1 一曲可得l 一询也是厂( 神的一个根不 妨设，( x ) 的2 m 个根分别为 工l ，砣，一，砭， 其中而+ = 1 ，f - 1 ，2 ，_ r ，z 故厂( 曲可因式分解为 厂( 功= o 一工1 ) 0 一) 0 一) o 一) = ( ，一石+ r ) ( ，一工+ s ) = ( 。一三) 2 + n ( ( x 一墨) 2 “) = 矗( o 一去) 2 其中厂 s ，s 7 是与工无关的量，矗( 劝c 明且d e g 矗= 优 引理2 3 2 对于任意正整数m 都有 b 抽( x ) = 砾石一扣 其中j z ( 功c 卅且d e g 庇= m 证明由( 1 ) 式可得b 2 m ( 工) = b 2 ，l ( 1 一曲，再由引理2 3 1 可得引理 口 ( 8 ) 口 在给出下一个引理之前，先说一下差分算子在多项式环c 嘲上的作用， - 厂( 曲= ，( 工+ 1 ) 一，( 力 9 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 引理2 3 3 对于任意厂( 力，p ( x ) c 嘲，则都有，i ( p u ) ) 证明只要证明l ) ，尼= o ，1 ，2 然而这是显然的，因为对于任意两个多项 式g ，矗都有g 一九ig 七一胪 口 引理2 3 4 对于任意厂( 力c 工】，则厂( x ) = ，l r 一1 当且仅当- 厂( x ) = 玩( 曲+ c ，其中c 为 常数 证明若，( 曲= ，l ，由( 4 ) 式可得， + 1 ) 一，( z ) = 最 + 1 ) 一最( x ) 令日( 曲= ，( 工) 一玩( 工) ，则有日( 工) = 日0 + 1 ) 不妨设日为非常数多项式且d e g 日= ， 那么 日( o ) = 日( 1 ) = = 日( ，) 故多项式h ( 工) 一日( o ) 有，+ 1 根o ，l ，2 ，厂这与日( 曲一日( o ) 为r 次多项式只有，个 根相矛盾，故日为常数c 所以，( 曲= 玩( x ) + c 反之若厂( 曲= 既( 曲+ g 则显然 有，( 力= ，2 r 口 下面给出b e m o u u i 多项式分解定理 定理2 3 1 当n 为奇数时，玩( 曲是不可分解的当n 为偶数时，n = 2 m ，玩( 力的任意非 平凡分解都与( 8 ) 式等价 证明令既( 工) = g l ( g 2 ( 工) ) 为玩( 动的一个非平凡分解，由引理2 3 3 可得 g 2 ( 曲i 玩( x ) = 玩( x + 1 ) 一玩( 曲= n 矿一1 所以g 2 ( 曲= k ，其中f ，l 一1 ，足c 由引理2 3 4 可得g 2 ( x ) = a 风( 工) + p ，其 中a c ，p c ，足= f + 1 因此分解风( 力= g l ( g 2 ( 工) ) 和既( 劝= p ( 风( x ) ) 等价，其 中尸( 曲= g l 似x + ) 因为这个分解是非平凡的，故2 尼 ，1 当七= 2 时， 既( 曲= 邢：( 曲) = p ( 一工+ 丢) = p ( ( z 一三) 2 一壶) 故分解风( x ) = g l ( g 2 ( 力) 和( 8 ) 式等价 当七3 时，因为玩( 曲，瞰( 曲都是首项系数为1 的，故p ( 曲也是首项系数为l 的 因为这个分解是非平凡的，p ：= d e g 尸( x ) 2 比较等式既( x ) = p ( 瞰( x ) ) 两边，- 2 的系 l o 华东师范大学 一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i 叩h a n t i n e 方程 数可得 ，z ( 咒一1 ) p 足( p 足一忌) p 七( 七一1 ) 1 2 8 1 2 。 又由肚= ，l 可得 2 ( n 1 ) = 3 ( n 一足) + 2 ( 七一1 ) 解得七= ，l 这与忌 咒且m 为奇数时，方程( 曲= 玩) + 6 玩一l ) + c ( ) ，) 只有有限多个 分母有界有理解 ( 3 ) 当优= ，z 且m 是偶数，m = 2 d 时 这时方程就有形式玩( j ) = 口如( ) ，) + 6 如一l ( ) ，) + c ( ) ，) ，d e gc 2 ，因而g ) 只能是第一种标准 对因此，( x ) = 或g ( 功= 令妒( 工) = a + 如则存在r s q ，o ，使得 既( 联+ s ) = a + 删或以既( h + s ) + 6 b 用一l ( 曲+ c ( 联+ s ) = a + 纠前者比较等式两 边2 的系数可得6 s 2 6 s + 1 = o 解得j = 三学，这不是一个有理数后者比较等式 两边，一2 的系数，同情形( 1 ) ，可得3 s 2 3 s + 1 = 0 解得s 不是一个有理数 当如( x ) = 抓i ( z ) ) ) 是非平凡分解时，设厂( l ( x ) ) = 五( x ) ，由定理2 3 1 可得分 解既( 力= ( 五( 曲) 与如( 曲= j z ( 一 ) 2 ) 等价因而d e g 妒= d 且存在线性多项 式z ( j ) q 工】，使得妒( x ) = | i l ( z ( x ) ) ，d e g = d 所以我们有下式 口b m ( 工) + 易b 小一l ( 工) + c ( 曲= ( g ( p ( x ) ) ) = ( p + q z + f ) ( 1 4 ) 其中p ，g ，f q ，p o 比较等式既( 曲= | l ( o 一 ) 2 ) 两边的系数可得庇( 曲的首项系 数为1 再比较( 1 4 ) 式两边的系数可得口= ，这与日岳相矛盾 所以当m = n 且m 为偶数，m = 2 d ，口g 时，方程如( 柚= 口风( ) ，) + 易玩一l ) + c ( ) ，) 只有有限多个分母有界有理解 ( 4 ) 当m n 且m 是偶数，m = 豺时 这时方程就有形式( x ) = 口既( ) ，) + 6 玩一1 ( ) ，) + c ( ) ，) ，d e gc ，l 相矛盾 当d e g = 1 时，则d e g 厂= m ，d e gg = ，z 令妒( 力= a + 觑，由m ，z 2 可得g ) 不是 第二种标准对 若g ) 是第一种标准对，则，( 工) = 矿或g ( x ) = ，故存在r s q ，o ，使 得既( h + s ) = a + b 矿或日玩( 工) + 6 风一l ( 力+ c ( 联+ j ) = a + 占p 前者比较等式两 边，- 2 的系数可得6 s 2 6 s + 1 = o 解得s = 学，这不是一个有理数后者比较等式 两边，r 一2 的系数，同情形( 1 ) ，可得3 s 2 3 j + 1 = o 解得s 不是一个有理数 若g ) 是第三或第四种标准对，同情形( 1 ) 的证明过程可得m = ；，这与m 是正 整数相矛盾 若g ) 是第五种标准对，则有m = 6 ，z = 4 ，( x ) = 徊一1 ) 3 那么就有 魄( 力= 盯( 五( 工) ) ) = a + b ( 口( h + s ) 2 1 ) 3 = 肋3 ( 麒+ j ) 6 3 肋2 ( h + s ) 4 + 3 励( h + s ) 2 + a b 比较等式两边妒的系数司得 砌3 r 6 ：1 比较等式两边，的系数可得 勘3 m 卅 比较等式两边的系数可得 砌3 伊阳删= 主 联立( 1 5 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) 式可得 口= 晏，s = 孑，州耖 比较等式两边的系数可得 庇3 g ) 产，一3 肋2 ( 三) r z ，+ 3 砌户= 一三 将日，j ，b 代入等式左边，其值为一丧，与等式右边一 不相等 1 7 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 华东师范大学一类带有三个b e m o u l l i 多项式的d i o p h a n t i n e 方程 当如( x ) = 妒( 厂 ( 力) ) 是非平凡分解时，则其与分解既( z ) = ( o 一 ) 2 ) 等价故 有d e g = d ，由m = 2 d 玎，l = d e g 妒d e gg = d d e gg 可得d e gg = 1 ，l = d 1 因而存在 线性多项式z ( 神q 叫，使得( x ) = 忍( z ( 曲) ，d e g 矗= d 盘毋( d + 6 既一1 ( 工) + c ( x ) = ( g ( ( 工) ) ) = ( p 工+ g ) 其中p ，g q ，p o 比较等式巩= 矗( o 一 ) 2 ) 两边，的系数可得盘的首项系数 为1 再比较上式两边妒的系数可得口= ，这与口相矛盾 所以当m n 且m 为偶数，m = 2 d ，口垡时，方程如( 力= 日鼠( ) ，) + 6 风一l ) + c ( ) ，) 只有有限多个分母有界有理解 定理1 2 1 得证 3 2 定理1 2 2 的证明 定理1 2 2 的证明分以下四种情况讨论 ( 1 ) 当m = ，l 且m 是奇数时 这时方程就有形式既( 曲= 口既( ) ，) + 易既一2 ) + c ( ) ，) ，d e gc ，l 且m 为奇数时，方程既( 曲= 口玩( y ) + 6 玩一2 ) + c 0 ，) 只有有限多个 分母有界有理解 ( 3 ) 当m = ，z 且m 是偶数，m = 扰时 这时方程就有形式岛( 曲= 口巩( ) ，) + 6 如一2 ( ) ，) + c o ，) ，d e gc 2 ，因而g ) 只能是第一种标准 对因此厂( 力= ，或g ( 工) = 矿令妒( 工) = a + 戤，则存在s q ，0 ，使得 如( 肛+ j ) = a + b 妒或日既( h + s ) + 6 一2 ( x ) + c ( 胱+ s ) = a + 召妒前者比较等式两 边妒- 2 的系数可得6 s 2 6 s + 1 = o 解得s = 学，这不是一个有理数后者比较等式 两边妒，妒，矿- 4 的系数，同情形( 1 ) ，我们可导出矛盾 当阮( 石) = u m ( z ) ) ) 是非平凡分解时，设八 ( 神) = ( 工) ，由定理2 3 1 可得分 解既( 力= 驴( 五( 力) 与( 功= j i l ( 0 一 ) 2 ) 等价因而d e g 妒= d 且存在线性多项 式z ( 曲q 卅，使得驴( 工) = ( z ( x ) ) ，d e gj l z = d 所以我们有下式 口既( 曲+ 易既一2 ( z ) + c ( 工) = 妒( g ( p ( x ) ) ) = j l z ( p j c 2 + 弘+ 力 ( 2 3 ) 其中p ，g ，f q ，p o 比较等式如( x ) = 办( 一 ) 2 ) 两边，的系数可得j i z ( 力